गणित के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक की पुस्तक का एक अंश। स्टीवन स्ट्रोगैट्ज़ - एक्स से खुशी

यह पुस्तक गणित के प्रति आपके दृष्टिकोण को मौलिक रूप से बदलने में सक्षम है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता को समझें, अभिन्न कलन की भव्यता से परिचित हों, आंकड़ों के महत्व को देखें और अनंत से संपर्क करें। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण ढंग से समझाता है, ऐसे शानदार उदाहरण देता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है।

• नाम: एक्स से खुशी। एक मनोरंजक यात्रादुनिया के सबसे अच्छे शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में
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एक्स की खुशी। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा
स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़

यह पुस्तक गणित के प्रति आपके दृष्टिकोण को मौलिक रूप से बदलने में सक्षम है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता को समझें, अभिन्न कलन की भव्यता से परिचित हों, आंकड़ों के महत्व को देखें और अनंत से संपर्क करें। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण ढंग से समझाता है, ऐसे शानदार उदाहरण देता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है।

पहली बार रूसी में प्रकाशित हुआ।

स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़

एक्स की खुशी। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा

स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़

ए गाइडेड टूर ऑफ़ मैथ, वन टू इनफिनिटी

स्टीवन स्ट्रोगैट्ज़, c/o ब्रोकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।

© स्टीवन स्ट्रोगेट्स, 2012 सर्वाधिकार सुरक्षित

© रूसी में अनुवाद, रूसी में संस्करण, डिजाइन। एलएलसी "मान, इवानोव और फेरबर", 2014

सर्वाधिकार सुरक्षित। इस पुस्तक के इलेक्ट्रॉनिक संस्करण का कोई भी भाग किसी भी रूप में या किसी भी माध्यम से पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जिसमें इंटरनेट पर या किसी कॉर्पोरेट में पोस्ट करना शामिल है...

यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:

क्वांटा

स्कॉट पैटरसन

brainiac

केन जेनिंग्स

मनीबॉल

माइकल लुईस

लचीला दिमाग

कैरल ड्वेक

शेयर बाजार का भौतिकी

जेम्स वेदरॉली

की खुशी एक्स

ए गाइडेड टूर ऑफ़ मैथ, वन टू इनफिनिटी

स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़

से खुशी एक्स

दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा

प्रकाशक से जानकारी

पहली बार रूसी में प्रकाशित

स्टीवन स्ट्रोगैट्ज़, c/o ब्रोकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।

स्ट्रोगेट्स, पी।

से खुशी एक्स. दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा / स्टीफन स्ट्रोगेट्स; प्रति. अंग्रेज़ी से। - एम।: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।

आईएसबीएन 978-500057-008-1

यह पुस्तक गणित के प्रति आपके दृष्टिकोण को मौलिक रूप से बदलने में सक्षम है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता को समझें, अभिन्न कलन की भव्यता से परिचित हों, आंकड़ों के महत्व को देखें और अनंत से संपर्क करें। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण ढंग से समझाता है, ऐसे शानदार उदाहरण देता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है।

सर्वाधिकार सुरक्षित।

कॉपीराइट धारकों की लिखित अनुमति के बिना इस पुस्तक के किसी भी भाग को किसी भी रूप में पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

प्रकाशन गृह का कानूनी समर्थन किसके द्वारा प्रदान किया जाता है कानून फर्म"वेगास लेक्स"

© स्टीवन स्ट्रोगेट्ज, 2012 सर्वाधिकार सुरक्षित

© रूसी में अनुवाद, रूसी में संस्करण, डिजाइन। एलएलसी "मान, इवानोव और फेरबर", 2014

प्रस्तावना

मेरा एक दोस्त है, जो अपने व्यापार के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम मिलते हैं, वह उत्साह से बात करते हैं हाल की उपलब्धियांमनोविज्ञान में or क्वांटम यांत्रिकी. लेकिन जैसे ही हम गणित की बात करते हैं, उसे अपने घुटनों में कंपन महसूस होता है, जो उसे बहुत परेशान करता है। वह शिकायत करता है कि ये अजीब गणितीय प्रतीक न केवल उसकी अवहेलना करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानता कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।

दरअसल, गणित के प्रति उनकी नापसंदगी का कारण कहीं ज्यादा गहरा है। वह कभी नहीं समझ पाएगा कि गणितज्ञ आमतौर पर क्या करते हैं और उनका क्या मतलब है जब वे कहते हैं कि यह प्रमाण सुरुचिपूर्ण है। कभी-कभी हम मजाक में कहते हैं कि मुझे बस बैठ जाना चाहिए और उसे मूल बातें सिखाना शुरू कर देना चाहिए, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2 से, और जितना हो सके गणित में जाना चाहिए।

और यद्यपि यह विचार पागल लगता है, मैं इस पुस्तक में इसे लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं आपको विज्ञान की सभी प्रमुख शाखाओं के माध्यम से, अंकगणित से लेकर तक मार्गदर्शन करूंगा उच्च गणितताकि दूसरा मौका चाहने वाले आखिरकार इसका फायदा उठा सकें। और इस बार आपको अपने डेस्क पर बैठने की जरूरत नहीं है। यह पुस्तक आपको गणित का विशेषज्ञ नहीं बनाएगी। लेकिन यह समझने में मदद करेगा कि यह अनुशासन क्या पढ़ता है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना रोमांचक क्यों है।

