"आंशिक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान"। परिमेय समीकरण

सबसे कम सामान्य भाजक का प्रयोग सरल बनाने के लिए किया जाता है दिया गया समीकरण. इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आप दिए गए समीकरण को समीकरण के प्रत्येक पक्ष पर एक परिमेय व्यंजक के साथ नहीं लिख सकते हैं (और क्रॉस गुणन विधि का उपयोग करें)। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आपको 3 या अधिक भिन्नों के साथ एक परिमेय समीकरण दिया जाता है (दो भिन्नों के मामले में, क्रॉस गुणन बेहतर होता है)।

भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (या कम से कम उभयनिष्ठ गुणज) ज्ञात कीजिए। NOZ is सबसे छोटी संख्या, जो प्रत्येक हर द्वारा समान रूप से विभाज्य है।

कभी-कभी NOZ एक स्पष्ट संख्या होती है। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण दिया गया है: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, तो यह स्पष्ट है कि संख्या 3, 2 और 6 का सबसे छोटा सार्व गुणज 6 होगा।
यदि NOD स्पष्ट नहीं है, तो सबसे बड़े हर के गुणज लिखिए और उनमें से एक ऐसा ज्ञात कीजिए जो अन्य हरों का गुणज भी हो। आप अक्सर दो हरों को एक साथ गुणा करके एनओडी पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 दिया गया है, तो NOZ = 8*9 = 72.
यदि एक या अधिक हर में एक चर होता है, तो प्रक्रिया कुछ अधिक जटिल होती है (लेकिन असंभव नहीं)। इस मामले में, NOZ एक व्यंजक (एक चर युक्त) है जो प्रत्येक हर द्वारा विभाज्य है। उदाहरण के लिए, समीकरण 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) में, क्योंकि यह व्यंजक प्रत्येक हर से विभाज्य है: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1)।

प्रत्येक भिन्न के अंश और हर दोनों को प्रत्येक भिन्न के संगत हर द्वारा NOZ को विभाजित करने के परिणाम के बराबर संख्या से गुणा करें। चूँकि आप अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा कर रहे हैं, आप एक भिन्न को प्रभावी रूप से 1 से गुणा कर रहे हैं (उदाहरण के लिए, 2/2 = 1 या 3/3 = 1)।

तो हमारे उदाहरण में, 2x/6 प्राप्त करने के लिए x/3 को 2/2 से गुणा करें, और 3/6 प्राप्त करने के लिए 1/2 को 3/3 से गुणा करें (3x + 1/6 को गुणा करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि यह हर है 6)।
इसी तरह आगे बढ़ें जब चर हर में हो। हमारे दूसरे उदाहरण में NOZ = 3x(x-1), इसलिए 5/(x-1) गुना (3x)/(3x) 5(3x)/(3x)(x-1) है; 1/x गुणा 3(x-1)/3(x-1) प्राप्त करने के लिए 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) (x-1)/(x-1) से गुणा करें और आपको 2(x-1)/3x(x-1) मिलता है।

एक्स खोजें।अब जब आपने भिन्नों को एक सामान्य हर में घटा दिया है, तो आप हर से छुटकारा पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, समीकरण के प्रत्येक पक्ष को एक सामान्य हर से गुणा करें। फिर परिणामी समीकरण को हल करें, अर्थात "x" खोजें। ऐसा करने के लिए, चर को समीकरण के एक तरफ अलग करें।

हमारे उदाहरण में: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6। आप इसके साथ 2 भिन्न जोड़ सकते हैं एक ही भाजक, इसलिए समीकरण को इस प्रकार लिखें: (2x+3)/6=(3x+1)/6। समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से गुणा करें और हर से छुटकारा पाएं: 2x+3 = 3x +1। हल करें और x = 2 प्राप्त करें।
हमारे दूसरे उदाहरण में (हर में एक चर के साथ), समीकरण इस तरह दिखता है (एक सामान्य हर में कमी के बाद): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (एक्स -1) / 3 एक्स (एक्स -1)। समीकरण के दोनों पक्षों को NOZ से गुणा करके, आप हर से छुटकारा पाते हैं और प्राप्त करते हैं: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), या 15x = 3x - 3 + 2x -2, या 15x = x - 5 हल करें और प्राप्त करें: x = -5/14।

सीधे शब्दों में कहें, ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें हर में एक चर के साथ कम से कम एक होता है।

उदाहरण के लिए:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

उदाहरण नहींआंशिक तर्कसंगत समीकरण:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के बारे में याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि आपको उनमें लिखने की आवश्यकता है। और जड़ों को खोजने के बाद, उन्हें स्वीकार्यता के लिए जांचना सुनिश्चित करें। अन्यथा, बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, और पूरे समाधान को गलत माना जाएगा।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

ODZ लिखें और "हल करें"।

समीकरण में प्रत्येक पद को एक सामान्य हर से गुणा करें और परिणामी भिन्नों को कम करें। भाजक गायब हो जाएंगे।

कोष्ठक खोले बिना समीकरण लिखिए।

परिणामी समीकरण को हल करें।

ओडीजेड के साथ मिली जड़ों की जांच करें।

चरण 7 में परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले मूलों के उत्तर में लिखिए।

एल्गोरिथ्म को याद न करें, 3-5 हल किए गए समीकरण - और यह अपने आप याद हो जाएगा।

उदाहरण . भिन्नात्मक परिमेय समीकरण हल करें \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

समाधान:

उत्तर: \(3\).

उदाहरण . भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \(=0\)

समाधान:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ओडीजेड: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(डी=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		हम ODZ लिखते हैं और "हल" करते हैं। सूत्र में \(x^2+7x+10\) का विस्तार करें: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)। सौभाग्य से \(x_1\) और \(x_2\) हम पहले ही पा चुके हैं।
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		जाहिर है, भिन्नों का आम भाजक: \((x+2)(x+5)\)। हम इससे पूरे समीकरण को गुणा करते हैं।
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		हम भिन्नों को कम करते हैं
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		कोष्ठक खोलना
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		हम समान शर्तें देते हैं
\(2x^2+9x-5=0\)		समीकरण के मूल ज्ञात करना
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		जड़ों में से एक ओडीजेड के तहत फिट नहीं होता है, इसलिए प्रतिक्रिया में हम केवल दूसरी जड़ लिखते हैं।

उत्तर: \(\frac(1)(2)\).

पाठ मकसद:

ट्यूटोरियल:

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की अवधारणा का गठन;
भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करना;
भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म पर विचार करें, जिसमें यह शर्त भी शामिल है कि भिन्न शून्य के बराबर है;
एल्गोरिथम के अनुसार भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल सिखाना;
परीक्षण कार्य आयोजित करके विषय को आत्मसात करने के स्तर की जाँच करना।

विकसित होना:

तार्किक रूप से सोचने के लिए अर्जित ज्ञान के साथ सही ढंग से काम करने की क्षमता का विकास;
बौद्धिक कौशल और मानसिक संचालन का विकास - विश्लेषण, संश्लेषण, तुलना और सामान्यीकरण;
पहल का विकास, निर्णय लेने की क्षमता, वहाँ रुकने की नहीं;
विकास महत्वपूर्ण सोच;
अनुसंधान कौशल का विकास।

पोषण:

लालन - पालन संज्ञानात्मक रुचिविषय के लिए;
शैक्षिक समस्याओं को हल करने में स्वतंत्रता की शिक्षा;
अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता की शिक्षा।

पाठ प्रकार: पाठ - नई सामग्री की व्याख्या।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

हैलो दोस्तों! ब्लैकबोर्ड पर समीकरण लिखे गए हैं, उन्हें ध्यान से देखें। क्या आप इन सभी समीकरणों को हल कर सकते हैं? कौन से नहीं हैं और क्यों?

वे समीकरण जिनमें बाएँ और दाएँ पक्ष भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक होते हैं, भिन्नात्मक परिमेय समीकरण कहलाते हैं। आपको क्या लगता है कि आज हम पाठ में क्या अध्ययन करेंगे? पाठ का विषय तैयार करें। इसलिए, हम नोटबुक खोलते हैं और पाठ का विषय "भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान" लिखते हैं।

2. ज्ञान की प्राप्ति। ललाट सर्वेक्षण, कक्षा के साथ मौखिक कार्य।

और अब हम उस मुख्य सैद्धांतिक सामग्री को दोहराएंगे जिसका हमें अध्ययन करने की आवश्यकता है नया विषय. कृपया निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:

एक समीकरण क्या है? ( एक चर या चर के साथ समानता.)
समीकरण #1 किसे कहते हैं? ( रैखिक।) रैखिक समीकरणों को हल करने की विधि। ( अज्ञात के साथ सब कुछ समीकरण के बाईं ओर, सभी संख्याओं को दाईं ओर ले जाएं। समान शर्तें लाओ। अज्ञात गुणक का पता लगाएं).
समीकरण 3 किसे कहते हैं? ( वर्ग।) द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ। ( विएटा प्रमेय और उसके परिणामों का उपयोग करते हुए, सूत्रों द्वारा पूर्ण वर्ग का चयन.)
अनुपात क्या है? ( दो संबंधों की समानता।) अनुपात की मुख्य संपत्ति। ( यदि अनुपात सत्य है, तो इसके चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है.)
समीकरणों को हल करने के लिए किन गुणों का उपयोग किया जाता है? ( 1. यदि समीकरण में हम पद को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते हैं, इसके चिह्न को बदलते हैं, तो हमें दिए गए के बराबर एक समीकरण मिलता है। 2. यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो एक समीकरण प्राप्त होगा जो दिए गए के बराबर है.)
एक अंश शून्य के बराबर कब होता है? ( अंश शून्य होता है जब अंश शून्य, और हर शून्य के बराबर नहीं है.)

3. नई सामग्री की व्याख्या।

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 2 को हल करें।

उत्तर: 10.

अनुपात के मूल गुण का उपयोग करके आप किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (पाँच नंबर)।

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 4 को हल करें।

उत्तर: 1,5.

आप समीकरण के दोनों पक्षों को हर से गुणा करके किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (संख्या 6)।

एक्स 2 -7x+12 = 0

डी = 1> 0, एक्स 1 = 3, एक्स 2 = 4।

उत्तर: 3;4.

अब समीकरण #7 को किसी एक तरीके से हल करने का प्रयास करें।


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
एक्स (एक्स -5) (एक्स 2 -3x-10) = 0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
एक्स 1 \u003d 0 एक्स 2 \u003d 5 डी \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
उत्तर: 0;5;-2.			उत्तर: 5;-2.

बताएं कि ऐसा क्यों हुआ? एक मामले में तीन और दूसरे में दो जड़ें क्यों हैं? इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल क्या हैं?

अब तक, छात्र एक बाहरी जड़ की अवधारणा से नहीं मिले हैं, उनके लिए यह समझना वास्तव में बहुत मुश्किल है कि ऐसा क्यों हुआ। यदि कक्षा में कोई भी इस स्थिति की स्पष्ट व्याख्या नहीं कर सकता है, तो शिक्षक प्रमुख प्रश्न पूछता है।

समीकरण संख्या 2 और 4 समीकरण संख्या 5,6,7 से किस प्रकार भिन्न हैं? ( संख्या के हर में समीकरण संख्या 2 और 4 में, संख्या 5-7 - एक चर के साथ व्यंजक.)
समीकरण की जड़ क्या है? ( चर का वह मान जिस पर समीकरण सच्ची समानता बन जाता है.)
कैसे पता करें कि कोई संख्या समीकरण का मूल है या नहीं? ( चेक करें.)

एक परीक्षण करते समय, कुछ छात्र ध्यान देते हैं कि उन्हें शून्य से भाग देना है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि संख्या 0 और 5 इस समीकरण की जड़ें नहीं हैं। प्रश्न उठता है: क्या इस त्रुटि को समाप्त करने वाले भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कोई तरीका है? हाँ, यह विधि इस शर्त पर आधारित है कि भिन्न शून्य के बराबर है।

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2।

यदि x=5, तो x(x-5)=0, तो 5 एक बाह्य मूल है।

यदि x=-2, तो x(x-5)≠0.

उत्तर: -2.

