Određivanje inverzne funkcije njezinih svojstava i graf. Međusobno inverzne funkcije

Neka skupovi $X$ i $Y$ budu uključeni u skup realnih brojeva. Uvedimo pojam inverzibilne funkcije.

Definicija 1

Funkcija $f:X\to Y$ koja preslikava skup $X$ u skup $Y$ naziva se inverzibilnom ako za bilo koji element $x_1,x_2\in X$ slijedi iz činjenice da je $x_1\ne x_2$ da $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Sada možemo uvesti pojam inverzne funkcije.

Definicija 2

Neka je funkcija $f:X\to Y$ koja preslikava skup $X$ u skup $Y$ inverzibilna. Tada funkcija $f^(-1):Y\to X$ preslikava skup $Y$ u skup $X$ i definira je uvjetom $f^(-1)\left(y\right)=x$ naziva se inverzno za $f( x)$.

Formulirajmo teorem:

Teorem 1

Neka je definirana funkcija $y=f(x)$, monotono rastuća (opadajuća) i kontinuirana u nekom intervalu $X$. Zatim, u odgovarajućem intervalu $Y$ vrijednosti ove funkcije, ona ima inverznu funkciju, koja je također monotono rastuća (opadajuća) i kontinuirana na intervalu $Y$.

Uvedimo sada izravno pojam međusobno inverznih funkcija.

Definicija 3

U okviru definicije 2, funkcije $f(x)$ i $f^(-1)\left(y\right)$ nazivaju se međusobno inverzne funkcije.

Svojstva međusobno inverznih funkcija

Neka su funkcije $y=f(x)$ i $x=g(y)$ međusobno inverzne, tada

$y=f(g\lijevo(y\desno))$ i $x=g(f(x))$

Domena funkcije $y=f(x)$ jednaka je domeni vrijednosti funkcije $\ x=g(y)$. A domena funkcije $x=g(y)$ jednaka je domeni vrijednosti funkcije $\ y=f(x)$.

Grafovi funkcija $y=f(x)$ i $x=g(y)$ su simetrični u odnosu na ravnu liniju $y=x$.

Ako se jedna od funkcija povećava (smanjuje), onda se i druga funkcija povećava (smanjuje).

Pronalaženje inverzne funkcije

Riješena je jednadžba $y=f(x)$ s obzirom na varijablu $x$.

Iz dobivenih korijena nalaze se oni koji pripadaju intervalu $X$.

Pronađeni $x$ dodjeljuju se broju $y$.

Primjer 1

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=x^2$ na intervalu $X=[-1,0]$

Budući da je ova funkcija opadajuća i kontinuirana na intervalu $X$, onda je na intervalu $Y=$, koji je također opadajući i kontinuiran na ovom intervalu (Teorem 1).

Izračunaj $x$:

\ \

Odaberite odgovarajući $x$:

Odgovor: inverzna funkcija $y=-\sqrt(x)$.

Zadaci za pronalaženje inverznih funkcija

U ovom dijelu razmatramo inverzne funkcije za neke elementarne funkcije. Zadaci će se rješavati prema gore navedenoj shemi.

Primjer 2

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=x+4$

Pronađite $x$ iz jednadžbe $y=x+4$:

Primjer 3

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=x^3$

Odluka.

Budući da je funkcija rastuća i kontinuirana na cijeloj domeni definicije, prema teoremu 1, ona na sebi ima inverznu kontinuiranu i rastuću funkciju.

Pronađite $x$ iz jednadžbe $y=x^3$:

Pronalaženje odgovarajućih vrijednosti $x$

Vrijednost je u našem slučaju prikladna (budući da su opseg svi brojevi)

Redefiniranjem varijabli dobivamo da inverzna funkcija ima oblik

Primjer 4

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=cosx$ na intervalu $$

Odluka.

Razmotrimo funkciju $y=cosx$ na skupu $X=\left$. On je kontinuiran i opadajući na skupu $X$ i preslikava skup $X=\left$ na skup $Y=[-1,1]$, dakle, prema teoremu o postojanju inverzne kontinuirane monotone funkcije, funkcija $y=cosx$ u skupu $Y$ postoji inverzna funkcija, koja je također kontinuirana i raste u skupu $Y=[-1,1]$ i preslikava skup $[-1,1]$ na skup $\lijevo$.

