तर्कसंगत समीकरणों को सही तरीके से कैसे हल करें। परिमेय समीकरण

भिन्नों वाले समीकरण स्वयं कठिन और बहुत रोचक नहीं होते हैं। प्रकारों पर विचार करें भिन्नात्मक समीकरणऔर उन्हें हल करने के तरीके।

अंश के साथ समीकरणों को कैसे हल करें - अंश में x

यदि एक भिन्नात्मक समीकरण दिया जाता है, जहां अंश में अज्ञात है, तो समाधान के लिए अतिरिक्त शर्तों की आवश्यकता नहीं होती है और बिना हल किए हल किया जाता है अतिरिक्त परेशानी. सामान्य फ़ॉर्मऐसा समीकरण x/a + b = c है, जहां x अज्ञात है, a, b और c साधारण संख्याएं हैं।

एक्स: एक्स/5 + 10 = 70 खोजें।

समीकरण को हल करने के लिए, आपको भिन्नों से छुटकारा पाना होगा। समीकरण के प्रत्येक पद को 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5 से गुणा करें। 5x और 5 को घटाया जाता है, 10 और 70 को 5 से गुणा किया जाता है और हमें प्राप्त होता है: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300।

एक्स: एक्स/5 + एक्स/10 = 90 खोजें।

यह उदाहरण पहले का थोड़ा अधिक जटिल संस्करण है। यहां दो समाधान हैं।

• विकल्प 1: समीकरण के सभी पदों को बड़े हर से गुणा करके भिन्नों से छुटकारा पाएं, यानी 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x = 300।
• विकल्प 2: समीकरण के बाईं ओर जोड़ें। x/5 + x/10 = 90. सामान्य हर 10 है। 10 को 5 से विभाजित करें, x से गुणा करें, हमें 2x मिलता है। 10 को 10 से भाग देने पर, x से गुणा करने पर हमें x: 2x+x/10 = 90 मिलता है। इसलिए 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300।

अक्सर ऐसे भिन्नात्मक समीकरण होते हैं जिनमें x समान चिह्न के विपरीत पक्षों पर होते हैं। ऐसी स्थिति में, x के साथ सभी भिन्नों को एक दिशा में और संख्याओं को दूसरी दिशा में स्थानांतरित करना आवश्यक है।

• एक्स खोजें: 3x/5 = 130 - 2x/5।
• विपरीत चिन्ह के साथ 2x/5 को दाईं ओर ले जाएँ: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130।
• हम 5x/5 घटाते हैं और प्राप्त करते हैं: x = 130।

भिन्नों वाले समीकरण को कैसे हल करें - x हर में

इस प्रकार के भिन्नात्मक समीकरणों के लिए अतिरिक्त शर्तें लिखने की आवश्यकता होती है। इन शर्तों का संकेत एक अनिवार्य और अभिन्न अंग है सही निर्णय. उन्हें जिम्मेदार न देकर, आप जोखिम उठाते हैं, क्योंकि उत्तर (भले ही वह सही हो) की गणना नहीं की जा सकती है।

भिन्नात्मक समीकरणों का सामान्य रूप, जहाँ x हर में है, है: a/x + b = c, जहाँ x एक अज्ञात है, a, b, c साधारण संख्याएँ हैं। ध्यान दें कि x कोई संख्या नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, x शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि आप 0 से विभाजित नहीं कर सकते। यही है अतिरिक्त शर्त, जिसे हमें निर्दिष्ट करना होगा। इसे स्वीकार्य मूल्यों की सीमा कहा जाता है, संक्षिप्त - ODZ।

एक्स: 15/एक्स + 18 = 21 खोजें।

हम तुरंत ODZ को x: x 0 के लिए लिखते हैं। अब जब ODZ इंगित किया गया है, तो हम समीकरण का उपयोग करके हल करते हैं मानक योजनाअंशों से छुटकारा। हम समीकरण के सभी पदों को x से गुणा करते हैं। 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5।

अक्सर ऐसे समीकरण होते हैं जहां हर में न केवल x होता है, बल्कि इसके साथ कुछ अन्य ऑपरेशन भी होते हैं, उदाहरण के लिए, जोड़ या घटाव।

x: 15/(x-3) + 18 = 21 खोजें।

हम पहले से ही जानते हैं कि हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है x-3 0। हम -3 को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, जबकि "-" चिह्न को "+" में बदलते हैं और हमें वह x 3 मिलता है। ODZ है संकेत दिया।