हम सीखेंगे कि माइकल जॉर्डन के स्लैम डंक कैलकुलस की मूल बातें समझाने में कैसे मदद कर सकते हैं। मैं आपको यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल प्रमेय - पाइथागोरस प्रमेय को समझने का एक सरल और आश्चर्यजनक तरीका दिखाऊंगा। हम जीवन के कुछ बड़े और छोटे रहस्यों की तह तक जाने की कोशिश करेंगे: क्या जे सिम्पसन ने अपनी पत्नी को मार डाला; गद्दे को कैसे स्थानांतरित करें ताकि यह यथासंभव लंबे समय तक चले; शादी खेलने से पहले कितने भागीदारों को बदलने की जरूरत है - और हम देखेंगे कि क्यों कुछ शिशु दूसरों की तुलना में बड़े होते हैं।

गणित हर जगह है, आपको बस इसे पहचानना सीखना होगा। आप एक ज़ेबरा के पीछे साइनसॉइड देख सकते हैं, आप स्वतंत्रता की घोषणा में यूक्लिड के प्रमेयों की गूँज सुन सकते हैं; मैं क्या कह सकता हूं, प्रथम विश्व युद्ध से पहले की सूखी रिपोर्टों में भी, नकारात्मक संख्याएँ हैं। आप यह भी देख सकते हैं कि गणित के नए क्षेत्र आज हमारे जीवन को कैसे प्रभावित करते हैं, उदाहरण के लिए, जब हम कंप्यूटर का उपयोग करने वाले रेस्तरां की तलाश करते हैं या कम से कम समझने की कोशिश करते हैं, या बेहतर अभी तक, शेयर बाजार में भयावह उतार-चढ़ाव से बचे रहते हैं।

की खुशी एक्स

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स्टीवन स्ट्रोगैट्ज़, c/o ब्रोकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।

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© रूसी में अनुवाद, रूसी में संस्करण, डिजाइन। एलएलसी "मान, इवानोव और फेरबर", 2014

सर्वाधिकार सुरक्षित। कॉपीराइट स्वामी की लिखित अनुमति के बिना, इस पुस्तक के इलेक्ट्रॉनिक संस्करण के किसी भी हिस्से को किसी भी रूप में या इंटरनेट और कॉर्पोरेट नेटवर्क पर पोस्ट करने सहित, निजी और सार्वजनिक उपयोग के लिए पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

प्रकाशन गृह का कानूनी समर्थन कानूनी फर्म "वेगास-लेक्स" द्वारा प्रदान किया जाता है

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यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:

क्वांटा

स्कॉट पैटरसन

brainiac

केन जेनिंग्स

मनीबॉल

माइकल लुईस

लचीला दिमाग

कैरल ड्वेक

शेयर बाजार का भौतिकी

जेम्स वेदरॉली

प्रस्तावना

मेरा एक दोस्त है, जो अपने व्यापार के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम मिलते हैं, वह उत्साहपूर्वक मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम विकास के बारे में बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित की बात करते हैं, उसे अपने घुटनों में कंपन महसूस होता है, जो उसे बहुत परेशान करता है। वह शिकायत करता है कि ये अजीब गणितीय प्रतीक न केवल उसकी अवहेलना करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानता कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।

दरअसल, गणित के प्रति उनकी नापसंदगी का कारण कहीं ज्यादा गहरा है। वह कभी नहीं समझ पाएगा कि गणितज्ञ आमतौर पर क्या करते हैं और उनका क्या मतलब है जब वे कहते हैं कि यह प्रमाण सुरुचिपूर्ण है। कभी-कभी हम मजाक में कहते हैं कि मुझे बस बैठ जाना चाहिए और उसे मूल बातें सिखाना शुरू कर देना चाहिए, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2 से, और जितना हो सके गणित में जाना चाहिए।

और यद्यपि यह विचार पागल लगता है, मैं इस पुस्तक में इसे लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं आपको विज्ञान की सभी प्रमुख शाखाओं के माध्यम से मार्गदर्शन करूंगा, अंकगणित से लेकर उन्नत गणित तक, ताकि जो लोग दूसरा मौका चाहते थे, वे अंततः इसे ले सकें। और इस बार आपको अपने डेस्क पर बैठने की जरूरत नहीं है। यह पुस्तक आपको गणित का विशेषज्ञ नहीं बनाएगी। लेकिन यह समझने में मदद करेगा कि यह अनुशासन क्या पढ़ता है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना रोमांचक क्यों है।