Pronađite $x$ iz jednadžbe $y=cosx$:

Pronalaženje odgovarajućih vrijednosti $x$

Redefiniranjem varijabli dobivamo da inverzna funkcija ima oblik

Primjer 5

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=tgx$ na intervalu $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Odluka.

Razmotrimo funkciju $y=tgx$ na skupu $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. On je kontinuiran i raste na skupu $X$ i preslikava skup $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ na skup $Y =R$, dakle, prema teoremu o postojanju inverzne kontinuirane monotone funkcije, funkcija $y=tgx$ u skupu $Y$ ima inverznu funkciju, koja je također kontinuirana i raste u skupu $Y=R $ i preslikava skup $R$ na skup $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Pronađite $x$ iz jednadžbe $y=tgx$:

Pronalaženje odgovarajućih vrijednosti $x$

Redefiniranjem varijabli dobivamo da inverzna funkcija ima oblik

Što je inverzna funkcija? Kako pronaći funkciju inverznu od dane?

Definicija .

Neka je funkcija y=f(x) definirana na skupu D, a E skup njezinih vrijednosti. Inverzna funkcija u odnosu na funkcija y=f(x) je funkcija x=g(y), koja je definirana na skupu E i svakom y∈E dodjeljuje takvu vrijednost x∈D da je f(x)=y.

Dakle, domena funkcije y=f(x) je domena inverzne funkcije, a domena y=f(x) je domena inverzne funkcije.

Da bi se pronašla funkcija inverzna zadanoj funkciji y=f(x), potrebno je :

1) U formuli funkcije umjesto y zamijenite x umjesto x - y:

2) Iz rezultirajuće jednakosti izrazite y u terminima x:

Nađi funkciju inverznu funkciji y=2x-6.

Funkcije y=2x-6 i y=0,5x+3 međusobno su inverzne.

Grafovi izravnih i inverznih funkcija simetrični su u odnosu na izravni pravac y=x(simetrale I i III koordinatnih četvrti).

y=2x-6 i y=0,5x+3 - . Graf linearne funkcije je . Da bismo nacrtali ravnu liniju, uzimamo dvije točke.

Moguće je jednoznačno izraziti y u terminima x kada jednadžba x=f(y) ima jedinstveno rješenje. To se može učiniti ako funkcija y=f(x) uzima svaku od svojih vrijednosti u jednoj točki svoje domene definicije (takva se funkcija naziva reverzibilan).

Teorem (nužan i dovoljan uvjet da bi funkcija bila invertibilna)

Ako je funkcija y=f(x) definirana i kontinuirana na numeričkom intervalu, tada je za inverzibilnu funkciju potrebno i dovoljno da f(x) bude strogo monotona.

Štoviše, ako y=f(x) raste na intervalu, tada se funkcija inverzna njoj također povećava na tom intervalu; ako je y=f(x) opadajuća, tada je i inverzna funkcija opadajuća.

Ako uvjet reverzibilnosti nije zadovoljen u cijeloj domeni definicije, može se izdvojiti interval u kojem se funkcija samo povećava ili samo smanjuje, te na tom intervalu pronaći funkciju inverznu zadanoj.

Klasičan primjer je . Između

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - neparna funkcija, graf je simetričan oko točke O (0; 0).

arcsin x = 0 kod x = 0.

arcsin x > 0 na x ê (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x raste za bilo koji x ê [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Ark kosinus

Kosinusna funkcija opada na segmentu i poprima sve vrijednosti od -1 do 1. Stoga, za bilo koji broj a takav da |a|1, postoji jedan korijen u jednadžbi cosx=a na segmentu. Taj broj u naziva se arkosinus broja a i označava se arcos a.

Definicija . Lučni kosinus broja a, gdje je -1 a 1, broj je iz segmenta čiji je kosinus jednak a.

Svojstva.

E(y) =
y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - funkcija nije ni parna ni neparna.
arccos x = 0 u x = 1
arccos x > 0 na x ê [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x se smanjuje za bilo koji x ê [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - opadajući.

Arktangent

Tangentna funkcija raste na segmentu -
, dakle, prema teoremu o korijenu, jednadžba tgx \u003d a, gdje je a bilo koji realni broj, ima jedinstveni korijen x na intervalu -. Ovaj korijen naziva se arc tangent broja a i označava se s arctga.

Definicija. Arc tangent broja aR ovaj broj se zove x , čija je tangenta a.

