Sada je pitanje: kako podići broj na ir racionalni stupanj? Na primjer, želimo znati što je 10 √ 2. Odgovor je, u principu, vrlo jednostavan. Uzmimo umjesto √2 njegovu aproksimaciju u obliku konačnog decimalnog drdbi - ovo je racionalni broj. Možemo podići na racionalan stupanj; svodi se na podizanje na cjelobrojni stepen i izdvajanje korijena. Dobit ćemo približnu vrijednost broja. Možete uzeti duži decimalni razlomak (ovo je opet racionalan broj). Tada morate izvući korijen većeg stupnja; jer nazivnik racionalni razlomakće se povećati, ali ćemo dobiti točniju aproksimaciju. Naravno, ako uzmemo približnu vrijednost √2 kao vrlo dug razlomak, tada će eksponencijacija biti vrlo teška. Kako se nositi s ovim zadatkom?

Izračunavanje kvadratnog korijena, kubnog korijena i drugih korijena niskog stupnja je aritmetički proces koji nam je prilično dostupan; računajući, uzastopno, jednu za drugom, zapisujemo decimale. No, da bi se podigla na iracionalni stepen ili uzela logaritam (za rješavanje inverznog problema), potreban je takav rad da više nije lako primijeniti prethodni postupak. Stolovi dolaze u pomoć. Nazivaju se tablicama logaritama ili tablicama potencija, ovisno za što su namijenjene. Oni štede vrijeme: da bismo broj podigli na iracionalni stepen, ne računamo, već samo okrećemo stranice.

Iako je izračun vrijednosti prikupljenih u tablicama čisto tehnički postupak, to je ipak zanimljiva stvar i ima dugu povijest. Pa da vidimo kako se to radi. Izračunat ćemo ne samo x = 10 √2, već ćemo također riješiti još jedan problem: 10 x = 2, ili x = log 10 2. Prilikom rješavanja ovih zadataka nećemo otkriti nove brojeve; ovo su samo računski problemi. Rješenje će biti iracionalni brojevi, beskonačni decimalni razlomci, a nekako ih je nezgodno proglasiti novom vrstom brojeva.

Razmislimo o tome kako riješiti naše jednadžbe. Generalna ideja jako jednostavno. Ako izračunamo 10 1 i 10 1/10 , i 10 1/100 , i 10 1/1000 , itd., a zatim pomnožimo rezultate, dobivamo 10 1.414 ... ili l0 √ 2 Time ćemo riješiti bilo kakav problem takve vrste. Međutim, umjesto 10 1/10, itd., izračunat ćemo 10 1/2, i 10 1/4, itd. Prije nego počnemo, objasnimo zašto se na broj 10 pozivamo češće od drugih brojeva. Znamo da značenje tablica logaritama nadilazi matematički problem računanja korijena, jer

To je dobro poznato svima koji su koristili tablicu logaritama za množenje brojeva. Na temelju čega b uzeti logaritme? Nije važno; Uostalom, samo je načelo stavljeno u osnovu takvih izračuna, zajedničko vlasništvo logaritamska funkcija. Nakon što ste jednom izračunali logaritme za neku proizvoljnu bazu, možete prijeći na logaritme za drugu bazu koristeći množenje. Pomnožite li jednadžbu (22.3) sa 61, onda će ona ostati istinita, pa ako sve brojeve u tablici logaritama pomnožite na bazu b sa 61, tada se može koristiti i takva tablica. Pretpostavimo da znamo logaritme svih brojeva na bazu b. Drugim riječima, za bilo koje c možemo riješiti jednadžbu b a = c; postoji stol za to. Problem je kako pronaći logaritam istog broja c u drugoj bazi, kao što je x. Moramo riješiti jednadžbu x a' = c. To je lako učiniti jer se x uvijek može predstaviti kao x = b t . Pronalaženje t za dane x i b je jednostavno: t = log b x. Zamijenimo sada x = b t u jednadžbu x a’ = c; ući će u ovu jednadžbu: (b t) a’ = b ta’ = c. Drugim riječima, umnožak ta' je logaritam od c prema bazi b. Dakle, a' = a/t. Dakle, logaritmi na bazu x jednaki su umnošku logaritma baze b i konstantnog broja l/t. Stoga su sve tablice logaritama ekvivalentne do množenja brojem l/log b x. To nam omogućuje da odaberemo bilo koju bazu za tabeliranje, ali smo odlučili da je najprikladnije koristiti broj 10 kao bazu. (Može se postaviti pitanje: postoji li još neka prirodna baza koja čini da sve izgleda nekako jednostavnije? Pokušat ćemo da biste kasnije odgovorili na ovo pitanje, dok će se svi logaritmi izračunati u bazi 10.)

Pogledajmo sada kako se sastavlja tablica logaritama. Rad počinje uzastopnim vađenjem kvadratnog korijena od 10. Rezultat se može vidjeti u tablici. 22.1. Eksponenti su upisani u njegov prvi stupac, a brojevi 10 s su u trećem. Jasno je da je 10 1 \u003d 10. Povisiti 10 na pola snage je lako - ovo je Korijen od 10, a svatko zna uzeti kvadratni korijen bilo kojeg broja. (Kvadratni korijen je najbolje uzeti ne na način koji se obično uči u školi, već malo drugačije. Da bismo izvukli kvadratni korijen iz broja N, biramo broj koji je dovoljno blizak odgovoru, izračunavamo N/a i prosjek a' = 1/2; ovo će prosjek biti novi broj a, nova aproksimacija korijena od N. Ovaj proces vrlo brzo vodi do cilja: broj značajnih znamenki se udvostručuje nakon svakog koraka.) Dakle, imamo pronašao prvi kvadratni korijen; jednako je 3,16228. Što to daje? Daje nešto. Već možemo reći koliko je 10 0,5, a znamo barem jedan logaritam.

Logaritam od 3,16228 vrlo je blizu 0,50000. Međutim, još uvijek se moramo malo potruditi: trebamo detaljniju tablicu. Uzmimo još jedan kvadratni korijen i pronađimo 10 1/4, što je jednako 1,77828. Sada znamo još jedan logaritam: 1,250 je logaritam od 17,78; osim toga, možemo reći čemu je jednako 10 0,75: na kraju krajeva, ovo je 10 (0,5 + 0,25), tj. umnožak drugog i trećeg broja iz trećeg stupca tablice. 22.1. Ako prvi stupac tablice napravite dovoljno dugim, tada će tablica sadržavati gotovo sve brojeve; množenjem brojeva iz trećeg stupca dobivamo 10 na gotovo bilo koji stepen. Ovo je osnovna ideja stolova. Naša tablica sadrži deset uzastopnih korijena od 10; glavni rad na sastavljanju tablice uložen je u izračunavanje ovih korijena.

Zašto ne nastavimo dalje poboljšavati točnost tablica? Jer smo već nešto primijetili. Podizanjem 10 na vrlo malu snagu, dobivamo jedinicu s malim dodatkom. To se, naravno, događa jer ako povisimo, na primjer, 10 1/1000 na 1000. stepen, onda opet dobivamo 10; jasno je da 10 1/1000 ne može biti veliki broj: vrlo je blizu jedinstvu. Štoviše, mali dodaci jedinici ponašaju se kao da su svaki put podijeljeni s 2; pogledajte pobliže tablicu: 1815 ide na 903, zatim na 450, 225 itd. Dakle, ako izračunamo još jedan, jedanaesti, kvadratni korijen, bit će jednako 1,00112 s velikom točnošću, a ovaj smo rezultat čak i pogodili prije izračuna. Možete li reći koliki će biti dodatak za jedan ako povisite 10 na stepen ∆/1024 dok ∆ teži nuli? Limenka. Dodatak će biti približno jednak 0,0022511∆. Naravno, ne baš 0,0022511∆; da bi preciznije izračunali ovaj zbrajanje, rade sljedeći trik: oduzmu jedan od 10 s i razliku podijele s eksponentom s. Odstupanja ovako dobivenog kvocijenta od njegove točna vrijednost jednaki su za bilo koju potenciju s. Vidi se da su ti omjeri (tablica 22.1) približno jednaki. Isprva se jako razlikuju, ali onda se približavaju jedno drugome, jasno težeći nekom broju. Koji je ovo broj? Pogledajmo kako se mijenjaju brojevi četvrtog stupca ako idemo niz stupac. Prvo, razlika između dva susjedna broja je 0,0211, zatim 0,0104, zatim 0,0053 i na kraju 0,0026. Razlika se svaki put smanjuje za polovicu. Uzimajući još jedan korak, dovest ćemo ga na 0,0013, zatim na 0,0007, 0,0003, 0,0002 i konačno na oko 0,0001; moramo uzastopno podijeliti 26 s 2. Dakle, spustit ćemo se još 26 jedinica i pronaći za granicu 2,3025. (Kasnije ćemo vidjeti da bi 2,3026 bilo ispravnije, ali uzmimo ono što imamo.) Koristeći ovu tablicu, možete podići 10 na bilo koji stepen, ako je njegov eksponent na bilo koji način izražen kroz I / I024.

Sada je lako napraviti tablicu logaritama, jer smo već spremili sve što je potrebno za to. Postupak za to prikazan je u tablici. 22.2, a traženi brojevi preuzeti su iz drugog i trećeg stupca tablice. 22.1.

Recimo da želimo znati logaritam od 2. To znači da želimo znati koji stepen trebamo povisiti 10 da bismo dobili 2. Možda povisimo 10 na stepen 1/2? Ne, bit će i tako veliki broj. Gledajući tablicu 22.1, možemo reći da se broj koji nam treba nalazi između 1/4 i 1/2. Počnimo ga tražiti s 1/4; podijelimo 2 sa 1,778…, dobijemo 1,124…; pri dijeljenju smo od logaritma dva oduzeli 0,250000, a sada nas zanima logaritam od 1,124 .... Nakon što smo ga pronašli, rezultatu ćemo dodati 1/4 = 256/1024. Pronađimo u tablici 22.1 broj koji bi pri kretanju po trećem stupcu odozgo prema dolje odmah stajao iza 1,124 .... Ovo je 1,074607. Omjer od 1,124… do 1,074607 je 1,046598. Na kraju ćemo 2 predstaviti kao umnožak brojeva iz tablice. 22.1:
2 = (1,77828) (1,074607) (1,036633). (1,0090350) (1,000573).
Za posljednji faktor (1,000573) nije bilo mjesta u našoj tablici; da bismo pronašli njegov logaritam, potrebno je ovaj broj predstaviti kao 10∆/1024 ≈ 1 + 2,3025∆/1024. Odavde je lako pronaći da je ∆ = 0,254. Dakle, naš proizvod se može predstaviti kao desetica podignuta na stepen 1/1024 (266 + 32 + 16 + 4 + 0,254). Zbrajanjem i dijeljenjem dobivamo željeni logaritam: log 10 2 = 0,30103; ovaj rezultat je točan do pete decimale!

Izračunali smo logaritme na potpuno isti način kao što je to učinio gospodin Briggs iz Halifaxa 1620. Kada je završio, rekao je: "Izračunao sam uzastopno 54 kvadratna korijena od 10." Zapravo, izračunao je samo prvih 27 korijena, a onda je napravio trik s ∆. Izračunavanje 27 puta kvadratnog korijena od 10 zapravo je malo teže nego
10 puta kao mi. Međutim, gospodin Briggs je učinio mnogo više: izračunao je korijene na šesnaestu decimalu, a kada je objavio svoje tablice, ostavio im je samo 14 decimalnih mjesta kako bi zaokružio pogreške. Ovom metodom vrlo je teško sastaviti tablice logaritama na četrnaestu decimalu. Ali čak 300 godina kasnije, sastavljači tablica logaritama bili su zauzeti smanjivanjem tablica gospodina Briggsa, svaki put ih izbacujući različit broj decimalna mjesta. Tek u novije vrijeme bilo je moguće uz pomoć elektroničkih računala sastaviti tablice logaritama neovisno o gospodinu Briggsu. Koristilo se više učinkovita metoda izračuni temeljeni na proširenju logaritma u niz.

Sastavljajući tablice, naišli smo zanimljiva činjenica; ako je eksponent ε vrlo mali, onda je vrlo lako izračunati 10 ε ; to je samo 1+2,3025ε. To znači da je 10 n/2,3025 = 1 + n za vrlo mali n. Osim toga, od samog početka smo rekli da logaritme s bazom 10 računamo samo zato što imamo 10 prstiju na rukama i zgodnije nam je brojati u deseticama. Logaritmi na bilo koju drugu bazu dobivaju se iz logaritma na bazu 10 jednostavnim množenjem. Sada je vrijeme da saznamo postoji li matematički različita baza logaritama, koja se razlikuje iz razloga koji nemaju veze s brojem prstiju na ruci. U ovoj prirodnoj skali formule s logaritmima bi trebale izgledati jednostavnije. Napravimo novu tablicu logaritama množenjem svih osnovnih 10 logaritama s 2,3025…. To odgovara prijelazu na novu bazu - prirodnu, ili bazu e. Imajte na umu da je log e (l + n) ≈ n ili e n ≈ 1 + n, kada je n → 0.

Lako je pronaći sam broj e; jednako je 101/ 2,3025 ili 10 0,4342294... To je 10 na iracionalni stepen. Za izračunavanje e možete koristiti tablicu korijena od 10. Predstavite 0,434294 ... prvo kao 444,73 / 1024, a brojnik ovog razlomka kao zbroj 444,73 \u003d 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0,73 . Broj e je dakle jednak umnošku brojeva
(1,77828) (1,33352) (1,074607) (1,036633) (1,018152) (1,009035) (1,001643) = 2,7184.
(Broj 0,73 nije u našoj tablici, ali odgovarajući rezultat može se predstaviti kao 1 + 2,3025∆/1024 i izračunati s ∆ = 0,73.) Množenjem svih 7 faktora, dobivamo 2,7184 (by bi zapravo trebao biti 2,7183, ali ovaj rezultat dobro je). Koristeći takve tablice, možete podići broj na iracionalni stepen i izračunati logaritme iracionalni brojevi. Tako se nositi s iracionalnošću!

GU „Srednji sveobuhvatna škola№5 im. Bauyrzhan Momyshuly"

Odjel za obrazovanje akimata Kostanaya

PLAN UČENJA

Puno ime (u cijelosti) Plastun Sergej Vladimirovič

Predmetna algebra

Klasa 8A-8b-1

Dana 23.09.17

Izvori Almaty "Mektep-2016"

Osnovni vodič

dodatna literatura

Nalaz približne vrijednosti kvadratnog korijena.

1. Svrha sata: upoznati učenike s pojmom "aproksimacijakvadratni korijen" i podučiti kako primijeniti ovaj koncept u praksi.

Zadaci:

Obrazovni:

- naučiti pronaći približne vrijednosti kvadratnog korijena;

-razvijanje sposobnosti rasuđivanja, jasno formulirati pravila, davati primjere, primjenjivati ​​svoja znanja i vještine u praksi.

korijen, baciti i pronaći vrijednosti aritmetičkog kvadratnog korijena.

Razvijanje:

- razvijati vještine učenika u rješavanju zadataka na ovu temu;

- razvijati mentalnu aktivnost učenika.

Obrazovni:

- odgajati pažnju, aktivnost, odgovornost.

2. Vrsta sata:kombinirano.

3. Oblici rada s učenicima: frontalni, individualni.

4. Potrebna tehnička oprema.

5. Vizualna pomagala, didaktički materijali korišteno u lekciji.

6. Struktura i tijek sata.

STRUKTURA I PROCES SATA

Tijekom nastave

1. Organiziranje vremena .

Provjera spremnosti razreda za nastavu. pozdrav.

2. Provjera domaće zadaće.

3. Ponavljanje prethodno naučenog gradiva.

Počnimo s ponavljanjem. usmeni rad

Prisjetimo se što je kvadratni korijen ( korijen od nenegativnog broja a naziva se broj čiji je kvadrat jednak a).

(Aritmetički kvadratni korijen) Aritmetički kvadratni korijen nenegativnog broja a je nenegativan broj b čiji je kvadrat jednak a.

Aritmetički kvadratni korijen broja a označava se kako slijedi:. Znak naziva se znakom aritmetičkog kvadratnog korijena, ili radikalom, i naziva se radikalnim izrazom. Izraz glasi ovako: "Aritmetički kvadratni korijen broja a."

Po definiciji aritmetički korijen jednakost
izvodi pod uvjetom da
.

4. Učenje novog gradiva.

1. Izračunaj: 25, 16, 9, 81,

Pronađite vrijednost izraza √2

- Što ste trebali učiniti?

Što si dobio? (Učenici pokazuju svoje mogućnosti)

U čemu je bila poteškoća?

Je li √2 potpuno ekstrahiran?

Kako ćemo pronaći?

Koji su načini za pronalaženje korijena?

Ljudi, vidite, nemamo uvijek posla s brojevima koji se lako mogu predstaviti kao kvadrat broja koji se potpuno izvlače iz korijena

1 METODA izračunaj √2 do dva decimalna mjesta Argumentirati ćemo na sljedeći način.

Broj √2 je veći od 1 jer je 1 2< 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2 2 больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то.

1< √2 < 2.

Pokušajmo sada pronaći broj desetinki.

Da bismo to učinili, kvadrirat ćemo razlomke od jedan do dva dok ne dobijemo broj veći od dva.

Uzmimo korak dijeljenja 0,1, budući da tražimo broj desetina.

Drugim riječima, kvadrirat ćemo brojeve: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Dobili smo broj veći od dva, preostale brojeve više ne treba kvadrirati. Broj 1,4 2 manji je od 2, a 1,5 2 je već veći od dva, tada broj √2 mora pripadati intervalu od 1,4 do 1,5. Dakle, decimalni zapis broja √2 na desetom mjestu mora sadržavati 4. √2=1,4….

1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Već kod 1.42 dobivamo da je njegov kvadrat veći od dva, daljnje kvadriranje brojeva nema smisla.

Odatle dobivamo da će broj √2 pripadati intervalu od 1,41 do 1,42 (1,41< √2<1,42)

Budući da trebamo napisati √2 s točnošću od dvije decimale, već možemo stati i ne nastaviti računanje.

√2 ≈ 1,41. Ovo će biti odgovor. Kad bi bilo potrebno izračunati još točniju vrijednost, morali bismo nastaviti s izračunima, ponavljajući lanac razmišljanja iznova i iznova.

Zadatak

Izračunajte na dvije decimale

√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =

Izlaz Ova tehnika vam omogućuje da izvučete korijen s bilo kojom unaprijed određenom točnošću.

2 METODA Da biste saznali cjelobrojni dio kvadratnog korijena broja, možete, oduzimajući od njega sve neparne brojeve po redu, dok ostatak ne bude manji od sljedećeg oduzetog broja ili jednak nuli, izbrojati broj izvršenih radnji.

Na primjer, pronađimo √16 ovako:

4 koraka su završena, dakle √16 = 4

Zadatak. Izračunati

√1 √6

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Upotrijebite obrazac u nastavku

Studenti, diplomski studenti, mladi znanstvenici koji koriste bazu znanja u svom studiju i radu bit će vam jako zahvalni.

Hostirano na http://www.allbest.ru/

Tema približnog izračuna korijena uvijek je aktualna, budući da u svakom kolegiju prirodoslovnih predmeta postoje zadaci s kvadratnim korijenom. Tijekom rješavanja mnogih matematičkih problema, kao i zadataka iz geometrije, fizike, kemije itd. baveći se kvadratnim korijenima. Za izdvajanje kvadratnog korijena postoje tablice kvadrata za dvoznamenkaste brojeve, ali to nije dovoljno. Faktoriranje korijena također nije lak zadatak, koji ne dovodi uvijek do željenog rezultata, te sam odlučio proučiti različite metode vađenja kvadratnih korijena s ciljem njihove praktične primjene.

Stoga je svrha rada uspoređivati ​​različite metode aproksimativnog izvlačenja kvadratnih korijena, pri čemu se postavljaju sljedeći zadaci: proučavanje materijala, utvrđivanje najučinkovitije metode ovisno o zadatku.

Riješimo jednadžbu grafički. Da bismo to učinili, konstruiramo parabolu i ravnu liniju u istom koordinatnom sustavu. Apscise točaka A i B korijeni su jednadžbe. Riješimo jednadžbu. Jasno je da ova jednadžba ima dva korijena i, štoviše, ti su brojevi, kao i u prethodna dva slučaja, jednaki po apsolutnoj vrijednosti i suprotni po predznaku (). Prema crtežu, ne možemo naznačiti točne vrijednosti korijena. Broj x1 koji nas zanima nalazi se između brojeva 1 i 2, ali između brojeva 1 i 2 nalazi se beskonačan skup racionalnih brojeva, na primjer, itd. U radu je dokazano da ako imamo samo racionalne brojeve, nećemo moći riješiti jednadžbu.

Matematičari su u razmatranje uveli novi simbol koji su nazvali kvadratni korijen, a uz pomoć tog simbola korijeni jednadžbe su zapisani na sljedeći način: i. Ona glasi: "aritmetički kvadratni korijen od dva". Sada za bilo koju jednadžbu oblika gdje, možete pronaći korijene - to su brojevi i.

Kvadratni korijen nenegativnog broja je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak. Ovaj broj je naznačen. Ako, onda jednadžba nema korijena.

Operacija pronalaženja kvadratnog korijena nenegativnog broja naziva se uzimanje kvadratnog korijena.

Tijekom proučavanja metoda za izračun kvadratnog korijena pronađeno je nekoliko metoda kao što su: aritmetička metoda; gruba metoda procjene; stupac; babilonski način; Heronova metoda i Newtonova metoda; geometrijska metoda. U ovom radu razmatraju se samo neki od njih.

Aritmetički način

ekstrakcija kvadratnog korijena približno

Za kvadrate prirodnih brojeva istinite su sljedeće jednakosti:

Odnosno, da biste saznali cijeli dio kvadratnog korijena broja, možete, oduzimanjem svih neparnih brojeva po redu, sve dok ostatak ne bude manji od sljedećeg oduzetog broja ili jednak nuli, izbrojati broj radnji izvedena.

Na primjer, pronađimo kvadratni korijen od 16 ovako:

Izvršene su 4 radnje, što znači da je kvadratni korijen broja 16 4. Slično, nalazimo kvadratni korijen broja 12:

Izvršene 3 radnje, kvadratni korijen broja 12 je 3 cijela broja.

Nedostatak ove metode je da ako izvučeni korijen nije cijeli broj, tada možete saznati samo njegov cijeli broj, ali ne točnije. Istodobno, ova je metoda sasvim prikladna za grubu procjenu, za učenike koji rješavaju najjednostavnije matematičke probleme koji zahtijevaju vađenje kvadratnog korijena.

Babilonska ili Heronova prva metoda

Ako je pozitivan broj i približna je vrijednost za višak, onda je približna vrijednost za nedostatak.

U radu se razmatra dokaz teorema. Budući da su i približne vrijednosti za višak i nedostatak, te je geometrijska sredina brojeva i, prirodno je odabrati aritmetičku sredinu ovih brojeva kao najbolju aproksimaciju za, t.j. broj. A da biste dobili još točniju vrijednost za, trebate uzeti aritmetičku sredinu brojeva i, t.j. broj. Tako se jedna za drugom izračunavaju sve preciznije približne vrijednosti za. Aproksimacije se provode dok se dvije dobivene vrijednosti ne poklapaju unutar navedene točnosti. Tada imamo formulu:

. (1)

Ova formula se također može izvesti iz nekoliko drugih razmatranja.

Neka, na primjer, trebate izdvojiti kvadratni korijen broja 32. Odaberimo najprije neku približnu vrijednost ovog korijena, na primjer, . Pogreška ove približne vrijednosti će se tada označiti sa. Da bismo pronašli vrijednost, kvadriramo obje strane ove jednakosti, dobivamo:

,

. (2)

Tako se za kvadratnu jednadžbu dobiva. Ako je riješeno, onda. Ispostavilo se da se mi vrtimo u krug: da biste pronašli, morate računati, a da biste pronašli, morate izračunati. Sljedeće razmatranje dolazi u pomoć. Pogreška približne vrijednosti je mala, manja je od jedan, što znači da je broj još manji, pa se u jednakosti (2) može odbaciti. U ovom slučaju se dobiva približna jednadžba, što znači da Dakle, pronađena je približna vrijednost korekcije.

Budući da je onda druga aproksimacija za. Da bismo pronašli točniju aproksimaciju za , ponavljamo opisani postupak.

.

Kvadratiziramo obje strane i odbacujemo mali član:

,

.

Tada se treća aproksimacija za izražava formulom:

. Od tada.

Na isti način, počevši od približne vrijednosti, može se pronaći sljedeća aproksimacija. Zatim, ako se pronađe približna vrijednost, sljedeće se izražava formulom:

.

Štoviše, svaki sljedeći korak dovodi do sve točnijih aproksimacija za. Rezultirajuća formula je poseban slučaj formule (1), u kojoj postoji neki realni broj.

Koristeći formulu (1), možete pronaći približnu vrijednost za, otprilike je jednaka 1,414213562.

Pravilo za pronalaženje približne vrijednosti kvadratnog korijena bilo kojeg prirodnog broja bilo je poznato matematičarima starog Babilona prije više od 4000 godina. Napravili su tablice kvadrata brojeva i kvadratnih korijena brojeva. U isto vrijeme, uspjeli su pronaći približnu vrijednost kvadratnog korijena bilo kojeg cijelog broja.

Formula po kojoj su uzastopne aproksimacije izračunate babilonskom metodom može se napisati na sljedeći način:

.

U ovom slučaju se uzima funkcija, gdje je broj čiji korijen treba pronaći. Djelo pojašnjava točnost babilonske metode.

Ova metoda bila je poznata u staroj Grčkoj i pripisuje se Heronu Aleksandrijskom. Tada je ova metoda napuštena, ali sada se koristi za vađenje kvadratnih korijena na kalkulatorima i računalima.

Rad na ovoj studiji pokazao je da je proučavanje kvadratnih korijena objektivna nužnost: u stvarnom životu postoje situacije čiji matematički modeli sadrže operaciju vađenja kvadratnog korijena. Ali nemamo uvijek pri ruci kalkulator. Osim toga, postoje situacije kada je korištenje kalkulatora neprihvatljivo, na primjer, ispit.

Želio bih odabrati optimalno racionalan način vađenja kvadratnog korijena. Naravno, aritmetička metoda, a posebno metoda grube procjene, jednostavne su za korištenje, ali nisu točne, iako su sasvim prikladne za prvu aproksimaciju. Osim toga, kada se primjenjuju ove metode vađenja kvadratnih korijena, svaka pogreška napravljena na nekom mjestu potpuno obezvređuje daljnje izračune. Drugačija je situacija kod primjene babilonske metode ili metode uzastopnih aproksimacija. Iako je to naporno, moguće je ispravno izračunati vrijednost korijena sa zadanom točnošću.

Hostirano na Allbest.ru

Slični dokumenti

Pojam i matematička bit kvadratnog korijena, njegova svrha i način izračuna. Teoremi koji prikazuju svojstva kvadratnog korijena, njihovo opravdanje i dokaz. Primjena karakteristika kvadratnog korijena u rješavanju geometrijskih zadataka.

sažetak, dodan 01.05.2010


Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u povijesti matematike. Komparativna analiza tehnologija različitih metoda rješavanja jednadžbi drugog stupnja, primjeri njihove primjene. Kratka teorija rješavanja kvadratnih jednadžbi, sastavljanje knjige zadataka.

sažetak, dodan 18.12.2012


Proučavanje metoda za približno rješavanje jednadžbi pomoću grafičkog prikaza funkcija. Istraživanje metode za određivanje realnih korijena kvadratne jednadžbe pomoću šestara i ravnala za sedam zadanih jednadžbi, konstruiranje njihovih grafova.

kreativni rad, dodano 04.09.2010


Gaussova metoda, LU dekompozicija. Sweep za rješavanje linearnih sustava s tridijagonalnim matricama koeficijenata. Metoda kvadratnog korijena za rješavanje sustava: kratak opis, teorijska pozadina, implementacija, testiranje i popis programa.

seminarski rad, dodan 15.01.2013


Sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Cramerove osnovne formule. Točne, aproksimativne metode za rješavanje linearnih sustava. Algoritam za implementaciju metode kvadratnih korijena u programskom jeziku u okruženju Matlab 6.5. Utjecaj dimenzije, uvjetovanost matrice.

test, dodano 27.04.2011


Proučavanje metode kvadratnog korijena za simetričnu matricu kao jedne od metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Analiza različitih parametara matrice i njihov utjecaj na točnost rješenja: dimenzionalnost, uvjetovanost i rijetkost.

seminarski rad, dodan 27.03.2011


Povijest razvoja formula za korijene kvadratnih jednadžbi. Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu. Diofantovo rješenje kvadratnih jednadžbi. Kvadratne jednadžbe u Indiji, Horezmiji i Europi u 13. - 17. stoljeću. Vietin teorem, moderna algebarska notacija.

test, dodano 27.11.2010


Pronalaženje korijena jednadžbi (Odjeljak jednadžbe 1) metodom: Newton, Ridder, Brent, Lobachevsky i Laguerre. Izračunavanje korijena polinoma prema Hornerovoj shemi. Funkcije proizvoljnog oblika (kada se koristi Mathcad paket). Pronalaženje korijena polinoma.

kontrolni rad, dodano 14.08.2010


Proučavanje povijesti kvadratnih jednadžbi. Analiza općeg pravila za rješavanje kvadratnih jednadžbi koje je iznio talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Rješavanje kvadratnih jednadžbi šestarom i ravnalom, pomoću nomograma, metodom "transfer".

U praksi je često potrebno izračunati kvadratne korijene raznih brojeva. Sada se to može učiniti na kalkulatoru ili pomoću računala. Razmotrit ćemo način izračunavanja kvadratnog korijena bilo kojeg broja s potrebnom točnošću, bez korištenja računala, kalkulatora ili drugih računalnih sredstava.

Na primjer, pokušajmo izračunati korijen broja 2, s točnošću od 0,01, odnosno do dvije decimale.

Izračunajmo kvadratni korijen broja 2

Argumentirati ćemo na sljedeći način. Broj √2 je veći od 1 jer je 1 2< 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2 2 больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то. 1< √2 < 2.

Pokušajmo sada pronaći broj desetinki. Da bismo to učinili, kvadrirat ćemo razlomke od jedan do dva dok ne dobijemo broj veći od dva. Uzmimo korak dijeljenja 0,1, budući da tražimo broj desetina. Drugim riječima, kvadrirat ćemo brojeve: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

• 1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Dobijte broj veći od dva, preostale brojeve više nije potrebno kvadrirati. Broj 1,4 2 manji je od 2, a 1,5 2 je već veći od dva, tada broj √2 mora pripadati intervalu od 1,4 do 1,5 (1,4< √2 < 1,5). Следовательно, десятичная запись числа √2 в разряде десятых должна содержать 4. √2=1,4… . Иначе говоря, √2 это число большее 1.4, но не превышающее 1.5.

• 1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Već kod 1.42 dobivamo da je njegov kvadrat veći od dva, daljnje kvadriranje brojeva nema smisla.

Odatle dobivamo da će broj √2 pripadati intervalu od 1,41 do 1,42 (1,41< √2

Budući da trebamo napisati √2 s točnošću od dvije decimale, već možemo stati i ne nastaviti računanje. √2 ≈ 1,41. Ovo će biti odgovor. Kad bi bilo potrebno izračunati još točniju vrijednost, morali bismo nastaviti s izračunima, ponavljajući lanac razmišljanja iznova i iznova.

Kao što je već spomenuto, ova tehnika vam omogućuje da izvučete korijen s bilo kojom unaprijed određenom točnošću.