Kosinusni omjer. Što je sinus i kosinus

Centrirano u točki A.
α je kut izražen u radijanima.

Definicija
Sinus je trigonometrijska funkcija ovisno o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine suprotnog kraka |BC| na duljinu hipotenuze |AC|.

kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija ovisno o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu hipotenuze |AC|.

Prihvaćene oznake

;
;
.

;
;
.

Grafikon funkcije sinusa, y = sin x

Grafikon kosinusne funkcije, y = cos x

Svojstva sinusa i kosinusa

Periodičnost

Funkcije y= grijeh x i y= cos x periodično s točkom 2 pi.

Paritet

Funkcija sinusa je neparna. Kosinusna funkcija je parna.

Područje definicije i vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

Funkcije sinus i kosinus su kontinuirane u svojoj domeni definicije, odnosno za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tablici (n - cijeli broj).

	y= grijeh x	y= cos x
Opseg i kontinuitet	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Raspon vrijednosti	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Uzlazni
Silazni
Maksimumi, y= 1
Minimum, y = - 1
Nule, y= 0
Točke presjeka s y-osi, x = 0	y= 0	y= 1

Osnovne formule

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa

Sinusne i kosinusne formule za zbroj i razliku

;
;

Formule za umnožak sinusa i kosinusa

Formule zbroja i razlike

Izraz sinusa kroz kosinus

;
;
;
.

Izraz kosinusa kroz sinus

;
;
;
.

Izraz u terminima tangente

; .

Za, imamo:
; .

u:
; .

Tablica sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa

Ova tablica prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za neke vrijednosti argumenta.

Izrazi kroz kompleksne varijable

;

Eulerova formula

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; . Izvođenje formula > > >

Derivati ​​n-tog reda:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije na sinus i kosinus su arksinus, odnosno arkkosinus.

Arcsin, arcsin

Arkosinus, arccos

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokih učilišta, Lan, 2009.

U ovom članku ćemo pokazati kako definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta i broja u trigonometriji. Ovdje ćemo govoriti o notaciji, navesti primjere zapisa, dati grafičke ilustracije. Zaključno, povlačimo paralelu između definicija sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u trigonometriji i geometriji.

Navigacija po stranici.

Definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Pratimo kako se u školskom kolegiju matematike formira pojam sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa. U nastavi geometrije daje se definicija sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu. A kasnije se proučava trigonometrija koja se odnosi na sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta rotacije i broja. Dajemo sve ove definicije, dajemo primjere i dajemo potrebne komentare.

Oštar kut u pravokutnom trokutu

Iz kolegija geometrije poznate su definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu. Oni su dati kao omjer stranica pravokutnog trokuta. Predstavljamo njihove formulacije.

Definicija.

Sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i hipotenuze.

Definicija.

Kosinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Definicija.

Tangenta oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotne noge i susjedne noge.

Definicija.

Kotangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjedne noge i suprotne noge.

Tu je također uvedena oznaka sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa - sin, cos, tg i ctg.

Na primjer, ako je ABC pravokutni trokut s pravim kutom C, tada je sinus oštrog kuta A jednak omjeru suprotnog kraka BC i hipotenuze AB, odnosno sin∠A=BC/AB.

Ove definicije omogućuju izračunavanje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta iz poznatih duljina stranica pravokutnog trokuta, kao i iz poznate vrijednosti sinus, kosinus, tangenta, kotangens i duljinu jedne od stranica da se pronađu duljine ostalih strana. Na primjer, kada bismo znali da je u pravokutnom trokutu krak AC 3, a hipotenuza AB 7, tada bismo mogli izračunati kosinus oštrog kuta A po definiciji: cos∠A=AC/AB=3/7.

Kut rotacije

U trigonometriji počinju šire gledati na kut – uvode pojam kuta rotacije. Kut rotacije, za razliku od oštrog kuta, nije ograničen na okvire od 0 do 90 stupnjeva, kut rotacije u stupnjevima (i u radijanima) može se izraziti bilo kojim realnim brojem od −∞ do +∞.

