एक चर के कार्यों का सिद्धांत। गणितीय विश्लेषण

चलो चर एक्स एनमूल्यों का एक अनंत क्रम लेता है

एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन , ..., (1)

और चर के परिवर्तन का नियम ज्ञात है एक्स एन, अर्थात। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एनआप संबंधित मान निर्दिष्ट कर सकते हैं एक्स एन. इस प्रकार यह माना जाता है कि चर एक्स एनका एक कार्य है एन:

एक्स एन = एफ (एन)

आइए हम गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक को परिभाषित करें - एक अनुक्रम की सीमा, या, वही क्या है, एक चर की सीमा एक्स एनचलने का क्रम एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन , ... . .

परिभाषा।स्थिर संख्या एबुलाया अनुक्रम सीमा एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन , ... . या एक चर की सीमा एक्स एन, यदि मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या ई के लिए ऐसी प्राकृतिक संख्या मौजूद है एन(अर्थात संख्या एन) कि चर के सभी मान एक्स एन, इसके साथ शुरुआत एक्स एन, से अलग एई से निरपेक्ष मूल्य में कम। यह परिभाषा संक्षेप में इस प्रकार लिखी गई है:

| एक्स एन -ए |< (2)

सबके लिए एन  एन, या, जो एक ही है,

कॉची सीमा की परिभाषा. एक संख्या ए को एक बिंदु ए पर एक फ़ंक्शन एफ (एक्स) की सीमा कहा जाता है यदि यह फ़ंक्शन बिंदु ए के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है, शायद बिंदु ए को छोड़कर, और प्रत्येक ε> 0 के लिए δ> 0 मौजूद है ऐसा है कि सभी x संतोषजनक स्थिति के लिए |x - a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

हाइन सीमा की परिभाषा. एक संख्या ए को एक बिंदु ए पर एक फ़ंक्शन एफ (एक्स) की सीमा कहा जाता है यदि यह फ़ंक्शन बिंदु ए के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है, शायद बिंदु ए को छोड़कर, और किसी भी अनुक्रम के लिए जैसे कि संख्या a में परिवर्तित होने पर, फ़ंक्शन के मानों का संगत क्रम संख्या A में परिवर्तित हो जाता है।

यदि फलन f(x) की सीमा बिंदु a पर है, तो यह सीमा अद्वितीय है।

संख्या ए 1 को बिंदु ए पर फ़ंक्शन f (x) की बाईं सीमा कहा जाता है यदि प्रत्येक ε> 0 के लिए > मौजूद है

संख्या ए 2 को बिंदु ए पर फ़ंक्शन f (x) की सही सीमा कहा जाता है यदि प्रत्येक ε> 0 के लिए δ> 0 मौजूद है जैसे कि असमानता

बाईं ओर की सीमा को दाईं ओर की सीमा के रूप में दर्शाया गया है - ये सीमाएँ फ़ंक्शन के व्यवहार को बिंदु a के बाईं और दाईं ओर दर्शाती हैं। उन्हें अक्सर एकतरफा सीमा के रूप में संदर्भित किया जाता है। x → 0 के रूप में एकतरफा सीमाओं के संकेतन में, पहला शून्य आमतौर पर छोड़ा जाता है: और। तो, समारोह के लिए

यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए एक बिंदु a का δ-पड़ोस मौजूद है, तो सभी x के लिए शर्त को संतुष्ट करने वाले |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >, तब हम कहते हैं कि फलन f (x) की बिंदु a पर अनंत सीमा है:

इस प्रकार, फ़ंक्शन की बिंदु x = 0 पर एक अनंत सीमा होती है। +∞ और –∞ के बराबर सीमाएं अक्सर प्रतिष्ठित होती हैं। इसलिए,

यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए δ > 0 इस प्रकार मौजूद है कि किसी भी x > असमानता के लिए |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

कम से कम ऊपरी सीमा के लिए अस्तित्व प्रमेय

परिभाषा: AR mR, m - A का ऊपरी (निचला) चेहरा, यदि аА аm (аm)।

परिभाषा:समुच्चय A ऊपर (नीचे से) से घिरा है, यदि वहाँ m मौजूद है जैसे कि аА, तो аm (аm) संतुष्ट है।

परिभाषा: SupA=m, अगर 1) m - A की ऊपरी सीमा

2) m': m' m' A . का ऊपरी फलक नहीं है

InfA = n यदि 1) n, A का अधिकतम है

2) n': n'>n => n', A का अधिकतम नहीं है

परिभाषा: SupA=m एक ऐसी संख्या है कि: 1) aA am

2) >0 a A, जैसे कि एक a-

InfA = n एक ऐसी संख्या कहलाती है जो:

2) >0 a A, जैसे कि एक E a+

प्रमेय:ऊपर से घिरे किसी भी गैर-रिक्त सेट АR में सबसे अच्छा ऊपरी बाउंड होता है, और उस पर एक अद्वितीय होता है।

प्रमाण:

हम वास्तविक रेखा पर एक संख्या m की रचना करते हैं और सिद्ध करते हैं कि यह A की सबसे छोटी ऊपरी सीमा है।

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - A का ऊपरी चेहरा

खंड [[एम], [एम] +1] - 10 भागों में विभाजित

एम 1 =अधिकतम:एए)]

एम 2 = अधिकतम, एम 1: एए)]

एम से =अधिकतम,एम 1 ...एम के-1:एए)]

[[एम], एम 1 ...एम के , [एम], एम 1 ...एम के + 1 10 के ]ए=>[एम],एम 1 ...एम के + 1/ 10 के - शीर्ष चेहरा ए

आइए हम सिद्ध करें कि m=[m],m 1 ...m K सबसे छोटी ऊपरी सीमा है और यह अद्वितीय है:

to: .

चावल। 11. फलन का ग्राफ y चाप x पर है।

आइए अब हम एक जटिल फलन की अवधारणा का परिचय देते हैं ( प्रदर्शन रचनाएँ) मान लीजिए कि तीन समुच्चय D, E, M दिए गए हैं और f: D→E, g: E→M हैं। जाहिर है, एक नया मानचित्रण h: D→M बनाना संभव है, जिसे मैपिंग f और g का संयोजन या एक जटिल फलन कहा जाता है (चित्र 12)।

एक सम्मिश्र फलन को इस प्रकार निरूपित किया जाता है: z =h(x)=g(f(x)) या h = f o g।

चावल। 12. एक जटिल कार्य की अवधारणा के लिए चित्रण।

फलन f (x) कहलाता है आंतरिक कार्य, और फलन g ( y ) - बाहरी कार्य.

1. आंतरिक फलन f (x) = x², बाह्य g (y) sin y। जटिल फलन z= g(f(x))=sin(x²)

2. अब इसके विपरीत। आंतरिक फलन f (x)= sinx, बाहरी g (y) y 2 । यू = एफ (जी (एक्स)) = पाप² (एक्स)