भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के उदाहरण। वीडियो पाठ "तर्कसंगत समीकरण

\(\bullet\) एक परिमेय समीकरण एक समीकरण है जिसे \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] के रूप में व्यक्त किया जाता है जहां \(P(x), \ Q(x)\) - बहुपद (विभिन्न अंशों में "xes" का योग, विभिन्न संख्याओं से गुणा)।
समीकरण के बाईं ओर के व्यंजक को परिमेय व्यंजक कहते हैं।
एक परिमेय समीकरण का ODV (स्वीकार्य मानों की श्रेणी) सभी मान \(x\) है जिसके लिए हर गायब नहीं होता है, अर्थात \(Q(x)\ne 0\) ।
\(\बुलेट\) उदाहरण के लिए, समीकरण \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]तर्कसंगत समीकरण हैं।
पहले समीकरण में, ODZ सभी \(x\) इस प्रकार है कि \(x\ne 3\) (वे लिखते हैं \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); दूसरे समीकरण में, ये सभी \(x\) हैं, जैसे कि \(x\ne -1; x\ne 1\) (लिखें \(x\in (-\infty;-1)\ cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); और तीसरे समीकरण में ODZ पर कोई प्रतिबंध नहीं है, अर्थात, ODZ सभी \(x\) है (वे \(x\in\mathbb(R)\) लिखते हैं)। \(\बुलेट\) प्रमेय:
1) दो कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि उनमें से एक हो शून्य, जबकि दूसरा अपना अर्थ नहीं खोता है, इसलिए, समीकरण \(f(x)\cdot g(x)=0\) प्रणाली के बराबर है \[\begin(मामलों) \बाएं[ \begin(एकत्रित)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(एकत्रित) \right.\\ \ टेक्स्ट (ओडीवी समीकरण) \end(केस)\] 2) भिन्न शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि अंश शून्य के बराबर है और हर शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए, समीकरण \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) समीकरणों की प्रणाली के बराबर है \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) आइए कुछ उदाहरण देखें।

1) समीकरण को हल करें \(x+1=\dfrac 2x\) । आइए जानें ODZ दिया गया समीकरणहै \(x\ne 0\) (क्योंकि \(x\) हर में है)।
तो, ODZ को इस प्रकार लिखा जा सकता है: .
आइए सभी शर्तों को एक भाग में स्थानांतरित करें और एक सामान्य भाजक को कम करें: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( केस) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(केस)\]सिस्टम के पहले समीकरण का हल होगा \(x=-2, x=1\) । हम देखते हैं कि दोनों मूल शून्येतर हैं। इसलिए, उत्तर है: \(x\in \(-2;1\)\) ।

2) समीकरण हल करें \(\बाएं(\dfrac4x - 2\दाएं)\cdot (x^2-x)=0\). आइए इस समीकरण का ODZ ज्ञात करें। हम देखते हैं कि एकमात्र मूल्य \(x\) जिसके लिए बाईं ओर कोई मतलब नहीं है \(x=0\) है। तो OD को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
इस प्रकार, यह समीकरण प्रणाली के बराबर है:

\[\begin(मामलों) \बाएं[ \begin(एकत्रित)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(मामलों) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(गठबंधन) \end(एकत्रित) \right.\\ x\ne 0 \end(केस) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(गठबंधन) \end(एकत्रित) \दाएं।\\ x\ne 0 \end(केस) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(एकत्रित) \शुरू (गठबंधन) औरx=2\\ &x=1 \अंत (गठबंधन) \अंत (एकत्रित) \दाएं।\]वास्तव में, इस तथ्य के बावजूद कि \(x=0\) दूसरे कारक की जड़ है, यदि आप मूल समीकरण में \(x=0\) को प्रतिस्थापित करते हैं, तो इसका कोई मतलब नहीं होगा, क्योंकि व्यंजक \(\dfrac 40\) परिभाषित नहीं है।
तो इस समीकरण का हल है \(x\in \(1;2\)\) ।

3) समीकरण हल करें \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]हमारे समीकरण में \(4x^2-1\ne 0\) , जहां से \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , यानी \(x\ne -\frac12; \frac12\) ।
हम सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और एक सामान्य भाजक को कम करते हैं:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1) )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(मामलों) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered) \begin( संरेखित) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(एकत्रित) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ बायां तीर \quad x=-3\)