Svojstva.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - funkcija je neparna, graf je simetričan oko točke O (0; 0).

arctg x = 0 u x = 0

Funkcija raste za bilo koji x ê R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Arc tangenta

Kotangentna funkcija na intervalu (0;) opada i uzima sve vrijednosti iz R. Dakle, za bilo koji broj a u intervalu (0;) postoji jedan korijen jednadžbe ctg x = a. Ovaj broj a naziva se arc tangent broja a i označava se arcctg a.

Definicija. Tangens luka broja a, gdje je a R, je takav broj iz intervala (0;) , čiji je kotangens a.

Svojstva.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - funkcija nije ni parna ni neparna.

arcctg x = 0- ne postoji.

Funkcija y = arcctg x smanjuje se za bilo koje h ê R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

Funkcija je neprekidna za bilo koje x ê R.

2.3 Identitetne transformacije izraza koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije

Primjer 1 . Pojednostavite izraz:

a)
gdje

Odluka. Stavimo
. Zatim
i
Pronaći
, koristimo relaciju
dobivamo
ali . Na ovom segmentu kosinus uzima samo pozitivne vrijednosti. Tako,
, tj
gdje
.

Odluka.

Odluka. Stavimo
. Zatim
i
Najprije pronađimo, za što koristimo formulu
, gdje
Budući da kosinus uzima samo pozitivne vrijednosti na ovom intervalu, onda
.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

formirati znanje o novoj temi u skladu s programskim gradivom;
proučavati svojstvo invertibilnosti funkcije i naučiti kako pronaći funkciju inverznu danoj;

Razvijanje:

razvijati vještine samokontrole, predmetni govor;
ovladati pojmom inverzne funkcije i naučiti metode pronalaženja inverzne funkcije;

Odgojno: formirati komunikativnu kompetenciju.

Oprema: računalo, projektor, platno, SMART Board interaktivna ploča, materijal (samostalni rad) za grupni rad.

Tijekom nastave.

1. Organizacijski trenutak.

Cilj – priprema učenika za rad u nastavi:

Definicija odsutnog,

Odnos učenika prema radu, organizacija pažnje;

Poruka o temi i svrsi lekcije.

2. Ažuriranje temeljnih znanja učenika. prednja anketa.

Cilj - utvrditi ispravnost i svjesnost proučenog teorijskog gradiva, ponavljanje obrađenog gradiva.<Приложение 1 >

Na interaktivnoj ploči za učenike prikazan je grafikon funkcije. Učitelj formulira zadatak – razmotriti graf funkcije i navesti proučavana svojstva funkcije. Učenici navode svojstva funkcije prema nacrtu istraživanja. Učitelj, desno od grafa funkcije, zapisuje imenovana svojstva markerom na interaktivnoj ploči.

Svojstva funkcije:

Na kraju učenja nastavnik izvještava da će se danas na satu upoznati s još jednim svojstvom funkcije - reverzibilnošću. Za sadržajno proučavanje novog gradiva učiteljica poziva djecu da se upoznaju s glavnim pitanjima na koja učenici moraju odgovoriti na kraju sata. Pitanja su napisana na običnoj ploči i svaki učenik ima materijal (podijeljen prije sata)

Što je reverzibilna funkcija?
Je li svaka funkcija reverzibilna?
Koja je inverzna zadana funkcija?
Kako su povezani domena definicije i skup vrijednosti funkcije i njezine inverzne funkcije?
Ako je funkcija zadana analitički, kako definirati inverznu funkciju s formulom?
Ako je funkcija data grafički, kako nacrtati njezinu inverznu funkciju?

3. Objašnjenje novog gradiva.

Cilj - formirati znanje o novoj temi u skladu s programskim gradivom; proučavati svojstvo invertibilnosti funkcije i naučiti kako pronaći funkciju inverznu danoj; razvijati predmet.

Učitelj provodi prezentaciju gradiva u skladu s gradivom stavka. Na interaktivnoj ploči nastavnik uspoređuje grafove dviju funkcija čije su domene definicije i skupovi vrijednosti iste, ali je jedna funkcija monotona, a druga nije, čime učenike dovodi pod pojam inverzibilne funkcije. .

Učitelj zatim formulira definiciju inverzibilne funkcije i provodi dokaz teorema o invertibilnoj funkciji koristeći graf monotone funkcije na interaktivnoj ploči.

Definicija 1: Poziva se funkcija y=f(x), x X reverzibilan, ako uzme bilo koju od svojih vrijednosti samo u jednoj točki skupa X.

Teorem: Ako je funkcija y=f(x) monotona na skupu X, tada je inverzibilna.

Dokaz:

Neka funkcija y=f(x) povećava za x Pusti to x 1 ≠ x 2- dvije točke seta x.
Za određenost, neka x 1< x 2.
Onda od čega x 1< x 2 slijedi to f(x 1) < f(x 2).
Dakle, različite vrijednosti argumenta odgovaraju različitim vrijednostima funkcije, tj. funkcija je reverzibilna.

(Tijekom dokazivanja teorema učitelj markerom daje sva potrebna objašnjenja na crtežu)

Prije nego što formulira definiciju inverzne funkcije, učitelj traži od učenika da odrede koja je od predloženih funkcija reverzibilna? Interaktivna ploča prikazuje grafikone funkcija i ispisano je nekoliko analitički definiranih funkcija:

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Učitelj uvodi definiciju inverzne funkcije.

Definicija 2: Neka je invertibilna funkcija y=f(x) definirana na setu x i E(f)=Y. Uparimo svaki y iz Y tada jedino značenje x, na kojem f(x)=y. Tada dobivamo funkciju koja je definirana na Y, a x je raspon funkcije

Ova funkcija je označena x=f -1 (y) i zove se inverzna funkcija y=f(x).

Studenti se pozivaju da donesu zaključak o odnosu između područja definicije i skupa vrijednosti inverznih funkcija.

Kako bi razmotrio pitanje kako pronaći inverznu funkciju zadane, učitelj je uključio dva učenika. Dan ranije djeca su od učitelja dobila zadatak da samostalno analiziraju analitičke i grafičke metode za pronalaženje inverzne zadane funkcije. Učiteljica je bila savjetnica u pripremi učenika za nastavu.

Poruka prvog učenika.

Napomena: monotonost funkcije je dovoljan uvjet za postojanje inverzne funkcije. Ali to nije potrebno stanje.

Student je naveo primjere različitih situacija kada funkcija nije monotona, već reverzibilna, kada funkcija nije monotona i nije reverzibilna, kada je monotona i reverzibilna

Zatim učenik upoznaje učenike s metodom pronalaženja inverzne funkcije zadane analitički.

Algoritam pronalaženja

Provjerite je li funkcija monotona.
Izrazite x u terminima y.
Preimenujte varijable. Umjesto x \u003d f -1 (y) pišu y \u003d f -1 (x)

Zatim rješava dva primjera za pronalaženje funkcije inverzne od zadanog.

Primjer 1: Pokažite da postoji inverzna funkcija za funkciju y=5x-3 i pronađite njezin analitički izraz.

Odluka. Linearna funkcija y=5x-3 definirana je na R, raste na R, a njezin raspon je R. Dakle, inverzna funkcija postoji na R. Da bismo pronašli njezin analitički izraz, rješavamo jednadžbu y=5x-3 s obzirom na x; dobivamo Ovo je željena inverzna funkcija. Definira se i povećava za R.

Primjer 2: Pokažite da postoji inverzna funkcija za funkciju y=x 2 , x≤0 i pronađite njezin analitički izraz.

Funkcija je kontinuirana, monotona u svojoj domeni definicije, stoga je invertibilna. Nakon analize područja definicije i skupa vrijednosti funkcije, dolazi se do odgovarajućeg zaključka o analitičkom izrazu za inverznu funkciju.

Drugi učenik izrađuje prezentaciju o grafički kako pronaći inverznu funkciju. U svom pojašnjenju učenik koristi mogućnosti interaktivne ploče.

Da bismo dobili graf funkcije y=f -1 (x), inverzan funkciji y=f(x), potrebno je transformirati graf funkcije y=f(x) simetrično u odnosu na ravnu liniju y=x.

Tijekom pojašnjenja na interaktivnoj ploči izvodi se sljedeći zadatak:

Konstruirajte graf funkcije i graf njezine inverzne funkcije u istom koordinatnom sustavu. Zapišite analitički izraz za inverznu funkciju.

4. Primarna fiksacija novog materijala.

Cilj - utvrditi ispravnost i svjesnost razumijevanja proučenog gradiva, uočiti nedostatke u primarnom razumijevanju gradiva, ispraviti ih.

