Équation plane. Comment écrire une équation pour un avion ?
Arrangement mutuel Avions. Tâches

La géométrie spatiale n'est pas beaucoup plus compliquée que la géométrie "plate", et nos vols dans l'espace commencent par cet article. Pour comprendre le sujet, il faut bien comprendre vecteurs, de plus, il est souhaitable de se familiariser avec la géométrie de l'avion - il y aura de nombreuses similitudes, de nombreuses analogies, de sorte que les informations seront bien mieux digérées. Dans une série de mes cours, le monde 2D s'ouvre sur un article Équation d'une droite sur un plan. Mais maintenant, Batman a quitté le téléviseur à écran plat et se lance depuis le cosmodrome de Baïkonour.

Commençons par les dessins et les symboles. Schématiquement, le plan peut être dessiné comme un parallélogramme, ce qui donne une impression d'espace :

Le plan est infini, mais nous n'avons la possibilité d'en représenter qu'un morceau. En pratique, en plus du parallélogramme, un ovale ou même un nuage est également dessiné. Pour des raisons techniques, il m'est plus commode de représenter l'avion de cette façon et dans cette position. Des avions réels, que nous considérerons dans exemples pratiques, peut être arrangé comme vous le souhaitez - prenez mentalement le dessin entre vos mains et tordez-le dans l'espace, donnant à l'avion n'importe quelle pente, n'importe quel angle.

Notation: il est d'usage de désigner les avions en minuscules grecques, apparemment pour ne pas les confondre avec tout droit dans l'avion ou avec directement dans l'espace. J'ai l'habitude d'utiliser la lettre. Dans le dessin, c'est la lettre "sigma", et pas un trou du tout. Bien qu'un avion troué, c'est certainement très drôle.

Dans certains cas, il est pratique d'utiliser le même lettres grecques avec des indices, par exemple, .

Évidemment, le plan est uniquement déterminé par trois points différents ne se trouve pas sur la même ligne droite. Par conséquent, les désignations d'avions à trois lettres sont très populaires - en fonction des points qui leur appartiennent, par exemple, etc. Souvent, les lettres sont entre parenthèses : , afin de ne pas confondre le plan avec une autre figure géométrique.

Pour les lecteurs avertis, je donnerai menu des raccourcis:

• Comment écrire une équation pour un plan en utilisant un point et deux vecteurs ?
• Comment écrire une équation pour un plan en utilisant un point et un vecteur normal ?

et nous ne languirons pas dans de longues attentes:

Équation générale du plan

L'équation générale du plan a la forme , où les coefficients sont simultanément non nuls.

Un certain nombre de calculs théoriques et de problèmes pratiques sont valables aussi bien pour la base orthonormée usuelle que pour la base affine de l'espace (si huile c'est huile, retour à la leçon (non) dépendance linéaire des vecteurs. Base vectorielle). Pour plus de simplicité, nous supposerons que tous les événements se produisent dans une base orthonormée et un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes.

Et maintenant, formons un peu d'imagination spatiale. Ce n'est pas grave si vous l'avez mal, maintenant nous allons le développer un peu. Même jouer sur les nerfs demande de la pratique.

Dans le cas le plus général, lorsque les nombres ne sont pas égaux à zéro, le plan coupe les trois axes de coordonnées. Par exemple, comme ceci :

Je répète encore une fois que l'avion continue indéfiniment dans toutes les directions, et nous n'avons l'occasion d'en représenter qu'une partie.

Considérez les équations les plus simples des plans :

Comment comprendre équation donnée? Pensez-y: "Z" TOUJOURS, pour toutes les valeurs de "X" et "Y" est égal à zéro. C'est l'équation du plan de coordonnées "natif". En effet, formellement l'équation peut se réécrire comme suit : , d'où il est clairement visible que nous ne nous soucions pas, quelles valeurs "x" et "y" prennent, il est important que "z" soit égal à zéro.

De même:
est l'équation du plan de coordonnées ;
est l'équation du plan de coordonnées.

Compliquons un peu le problème, considérons un plan (ici et plus loin dans le paragraphe nous supposons que les coefficients numériques ne sont pas égaux à zéro). Réécrivons l'équation sous la forme : . Comment le comprendre ? "X" est TOUJOURS, pour toute valeur de "y" et "z" est égal à un certain nombre. Ce plan est parallèle au plan de coordonnées. Par exemple, un plan est parallèle à un plan et passe par un point.

De même:
- l'équation du plan, qui est parallèle au plan de coordonnées ;
- l'équation d'un plan parallèle au plan de coordonnées.

Ajouter des membres : . L'équation peut être réécrite comme ceci : , c'est-à-dire que "Z" peut être n'importe quoi. Qu'est-ce que ça veut dire? "X" et "Y" sont reliés par un rapport qui trace une certaine ligne droite dans le plan (vous reconnaîtrez équation d'une droite dans un plan?). Puisque Z peut être n'importe quoi, cette ligne est "répliquée" à n'importe quelle hauteur. Ainsi, l'équation définit un plan parallèle à l'axe de coordonnées

De même:
- l'équation du plan, qui est parallèle à l'axe des coordonnées ;
- l'équation du plan, qui est parallèle à l'axe des coordonnées.

Si les termes libres sont nuls, alors les plans passeront directement par les axes correspondants. Par exemple, la classique "proportionnalité directe":. Tracez une ligne droite dans le plan et multipliez-la mentalement de haut en bas (puisque "z" est quelconque). Conclusion : le plan donné par l'équation passe par l'axe des coordonnées.

Nous concluons l'examen: l'équation du plan passe par l'origine. Eh bien, ici, il est tout à fait évident que le point satisfait l'équation donnée.

Et, enfin, le cas qui est montré sur le dessin : - le plan est ami avec tous les axes de coordonnées, alors qu'il "coupe" toujours un triangle qui peut être situé dans l'un des huit octants.

Inégalités linéaires dans l'espace

Pour comprendre l'information, il est nécessaire de bien étudier inégalités linéaires dans le plan car beaucoup de choses seront similaires. Le paragraphe sera d'un bref aperçu avec quelques exemples, car le matériel est assez rare dans la pratique.

Si l'équation définit un plan, alors les inégalités
interroger demi-espaces. Si l'inégalité n'est pas stricte (les deux dernières de la liste), alors la solution de l'inégalité, en plus du demi-espace, inclut le plan lui-même.

Exemple 5

Trouver le vecteur normal unitaire du plan .

Solution: Un vecteur unitaire est un vecteur dont la longueur est un. Notons ce vecteur par . Il est bien clair que les vecteurs sont colinéaires :

Tout d'abord, nous supprimons le vecteur normal de l'équation du plan : .

Comment trouver le vecteur unitaire ? Pour trouver le vecteur unitaire, il faut tous coordonnée du vecteur divisée par la longueur du vecteur.

Réécrivons le vecteur normal sous la forme et trouvons sa longueur :

D'après ce qui précède :

Répondre:

Vérifier : , qui était nécessaire pour vérifier.

Les lecteurs qui ont étudié attentivement le dernier paragraphe de la leçon ont probablement remarqué que les coordonnées du vecteur unitaire sont exactement les cosinus directeurs du vecteur:

Faisons une digression du problème désassemblé: quand on vous donne un arbitraire vecteur non nul , et par la condition qu'il faut trouver ses cosinus directeurs (voir les dernières tâches de la leçon Produit scalaire de vecteurs), alors vous trouvez en fait également un vecteur unitaire colinéaire à celui donné. En fait, deux tâches dans une bouteille.

La nécessité de trouver un vecteur normal unitaire se pose dans certains problèmes d'analyse mathématique.

Nous avons compris la pêche du vecteur normal, nous allons maintenant répondre à la question inverse :

Comment écrire une équation pour un plan en utilisant un point et un vecteur normal ?

Cette construction rigide d'un vecteur normal et d'un point est bien connue par une cible de fléchettes. Veuillez tendre la main vers l'avant et sélectionner mentalement un point arbitraire dans l'espace, par exemple un petit chat dans un buffet. Évidemment, à travers ce point, vous pouvez dessiner un seul plan perpendiculaire à votre main.

L'équation d'un plan passant par un point perpendiculaire au vecteur s'exprime par la formule :

Cet article donne une idée de la façon d'écrire une équation pour un plan passant par un point donné dans un espace tridimensionnel perpendiculaire à une ligne donnée. Analysons l'algorithme ci-dessus en utilisant l'exemple de la résolution de problèmes typiques.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Trouver l'équation d'un plan passant par un point donné de l'espace perpendiculaire à une droite donnée

Soit un espace tridimensionnel et un système de coordonnées rectangulaires O x y z y être donné. Le point M 1 (x 1, y 1, z 1), la droite a et le plan α passant par le point M 1 perpendiculaire à la droite a sont également donnés. Il faut écrire l'équation du plan α.

Avant de procéder à la résolution de ce problème, rappelons le théorème de géométrie du programme de la 10e à la 11e année, qui se lit comme suit :

Définition 1

Un seul plan passe par un point donné dans l'espace tridimensionnel et est perpendiculaire à une ligne donnée.

Considérons maintenant comment trouver l'équation de ce plan unique passant par le point de départ et perpendiculaire à la ligne donnée.

Il est possible d'écrire l'équation générale d'un plan si les coordonnées d'un point appartenant à ce plan sont connues, ainsi que les coordonnées du vecteur normal du plan.

Par la condition du problème, on nous donne les coordonnées x 1, y 1, z 1 du point M 1 par lequel passe le plan α. Si nous déterminons les coordonnées du vecteur normal du plan α, nous pourrons alors écrire l'équation souhaitée.

Le vecteur normal du plan α, puisqu'il est non nul et se trouve sur la ligne a, perpendiculaire au plan α, sera n'importe quel vecteur directeur de la ligne a. Ainsi, le problème de la recherche des coordonnées du vecteur normal du plan α se transforme en problème de la détermination des coordonnées du vecteur directeur de la droite a .

La détermination des coordonnées du vecteur directeur de la droite a peut être effectuée différentes méthodes: dépend de l'option de spécifier la droite a dans les conditions initiales. Par exemple, si la ligne a dans la condition du problème est donnée par des équations canoniques de la forme

X - X 1 une X = y - y 1 une y = z - z 1 une z

ou des équations paramétriques de la forme :

X = X 1 + une X λ y = y 1 + une y λ z = z 1 + une z λ

alors le vecteur directeur de la droite aura pour coordonnées a x, a y et a z. Dans le cas où la droite a est représentée par deux points M 2 (x 2, y 2, z 2) et M 3 (x 3, y 3, z 3), alors les coordonnées du vecteur de direction seront déterminées comme (x3 - x2, y3 - y2 , z3 - z2).

Définition 2

Algorithme pour trouver l'équation d'un plan passant par un point donné perpendiculaire à une droite donnée :

Déterminer les coordonnées du vecteur directeur de la droite a : une → = (une x, une y, une z) ;

On définit les coordonnées du vecteur normal du plan α comme les coordonnées du vecteur directeur de la droite a :

n → = (A , B , C) , où UNE = une X , B = une y , C = une z;

On écrit l'équation du plan passant par le point M 1 (x 1, y 1, z 1) et ayant un vecteur normal n→=(A, B, C) sous la forme A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Ce sera l'équation requise d'un plan passant par un point donné de l'espace et perpendiculaire à une ligne donnée.

L'équation générale résultante du plan: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 permet d'obtenir l'équation du plan en segments ou l'équation normale du plan.

Résolvons quelques exemples en utilisant l'algorithme obtenu ci-dessus.

Exemple 1

Un point M 1 (3, - 4, 5) est donné, par lequel passe le plan, et ce plan est perpendiculaire à la ligne de coordonnées O z.

Solution

le vecteur directeur de la ligne de coordonnées O z sera le vecteur de coordonnées k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Par conséquent, le vecteur normal du plan a pour coordonnées (0 , 0 , 1) . Écrivons l'équation d'un plan passant par un point donné M 1 (3, - 4, 5) dont le vecteur normal a pour coordonnées (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Répondre: z - 5 = 0 .

Envisagez une autre façon de résoudre ce problème :

Exemple 2

Un plan perpendiculaire à la ligne O z sera donné par une équation générale incomplète du plan de la forme С z + D = 0 , C ≠ 0 . Définissons les valeurs de C et D : celles pour lesquelles le plan passe par un point donné. En substituant les coordonnées de ce point dans l'équation C z + D = 0 , on obtient : C · 5 + D = 0 . Celles. nombres, C et D sont liés par - D C = 5 . En prenant C \u003d 1, on obtient D \u003d - 5.

Remplacez ces valeurs dans l'équation C z + D = 0 et obtenez l'équation requise pour un plan perpendiculaire à la ligne O z et passant par le point M 1 (3, - 4, 5) .

Cela ressemblera à : z - 5 = 0.

Répondre: z - 5 = 0 .

Exemple 3

Ecrire une équation pour un plan passant par l'origine et perpendiculaire à la droite x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Solution

Sur la base des conditions du problème, on peut affirmer que le vecteur directeur d'une ligne droite donnée peut être pris comme un vecteur normal n → d'un plan donné. Ainsi : n → = (- 3 , - 7 , 2) . Écrivons l'équation d'un plan passant par le point O (0, 0, 0) et ayant un vecteur normal n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Nous avons obtenu l'équation requise pour le plan passant par l'origine perpendiculaire à la ligne donnée.

Répondre:- 3x - 7y + 2z = 0

Exemple 4

Étant donné un repère rectangulaire O x y z dans l'espace tridimensionnel, il contient deux points A (2 , - 1 , - 2) et B (3 , - 2 , 4) . Le plan α passe par le point A perpendiculaire à la droite AB. Il faut composer l'équation du plan α en segments.

Solution

Le plan α est perpendiculaire à la droite A B, alors le vecteur A B → sera le vecteur normal du plan α. Les coordonnées de ce vecteur sont déterminées comme la différence entre les coordonnées correspondantes des points B (3, - 2, 4) et A (2, - 1, - 2) :

UNE B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ UNE B → = (1 , - 1 , 6)

L'équation générale du plan s'écrira sous la forme suivante :

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Nous composons maintenant l'équation souhaitée du plan dans les segments :

X - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ X - y + 6 z = - 9 ⇔ X - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Répondre:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Il convient également de noter qu'il existe des problèmes dont l'exigence est d'écrire une équation pour un plan passant par un point donné et perpendiculaire à deux plans donnés. En général, la solution à ce problème est d'écrire une équation pour un plan passant par un point donné perpendiculaire à une droite donnée, puisque deux plans sécants définissent une ligne droite.

Exemple 5

Un repère rectangulaire O x y z est donné, dans lequel se trouve un point M 1 (2, 0, - 5) . Les équations de deux plans 3 x + 2 y + 1 = 0 et x + 2 z - 1 = 0 sont également données, qui se coupent le long de la droite a . Il faut composer une équation pour un plan passant par le point M 1 perpendiculaire à la droite a.

Solution

Déterminons les coordonnées du vecteur directeur de la droite a . Il est perpendiculaire à la fois au vecteur normal n 1 → (3 , 2 , 0) du plan n → (1 , 0 , 2) et au vecteur normal 3 x + 2 y + 1 = 0 du plan x + 2 z - 1 = 0 .

Alors le vecteur directeur α → droite a on prend le produit vectoriel des vecteurs n 1 → et n 2 → :

une → = n 1 → × n 2 → = je → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 je → - 6 j → - 2 k → ⇒ une → = (4 , - 6 , - 2 )

Ainsi, le vecteur n → = (4, - 6, - 2) sera le vecteur normal du plan perpendiculaire à la ligne a. On écrit l'équation désirée du plan :

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Répondre: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

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Soit nécessaire de trouver l'équation d'un plan passant par trois points donnés qui ne sont pas situés sur une droite. En désignant leurs rayons vecteurs par et le rayon vecteur courant par , nous pouvons facilement obtenir l'équation souhaitée sous forme vectorielle. En effet, les vecteurs , doivent être coplanaires (ils sont tous situés dans le plan souhaité). Par conséquent, le produit vecteur-scalaire de ces vecteurs doit être égal à zéro :

C'est l'équation d'un plan passant par trois points donnés, sous forme vectorielle.

Passant aux coordonnées, nous obtenons l'équation en coordonnées:

Si les trois points donnés se trouvent sur la même ligne droite, alors les vecteurs seraient colinéaires. Par conséquent, les éléments correspondants des deux dernières lignes du déterminant dans l'équation (18) seraient proportionnels et le déterminant serait identiquement égal à zéro. Par conséquent, l'équation (18) deviendrait une identité pour toutes les valeurs de x, y et z. Géométriquement, cela signifie qu'un plan passe par chaque point de l'espace, dans lequel se trouvent également trois points donnés.

Remarque 1. Le même problème peut être résolu sans utiliser de vecteurs.

En désignant les coordonnées des trois points donnés, respectivement, nous écrivons l'équation de tout plan passant par le premier point :

Pour obtenir l'équation du plan recherché, il faut exiger que l'équation (17) soit satisfaite par les coordonnées des deux autres points :

À partir des équations (19), il est nécessaire de déterminer les rapports de deux coefficients au troisième et d'entrer les valeurs trouvées dans l'équation (17).

Exemple 1. Écrivez l'équation d'un plan passant par des points.

L'équation d'un plan passant par le premier de ces points sera :

Les conditions pour que le plan (17) passe par deux autres points et le premier point sont :

En ajoutant la deuxième équation à la première, on obtient :

En remplaçant dans la seconde équation, on obtient :

En substituant dans l'équation (17) au lieu de A, B, C, respectivement, 1, 5, -4 (nombres qui leur sont proportionnels), on obtient :

Exemple 2. Écrivez une équation pour un plan passant par les points (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

L'équation de tout plan passant par le point (0, 0, 0) sera]

Les conditions de passage de ce plan par les points (1, 1, 1) et (2, 2, 2) sont :

En réduisant la deuxième équation par 2, on voit que pour déterminer les deux inconnues, la relation a une équation avec

De là, nous obtenons. En substituant maintenant dans l'équation du plan au lieu de sa valeur, on trouve :

C'est l'équation du plan recherché ; ça dépend de l'arbitraire

quantités B, C (à savoir, à partir du rapport, c'est-à-dire qu'il existe un nombre infini de plans passant par trois points donnés (trois points donnés se trouvent sur une ligne droite).

Remarque 2. Le problème de tracer un plan passant par trois points donnés qui ne se trouvent pas sur une ligne droite est facilement résolu dans vue générale si vous utilisez des déterminants. En effet, puisque dans les équations (17) et (19) les coefficients A, B, C ne peuvent être simultanément égaux à zéro, alors, considérant ces équations comme un système homogène à trois inconnues A, B, C, on écrit un nécessaire et un suffisant condition d'existence d'une solution de ce système, différente de zéro (partie 1, ch. VI, § 6) :

En développant ce déterminant par les éléments de la première ligne, on obtient une équation du premier degré par rapport aux coordonnées courantes , qui sera satisfaite, en particulier, par les coordonnées des trois points donnés.

Ce dernier peut également être vérifié directement si nous substituons les coordonnées de l'un de ces points au lieu de dans l'équation écrite à l'aide du déterminant. Sur le côté gauche, un déterminant est obtenu, dans lequel soit les éléments de la première ligne sont nuls, soit il y a deux lignes identiques. Ainsi, l'équation formulée représente un plan passant par trois points donnés.

13. Angle entre plans, distance d'un point à un plan.

Laissez les plans α et β se couper le long de la ligne c.
L'angle entre les plans est l'angle entre les perpendiculaires à la ligne de leur intersection, tracée dans ces plans.

Autrement dit, dans le plan α on trace une droite a perpendiculaire à c. Dans le plan β - droite b, également perpendiculaire à c. L'angle entre les plans α et β est égal à l'angle entre les droites a et b.

Notez que lorsque deux plans se croisent, quatre coins sont en fait formés. Vous les voyez sur la photo ? Comme l'angle entre les plans que nous prenons épicé injection.

Si l'angle entre les plans est de 90 degrés, alors les plans perpendiculaire,

C'est la définition de la perpendicularité des plans. Lors de la résolution de problèmes de stéréométrie, nous utilisons également signe de perpendicularité des plans:

Si le plan α passe par la perpendiculaire au plan β, alors les plans α et β sont perpendiculaires.

distance point à plan

Considérons un point T donné par ses coordonnées :

T \u003d (x 0, y 0, z 0)

Considérons aussi le plan α, donné par l'équation:

Ax + By + Cz + D = 0

Alors la distance L du point T au plan α peut être calculée par la formule :

En d'autres termes, nous substituons les coordonnées du point dans l'équation du plan, puis divisons cette équation par la longueur du vecteur normal n au plan :

Le nombre résultant est la distance. Voyons comment ce théorème fonctionne en pratique.

Nous avons déjà dérivé les équations paramétriques d'une ligne droite dans un plan, obtenons les équations paramétriques d'une ligne droite, qui sont données dans un système de coordonnées rectangulaires dans un espace tridimensionnel.

Soit un système de coordonnées rectangulaires fixé dans un espace tridimensionnel Oxyz. Définissons une ligne droite une(voir la section sur la définition d'une droite dans l'espace) en spécifiant le vecteur directeur d'une droite et les coordonnées d'un point sur la ligne . Nous partirons de ces données pour compiler les équations paramétriques d'une droite dans l'espace.

Soit un point arbitraire dans l'espace tridimensionnel. Si on soustrait aux coordonnées du point M coordonnées du point correspondant M 1, alors nous obtiendrons les coordonnées du vecteur (voir l'article trouver les coordonnées du vecteur par les coordonnées des points de sa fin et de son début), c'est-à-dire .

Évidemment, l'ensemble des points définit une ligne mais si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.

Notons la condition nécessaire et suffisante pour que les vecteurs soient colinéaires Et : , où est certains nombre réel. L'équation résultante est appelée équation paramétrique vectorielle d'une droite dans le système de coordonnées rectangulaires Oxyz dans un espace tridimensionnel. L'équation paramétrique vectorielle d'une ligne droite sous forme de coordonnées a la forme et représente équations paramétriques de la droite une. Le nom "paramétrique" n'est pas accidentel, puisque les coordonnées de tous les points de la ligne sont spécifiées à l'aide du paramètre .

Donnons un exemple d'équations paramétriques d'une droite dans un repère rectangulaire Oxyz dans l'espace: . Ici

15. Angle entre une droite et un plan. Point d'intersection d'une droite avec un plan.

Toute équation du premier degré par rapport aux coordonnées x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

définit un plan, et inversement : tout plan peut être représenté par l'équation (3.1), qui s'appelle équation du plan.

Vecteur n(A, B, C) orthogonal au plan est appelé vecteur normal Avions. Dans l'équation (3.1), les coefficients A, B, C ne sont pas égaux à 0 en même temps.

Cas particuliers de l'équation (3.1) :

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - le plan passe par l'origine.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - le plan est parallèle à l'axe Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - le plan passe par l'axe Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - le plan est parallèle au plan Oyz.

Équations du plan de coordonnées : x = 0, y = 0, z = 0.

Une droite dans l'espace peut être donnée :

1) comme une ligne d'intersection de deux plans, c'est-à-dire système d'équations :

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ; (3.2)

2) ses deux points M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2), alors la droite qui les traverse est donnée par les équations :

3) le point M 1 (x 1 , y 1 , z 1) lui appartenant, et le vecteur une(m, n, p), s colinéaire. Alors la droite est déterminée par les équations :

. (3.4)

Les équations (3.4) sont appelées équations canoniques de la droite.

Vecteur une appelé vecteur de guidage droit.

On obtient les équations paramétriques de la droite en assimilant chacune des relations (3.4) au paramètre t :

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

Système de résolution (3.2) en tant que système équations linéaires relativement inconnu X Et y, on arrive aux équations de la droite en projections ou pour équations de droite réduites:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Des équations (3.6) on peut passer aux équations canoniques, en trouvant zà partir de chaque équation et en assimilant les valeurs résultantes :

.

On peut passer des équations générales (3.2) aux équations canoniques d'une autre manière, si l'on trouve un point quelconque de cette droite et son vecteur directeur n= [n 1 , n 2], où n 1 (A 1 , B 1 , C 1) et n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - vecteurs normaux des plans donnés. Si l'un des dénominateurs m, n ou R dans les équations (3.4) sera zéro, alors le numérateur de la fraction correspondante doit être égal à zéro, c'est-à-dire système

équivaut à un système ; une telle droite est perpendiculaire à l'axe des x.

Système est équivalent au système x = x 1 , y = y 1 ; la droite est parallèle à l'axe Oz.

Exemple 1.15. Écrire l'équation du plan, sachant que le point A (1, -1,3) sert de base à la perpendiculaire tirée de l'origine à ce plan.

Solution. Par la condition du problème, le vecteur OA(1,-1,3) est un vecteur normal du plan, alors son équation peut s'écrire
x-y+3z+D=0. En substituant les coordonnées du point A(1,-1,3) appartenant au plan, on trouve D : 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Donc x-y+3z-11=0.

Exemple 1.16. Ecrire l'équation d'un plan passant par l'axe Oz et faisant un angle de 60 degrés avec le plan 2x+y-z-7=0.

Solution. Le plan passant par l'axe Oz est donné par l'équation Ax+By=0, où A et B ne s'annulent pas en même temps. Soit B non
est 0, A/Bx+y=0. D'après la formule du cosinus de l'angle entre deux plans

.

Décider équation quadratique 3m 2 + 8m - 3 = 0, retrouver ses racines
m 1 = 1/3, m 2 = -3, d'où on obtient deux plans 1/3x+y = 0 et -3x+y = 0.

Exemple 1.17. Ecrire les équations canoniques de la droite :
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Solution. Les équations canoniques de la droite ont la forme :

où m, n, p- coordonnées du vecteur directeur de la droite, x1, y1, z1- les coordonnées de tout point appartenant à la ligne. La droite est définie comme la ligne d'intersection de deux plans. Pour trouver un point appartenant à une droite, on fixe une des coordonnées (le plus simple est de mettre, par exemple, x=0) et le système résultant est résolu comme un système d'équations linéaires à deux inconnues. Donc, soit x=0, alors y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, d'où y=-1, z=1. Nous avons trouvé les coordonnées du point M (x 1, y 1, z 1) appartenant à cette droite : M (0,-1,1). Le vecteur directeur d'une droite est facile à trouver, connaissant les vecteurs normaux des plans d'origine n 1 (5,1,1) et n 2(2,3,-2). Puis

Les équations canoniques de la droite sont : x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Exemple 1.18. Dans le faisceau défini par les plans 2x-y+5z-3=0 et x+y+2z+1=0, trouver deux plans perpendiculaires dont l'un passe par le point M(1,0,1).

Solution. L'équation du faisceau défini par ces plans est u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, où u et v ne s'annulent pas en même temps. Nous réécrivons l'équation de la poutre comme suit :

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

Afin de sélectionner un plan passant par le point M à partir du faisceau, nous substituons les coordonnées du point M dans l'équation du faisceau. On a:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, ou v = - u.

On trouve alors l'équation du plan contenant M en substituant v = - u dans l'équation de la poutre :

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

Parce que u¹0 (sinon v=0, et cela contredit la définition d'une poutre), alors on a l'équation du plan x-2y+3z-4=0. Le deuxième plan appartenant au faisceau doit lui être perpendiculaire. On écrit la condition d'orthogonalité des plans :

(2u + v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u + 2v)×3 = 0, ou v = - 19/5u.

L'équation du second plan a donc la forme :

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 ou 9x +24y + 13z + 34 = 0

Dans cette leçon, nous verrons comment utiliser le déterminant pour composer équation du plan. Si vous ne savez pas ce qu'est un déterminant, passez à la première partie de la leçon - " Matrices et déterminants». Sinon, vous risquez de ne rien comprendre au matériel d'aujourd'hui.

Équation d'un plan par trois points

Pourquoi avons-nous besoin de l'équation du plan ? C'est simple : le connaissant, on peut facilement calculer des angles, des distances et autres conneries dans le problème C2. En général, cette équation est indispensable. Nous formulons donc le problème :

Une tâche. Il y a trois points dans l'espace qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Leurs coordonnées :

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Il faut écrire l'équation du plan passant par ces trois points. Et l'équation devrait ressembler à :

Ax + By + Cz + D = 0

où les nombres A , B , C et D sont les coefficients que, en fait, vous voulez trouver.

Eh bien, comment obtenir l'équation du plan, si seules les coordonnées des points sont connues ? Le moyen le plus simple est de substituer les coordonnées dans l'équation Ax + By + Cz + D = 0. Vous obtenez un système de trois équations qui est facilement résolu.

De nombreux étudiants trouvent cette solution extrêmement fastidieuse et peu fiable. L'examen de mathématiques de l'année dernière a montré que la probabilité de faire une erreur de calcul est très élevée.

Par conséquent, les enseignants les plus avancés ont commencé à chercher des méthodes plus simples et solutions élégantes. Et ils l'ont trouvé ! Certes, la réception obtenue est plus susceptible de mathématiques supérieures. Personnellement, j'ai dû fouiller dans toute la liste fédérale des manuels scolaires pour m'assurer que nous avons le droit d'utiliser cette technique sans aucune justification ni preuve.

Équation du plan passant par le déterminant

Assez de blabla, passons aux choses sérieuses. Pour commencer, un théorème sur la relation entre le déterminant de la matrice et l'équation du plan.

Théorème. Donnons les coordonnées de trois points par lesquels le plan doit être tracé : M = (x 1 , y 1 , z 1) ; N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Alors l'équation de ce plan peut s'écrire en fonction du déterminant :

Par exemple, essayons de trouver une paire de plans qui apparaissent réellement dans les problèmes C2. Regardez à quelle vitesse tout compte :

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Nous composons le déterminant et le mettons à zéro :

Ouverture du déterminant :

une = 1 1 (z − 1) + 0 0 X + (−1) 1 y = z − 1 − y ;
b = (−1) 1 X + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x ;
ré = une - b = z - 1 - y - (-x) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1 ;
ré = 0 ⇒ X - y + z - 1 = 0 ;

Comme vous pouvez le voir, lors du calcul du nombre d, j'ai "brossé" un peu l'équation pour que les variables x , y et z entrent dans séquence correcte. C'est tout! L'équation de l'avion est prête !

Une tâche. Ecrire une équation pour un plan passant par les points :

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Remplacez immédiatement les coordonnées des points dans le déterminant:

En développant à nouveau le déterminant :

une = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z ;
b = 1 1 X + 0 0 z + 1 1 y = X + y ;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
ré = 0 ⇒ z − X − y = 0 ⇒ X + y − z = 0 ;

Ainsi, l'équation du plan est à nouveau obtenue ! Encore une fois, à la dernière étape, j'ai dû changer les signes afin d'obtenir une formule plus « belle ». Il n'est pas nécessaire de le faire dans cette solution, mais il est toujours recommandé - afin de simplifier la solution ultérieure du problème.