U tom svjetlu, definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa više nisu akutni kut, već kut proizvoljne veličine – kut rotacije. Zadane su kroz x i y koordinate točke A 1 , u koju prolazi tzv. početna točka A(1, 0) nakon što se zarotira za kut α oko točke O - početka pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava i središte jedinične kružnice.

Definicija.

Sinus kuta rotacijeα je ordinata točke A 1 , odnosno sinα=y .

Definicija.

kosinus kuta rotacijeα naziva se apscisa točke A 1 , odnosno cosα=x .

Definicija.

Tangent kuta rotacijeα je omjer ordinate točke A 1 i njezine apscise, odnosno tgα=y/x .

Definicija.

Kotangens kuta rotacijeα je omjer apscise točke A 1 i njezine ordinate, odnosno ctgα=x/y .

Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut α, budući da uvijek možemo odrediti apscisu i ordinatu točke koja se dobiva rotacijom početne točke za kut α. A tangenta i kotangens nisu definirani ni za jedan kut. Tangenta nije definirana za takve kutove α u kojima početna točka ide u točku s nultom apscisom (0, 1) ili (0, −1) , a to se događa pod kutovima 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Doista, pri takvim kutovima rotacije izraz tgα=y/x nema smisla, budući da sadrži dijeljenje s nulom. Što se tiče kotangensa, on nije definiran za takve kutove α pri kojima početna točka ide u točku s nultom ordinatom (1, 0) ili (−1, 0) , a to je slučaj za kutove 180° k , k ∈Z (π k rad).

Dakle, sinus i kosinus su definirani za sve kutove rotacije, tangenta je definirana za sve kutove osim 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), a kotangens je za sve kutove osim 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Oznake koje su nam već poznate pojavljuju se u definicijama sin, cos, tg i ctg, također se koriste za označavanje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije (ponekad možete pronaći zapis tan i cot koji odgovara tangenti i kotangens). Dakle, sinus kuta rotacije od 30 stupnjeva može se zapisati kao sin30°, zapisi tg(−24°17′) i ctgα odgovaraju tangentu kuta rotacije −24 stupnja 17 minuta i kotangensu kuta rotacije α . Podsjetimo da se prilikom pisanja radijanske mjere kuta često izostavlja oznaka "rad". Na primjer, kosinus kuta rotacije od tri pi rada obično se označava cos3 π .

U zaključku ovog odlomka, vrijedno je napomenuti da se u govoru o sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu kuta rotacije često izostavlja izraz "kut rotacije" ili riječ "rotacija". Odnosno, umjesto izraza "sinus kuta rotacije alfa" obično se koristi izraz "sinus kuta alfa", ili još kraće - "sinus alfa". Isto vrijedi i za kosinus, i tangentu i kotangens.

Recimo i da su definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu u skladu s definicijama upravo danim za sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta rotacije u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. To ćemo potkrijepiti.

Brojevi

Definicija.

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t se zove broj, jednaka sinusu, kosinus, tangent i kotangens kuta rotacije u t radijanima.

Na primjer, kosinus od 8 π je, po definiciji, broj jednak kosinusu kuta od 8 π rad. A kosinus kuta je 8 π rad jednako jednom, dakle, kosinus broja 8 π jednak je 1 .

Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Sastoji se u tome da svaki pravi broj t je dodijeljen točki na jediničnoj kružnici sa središtem na ishodištu pravokutnog koordinatnog sustava, a sinus, kosinus, tangenta i kotangens definirani su u smislu koordinata ove točke. Zaustavimo se na ovome detaljnije.