उत्तर: \(x\in \(-3\)\) ।

टिप्पणी। यदि उत्तर में संख्याओं का एक सीमित सेट होता है, तो उन्हें अर्धविराम के माध्यम से घुंघराले ब्रेसिज़ में लिखा जा सकता है, जैसा कि पिछले उदाहरणों में दिखाया गया है।

हल किए जाने वाले कार्य तर्कसंगत समीकरण, गणित में यूनिफाइड स्टेट परीक्षा में वे हर साल मिलते हैं, इसलिए, प्रमाणन परीक्षा उत्तीर्ण करने की तैयारी में, स्नातकों को इस विषय पर सिद्धांत को स्वयं ही दोहराना चाहिए। ऐसे कार्यों का सामना करने में सक्षम होने के लिए, स्नातक जो परीक्षा के बुनियादी और प्रोफाइल दोनों स्तरों को पास करते हैं, उन्हें अनिवार्य रूप से उत्तीर्ण होना चाहिए। सिद्धांत में महारत हासिल करने और निपटने के बाद व्यावहारिक अभ्यास"तर्कसंगत समीकरण" विषय पर, छात्र किसी भी संख्या में कार्यों के साथ समस्याओं को हल करने में सक्षम होंगे और परीक्षा उत्तीर्ण करने के परिणामों के आधार पर प्रतिस्पर्धी अंक प्राप्त करने की उम्मीद करेंगे।

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पाठ मकसद:

ट्यूटोरियल:

• भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की अवधारणा का गठन;
• भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करना;
• भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म पर विचार करें, जिसमें यह शर्त भी शामिल है कि भिन्न शून्य के बराबर है;
• एल्गोरिथम के अनुसार भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल सिखाना;
• परीक्षण कार्य आयोजित करके विषय को आत्मसात करने के स्तर की जाँच करना।

विकसित होना:

• तार्किक रूप से सोचने के लिए अर्जित ज्ञान के साथ सही ढंग से काम करने की क्षमता का विकास;
• बौद्धिक कौशल और मानसिक संचालन का विकास - विश्लेषण, संश्लेषण, तुलना और सामान्यीकरण;
• पहल का विकास, निर्णय लेने की क्षमता, वहाँ रुकने की नहीं;
• विकास महत्वपूर्ण सोच;
• अनुसंधान कौशल का विकास।

पोषण:

• लालन - पालन संज्ञानात्मक रुचिविषय के लिए;
• शैक्षिक समस्याओं को हल करने में स्वतंत्रता की शिक्षा;
• अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता की शिक्षा।

पाठ प्रकार: पाठ - नई सामग्री की व्याख्या।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

हैलो दोस्तों! ब्लैकबोर्ड पर समीकरण लिखे गए हैं, उन्हें ध्यान से देखें। क्या आप इन सभी समीकरणों को हल कर सकते हैं? कौन से नहीं हैं और क्यों?

वे समीकरण जिनमें बाएँ और दाएँ भाग भिन्न होते हैं तर्कसंगत अभिव्यक्तिभिन्नात्मक परिमेय समीकरण कहलाते हैं। आपको क्या लगता है कि आज हम पाठ में क्या अध्ययन करेंगे? पाठ का विषय तैयार करें। इसलिए, हम नोटबुक खोलते हैं और पाठ का विषय "भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान" लिखते हैं।

2. ज्ञान की प्राप्ति। ललाट सर्वेक्षण, कक्षा के साथ मौखिक कार्य।

और अब हम उस मुख्य सैद्धांतिक सामग्री को दोहराएंगे जिसका हमें अध्ययन करने की आवश्यकता है नया विषय. कृपया निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:

1. एक समीकरण क्या है? ( एक चर या चर के साथ समानता.)
2. समीकरण #1 किसे कहते हैं? ( रैखिक।) समाधान की विधि रेखीय समीकरण. (अज्ञात के साथ सब कुछ समीकरण के बाईं ओर, सभी संख्याओं को दाईं ओर ले जाएं। समान शर्तें लाओ। अज्ञात गुणक का पता लगाएं).
3. समीकरण 3 किसे कहते हैं? ( वर्ग।) द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ। ( विएटा प्रमेय और उसके परिणामों का उपयोग करते हुए, सूत्रों द्वारा पूर्ण वर्ग का चयन.)
4. अनुपात क्या है? ( दो संबंधों की समानता।) अनुपात की मुख्य संपत्ति। ( यदि अनुपात सत्य है, तो इसके चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है.)
5. समीकरणों को हल करने के लिए किन गुणों का उपयोग किया जाता है? ( 1. यदि समीकरण में हम पद को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते हैं, इसके चिह्न को बदलते हैं, तो हमें दिए गए के बराबर एक समीकरण मिलता है। 2. यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो एक समीकरण प्राप्त होगा जो दिए गए के बराबर है.)
6. एक अंश शून्य के बराबर कब होता है? ( एक अंश शून्य होता है जब अंश शून्य होता है और हर गैर-शून्य होता है.)

3. नई सामग्री की व्याख्या।

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 2 को हल करें।

जवाब: 10.

अनुपात के मूल गुण का उपयोग करके आप किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (पाँच नंबर)।

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 4 को हल करें।

जवाब: 1,5.

आप समीकरण के दोनों पक्षों को हर से गुणा करके किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (संख्या 6)।

एक्स 2 -7x+12 = 0

डी = 1> 0, एक्स 1 = 3, एक्स 2 = 4।

जवाब: 3;4.

अब समीकरण #7 को किसी एक तरीके से हल करने का प्रयास करें।

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
एक्स (एक्स -5) (एक्स 2 -3x-10) = 0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
एक्स 1 \u003d 0 एक्स 2 \u003d 5 डी \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
जवाब: 0;5;-2.			जवाब: 5;-2.

बताएं कि ऐसा क्यों हुआ? एक मामले में तीन और दूसरे में दो जड़ें क्यों हैं? इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल क्या हैं?

अब तक, छात्र एक बाहरी जड़ की अवधारणा से नहीं मिले हैं, उनके लिए यह समझना वास्तव में बहुत मुश्किल है कि ऐसा क्यों हुआ। यदि कक्षा में कोई भी इस स्थिति की स्पष्ट व्याख्या नहीं कर सकता है, तो शिक्षक प्रमुख प्रश्न पूछता है।

• समीकरण संख्या 2 और 4 समीकरण संख्या 5,6,7 से किस प्रकार भिन्न हैं? ( संख्या के हर में समीकरण संख्या 2 और 4 में, संख्या 5-7 - एक चर के साथ व्यंजक.)
• समीकरण की जड़ क्या है? ( चर का वह मान जिस पर समीकरण वास्तविक समानता बन जाता है.)
• कैसे पता करें कि कोई संख्या समीकरण का मूल है या नहीं? ( चेक करें.)

एक परीक्षण करते समय, कुछ छात्र ध्यान देते हैं कि उन्हें शून्य से भाग देना है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि संख्या 0 और 5 इस समीकरण की जड़ें नहीं हैं। सवाल उठता है: क्या इस त्रुटि को समाप्त करने वाले भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करने का कोई तरीका है? हाँ, यह विधि इस शर्त पर आधारित है कि भिन्न शून्य के बराबर है।

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2।

यदि x=5, तो x(x-5)=0, तो 5 एक बाह्य मूल है।

यदि x=-2, तो x(x-5)≠0.

जवाब: -2.

आइए इस प्रकार भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करने का प्रयास करें। बच्चे स्वयं एल्गोरिथम तैयार करते हैं।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

1. सब कुछ बाईं ओर ले जाएं।
2. भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ।
3. एक प्रणाली बनाएं: अंश शून्य होता है जब अंश शून्य होता है और हर शून्य नहीं होता है।
4. प्रश्न हल करें।
5. बाहरी जड़ों को बाहर करने के लिए असमानता की जाँच करें।
6. उत्तर लिखिए।

चर्चा: यदि समानुपात की मूल संपत्ति का उपयोग किया जाता है और समीकरण के दोनों पक्षों को एक सामान्य हर से गुणा किया जाता है तो समाधान को औपचारिक कैसे बनाया जाए। (समाधान को पूरक करें: इसकी जड़ों से उन लोगों को बाहर करें जो आम भाजक को शून्य में बदल देते हैं)।

4. नई सामग्री की प्राथमिक समझ।

जोड़े में काम। छात्र समीकरण के प्रकार के आधार पर समीकरण को स्वयं हल करने का तरीका चुनते हैं। पाठ्यपुस्तक "बीजगणित 8" से कार्य, यू.एन. मकारिचेव, 2007: नंबर 600 (बी, सी, आई); संख्या 601 (ए, ई, जी)। शिक्षक कार्य के प्रदर्शन को नियंत्रित करता है, उत्पन्न होने वाले प्रश्नों का उत्तर देता है, और खराब प्रदर्शन करने वाले छात्रों को सहायता प्रदान करता है। स्व-परीक्षण: बोर्ड पर उत्तर लिखे जाते हैं।

बी) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 3.

c) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 1.5.

ए) उत्तर: -12.5।

छ) उत्तर: 1; 1.5।

5. गृहकार्य का विवरण।

1. पाठ्यपुस्तक से आइटम 25 पढ़ें, उदाहरण 1-3 का विश्लेषण करें।
2. भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम सीखें।
3. नोटबुक नंबर 600 (ए, डी, ई) में हल करें; संख्या 601 (जी, एच)।
4. #696(a) (वैकल्पिक) को हल करने का प्रयास करें।

6. अध्ययन किए गए विषय पर नियंत्रण कार्य की पूर्ति।

चादरों पर काम किया जाता है।

नौकरी का उदाहरण:

ए) कौन से समीकरण भिन्नात्मक परिमेय हैं?

बी) एक अंश शून्य होता है जब अंश _______________ होता है और हर _______________ होता है।

Q) क्या संख्या -3 समीकरण #6 का मूल है?

डी) समीकरण संख्या 7 को हल करें।

कार्य मूल्यांकन मानदंड:

• "5" दिया जाता है यदि छात्र ने 90% से अधिक कार्य सही ढंग से पूरा किया है।
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" उस छात्र को दिया जाता है जिसने 50% से कम कार्य पूरा किया है।
• ग्रेड 2 को जर्नल में नहीं डाला गया है, 3 वैकल्पिक है।

7. प्रतिबिंब।

स्वतंत्र कार्य के साथ पत्रक पर रखें:

• 1 - यदि पाठ आपके लिए दिलचस्प और समझने योग्य था;
• 2 - दिलचस्प, लेकिन स्पष्ट नहीं;
• 3 - दिलचस्प नहीं, लेकिन समझने योग्य;
• 4 - दिलचस्प नहीं, स्पष्ट नहीं।

8. पाठ को सारांशित करना।

तो, आज के पाठ में हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों से परिचित हुए, इन समीकरणों को हल करना सीखा विभिन्न तरीके, प्रशिक्षण की मदद से अपने ज्ञान का परीक्षण किया स्वतंत्र काम. आप अगले पाठ में स्वतंत्र कार्य के परिणामों के बारे में जानेंगे, घर पर आपके पास प्राप्त ज्ञान को समेकित करने का अवसर होगा।

आपकी राय में भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कौन सा तरीका आसान, अधिक सुलभ, अधिक तर्कसंगत है? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने की विधि के बावजूद, क्या नहीं भूलना चाहिए? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की "चालाक" क्या है?

आप सभी का धन्यवाद, सबक खत्म हो गया है।

फेसला भिन्नात्मक परिमेय समीकरण

सहायता गाइड

परिमेय समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें बाएँ और दाएँ दोनों पक्ष परिमेय व्यंजक होते हैं।

(याद रखें कि परिमेय व्यंजक पूर्णांक होते हैं और भिन्नात्मक भावरेडिकल के बिना, जोड़, घटाव, गुणा या भाग के संचालन सहित - उदाहरण के लिए: 6x; (एम - एन) 2; एक्स/3वाई आदि)

आंशिक-तर्कसंगत समीकरण, एक नियम के रूप में, रूप में कम हो जाते हैं:

कहाँ पी(एक्स) और क्यू(एक्स) बहुपद हैं।

ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को Q(x) से गुणा करें, जिससे बाहरी जड़ें निकल सकती हैं। इसलिए, भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करते समय, पाए गए जड़ों की जांच करना आवश्यक है।

एक परिमेय समीकरण को एक पूर्णांक या बीजीय कहा जाता है, यदि इसमें एक चर वाले व्यंजक से विभाजन नहीं होता है।

संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण के उदाहरण:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

यदि एक परिमेय समीकरण में चर (x) वाले व्यंजक से विभाजन होता है, तो समीकरण को भिन्नात्मक परिमेय कहा जाता है।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का एक उदाहरण:

15
एक्स + - = 5x - 17
एक्स

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण आमतौर पर निम्नानुसार हल किए जाते हैं:

1) भिन्नों का एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए और समीकरण के दोनों भागों को इससे गुणा कीजिए;

2) परिणामी संपूर्ण समीकरण को हल करें;

3) इसकी जड़ों से उन लोगों को बाहर करें जो भिन्नों के सामान्य हर को शून्य में बदल देते हैं।

पूर्णांक और भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के उदाहरण।

उदाहरण 1. संपूर्ण समीकरण को हल करें

एक्स - 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

फेसला:

सबसे कम आम भाजक ढूँढना। यह 6 है। 6 को हर से विभाजित करें और परिणाम को प्रत्येक भिन्न के अंश से गुणा करें। हमें इसके बराबर एक समीकरण मिलता है:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

बाएँ और दाएँ पक्षों के बाद से एक ही भाजक, इसे छोड़ा जा सकता है। तब हमारे पास एक सरल समीकरण होता है:

3(x - 1) + 4x = 5x।

हम इसे कोष्ठक खोलकर और समान पदों को कम करके हल करते हैं:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

उदाहरण हल किया।

उदाहरण 2. भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल कीजिए

एक्स - 3 1 एक्स + 5
-- + - = ---.
एक्स - 5 एक्स एक्स (एक्स - 5)

हम एक सामान्य भाजक पाते हैं। यह एक्स (एक्स - 5) है। इसलिए:

x 2 - 3x x - 5 x + 5
--- + --- = ---
एक्स (एक्स - 5) एक्स (एक्स - 5) एक्स (एक्स - 5)

अब हम फिर से हर से छुटकारा पाते हैं, क्योंकि यह सभी भावों के लिए समान है। हम समान पदों को घटाते हैं, समीकरण को शून्य के बराबर करते हैं और प्राप्त करते हैं द्विघात समीकरण:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

द्विघात समीकरण को हल करने के बाद, हम इसकी जड़ें पाते हैं: -2 और 5।

आइए देखें कि क्या ये संख्याएँ मूल समीकरण के मूल हैं।

x = -2 के लिए, सामान्य हर x(x - 5) लुप्त नहीं होता है। अतः -2 मूल समीकरण का मूल है।

x = 5 पर, उभयनिष्ठ हर गायब हो जाता है, और तीन में से दो भाव अपना अर्थ खो देते हैं। अतः संख्या 5 मूल समीकरण का मूल नहीं है।

उत्तर: एक्स = -2

और ज्यादा उदाहरण

उदाहरण 1

एक्स 1 \u003d 6, एक्स 2 \u003d - 2.2।

उत्तर:-2.2; 6.

उदाहरण 2

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाआइए उदाहरण देखें। उदाहरण सरल और दृष्टांत हैं। उनकी मदद से आप सबसे ज्यादा समझने योग्य तरीके से समझ सकते हैं।
उदाहरण के लिए, आपको एक साधारण समीकरण x/b + c = d को हल करना होगा।

इस प्रकार के समीकरण को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि भाजक में केवल संख्याएँ होती हैं।

समीकरण के दोनों पक्षों को b से गुणा करके हल किया जाता है, फिर समीकरण x = b*(d - c) का रूप लेता है, अर्थात। बाईं ओर भिन्न का हर घटाया जाता है।

उदाहरण के लिए, कैसे हल करें भिन्नात्मक समीकरण:
एक्स/5+4=9
हम दोनों भागों को 5 से गुणा करते हैं।
एक्स+20=45
एक्स=45-20=25

एक और उदाहरण जहां अज्ञात हर में है:

इस प्रकार के समीकरणों को भिन्नात्मक परिमेय या केवल भिन्नात्मक कहा जाता है।

हम भिन्नों से छुटकारा पाकर एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करेंगे, जिसके बाद यह समीकरण अक्सर एक रैखिक या द्विघात समीकरण में बदल जाता है, जिसे सामान्य तरीके से हल किया जाता है। आपको केवल निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखना चाहिए:

• एक चर का मान जो हर को 0 में बदल देता है वह रूट नहीं हो सकता है;
• आप समीकरण को व्यंजक =0 से विभाजित या गुणा नहीं कर सकते।

यह वह जगह है जहां अनुमेय मूल्यों (ODZ) के क्षेत्र के रूप में ऐसी अवधारणा लागू होती है - ये समीकरण की जड़ों के मूल्य हैं जिनके लिए समीकरण समझ में आता है।

इस प्रकार, समीकरण को हल करते हुए, जड़ों को ढूंढना आवश्यक है, और फिर ओडीजेड के अनुपालन के लिए उनकी जांच करें। वे जड़ें जो हमारे डीएचएस के अनुरूप नहीं हैं, उन्हें उत्तर से बाहर रखा गया है।

उदाहरण के लिए, आपको एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

उपरोक्त नियम के आधार पर, x = 0 नहीं हो सकता, अर्थात। इस मामले में ODZ: x - शून्य के अलावा कोई भी मान।

हम समीकरण के सभी पदों को x . से गुणा करके हर से छुटकारा पाते हैं

और सामान्य समीकरण हल करें

5x - 2x = 1
3x = 1
एक्स = 1/3

उत्तर: एक्स = 1/3

आइए समीकरण को और अधिक जटिल हल करें:

ODZ भी यहाँ मौजूद है: x -2।

इस समीकरण को हल करते हुए, हम सब कुछ एक दिशा में स्थानांतरित नहीं करेंगे और भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएंगे। हम समीकरण के दोनों पक्षों को तुरंत एक व्यंजक से गुणा करते हैं जो एक ही बार में सभी हरों को कम कर देगा।

हर को कम करने के लिए, आपको बाईं ओर x + 2 और दाईं ओर 2 से गुणा करना होगा। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 2 (x + 2) से गुणा किया जाना चाहिए:

यह भिन्नों का सबसे सामान्य गुणन है, जिसकी चर्चा हम ऊपर कर चुके हैं।

हम एक ही समीकरण लिखते हैं, लेकिन थोड़े अलग तरीके से।

बाईं ओर (x + 2) और दाईं ओर 2 से घटाया जाता है। कमी के बाद, हमें सामान्य रैखिक समीकरण मिलता है:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, जो हमारे ODZ . से मेल खाती है

उत्तर: एक्स = 2.

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाउतना मुश्किल नहीं जितना यह लग सकता है। इस लेख में हमने इसे उदाहरणों के साथ दिखाया है। अगर आपको कोई कठिनाई हो रही है भिन्नों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें, फिर टिप्पणियों में सदस्यता समाप्त करें।

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हम कौन सी व्यक्तिगत जानकारी एकत्र करते हैं:

• जब आप साइट पर आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, पता सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं ईमेलआदि।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हमारे द्वारा एकत्रित व्यक्तिगत जानकारीहमें आपसे संपर्क करने और आपको इसके बारे में सूचित करने की अनुमति देता है अद्वितीय ऑफ़र, प्रचार और अन्य कार्यक्रम और आगामी कार्यक्रम।
• समय-समय पर, हम आपको महत्वपूर्ण नोटिस और संदेश भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि ऑडिट करना, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना ताकि हम प्रदान की जाने वाली सेवाओं में सुधार कर सकें और आपको हमारी सेवाओं के बारे में सिफारिशें प्रदान कर सकें।
• यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।

तीसरे पक्ष के लिए प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को नहीं बताते हैं।

अपवाद:

• यदि आवश्यक हो - कानून के अनुसार, न्यायिक आदेश, कानूनी कार्यवाही में, और / या सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर सरकारी एजेंसियोंरूसी संघ के क्षेत्र में - अपनी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक हित के कारणों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम अपने द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को संबंधित तृतीय पक्ष उत्तराधिकारी को स्थानांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता बनाए रखना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा प्रथाओं के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।