आइए इस तरह से भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करने का प्रयास करें। बच्चे स्वयं एल्गोरिथम तैयार करते हैं।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

सब कुछ बाईं ओर ले जाएं।
भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ।
एक प्रणाली बनाएं: अंश शून्य होता है जब अंश शून्य होता है और हर शून्य नहीं होता है।
प्रश्न हल करें।
बाहरी जड़ों को बाहर करने के लिए असमानता की जाँच करें।
उत्तर लिखिए।

चर्चा: यदि अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग किया जाता है और समीकरण के दोनों पक्षों को एक सामान्य हर से गुणा किया जाता है, तो समाधान को औपचारिक कैसे बनाया जाए। (समाधान को पूरक करें: इसकी जड़ों से उन लोगों को बाहर करें जो आम भाजक को शून्य में बदल देते हैं)।

4. नई सामग्री की प्राथमिक समझ।

जोड़े में काम। छात्र समीकरण के प्रकार के आधार पर समीकरण को स्वयं हल करने का तरीका चुनते हैं। पाठ्यपुस्तक "बीजगणित 8" से कार्य, यू.एन. मकारिचेव, 2007: नंबर 600 (बी, सी, आई); नंबर 601 (ए, ई, जी)। शिक्षक कार्य के प्रदर्शन को नियंत्रित करता है, उत्पन्न होने वाले प्रश्नों का उत्तर देता है, और खराब प्रदर्शन करने वाले छात्रों को सहायता प्रदान करता है। स्व-परीक्षण: बोर्ड पर उत्तर लिखे जाते हैं।

बी) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 3.

c) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 1.5.

ए) उत्तर: -12.5।

छ) उत्तर: 1; 1.5।

5. गृहकार्य का विवरण।

पाठ्यपुस्तक से आइटम 25 पढ़ें, उदाहरण 1-3 का विश्लेषण करें।
भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम सीखें।
नोटबुक नंबर 600 (ए, डी, ई) में हल करें; नंबर 601 (जी, एच)।
#696(a) (वैकल्पिक) को हल करने का प्रयास करें।

6. अध्ययन किए गए विषय पर नियंत्रण कार्य की पूर्ति।

चादरों पर काम किया जाता है।

नौकरी का उदाहरण:

ए) कौन से समीकरण भिन्नात्मक परिमेय हैं?

बी) एक अंश शून्य होता है जब अंश _______________ होता है और हर _______________ होता है।

Q) क्या संख्या -3 समीकरण #6 का मूल है?

डी) समीकरण संख्या 7 को हल करें।

कार्य मूल्यांकन मानदंड:

"5" दिया जाता है यदि छात्र ने 90% से अधिक कार्य सही ढंग से पूरा किया है।
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
"2" उस छात्र को दिया जाता है जिसने 50% से कम कार्य पूरा किया है।
ग्रेड 2 को जर्नल में नहीं डाला गया है, 3 वैकल्पिक है।

7. प्रतिबिंब।

स्वतंत्र कार्य के साथ पत्रक पर रखें:

1 - यदि पाठ आपके लिए दिलचस्प और समझने योग्य था;
2 - दिलचस्प, लेकिन स्पष्ट नहीं;
3 - दिलचस्प नहीं, लेकिन समझने योग्य;
4 - दिलचस्प नहीं, स्पष्ट नहीं।

8. पाठ को सारांशित करना।

तो, आज के पाठ में हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों से परिचित हुए, इन समीकरणों को हल करना सीखा विभिन्न तरीके, प्रशिक्षण की मदद से अपने ज्ञान का परीक्षण किया स्वतंत्र काम. आप अगले पाठ में स्वतंत्र कार्य के परिणामों के बारे में जानेंगे, घर पर आपके पास प्राप्त ज्ञान को समेकित करने का अवसर होगा।

आपकी राय में भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कौन सा तरीका आसान, अधिक सुलभ, अधिक तर्कसंगत है? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने की विधि के बावजूद, क्या नहीं भूलना चाहिए? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की "चालाक" क्या है?

आप सभी का धन्यवाद, सबक खत्म हो गया है।

आइए परिमेय और भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों से परिचित हों, उनकी परिभाषा दें, उदाहरण दें, और सबसे सामान्य प्रकार की समस्याओं का विश्लेषण भी करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

परिमेय समीकरण: परिभाषा और उदाहरण

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों से परिचित होना स्कूल की 8 वीं कक्षा में शुरू होता है। इस समय, बीजगणित पाठों में, छात्र तेजी से समीकरणों वाले कार्यों को पूरा करना शुरू कर रहे हैं जिनमें शामिल हैं तर्कसंगत अभिव्यक्तिआपके नोट्स में। आइए अपनी याददाश्त को ताज़ा करें कि यह क्या है।

परिभाषा 1

तर्कसंगत समीकरणएक समीकरण है जिसमें दोनों पक्षों में परिमेय व्यंजक होते हैं।

विभिन्न मैनुअल में, आप एक और शब्द पा सकते हैं।

परिभाषा 2

तर्कसंगत समीकरण- यह एक समीकरण है, जिसके बाईं ओर के रिकॉर्ड में एक परिमेय व्यंजक होता है, और दाईं ओर शून्य होता है।

हमने परिमेय समीकरणों के लिए जो परिभाषाएँ दी हैं, वे समतुल्य हैं, क्योंकि उनका मतलब एक ही है। हमारे शब्दों की शुद्धता की पुष्टि इस तथ्य से होती है कि किसी भी तर्कसंगत अभिव्यक्ति के लिए पीऔर क्यूसमीकरण पी = क्यूऔर पी - क्यू = 0समकक्ष अभिव्यक्ति होगी।

अब आइए उदाहरणों की ओर मुड़ें।

उदाहरण 1

परिमेय समीकरण:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , xx 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3।

परिमेय समीकरण, अन्य प्रकार के समीकरणों की तरह, 1 से लेकर कई तक के चर हो सकते हैं। आरंभ करने के लिए, हम विचार करेंगे सरल उदाहरण, जिसमें समीकरणों में केवल एक चर होगा। और फिर हम धीरे-धीरे कार्य को जटिल बनाना शुरू करते हैं।

परिमेय समीकरण दो बड़े समूहों में विभाजित हैं: पूर्णांक और भिन्नात्मक। आइए देखें कि प्रत्येक समूह पर कौन से समीकरण लागू होंगे।

परिभाषा 3

एक परिमेय समीकरण एक पूर्णांक होगा यदि इसके बाएँ और दाएँ भागों के रिकॉर्ड में संपूर्ण परिमेय व्यंजक हों।

परिभाषा 4

एक परिमेय समीकरण भिन्नात्मक होगा यदि उसके एक या दोनों भागों में भिन्न हो।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों में आवश्यक रूप से एक चर द्वारा विभाजन होता है, या चर हर में मौजूद होता है। पूर्णांक समीकरण लिखने में ऐसा कोई विभाजन नहीं है।

उदाहरण 2

3 एक्स + 2 = 0और (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0 , 5संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण हैं। यहाँ समीकरण के दोनों भागों को पूर्णांक व्यंजकों द्वारा निरूपित किया जाता है।

1 एक्स - 1 = एक्स 3 और x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5भिन्नात्मक परिमेय समीकरण हैं।

संपूर्ण परिमेय समीकरणों में रैखिक और द्विघात समीकरण शामिल हैं।

संपूर्ण समीकरणों को हल करना

ऐसे समीकरणों का हल आमतौर पर उनके समतुल्य बीजीय समीकरणों में परिवर्तन को कम कर देता है। यह निम्नलिखित एल्गोरिथम के अनुसार समीकरणों के समतुल्य परिवर्तन करके प्राप्त किया जा सकता है:

सबसे पहले हमें समीकरण के दाईं ओर शून्य मिलता है, इसके लिए समीकरण के दाईं ओर स्थित व्यंजक को इसके बाईं ओर स्थानांतरित करना और चिह्न बदलना आवश्यक है;
तब हम समीकरण के बाईं ओर के व्यंजक को बहुपद में बदल देते हैं मानक दृश्य.