Pokažimo kako se uspostavlja korespondencija između realnih brojeva i točaka kružnice:

• broju 0 ​​dodjeljuje se početna točka A(1, 0) ;
• pozitivan broj t pridružuje se točki na jediničnoj kružnici, do koje ćemo doći ako se krećemo oko kružnice od početne točke u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prođemo put duljine t;
• negativan broj t pridružuje se točki na jediničnoj kružnici, do koje ćemo doći ako se pomičemo po kružnici od početne točke u smjeru kazaljke na satu i prođemo put duljine |t| .

Prijeđimo sada na definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja t. Pretpostavimo da broj t odgovara točki kružnice A 1 (x, y) (na primjer, broj &pi/2; odgovara točki A 1 (0, 1) ).

Definicija.

Sinus broja t je ordinata točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno sint=y.

Definicija.

Kosinus broja t se naziva apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno trošak=x.

Definicija.

Tangent broja t je omjer ordinate i apscise točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno tgt=y/x. U drugoj ekvivalentnoj formulaciji, tangent broja t je omjer sinusa ovog broja i kosinusa, to jest, tgt=sint/cost .

Definicija.

Kotangens broja t je omjer apscise i ordinate točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno ctgt=x/y. Druga formulacija je sljedeća: tangent broja t je omjer kosinusa broja t i sinusa broja t : ctgt=cost/sint .

Ovdje napominjemo da se upravo navedene definicije slažu s definicijom danom na početku ovog pododjeljka. Doista, točka jedinične kružnice koja odgovara broju t podudara se s točkom dobivenom rotacijom početne točke kroz kut od t radijana.

Također je vrijedno pojasniti ovu točku. Recimo da imamo sin3 unos. Kako razumjeti je li u pitanju sinus broja 3 ili sinus kuta rotacije od 3 radijana? To je obično jasno iz konteksta, inače vjerojatno nije važno.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Prema definicijama danim u prethodnom odlomku, svakom kutu rotacije α potpuno odgovara određenu vrijednost sinα , kao i vrijednost cosα . Osim toga, svi kutovi rotacije osim 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) odgovaraju vrijednostima tgα, a osim 180° k, k∈Z (π k rad) su vrijednosti ctgα . Stoga su sinα, cosα, tgα i ctgα funkcije kuta α. Drugim riječima, to su funkcije kutnog argumenta.

Slično, možemo govoriti o funkcijama sinus, kosinus, tangent i kotangens numeričkog argumenta. Doista, svaki realni broj t odgovara dobro definiranoj vrijednosti sint , kao i trošku . Osim toga, svi brojevi osim π/2+π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima tgt, a brojevi π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima ctgt.

Funkcije sinus, kosinus, tangent i kotangens se nazivaju osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno da imamo posla s trigonometrijskim funkcijama kutnog argumenta ili numeričkog argumenta. Inače, nezavisnu varijablu možemo smatrati i mjerom kuta (argument kuta) i numeričkim argumentom.

No, škola uglavnom proučava numeričke funkcije, odnosno funkcije čiji su argumenti, kao i odgovarajuće vrijednosti funkcije, brojevi. Stoga, ako pričamo posebno o funkcijama, svrsishodno je razmotriti trigonometrijske funkcije kao funkcije brojčanih argumenata.

Povezivanje definicija iz geometrije i trigonometrije

Ako uzmemo u obzir kut rotacije α od 0 do 90 stupnjeva, tada su podaci u kontekstu trigonometrije definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije u potpunosti u skladu s definicijama sinusa, kosinusa , tangenta i kotangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu, koji su dati u tečaju geometrije. Potkrijepimo ovo.

Nacrtajte jediničnu kružnicu u pravokutnom Dekartovom koordinatnom sustavu Oxy. Zabilježite početnu točku A(1, 0) . Zarotirajmo ga za kut α u rasponu od 0 do 90 stupnjeva, dobit ćemo točku A 1 (x, y) . Ispustimo okomicu A 1 H iz točke A 1 na os Ox.

Lako je vidjeti da je u pravokutnom trokutu kut A 1 OH jednak kutu rotacije α, duljina kraka OH koja je susjedna ovom kutu jednaka je apscisi točke A 1, odnosno |OH | |=x, duljina kraka A 1 H nasuprot kuta jednaka je ordinati točke A 1 , odnosno |A 1 H|=y , a duljina hipotenuze OA 1 jednaka je jedan , budući da je to polumjer jedinične kružnice. Tada je, prema definiciji iz geometrije, sinus oštrog kuta α u pravokutnom trokutu A 1 OH jednak omjeru suprotne katete i hipotenuze, odnosno sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . A po definiciji iz trigonometrije, sinus kuta rotacije α jednak je ordinati točke A 1, odnosno sinα=y. To pokazuje da je definicija sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu ekvivalentna definiciji sinusa kuta rotacije α za α od 0 do 90 stupnjeva.

Slično, može se pokazati da su definicije kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta α u skladu s definicijama kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije α.

Bibliografija.

1. Geometrija. 7-9 razreda: studije. za opće obrazovanje institucije / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev i drugi]. - 20. izd. M.: Obrazovanje, 2010. - 384 str.: ilustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrija: Proc. za 7-9 ćelija. opće obrazovanje ustanove / A. V. Pogorelov. - 2. izd. - M.: Prosvjeta, 2001. - 224 str.: ilustr. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra i elementarne funkcije: Vodič za učenike 9. razreda Srednja škola/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Uredio doktor fizikalno-matematičkih znanosti O. N. Golovin - 4. izd. Moskva: Prosveta, 1969.
4. Algebra: Proc. za 9 ćelija. prosječno škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjeta, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra i počeci analize. 10. razred. U 2 str. Poglavlje 1: vodič za obrazovne ustanove(profilna razina) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. izd., dodaj. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra i početi matematička analiza. 10. razred: udžbenik. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; izd. A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - I .: Prosvjeta, 2010. - 368 str.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Zbornik. za 10-11 ćelija. prosječno škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.

Ovaj članak je prikupio tablice sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Prvo dajemo tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija, odnosno tablicu sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kutova 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stupnjeva ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radijan). Nakon toga dat ćemo tablicu sinusa i kosinusa, kao i tablicu tangenta i kotangensa V. M. Bradisa, te pokazati kako koristiti ove tablice pri pronalaženju vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Navigacija po stranici.

Tablica sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za kutove 0, 30, 45, 60, 90, ... stupnjeva

Bibliografija.

• Algebra: Proc. za 9 ćelija. prosječno škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjeta, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Zbornik. za 10-11 ćelija. prosječno škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.
• Bradis V. M.Četveroznamenkaste matematičke tablice: Za opće obrazovanje. udžbenik ustanove. - 2. izd. - M.: Drfa, 1999.- 96 str.: ilustr. ISBN 5-7107-2667-2

Jedna od grana matematike s kojom se školarci nose s najvećim poteškoćama je trigonometrija. Nije ni čudo: da biste slobodno svladali ovo područje znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa pomoću formula, pojednostavljenja izraza i mogućnosti korištenja broja pi u izračunima. Osim toga, morate znati primijeniti trigonometriju pri dokazivanju teorema, a to zahtijeva ili razvijenu matematičku memoriju ili sposobnost zaključivanja složenih logičkih lanaca.

Počeci trigonometrije

Upoznavanje s ovom znanošću trebalo bi započeti s definicijom sinusa, kosinusa i tangenta kuta, ali prvo morate shvatiti što trigonometrija uopće radi.

Povijesno gledano, pravokutni trokuti su bili glavni predmet proučavanja u ovom dijelu matematičke znanosti. Prisutnost kuta od 90 stupnjeva omogućuje izvođenje različitih operacija koje omogućuju određivanje vrijednosti svih parametara figure koja se razmatra koristeći dvije strane i jedan kut ili dva kuta i jednu stranu. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj obrazac i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak i umjetnosti.

Prva razina

U početku su ljudi govorili o odnosu kutova i stranica isključivo na primjeru pravokutnih trokuta. Tada su otkrivene posebne formule koje su omogućile proširenje granica upotrebe u Svakidašnjica ovu granu matematike.

Proučavanje trigonometrije u školi danas počinje s pravokutnim trokutima, nakon čega stečeno znanje učenici koriste u fizici i rješavanju apstraktnih zadataka. trigonometrijske jednadžbe, rad s kojim počinje u srednjoj školi.

Sferna trigonometrija

Kasnije, kada je znanost dostigla sljedeću razinu razvoja, formule sa sinusom, kosinusom, tangentom, kotangensom počele su se koristiti u sfernoj geometriji, gdje vrijede različita pravila, a zbroj kutova u trokutu je uvijek veći od 180 stupnjeva. Ovaj dio se ne proučava u školi, ali je potrebno znati o njegovom postojanju, barem zato što je površina Zemlje, kao i površina bilo kojeg drugog planeta, konveksna, što znači da će svaka oznaka površine biti u obliku luka u trodimenzionalni prostor.

Uzmi globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Obratite pažnju - dobio je oblik luka. Upravo se takvim oblicima bavi sferna geometrija, koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim područjima.

Pravokutni trokut

Nakon što smo malo naučili o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se na osnovnu trigonometriju kako bismo dalje razumjeli što su sinus, kosinus, tangenta, koji se izračuni mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.

Prvi korak je razumijevanje pojmova vezanih uz pravokutni trokut. Prvo, hipotenuza je strana suprotna kutu od 90 stupnjeva. Ona je najduža. Sjećamo se da je, prema Pitagorinom teoremu, njegova brojčana vrijednost jednaka korijenu zbroja kvadrata druge dvije stranice.

Na primjer, ako su dvije stranice 3 i 4 centimetra, duljina hipotenuze bit će 5 centimetara. Inače, stari Egipćani su za to znali prije otprilike četiri i pol tisuće godina.

Dvije preostale stranice koje tvore pravi kut nazivaju se noge. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbroj kutova u trokutu u pravokutnom koordinatnom sustavu 180 stupnjeva.

Definicija

Konačno, uz solidno razumijevanje geometrijske baze, možemo se obratiti definiciji sinusa, kosinusa i tangenta kuta.

Sinus kuta je omjer suprotnog kraka (tj. strane nasuprot željenom kutu) i hipotenuze. Kosinus kuta je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedan! Zašto? Jer hipotenuza je po zadanom najduža. Bez obzira koliko je krak kraći, bit će kraći od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manji od jedan. Stoga, ako u odgovoru na problem dobijete sinus ili kosinus s vrijednošću većom od 1, potražite pogrešku u izračunima ili zaključivanju. Ovaj odgovor je očito pogrešan.

Konačno, tangenta kuta je omjer suprotne i susjedne strane. Isti rezultat će dati podjelu sinusa kosinusom. Gledajte: prema formuli duljinu stranice dijelimo s hipotenuzom, nakon čega dijelimo s duljinom druge stranice i množimo s hipotenuzom. Dakle, dobivamo isti omjer kao u definiciji tangente.

Kotangens, odnosno, omjer je strane susjedne kutu prema suprotnoj strani. Isti rezultat dobivamo dijeljenjem jedinice s tangentom.

Dakle, razmotrili smo definicije što su sinus, kosinus, tangent i kotangens i možemo se baviti formulama.

Najjednostavnije formule

U trigonometriji se ne može bez formula - kako bez njih pronaći sinus, kosinus, tangent, kotangens? A to je upravo ono što je potrebno pri rješavanju problema.

Prva formula koju trebate znati kada počnete učiti trigonometriju kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa kuta jednak jedan. Ova formula je izravna posljedica Pitagorinog teorema, ali štedi vrijeme ako želite znati vrijednost kuta, a ne stranice.

Mnogi se učenici ne mogu sjetiti druge formule, koja je također vrlo popularna kod rješavanja školskih zadataka: zbroj jedinice i kvadrata tangente kuta jednak je jedan podijeljen s kvadratom kosinusa kuta. Pogledajte pobliže: uostalom, ovo je ista izjava kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene kvadratom kosinusa. Pokazalo se da jednostavna matematička operacija radi trigonometrijska formula potpuno neprepoznatljiv. Zapamtite: znajući što je sinus, kosinus, tangenta i kotangens, pravila pretvorbe i nekoliko osnovnih formula, možete u bilo kojem trenutku sami izvesti potrebne više složene formule na komadu papira.

Formule dvostrukog kuta i zbrajanje argumenata

Još dvije formule koje trebate naučiti odnose se na vrijednosti sinusa i kosinusa zbroja i razlike kutova. Oni su prikazani na donjoj slici. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom se zbraja umnožak u paru sinusa i kosinusa.

Postoje i formule povezane s argumentima u obrascu dvostruki kut. Oni su u potpunosti izvedeni iz prethodnih - kao praksa, pokušajte ih nabaviti sami, uzimajući kut alfa jednak kutu beta.

Konačno, imajte na umu da se formule dvostrukog kuta mogu pretvoriti u niži stupanj sinusa, kosinusa, tangenta alfa.

Teoremi

Dva glavna teorema u osnovnoj trigonometriji su sinusni teorem i kosinusni teorem. Uz pomoć ovih teorema možete lako razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangentu, a time i površinu lika, veličinu svake strane itd.

Teorem sinusa kaže da kao rezultat dijeljenja duljine svake od stranica trokuta s vrijednošću suprotnog kuta, dobivamo isti broj. Štoviše, ovaj će broj biti jednak dvama polumjerima opisane kružnice, odnosno kružnice koja sadrži sve točke zadanog trokuta.

Kosinusni teorem generalizira Pitagorin teorem, projicira ga na bilo koji trokut. Ispada da od zbroja kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod, pomnožen s dvostrukim kosinusom kuta koji se nalazi uz njih - rezultirajuća vrijednost bit će jednaka kvadratu treće strane. Tako se ispostavlja da je Pitagorin teorem poseban slučaj kosinusnog teorema.

Greške zbog nepažnje

Čak i znajući što su sinus, kosinus i tangenta, lako je pogriješiti zbog rasejanosti ili pogreške u najjednostavnijim izračunima. Kako bismo izbjegli takve pogreške, upoznajmo se s najpopularnijim od njih.

Prvo, ne biste trebali pretvarati obične razlomke u decimale dok se ne dobije konačni rezultat - odgovor možete ostaviti u obliku obični razlomak osim ako uvjet ne navodi drugačije. Takva se transformacija ne može nazvati pogreškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi zadatka mogu pojaviti novi korijeni, koje bi, prema autorovoj zamisli, trebalo smanjiti. U tom slučaju gubit ćete vrijeme na nepotrebno matematičke operacije. To posebno vrijedi za vrijednosti kao što je korijen od tri ili dva, jer se pojavljuju u zadacima na svakom koraku. Isto vrijedi i za zaokruživanje "ružnih" brojeva.

Nadalje, imajte na umu da se kosinusni teorem primjenjuje na bilo koji trokut, ali ne i Pitagorin teorem! Ako greškom zaboravite dvaput oduzeti umnožak stranica pomnožen kosinusom kuta između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno pogrešan rezultat, već ćete pokazati i potpuno nerazumijevanje teme. Ovo je gore od neoprezne pogreške.

Treće, nemojte brkati vrijednosti za kutove od 30 i 60 stupnjeva za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus od 30 stupnjeva jednak kosinusu od 60, i obrnuto. Lako ih je pomiješati, zbog čega ćete neizbježno dobiti pogrešan rezultat.

Primjena

Mnogi studenti ne žure početi proučavati trigonometriju, jer ne razumiju njezino primijenjeno značenje. Što je sinus, kosinus, tangenta za inženjera ili astronoma? To su koncepti zahvaljujući kojima možete izračunati udaljenost do udaljenih zvijezda, predvidjeti pad meteorita, poslati istraživačku sondu na drugi planet. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, projektirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi posvuda, od glazbe do medicine.

Konačno

Dakle, vi ste sinus, kosinus, tangent. Možete ih koristiti u izračunima i uspješno rješavati školske probleme.

Cijela bit trigonometrije svodi se na to da se nepoznati parametri moraju izračunati iz poznatih parametara trokuta. Ukupno je šest parametara: duljine triju stranica i veličine triju kutova. Cijela razlika u zadacima leži u činjenici da su dati različiti ulazni podaci.

Kako pronaći sinus, kosinus, tangentu na temelju poznatih duljina kateta ili hipotenuze, sada znate. Budući da ti pojmovi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, glavni cilj trigonometrijskog problema je pronaći korijene obične jednadžbe ili sustava jednadžbi. I ovdje će vam pomoći obična školska matematika.

U početku su sinus i kosinus nastali zbog potrebe izračunavanja količina u pravokutnim trokutima. Primjećeno je da ako se vrijednost stupnjeve mjere kutova u pravokutnom trokutu ne mijenja, onda omjer stranica, ma koliko se te stranice mijenjale po duljini, uvijek ostaje isti.

Tako su uvedeni pojmovi sinusa i kosinusa. Sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i hipotenuze, a kosinus je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Teoremi kosinusa i sinusa

Ali kosinus i sinus se mogu koristiti ne samo u pravokutnim trokutima. Da biste pronašli vrijednost tupog ili oštrog kuta, stranice bilo kojeg trokuta, dovoljno je primijeniti teorem kosinusa i sinusa.

Kosinusni teorem je prilično jednostavan: "Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije strane umanjenom za dvostruki umnožak ovih stranica za kosinus kuta između njih."

Postoje dva tumačenja sinusnog teorema: mala i proširena. Prema malom: "U trokutu su kutovi proporcionalni suprotnim stranama." Ovaj se teorem često proširuje zbog svojstva opisane kružnice trokuta: "U trokutu su kutovi proporcionalni suprotnim stranama, a njihov je omjer jednak promjeru opisane kružnice."

Derivati

Derivat je matematički alat koji pokazuje koliko se brzo funkcija mijenja u odnosu na promjenu argumenta. Derivati ​​se koriste u geometriji, te u nizu tehničkih disciplina.

Prilikom rješavanja problema morate znati tablične vrijednosti derivacija trigonometrijskih funkcija: sinusa i kosinusa. Izvod sinusa je kosinus, a derivacija kosinusa je sinus, ali sa predznakom minus.

Primjena u matematici

Posebno često se sinusi i kosinusi koriste u rješavanju pravokutnih trokuta i problema povezanih s njima.

Pogodnost sinusa i kosinusa očituje se i u tehnologiji. Kutove i stranice bilo je lako procijeniti pomoću kosinusnih i sinusnih teorema, razbijajući složene oblike i objekte u "jednostavne" trokute. Inženjeri su i, često se baveći izračunima omjera i mjera stupnjeva, utrošili puno vremena i truda na izračunavanje kosinusa i sinusa netablijskih kutova.

Tada su u pomoć priskočile Bradisove tablice koje sadrže tisuće vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa različitim kutovima. U sovjetsko vrijeme neki su učitelji tjerali svoje štićenike da napamet pamte stranice Bradysovih tablica.

Radian - kutna vrijednost luka, duž duljine jednak polumjeru ili 57,295779513 stupnjeva.

Stupanj (u geometriji) - 1/360. dio kruga ili 1/90. dio pravi kut.

π = 3,141592653589793238462… (približna vrijednost pi).

Kosinus tablica za kutove: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Kut x (u stupnjevima)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Kut x (u radijanima)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1