Učenici su podijeljeni u parove. Dobivaju listove sa zadacima u kojima rade u parovima. Vrijeme za završetak rada je ograničeno (5-7 minuta). Jedan par učenika radi na računalu, projektor je za to vrijeme isključen, a ostala djeca ne mogu vidjeti kako učenici rade na računalu.

Na kraju vremena (pretpostavlja se da je većina učenika završila rad), interaktivna ploča (projektor se ponovno uključuje) prikazuje rad učenika, pri čemu se tijekom testa pojašnjava da je zadatak obavljen u parova. Po potrebi nastavnik provodi korektivni, objašnjavajući rad.

Samostalni rad u parovima<Prilog 2 >

5. Rezultat lekcije. Na pitanja koja su postavljena prije predavanja. Objava ocjena za nastavni sat.

Domaća zadaća §10. №№ 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra i počeci analize. 10. razred U 2 dijela za obrazovne ustanove (profilna razina) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova i drugi; izd. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Međusobno inverzne funkcije.

Neka je funkcija strogo monotona (rastuća ili opadajuća) i kontinuirana na području definicije, rasponu ove funkcije, zatim je na intervalu definirana kontinuirana strogo monotona funkcija s rasponom vrijednosti, koja je inverzno za .

Drugim riječima, ima smisla govoriti o inverznoj funkciji za funkciju u određenom intervalu ako se ona ili povećava ili smanjuje u tom intervalu.

Funkcije f i g nazivaju se recipročnim.

Zašto uopće razmatrati koncept inverznih funkcija?

To je uzrokovano problemom rješavanja jednadžbi. Rješenja su samo napisana u terminima inverznih funkcija.

Smatrati neki primjeri pronalaženja inverznih funkcija .

Počnimo s linearnim međusobno inverznim funkcijama.

Pronađite inverznu funkciju za.

Ova funkcija je linearna, njen graf je ravna linija. Dakle, funkcija je monotona na cijeloj domeni definicije. Stoga ćemo funkciju inverznu njoj tražiti na cijeloj domeni definicije.

Izraziti x kroz y (drugim riječima, riješite jednadžbu za x ).

- ovo je inverzna funkcija, istina je ovdje y je argument, i x je funkcija ovog argumenta. Kako ne bi prekinuli navike u zapisu (ovo nije od temeljne važnosti), preuređivanje slova x i y , napisat će .

Dakle, i su međusobno inverzne funkcije.

Damo grafičku ilustraciju međusobno inverznih linearnih funkcija.

Očito, grafovi su simetrični u odnosu na ravnu liniju. (simetrale prve i treće četvrtine). Ovo je jedno od svojstava međusobno inverznih funkcija, o čemu će biti riječi u nastavku.

Pronađite inverznu funkciju.

Ova funkcija je kvadratna, graf je parabola s vrhom u točki.

Funkcija raste kao i opada kao . To znači da se može tražiti inverzna funkcija za danu u jednom od dva intervala.

Neka, dakle, i, izmjenjujući x i y, dobivamo inverznu funkciju na zadanom intervalu: .

Pronađite inverznu funkciju.

Ova funkcija je kubna, graf je kubična parabola s vrhom u točki.

Funkcija se povećava na. To znači da je moguće tražiti inverznu funkciju za danu na cijeloj domeni definicije.

, a izmjenom x i y dobivamo inverznu funkciju.

Ilustrirajmo to na grafikonu.

Nabrojimo svojstva međusobno inverznih funkcija i.

Iz prvog svojstva se vidi da se opseg funkcije podudara s opsegom funkcije i obrnuto.

Grafovi međusobno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na ravnu liniju.

Ako se povećava, onda se povećava; ako se smanjuje, onda se smanjuje.

Za danu funkciju pronađite inverznu funkciju:

Za danu funkciju, pronađite inverziju i nacrtajte zadanu i inverznu funkciju:

Saznajte postoji li inverzna funkcija za danu funkciju. Ako je odgovor da, onda analitički definirajte inverznu funkciju, nacrtajte zadanu i inverznu funkciju:

Pronađite domenu i raspon funkcije inverzne funkciji ako:

Pronađite raspon svake od međusobno inverznih funkcija i, ako su zadani njihovi rasponi:

Jesu li funkcije međusobno inverzne ako:

Pronađite funkciju inverznu zadanoj. Nacrtajte na istom koordinatnom sustavu grafove ovih međusobno inverznih funkcija:
Je li ova funkcija inverzna samoj sebi: Definirajte funkciju inverznu zadanoj i nacrtajte njezin graf: