Point d'angle du graphique. Tangente à un graphique d'une fonction en un point

Type d'emploi : 7

État

La droite y=3x+2 est tangente au graphe de la fonction y=-12x^2+bx-10. Trouvez b , étant donné que l'abscisse du point de contact est inférieure à zéro.

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Solution

Soit x_0 l'abscisse du point sur le graphe de la fonction y=-12x^2+bx-10 par lequel passe la tangente à ce graphe.

La valeur de la dérivée au point x_0 est égale à la pente de la tangente, soit y"(x_0)=-24x_0+b=3. Par contre, le point tangent appartient à la fois au graphe de la fonction et au tangente, soit -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. On obtient un système d'équations \begin(cas) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cas)

En résolvant ce système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1 soit x_0=1. Selon la condition de l'abscisse, les points de contact sont inférieurs à zéro, donc x_0=-1, puis b=3+24x_0=-21.

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Type d'emploi : 7
Sujet: sens géométrique dérivé. Tangente au graphe de fonction

État

La droite y=-3x+4 est parallèle à la tangente au graphe de la fonction y=-x^2+5x-7. Trouver l'abscisse du point de contact.

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Solution

La pente de la droite vers le graphique de la fonction y=-x^2+5x-7 en un point arbitraire x_0 est y"(x_0). Mais y"=-2x+5, donc y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Angulaire le coefficient de la ligne y=-3x+4 spécifié dans la condition est -3.Les lignes parallèles ont les mêmes coefficients de pente.Par conséquent, nous trouvons une valeur x_0 telle que =-2x_0 +5=-3.

On obtient : x_0 = 4.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. niveau profil. Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : La signification géométrique de la dérivée. Tangente au graphe de fonction

État

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Solution

À partir de la figure, nous déterminons que la tangente passe par les points A(-6 ; 2) et B(-1 ; 1). Notons C(-6; 1) le point d'intersection des droites x=-6 et y=1, et par \alpha l'angle ABC (on voit sur la figure qu'il est pointu). Alors la droite AB forme un angle obtus \pi -\alpha avec la direction positive de l'axe Ox.

Comme vous le savez, tg(\pi -\alpha) sera la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x_0. remarquerez que tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. A partir de là, par les formules de réduction, on obtient : tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

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Type d'emploi : 7
Sujet : La signification géométrique de la dérivée. Tangente au graphe de fonction

État

La droite y=-2x-4 est tangente au graphe de la fonction y=16x^2+bx+12. Trouvez b , étant donné que l'abscisse du point de contact est supérieure à zéro.

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Solution

Soit x_0 l'abscisse du point sur le graphique de la fonction y=16x^2+bx+12 par laquelle

est tangente à ce graphe.

La valeur de la dérivée au point x_0 est égale à la pente de la tangente, soit y "(x_0)=32x_0+b=-2. Par contre, le point tangent appartient à la fois au graphe de la fonction et au tangente, soit 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 On obtient un système d'équations \begin(cas) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cas)

En résolvant le système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1 soit x_0=1. Selon la condition de l'abscisse, les points de contact sont supérieurs à zéro, donc x_0=1, alors b=-2-32x_0=-34.

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Type d'emploi : 7
Sujet : La signification géométrique de la dérivée. Tangente au graphe de fonction

État

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) définie sur l'intervalle (-2; 8). Déterminer le nombre de points où la tangente au graphique de la fonction est parallèle à la droite y=6.

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Solution

La droite y=6 est parallèle à l'axe Ox. Par conséquent, nous trouvons de tels points où la tangente au graphe de la fonction est parallèle à l'axe Ox. Sur ce graphique, ces points sont des points extrêmes (points maximum ou minimum). Comme vous pouvez le voir, il y a 4 points extrêmes.

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Type d'emploi : 7
Sujet : La signification géométrique de la dérivée. Tangente au graphe de fonction

État

La droite y=4x-6 est parallèle à la tangente au graphe de la fonction y=x^2-4x+9. Trouver l'abscisse du point de contact.

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Solution

La pente de la tangente au graphique de la fonction y \u003d x ^ 2-4x + 9 en un point arbitraire x_0 est y "(x_0). Mais y" \u003d 2x-4, ce qui signifie y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. La pente de la tangente y \u003d 4x-7 spécifiée dans la condition est égale à 4. Les lignes parallèles ont les mêmes pentes. Par conséquent, nous trouvons une valeur x_0 telle que 2x_0-4 \u003d 4. Nous obtenons : x_0 \u003d 4.

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Type d'emploi : 7
Sujet : La signification géométrique de la dérivée. Tangente au graphe de fonction

État

La figure montre le graphique de la fonction y=f(x) et sa tangente au point d'abscisse x_0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x_0.

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Solution

À partir de la figure, nous déterminons que la tangente passe par les points A(1 ; 1) et B(5 ; 4). Notons C(5; 1) le point d'intersection des droites x=5 et y=1, et par \alpha l'angle BAC (on voit sur la figure qu'il est aigu). Alors la droite AB forme un angle \alpha avec la direction positive de l'axe Ox.

Dans cet article, nous allons analyser tous les types de problèmes pour trouver

Souvenons-nous signification géométrique de la dérivée: si une tangente est tracée au graphe d'une fonction en un point, alors la pente de la tangente (égale à la tangente de l'angle entre la tangente et la direction positive de l'axe) est égale à la dérivée de la fonction en le point.

Prendre un point arbitraire sur la tangente de coordonnées :

Et considérons un triangle rectangle :

Dans ce triangle

D'ici

C'est l'équation de la tangente tracée au graphique de la fonction au point.

Pour écrire l'équation de la tangente, il suffit de connaître l'équation de la fonction et le point où la tangente est tracée. Ensuite, nous pouvons trouver et .

Il existe trois principaux types de problèmes d'équation tangente.

1. Étant donné un point de contact

2. Étant donné le coefficient de pente de la tangente, c'est-à-dire la valeur de la dérivée de la fonction au point.

3. Soit les coordonnées du point par lequel la tangente est tracée, mais qui n'est pas un point tangent.

Examinons chaque type de problème.

une . Écrire l'équation de la tangente au graphique de la fonction à ce point .

.

b) Trouvez la valeur de la dérivée au point . On trouve d'abord la dérivée de la fonction

Remplacez les valeurs trouvées dans l'équation tangente :

Ouvrons les crochets du côté droit de l'équation. On a:

Répondre: .

2. Trouver les abscisses des points auxquels les fonctions tangentes au graphe parallèle à l'axe des x.

Si la tangente est parallèle à l'axe des x, alors l'angle entre la tangente et la direction positive de l'axe zéro, par conséquent, la tangente de la pente de la tangente est nulle. Donc la valeur de la dérivée de la fonction aux points de contact est nul.

a) Trouver la dérivée de la fonction .

b) Égalez la dérivée à zéro et trouvez les valeurs dans lesquelles la tangente est parallèle à l'axe:

On égalise chaque facteur à zéro, on obtient :

Réponse : 0;3;5

3 . Écrire des équations de tangentes au graphique d'une fonction , parallèle droit .

La tangente est parallèle à la droite. La pente de cette droite est -1. Puisque la tangente est parallèle à cette droite, la pente de la tangente est donc également de -1. C'est à dire on connait la pente de la tangente, Et ainsi la valeur de la dérivée au point de contact.

C'est le deuxième type de problème pour trouver l'équation tangente.

Ainsi, on nous donne une fonction et la valeur de la dérivée au point de contact.

a) Trouvez les points auxquels la dérivée de la fonction est égale à -1.

Trouvons d'abord l'équation dérivée.

Assimilons la dérivée au nombre -1.

Trouver la valeur de la fonction au point .

(selon état)

.

b) Trouvez l'équation de la tangente au graphique de la fonction au point .

Trouver la valeur de la fonction au point .

(selon état).

Remplacez ces valeurs dans l'équation tangente :

.

Répondre:

4 . Écrire une équation pour une tangente à une courbe , passant par un point

Tout d'abord, vérifiez si le point n'est pas un point de contact. Si le point est un point tangent, alors il appartient au graphe de la fonction, et ses coordonnées doivent satisfaire l'équation de la fonction. Remplacez les coordonnées du point dans l'équation de la fonction.

Titre="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} n'est pas un point de contact.

C'est le dernier type de problème pour trouver l'équation tangente. Première chose il faut trouver l'abscisse du point de contact.

Trouvons la valeur.

Soit le point de contact. Le point appartient à la tangente au graphe de la fonction . Si nous substituons les coordonnées de ce point dans l'équation tangente, nous obtenons l'égalité correcte :

.

La valeur de la fonction au point est .

Trouver la valeur de la dérivée de la fonction au point .

Trouvons d'abord la dérivée de la fonction. Ce .

La dérivée en un point est .

Substituons les expressions de et dans l'équation de la tangente. On obtient l'équation de :

Résolvons cette équation.

Réduisez le numérateur et le dénominateur de la fraction de 2 :

Nous amenons le côté droit de l'équation à un dénominateur commun. On a:

Simplifiez le numérateur de la fraction et multipliez les deux parties par - cette expression est strictement supérieure à zéro.

On obtient l'équation

Résolvons-le. Pour ce faire, nous mettons les deux parties au carré et passons au système.

Titre="(!LANG:delim(lbrace)(matrice(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Résolvons la première équation.

Nous déciderons équation quadratique, on a

La deuxième racine ne satisfait pas la condition title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Écrivons l'équation de la tangente à la courbe au point . Pour ce faire, nous substituons la valeur dans l'équation Nous l'avons déjà enregistré.

Répondre:
.

Soit une fonction f donnée, qui à un certain point x 0 a une dérivée finie f (x 0). Alors la droite passant par le point (x 0 ; f (x 0)), ayant pente f '(x 0), s'appelle une tangente.

Mais que se passe-t-il si la dérivée au point x 0 n'existe pas ? Il y a deux options :

1. La tangente au graphe n'existe pas non plus. L'exemple classique est la fonction y = |x | au point (0; 0).
2. La tangente devient verticale. C'est le cas, par exemple, pour la fonction y = arcsin x au point (1; π /2).

Équation tangente

Toute droite non verticale est donnée par une équation de la forme y = kx + b, où k est la pente. La tangente ne fait pas exception, et pour composer son équation en un point x 0, il suffit de connaître la valeur de la fonction et la dérivée en ce point.

Donc, donnons une fonction y \u003d f (x), qui a une dérivée y \u003d f '(x) sur le segment. Alors en tout point x 0 ∈ (a; b) une tangente peut être tracée au graphe de cette fonction, qui est donnée par l'équation :

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Ici f ’(x 0) est la valeur de la dérivée au point x 0, et f (x 0) est la valeur de la fonction elle-même.

Une tâche. Soit une fonction y = x 3 . Écrivez une équation pour la tangente au graphique de cette fonction au point x 0 = 2.

Équation tangente: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Le point x 0 = 2 nous est donné, mais les valeurs f (x 0) et f '(x 0) devront être calculées.

Trouvons d'abord la valeur de la fonction. Tout est facile ici : f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8 ;
Trouvons maintenant la dérivée: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Remplacez dans la dérivée x 0 = 2 : f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12 ;
On obtient donc : y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
C'est l'équation tangente.

Une tâche. Composez l'équation de la tangente au graphique de la fonction f (x) \u003d 2sin x + 5 au point x 0 \u003d π / 2.

Cette fois, nous ne décrirons pas en détail chaque action - nous indiquerons uniquement les étapes clés. Nous avons:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Équation tangente :

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Dans ce dernier cas, la ligne s'est avérée horizontale, car sa pente k = 0. Il n'y a rien de mal à cela - nous sommes juste tombés sur un point extrême.

Y \u003d f (x) et si à ce stade une tangente peut être tracée au graphique de la fonction qui n'est pas perpendiculaire à l'axe des x, alors la pente de la tangente est f "(a). Nous l'avons déjà utilisé plusieurs Par exemple, au § 33, il a été établi que le graphique de la fonction y \u003d sin x (sinusoïde) à l'origine forme un angle de 45 ° avec l'axe des abscisses (plus précisément, la tangente au graphique au l'origine fait un angle de 45° avec la direction positive de l'axe des x), et dans l'exemple 5 points du § 33 ont été trouvés sur le schéma donné les fonctions, dans laquelle la tangente est parallèle à l'axe des x. Dans l'exemple 2 du § 33, une équation a été établie pour la tangente au graphique de la fonction y \u003d x 2 au point x \u003d 1 (plus précisément, au point (1; 1), mais le plus souvent uniquement la valeur de l'abscisse est indiquée, en supposant que si la valeur de l'abscisse est connue, alors la valeur de l'ordonnée peut être trouvée à partir de l'équation y = f(x)). Dans cette section, nous allons développer un algorithme pour compiler l'équation de la tangente au graphe de n'importe quelle fonction.

Soit la fonction y \u003d f (x) et le point M (a; f (a)) étant donnés, et on sait aussi que f "(a) existe. Composons l'équation de la tangente au graphe de la fonction donnée dans point donné. Cette équation, comme l'équation de toute droite non parallèle à l'axe y, a la forme y = kx + m, donc le problème est de trouver les valeurs des coefficients k et m.

Il n'y a pas de problème avec la pente k: nous savons que k \u003d f "(a). Pour calculer la valeur de m, nous utilisons le fait que la ligne souhaitée passe par le point M (a; f (a)). Cela signifie que si nous substituons les points de coordonnées M dans l'équation d'une ligne droite, nous obtenons l'égalité correcte: f (a) \u003d ka + m, d'où nous trouvons que m \u003d f (a) - ka.
Il reste à substituer les valeurs trouvées des coefficients de baleine dans l'équation droit:

Nous avons obtenu l'équation de la tangente au graphique de la fonction y \u003d f (x) au point x \u003d a.
Si, disons,
En remplaçant dans l'équation (1) les valeurs trouvées a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2, on obtient: y \u003d 1 + 2 (xf), soit y \u003d 2x -1.
Comparez ce résultat avec celui obtenu dans l'exemple 2 du § 33. Naturellement, la même chose s'est produite.
Composons l'équation de la tangente au graphique de la fonction y \u003d tg x à l'origine. Nous avons: donc cos xf "(0) = 1. En remplaçant les valeurs trouvées a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 dans l'équation (1), on obtient: y \u003d x .
C'est pourquoi nous avons tracé la tangentoïde au § 15 (voir Fig. 62) passant par l'origine des coordonnées sous un angle de 45° par rapport à l'axe des abscisses.
Résoudre ces problèmes suffit exemples simples, nous avons en fait utilisé un certain algorithme, qui est intégré dans la formule (1). Rendons cet algorithme explicite.

ALGORITHME POUR COMPOSER L'ÉQUATION DE LA FONCTION TANGENTE AU GRAPHIQUE y \u003d f (x)

1) Désigner l'abscisse du point de contact par la lettre a.
2) Calculez 1 (a).
3) Trouvez f "(x) et calculez f" (a).
4) Remplacez les nombres trouvés a, f(a), (a) dans la formule (1).

Exemple 1Écrivez une équation pour la tangente au graphique de la fonction au point x = 1.
Utilisons l'algorithme, en tenant compte du fait que dans cet exemple

Sur la fig. 126 montre une hyperbole, une droite y \u003d 2x est construite.
Le dessin confirme les calculs ci-dessus: en effet, la ligne y \u003d 2-x touche l'hyperbole au point (1; 1).

Répondre: y \u003d 2-x.
Exemple 2 Dessinez une tangente au graphique de la fonction afin qu'elle soit parallèle à la droite y \u003d 4x - 5.
Affinons la formulation du problème. L'exigence de "dessiner une tangente" signifie généralement "faire une équation pour une tangente". C'est logique, car si une personne était capable de composer une équation pour une tangente, il est peu probable qu'elle éprouve des difficultés à construire une ligne droite sur le plan de coordonnées selon son équation.
Utilisons l'algorithme de compilation de l'équation tangente, sachant que dans cet exemple, Mais contrairement à l'exemple précédent, il y a ici ambiguïté : l'abscisse du point tangent n'est pas indiquée explicitement.
Commençons à parler comme ça. La tangente souhaitée doit être parallèle à la droite y \u003d 4x-5. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs pentes sont égales. Cela signifie que la pente de la tangente doit être égale à la pente de la droite donnée : Ainsi, nous pouvons trouver la valeur de a à partir de l'équation f "(a) \u003d 4.
Nous avons:
D'après l'équation So, il existe deux tangentes qui satisfont aux conditions du problème : l'une au point d'abscisse 2, l'autre au point d'abscisse -2.
Maintenant, vous pouvez agir selon l'algorithme.

Exemple 3 A partir du point (0; 1) tracer une tangente au graphe de la fonction
Utilisons l'algorithme de compilation de l'équation de la tangente, étant donné que dans cet exemple Notez qu'ici, comme dans l'exemple 2, l'abscisse du point tangent n'est pas indiquée explicitement. Néanmoins, nous agissons selon l'algorithme.

Par condition, la tangente passe par le point (0 ; 1). En substituant dans l'équation (2) les valeurs x = 0, y = 1, on obtient :
Comme vous pouvez le voir, dans cet exemple, ce n'est qu'à la quatrième étape de l'algorithme que nous avons réussi à trouver l'abscisse du point de contact. En remplaçant la valeur a \u003d 4 dans l'équation (2), on obtient:

Sur la fig. 127 montre une illustration géométrique de l'exemple considéré : un graphe de la fonction

Au § 32, nous avons noté que pour une fonction y = f(x), qui a une dérivée en un point fixe x, l'égalité approchée vaut :

Pour faciliter le raisonnement, nous modifions la notation: au lieu de x, nous écrirons a, à la place, nous écrirons x, et en conséquence, nous écrirons x-a à la place. Alors l'égalité approchée écrite ci-dessus prendra la forme :

Jetez maintenant un œil à la fig. 128. Une tangente est tracée au graphique de la fonction y \u003d f (x) au point M (a; f (a)). Point marqué x sur l'axe des x près de a. Il est clair que f(x) est l'ordonnée du graphe de la fonction au point spécifié x. Et que vaut f (a) + f "(a) (x-a)? C'est l'ordonnée de la tangente correspondant au même point x - voir formule (1). Quel est le sens de l'égalité approchée (3)? Que de calculer la valeur approchée de la fonction, on prend la valeur de l'ordonnée tangente.

Exemple 4 Trouver la valeur approximative de l'expression numérique 1,02 7 .
Il s'agit deà propos de la recherche de la valeur de la fonction y \u003d x 7 au point x \u003d 1,02. Nous utilisons la formule (3), en tenant compte du fait que dans cet exemple
En conséquence, nous obtenons :

Si nous utilisons une calculatrice, nous obtenons : 1,02 7 = 1,148685667...
Comme vous pouvez le voir, la précision de l'approximation est tout à fait acceptable.
Répondre: 1,02 7 =1,14.

A. G. Algèbre de Mordkovich 10e année

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Considérez la figure suivante :

Il montre une fonction y = f(x) qui est différentiable au point a. Point marqué M avec les coordonnées (a; f(a)). Par un point arbitraire P(a + ∆x; f(a + ∆x)) du graphe, une sécante MP est tracée.

Si maintenant le point P est décalé le long du graphique vers le point M, alors la droite MP tournera autour du point M. Dans ce cas, ∆x tendra vers zéro. De là, nous pouvons formuler la définition d'une tangente au graphe d'une fonction.

Tangente au graphe de fonction

La tangente au graphe de la fonction est la position limite de la sécante lorsque l'incrément de l'argument tend vers zéro. Il faut comprendre que l'existence de la dérivée de la fonction f au point x0 signifie qu'en ce point du graphique il y a tangenteà lui.

Dans ce cas, la pente de la tangente sera égale à la dérivée de cette fonction en ce point f'(x0). C'est le sens géométrique de la dérivée. La tangente au graphe de la fonction f différentiable au point x0 est une droite quelconque passant par le point (x0;f(x0)) et ayant une pente f’(x0).

Équation tangente

Essayons d'obtenir l'équation de la tangente au graphe d'une fonction f au point A(x0; f(x0)). L'équation d'une droite de pente k a la forme suivante :

Puisque notre pente est égale à la dérivée f'(x0), alors l'équation prendra la forme suivante : y = f'(x0)*x + b.

Calculons maintenant la valeur de b. Pour ce faire, on utilise le fait que la fonction passe par le point A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, à partir de là nous exprimons b et obtenons b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Nous substituons la valeur résultante dans l'équation de tangente :

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Considérons l'exemple suivant: trouvez l'équation de la tangente au graphique de la fonction f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 au point x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Substituez les valeurs obtenues dans la formule tangente, nous obtenons : y = 1 + 4*(x - 2). En ouvrant les parenthèses et en ramenant les mêmes termes, on obtient : y = 4*x - 7.

Réponse : y = 4*x - 7.

Schéma général de compilation de l'équation de tangente au graphique de la fonction y = f(x) :

1. Déterminez x0.

2. Calculez f(x0).

3. Calculer f'(x)