Comme vous pouvez le voir, il est maintenant beaucoup plus facile d'écrire l'équation du plan. Nous substituons les points dans la matrice, calculons le déterminant - et c'est tout, l'équation est prête.

Cela pourrait être la fin de la leçon. Cependant, de nombreux étudiants oublient constamment ce qui se trouve à l'intérieur du déterminant. Par exemple, quelle ligne contient x 2 ou x 3 , et quelle ligne juste x . Pour enfin faire face à cela, traçons d'où vient chaque numéro.

D'où vient la formule avec le déterminant ?

Alors, voyons d'où vient une équation aussi dure avec un déterminant. Cela vous aidera à vous en souvenir et à l'appliquer avec succès.

Tous les plans qui apparaissent dans le problème C2 sont définis par trois points. Ces points sont toujours marqués sur le dessin, voire indiqués directement dans le texte du problème. Dans tous les cas, pour compiler l'équation, nous devons écrire leurs coordonnées:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Considérons un autre point sur notre plan avec des coordonnées arbitraires :

T = (x, y, z)

Nous prenons n'importe quel point parmi les trois premiers (par exemple, le point M ) et en tirons des vecteurs vers chacun des trois points restants. On obtient trois vecteurs :

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Faisons maintenant une matrice carrée à partir de ces vecteurs et assimilons son déterminant à zéro. Les coordonnées des vecteurs deviendront les lignes de la matrice - et nous obtiendrons le même déterminant indiqué dans le théorème :

Cette formule signifie que le volume de la boîte construite sur les vecteurs MN , MK et MT est égal à zéro. Par conséquent, les trois vecteurs se trouvent dans le même plan. En particulier, un point arbitraire T = (x, y, z) est exactement ce que nous recherchions.

Remplacement des points et des lignes du déterminant

Les déterminants ont de merveilleuses propriétés qui facilitent encore plus solution du problème C2. Par exemple, peu importe à partir de quel point dessiner des vecteurs. Par conséquent, les déterminants suivants donnent la même équation plane que celle ci-dessus :

Vous pouvez également échanger les lignes du déterminant. L'équation restera inchangée. Par exemple, beaucoup de gens aiment écrire une ligne avec les coordonnées du point T = (x ; y ; z) tout en haut. S'il vous plaît, si cela vous convient:

Il confond certains que l'une des lignes contient des variables x , y et z , qui ne disparaissent pas lors de la substitution de points. Mais ils ne doivent pas disparaître ! En remplaçant les nombres dans le déterminant, vous devriez obtenir la construction suivante :

Ensuite, le déterminant est développé selon le schéma donné au début de la leçon et l'équation standard du plan est obtenue:

Ax + By + Cz + D = 0

Jetez un oeil à un exemple. Il est le dernier de la leçon d'aujourd'hui. Je vais délibérément échanger les lignes pour m'assurer que la réponse sera la même équation du plan.

Une tâche. Ecrire une équation pour un plan passant par les points :

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Ainsi, nous considérons 4 points :

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Commençons par créer un déterminant standard et égalisons-le à zéro :

Ouverture du déterminant :

une = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y ;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − X + 1 − z = 2 − x − z ;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
ré = 0 ⇒ X + y + z − 2 = 0 ;

Ça y est, on a la réponse : x + y + z − 2 = 0 .

Maintenant, réorganisons quelques lignes dans le déterminant et voyons ce qui se passe. Par exemple, écrivons une ligne avec les variables x, y, z non pas en bas, mais en haut :

Développons à nouveau le déterminant résultant :

une = (x - 1) 1 (-1) + (z - 1) (-1) 1 + y 0 0 = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z ;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y ;
ré = une - b = 2 - X - z - y ;
ré = 0 ⇒ 2 − X − y − z = 0 ⇒ X + y + z − 2 = 0 ;

Nous avons exactement la même équation plane : x + y + z − 2 = 0. Donc, cela ne dépend vraiment pas de l'ordre des lignes. Il reste à écrire la réponse.

Ainsi, nous avons vu que l'équation du plan ne dépend pas de la suite des droites. Il est possible de faire des calculs similaires et de prouver que l'équation du plan ne dépend pas du point dont on soustrait les coordonnées aux autres points.

Dans le problème considéré ci-dessus, nous avons utilisé le point B 1 = (1, 0, 1), mais il était tout à fait possible de prendre C = (1, 1, 0) ou D 1 = (0, 1, 1). En général, tout point avec des coordonnées connues se trouvant sur le plan souhaité.