समीकरण को हल करें, हर चीज को x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63 से गुणा करें।

x को दाईं ओर, संख्याओं को बाईं ओर ले जाएँ: 24 = 3x => x = 8।

पाठ मकसद:

ट्यूटोरियल:

• भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की अवधारणा का गठन;
• भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करना;
• भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म पर विचार करें, जिसमें यह शर्त भी शामिल है कि भिन्न शून्य के बराबर है;
• एल्गोरिथम के अनुसार भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल सिखाना;
• परीक्षण कार्य आयोजित करके विषय को आत्मसात करने के स्तर की जाँच करना।

विकसित होना:

• तार्किक रूप से सोचने के लिए अर्जित ज्ञान के साथ सही ढंग से काम करने की क्षमता का विकास;
• बौद्धिक कौशल और मानसिक संचालन का विकास - विश्लेषण, संश्लेषण, तुलना और सामान्यीकरण;
• पहल का विकास, निर्णय लेने की क्षमता, वहाँ रुकने की नहीं;
• विकास महत्वपूर्ण सोच;
• अनुसंधान कौशल का विकास।

पोषण:

• लालन - पालन संज्ञानात्मक रुचिविषय के लिए;
• शैक्षिक समस्याओं को हल करने में स्वतंत्रता की शिक्षा;
• अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता की शिक्षा।

पाठ प्रकार: पाठ - नई सामग्री की व्याख्या।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

हैलो दोस्तों! ब्लैकबोर्ड पर समीकरण लिखे गए हैं, उन्हें ध्यान से देखें। क्या आप इन सभी समीकरणों को हल कर सकते हैं? कौन से नहीं हैं और क्यों?

वे समीकरण जिनमें बाएँ और दाएँ पक्ष भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक होते हैं, भिन्नात्मक परिमेय समीकरण कहलाते हैं। आपको क्या लगता है कि आज हम पाठ में क्या अध्ययन करेंगे? पाठ का विषय तैयार करें। इसलिए, हम नोटबुक खोलते हैं और पाठ का विषय "भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान" लिखते हैं।

2. ज्ञान की प्राप्ति। ललाट सर्वेक्षण, कक्षा के साथ मौखिक कार्य।

और अब हम मुख्य सैद्धांतिक सामग्री को दोहराएंगे जिसका हमें अध्ययन करने की आवश्यकता है नया विषय. कृपया निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:

1. एक समीकरण क्या है? ( एक चर या चर के साथ समानता.)
2. समीकरण #1 किसे कहते हैं? ( रैखिक।) समाधान की विधि रेखीय समीकरण. (अज्ञात के साथ सब कुछ समीकरण के बाईं ओर, सभी संख्याओं को दाईं ओर ले जाएं। समान शर्तें लाओ। अज्ञात गुणक का पता लगाएं).
3. समीकरण 3 किसे कहते हैं? ( वर्ग।) द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ। ( विएटा प्रमेय और उसके परिणामों का उपयोग करते हुए, सूत्रों द्वारा पूर्ण वर्ग का चयन.)
4. अनुपात क्या है? ( दो संबंधों की समानता।) अनुपात की मुख्य संपत्ति। ( यदि अनुपात सत्य है, तो इसके चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है.)
5. समीकरणों को हल करने के लिए किन गुणों का उपयोग किया जाता है? ( 1. यदि समीकरण में हम पद को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते हैं, इसके चिह्न को बदलते हैं, तो हमें दिए गए के बराबर एक समीकरण मिलता है। 2. यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो एक समीकरण प्राप्त होगा जो दिए गए के बराबर है.)
6. एक अंश शून्य के बराबर कब होता है? ( अंश शून्य होता है जब अंश शून्य, और हर शून्य के बराबर नहीं है.)

3. नई सामग्री की व्याख्या।

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 2 को हल करें।

जवाब: 10.

कौन सा भिन्नात्मक परिमेय समीकरणक्या आप मूल अनुपात संपत्ति का उपयोग करके हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (पाँच नंबर)।

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 4 को हल करें।

जवाब: 1,5.

आप समीकरण के दोनों पक्षों को हर से गुणा करके किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (संख्या 6)।

एक्स 2 -7x+12 = 0

डी = 1> 0, एक्स 1 = 3, एक्स 2 = 4।

जवाब: 3;4.

अब समीकरण #7 को किसी एक तरीके से हल करने का प्रयास करें।

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
एक्स (एक्स -5) (एक्स 2 -3x-10) = 0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
एक्स 1 \u003d 0 एक्स 2 \u003d 5 डी \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
जवाब: 0;5;-2.			जवाब: 5;-2.

बताएं कि ऐसा क्यों हुआ? एक मामले में तीन और दूसरे में दो जड़ें क्यों हैं? इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल क्या हैं?

अब तक, एक बाहरी जड़ की अवधारणा वाले छात्र नहीं मिले हैं, उनके लिए यह समझना वास्तव में बहुत मुश्किल है कि ऐसा क्यों हुआ। यदि कक्षा में कोई भी इस स्थिति की स्पष्ट व्याख्या नहीं कर सकता है, तो शिक्षक प्रमुख प्रश्न पूछता है।

• समीकरण संख्या 2 और 4 समीकरण संख्या 5,6,7 से किस प्रकार भिन्न हैं? ( संख्या के हर में समीकरण संख्या 2 और 4 में, संख्या 5-7 - एक चर के साथ व्यंजक.)
• समीकरण की जड़ क्या है? ( चर का वह मान जिस पर समीकरण सच्ची समानता बन जाता है.)
• कैसे पता करें कि कोई संख्या समीकरण की जड़ है या नहीं? ( चेक करें.)

एक परीक्षण करते समय, कुछ छात्र ध्यान देते हैं कि उन्हें शून्य से भाग देना है। वे निष्कर्ष निकालते हैं कि संख्या 0 और 5 मूल नहीं हैं। दिया गया समीकरण. प्रश्न उठता है: क्या इस त्रुटि को समाप्त करने वाले भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कोई तरीका है? हाँ, यह विधि इस शर्त पर आधारित है कि भिन्न शून्य के बराबर है।

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2।

यदि x=5, तो x(x-5)=0, तो 5 एक बाह्य मूल है।

यदि x=-2, तो x(x-5)≠0.

जवाब: -2.

आइए इस तरह से भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करने का प्रयास करें। बच्चे स्वयं एल्गोरिथम तैयार करते हैं।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

1. सब कुछ बाईं ओर ले जाएं।
2. भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ।
3. एक प्रणाली बनाएं: अंश शून्य होता है जब अंश शून्य होता है और हर शून्य नहीं होता है।
4. प्रश्न हल करें।
5. बाहरी जड़ों को बाहर करने के लिए असमानता की जाँच करें।
6. उत्तर लिखिए।

चर्चा: यदि अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग किया जाता है और समीकरण के दोनों पक्षों को एक सामान्य हर से गुणा किया जाता है तो समाधान कैसे तैयार किया जाए। (समाधान को पूरक करें: इसकी जड़ों से उन लोगों को बाहर करें जो आम भाजक को शून्य में बदल देते हैं)।

4. नई सामग्री की प्राथमिक समझ।

जोड़े में काम। छात्र समीकरण के प्रकार के आधार पर समीकरण को स्वयं हल करने का तरीका चुनते हैं। पाठ्यपुस्तक "बीजगणित 8" से कार्य, यू.एन. मकारिचेव, 2007: नंबर 600 (बी, सी, आई); नंबर 601 (ए, ई, जी)। शिक्षक कार्य के प्रदर्शन को नियंत्रित करता है, उत्पन्न होने वाले प्रश्नों का उत्तर देता है, और खराब प्रदर्शन करने वाले छात्रों को सहायता प्रदान करता है। स्व-परीक्षण: बोर्ड पर उत्तर लिखे जाते हैं।

बी) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 3.

c) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 1.5.

ए) उत्तर: -12.5।

छ) उत्तर: 1; 1.5।

5. गृहकार्य का विवरण।

1. पाठ्यपुस्तक से आइटम 25 पढ़ें, उदाहरण 1-3 का विश्लेषण करें।
2. भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम सीखें।
3. नोटबुक नंबर 600 (ए, डी, ई) में हल करें; नंबर 601 (जी, एच)।
4. #696(a) (वैकल्पिक) को हल करने का प्रयास करें।

6. अध्ययन किए गए विषय पर नियंत्रण कार्य की पूर्ति।

चादरों पर काम किया जाता है।

नौकरी का उदाहरण:

ए) कौन से समीकरण भिन्नात्मक परिमेय हैं?

बी) एक अंश शून्य होता है जब अंश _______________ होता है और हर _______________ होता है।

Q) क्या संख्या -3 समीकरण #6 का मूल है?

डी) समीकरण संख्या 7 को हल करें।

कार्य मूल्यांकन मानदंड:

• "5" दिया जाता है यदि छात्र ने 90% से अधिक कार्य सही ढंग से पूरा किया है।
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" उस छात्र को दिया जाता है जिसने 50% से कम कार्य पूरा किया है।
• ग्रेड 2 को जर्नल में नहीं डाला गया है, 3 वैकल्पिक है।

7. प्रतिबिंब।

स्वतंत्र कार्य के साथ पत्रक पर रखें:

• 1 - यदि पाठ आपके लिए दिलचस्प और समझने योग्य था;
• 2 - दिलचस्प, लेकिन स्पष्ट नहीं;
• 3 - दिलचस्प नहीं, लेकिन समझने योग्य;
• 4 - दिलचस्प नहीं, स्पष्ट नहीं।

8. पाठ को सारांशित करना।

तो, आज के पाठ में हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों से परिचित हुए, इन समीकरणों को हल करना सीखा विभिन्न तरीके, प्रशिक्षण की मदद से अपने ज्ञान का परीक्षण किया स्वतंत्र काम. आप अगले पाठ में स्वतंत्र कार्य के परिणामों के बारे में जानेंगे, घर पर आपके पास प्राप्त ज्ञान को समेकित करने का अवसर होगा।

आपकी राय में भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कौन सा तरीका आसान, अधिक सुलभ, अधिक तर्कसंगत है? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने की विधि के बावजूद, क्या नहीं भूलना चाहिए? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की "चालाक" क्या है?

आप सभी का धन्यवाद, सबक खत्म हो गया है।

हम पहले ही सीख चुके हैं कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। आइए अब हम अध्ययन की गई विधियों को परिमेय समीकरणों तक विस्तारित करते हैं।

क्या तर्कसंगत अभिव्यक्ति? हम पहले ही इस अवधारणा का सामना कर चुके हैं। तर्कसंगत अभिव्यक्तिसंख्याओं, चरों, उनकी डिग्री और गणितीय संक्रियाओं के संकेतों से बने व्यंजक कहलाते हैं।

तदनुसार, परिमेय समीकरण इस रूप के समीकरण हैं: , जहाँ - तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ।

पहले, हमने केवल उन परिमेय समीकरणों पर विचार किया था जो रैखिक समीकरणों को घटाते हैं। अब आइए उन परिमेय समीकरणों पर विचार करें जिन्हें द्विघात समीकरण में घटाया जा सकता है।

उदाहरण 1

प्रश्न हल करें: ।

फेसला:

एक भिन्न 0 होती है यदि और केवल यदि इसका अंश 0 है और इसका हर 0 नहीं है।

हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलती है:

सिस्टम का पहला समीकरण है द्विघात समीकरण. इसे हल करने से पहले, हम इसके सभी गुणांकों को 3 से विभाजित करते हैं।

हमें दो जड़ें मिलती हैं: ; .

चूंकि 2 कभी भी 0 के बराबर नहीं होता है, इसलिए दो शर्तें पूरी होनी चाहिए: . चूंकि ऊपर प्राप्त समीकरण की जड़ों में से कोई भी चर के अमान्य मानों से मेल नहीं खाता है, जो दूसरी असमानता को हल करते समय प्राप्त हुए थे, वे दोनों इस समीकरण के समाधान हैं।

जवाब:.

तो, आइए तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करें:

1. सभी पदों को बायीं ओर खिसकाएं ताकि दायीं ओर 0 प्राप्त हो।

2. बाईं ओर को रूपांतरित और सरल करें, सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएं।

3. निम्नलिखित एल्गोरिथम के अनुसार परिणामी भिन्न को 0 से बराबर करें: .

4. उन मूलों को लिखिए जो पहले समीकरण में प्राप्त होते हैं और प्रत्युत्तर में दूसरी असमानता को संतुष्ट करते हैं।

आइए एक और उदाहरण देखें।

उदाहरण 2

प्रश्न हल करें: .

फेसला

बहुत शुरुआत में, हम सभी शर्तों को . में स्थानांतरित करते हैं बाईं तरफताकि 0 दायीं ओर रहे।

अब हम समीकरण के बाएँ पक्ष को एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं:

यह समीकरण सिस्टम के बराबर है:

प्रणाली का पहला समीकरण द्विघात समीकरण है।

इस समीकरण के गुणांक:। हम विवेचक की गणना करते हैं:

हमें दो जड़ें मिलती हैं: ; .

अब आइए दूसरी असमानता को हल करें: कारकों का गुणनफल 0 के बराबर नहीं है यदि और केवल यदि कोई भी कारक 0 के बराबर नहीं है।

दो शर्तें पूरी होनी चाहिए: . हम पाते हैं कि पहले समीकरण की दो जड़ों में से केवल एक ही उपयुक्त है - 3.

जवाब:.

इस पाठ में, हमने याद किया कि एक परिमेय व्यंजक क्या है, और यह भी सीखा कि परिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, जो द्विघात समीकरणों में कम हो जाते हैं।

अगले पाठ में हम परिमेय समीकरणों को वास्तविक स्थितियों के मॉडल के रूप में मानेंगे और गति समस्याओं पर भी विचार करेंगे।

ग्रन्थसूची

1. बश्माकोव एम.आई. बीजगणित, आठवीं कक्षा। - एम .: ज्ञानोदय, 2004।
2. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनिमोविच ई.ए. एट अल बीजगणित, 8. 5वां संस्करण। - एम .: शिक्षा, 2010।
3. निकोल्स्की एस.एम., पोतापोव एम.ए., रेशेतनिकोव एन.एन., शेवकिन ए.वी. बीजगणित, आठवीं कक्षा। के लिए ट्यूटोरियल शिक्षण संस्थान. - एम .: शिक्षा, 2006।

1. शैक्षणिक विचारों का त्योहार " सार्वजनिक सबक" ().
2. स्कूल.xvatit.com ()।
3. Rudocs.exdat.com ()।

गृहकार्य

अब तक, हमने केवल अज्ञात के संबंध में पूर्णांक समीकरणों को हल किया है, यानी ऐसे समीकरण जिनमें हर (यदि कोई हो) में अज्ञात नहीं था।

अक्सर आपको उन समीकरणों को हल करना होता है जिनमें हर में अज्ञात होता है: ऐसे समीकरणों को भिन्नात्मक कहा जाता है।

इस समीकरण को हल करने के लिए, हम इसके दोनों पक्षों को अज्ञात वाले बहुपद से गुणा करते हैं। क्या नया समीकरण दिए गए समीकरण के बराबर होगा? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए इस समीकरण को हल करें।

इसके दोनों पक्षों को से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पहली डिग्री के इस समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं:

अत: समीकरण (2) का एक ही मूल है

इसे समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

अतः समीकरण (1) का मूल भी है।

समीकरण (1) का कोई अन्य मूल नहीं है। हमारे उदाहरण में, यह देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तथ्य से कि समीकरण (1) में

कैसे अज्ञात भाजक भागफल 2 से विभाजित लाभांश 1 के बराबर होना चाहिए, अर्थात।

अत: समीकरण (1) और (2) का एक ही मूल है, अत: वे तुल्य हैं।

2. अब हम निम्नलिखित समीकरण को हल करते हैं:

सबसे सरल आम भाजक: ; समीकरण के सभी पदों को इससे गुणा करें:

कमी के बाद हमें मिलता है:

आइए कोष्ठक का विस्तार करें:

समान पदों को लाना, हमारे पास है:

इस समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं:

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बाईं ओर, हमें ऐसे भाव मिले जिनका कोई मतलब नहीं है।

अतः समीकरण (1) का मूल नहीं है। इसका तात्पर्य है कि समीकरण (1) और समतुल्य नहीं हैं।

इस स्थिति में, हम कहते हैं कि समीकरण (1) ने एक बाह्य मूल प्राप्त कर लिया है।

आइए हम समीकरण (1) के हल की तुलना उन समीकरणों के हल से करें जिन पर हमने पहले विचार किया था (देखें 51)। इस समीकरण को हल करने में, हमें दो ऐसे ऑपरेशन करने पड़े जो पहले नहीं देखे गए थे: पहला, हमने समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात (सामान्य भाजक) वाले एक व्यंजक से गुणा किया, और, दूसरा, हमने बीजीय अंशों को उन कारकों से घटाया जिनमें शामिल हैं अज्ञात।

समीकरण (1) की समीकरण (2) से तुलना करने पर, हम देखते हैं कि समीकरण (2) के लिए मान्य सभी x मान समीकरण (1) के लिए मान्य नहीं हैं।

यह संख्या 1 और 3 है जो समीकरण (1) के लिए अज्ञात के स्वीकार्य मान नहीं हैं, और परिवर्तन के परिणामस्वरूप वे समीकरण (2) के लिए स्वीकार्य हो गए। इनमें से एक संख्या समीकरण (2) का हल निकला, लेकिन निश्चित रूप से यह समीकरण (1) का हल नहीं हो सकता। समीकरण (1) का कोई हल नहीं है।

इस उदाहरण से पता चलता है कि जब समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात वाले कारक से गुणा किया जाता है और जब बीजीय भिन्नएक समीकरण प्राप्त किया जा सकता है जो दिए गए के बराबर नहीं है, अर्थात्: बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं।

इसलिए हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकालते हैं। हर में एक अज्ञात वाले समीकरण को हल करते समय, परिणामी जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा जांचा जाना चाहिए। बाहरी जड़ों को त्याग दिया जाना चाहिए।

सीधे शब्दों में कहें, ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें हर में एक चर के साथ कम से कम एक होता है।

उदाहरण के लिए:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

उदाहरण नहींभिन्नात्मक परिमेय समीकरण:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के बारे में याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि आपको उनमें लिखने की आवश्यकता है। और जड़ों को खोजने के बाद, उन्हें स्वीकार्यता के लिए जांचना सुनिश्चित करें। अन्यथा, बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, और पूरे समाधान को गलत माना जाएगा।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

ODZ लिखें और "हल करें"।

समीकरण में प्रत्येक पद को एक सामान्य हर से गुणा करें और परिणामी भिन्नों को कम करें। भाजक गायब हो जाएंगे।

कोष्ठक खोले बिना समीकरण लिखिए।

परिणामी समीकरण को हल करें।

ओडीजेड के साथ मिली जड़ों की जांच करें।

चरण 7 में परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले मूलों के उत्तर में लिखिए।

एल्गोरिथ्म को याद न करें, 3-5 हल किए गए समीकरण - और यह अपने आप याद हो जाएगा।

उदाहरण . भिन्नात्मक परिमेय समीकरण हल करें \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

फेसला:

जवाब: \(3\).

उदाहरण . भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \(=0\)

फेसला:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ओडीजेड: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(डी=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		हम ODZ लिखते हैं और "हल" करते हैं। सूत्र में \(x^2+7x+10\) का विस्तार करें: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)। सौभाग्य से \(x_1\) और \(x_2\) हम पहले ही पा चुके हैं।
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		जाहिर है, भिन्नों का सामान्य हर: \((x+2)(x+5)\)। हम इससे पूरे समीकरण को गुणा करते हैं।
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		हम भिन्नों को कम करते हैं
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		कोष्ठक खोलना
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		हम समान शर्तें देते हैं
\(2x^2+9x-5=0\)		समीकरण के मूल ज्ञात करना
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		जड़ों में से एक ओडीजेड के तहत फिट नहीं होता है, इसलिए प्रतिक्रिया में हम केवल दूसरी जड़ लिखते हैं।

जवाब: \(\frac(1)(2)\).