पावर फंक्शन के गुण किस पर निर्भर करते हैं? ऊर्जा समीकरण

इस पाठ में, हम के साथ शक्ति कार्यों का अध्ययन जारी रखेंगे तर्कसंगत संकेतक, ऋणात्मक परिमेय घातांक वाले फलनों पर विचार करें।

1. बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं

एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ घात फलनों के गुणधर्मों और आलेखों को याद कीजिए।

सम n के लिए:

समारोह उदाहरण:

ऐसे कार्यों के सभी ग्राफ़ दो निश्चित बिंदुओं से गुजरते हैं: (1;1), (-1;1)। इस प्रकार के कार्यों की एक विशेषता उनकी समता है, ग्राफ़ op-y अक्ष के संबंध में सममित हैं।

चावल। 1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ

विषम n के लिए:

समारोह उदाहरण:

ऐसे कार्यों के सभी ग्राफ़ दो निश्चित बिंदुओं से गुजरते हैं: (1;1), (-1;-1)। इस प्रकार के कार्यों की एक विशेषता उनकी विषमता है, मूल के संबंध में रेखांकन सममित हैं।

चावल। 2. फंक्शन ग्राफ

2. एक ऋणात्मक परिमेय घातांक, आलेखों, गुणों के साथ फलन

आइए मुख्य परिभाषा को याद करें।

एक परिमेय धनात्मक घातांक वाली एक गैर-ऋणात्मक संख्या a की डिग्री को एक संख्या कहा जाता है।

एक परिमेय ऋणात्मक घातांक वाली धनात्मक संख्या a की घात को संख्या कहा जाता है।

निम्नलिखित समानता के लिए धारण करता है:

उदाहरण के लिए: ; - एक नकारात्मक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा से अभिव्यक्ति मौजूद नहीं है; मौजूद है, क्योंकि घातांक एक पूर्णांक है,

आइए हम एक तर्कसंगत नकारात्मक घातांक के साथ शक्ति कार्यों पर विचार करें।

उदाहरण के लिए:

इस फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, आप एक टेबल बना सकते हैं। हम अन्यथा करेंगे: पहले, हम हर के ग्राफ का निर्माण और अध्ययन करेंगे - हम इसे जानते हैं (चित्र 3)।

चावल। 3. किसी फलन का ग्राफ

हर फलन का ग्राफ एक निश्चित बिंदु (1;1) से होकर गुजरता है। मूल फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते समय, यह बिंदु बना रहता है, जब रूट भी शून्य हो जाता है, तो फ़ंक्शन अनंत तक जाता है। और, इसके विपरीत, जैसे ही x अनंत की ओर जाता है, फलन शून्य हो जाता है (चित्र 4)।

चावल। 4. फंक्शन ग्राफ

अध्ययनाधीन कार्यों के परिवार से एक और कार्य पर विचार करें।

यह महत्वपूर्ण है कि परिभाषा के अनुसार

हर में फ़ंक्शन के ग्राफ पर विचार करें: हम इस फ़ंक्शन के ग्राफ को जानते हैं, यह परिभाषा के अपने क्षेत्र में बढ़ता है और बिंदु (1; 1) (चित्रा 5) से गुजरता है।

चावल। 5. फंक्शन ग्राफ

मूल फलन का ग्राफ बनाते समय, बिंदु (1; 1) बना रहता है, जब मूल भी शून्य की ओर जाता है, तो फलन अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। और, इसके विपरीत, जैसे-जैसे x अनंत की ओर बढ़ता है, फलन शून्य हो जाता है (चित्र 6)।

चावल। 6. फंक्शन ग्राफ

विचार किए गए उदाहरण यह समझने में मदद करते हैं कि ग्राफ कैसे जाता है और अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के गुण क्या हैं - एक नकारात्मक तर्कसंगत घातांक वाला फ़ंक्शन।

इस परिवार के कार्यों के रेखांकन बिंदु (1; 1) से गुजरते हैं, परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फ़ंक्शन घटता है।

समारोह का दायरा:

फ़ंक्शन ऊपर से बाध्य नहीं है, बल्कि नीचे से बाध्य है। फ़ंक्शन में न तो अधिकतम है और न ही सबसे छोटा मान.