संख्याओं के जीवन और उनके व्यवहार से मेरा क्या मतलब है, यह स्पष्ट करने के लिए, जिसे हम नियंत्रित नहीं कर सकते हैं, आइए हम वापस प्यारे Paws होटल पर चलते हैं। मान लीजिए कि हम्फ्री ऑर्डर देने ही वाला था, लेकिन फिर दूसरे कमरे से पेंगुइन ने अप्रत्याशित रूप से उसे बुलाया और उतनी ही मात्रा में मछली मांगी। दो आदेश प्राप्त करने के बाद हम्फ्री को कितनी बार "मछली" शब्द चिल्लाना पड़ता है? अगर उसे संख्याओं के बारे में कुछ नहीं पता होता, तो उसे जितनी बार दोनों कमरों में कुल पेंगुइन होते हैं, उतनी बार चीखना पड़ता। या, संख्याओं का उपयोग करके, वह रसोइया को समझा सकता है कि उसे एक संख्या के लिए छह और दूसरे के लिए छह मछली चाहिए। लेकिन उसे वास्तव में क्या चाहिए नई अवधारणा- योग। एक बार जब वह इसमें महारत हासिल कर लेता है, तो वह गर्व से कहेगा कि उसे सिक्स प्लस सिक्स (या, यदि वह एक पॉसर है, तो बारह) मछली की जरूरत है।

यह वही रचनात्मक प्रक्रिया है, जब हम अभी-अभी संख्याएँ लेकर आए थे। जिस तरह संख्याएं एक बार में एक को सूचीबद्ध करने की तुलना में गिनना आसान बनाती हैं, उसी तरह जोड़ किसी भी राशि की गणना करना आसान बनाता है। उसी समय, गणना करने वाला एक गणितज्ञ के रूप में विकसित होता है। वैज्ञानिक रूप से, इस विचार को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: सही अमूर्तता के उपयोग से अधिक होता है गहरी पैठमुद्दे के मूल में और इसके समाधान में अधिक शक्ति।

जल्द ही, शायद हम्फ्री को भी एहसास होगा कि अब वह हमेशा गिन सकता है।

हालांकि, इस तरह के अंतहीन परिप्रेक्ष्य के बावजूद, हमारी रचनात्मकता की हमेशा कुछ सीमाएं होती हैं। हम तय कर सकते हैं कि 6 और + से हमारा क्या मतलब है, लेकिन एक बार ऐसा करने के बाद, 6 + 6 जैसे भावों के परिणाम हमारे नियंत्रण से बाहर हो जाते हैं। तर्क हमारे यहाँ कोई विकल्प नहीं छोड़ता है। इस अर्थ में, गणित में हमेशा आविष्कार दोनों शामिल होते हैं, इसलिएखोज: हम आविष्कारअवधारणाएं, लेकिन खुलाउनके परिणाम। जैसा कि निम्नलिखित अध्यायों में स्पष्ट हो जाएगा, गणित में हमारी स्वतंत्रता प्रश्न पूछने और लगातार उनके उत्तर खोजने की क्षमता में निहित है, लेकिन स्वयं उनका आविष्कार किए बिना।

2. पत्थर अंकगणित

जीवन में किसी भी घटना की तरह, अंकगणित के दो पहलू हैं: औपचारिक और मनोरंजक (या चंचल)।

हमने स्कूल में औपचारिक भाग का अध्ययन किया। वहां उन्होंने हमें समझाया कि संख्याओं के स्तंभों के साथ कैसे काम करना है, उन्हें जोड़ना और घटाना, भरते समय स्प्रैडशीट में गणना करते समय उन्हें कैसे फावड़ा देना है कर विवरणीऔर वार्षिक रिपोर्ट तैयार करना। अंकगणित का यह पक्ष कई लोगों को व्यावहारिक दृष्टिकोण से महत्वपूर्ण लगता है, लेकिन पूरी तरह से धूमिल है।

आप उच्च गणित के अध्ययन की प्रक्रिया में ही अंकगणित के मनोरंजक पक्ष से परिचित हो सकते हैं। {3}. हालाँकि, वह उतनी ही स्वाभाविक है जितनी कि एक बच्चे की जिज्ञासा। {4}.

निबंध "द लैमेंट ऑफ ए मैथमेटिशियन" में, पॉल लॉकहार्ट सामान्य उदाहरणों की तुलना में अधिक ठोस में संख्याओं का अध्ययन करने का सुझाव देते हैं: वह हमें कई पत्थरों के रूप में उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए कहते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 6 कंकड़ के निम्नलिखित सेट से मेल खाती है:

यहां आपको शायद ही कुछ असामान्य दिखाई देगा। जिस तरह से यह है। जब तक हम संख्याओं में हेरफेर करना शुरू नहीं करते, वे काफी हद तक एक जैसे दिखते हैं। खेल तब शुरू होता है जब हमें कोई कार्य मिलता है।

उदाहरण के लिए, आइए उन सेटों को देखें जिनमें 1 से 10 पत्थर हैं और उनमें से वर्ग बनाने का प्रयास करें। यह केवल 4 और 9 पत्थरों के दो सेटों के साथ किया जा सकता है, क्योंकि 4 = 2 × 2 और 9 = 3 × 3। हमें ये संख्याएँ किसी अन्य संख्या (अर्थात, पत्थरों को चुकता करके) प्राप्त होती हैं।

यहाँ एक कार्य है जिसमें अधिकसमाधान: आपको यह पता लगाना होगा कि यदि आप समान संख्या में तत्वों के साथ पत्थरों को दो पंक्तियों में बिछाते हैं तो कौन से सेट एक आयत बनाएंगे। 2, 4, 6, 8 या 10 पत्थरों के सेट यहां उपयुक्त हैं; संख्या सम होनी चाहिए। यदि हम शेष सेटों को दो पंक्तियों में विषम संख्या में पत्थरों से व्यवस्थित करने का प्रयास करते हैं, तो हमारे पास हमेशा एक अतिरिक्त पत्थर होगा।

लेकिन इन असुविधाजनक संख्याओं के लिए सब कुछ खो नहीं गया है! यदि हम ऐसे दो समुच्चय लेते हैं, तो अतिरिक्त तत्व अपने लिए एक युग्म खोज लेंगे, और योग सम होगा: एक विषम संख्या + एक विषम संख्या = एक सम संख्या।

यदि हम इन नियमों को 10 के बाद की संख्याओं तक बढ़ा दें, और मान लें कि एक आयत में पंक्तियों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो कुछ विषम संख्याआपको ऐसे आयतों को मोड़ने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, संख्या 15 एक 3×5 आयत बनाएगी।

इसलिए, हालांकि 15 निस्संदेह एक विषम संख्या है, यह एक भाज्य संख्या है और इसे प्रत्येक पाँच पत्थरों की तीन पंक्तियों के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसी तरह, गुणन तालिका में कोई भी प्रविष्टि कंकड़ का अपना आयताकार समूह बनाती है।

लेकिन 2, 3, 5 और 7 जैसी कुछ संख्याएँ पूरी तरह से निराशाजनक हैं। उनमें से कुछ भी नहीं रखा जा सकता है, सिवाय उन्हें एक साधारण रेखा (एक पंक्ति) के रूप में व्यवस्थित करने के। ये अजीब जिद्दी लोग प्रसिद्ध अभाज्य संख्याएँ हैं।

तो हम देखते हैं कि संख्याओं में विचित्र संरचनाएं हो सकती हैं जो उन्हें एक निश्चित चरित्र देती हैं। लेकिन उनके व्यवहार की पूरी श्रृंखला की कल्पना करने के लिए, किसी को व्यक्तिगत संख्याओं से पीछे हटना चाहिए और यह देखना चाहिए कि उनकी बातचीत के दौरान क्या होता है।

उदाहरण के लिए, केवल दो विषम संख्याओं को जोड़ने के बजाय, आइए विषम संख्याओं के सभी संभावित क्रमों को 1 से शुरू करते हैं:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

हैरानी की बात यह है कि ये राशियाँ हमेशा पूर्ण वर्ग बन जाती हैं। (हमने पहले ही इस बारे में बात की थी कि 4 और 9 को वर्गों के रूप में कैसे दर्शाया जा सकता है, और यह 16 = 4 × 4 और 25 = 5 × 5 के लिए भी सही है।) एक त्वरित गणना से पता चलता है कि यह नियम बड़ी विषम संख्याओं के लिए भी है और जाहिर है अनन्त तक। लेकिन विषम संख्याओं के बीच उनके "अतिरिक्त" पत्थरों और वर्ग बनाने वाली शास्त्रीय सममित संख्याओं के बीच क्या संबंध है? पत्थरों को ठीक से स्थापित करके, हम यह स्पष्ट कर सकते हैं कि क्या है बानगीसुरुचिपूर्ण प्रमाण। {5}

इसकी कुंजी यह अवलोकन होगा कि विषम संख्याओं को समबाहु कोनों के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके क्रमिक थोपने से एक वर्ग बनता है!

इसी तरह के तर्क को हाल ही में प्रकाशित एक और किताब में पेश किया गया है। योको ओगावा के आकर्षक उपन्यास द हाउसकीपर में और यहप्रोफेसर एक चतुर लेकिन अशिक्षित युवती और उसके दस साल के बेटे के बारे में है। एक बुजुर्ग गणितज्ञ की देखभाल के लिए एक महिला को काम पर रखा गया है, जो सिर की चोट के कारण अपनी अल्पकालिक स्मृति में केवल अपने जीवन के अंतिम 80 मिनट की जानकारी रखता है। वर्तमान में खोया हुआ, अकेले अपनी जर्जर झोपड़ी में संख्याओं के अलावा कुछ भी नहीं, प्रोफेसर हाउसकीपर के साथ संवाद करने का एकमात्र तरीका जानने की कोशिश करता है: उसके जूते के आकार या जन्म तिथि के बारे में पूछकर, और उसके साथ उसके खर्चों के बारे में छोटी सी बात करके . प्रोफेसर को गृहस्वामी के बेटे के लिए भी एक विशेष पसंद है, जिसे वह रूथ (रूट - रूट) नाम देता है, क्योंकि लड़के के ऊपर एक सपाट सिर होता है, और यह उसे गणित में अंकन की याद दिलाता है वर्गमूल √.

एक दिन प्रोफेसर लड़के को ऑफर करता है एक साधारण कार्य- 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। रूथ द्वारा सभी संख्याओं को सावधानीपूर्वक जोड़ने और उत्तर (55) के साथ लौटने के बाद, प्रोफेसर ने उसे एक आसान तरीका खोजने के लिए कहा। क्या वह इसका उत्तर ढूंढ सकता है के बिनासंख्याओं का सरल जोड़? रूथ एक कुर्सी पर लात मारता है और चिल्लाता है, "यह उचित नहीं है!"

धीरे-धीरे, गृहस्वामी भी संख्याओं की दुनिया में आ जाता है और चुपके से इस समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करता है। "मुझे समझ में नहीं आता कि मैं बच्चों की पहेली में इतना क्यों डूब गया जिसका कोई व्यावहारिक उपयोग नहीं है," वह कहती हैं। "पहले तो मैं प्रोफेसर को खुश करना चाहता था, लेकिन धीरे-धीरे यह गतिविधि मेरे और नंबरों के बीच लड़ाई में बदल गई। जब मैं सुबह उठा, तो समीकरण पहले से ही मेरा इंतजार कर रहा था:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:

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जेम्स वेदरॉली

की खुशी एक्स

ए गाइडेड टूर ऑफ़ मैथ, वन टू इनफिनिटी

स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़

से खुशी एक्स

दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा

प्रकाशक से जानकारी

पहली बार रूसी में प्रकाशित

स्टीवन स्ट्रोगैट्ज़, c/o ब्रोकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।

स्ट्रोगेट्स, पी।

से खुशी एक्स. दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा / स्टीफन स्ट्रोगेट्स; प्रति. अंग्रेज़ी से। - एम।: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।

आईएसबीएन 978-500057-008-1

यह पुस्तक गणित के प्रति आपके दृष्टिकोण को मौलिक रूप से बदलने में सक्षम है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता को समझें, अभिन्न कलन की भव्यता से परिचित हों, आंकड़ों के महत्व को देखें और अनंत से संपर्क करें। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण ढंग से समझाता है, ऐसे शानदार उदाहरण देता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है।

सर्वाधिकार सुरक्षित।

कॉपीराइट धारकों की लिखित अनुमति के बिना इस पुस्तक के किसी भी भाग को किसी भी रूप में पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

प्रकाशन गृह का कानूनी समर्थन कानूनी फर्म "वेगास-लेक्स" द्वारा प्रदान किया जाता है

© स्टीवन स्ट्रोगेट्ज, 2012 सर्वाधिकार सुरक्षित

© रूसी में अनुवाद, रूसी में संस्करण, डिजाइन। एलएलसी "मान, इवानोव और फेरबर", 2014

प्रस्तावना

मेरा एक दोस्त है, जो अपने व्यापार के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम मिलते हैं, वह उत्साहपूर्वक मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम विकास के बारे में बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित की बात करते हैं, उसे अपने घुटनों में कंपन महसूस होता है, जो उसे बहुत परेशान करता है। वह शिकायत करता है कि ये अजीब गणितीय प्रतीक न केवल उसकी अवहेलना करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानता कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।

दरअसल, गणित के प्रति उनकी नापसंदगी का कारण कहीं ज्यादा गहरा है। वह कभी नहीं समझ पाएगा कि गणितज्ञ आमतौर पर क्या करते हैं और उनका क्या मतलब है जब वे कहते हैं कि यह प्रमाण सुरुचिपूर्ण है। कभी-कभी हम मजाक में कहते हैं कि मुझे बस बैठ जाना चाहिए और उसे मूल बातें सिखाना शुरू कर देना चाहिए, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2 से, और जितना हो सके गणित में जाना चाहिए।

और यद्यपि यह विचार पागल लगता है, मैं इस पुस्तक में इसे लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं आपको विज्ञान की सभी प्रमुख शाखाओं के माध्यम से मार्गदर्शन करूंगा, अंकगणित से लेकर उन्नत गणित तक, ताकि जो लोग दूसरा मौका चाहते थे, वे अंततः इसे ले सकें। और इस बार आपको अपने डेस्क पर बैठने की जरूरत नहीं है। यह पुस्तक आपको गणित का विशेषज्ञ नहीं बनाएगी। लेकिन यह समझने में मदद करेगा कि यह अनुशासन क्या पढ़ता है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना रोमांचक क्यों है।

हम सीखेंगे कि माइकल जॉर्डन के स्लैम डंक कैलकुलस की मूल बातें समझाने में कैसे मदद कर सकते हैं। मैं आपको यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल प्रमेय - पाइथागोरस प्रमेय को समझने का एक सरल और आश्चर्यजनक तरीका दिखाऊंगा। हम जीवन के कुछ बड़े और छोटे रहस्यों की तह तक जाने की कोशिश करेंगे: क्या जे सिम्पसन ने अपनी पत्नी को मार डाला; गद्दे को कैसे स्थानांतरित करें ताकि यह यथासंभव लंबे समय तक चले; शादी खेलने से पहले कितने भागीदारों को बदलने की जरूरत है - और हम देखेंगे कि क्यों कुछ शिशु दूसरों की तुलना में बड़े होते हैं।

गणित हर जगह है, आपको बस इसे पहचानना सीखना होगा। आप एक ज़ेबरा के पीछे साइनसॉइड देख सकते हैं, आप स्वतंत्रता की घोषणा में यूक्लिड के प्रमेयों की गूँज सुन सकते हैं; मैं क्या कह सकता हूं, प्रथम विश्व युद्ध से पहले की सूखी रिपोर्टों में भी, नकारात्मक संख्याएँ हैं। आप यह भी देख सकते हैं कि गणित के नए क्षेत्र आज हमारे जीवन को कैसे प्रभावित करते हैं, उदाहरण के लिए, जब हम कंप्यूटर का उपयोग करने वाले रेस्तरां की तलाश करते हैं या कम से कम समझने की कोशिश करते हैं, या बेहतर अभी तक, शेयर बाजार में भयावह उतार-चढ़ाव से बचे रहते हैं।

के अंतर्गत 15 लेखों की एक श्रंखला साधारण नामगणित के फंडामेंटल जनवरी 2010 के अंत में ऑनलाइन दिखाई दिए। उनके प्रकाशन के जवाब में, सभी उम्र के पाठकों से पत्र और टिप्पणियां आईं, जिनमें कई छात्र और शिक्षक थे। कुछ जिज्ञासु लोग भी थे, जो किसी न किसी कारण से, गणितीय विज्ञान की समझ में "अपना रास्ता भटक गए"; अब उन्हें लगता है कि उन्होंने कुछ याद किया है। के विषय मेंऔर फिर से कोशिश करना चाहेंगे। मैं अपने माता-पिता से इस बात के लिए विशेष रूप से प्रसन्न था कि मेरी मदद से वे अपने बच्चों को गणित समझाने में सक्षम थे, और वे स्वयं इसे बेहतर ढंग से समझने लगे। ऐसा लगता था कि मेरे साथियों और साथियों ने, जो इस विज्ञान के उत्साही प्रशंसक थे, लेखों को पढ़ने का आनंद लिया, सिवाय उन क्षणों के जब उन्होंने मेरी संतानों को सुधारने के लिए सभी प्रकार की सिफारिशों की पेशकश करने के लिए एक-दूसरे के साथ संघर्ष किया।

लोकप्रिय धारणा के बावजूद, समाज में गणित में स्पष्ट रुचि है, हालांकि इस घटना पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है। हम केवल गणित के डर के बारे में सुनते हैं, और फिर भी, कई लोग खुशी-खुशी इसे बेहतर ढंग से समझने की कोशिश करेंगे। और एक बार ऐसा हो जाने के बाद, उन्हें तोड़ना मुश्किल होगा।

यह पुस्तक आपको गणित की दुनिया के सबसे जटिल और उन्नत विचारों से परिचित कराएगी। अध्याय छोटे हैं, पढ़ने में आसान हैं, और वास्तव में एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। उनमें से वे हैं जो न्यूयॉर्क टाइम्स में लेखों की उस पहली श्रृंखला में शामिल हैं। इसलिए जैसे ही आपको थोड़ी गणितीय भूख लगे, अगले अध्याय को लेने में संकोच न करें। यदि आप उस मुद्दे को और अधिक विस्तार से समझना चाहते हैं जिसमें आपकी रुचि है, तो पुस्तक के अंत में नोट्स हैं अतिरिक्त जानकारीऔर इसके बारे में और क्या पढ़ना है, इस पर सुझाव।

चरण-दर-चरण दृष्टिकोण पसंद करने वाले पाठकों की सुविधा के लिए, मैंने विषय के पारंपरिक क्रम के अनुसार सामग्री को छह भागों में विभाजित किया है।

भाग I "नंबर" अंकगणित के साथ हमारी यात्रा शुरू करता है बाल विहारऔर प्राथमिक स्कूल. यह दिखाता है कि संख्याएँ कितनी उपयोगी हो सकती हैं और कैसे वे हमारे आसपास की दुनिया का वर्णन करने में जादुई रूप से प्रभावी हैं।

भाग II "अनुपात" संख्याओं से ध्यान हटाकर उनके बीच के संबंधों की ओर ले जाता है। ये विचार बीजगणित के केंद्र में हैं और यह वर्णन करने के लिए पहला उपकरण है कि एक दूसरे को कैसे प्रभावित करता है, विभिन्न चीजों के कारण संबंध को दर्शाता है: आपूर्ति और मांग, उत्तेजना और प्रतिक्रिया - संक्षेप में, सभी प्रकार के रिश्ते जो दुनिया को बनाते हैं इतना विविध और समृद्ध ..

भाग III "आंकड़े" संख्याओं और प्रतीकों के बारे में नहीं है, बल्कि आंकड़ों और स्थान के बारे में है - ज्यामिति और त्रिकोणमिति का क्षेत्र। ये विषय, तार्किक तर्क और प्रमाण की सहायता से रूपों के माध्यम से सभी अवलोकन योग्य वस्तुओं के विवरण के साथ, गणित को ऊपर उठाते हैं नया स्तरशुद्धता।

भाग IV "परिवर्तन का समय" में हम गणित को देखेंगे - गणित का सबसे प्रभावशाली और बहुआयामी क्षेत्र। कलन ग्रहों के प्रक्षेपवक्र, ज्वार के चक्रों की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है, और ब्रह्मांड में और हमारे भीतर सभी समय-समय पर बदलती प्रक्रियाओं और घटनाओं को समझना और उनका वर्णन करना संभव बनाता है। इस भाग में एक महत्वपूर्ण स्थान अनंत के अध्ययन के लिए समर्पित है, जिसकी शांति एक सफलता थी जिसने गणनाओं को काम करने की अनुमति दी थी। कम्प्यूटिंग ने प्राचीन दुनिया में उत्पन्न होने वाली कई समस्याओं को हल करने में मदद की, और इसने अंततः विज्ञान और आधुनिक दुनिया में क्रांति ला दी।

भाग V "डेटा के कई पहलू" संभाव्यता, सांख्यिकी, नेटवर्क और डेटा प्रोसेसिंग से संबंधित है - ये अभी भी अपेक्षाकृत युवा क्षेत्र हैं, जो हमारे जीवन के हमेशा क्रमित पहलुओं, जैसे अवसर और भाग्य, अनिश्चितता, जोखिम, अस्थिरता, यादृच्छिकता से उत्पन्न नहीं होते हैं। , परस्पर निर्भरता। सही गणित उपकरण और सही डेटा प्रकारों का उपयोग करके, हम पैटर्न को यादृच्छिकता की धारा में खोजना सीखेंगे।

हमारी यात्रा के अंत में, भाग VI "द लिमिट्स ऑफ द पॉसिबल" में, हम गणितीय ज्ञान की सीमा तक पहुंचेंगे, जो पहले से ही ज्ञात है और जो अभी भी मायावी है और ज्ञात नहीं है, के बीच का सीमा क्षेत्र। हम फिर से उन विषयों के बारे में जानेंगे जिन्हें हम पहले से जानते हैं: संख्याएं, अनुपात, आकार, परिवर्तन और अनंत - लेकिन साथ ही हम उनमें से प्रत्येक को अपने आधुनिक अवतार में अधिक गहराई से विचार करेंगे।

2010 में, स्टीफन स्ट्रोगेट्स ने द न्यूयॉर्क टाइम्स के लिए गणित की नींव पर लेखों की एक श्रृंखला लिखी। लेखों ने हंगामा खड़ा कर दिया। प्रत्येक कॉलम अखबार में सबसे लोकप्रिय लेख बन गया और सैकड़ों टिप्पणियाँ एकत्र कीं। पाठकों ने और अधिक मांगा, और स्टीफन ने निराश नहीं किया - यह पुस्तक दिखाई दी, जिसमें पहले से ही प्रकाशित भाग और पूरी तरह से नए अध्याय शामिल थे।

गणित इस दुनिया में हर चीज में व्याप्त है, जिसमें हम भी शामिल हैं, लेकिन, दुर्भाग्य से, बहुत कम लोग इस सार्वभौमिक भाषा को इतनी अच्छी तरह समझते हैं कि इसके ज्ञान और सुंदरता की सराहना कर सकते हैं। स्टीवन स्ट्रोगेट्स वह गणित शिक्षक है जिसके बारे में आपने हाई स्कूल में सपना देखा था। एक शिक्षक जो रुचि की एक चिंगारी को प्रज्वलित करने और अपने विषय के लिए आजीवन प्रेम रखने में सक्षम है। इस अविश्वसनीय रूप से आसान और मनोरंजक पुस्तक में, वह हम सभी को गणित से परिचित होने का दूसरा मौका देते हैं। प्रत्येक छोटे अध्याय में, आप कुछ नया खोजते हैं, संख्याओं की आवश्यकता क्यों है, ज्यामिति, अभिन्न कलन, सांख्यिकी और अनंत जैसे विषयों तक। लेखक महान गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण ढंग से समझाता है, ऐसे शानदार उदाहरण देता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है। यह किताब सबके लिए है। जो लोग गणित से परिचित नहीं हैं वे इसे करीब से जान पाएंगे और जो गणित से प्यार करते हैं वे "विज्ञान की रानी" के बारे में मजे से पढ़ेंगे।

प्रस्तावना

मेरा एक दोस्त है, जो अपने व्यापार के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम मिलते हैं, वह उत्साहपूर्वक मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम विकास के बारे में बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित की बात करते हैं, उसे अपने घुटनों में कंपन महसूस होता है, जो उसे बहुत परेशान करता है। वह शिकायत करता है कि ये अजीब गणितीय प्रतीक न केवल उसकी अवहेलना करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानता कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।

दरअसल, गणित के प्रति उनकी नापसंदगी का कारण कहीं ज्यादा गहरा है। वह कभी नहीं समझ पाएगा कि गणितज्ञ आमतौर पर क्या करते हैं और उनका क्या मतलब है जब वे कहते हैं कि यह प्रमाण सुरुचिपूर्ण है। कभी-कभी हम मजाक में कहते हैं कि मुझे बस बैठ जाना चाहिए और उसे मूल बातें सिखाना शुरू कर देना चाहिए, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2 से, और जितना हो सके गणित में जाना चाहिए।

और यद्यपि यह विचार पागल लगता है, मैं इस पुस्तक में इसे लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं आपको विज्ञान की सभी प्रमुख शाखाओं के माध्यम से मार्गदर्शन करूंगा, अंकगणित से लेकर उन्नत गणित तक, ताकि जो लोग दूसरा मौका चाहते थे, वे अंततः इसे ले सकें। और इस बार आपको अपने डेस्क पर बैठने की जरूरत नहीं है। यह पुस्तक आपको गणित का विशेषज्ञ नहीं बनाएगी। लेकिन यह समझने में मदद करेगा कि यह अनुशासन क्या पढ़ता है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना रोमांचक क्यों है।

हम सीखेंगे कि माइकल जॉर्डन के स्लैम डंक कैलकुलस की मूल बातें समझाने में कैसे मदद कर सकते हैं। मैं आपको यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल प्रमेय - पाइथागोरस प्रमेय को समझने का एक सरल और आश्चर्यजनक तरीका दिखाऊंगा। हम जीवन के कुछ बड़े और छोटे रहस्यों की तह तक जाने की कोशिश करेंगे: क्या जे सिम्पसन ने अपनी पत्नी को मार डाला; गद्दे को कैसे स्थानांतरित करें ताकि यह यथासंभव लंबे समय तक चले; शादी खेलने से पहले कितने भागीदारों को बदलने की जरूरत है - और हम देखेंगे कि क्यों कुछ शिशु दूसरों की तुलना में बड़े होते हैं।

गणित हर जगह है, आपको बस इसे पहचानना सीखना होगा। आप एक ज़ेबरा के पीछे साइनसॉइड देख सकते हैं, आप स्वतंत्रता की घोषणा में यूक्लिड के प्रमेयों की गूँज सुन सकते हैं; मैं क्या कह सकता हूं, प्रथम विश्व युद्ध से पहले की सूखी रिपोर्टों में भी, नकारात्मक संख्याएं हैं। आप यह भी देख सकते हैं कि गणित के नए क्षेत्र आज हमारे जीवन को कैसे प्रभावित करते हैं, उदाहरण के लिए, जब हम कंप्यूटर का उपयोग करने वाले रेस्तरां की तलाश करते हैं या कम से कम समझने की कोशिश करते हैं, या बेहतर अभी तक, शेयर बाजार में भयावह उतार-चढ़ाव से बचे रहते हैं।

- स्टीफन स्ट्रोगेट्ज की किताब द प्लेजर ऑफ एक्स को ऑनलाइन पढ़ें -

जनवरी 2010 के अंत में सामान्य शीर्षक "फंडामेंटल्स ऑफ मैथमेटिक्स" के तहत 15 लेखों की एक श्रृंखला ऑनलाइन दिखाई दी। उनके प्रकाशन के जवाब में, सभी उम्र के पाठकों से पत्र और टिप्पणियां आईं, जिनमें कई छात्र और शिक्षक थे। कुछ जिज्ञासु लोग भी थे, जो किसी न किसी कारण से, गणितीय विज्ञान की समझ में "अपना रास्ता भटक गए"; अब उन्हें लगता है कि वे कुछ सार्थक चूक गए हैं और फिर से प्रयास करना चाहेंगे। मैं अपने माता-पिता से इस बात के लिए विशेष रूप से प्रसन्न था कि मेरी मदद से वे अपने बच्चों को गणित समझाने में सक्षम थे, और वे स्वयं इसे बेहतर ढंग से समझने लगे। ऐसा लगता था कि मेरे साथियों और साथियों ने, जो इस विज्ञान के उत्साही प्रशंसक थे, लेखों को पढ़ने का आनंद लिया, सिवाय उन क्षणों के जब उन्होंने मेरी संतानों को सुधारने के लिए सभी प्रकार की सिफारिशों की पेशकश करने के लिए एक-दूसरे के साथ संघर्ष किया।

लोकप्रिय धारणा के बावजूद, समाज में गणित में स्पष्ट रुचि है, हालांकि इस घटना पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है। हम केवल गणित के डर के बारे में सुनते हैं, और फिर भी, कई लोग खुशी-खुशी इसे बेहतर ढंग से समझने की कोशिश करेंगे। और एक बार ऐसा हो जाने के बाद, उन्हें तोड़ना मुश्किल होगा।

यह पुस्तक आपको गणित की दुनिया के सबसे जटिल और उन्नत विचारों से परिचित कराएगी। अध्याय छोटे हैं, पढ़ने में आसान हैं, और वास्तव में एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। उनमें से वे हैं जो न्यूयॉर्क टाइम्स में लेखों की उस पहली श्रृंखला में शामिल हैं। इसलिए जैसे ही आपको थोड़ी गणितीय भूख लगे, अगले अध्याय को लेने में संकोच न करें। यदि आप उस मुद्दे को और अधिक विस्तार से समझना चाहते हैं जिसमें आपकी रुचि है, तो पुस्तक के अंत में अतिरिक्त जानकारी और सिफारिशों के साथ नोट्स हैं कि आप इसके बारे में और क्या पढ़ सकते हैं।

एक्स की खुशी - स्टीवन स्ट्रोगेट्स (डाउनलोड)

(प्रारंभिक संस्करण)

और अंत में, हम आपको एक दिलचस्प वीडियो देखने की पेशकश करते हैं