Eksponencijalnost, pravila, primjeri. Stupanj i njegova svojstva

Važne bilješke!
1. Ako umjesto formula vidite abrakadabru, izbrišite predmemoriju. Ovdje je napisano kako to učiniti u vašem pregledniku:
2. Prije nego počnete čitati članak, obratite pozornost na naš navigator za najkorisniji resurs za

Zašto su potrebne diplome? Gdje ih trebate? Zašto trebate trošiti vrijeme na njihovo proučavanje?

Kako biste saznali sve o diplomama, čemu služe, kako iskoristiti svoje znanje u svakodnevnom životu, pročitajte ovaj članak.

I, naravno, poznavanje diploma približit će vas uspješnom polaganju OGE ili Jedinstvenog državnog ispita i ulasku na sveučilište iz snova.

Idemo... (Idemo!)

PRVA RAZINA

Eksponencijacija je ista matematička operacija kao zbrajanje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Obratiti pažnju. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa zbrajanjem.

Ovdje se nema što objašnjavati. Sve već znate: ima nas osam. Svaka ima dvije boce kole. Koliko kole? Tako je – 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer s colom može se napisati na drugačiji način: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brže "prebroje". U našem su slučaju primijetili da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i s greškama! Ali…

Ovdje je tablica množenja. Ponoviti.

I još jedna, ljepša:

A koje su još lukave trikove brojanja smislili lijeni matematičari? Ispravno - dizanje broja na stepen.

Dizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen. I takve probleme rješavaju u mislima – brže, lakše i bez grešaka.

Da biste to učinili, trebate samo zapamtite što je u tablici potencija brojeva istaknuto bojom. Vjerujte, to će vam znatno olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stupanj kvadrat brojevi, a treći kocka? Što to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugom potencijom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar po metar. Bazen je u vašem dvorištu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločicama. Koliko pločica trebate? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.

Možete jednostavno izbrojati bockanjem prsta da se dno bazena sastoji od kockica metar po metar. Ako su vaše pločice metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takvu pločicu? Pločica će radije biti cm po cm. A onda će vas mučiti “brojenje prstom”. Zatim se morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavit ćemo pločice (komade), a na drugu također pločice. Množenjem s, dobivate pločice ().

Jeste li primijetili da smo isti broj pomnožili sam po sebi da bismo odredili površinu dna bazena? Što to znači? Budući da se isti broj množi, možemo koristiti tehniku ​​eksponencijalnosti. (Naravno, kada imate samo dva broja, još ih trebate pomnožiti ili povisiti na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je dizanje na stepen puno lakše i također je manje pogrešaka u izračunima. Za ispit je ovo jako važno).
Dakle, trideset do drugog stupnja bit će (). Ili možete reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatka za vas, izbrojite koliko je polja na šahovskoj ploči koristeći kvadrat broja... S jedne strane ćelije i s druge također. Da biste prebrojali njihov broj, trebate pomnožiti osam s osam, ili ... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, tada možete kvadratirati osam. Nabavite stanice. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati volumen. (Volume i tekućine, inače, mjere se u kubičnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine metar i duboko metar i pokušajte izračunati koliko će metar po metar kocke ući u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri… dvadeset dva, dvadeset tri… Koliko je ispalo? Niste se izgubili? Je li teško brojati prstom? Tako da! Uzmimo primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena morate međusobno pomnožiti njegovu duljinu, širinu i visinu. U našem slučaju, volumen bazena će biti jednak kockama ... Lakše, zar ne?

Zamislite sada koliko su matematičari lijeni i lukavi ako im to previše olakša. Sveo sve na jednu akciju. Primijetili su da su duljina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... A što to znači? To znači da možete koristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:

Ostaje samo zapamtiti tablicu stupnjeva. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite puno raditi i griješiti, možete nastaviti brojati prstom.

Pa da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili klošari i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milijun rubalja. Na početku svake godine zaradite još milijun za svaki milijun. Odnosno, svaki se vaš milijun na početku svake godine udvostruči. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i “brojite prstom”, onda ste vrlo vrijedna osoba i.. glupa. Ali najvjerojatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - što se dogodilo, još dvije, treće godine ... Stanite! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na peti stepen je milijun! Sad zamislite da imate konkurenciju i onaj tko brže izračuna, dobit će ove milijune... Vrijedi li pamtiti stupnjeve brojeva, što mislite?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milijun. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milijun. Super je zar ne? Svaki milijun je utrostručen. Koliko ćete novca imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prva godina - pomnoži s, pa rezultat s drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, četvrti stepen je milijun. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete dizanjem broja na stepen znatno olakšati svoj život. Pogledajmo dalje što možete učiniti s diplomama i što trebate znati o njima.

Pojmovi i pojmovi ... da se ne zabune

Dakle, prvo, definirajmo pojmove. Što misliš, što je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije znanstveno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vrijeme, što takvu osnovu diplome? Još jednostavniji je broj koji je na dnu, u bazi.

Evo slike da se uvjerite.

Pa, općenito, kako bi se generaliziralo i bolje zapamtilo ... Stupanj s bazom "" i indikatorom "" čita se kao "u stupnju" i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Vjerojatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali što jest prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste u brojenju kod nabrajanja predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: “minus pet”, “minus šest”, “minus sedam”. Ne kažemo ni "jedna trećina" ni "nula točka pet desetina". Ovo nisu prirodni brojevi. Što mislite koji su to brojevi?

Odnose se brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam". cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. A što znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rubalja.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Kako su nastali, što mislite? Jako jednostavno. Prije nekoliko tisuća godina naši su preci otkrili da nemaju dovoljno prirodnih brojeva za mjerenje duljine, težine, površine itd. I smislili su racionalni brojevi… Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite opseg kruga s njegovim promjerom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stupnja čiji je eksponent prirodni broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Povećati broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sa samim sobom puta:
.

Svojstva stupnja

Odakle su ove nekretnine? sada ću vam pokazati.

Da vidimo što je i ?

A-prioritet:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali čimbenike, a rezultat su čimbenici.

Ali po definiciji, ovo je stupanj broja s eksponentom, to jest: , koji je trebao biti dokazan.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Odluka:

Primjer: Pojednostavite izraz.

Odluka: Važno je napomenuti da u našem pravilu nužno mora biti isti razlog!
Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:

samo za proizvode moći!

Ni u kojem slučaju to ne smijete napisati.

2. odnosno -ti stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

Zapravo, to se može nazvati "zagradama indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se formula za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati?

Ali to zapravo nije istina.

Stupanj s negativnom bazom

Do sada smo raspravljali samo o tome kakav bi trebao biti eksponent.

Ali što bi trebala biti osnova?

U stupnjevima od prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran.

Razmislimo o tome koji će znakovi (" " ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ? S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva međusobno množimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus”. Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s, ispada.

Odredite sami koji će znak imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, budući da (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera iz prakse

Analiza rješenja 6 primjera

cijeli imenujemo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (odnosno uzete sa znakom "") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda točno kao u prethodnom odjeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s pokazateljem jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, pitamo se: zašto je to tako?

Razmislite o nekoj snazi ​​s bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa i dobili smo isti kao što je bio -. S kojim se brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti s proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje iznimke od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao baza).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kojem stupnju - koliko god pomnožili nulu samu po sebi, svejedno ćete dobiti nulu, to je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nultom stupnju, mora biti jednak. Dakle, što je istina u ovome? Matematičari su se odlučili ne uključiti i odbili su nulu podići na nultu potenciju. Odnosno, sada ne možemo samo podijeliti s nulom, već ga i podići na nultu potenciju.

Idemo dalje. Uz prirodne brojeve i brojeve, cijeli brojevi uključuju negativne brojeve. Da bismo razumjeli što je negativan stupanj, učinimo isto kao prošli put: neki normalni broj pomnožimo s istim u negativnom stupnju:

Odavde je već lako izraziti željeno:

Sada proširujemo rezultirajuće pravilo na proizvoljan stupanj:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj na negativan stepen obrnut je istom broju na pozitivan stepen. Ali u isto vrijeme baza ne može biti null:(jer je nemoguće podijeliti).

Sumirajmo:

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za neovisno rješenje:

Analiza zadataka za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste uspjeli riješiti i naučit ćete kako se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti krug brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.

Da bi razumjeli što je "djelomični stupanj" Razmotrimo razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada zapamtite pravilo "stupanj do stupnja":

Koji se broj mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korijena th stupnja.

Dopustite da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stupnja je inverzna operacija stepenovanja: .

Ispostavilo se da. Očito se ovaj poseban slučaj može proširiti: .

Sada dodajte brojnik: što je to? Odgovor je lako dobiti s pravilom snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Uostalom, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Zapamtite pravilo: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. To jest, nemoguće je iz negativnih brojeva izvući korijene parnog stupnja!

A to znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Što je s ekspresijom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti kao drugi, smanjeni razlomci, na primjer, ili.

I ispada da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali čim napišemo pokazatelj na drugačiji način, opet imamo problema: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da biste izbjegli takve paradokse, razmislite samo pozitivan bazni eksponent s razlomkom eksponenta.

Dakle, ako:

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Potencije s racionalnim eksponentom vrlo su korisne za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera iz prakse

Analiza 5 primjera za obuku

Pa, sada - najteže. Sada ćemo analizirati stupanj s iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupnjeve s racionalnim eksponentom, s izuzetkom

Doista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stupnjeva s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo napravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...nulte snage- to je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena „priprema broj”, odnosno broj;

...negativan cjelobrojni eksponent- kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam po sebi, već podijeljen.

Inače, u znanosti se često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni pravi broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti te nove koncepte na institutu.

KAMO SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s već uobičajenim pravilom za podizanje stupnja na stupanj:

NAPREDNA RAZINA

Definicija stupnja

Stupanj je izraz oblika: , gdje je:

• — osnova stupnja;
• - eksponent.

Stupanj s prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Povećanje broja na prirodni stepen n znači množenje broja samim sobom puta:

Potencija s cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

erekcija na nultu snagu:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stupnju je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do . stupnja je ovo.

Ako je eksponent cijeli broj negativan broj:

(jer je nemoguće podijeliti).

Još jednom o nullovima: izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

primjeri:

Stupanj s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Svojstva stupnja

Kako bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle ta svojstva? Dokažimo ih.

Da vidimo: što je i?

A-prioritet:

Dakle, s desne strane ovog izraza dobiva se sljedeći proizvod:

Ali po definiciji, ovo je potencija broja s eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Odluka : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Odluka : Važno je napomenuti da u našem pravilu nužno moraju imati istu osnovu. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvode moći!

Ni u kojem slučaju to ne smijem napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Preuredimo to ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je --ti stepen broja:

Zapravo, to se može nazvati "zagradama indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:!

Prisjetimo se formula za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati? Ali to zapravo nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo raspravljali samo o onome što bi trebalo biti indikator stupanj. Ali što bi trebala biti osnova? U stupnjevima od prirodnim indikator osnova može biti bilo koji broj .

Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran. Razmislimo o tome koji će znakovi (" " ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ?

S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva međusobno množimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus”. Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobivamo -.

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Možete formulirati ova jednostavna pravila:

1. čak stupanj, - broj pozitivan.
2. Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
3. Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji će znak imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, budući da (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati što je manje: ili? Ako se toga sjetite, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stupnja:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni na druge, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Prije analize posljednjeg pravila, riješimo nekoliko primjera.

Izračunajte vrijednosti izraza:

Rješenja :

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada zadnje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stupnja i pojednostavimo:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta po množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo nego definicija operacije množenje: ukupno se pokazalo da postoje množitelji. To jest, to je, po definiciji, potencija broja s eksponentom:

Primjer:

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Osim informacija o stupnjevima za prosječnu razinu, analizirat ćemo stupanj s iracionalnim pokazateljem. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s iznimkom - uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stupnjeva s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo napravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nultom stupnju je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena “priprema broja”, odnosno broj; stupanj s negativnim cijelim brojem - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam po sebi, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stupanj s iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stupnja na cijeli prostor brojeva.

Inače, u znanosti se često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni pravi broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti te nove koncepte na institutu.

Dakle, što ćemo učiniti ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNA FORMULA

Stupanj naziva se izraz oblika: , gdje je:

Stupanj s cjelobrojnim eksponentom

stupnja, čiji je eksponent prirodni broj (tj. cijeli i pozitivan).

Stupanj s racionalnim eksponentom

stupnja, čiji su pokazatelj negativni i razlomci.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

eksponent čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stupnja

Značajke stupnjeva.

• Negativan broj podignut na čak stupanj, - broj pozitivan.
• Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj moći.
• Bilo koji broj na nultu potenciju jednak je.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Javite mi u komentarima ispod sviđa li vam se ili ne.

Recite nam svoje iskustvo s energetskim svojstvima.

Možda imate pitanja. Ili prijedlozi.

Napišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Eto, tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno svladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sad ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je ... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen ispit, za upis u institut na proračunu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas u ništa uvjeravati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili sigurni da ćete na ispitu biti bolji od drugih i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje pogriješiti ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu – potrebno je mnogo puta ponoviti da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.

Kako biste došli do ruku uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog vijeka trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Kada broj se sam množi sebi, raditi pozvao stupanj.