फ़ंक्शन निरंतर है, यह सभी सकारात्मक मानों को शून्य से प्लस अनंत तक लेता है।

उत्तल डाउन फंक्शन (चित्र 15.7)

बिंदु A और B को वक्र पर लिया जाता है, उनके माध्यम से एक खंड खींचा जाता है, संपूर्ण वक्र खंड के नीचे होता है, यह स्थिति वक्र पर दो बिंदुओं के मनमाने ढंग से संतुष्ट होती है, इसलिए फ़ंक्शन उत्तल नीचे की ओर होता है। चावल। 7.

चावल। 7. किसी फलन की उत्तलता

3. विशिष्ट समस्याओं का समाधान

यह समझना महत्वपूर्ण है कि इस परिवार के कार्य शून्य से नीचे से बंधे हैं, लेकिन उनका सबसे छोटा मूल्य नहीं है।

उदाहरण 1 - अंतराल पर अधिकतम और न्यूनतम फ़ंक्शन खोजें \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

ग्राफ (चित्र 2)।

चित्र 2. फ़ंक्शन का ग्राफ $f\left(x\right)=x^(2n)$

प्राकृतिक विषम घातांक के साथ एक शक्ति फलन के गुण

परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ एक विषम फलन है।

$f(x)$ परिभाषा के पूरे डोमेन पर निरंतर है।

रेंज सभी वास्तविक संख्याएं हैं।

$f"\बाएं(x\दाएं)=\बाएं(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फ़ंक्शन बढ़ता है।

$f\बाएं(x\दाएं)0$, $x\in (0,+\infty)$ के लिए।

$f(""\बाएं(x\दाएं))=(\बाएं(\बाएं(2n-1\दाएं)\cdot x^(2\बाएं(n-1\दाएं))\दाएं))"=2 \बाएं(2n-1\दाएं)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

फ़ंक्शन $x\in (-\infty ,0)$ के लिए अवतल है और $x\in (0,+\infty)$ के लिए उत्तल है।

ग्राफ (चित्र 3)।

चित्र 3. फ़ंक्शन का ग्राफ $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

पूर्णांक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन

आरंभ करने के लिए, हम एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री की अवधारणा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 3

डिग्री वास्तविक संख्या$a$ पूर्णांक अनुक्रमणिका के साथ $n$ सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

चित्र 4

अब एक पूर्णांक घातांक के साथ एक घात फलन पर विचार करें, इसके गुण और ग्राफ।

परिभाषा 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ को इंटीजर एक्सपोनेंट वाला पावर फंक्शन कहा जाता है।

यदि डिग्री शून्य से अधिक है, तो हम एक प्राकृतिक घातांक वाले घात फलन के मामले में आते हैं। हम पहले ही ऊपर विचार कर चुके हैं। $n=0$ के लिए हमें एक रैखिक फलन $y=1$ मिलता है। हम इसका विचार पाठक पर छोड़ते हैं। यह एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करने के लिए बनी हुई है

एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति समारोह के गुण

दायरा $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ है।

यदि घातांक सम है, तो फलन सम है, यदि विषम है, तो फलन विषम है।

$f(x)$ परिभाषा के पूरे डोमेन पर निरंतर है।

मूल्य की सीमा:

यदि घातांक सम है, तो $(0,+\infty)$, यदि विषम है, तो $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$।

यदि घातांक विषम है, तो फ़ंक्शन $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ के रूप में घटता है। एक सम घातांक के लिए, फ़ंक्शन $x\in (0,+\infty)$ के रूप में घटता है। और $x\in \left(-\infty ,0\right)$ के रूप में बढ़ता है।

पूरे डोमेन पर $f(x)\ge 0$

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "शक्ति कार्य। गुण। रेखांकन"

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पावर फ़ंक्शंस, परिभाषा का डोमेन।

दोस्तों, पिछले पाठ में हमने सीखा कि कैसे एक परिमेय घातांक के साथ संख्याओं के साथ काम करना है। इस पाठ में, हम घात फलनों पर विचार करेंगे और स्वयं को उस स्थिति तक सीमित रखेंगे जब घातांक परिमेय हो।
हम फॉर्म के कार्यों पर विचार करेंगे: $y=x^(\frac(m)(n))$।
आइए पहले उन फलनों पर विचार करें जिनका घातांक $\frac(m)(n)>1$ है।
आइए हमें एक विशिष्ट फ़ंक्शन $y=x^2*5$ दिया जाए।
पिछले पाठ में हमने जो परिभाषा दी थी उसके अनुसार: यदि $x≥0$, तो हमारे कार्य का डोमेन किरण $(x)$ है। आइए योजनाबद्ध रूप से हमारे फ़ंक्शन ग्राफ़ को चित्रित करें।

फलन के गुण $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. न तो सम है और न ही विषम।
3. $$ की वृद्धि,
बी) $(2,10)$,
c) रे $$ पर।
फेसला।
दोस्तों, क्या आपको याद है कि कैसे हमने कक्षा 10 के किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात किया?
यह सही है, हमने व्युत्पन्न का उपयोग किया। आइए हमारे उदाहरण को हल करें और सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान खोजने के लिए एल्गोरिदम दोहराएं।
1. दिए गए फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$।
2. मूल फलन के संपूर्ण डोमेन पर अवकलज मौजूद है, तो कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। आइए स्थिर बिंदु खोजें:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$।
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$।
$x^6-64x^3=0$।
$x^3(x^3-64)=0$।
$x_1=0$ और $x_2=\sqrt(64)=4$।
केवल एक समाधान $x_2=4$ दिए गए खंड से संबंधित है।
आइए खंड के अंत में और चरम बिंदु पर हमारे फ़ंक्शन के मूल्यों की एक तालिका बनाएं:
उत्तर: $y_(name)=-862.65$ के साथ $x=9$; $y_(अधिकतम)=38.4$ $x=4$ के लिए।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: $x^(\frac(4)(3))=24-x$।
फेसला। फंक्शन $y=x^(\frac(4)(3))$ का ग्राफ बढ़ रहा है, जबकि फंक्शन $y=24-x$ का ग्राफ घट रहा है। दोस्तों, आप और मैं जानते हैं: यदि एक फ़ंक्शन बढ़ता है और दूसरा घटता है, तो वे केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात हमारे पास केवल एक ही समाधान है।
टिप्पणी:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$।
$24-8=16$.
यानी $х=8$ के लिए हमें सही समानता $16=16$ मिली, यह हमारे समीकरण का हल है।
उत्तर: $x=8$।

उदाहरण।
फ़ंक्शन प्लॉट करें: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$।
फेसला।
हमारे फंक्शन का ग्राफ फंक्शन $y=x^(\frac(3)(4))$ के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है, इसे 3 यूनिट को दाईं ओर और 2 यूनिट ऊपर शिफ्ट किया जाता है।

उदाहरण। रेखा $y=x^(-\frac(4)(5))$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $x=1$ पर लिखिए।
फेसला। स्पर्शरेखा समीकरण हमें ज्ञात सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$।
हमारे मामले में $a=1$।
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$।
आइए व्युत्पन्न खोजें:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$।
आइए गणना करें:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$।
स्पर्शरेखा समीकरण खोजें:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$।
उत्तर: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें: सेगमेंट पर $y=x^\frac(4)(3)$:
ए) $$।
बी) $(4.50)$।
c) रे $$ पर।
3. समीकरण हल करें: $x^(\frac(1)(4))=18-x$।
4. फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$।
5. रेखा $y=x^(-\frac(3)(7))$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $x=1$ पर लिखिए।

एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ घात फलनों के गुणधर्मों और आलेखों को याद कीजिए।

सम n के लिए:

समारोह उदाहरण:

ऐसे कार्यों के सभी ग्राफ़ दो निश्चित बिंदुओं से गुजरते हैं: (1;1), (-1;1)। इस प्रकार के कार्यों की एक विशेषता उनकी समता है, ग्राफ़ op-y अक्ष के संबंध में सममित हैं।

चावल। 1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ

विषम n के लिए:

समारोह उदाहरण:

ऐसे कार्यों के सभी ग्राफ़ दो निश्चित बिंदुओं से गुजरते हैं: (1;1), (-1;-1)। इस प्रकार के कार्यों की एक विशेषता उनकी विषमता है, मूल के संबंध में रेखांकन सममित हैं।

चावल। 2. फंक्शन ग्राफ

आइए मुख्य परिभाषा को याद करें।

एक परिमेय धनात्मक घातांक वाली एक गैर-ऋणात्मक संख्या a की डिग्री को एक संख्या कहा जाता है।

एक परिमेय ऋणात्मक घातांक वाली धनात्मक संख्या a की घात को संख्या कहा जाता है।

निम्नलिखित समानता के लिए धारण करता है:

उदाहरण के लिए: ; - एक नकारात्मक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा से अभिव्यक्ति मौजूद नहीं है; मौजूद है, क्योंकि घातांक एक पूर्णांक है,

आइए हम एक तर्कसंगत नकारात्मक घातांक के साथ शक्ति कार्यों पर विचार करें।

उदाहरण के लिए:

इस फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, आप एक टेबल बना सकते हैं। हम अन्यथा करेंगे: पहले, हम हर के ग्राफ का निर्माण और अध्ययन करेंगे - हम इसे जानते हैं (चित्र 3)।

चावल। 3. किसी फलन का ग्राफ

हर फलन का ग्राफ एक निश्चित बिंदु (1;1) से होकर गुजरता है। मूल फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते समय, यह बिंदु बना रहता है, जब रूट भी शून्य हो जाता है, तो फ़ंक्शन अनंत तक जाता है। और, इसके विपरीत, जैसे ही x अनंत की ओर जाता है, फलन शून्य हो जाता है (चित्र 4)।

चावल। 4. फंक्शन ग्राफ

अध्ययनाधीन कार्यों के परिवार से एक और कार्य पर विचार करें।

यह महत्वपूर्ण है कि परिभाषा के अनुसार

हर में फ़ंक्शन के ग्राफ पर विचार करें: हम इस फ़ंक्शन के ग्राफ को जानते हैं, यह परिभाषा के अपने क्षेत्र में बढ़ता है और बिंदु (1; 1) (चित्रा 5) से गुजरता है।

चावल। 5. फंक्शन ग्राफ

मूल फलन का ग्राफ बनाते समय, बिंदु (1; 1) बना रहता है, जब मूल भी शून्य की ओर जाता है, तो फलन अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। और, इसके विपरीत, जैसे-जैसे x अनंत की ओर बढ़ता है, फलन शून्य हो जाता है (चित्र 6)।

चावल। 6. फंक्शन ग्राफ

विचार किए गए उदाहरण यह समझने में मदद करते हैं कि ग्राफ कैसे जाता है और अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के गुण क्या हैं - एक नकारात्मक तर्कसंगत घातांक वाला फ़ंक्शन।

इस परिवार के कार्यों के रेखांकन बिंदु (1; 1) से गुजरते हैं, परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फ़ंक्शन घटता है।

समारोह का दायरा:

फ़ंक्शन ऊपर से बाध्य नहीं है, बल्कि नीचे से बाध्य है। फ़ंक्शन का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम मान है।

फ़ंक्शन निरंतर है, यह सभी सकारात्मक मानों को शून्य से प्लस अनंत तक लेता है।

उत्तल डाउन फंक्शन (चित्र 15.7)

बिंदु A और B को वक्र पर लिया जाता है, उनके माध्यम से एक खंड खींचा जाता है, संपूर्ण वक्र खंड के नीचे होता है, यह स्थिति वक्र पर दो बिंदुओं के मनमाने ढंग से संतुष्ट होती है, इसलिए फ़ंक्शन उत्तल नीचे की ओर होता है। चावल। 7.

चावल। 7. किसी फलन की उत्तलता

यह समझना महत्वपूर्ण है कि इस परिवार के कार्य शून्य से नीचे से बंधे हैं, लेकिन उनका सबसे छोटा मूल्य नहीं है।

उदाहरण 1 - अंतराल पर फलन का अधिकतम और न्यूनतम ज्ञात कीजिए)