हमें एक बीजीय समीकरण प्राप्त करना है। यह समीकरण मूल समीकरण के तुल्य होगा। आसान मामले हमें पूरे समीकरण को एक रैखिक या द्विघात समीकरण में कम करके समस्या को हल करने की अनुमति देते हैं। सामान्य स्थिति में, हम डिग्री के बीजीय समीकरण को हल करते हैं एन.

उदाहरण 3

संपूर्ण समीकरण के मूल ज्ञात करना आवश्यक है 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

समाधान

आइए हम मूल व्यंजक को उसके समतुल्य बीजीय समीकरण प्राप्त करने के लिए रूपांतरित करें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण के दाईं ओर निहित व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करेंगे और चिह्न को विपरीत में बदल देंगे। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

अब हम बाईं ओर के व्यंजक को मानक रूप के बहुपद में बदल देंगे और प्रदर्शन करेंगे आवश्यक कार्रवाईइस बहुपद के साथ:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

हम फॉर्म के द्विघात समीकरण के समाधान के लिए मूल समीकरण के समाधान को कम करने में कामयाब रहे एक्स 2 - 5 एक्स - 6 = 0. इस समीकरण का विभेदक धनात्मक है: डी = (- 5) 2 - 4 1 (- 6) = 25 + 24 = 49।इसका मतलब है कि दो वास्तविक जड़ें होंगी। आइए द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके उन्हें खोजें:

एक्स \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 या x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 या x 2 = - 1

आइए समीकरण की जड़ों की शुद्धता की जांच करें जो हमने समाधान के दौरान पाया था। इस संख्या के लिए, जो हमें प्राप्त हुई, हम मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3और 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) - 1) - 3. पहले मामले में 63 = 63 , क्षण में 0 = 0 . जड़ों एक्स = 6और एक्स = - 1वास्तव में उदाहरण की स्थिति में दिए गए समीकरण के मूल हैं।

उत्तर: 6 , − 1 .

आइए देखें कि "संपूर्ण समीकरण की शक्ति" का क्या अर्थ है। हम अक्सर उन मामलों में इस शब्द का सामना करेंगे जब हमें बीजगणित के रूप में एक संपूर्ण समीकरण का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता होती है। आइए अवधारणा को परिभाषित करें।

परिभाषा 5

एक पूर्णांक समीकरण की डिग्रीमूल पूरे समीकरण के बराबर एक बीजीय समीकरण की डिग्री है।

यदि आप उपरोक्त उदाहरण से समीकरणों को देखते हैं, तो आप स्थापित कर सकते हैं: इस पूरे समीकरण की डिग्री दूसरी है।

यदि हमारा पाठ्यक्रम दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने तक सीमित था, तो विषय पर विचार यहां पूरा किया जा सकता था। लेकिन सब कुछ इतना आसान नहीं है। थर्ड डिग्री के समीकरणों को हल करना मुश्किलों से भरा होता है। और चौथी डिग्री से ऊपर के समीकरणों के लिए, यह बिल्कुल भी मौजूद नहीं है सामान्य सूत्रजड़ें इस संबंध में, तीसरी, चौथी और अन्य डिग्री के संपूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए हमें कई अन्य तकनीकों और विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला दृष्टिकोण गुणन विधि पर आधारित है। इस मामले में क्रियाओं का एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

हम व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं ताकि शून्य रिकॉर्ड के दाईं ओर बना रहे;
हम बायीं ओर के व्यंजक को गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं, और फिर हम कई सरल समीकरणों के समुच्चय की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

समीकरण (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) = 2 x (x 2 - 10 x + 13) का हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम रिकॉर्ड के दाईं ओर से विपरीत चिह्न के साथ व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. बाईं ओर को मानक रूप के बहुपद में बदलना इस तथ्य के कारण अव्यावहारिक है कि यह हमें चौथी डिग्री का बीजीय समीकरण देगा: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. परिवर्तन की आसानी ऐसे समीकरण को हल करने में सभी कठिनाइयों को उचित नहीं ठहराती है।

दूसरी तरफ जाना बहुत आसान है: हम सामान्य कारक निकालते हैं एक्स 2 - 10 एक्स + 13।इस प्रकार हम फॉर्म के समीकरण पर पहुंचते हैं (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. अब हम परिणामी समीकरण को दो द्विघात समीकरणों के समुच्चय से प्रतिस्थापित करते हैं एक्स 2 - 10 एक्स + 13 = 0और एक्स 2 - 2 एक्स - 1 = 0और विभेदक के माध्यम से उनकी जड़ें खोजें: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 ।

उत्तर: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2।

इसी तरह, हम एक नए चर को पेश करने की विधि का उपयोग कर सकते हैं। यह विधि हमें मूल संपूर्ण समीकरण की तुलना में कम शक्तियों वाले समकक्ष समीकरणों को पारित करने की अनुमति देती है।

उदाहरण 5

क्या समीकरण की जड़ें हैं? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)?

समाधान

यदि अब हम एक संपूर्ण परिमेय समीकरण को एक बीजीय समीकरण में कम करने का प्रयास करते हैं, तो हमें घात 4 का एक समीकरण प्राप्त होगा, जिसका कोई परिमेय मूल नहीं है। इसलिए, हमारे लिए दूसरी तरफ जाना आसान होगा: एक नया चर y पेश करें, जो समीकरण में अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करेगा एक्स 2 + 3 एक्स.

अब हम पूरे समीकरण के साथ काम करेंगे (y + 1) 2 + 10 = - 2 (y - 4). हम समीकरण के दाईं ओर विपरीत चिह्न के साथ बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और आवश्यक परिवर्तन करते हैं। हमें मिला: वाई 2 + 4 वाई + 3 = 0. आइए द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें: वाई = - 1और वाई = - 3.

अब चलो रिवर्स प्रतिस्थापन करते हैं। हमें दो समीकरण मिलते हैं एक्स 2 + 3 एक्स = - 1और एक्स 2 + 3 एक्स = - 3।आइए उन्हें x 2 + 3 x + 1 = 0 और . के रूप में फिर से लिखें एक्स 2 + 3 एक्स + 3 = 0. प्राप्त प्रथम समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए हम द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र का उपयोग करते हैं: - 3 ± 5 2 । दूसरे समीकरण का विवेचक ऋणात्मक है। इसका मतलब है कि दूसरे समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

उत्तर:- 3 ± 5 2

उच्च डिग्री के पूर्णांक समीकरण अक्सर समस्याओं में आते हैं। इनसे डरने की जरूरत नहीं है। आपको कई कृत्रिम परिवर्तनों सहित, उन्हें हल करने की एक गैर-मानक विधि लागू करने के लिए तैयार रहने की आवश्यकता है।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल

हम इस उप-विषय पर विचार p (x) q (x) = 0 के रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म के साथ शुरू करते हैं, जहां पी (एक्स)और क्यू (एक्स)पूर्णांक परिमेय व्यंजक हैं। अन्य भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के हल को हमेशा संकेतित रूप के समीकरणों के हल में घटाया जा सकता है।

समीकरण p (x) q (x) = 0 को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि निम्नलिखित कथन पर आधारित है: संख्यात्मक भिन्न आप, कहाँ पे वीएक संख्या है जो शून्य से भिन्न होती है, शून्य के बराबर होती है केवल उन मामलों में जहां भिन्न का अंश शून्य के बराबर होता है। उपरोक्त कथन के तर्क का अनुसरण करते हुए, हम यह दावा कर सकते हैं कि समीकरण p (x) q (x) = 0 का हल दो शर्तों की पूर्ति के लिए घटाया जा सकता है: पी (एक्स) = 0और क्यू (एक्स) 0. इस पर, p (x) q (x) = 0 के रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म बनाया गया है:

हम संपूर्ण परिमेय समीकरण का हल ढूंढते हैं पी (एक्स) = 0;
हम जाँचते हैं कि समाधान के दौरान मिली जड़ों के लिए स्थिति संतुष्ट है या नहीं क्यू (एक्स) 0.

यदि यह शर्त पूरी हो जाती है तो जड़ मिल जाती है यदि नहीं तो जड़ समस्या का समाधान नहीं है।

उदाहरण 6

समीकरण 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम p (x) q (x) = 0 के रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के साथ काम कर रहे हैं, जिसमें p (x) = 3 · x -2 , q (x) = 5 · x 2 - 2 = 0 है। आइए रैखिक समीकरण को हल करना शुरू करें 3 एक्स - 2 = 0. इस समीकरण का मूल होगा एक्स = 2 3.

आइए देखें कि पाया गया मूल क्या है, क्या यह शर्त को पूरा करता है 5 x 2 - 2 0. ऐसा करने के लिए, व्यंजक में एक संख्यात्मक मान बदलें। हमें मिलता है: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 0।

शर्त पूरी होती है। इसका मतलब है कि एक्स = 2 3मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर: 2 3 .

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण p (x) q (x) = 0 को हल करने के लिए एक अन्य विकल्प है। याद रखें कि यह समीकरण पूरे समीकरण के बराबर है पी (एक्स) = 0मूल समीकरण के चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा पर। यह हमें समीकरण p(x) q(x) = 0 को हल करने में निम्नलिखित एल्गोरिथम का उपयोग करने की अनुमति देता है:

प्रश्न हल करें पी (एक्स) = 0;
चर x के लिए स्वीकार्य मानों की श्रेणी ज्ञात कीजिए;
हम मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के वांछित मूल के रूप में चर x के स्वीकार्य मानों के क्षेत्र में स्थित जड़ों को लेते हैं।

उदाहरण 7

समीकरण x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 हल कीजिए।

समाधान

शुरू करने के लिए, आइए तय करें द्विघात समीकरण एक्स 2 - 2 एक्स - 11 = 0. इसकी जड़ों की गणना करने के लिए, हम एक दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र का उपयोग करते हैं। हमें मिला डी 1 = (− 1) 2 - 1 (− 11) = 12, और x = 1 ± 2 3 ।

अब हम मूल समीकरण के लिए x का ODV ज्ञात कर सकते हैं। ये सभी संख्याएँ हैं जिनके लिए एक्स 2 + 3 एक्स ≠ 0. यह वैसा ही है जैसा एक्स (एक्स + 3) 0, जहां से x ≠ 0 , x ≠ − 3 ।

अब देखते हैं कि समाधान के पहले चरण में प्राप्त मूल x = 1 ± 2 3 चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा के भीतर हैं या नहीं। हम देखते हैं कि क्या आता है। इसका अर्थ है कि मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के दो मूल हैं x = 1 ± 2 3 ।

उत्तर:एक्स = 1 ± 2 3

दूसरा समाधान विधि वर्णित पहले की तुलना में आसानऐसे मामलों में जहां चर x के स्वीकार्य मानों का क्षेत्रफल और समीकरण के मूल का पता लगाना आसान हो पी (एक्स) = 0तर्कहीन। उदाहरण के लिए, 7 ± 4 26 9। जड़ें तर्कसंगत हो सकती हैं, लेकिन एक बड़े अंश या हर के साथ। उदाहरण के लिए, 127 1101 और − 31 59 . यह स्थिति की जाँच के लिए समय बचाता है। क्यू (एक्स) 0: ओडीजेड के अनुसार, फिट नहीं होने वाली जड़ों को बाहर करना बहुत आसान है।

जब समीकरण की जड़ें पी (एक्स) = 0पूर्णांक हैं, तो p (x) q (x) = 0 के रूप के समीकरणों को हल करने के लिए वर्णित एल्गोरिदम में से पहले का उपयोग करना अधिक समीचीन है। एक पूरे समीकरण की जड़ों को तेजी से ढूँढना पी (एक्स) = 0, और फिर जांचें कि क्या उनके लिए शर्त पूरी हुई है क्यू (एक्स) 0, और ODZ नहीं खोजें, और फिर समीकरण हल करें पी (एक्स) = 0इस ओडीजेड पर। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में ओडीजेड खोजने की तुलना में आमतौर पर जांच करना आसान होता है।

उदाहरण 8

समीकरण (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 के मूल ज्ञात कीजिए। = 0।

समाधान

हम पूरे समीकरण पर विचार करके शुरू करते हैं (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0और उसकी जड़ों को खोज रहा है। ऐसा करने के लिए, हम गुणनखंडन द्वारा समीकरणों को हल करने की विधि लागू करते हैं। यह पता चला है कि मूल समीकरण चार समीकरणों के एक सेट के बराबर है 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, जिनमें से तीन रैखिक हैं और एक चौकोर है। हम मूल पाते हैं: पहले समीकरण से एक्स = 1 2, दूसरे से एक्स = 6, तीसरे से - x \u003d 7, x \u003d - 2, चौथे से - एक्स = - 1.

आइए प्राप्त जड़ों की जांच करें। इस मामले में ODZ निर्धारित करना हमारे लिए मुश्किल है, क्योंकि इसके लिए हमें पांचवीं डिग्री के बीजीय समीकरण को हल करना होगा। उस स्थिति की जाँच करना आसान होगा जिसके अनुसार भिन्न का हर, जो समीकरण के बाईं ओर है, गायब नहीं होना चाहिए।

बदले में, व्यंजक में चर x के स्थान पर मूलों को प्रतिस्थापित करें x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112और इसके मूल्य की गणना करें:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 0;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;

(- 2) 5 - 15 (- 2) 4 + 57 (- 2) 3 - 13 (- 2) 2 + 26 (- 2) + 112 = - 720 ≠ 0;

(− 1) 5 - 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 - 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0।

किया गया सत्यापन हमें यह स्थापित करने की अनुमति देता है कि मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण की जड़ें हैं 1 2 , 6 तथा − 2 .

उत्तर: 1 2 , 6 , - 2

उदाहरण 9

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान

आइए समीकरण से शुरू करते हैं (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. आइए जानें इसकी जड़ें। द्विघात और रैखिक समीकरणों के संयोजन के रूप में इस समीकरण का प्रतिनिधित्व करना हमारे लिए आसान है 5 x 2 - 7 x - 1 = 0और एक्स -2 = 0.

द्विघात समीकरण के मूल सूत्र का उपयोग करके हम मूल ज्ञात करते हैं। हमें पहले समीकरण से दो मूल x = 7 ± 69 10 मिलते हैं, और दूसरे से एक्स = 2.

स्थितियों की जांच करने के लिए मूल समीकरण में मूलों के मान को प्रतिस्थापित करना हमारे लिए काफी कठिन होगा। चर x का LPV निर्धारित करना आसान होगा। इस मामले में, चर x का डीपीवी सभी संख्याएं हैं, सिवाय उन लोगों के जिनके लिए शर्त संतुष्ट है एक्स 2 + 5 एक्स - 14 = 0. हम पाते हैं: x - , - 7 ∪ - 7, 2 2 , + ∞ ।

अब देखते हैं कि हमें मिली जड़ें x चर के लिए स्वीकार्य मानों की श्रेणी से संबंधित हैं या नहीं।

मूल x = 7 ± 69 10 - संबंधित हैं, इसलिए, वे मूल समीकरण के मूल हैं, और एक्स = 2- संबंधित नहीं है, इसलिए, यह एक बाहरी जड़ है।

उत्तर:एक्स = 7 ± 69 10।

आइए हम उन मामलों की अलग-अलग जाँच करें जब p (x) q (x) = 0 के रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के अंश में एक संख्या होती है। ऐसे मामलों में, यदि अंश में शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है, तो समीकरण के मूल नहीं होंगे। यदि यह संख्या शून्य के बराबर है, तो समीकरण का मूल ODZ से कोई भी संख्या होगी।

उदाहरण 10

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 को हल करें।

समाधान

इस समीकरण की जड़ें नहीं होंगी, क्योंकि समीकरण के बाईं ओर से अंश के अंश में एक गैर-शून्य संख्या होती है। इसका अर्थ है कि x के किसी भी मान के लिए समस्या की स्थिति में दिए गए भिन्न का मान शून्य के बराबर नहीं होगा।

उत्तर:कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 11

समीकरण 0 x 4 + 5 x 3 = 0 हल करें।

समाधान

चूँकि भिन्न का अंश शून्य है, समीकरण का हल ODZ चर x से x का कोई भी मान होगा।

अब ODZ को परिभाषित करते हैं। इसमें सभी x मान शामिल होंगे जिसके लिए x 4 + 5 x 3 0. समीकरण समाधान x 4 + 5 x 3 = 0हैं 0 और − 5 , चूंकि यह समीकरण समीकरण के बराबर है एक्स 3 (एक्स + 5) = 0, और यह, बदले में, दो समीकरणों x 3 = 0 और . के समुच्चय के बराबर है एक्स + 5 = 0जहां ये जड़ें दिखाई दे रही हैं। हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि स्वीकार्य मूल्यों की वांछित सीमा कोई भी x है, सिवाय एक्स = 0और एक्स = -5.

यह पता चला है कि भिन्नात्मक परिमेय समीकरण 0 x 4 + 5 x 3 = 0 के अनंत समाधान हैं, जो शून्य और - 5 को छोड़कर कोई भी संख्या है।

उत्तर: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

अब आइए एक मनमाना रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीकों के बारे में बात करते हैं। उन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है आर (एक्स) = एस (एक्स), कहाँ पे आर (एक्स)और एस (एक्स)तर्कसंगत व्यंजक हैं, और उनमें से कम से कम एक भिन्नात्मक है। ऐसे समीकरणों के हल को p (x) q (x) = 0 के रूप के समीकरणों के हल में घटाया जाता है।

हम पहले से ही जानते हैं कि हम समीकरण के दाईं ओर से विपरीत चिह्न वाले व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करके एक समान समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इसका मतलब है कि समीकरण आर (एक्स) = एस (एक्स)समीकरण के बराबर है आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0. हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि एक परिमेय व्यंजक को परिमेय भिन्न में कैसे बदला जाए। इसके लिए धन्यवाद, हम समीकरण को आसानी से बदल सकते हैं आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0 p (x) q (x) के रूप के समरूप परिमेय भिन्न में।

इसलिए हम मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण से आगे बढ़ते हैं आर (एक्स) = एस (एक्स) p (x) q (x) = 0 के रूप का एक समीकरण, जिसे हम हल करना सीख चुके हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि से संक्रमण करते समय आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0से p (x) q (x) = 0 और फिर to पी (एक्स) = 0हम चर x के मान्य मानों की सीमा के विस्तार को ध्यान में नहीं रख सकते हैं।

यह काफी यथार्थवादी है कि मूल समीकरण आर (एक्स) = एस (एक्स)और समीकरण पी (एक्स) = 0परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, वे समकक्ष नहीं रहेंगे। तब समीकरण का हल पी (एक्स) = 0हमें ऐसी जड़ें दे सकते हैं जो विदेशी होंगी आर (एक्स) = एस (एक्स). इस संबंध में, प्रत्येक मामले में ऊपर वर्णित किसी भी तरीके से जांच करना आवश्यक है।

आपके लिए विषय का अध्ययन करना आसान बनाने के लिए, हमने फॉर्म के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए सभी सूचनाओं को एक एल्गोरिथम में सामान्यीकृत किया है आर (एक्स) = एस (एक्स):

हम व्यंजक को विपरीत चिन्ह के साथ दाईं ओर से स्थानांतरित करते हैं और दाईं ओर शून्य प्राप्त करते हैं;
हम भिन्नों और बहुपदों के साथ क्रमिक रूप से क्रिया करके मूल व्यंजक को परिमेय भिन्न p (x) q (x) में बदलते हैं;
प्रश्न हल करें पी (एक्स) = 0;
हम बाहरी जड़ों को ODZ से संबंधित होने की जाँच करके या मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके प्रकट करते हैं।

नेत्रहीन, क्रियाओं की श्रृंखला इस तरह दिखेगी:

आर (एक्स) = एस (एक्स) → आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0 → पी (एक्स) क्यू (एक्स) = 0 → पी (एक्स) = 0 → ड्रॉपआउट आर ओ एन डी ई आर ओ ओ एन एस

उदाहरण 12

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण x x + 1 = 1 x + 1 को हल कीजिए।

समाधान

आइए समीकरण x x + 1 - 1 x + 1 = 0 पर चलते हैं। आइए समीकरण के बाईं ओर भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक को p (x) q (x) के रूप में रूपांतरित करें।

इसके लिए हमें लाना होगा तर्कसंगत अंशएक सामान्य भाजक के लिए और अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

xx + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - xx (x + 1) = - 2 एक्स - 1 एक्स (एक्स + 1)

समीकरण - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 के मूल ज्ञात करने के लिए हमें समीकरण को हल करना होगा − 2 x − 1 = 0. हमें एक जड़ मिलती है एक्स = - 1 2.

किसी भी तरीके से जांच करना हमारे लिए बाकी है। आइए उन दोनों पर विचार करें।

परिणामी मान को मूल समीकरण में रखें। हमें - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 प्राप्त होता है। हम सही संख्यात्मक समानता पर आए हैं − 1 = − 1 . इसका मतलब है कि एक्स = - 1 2मूल समीकरण का मूल है।

अब हम ODZ के माध्यम से जांच करेंगे। आइए चर x के लिए स्वीकार्य मानों का क्षेत्र निर्धारित करें। यह − 1 और 0 (जब x = − 1 और x = 0, भिन्नों के हर गायब हो जाते हैं) को छोड़कर, संख्याओं का पूरा सेट होगा। हमें जो जड़ मिली है एक्स = - 1 2 ODZ के अंतर्गत आता है। इसका मतलब है कि यह मूल समीकरण की जड़ है।

उत्तर: − 1 2 .

उदाहरण 13

समीकरण x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के साथ काम कर रहे हैं। इसलिए, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे।

आइए विपरीत चिह्न के साथ व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाएं: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

आइए आवश्यक परिवर्तन करें: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x।

हम समीकरण पर आते हैं एक्स = 0. इस समीकरण का मूल शून्य है।

आइए देखें कि मूल समीकरण के लिए यह मूल विदेशी है या नहीं। मूल समीकरण में मान रखें: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 । जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी समीकरण का कोई मतलब नहीं है। इसका अर्थ है कि 0 एक बाह्य मूल है, और मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का कोई मूल नहीं है।

उत्तर:कोई जड़ नहीं।

यदि हमने एल्गोरिथम में अन्य समकक्ष परिवर्तनों को शामिल नहीं किया है, तो इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। एल्गोरिथ्म सार्वभौमिक है, लेकिन इसे मदद करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, सीमित करने के लिए नहीं।

उदाहरण 14

समीकरण को हल करें 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

समाधान

एल्गोरिथम के अनुसार दिए गए भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का सबसे आसान तरीका है। लेकिन एक और तरीका है। आइए इस पर विचार करें।

दाएं और बाएं भाग 7 से घटाएं, हमें मिलता है: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बायीं ओर के हर में व्यंजक दायीं ओर से संख्या के व्युत्क्रम की संख्या के बराबर होना चाहिए, अर्थात 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7।

दोनों भागों से घटाएँ 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 । सादृश्य 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3 से, जहां से 1 5 - x 2 \u003d 1 3, और आगे 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

आइए यह स्थापित करने के लिए जांचें कि क्या पाया गया मूल मूल समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर:एक्स = ± 2

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हमने उपरोक्त समीकरण को 7 में प्रस्तुत किया है। सबसे पहले, हम याद करते हैं कि एक परिमेय व्यंजक क्या है। इस - बीजगणतीय अभिव्यक्ति, एक प्राकृतिक घातांक के साथ जोड़, घटाव, गुणा, भाग और घातांक के संचालन का उपयोग करके संख्याओं और चर x से बना है।

यदि r(x) एक परिमेय व्यंजक है, तो समीकरण r(x) = 0 एक परिमेय समीकरण कहलाता है।

हालांकि, व्यवहार में कुछ अधिक उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है व्यापक व्याख्यापद "परिमेय समीकरण": यह h(x) = q(x) के रूप का एक समीकरण है, जहाँ h(x) और q(x) परिमेय व्यंजक हैं।

अब तक, हम किसी भी तर्कसंगत समीकरण को हल नहीं कर सके, लेकिन केवल एक ही, जो विभिन्न परिवर्तनों और तर्कों के परिणामस्वरूप कम हो गया था रेखीय समीकरण. अब हमारी संभावनाएं बहुत अधिक हैं: हम एक तर्कसंगत समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे, जो न केवल रैखिक को कम करता है
mu, लेकिन द्विघात समीकरण के लिए भी।

याद कीजिए कि कैसे हमने पहले परिमेय समीकरणों को हल किया था और एक समाधान एल्गोरिथम तैयार करने का प्रयास किया था।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें

समाधान। हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

इस मामले में, हमेशा की तरह, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि समानताएं ए \u003d बी और ए - बी \u003d 0 ए और बी के बीच समान संबंध व्यक्त करती हैं। इसने हमें समीकरण के बाईं ओर शब्द को स्थानांतरित करने की अनुमति दी विपरीत संकेत।

आइए समीकरण के बाईं ओर के परिवर्तन करते हैं। हमारे पास है

समानता की शर्तों को याद करें अंशोंशून्य: यदि, और केवल तभी, जब दो संबंध एक साथ संतुष्ट हों:

1) भिन्न का अंश शून्य है (a = 0); 2) भिन्न का हर शून्य से भिन्न होता है)।
समीकरण (1) के बाईं ओर भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह ऊपर उल्लिखित दूसरी शर्त की पूर्ति की जाँच करने के लिए बनी हुई है। अनुपात का अर्थ समीकरण (1) के लिए है। मान x 1 = 2 और x 2 = 0.6 संकेतित संबंधों को संतुष्ट करते हैं और इसलिए समीकरण (1) की जड़ों के रूप में कार्य करते हैं, और साथ ही दिए गए समीकरण की जड़ें भी।

1) आइए समीकरण को रूप में बदलें

2) आइए इस समीकरण के बाईं ओर के परिवर्तन करें:

(साथ ही अंश में चिह्नों को बदल दिया और
अंश)।
इस प्रकार से, दिया गया समीकरणरूप लेता है

3) समीकरण x 2 - 6x + 8 = 0 को हल कीजिए

4) पाए गए मानों के लिए, स्थिति की जाँच करें . संख्या 4 इस शर्त को पूरा करती है, लेकिन संख्या 2 नहीं। अतः 4 दिए गए समीकरण का मूल है, और 2 एक बाह्य मूल है।
उत्तर - 4।

2. एक नए चर का परिचय देकर परिमेय समीकरणों का समाधान

एक नया चर पेश करने की विधि आप से परिचित है, हमने इसे एक से अधिक बार उपयोग किया है। आइए उदाहरणों के द्वारा दिखाएं कि इसका उपयोग तर्कसंगत समीकरणों को हल करने में कैसे किया जाता है।

उदाहरण 3समीकरण x 4 + x 2 - 20 = 0 को हल करें।

समाधान। हम एक नया चर y \u003d x 2 पेश करते हैं। चूँकि x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, तो दिए गए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है

वाई 2 + वाई - 20 = 0।

यह एक द्विघात समीकरण है, जिसके मूल हम ज्ञात . का उपयोग करके ज्ञात करेंगे सूत्रों; हमें y 1 = 4, y 2 = - 5 प्राप्त होता है।
लेकिन y \u003d x 2, जिसका अर्थ है कि समस्या दो समीकरणों को हल करने के लिए कम हो गई है:
x2=4; एक्स 2 \u003d -5।

पहले समीकरण से हम पाते हैं कि दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है।
उत्तर: ।
कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 2 + सी \u003d 0 फॉर्म के समीकरण को द्विघात समीकरण ("द्वि" - दो, यानी, जैसा कि "दो बार वर्ग" समीकरण) कहा जाता है। अभी हल किया गया समीकरण बिल्कुल द्विघाती था। किसी भी द्विघात समीकरण को उसी तरह हल किया जाता है जैसे उदाहरण 3 से समीकरण: एक नया चर y \u003d x 2 पेश किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप द्विघात समीकरण को चर y के संबंध में हल किया जाता है, और फिर चर x पर वापस आ जाता है।

उदाहरण 4प्रश्न हल करें

समाधान। ध्यान दें कि समान व्यंजक x 2 + 3x यहाँ दो बार आता है। इसलिए, एक नया चर y = x 2 + Zx पेश करना समझ में आता है। यह हमें एक सरल और अधिक सुखद रूप में समीकरण को फिर से लिखने की अनुमति देगा (जो वास्तव में, एक नया परिचय देने का उद्देश्य है चर- और रिकॉर्डिंग आसान है
, और समीकरण की संरचना स्पष्ट हो जाती है):

और अब हम एक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।

1) आइए समीकरण के सभी पदों को एक भाग में ले जाएँ:

= 0
2) आइए समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें

इसलिए, हमने दिए गए समीकरण को रूप में बदल दिया है

3) समीकरण से - 7y 2 + 29y -4 = 0 हम पाते हैं (हमने पहले से ही बहुत सारे द्विघात समीकरणों को हल कर लिया है, इसलिए शायद यह हमेशा पाठ्यपुस्तक में विस्तृत गणना देने के लायक नहीं है)।

4) आइए 5 (y - 3) (y + 1) की स्थिति का उपयोग करके पाए गए जड़ों की जाँच करें। दोनों जड़ें इस शर्त को पूरा करती हैं।
तो, नए चर y के लिए द्विघात समीकरण हल हो गया है:
चूंकि y \u003d x 2 + Zx, और y, जैसा कि हमने स्थापित किया है, दो मान लेता है: 4 और, - हमें अभी भी दो समीकरणों को हल करना है: x 2 + Zx \u003d 4; एक्स 2 + जेडएक्स \u003d। पहले समीकरण की जड़ें संख्या 1 और -4 हैं, दूसरे समीकरण की जड़ें संख्याएं हैं

विचार किए गए उदाहरणों में, एक नए चर को पेश करने की विधि थी, जैसा कि गणितज्ञ कहना चाहते हैं, स्थिति के लिए पर्याप्त है, अर्थात यह इसके अनुरूप है। क्यों? हाँ, क्योंकि एक ही व्यंजक कई बार समीकरण रिकॉर्ड में स्पष्ट रूप से सामने आया था और इस व्यंजक को एक नए अक्षर से निर्दिष्ट करना उचित था। लेकिन यह हमेशा मामला नहीं होता है, कभी-कभी एक नया चर केवल परिवर्तनों की प्रक्रिया में "प्रकट होता है"। ठीक यही अगले उदाहरण में होगा।

उदाहरण 5प्रश्न हल करें
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
समाधान। हमारे पास है
एक्स (एक्स - 3) \u003d एक्स 2 - 3x;
(एक्स - 1) (एक्स - 2) \u003d एक्स 2 -3x + 2।

अतः दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

अब एक नया चर "प्रकट" हुआ है: y = x 2 - Zx।

इसकी मदद से, समीकरण को y (y + 2) \u003d 24 और फिर y 2 + 2y - 24 \u003d 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस समीकरण की जड़ें संख्या 4 और -6 हैं।

मूल चर x पर लौटने पर, हम दो समीकरण x 2 - Zx \u003d 4 और x 2 - Zx \u003d - 6. प्राप्त करते हैं। पहले समीकरण से हम x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1 पाते हैं; दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

उत्तर : 4,-1.

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