Dakle, 2,2 = 4, kvadrat ili drugi stepen od 2
2.2.2 = 8, kocka ili treći stepen.
2.2.2.2 = 16, četvrti stupanj.

Također, 10,10 = 100, drugi stepen je 10.
10.10.10 = 1000, treći stupanj.
10.10.10.10 = 10000 četvrti stupanj.

I a.a = aa, drugi stepen od a
a.a.a = aaa, treći stepen a
a.a.a.a = aaaa, četvrti stepen a

Izvorni broj se zove korijen stupnjevi tog broja, jer je to broj od kojeg su stupnjevi stvoreni.

Međutim, nije baš zgodno, pogotovo u slučaju velikih snaga, zapisivati ​​sve čimbenike koji čine moći. Stoga se koristi metoda skraćenog zapisa. Korijen stupnja je napisan samo jednom, i to desno i malo više pored njega, ali malo manjim fontom piše koliko puta korijen djeluje kao faktor. Ovaj broj ili slovo se zove eksponent ili stupanj brojevima. Dakle, 2 je jednako a.a ili aa, jer se korijen od a mora pomnožiti sam sa sobom dvaput da bi se dobila potencija aa. Također, 3 znači aaa, odnosno ovdje se ponavlja a tri puta kao množitelj.

Eksponent prvog stepena je 1, ali se obično ne zapisuje. Dakle, 1 se piše kao a.

Ne biste trebali brkati stupnjeve sa koeficijenti. Koeficijent pokazuje koliko se često uzima vrijednost dio cijeli. Eksponent pokazuje koliko se često uzima vrijednost faktor na poslu.
Dakle, 4a = a + a + a + a. Ali a 4 = a.a.a.a

Eksponencijalna notacija ima posebnu prednost što nam omogućuje izražavanje nepoznato stupanj. U tu svrhu umjesto broja upisuje se eksponent pismo. U procesu rješavanja problema možemo dobiti vrijednost koja, kao što znamo, jest neki stupanj druge veličine. Ali zasad ne znamo je li to kvadrat, kocka ili neki drugi, viši stupanj. Dakle, u izrazu a x eksponent znači da ovaj izraz ima neki stupanj, iako nije definiran koji stupanj. Dakle, b m i d n su podignuti na potencije m i n. Kada se nađe eksponent, broj zamijenjeno slovom. Dakle, ako je m=3, onda je b m = b 3 ; ali ako je m = 5 onda je b m =b 5 .

Metoda pisanja vrijednosti s eksponentima također je velika prednost pri korištenju izrazi. Dakle, (a + b + d) 3 je (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), odnosno kocka trinoma (a + b + d) . Ali ako napišemo ovaj izraz nakon kocka, izgledat će tako
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Ako uzmemo niz potencija čiji se eksponenti povećavaju ili smanjuju za 1, nalazimo da se proizvod povećava za zajednički faktor ili smanjen za zajednički djelitelj, a ovaj faktor ili djelitelj je izvorni broj koji je podignut na stepen.

Dakle, u seriji aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
ili 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
indikatori, ako se broje s desna na lijevo, su 1, 2, 3, 4, 5; a razlika između njihovih vrijednosti je 1. Ako počnemo desno pomnožiti na a, uspješno ćemo dobiti više vrijednosti.

Dakle, a.a = a 2 , drugi član. I a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3, treći član. a 4 .a = a 5 .

Ako počnemo lijevo udio na,
dobivamo 5:a = a 4 i a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Ali takav proces podjele može se nastaviti dalje i dobivamo novi skup vrijednosti.

Dakle, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Cijeli red će biti: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Ili 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Ovdje vrijednosti desno iz jedinice je obrnuto vrijednosti lijevo od jedan. Stoga se ti stupnjevi mogu nazvati inverzne snage a. Također se može reći da su ovlasti s lijeve strane inverzna od snaga na desnoj strani.

Dakle, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. I 1:(1/a 3) = a 3 .

Isti plan snimanja može se primijeniti na polinomi. Dakle, za a + b, dobivamo skup,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3.

Radi praktičnosti, koristi se drugi oblik zapisivanja inverznih potencija.

Prema ovom obliku, 1/a ili 1/a 1 = a -1 . I 1/aaa ili 1/a 3 = a -3 .
1/aa ili 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa ili 1/a 4 = a -4 .

A da bi eksponenti bili potpuni niz s 1 kao ukupnom razlikom, a/a ili 1 se smatra takvim koji nema stupanj i zapisuje se kao 0.

Zatim, uzimajući u obzir izravnu i inverznu moć
umjesto aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
možete napisati 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Ili a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

A niz samo odvojeno uzetih stupnjeva imat će oblik:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Korijen stupnja može se izraziti s više od jednog slova.

Dakle, aa.aa ili (aa) 2 je drugi stepen aa.
A aa.aa.aa ili (aa) 3 je treći stepen aa.

Svi stupnjevi broja 1 su isti: 1.1 ili 1.1.1. bit će jednak 1.

Eksponencijacija je pronalaženje vrijednosti bilo kojeg broja množenjem tog broja samim sobom. Pravilo eksponencijalnosti:

Pomnožite vrijednost sa sobom onoliko puta koliko je navedeno u potenciji broja.

Ovo je pravilo zajedničko za sve primjere koji mogu nastati u procesu eksponencijaliranja. Ali bit će ispravno objasniti kako se to odnosi na pojedine slučajeve.

Ako je samo jedan član podignut na stepen, onda se on sam po sebi množi onoliko puta koliko pokazuje eksponent.

Četvrti stepen a je 4 ili aaaa. (čl. 195.)
Šesti stepen y je y 6 ili yyyyyy.
N-ti stepen x je x n ili xxx..... n puta ponovljeno.

Ako je potrebno izraz od više pojmova podići na stepen, načelo da stupanj umnoška više faktora jednak je umnošku tih čimbenika podignutih na stepen.

Dakle (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Ali ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Dakle, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Stoga, u pronalaženju stupnja proizvoda, možemo djelovati na cijeli proizvod odjednom, ili možemo operirati sa svakim faktorom zasebno, a zatim množiti njihove vrijednosti sa stupnjevima.

Primjer 1. Četvrti stepen dhy je (dhy) 4 ili d 4 h 4 y 4 .

Primjer 2. Treći stepen od 4b je (4b) 3 , ili 4 3 b 3 , ili 64b 3 .

Primjer 3. n-ti stepen od 6ad je (6ad) n ili 6 n a n d n .

Primjer 4. Treći stepen od 3m.2y je (3m.2y) 3 , odnosno 27m 3 .8y 3 .

Stupanj binoma, koji se sastoji od članova povezanih s + i -, izračunava se množenjem njegovih članova. Da,

(a + b) 1 = a + b, prvi stepen.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , drugi stepen (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, treći stupanj.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, četvrti stupanj.

Kvadrat a - b, postoji 2 - 2ab + b 2 .

Kvadrat a + b + h je a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Vježba 1. Pronađite kocku a + 2d + 3

Vježba 2. Pronađite četvrti stepen b + 2.

Vježba 3. Pronađite peti stepen od x + 1.

Vježba 4. Pronađite šesti stupanj 1 - b.

Zbroj kvadrata iznosi i razlika binomi su toliko česti u algebri da ih je potrebno jako dobro poznavati.

Ako pomnožimo a + h po sebi, ili a - h po sebi,
dobivamo: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 također, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

To pokazuje da su u svakom slučaju prvi i zadnji član kvadrati a i h, a srednji član dvostruko je umnožak a i h. Dakle, kvadrat zbroja i razlike binoma može se pronaći pomoću sljedećeg pravila.

Kvadrat binoma čija su oba člana pozitivna jednak je kvadratu prvog člana + dvostrukom umnošku oba člana, + kvadratu posljednjeg člana.

Kvadrat razlika binom je jednak kvadratu prvog člana minus dvostruki umnožak oba člana plus kvadrat drugog člana.

Primjer 1. Kvadrat 2a + b, ima 4a 2 + 4ab + b 2 .

Primjer 2. Kvadrat ab + cd je a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Primjer 3. Kvadrat 3d - h je 9d 2 + 6dh + h 2 .

Primjer 4. Kvadrat a - 1 je a 2 - 2a + 1.

Za metodu za pronalaženje viših potencija binoma, pogledajte sljedeće odjeljke.

U mnogim je slučajevima učinkovito pisati stupanj nema množenja.

Dakle, kvadrat a + b je (a + b) 2 .
N-ti stepen bc + 8 + x je (bc + 8 + x) n

U takvim slučajevima, zagrade pokrivaju svičlanovi pod diplomom.

Ali ako se korijen stupnja sastoji od nekoliko množitelji, zagrade mogu pokrivati ​​cijeli izraz ili se mogu primijeniti zasebno na faktore, ovisno o praktičnosti.

Dakle, kvadrat (a + b)(c + d) je ili [(a + b).(c + d)] 2 ili (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Za prvi od ovih izraza rezultat je kvadrat umnoška dvaju faktora, a za drugi umnožak njihovih kvadrata. Ali oni su međusobno jednaki.

Kocka a.(b + d), je 3 ili a 3 .(b + d) 3.

Također je potrebno voditi računa o znaku ispred uključenih članova. Vrlo je važno zapamtiti da kada je korijen moći pozitivan, sve su njezine pozitivne moći također pozitivne. Ali kada je korijen negativan, vrijednosti iz neparan snage su negativne, dok su vrijednosti čak stupnjevi su pozitivni.

Drugi stepen (- a) je +a 2
Treći stupanj (-a) je -a 3
Četvrti stepen (-a) je +a 4
Peta potencija (-a) je -a 5

Stoga bilo koji neparan eksponent ima isti predznak kao i broj. Ali čak stupanj je pozitivan, bez obzira na to ima li broj negativan ili pozitivan predznak.
Dakle, +a.+a = +a 2
I -a.-a = +a 2

Vrijednost koja je već podignuta na stepen ponovno se diže na stepen množenjem eksponenata.

Treći stepen od 2 je a 2,3 = a 6.

Za a 2 = aa; kocka aa je aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; što je šesti stepen a, ali treći stepen a 2 .

Četvrti stepen a 3 b 2 je a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Treći stepen od 4a 2 x je 64a 6 x 3 .

Peti stepen (a + b) 2 je (a + b) 10 .

N-ti stepen od 3 je 3n

N-ti stepen (x - y) m je (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Pravilo se jednako odnosi na negativan stupnjeva.

Primjer 1. Treći stepen a -2 je a -3,3 =a -6 .

Za a -2 = 1/aa, i treći stepen ovoga
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Četvrti stepen a 2 b -3 je a 8 b -12 ili a 8 / b 12 .

Kvadrat b 3 x -1 je b 6 x -2 .

N-ti stepen os -m je x -mn ili 1/x .

Međutim, ovdje se mora imati na umu da ako je znak prethodni stupanj je "-", tada ga treba promijeniti u "+" kad god je stupanj paran broj.

Primjer 1. Kvadrat -a 3 je +a 6 . Kvadrat od -a 3 je -a 3 .-a 3 , što je, prema pravilima znakova množenja, +a 6 .

2. Ali kocka -a 3 je -a 9 . Za -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-ti stepen -a 3 je a 3n .

Ovdje rezultat može biti pozitivan ili negativan ovisno o tome je li n paran ili neparan.

Ako je a frakcija podignuti na stepen, brojnik i nazivnik se dižu na stepen.

Kvadrat a/b je a 2 /b 2 . Prema pravilu množenja razlomaka,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Drugi, treći i n-ti stepen 1/a su 1/a 2 , 1/a 3 i 1/a n .

Primjeri binomi gdje je jedan od pojmova razlomak.

1. Pronađite kvadrat x + 1/2 i x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Kvadrat a + 2/3 je a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Kvadrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Kvadrat x - b/m je x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Ranije se pokazalo da frakcijski koeficijent može se premjestiti od brojnika do nazivnika ili od nazivnika do brojnika. Koristeći shemu zapisivanja inverznih potencija, može se vidjeti da bilo koji množitelj također se može pomicati ako se promijeni predznak stupnja.

Dakle, u razlomku ax -2 /y, možemo premjestiti x iz brojnika u nazivnik.
Tada je ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

U razlomku a/by 3 možemo premjestiti y iz nazivnika u brojnik.
Tada je a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Na isti način možemo premjestiti faktor koji ima pozitivan eksponent na brojnik, ili faktor s negativnim eksponentom na nazivnik.

Dakle, ax 3 / b = a / bx -3 . Za x 3 inverz je x -3 , što je x 3 = 1/x -3 .

Stoga se nazivnik bilo kojeg razlomka može potpuno ukloniti, ili se brojnik može svesti na jedan bez promjene značenja izraza.

Dakle, a/b = 1/ba -1 , ili ab -1 .

Eksponencijacija je operacija usko povezana s množenjem, ova operacija je rezultat višestrukog množenja broja sam po sebi. Predstavimo formulu: a1 * a2 * ... * an = an.

Na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Općenito, eksponencijacija se često koristi u raznim formulama u matematici i fizici. Ova funkcija ima više znanstvenu svrhu od četiri osnovne: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje.

Dizanje broja na stepen

Podići broj na stepen nije teška operacija. Povezan je s množenjem poput odnosa između množenja i zbrajanja. Zapis an - kratki zapis n-tog broja brojeva "a" međusobno pomnoženih.

Razmotrimo eksponiranje na najjednostavnijim primjerima, prelazeći na složene.

Na primjer, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Četiri na kvadrat (na drugi stepen) jednako je šesnaest. Ako ne razumijete množenje 4 * 4, pročitajte naš članak o množenju.

Pogledajmo još jedan primjer: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pet kockica (na treći stepen) jednako je sto dvadeset i pet.

Drugi primjer: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devet kockica jednako je sedam stotina dvadeset i devet.

Formule eksponencijacije

Da biste ispravno podigli na stepen, morate zapamtiti i znati formule u nastavku. U tome nema ništa izvan prirodnog, glavna stvar je razumjeti suštinu i tada će se ne samo zapamtiti, već će se i činiti lakim.

Podizanje monoma na stepen

Što je monom? Ovo je proizvod brojeva i varijabli u bilo kojoj količini. Na primjer, dva je monom. A ovaj članak govori o podizanju takvih monoma na stepen.

Koristeći formule za eksponiranje, neće biti teško izračunati eksponencijaciju monoma na stepen.

Na primjer, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ako povisite monom na stepen, onda se svaka komponenta monoma diže na stepen.

Prilikom podizanja varijable koja već ima stupanj na stepen, stupnjevi se množe. Na primjer, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Podizanje na negativnu potenciju

Negativan eksponent je recipročan broj. Što je recipročno? Za bilo koji broj X, recipročna vrijednost je 1/X. To je X-1=1/X. Ovo je bit negativnog stupnja.

Razmotrimo primjer (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Zašto je to? Budući da u stupnju postoji minus, ovaj izraz jednostavno prenosimo na nazivnik, a zatim ga dižemo na treći stepen. Taman?

Povećanje na razlomak

Počnimo s konkretnim primjerom. 43/2. Što znači snaga 3/2? 3 - brojnik, znači podizanje broja (u ovom slučaju 4) na kocku. Broj 2 je nazivnik, ovo je ekstrakcija drugog korijena broja (u ovom slučaju 4).

Tada dobivamo kvadratni korijen od 43 = 2^3 = 8 . Odgovor: 8.

Dakle, nazivnik razlomka može biti ili 3 ili 4, i do beskonačnosti bilo koji broj, a ovaj broj određuje stupanj kvadratnog korijena izvučen iz danog broja. Naravno, nazivnik ne može biti nula.

Podizanje korijena u moć

Ako se korijen podiže na potenciju jednaku moći samog korijena, onda je odgovor radikalni izraz. Na primjer, (√x)2 = x. I tako u svakom slučaju jednakosti stupnja korijena i stupnja podizanja korijena.

Ako je (√x)^4. Tada je (√x)^4=x^2. Da bismo provjerili rješenje, izraz prevodimo u izraz s razlomkom. Budući da je korijen kvadrat, nazivnik je 2. A ako se korijen podigne na četvrti stepen, brojnik je 4. Dobivamo 4/2=2. Odgovor: x = 2.

U svakom slučaju, najbolja opcija je jednostavno pretvoriti izraz u razlomak eksponenta. Ako se razlomak ne smanji, onda će takav odgovor biti, pod uvjetom da korijen zadanog broja nije dodijeljen.

Eksponencijacija kompleksnog broja

Što je kompleksan broj? Kompleksni broj je izraz koji ima formulu a + b * i; a, b su realni brojevi. i je broj koji, kada se kvadrira, daje broj -1.

Razmotrimo primjer. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Prijavite se na tečaj "Ubrzajte mentalno brojanje, a NE mentalnu aritmetiku" kako biste naučili kako brzo i ispravno zbrajati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadrirati brojeve, pa čak i puštati korijene. Za 30 dana naučit ćete se koristiti jednostavnim trikovima za pojednostavljenje aritmetičkih operacija. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.

Eksponencijacija online

Uz pomoć našeg kalkulatora možete izračunati eksponencijaciju broja na stepen:

Eksponencijalni stupanj 7

Uzdizanje do moći školarcima počinje prolaziti tek u sedmom razredu.

Eksponencijacija je operacija usko povezana s množenjem, ova operacija je rezultat višestrukog množenja broja sam po sebi. Predstavimo formulu: a1 * a2 * … * an=an .

Na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Primjeri rješenja:

Prezentacija eksponencijalnosti

Prezentacija o stepenovanju, namijenjena učenicima sedmog razreda. Prezentacija može razjasniti neke nerazumljive točke, ali takvih točaka vjerojatno neće biti zahvaljujući našem članku.

Ishod

Uzeli smo u obzir samo vrh ledenog brijega, kako bismo bolje razumjeli matematiku - prijavite se na naš tečaj: Ubrzajte mentalno brojanje - NE mentalnu aritmetiku.

Iz tečaja nećete samo naučiti desetke trikova za pojednostavljeno i brzo množenje, zbrajanje, množenje, dijeljenje, računanje postotaka, već ćete ih i razraditi u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalno brojanje također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju u rješavanju zanimljivih problema.

U nastavku razgovora o stupnju nekog broja, logično je pozabaviti se pronalaženjem vrijednosti stupnja. Ovaj proces je imenovan eksponencijalnost. U ovom članku ćemo samo proučiti kako se izvodi eksponencijalnost, dok ćemo se dotaknuti svih mogućih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. I po tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera podizanja brojeva na različite stupnjeve.

Navigacija po stranici.

Što znači "eksponencijal"?

Počnimo s objašnjenjem što se naziva eksponencijaliranje. Ovdje je relevantna definicija.

Definicija.

Eksponencijaliranje je pronaći vrijednost potencije broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti stupnja a s eksponentom r i podizanje broja a na stepen r je ista stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost potencije (0,5) 5", onda se može preformulirati na sljedeći način: "Podigni broj 0,5 na stepen 5".

Sada možete ići izravno na pravila po kojima se izvodi eksponencijacija.

Podizanje broja na prirodni stepen

U praksi se jednakost na temelju obično primjenjuje u obliku . Odnosno, kada se broj a podiže na razlomak m / n, prvo se izdvaja korijen n-tog stupnja iz broja a, nakon čega se rezultat podiže na cjelobrojni stepen m.

Razmotrimo rješenja za primjere dizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stupnja.

Odluka.

Prikazujemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stupnja s razlomkom eksponenta. Izračunavamo vrijednost stupnja pod znakom korijena, nakon čega izvlačimo kockasti korijen: .

Drugi način. Po definiciji stupnja s razlomnim eksponentom i na temelju svojstava korijena, jednakosti su istinite . Sada izvadite korijen Konačno, dižemo na cijeli broj .

Očito se dobiveni rezultati dizanja na razlomak stepena podudaraju.

Odgovor:

Imajte na umu da se razlomak eksponenta može napisati kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, u tim slučajevima ga treba zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, a zatim izvesti eksponencijaciju.

Primjer.

Izračunaj (44,89) 2,5 .

Odluka.

Eksponent pišemo u obliku običnog razlomka (ako je potrebno, pogledajte članak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

Odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Također treba reći da je podizanje brojeva na racionalne stupnjeve prilično naporan proces (osobito kada su brojnik i nazivnik razlomka eksponenta prilično veliki brojevi), koji se obično provodi pomoću računalne tehnologije.

U zaključku ovog paragrafa zadržat ćemo se na konstrukciji broja nula na razlomak. Razlomkom stupnju nule oblika dali smo sljedeće značenje: jer imamo , dok nula na stepen m/n nije definirana. Dakle, nula do pozitivnog razlomka je nula, na primjer, . I nula u razlomku negativnog stepena nema smisla, na primjer, izrazi i 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu moć

Ponekad postaje potrebno saznati vrijednost stupnja broja s iracionalnim eksponentom. U ovom slučaju, u praktične svrhe, obično je dovoljno dobiti vrijednost stupnja do određenog predznaka. Odmah napominjemo da se u praksi ova vrijednost izračunava pomoću elektroničke računalne tehnologije, budući da ručno podizanje na iracionalnu snagu zahtijeva veliki broj glomaznih izračuna. Ali ipak ćemo općenitim riječima opisati bit radnji.

Da bi se dobila približna vrijednost eksponenta a s iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava se vrijednost eksponenta. Ova vrijednost je približna vrijednost stupnja broja a s iracionalnim eksponentom. Što je točnija decimalna aproksimacija broja na početku, to će vrijednost stupnja biti točnija na kraju.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost snage 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalnog pokazatelja: . Sada povisimo 2 na racionalni stepen 1,17 (opisali smo bit ovog procesa u prethodnom odlomku), dobivamo 2 1,17 ≈ 2,250116. Tako, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako uzmemo točniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, na primjer, , tada ćemo dobiti točniju vrijednost izvornog stupnja: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike Zh za 5 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9 ćelija. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10.-11. razred općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola).