Rješenje tipičnih zadataka. Opseg funkcija u ispitnim zadacima Kako tražiti skup vrijednosti funkcije

Funkcija je model. Definirajmo X kao skup vrijednosti nezavisne varijable // nezavisna znači bilo koja.

Funkcija je pravilo po kojem se za svaku vrijednost nezavisne varijable iz skupa X može pronaći jedina vrijednost zavisne varijable. // tj. za svaki x postoji jedan y.

Iz definicije proizlazi da postoje dva pojma - nezavisna varijabla (koju označavamo s x i može uzeti bilo koju vrijednost) i zavisna varijabla (koju označavamo s y ili f (x) i izračunava se iz funkcije kada zamjenjujemo x).

NA primjer y=5+x

1. Neovisno je x, pa uzimamo bilo koju vrijednost, neka je x = 3

2. a sada izračunavamo y, dakle y = 5 + x = 5 + 3 = 8. (y ovisi o x, jer ono što x zamijenimo, dobijemo takav y)

Kažemo da je varijabla y funkcionalno ovisna o varijabli x i to se označava na sljedeći način: y = f (x).

NA PRIMJER.

1.y=1/x. (naziva se hiperbola)

2. y=x^2. (naziva se parabola)

3.y=3x+7. (naziva se ravna linija)

4. y \u003d √ x. (naziva se grana parabole)

Nezavisna varijabla (koju označavamo s x) naziva se argument funkcije.

Opseg funkcije

Skup svih vrijednosti koje argument funkcije uzima naziva se domenom funkcije i označava se s D(f) ili D(y).

Uzmimo D(y) za 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cijeli skup realnih brojeva osim nule.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

4. D (y) \u003d. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na ovom segmentu.

Izvod je pozitivan za sve x iz intervala (-1; 1) , odnosno arcsinusna funkcija raste u cijeloj domeni definicije. Stoga uzima najmanju vrijednost na x=-1, a najveći kod x=1.

Dobili smo raspon funkcije arcsinusa .

Pronađite skup vrijednosti funkcije na segmentu .

Odluka.

Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije na zadanom segmentu.

Odredimo točke ekstrema koje pripadaju segmentu :

Mnogi zadaci dovode nas do traženja skupa vrijednosti funkcije na određenom segmentu ili na cijeloj domeni definicije. Takvi zadaci uključuju različite evaluacije izraza, rješavanje nejednačina.

U ovom ćemo članku definirati raspon funkcije, razmotriti metode za njezino pronalaženje i detaljno analizirati rješenje primjera od jednostavnih do složenijih. Sav materijal će biti opremljen grafičkim ilustracijama radi preglednosti. Dakle, ovaj članak je detaljan odgovor na pitanje kako pronaći raspon funkcije.

Definicija.

Skup vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalu X naziva skup svih vrijednosti funkcije koje preuzima kada se ponavlja preko svih .

Definicija.

Raspon funkcije y = f(x) naziva se skup svih vrijednosti funkcije koje preuzima pri iteraciji preko svih x iz domene definicije.

Raspon funkcije označava se kao E(f) .

Raspon funkcije i skup vrijednosti funkcije nisu ista stvar. Ovi koncepti će se smatrati ekvivalentnim ako se interval X pri pronalaženju skupa vrijednosti funkcije y = f(x) podudara s domenom funkcije.

Također, nemojte brkati raspon funkcije s varijablom x za izraz s desne strane jednadžbe y=f(x) . Područje dopuštenih vrijednosti varijable x za izraz f(x) je područje definicije funkcije y=f(x).

Slika prikazuje nekoliko primjera.

Grafovi funkcija prikazani su podebljanim plavim linijama, tanke crvene linije su asimptote, crvene točke i linije na osi Oy pokazuju raspon odgovarajuće funkcije.

Kao što vidite, raspon funkcije dobiva se projiciranjem grafa funkcije na os y. To može biti jedan broj (prvi slučaj), skup brojeva (drugi slučaj), segment (treći slučaj), interval (četvrti slučaj), otvorena zraka (peti slučaj), unija (šesti slučaj) itd. .

Dakle, što trebate učiniti da biste pronašli raspon funkcije.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem: pokazat ćemo kako odrediti skup vrijednosti neprekidne funkcije y = f(x) na intervalu.

Poznato je da funkcija kontinuirana na segmentu doseže na njemu svoje maksimalne i minimalne vrijednosti. Dakle, skup vrijednosti izvorne funkcije na segmentu bit će segment . Stoga se naš zadatak svodi na pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu.

Na primjer, pronađimo raspon funkcije arcsinusa.

Primjer.

Navedite raspon funkcije y = arcsinx.

Odluka.

Područje definicije arcsinusa je segment [-1; jedan] . Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na ovom segmentu.

Derivat je pozitivan za sve x iz intervala (-1; 1) , to jest, arcsinusna funkcija raste u cijeloj domeni definicije. Prema tome, najmanju vrijednost uzima pri x = -1, a najveću pri x = 1.

Dobili smo raspon funkcije arcsinusa .

Primjer.

Pronađite skup vrijednosti funkcije na segmentu.

Odluka.

Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije na zadanom segmentu.

Definirajmo točke ekstrema koje pripadaju segmentu:

Izračunavamo vrijednosti izvorne funkcije na krajevima segmenta i u točkama :

Stoga je skup vrijednosti funkcije na segmentu segment .

Sada ćemo pokazati kako pronaći skup vrijednosti neprekidne funkcije y = f(x) u intervalima (a; b), .

Najprije određujemo točke ekstrema, ekstreme funkcije, intervale povećanja i smanjenja funkcije na zadanom intervalu. Zatim izračunavamo na krajevima intervala i (ili) granice na beskonačnosti (to jest, proučavamo ponašanje funkcije na granicama intervala ili na beskonačnosti). Ova informacija je dovoljna da se pronađe skup vrijednosti funkcije na takvim intervalima.

Primjer.

Odredite skup vrijednosti funkcije na intervalu (-2; 2).

Odluka.

Nađimo točke ekstrema funkcije koje padaju na interval (-2; 2):

Točka x = 0 je maksimalna točka, budući da derivacija prilikom prolaska kroz nju mijenja predznak s plusa na minus, a graf funkcije ide od rastućeg prema opadajućem.

je odgovarajući maksimum funkcije.

Otkrijmo ponašanje funkcije kada x teži -2 desno, a kada x 2 lijevo, odnosno nalazimo jednostrane granice:

Što smo dobili: kada se argument promijeni s -2 na nulu, vrijednosti funkcije se povećavaju s minus beskonačnosti na minus jednu četvrtinu (maksimum funkcije pri x = 0), kada se argument promijeni s nule na 2, funkcija vrijednosti se smanjuju na minus beskonačnost. Dakle, skup vrijednosti funkcije na intervalu (-2; 2) je .

Primjer.

Navedite skup vrijednosti tangentne funkcije y = tgx na intervalu.

Odluka.

Izvod tangentne funkcije na intervalu je pozitivan , što ukazuje na povećanje funkcije. Proučavamo ponašanje funkcije na granicama intervala:

Dakle, kada se argument promijeni od do, vrijednosti funkcije rastu s minus beskonačnosti na plus beskonačnost, odnosno skup vrijednosti tangente u ovom intervalu je skup svih realnih brojeva.

Primjer.

Pronađite raspon funkcije prirodnog logaritma y = lnx .

Odluka.

Funkcija prirodnog logaritma definirana je za pozitivne vrijednosti argumenta . Na ovom intervalu derivacija je pozitivna , to ukazuje na povećanje funkcije na njemu. Nađimo jednostrano ograničenje funkcije jer argument teži nuli s desne strane, a ograničenje kao x teži plus beskonačnosti:

Vidimo da kada se x promijeni od nule do plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije rastu s minus beskonačnosti na plus beskonačnost. Stoga je raspon funkcije prirodnog logaritma cijeli skup realnih brojeva.

Primjer.

Odluka.

Ova funkcija je definirana za sve realne x vrijednosti. Odredimo točke ekstrema, kao i intervale povećanja i smanjenja funkcije.

Dakle, funkcija opada na , raste na , x = 0 je maksimalna točka, odgovarajući maksimum funkcije.

Pogledajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti:

Dakle, u beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju nuli.

Otkrili smo da kada se argument promijeni s minus beskonačnosti na nulu (maksimalna točka), vrijednosti funkcije se povećavaju s nule na devet (do maksimuma funkcije), a kada se x promijeni s nule na plus beskonačnost, vrijednosti funkcije smanjiti sa devet na nulu.

Pogledajte shematski crtež.

Sada se jasno vidi da je raspon funkcije .

Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalima zahtijeva slične studije. Nećemo se sada detaljnije zadržavati na ovim slučajevima. Vidjet ćemo ih u primjerima u nastavku.

Neka je domena funkcije y = f(x) unija nekoliko intervala. Prilikom pronalaženja raspona takve funkcije određuju se skupovi vrijednosti na svakom intervalu i uzima se njihova unija.

Primjer.

Pronađite raspon funkcije.

Odluka.

Nazivnik naše funkcije ne bi trebao ići na nulu, odnosno, .

Prvo, pronađimo skup vrijednosti funkcije na otvorenoj zraki.

Derivat funkcije je negativna na ovom intervalu, odnosno funkcija na njemu opada.

Otkrili smo da kako argument teži minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju jedinici. Kada se x promijeni s minus beskonačnosti na dva, vrijednosti funkcije se smanjuju s jedan na minus beskonačnost, odnosno na razmatranom intervalu funkcija poprima skup vrijednosti. Jedinstvo ne uključujemo, budući da je vrijednosti funkcije ne dosežu, već joj samo asimptotski teže na minus beskonačnosti.

Slično postupamo i za otvorenu gredu.

Funkcija se također smanjuje na ovom intervalu.

Skup vrijednosti funkcije na ovom intervalu je skup .

Dakle, željeni raspon vrijednosti funkcije je unija skupova i .

Grafička ilustracija.

Zasebno, trebali bismo se zadržati na periodičnim funkcijama. Raspon periodičnih funkcija podudara se sa skupom vrijednosti na intervalu koji odgovara razdoblju ove funkcije.

Primjer.

Pronađite raspon sinusne funkcije y = sinx .

Odluka.

Ova funkcija je periodična s periodom od dva pi. Uzmimo segment i definiramo skup vrijednosti na njemu.

Segment sadrži dvije točke ekstrema i .

Izračunavamo vrijednosti funkcije u tim točkama i na granicama segmenta, biramo najmanju i najveću vrijednost:

Stoga, .

Primjer.

Pronađite raspon funkcije .

Odluka.

Znamo da je raspon arkosinusa segment od nule do pi, tj. ili u drugom postu. Funkcija može se dobiti iz arccosx pomicanjem i rastezanjem duž x-osi. Takve transformacije ne utječu na raspon, dakle, . Funkcija dolazi od protežući se tri puta duž Oy osi, tj. . I posljednja faza transformacije je pomak za četiri jedinice prema dolje duž y-osi. To nas dovodi do dvostruke nejednakosti

Dakle, željeni raspon vrijednosti je .

Navedimo rješenje za još jedan primjer, ali bez objašnjenja (nisu potrebna, jer su potpuno slični).

Primjer.

Definirajte raspon funkcija .

Odluka.

Izvornu funkciju zapisujemo u obliku . Raspon eksponencijalne funkcije je interval . tj., . Zatim

Stoga, .

Da bismo upotpunili sliku, trebali bismo govoriti o pronalaženju raspona funkcije koja nije kontinuirana u domeni definicije. U ovom slučaju, domena definicije je podijeljena točkama prekida u intervale, a na svakom od njih nalazimo skupove vrijednosti. Kombinirajući dobivene skupove vrijednosti, dobivamo raspon vrijednosti izvorne funkcije. Preporučujemo da zapamtite 3 s lijeve strane, vrijednosti funkcije teže minus jedan, a kada x teži 3 na desnoj strani, vrijednosti funkcije teže plus beskonačnosti.

Dakle, područje definicije funkcije podijeljeno je u tri intervala.

Na intervalu imamo funkciju . Od tad

Dakle, skup vrijednosti izvorne funkcije na intervalu je [-6;2] .

Na poluintervalu imamo konstantnu funkciju y = -1 . To jest, skup vrijednosti izvorne funkcije na intervalu sastoji se od jednog elementa.

Funkcija je definirana za sve važeće vrijednosti argumenta. Saznati intervale povećanja i smanjenja funkcije.

Izvod nestaje na x=-1 i x=3 . Ove točke označimo na realnoj osi i odredimo predznake derivacije na dobivenim intervalima.

Funkcija se smanjuje za , povećava se za [-1; 3] , x=-1 minimalni bod, x=3 maksimalni bod.

Izračunavamo odgovarajuće minimalne i maksimalne funkcije:

Provjerimo ponašanje funkcije u beskonačnosti:

Druga granica je izračunata iz .

Napravimo shematski crtež.

Kada se argument promijeni s minus beskonačnosti na -1, vrijednosti funkcije se smanjuju s plus beskonačnosti na -2e , kada se argument promijeni s -1 na 3, vrijednosti funkcije se povećavaju s -2e na , kada se argument promijeni iz 3 do plus beskonačno, vrijednosti funkcije se smanjuju od nule, ali ne dosežu nulu.

Često, u okviru rješavanja problema, moramo tražiti skup vrijednosti funkcije u domeni definicije ili na segmentu. Na primjer, to treba učiniti prilikom rješavanja različitih vrsta nejednakosti, vrednovanja izraza itd.

Kao dio ovog materijala, reći ćemo vam koji je raspon funkcije, dati glavne metode pomoću kojih se ona može izračunati i analizirati probleme različitog stupnja složenosti. Radi jasnoće, pojedini položaji su ilustrirani grafikonima. Nakon čitanja ovog članka, imat ćete opsežno razumijevanje opsega funkcije.

Počnimo s osnovnim definicijama.

Definicija 1

Skup vrijednosti funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je skup svih vrijednosti koje ova funkcija preuzima pri ponavljanju svih vrijednosti x ∈ X.

Definicija 2

Raspon funkcije y = f (x) je skup svih njezinih vrijednosti koje može poprimiti pri iteraciji preko vrijednosti x iz raspona x ∈ (f).

Raspon neke funkcije obično se označava s E (f) .

Imajte na umu da koncept skupa vrijednosti funkcije nije uvijek identičan području njezinih vrijednosti. Ovi koncepti će biti ekvivalentni samo ako se raspon vrijednosti x pri pronalaženju skupa vrijednosti podudara s domenom funkcije.

Također je važno razlikovati raspon i raspon varijable x za izraz s desne strane y = f (x) . Područje prihvatljivih vrijednosti x za izraz f (x) bit će područje definicije ove funkcije.

Ispod je ilustracija koja prikazuje neke primjere. Plave linije su grafovi funkcija, crvene su asimptote, crvene točke i linije na y-osi su rasponi funkcije.

Očito, raspon funkcije može se dobiti projiciranjem grafa funkcije na os O y . Istodobno, to može biti ili jedan broj ili skup brojeva, segment, interval, otvorena zraka, unija brojčanih intervala itd.

Razmotrite glavne načine pronalaženja raspona funkcije.

Počnimo s definiranjem skupa vrijednosti neprekidne funkcije y = f (x) na određenom segmentu, označenom [ a ; b] . Znamo da funkcija koja je kontinuirana na određenom intervalu dosegne na njemu svoj minimum i maksimum, odnosno maksimum m a x x ∈ a ; b f (x) i najmanju vrijednost m i n x ∈ a ; b f (x) . Dakle, dobivamo segment m i n x ∈ a ; bf(x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , koji će sadržavati skupove vrijednosti izvorne funkcije. Tada sve što trebamo učiniti je pronaći navedene minimalne i maksimalne točke na ovom segmentu.

Uzmimo problem u kojem je potrebno odrediti raspon vrijednosti arcsinusa.

Primjer 1

Stanje: pronaći raspon y = a r c sin x .

Odluka

U općem slučaju, domena definicije arcsinusa nalazi se na intervalu [-1; jedan ] . Na njemu trebamo odrediti najveću i najmanju vrijednost navedene funkcije.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Znamo da će derivacija funkcije biti pozitivna za sve x vrijednosti koje se nalaze u intervalu [-1; 1 ] , odnosno u cijeloj domeni definicije, arcsinusna funkcija će se povećati. To znači da će imati najmanju vrijednost kada je x jednako - 1, a najveću - kada je x jednako 1.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Dakle, raspon funkcije arcsinusa bit će jednak E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Odgovor: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

Primjer 2

Stanje: izračunaj raspon y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na zadanom segmentu [ 1 ; 4 ] .

Odluka

Sve što trebamo učiniti je izračunati najveću i najmanju vrijednost funkcije u zadanom intervalu.

Za određivanje točaka ekstrema potrebno je izvršiti sljedeće izračune:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 i l i 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4

Sada pronađimo vrijednosti zadane funkcije na krajevima segmenta i točkama x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈ 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

To znači da će skup vrijednosti funkcije biti određen segmentom 117 - 165 33 512 ; 32 .

Odgovor: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Prijeđimo na pronalaženje skupa vrijednosti neprekidne funkcije y = f (x) u intervalima (a ; b) i a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

Počnimo s određivanjem najveće i najmanje točke, kao i intervala povećanja i smanjenja u zadanom intervalu. Nakon toga, morat ćemo izračunati jednostrane granice na krajevima intervala i/ili granice na beskonačnosti. Drugim riječima, trebamo odrediti ponašanje funkcije u zadanim uvjetima. Za to imamo sve potrebne podatke.

Primjer 3

Stanje: izračunaj raspon funkcije y = 1 x 2 - 4 na intervalu (- 2 ; 2) .

Odluka

Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije na zadanom intervalu

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Dobili smo maksimalnu vrijednost jednaku 0, budući da se u tom trenutku mijenja predznak funkcije i graf počinje opadati. Vidi ilustraciju:

To jest, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 bit će maksimalna vrijednost funkcije.

Sada definirajmo ponašanje funkcije za x koji teži - 2 na desnoj strani i + 2 na lijevoj strani. Drugim riječima, nalazimo jednostrane granice:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Dobili smo da će se vrijednosti funkcije povećati s minus beskonačnosti na -14 kada se argument promijeni s -2 na 0. A kada se argument promijeni s 0 na 2, vrijednosti funkcije se smanjuju prema minus beskonačnosti. Stoga će skup vrijednosti zadane funkcije na intervalu koji nam treba biti (- ∞ ; - 1 4 ] .

Odgovor: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Primjer 4

Stanje: naznačiti skup vrijednosti y = t g x na zadanom intervalu - π 2 ; π 2 .

Odluka

Znamo da je u općem slučaju derivacija tangente u - π 2; π 2 će biti pozitivan, odnosno funkcija će se povećati. Sada definirajmo kako se funkcija ponaša unutar zadanih granica:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Dobili smo povećanje vrijednosti funkcije s minus beskonačnosti na plus beskonačno kada se argument promijeni iz - π 2 u π 2, i možemo reći da će skup rješenja ove funkcije biti skup svih realnih brojevima.

Odgovor: - ∞ ; + ∞ .

Primjer 5

Stanje: odrediti koliki je raspon funkcije prirodnog logaritma y = ln x .

Odluka

Znamo da je ova funkcija definirana za pozitivne vrijednosti argumenta D (y) = 0 ; +∞ . Izvod na zadanom intervalu bit će pozitivan: y " = ln x " = 1 x . To znači da se funkcija na njemu povećava. Zatim moramo definirati jednostrano ograničenje za slučaj kada argument ide na 0 (na desnoj strani) i kada x ide u beskonačnost:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Otkrili smo da će se vrijednosti funkcije povećati od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti kako se x vrijednosti mijenjaju od nule do plus beskonačnosti. To znači da je skup svih realnih brojeva raspon funkcije prirodnog logaritma.

Odgovor: skup svih realnih brojeva je raspon funkcije prirodnog logaritma.

Primjer 6

Stanje: odrediti koliki je raspon funkcije y = 9 x 2 + 1 .

Odluka

Ova funkcija je definirana pod uvjetom da je x realan broj. Izračunajmo najveću i najmanju vrijednost funkcije, kao i intervale njenog povećanja i smanjenja:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Kao rezultat, utvrdili smo da će se ova funkcija smanjiti ako je x ≥ 0; povećati ako je x ≤ 0 ; ima maksimalnu točku y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 kada je varijabla 0 .

Pogledajmo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Iz zapisa se može vidjeti da će se vrijednosti funkcije u ovom slučaju asimptotski približiti 0.

Da rezimiramo: kada se argument promijeni s minus beskonačnosti na nulu, tada se vrijednosti funkcije povećavaju od 0 do 9. Kako vrijednosti argumenata idu od 0 do plus beskonačno, odgovarajuće vrijednosti funkcije će se smanjiti s 9 na 0. To smo prikazali na slici:

Pokazuje da će raspon funkcije biti interval E (y) = (0 ; 9 ]

Odgovor: E (y) = (0; 9)

Ako trebamo odrediti skup vrijednosti funkcije y = f (x) na intervalima [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , tada ćemo morati provesti potpuno ista istraživanja. Ove slučajeve još nećemo analizirati: susrećemo ih kasnije u problemima .

Ali što ako je domena određene funkcije unija nekoliko intervala? Zatim moramo izračunati skupove vrijednosti na svakom od ovih intervala i kombinirati ih.

Primjer 7

Stanje: odrediti koliki će biti raspon y = x x - 2 .

Odluka

Budući da se nazivnik funkcije ne smije pretvoriti u 0 , onda je D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .

Počnimo s definiranjem skupa vrijednosti funkcije na prvom segmentu - ∞ ; 2, koja je otvorena greda. Znamo da će se funkcija na njemu smanjiti, odnosno da će derivacija ove funkcije biti negativna.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Zatim, u onim slučajevima kada se argument mijenja prema minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti 1. Ako se vrijednosti x mijenjaju s minus beskonačnost na 2, tada će se vrijednosti smanjiti s 1 na minus beskonačnost, tj. funkcija na ovom segmentu će uzeti vrijednosti iz intervala - ∞ ; jedan . Jedinstvo isključujemo iz našeg razmišljanja, budući da mu vrijednosti funkcije ne dosežu, već mu se samo asimptotski približavaju.

Za otvorenu gredu 2 ; + ∞ izvodimo potpuno iste radnje. Funkcija na njemu također se smanjuje:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Vrijednosti funkcije na ovom intervalu određene su skupom 1; +∞ . To znači da će raspon vrijednosti funkcije navedene u uvjetu koji nam je potreban biti unija skupova - ∞; 1 i 1; +∞ .

Odgovor: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1; +∞ .

To se može vidjeti na grafikonu:

Poseban slučaj su periodične funkcije. Njihovo područje vrijednosti podudara se sa skupom vrijednosti na intervalu koji odgovara razdoblju ove funkcije.

Primjer 8

Stanje: odrediti raspon sinusa y = sin x .

Odluka

Sinus se odnosi na periodičnu funkciju, a njezin period je 2 pi. Uzimamo odsječak 0; 2 π i pogledajte kakav će biti skup vrijednosti na njemu.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Unutar 0 ; 2 π funkcija će imati ekstremne točke π 2 i x = 3 π 2 . Izračunajmo koliko će biti jednake vrijednosti funkcije u njima, kao i na granicama segmenta, nakon čega biramo najveću i najmanju vrijednost.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Odgovor: E (sinx) = - 1; jedan .

Ako trebate znati raspon funkcija kao što su eksponencijalna, eksponencijalna, logaritamska, trigonometrijska, inverzna trigonometrijska, savjetujemo vam da ponovno pročitate članak o osnovnim elementarnim funkcijama. Teorija koju ovdje predstavljamo omogućuje nam da testiramo vrijednosti koje su tamo navedene. Poželjno ih je naučiti, jer su često potrebni u rješavanju problema. Ako znate raspone glavnih funkcija, onda možete lako pronaći raspone funkcija koji se dobivaju iz elementarnih pomoću geometrijske transformacije.

Primjer 9

Stanje: odrediti raspon y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Odluka

Znamo da je segment od 0 do pi raspon inverznog kosinusa. Drugim riječima, E (a r c cos x) = 0 ; π ili 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Funkciju a r c cos x 3 + 5 π 7 možemo dobiti iz ark kosinusa pomicanjem i rastezanjem duž osi O x, ali takve transformacije nam neće dati ništa. Dakle, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Funkcija 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 može se dobiti iz inverznog kosinusa a r c cos x 3 + 5 π 7 rastezanjem po y-osi, t.j. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Konačna transformacija je pomak duž osi O y za 4 vrijednosti. Kao rezultat, dobivamo dvostruku nejednakost:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Dobili smo da će raspon koji nam treba biti jednak E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Odgovor: E (y) = -4; 3 pi - 4 .

Napišimo još jedan primjer bez objašnjenja, jer potpuno je sličan prethodnom.

Primjer 10

Stanje: izračunaj koliki će biti raspon funkcije y = 2 2 x - 1 + 3 .

Odluka

Prepišimo funkciju danu u uvjetu kao y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 . Za funkciju stepena y = x - 1 2 raspon će biti definiran na intervalu 0 ; + ∞ , tj. x - 1 2 > 0 . U ovom slučaju:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Dakle, E (y) = 3; +∞ .

Odgovor: E (y) = 3; +∞ .

Pogledajmo sada kako pronaći raspon funkcije koja nije kontinuirana. Da bismo to učinili, moramo podijeliti cijelo područje na intervale i pronaći skupove vrijednosti na svakom od njih, a zatim kombinirati ono što imamo. Da biste to bolje razumjeli, savjetujemo vam da pregledate glavne vrste prijelomnih točaka funkcija.

Primjer 11

Stanje: zadana funkcija y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Izračunajte njegov raspon.

Odluka

Ova funkcija je definirana za sve x vrijednosti. Analizirajmo ga radi kontinuiteta s vrijednostima argumenta jednakim - 3 i 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Imamo nepopravljiv diskontinuitet prve vrste s vrijednošću argumenta - 3 . Kako joj se približavate, vrijednosti funkcije teže - 2 sin 3 2 - 4, a kako x teži - 3 na desnoj strani, vrijednosti će težiti - 1.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Imamo neuklonjivi diskontinuitet druge vrste u točki 3. Kada funkcija teži njoj, njezine se vrijednosti približavaju - 1, dok teže istoj točki s desne strane - minus beskonačnosti.

To znači da je cjelokupno područje definicije ove funkcije podijeljeno na 3 intervala (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) ).

Na prvom od njih dobili smo funkciju y \u003d 2 sin x 2 - 4. Budući da je - 1 ≤ sin x ≤ 1 , dobivamo:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

To znači da je na ovom intervalu (- ∞ ; - 3 ] skup vrijednosti funkcije [ - 6 ; 2 ] .

Na poluintervalu (- 3 ; 3 ] dobivamo konstantnu funkciju y = - 1. Posljedično, cijeli skup njezinih vrijednosti ​​u ovom slučaju će se svesti na jedan broj - 1.

Na drugom intervalu 3 ; + ∞ imamo funkciju y = 1 x - 3 . Opada jer je y" = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Dakle, skup vrijednosti izvorne funkcije za x > 3 je skup 0 ; +∞ . Sada kombinirajmo rezultate: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Odgovor: E (y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Rješenje je prikazano na grafikonu:

Primjer 12

Uvjet: postoji funkcija y = x 2 - 3 e x . Odredi skup njegovih vrijednosti.

Odluka

Definiran je za sve vrijednosti argumenata koji su realni brojevi. Odredimo u kojim intervalima će se ova funkcija povećati, a u kojima će se smanjiti:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Znamo da će derivacija postati 0 ako je x = - 1 i x = 3 . Ove dvije točke postavimo na os i saznamo kakve će predznake derivacija imati na rezultirajućim intervalima.

Funkcija će se smanjiti za (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) i povećati za [ - 1 ; 3]. Minimalni bod će biti - 1 , maksimum - 3 .

Sada pronađimo odgovarajuće vrijednosti funkcije:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Pogledajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Za izračunavanje druge granice korišteno je L'Hopitalovo pravilo. Nacrtajmo naše rješenje na graf.

Pokazuje da će se vrijednosti funkcije smanjiti s plus beskonačnosti na -2 e kada se argument promijeni s minus beskonačnosti na -1. Ako se promijeni od 3 do plus beskonačno, tada će se vrijednosti smanjiti sa 6 e - 3 na 0, ali 0 neće biti dostignuta.

Dakle, E (y) = [ - 2 e ; +∞) .

Odgovor: E (y) = [-2 e; +∞)

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Koncept funkcije i svega što je s njom povezano tradicionalno je složen, nedovoljno shvaćen. Poseban kamen spoticanja u proučavanju funkcije i pripremi za ispit je domena definicije i raspon vrijednosti (promjena) funkcije.
Učenici često ne vide razliku između domene funkcije i domene njezinih vrijednosti.
A ako učenici uspiju svladati zadatke pronalaženja domene definicije funkcije, tada im zadaci pronalaženja skupa vrijednosti funkcije uzrokuju znatne poteškoće.
Svrha ovog članka: upoznavanje s metodama pronalaženja vrijednosti funkcije.
Kao rezultat razmatranja ove teme, proučavan je teorijski materijal, razmatrane su metode rješavanja zadataka za pronalaženje skupova vrijednosti funkcija, odabran je didaktički materijal za samostalan rad studenata.
Ovaj članak nastavnik može koristiti prilikom pripreme učenika za završne i prijemne ispite, prilikom proučavanja teme „Opseg funkcije“ u izbornoj nastavi u izbornim predmetima matematike.

I. Određivanje opsega funkcije.

Područje (skup) vrijednosti E(y) funkcije y = f(x) je skup takvih brojeva y 0 , za svaki od kojih postoji takav broj x 0 da je: f(x 0) = y 0 .

Prisjetimo se raspona glavnih elementarnih funkcija.

Razmotrimo tablicu.

Funkcija	Mnoge vrijednosti
y = kx + b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arktan x	E(y) = (-π/2; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Također imajte na umu da je raspon bilo kojeg polinoma parnog stupnja interval , gdje je n najveća vrijednost ovog polinoma.

II. Svojstva funkcije koja se koriste u pronalaženju raspona funkcije

Za uspješno pronalaženje skupa vrijednosti funkcije potrebno je dobro poznavati svojstva osnovnih elementarnih funkcija, posebice njihova područja definicije, raspon vrijednosti i prirodu monotonosti. Predstavimo svojstva kontinuiranih, monotonih diferencijabilnih funkcija, koje se najčešće koriste u pronalaženju skupa vrijednosti funkcija.

Svojstva 2 i 3 obično se koriste zajedno sa svojstvom elementarne funkcije da je kontinuirana u svojoj domeni. U ovom slučaju, najjednostavnije i najkraće rješenje problema pronalaženja skupa vrijednosti funkcije postiže se na temelju svojstva 1, ako je jednostavnim metodama moguće odrediti monotonost funkcije. Rješenje zadatka dodatno se pojednostavljuje ako je funkcija, osim toga, parna ili neparna, periodična itd. Dakle, prilikom rješavanja problema pronalaženja skupova vrijednosti funkcije, treba provjeriti i po potrebi koristiti sljedeća svojstva funkcije:

• kontinuitet;
• monotonija;
• diferencijabilnost;
• parni, neparni, periodični itd.

Jednostavni zadaci za pronalaženje skupa vrijednosti funkcija uglavnom su orijentirani:

a) korištenje najjednostavnijih procjena i ograničenja: (2 x > 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1, itd.);

b) za odabir cijelog kvadrata: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) za transformaciju trigonometrijskih izraza: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) korištenjem monotonosti funkcije x 1/3 + 2 x-1 povećava se za R.

III. Razmotrite načine za pronalaženje raspona funkcija.

a) sekvencijalno pronalaženje vrijednosti argumenata složene funkcije;
b) metoda ocjenjivanja;
c) korištenje svojstava kontinuiteta i monotonosti funkcije;
d) uporaba izvedenice;
e) korištenje najveće i najmanje vrijednosti funkcije;
f) grafička metoda;
g) metoda uvođenja parametara;
h) metoda inverzne funkcije.

Bit ćemo ovih metoda otkriti na konkretnim primjerima.

Primjer 1: Pronađite raspon E(y) funkcije y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Riješimo ovaj primjer uzastopnim pronalaženjem vrijednosti argumenata složene funkcije. Nakon što smo odabrali cijeli kvadrat ispod logaritma, transformiramo funkciju

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

I uzastopno pronađite skupove vrijednosti njegovih složenih argumenata:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Označiti t= 5 – (3 x +1) 2 , gdje je -∞≤ t≤4. Dakle, problem se svodi na pronalaženje skupa vrijednosti funkcije y = log 0,5 t na zraku (-∞;4) . Budući da je funkcija y = log 0,5 t definirana samo na, tada se njen skup vrijednosti na zraci (-∞;4) poklapa sa skupom vrijednosti funkcije na intervalu (0;4), a to je presjek zraka (-∞;4) s domenom definicije (0;+∞) logaritamske funkcije. Na intervalu (0;4) ova je funkcija kontinuirana i opadajuća. Na t> 0, teži +∞, a kada t = 4 uzima vrijednost -2, dakle E(y) =(-2, +∞).

Primjer 2: Pronađite raspon funkcije

y = cos7x + 5cosx

Ovaj primjer ćemo riješiti metodom procjena čija je bit procijeniti kontinuiranu funkciju odozdo i odozgo te dokazati da funkcija doseže donju i gornju granicu procjena. U ovom slučaju, podudarnost skupa vrijednosti funkcije s intervalom od donje granice procjene do gornje određena je kontinuitetom funkcije i odsutnošću drugih vrijednosti za nju.

Iz nejednadžbi -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 dobivamo procjenu -6≤y?6. Za x = p i x = 0, funkcija uzima vrijednosti -6 i 6, tj. doseže donju i gornju granicu. Kao linearna kombinacija neprekidnih funkcija cos7x i cosx, funkcija y je kontinuirana duž cijele brojevne osi, stoga, svojstvom neprekidne funkcije, uzima sve vrijednosti od -6 do uključujući 6, i samo njih, budući da , zbog nejednakosti -6≤y?6, ostale vrijednosti ona je nemoguća. Stoga, E(y)= [-6;6].

Primjer 3: Pronađite raspon E(f) funkcije f(x)= cos2x + 2cosx.

Koristeći formulu kosinusa dvostrukog kuta, transformiramo funkciju f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 i označimo t= cosx. Zatim f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Budući da E (cosx) =

[-1;1], zatim raspon funkcije f(x) poklapa se sa skupom vrijednosti funkcije g (t)\u003d 2t 2 + 2t - 1 na segmentu [-1; 1], koji ćemo pronaći grafičkom metodom. Nacrtavši funkciju y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0,5) 2 - 1,5 na intervalu [-1; 1], nalazimo E(f) = [-1,5; 3].

Napomena – mnogi problemi s parametrom svode se na pronalaženje skupa vrijednosti funkcije, uglavnom vezanih za rješivost i broj rješenja jednadžbe i nejednadžbi. Na primjer, jednadžba f(x)= a je rješivo ako i samo ako

aE(f) Slično, jednadžba f(x)= a ima barem jedan korijen koji se nalazi na nekom intervalu X, ili nema korijen na ovom intervalu ako i samo ako a pripada ili ne pripada skupu vrijednosti funkcije f(x) na intervalu X. Također proučavamo koristeći skup vrijednosti funkcije i nejednakosti f(x)≠ a, f(x)> a itd. Posebno, f(x)≠ i za sve dopuštene vrijednosti x, ako je E(f)

Primjer 4. Za koje vrijednosti parametra a, jednadžba (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) ima jedan korijen na intervalu [-4;-1].

Zapišimo jednadžbu u obliku (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Posljednja jednadžba ima barem jedan korijen na segmentu [-4;-1] ako i samo ako a pripada skupu vrijednosti funkcije f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) na segmentu [-4;-1]. Pronađimo ovaj skup koristeći svojstvo kontinuiteta i monotonosti funkcije.

Na segmentu [-4;-1] funkcija y = xÍ + 4 je kontinuirana, opadajuća i pozitivna, stoga je funkcija g(x) = 1/(x 2 + 4) je kontinuiran i raste na ovom segmentu, jer se pri dijeljenju pozitivnom funkcijom priroda monotonosti funkcije mijenja u suprotnu. Funkcija h(x) =(x + 5) 1/2 je kontinuirana i rastuća u svojoj domeni D(h) =[-5;+∞) i, posebno, na intervalu [-4;-1], gdje je također pozitivan. Zatim funkcija f(x)=g(x) h(x), kao umnožak dviju kontinuiranih, rastućih i pozitivnih funkcija, također je kontinuiran i raste na segmentu [-4;-1], stoga je njegov skup vrijednosti na [-4;-1] segment [ f(-4); f(-1)] = . Dakle, jednadžba ima rješenje na segmentu [-4;-1], i to jedino (po svojstvu kontinuirane monotone funkcije), za 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Komentar. Rješivost jednadžbe f(x) = a na nekom intervalu X je ekvivalentno pripadnosti vrijednosti parametra a skup vrijednosti funkcije f(x) na X. Dakle, skup vrijednosti funkcije f(x) na intervalu X poklapa se sa skupom vrijednosti parametara a, za koji je jednadžba f(x) = a ima barem jedan korijen na intervalu X. Konkretno, raspon vrijednosti E(f) funkcije f(x) odgovara skupu vrijednosti parametara a, za koji je jednadžba f(x) = a ima barem jedan korijen.

Primjer 5: Pronađite raspon E(f) funkcije

Riješimo primjer uvođenjem parametra prema kojem E(f) odgovara skupu vrijednosti parametara a, za koji je jednadžba

ima barem jedan korijen.

Kada je a=2, jednadžba je linearna - 4x - 5 = 0 s koeficijentom koji nije nula kod nepoznatog x, stoga ima rješenje. Za a≠2, jednadžba je kvadratna, pa je rješiva ​​ako i samo ako je njena diskriminanta

Budući da točka a = 2 pripada segmentu

zatim željeni skup vrijednosti parametara a, dakle raspon vrijednosti E(f) bit će cijeli segment.

Kao izravan razvoj metode uvođenja parametra pri pronalaženju skupa vrijednosti funkcije, možemo razmotriti metodu inverzne funkcije, za pronalaženje koje je potrebno riješiti jednadžbu za x f(x)=y, uzimajući u obzir y kao parametar. Ako ova jednadžba ima jedinstveno rješenje x=g(y), zatim raspon E(f) izvorna funkcija f(x) poklapa se s domenom definicije D(g) inverzna funkcija g(y). Ako je jednadžba f(x)=y ima više rješenja x = g 1 (y), x \u003d g 2 (y) itd., zatim E(f) jednaka je uniji opsega definicija funkcija g 1 (y), g 2 (y) itd.

Primjer 6: Pronađite raspon E(y) funkcije y = 5 2/(1-3x).

Iz jednadžbe

pronaći inverznu funkciju x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) i njezinu domenu D(x):

Budući da jednadžba za x ima jedinstveno rješenje, onda

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Ako se domena funkcije sastoji od nekoliko intervala ili je funkcija na različitim intervalima data različitim formulama, tada da biste pronašli domenu funkcije, trebate pronaći skupove vrijednosti funkcije na svakom intervalu i uzeti njihove unija.

Primjer 7: Pronađite raspone f(x) i f(f(x)), gdje

f(x) na zraku (-∞;1], gdje se poklapa s izrazom 4 x + 9 4 -x + 3. Označimo t = 4 x. Zatim f(x) = t + 9/t + 3, gdje je 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) na zraku (-∞;1] podudara se sa skupom vrijednosti funkcije g(t) = t + 9/t + 3, na intervalu (0;4], koji nalazimo pomoću derivacije g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Na intervalu (0;4] derivacija g'(t) je definiran i tamo nestaje na t=3. U 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) opada, au intervalu (3;4) raste, ostajući kontinuirano na cijelom intervalu (0;4), pa g (3)= 9 - najmanja vrijednost ove funkcije na intervalu (0; 4], dok njena najveća vrijednost ne postoji, pa kada t→0 prava funkcija g(t)→+∞. Zatim, prema svojstvu kontinuirane funkcije, skup vrijednosti funkcije g(t) na intervalu (0;4], a time i skupu vrijednosti f(x) na (-∞;-1], bit će zraka .

Sada, kombiniranjem intervala - skupova vrijednosti funkcija f(f(x)), označavaju t = f(x). Zatim f(f(x)) = f(t), gdje t funkcija f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 i opet uzima sve vrijednosti od 5 do uključujući 9, tj. rasponu E(fÍ) = E(f(f(x))) =.

Slično, označavajući z = f(f(x)), možete pronaći raspon E(f3) funkcije f(f(f(x))) = f(z), gdje je 5 ≤ z ≤ 9, itd. Uvjerite se u to E(f 3) = .

Najuniverzalnija metoda za pronalaženje skupa vrijednosti funkcije je korištenje najveće i najmanje vrijednosti funkcije u danom intervalu.

Primjer 8. Za koje vrijednosti parametra R nejednakost 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x vrijedi za sve -1 ≤ x< 2.

Označavajući t = 2 x, nejednakost zapisujemo kao p ≠ t 3 - 2t 2 + t. Kao t = 2 x je kontinuirano rastuća funkcija na R, tada za -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R različite od vrijednosti funkcije f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + t pri 0,5 ≤ t< 4.

Prvo ćemo pronaći skup vrijednosti funkcije f(t) na intervalu gdje ima derivaciju posvuda f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Stoga, f(t) je diferencijabilna, pa stoga kontinuirana na segmentu . Iz jednadžbe f'(t) = 0 pronaći kritične točke funkcije t=1/3, t=1, od kojih prvi ne pripada segmentu , a drugi pripada njemu. Kao f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, tada je, prema svojstvu diferencijabilne funkcije, 0 najmanja, a 36 najveća vrijednost funkcije f(t) na segmentu. Zatim f(t), kao kontinuirana funkcija, na segmentu preuzima sve vrijednosti od 0 do 36 uključujući, a vrijednost 36 samo kada t=4, dakle za 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка }