Exemples de solutions de fonction quadratique 9. Fonction quadratique et son graphique

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Pour comprendre ce qui va être écrit ici, il faut bien savoir ce qu'est une fonction quadratique et avec quoi on la mange. Si vous vous considérez comme un pro des fonctions quadratiques, bienvenue. Mais sinon, vous devriez lire le fil.

Commençons par un petit chèques:

À quoi ressemble une fonction quadratique sous forme générale (formule) ?
Quel est le nom du tableau fonction quadratique?
Comment le coefficient dominant affecte-t-il le graphique d'une fonction quadratique ?

Si vous pouvez répondre à ces questions dès le départ, continuez à lire. Si au moins une question a causé des difficultés, allez à.

Ainsi, vous savez déjà manipuler une fonction quadratique, analyser son graphe et construire un graphe par points.

Eh bien, c'est ici : .

Voyons rapidement ce qu'ils font. chances.

Le coefficient principal est responsable de la "pente" de la parabole, ou, en d'autres termes, de sa largeur : plus la parabole est grande, plus la parabole est étroite (plus raide) et plus la parabole est petite, plus elle est large (plus plate).
Le terme libre est la coordonnée de l'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées.
Et le coefficient est en quelque sorte responsable du déplacement de la parabole du centre des coordonnées. Voici plus à ce sujet maintenant.

Pourquoi commence-t-on toujours à construire une parabole ? Quel est son point distinctif ?

ce sommet. Et comment trouver les coordonnées du sommet, tu te souviens ?

L'abscisse est recherchée par la formule suivante :

Comme ça : quoi Suite, les sujets À gauche le sommet de la parabole se déplace.

L'ordonnée d'un sommet peut être trouvée en substituant dans la fonction :

Remplacez-vous et comptez. Qu'est-il arrivé?

Si vous faites tout correctement et simplifiez autant que possible l'expression résultante, vous obtenez :

Il s'avère que plus modulo, les sujets au dessus sera sommet paraboles.

Passons enfin au tracé.
Le plus simple est de construire une parabole en partant du haut.

Exemple:

Tracez la fonction.

La solution:

Définissons d'abord les coefficients : .

Calculons maintenant les coordonnées des sommets :

Et maintenant rappelez-vous : toutes les paraboles avec le même coefficient directeur se ressemblent. Donc, si nous construisons une parabole et déplaçons son sommet vers un point, nous obtenons le graphe dont nous avons besoin :

Simple, non ?

Il ne reste plus qu'une question : comment dessiner rapidement une parabole ? Même si on dessine une parabole avec un sommet à l'origine, il faut quand même la construire point par point, ce qui est long et peu pratique. Mais toutes les paraboles se ressemblent, peut-être existe-t-il un moyen d'accélérer leur dessin ?

Quand j'étais à l'école, mon professeur de mathématiques a dit à tout le monde de découper un pochoir en forme de parabole dans du carton pour qu'ils puissent le dessiner rapidement. Mais vous ne pourrez pas vous promener partout avec un pochoir, et ils ne seront pas autorisés à l'apporter à l'examen. Donc, nous n'utiliserons pas d'objets étrangers, mais nous chercherons un modèle.

Considérons la parabole la plus simple. Construisons par points :

La règle ici est la suivante. Si nous nous déplaçons du haut vers la droite (le long de l'axe) vers, et vers le haut (le long de l'axe) vers, alors nous arriverons au point de la parabole. Plus loin: si à partir de ce point nous nous déplaçons vers la droite et vers le haut, nous arriverons à nouveau au point de la parabole. Suivant : à droite et à gauche. Et après? À droite et à gauche. Et ainsi de suite : se déplacer vers la droite, et au suivant nombre impair en haut. Ensuite, nous faisons de même avec la branche gauche (après tout, la parabole est symétrique, c'est-à-dire que ses branches se ressemblent) :

Génial, cela aidera à construire n'importe quelle parabole à partir du sommet avec le coefficient le plus élevé égal à. Par exemple, nous avons appris que le sommet d'une parabole est en un point. Construis (seul, sur papier) cette parabole.

Construit?

Ça devrait se passer comme ça :

Maintenant, nous connectons les points obtenus :

C'est tout.

OK, eh bien, construisez maintenant uniquement des paraboles avec ?

Bien sûr que non. Voyons maintenant quoi faire avec eux, si.

Considérons quelques cas typiques.

Super, nous avons appris à dessiner une parabole, maintenant pratiquons sur de vraies fonctions.

Alors, dessinez des graphiques de telles fonctions:

Réponses:

3. Haut : .

Vous souvenez-vous de ce qu'il faut faire si le coefficient senior est inférieur ?

On regarde le dénominateur de la fraction : il est égal. Alors on va bouger comme ça :

droite - haut
droite - haut
droite - haut

et aussi à gauche :

4. Haut : .

Ah, qu'en faire ? Comment mesurer les cellules si le sommet est quelque part entre les lignes ?..

Et nous trichons. Dessinons d'abord une parabole, puis déplaçons son sommet vers un point. Même pas, faisons-le encore plus délicat : dessinons une parabole, puis déplacer les axes :- sur le descente, un - sur droit:

Cette technique est très pratique dans le cas de n'importe quelle parabole, souvenez-vous en.

Rappelons que nous pouvons représenter la fonction sous cette forme :

Par exemple: .

Qu'est-ce que cela nous donne ?

Le fait est que le nombre qui est soustrait entre parenthèses () est l'abscisse du sommet de la parabole, et le terme à l'extérieur des parenthèses () est l'ordonnée du sommet.

Cela signifie qu'après avoir construit une parabole, il vous suffit de déplacer l'axe vers la gauche et l'axe vers le bas.

Exemple : traçons un graphe de fonctions.

Sélectionnons un carré complet :

Quel nombre soustrait entre parenthèses ? Ceci (et non comment vous pouvez décider sans réfléchir).

Donc, on construit une parabole :

Maintenant, nous déplaçons l'axe vers le bas, c'est-à-dire vers le haut :

Et maintenant - à gauche, c'est-à-dire à droite:

C'est tout. C'est la même chose que de déplacer une parabole avec son sommet de l'origine à un point, seul l'axe droit est beaucoup plus facile à déplacer qu'une parabole tordue.

Maintenant, comme d'habitude, moi-même :

Et n'oubliez pas d'effacer les anciens axes avec une gomme !

je suis comme réponses pour vérification, je vous écrirai les ordonnées des sommets de ces paraboles :

Est-ce que tout correspondait ?

Si oui, alors vous êtes super ! Savoir manipuler une parabole est très important et utile, et ici nous avons constaté que ce n'est pas difficile du tout.

GRAPHIQUE D'UNE FONCTION QUADRATIQUE. EN BREF SUR LE PRINCIPAL

fonction quadratique est une fonction de la forme, où, et sont des nombres (coefficients), est un membre libre.

Le graphe d'une fonction quadratique est une parabole.

Haut de la parabole :
, c'est à dire. plus \displaystyle b est grand, plus le haut de la parabole se déplace vers la gauche.
Remplacez dans la fonction et obtenez :
, c'est à dire. plus \displaystyle b modulo est grand, plus le sommet de la parabole sera élevé

Le terme libre est la coordonnée de l'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées.

Bon, le sujet est clos. Si vous lisez ces lignes, alors vous êtes très cool.

Parce que seulement 5% des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous avez lu jusqu'au bout, alors vous êtes dans les 5% !

Maintenant la chose la plus importante.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et, je le répète, c'est... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème c'est que cela risque de ne pas suffire...

Pour quelle raison?

Pour réussir réussir l'examen, pour l'admission à l'institut sur le budget et, SURTOUT, à vie.

Je ne vous convaincrai de rien, je dirai juste une chose...

Les personnes qui ont reçu une bonne éducation, gagnent beaucoup plus que ceux qui ne l'ont pas reçu. Ce sont des statistiques.

Mais ce n'est pas l'essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que beaucoup plus d'opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

Mais pense par toi-même...

Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen et d'être finalement... plus heureux ?

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Tout le monde sait ce qu'est une parabole. Mais comment l'utiliser correctement, avec compétence pour résoudre divers problèmes pratiques, nous comprendrons ci-dessous.

Notons d'abord les concepts de base que l'algèbre et la géométrie donnent à ce terme. Considérez tout types possibles ce tableau.

Nous apprenons toutes les principales caractéristiques de cette fonction. Comprenons les bases de la construction d'une courbe (géométrie). Apprenons à trouver le sommet, d'autres valeurs de base du graphique de ce type.

Nous découvrirons: comment la courbe requise est correctement construite selon l'équation, à quoi vous devez faire attention. Voyons le principal utilisation pratique cette valeur unique dans la vie humaine.

Qu'est-ce qu'une parabole et à quoi ressemble-t-elle

Algèbre : Ce terme fait référence au graphique d'une fonction quadratique.

Géométrie : Il s'agit d'une courbe de second ordre qui possède un certain nombre de caractéristiques spécifiques :

Équation de parabole canonique

La figure montre un système de coordonnées rectangulaires (XOY), un extremum, la direction de la fonction dessinant des branches le long de l'axe des abscisses.

L'équation canonique est :

y 2 \u003d 2 * p * x,

où le coefficient p est le paramètre focal de la parabole (AF).

En algèbre, il s'écrit différemment :

y = a x 2 + b x + c (motif reconnaissable : y = x 2).

Propriétés et graphique d'une fonction quadratique

La fonction a un axe de symétrie et un centre (extremum). Le domaine de définition est toutes les valeurs de l'axe des abscisses.

La plage de valeurs de la fonction - (-∞, M) ou (M, +∞) dépend de la direction des branches de la courbe. Le paramètre M signifie ici la valeur de la fonction en haut de la ligne.

Comment déterminer où sont dirigées les branches d'une parabole

Pour trouver la direction de ce type de courbe à partir d'une expression, il faut préciser le signe devant le premier paramètre expression algébrique. Si a ˃ 0, alors elles sont dirigées vers le haut. Sinon, vers le bas.

Comment trouver le sommet d'une parabole en utilisant la formule

Trouver l'extremum est l'étape principale dans la résolution de nombreux problèmes pratiques. Bien sûr, vous pouvez ouvrir des calculatrices en ligne mais il vaut mieux être capable de le faire soi-même.

Comment le définir ? Il existe une formule spéciale. Lorsque b n'est pas égal à 0, il faut chercher les coordonnées de ce point.

Formules pour trouver le sommet :

x 0 \u003d -b / (2 * un);
y 0 = y (x 0).

Exemple.

Il existe une fonction y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Trouvons les sommets de cette fonction.

Pour une telle ligne :

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Nous obtenons les coordonnées du sommet (-2, -41).

Décalage de la parabole

Le cas classique est celui où dans une fonction quadratique y = a x 2 + b x + c, les deuxième et troisième paramètres sont 0, et = 1 - le sommet est au point (0; 0).

Le mouvement le long des axes d'abscisse ou d'ordonnée est dû à une modification des paramètres b et c, respectivement. Le déplacement de la ligne sur le plan s'effectuera exactement du nombre d'unités, qui est égal à la valeur du paramètre.

Exemple.

Nous avons : b = 2, c = 3.

Cela signifie que la vue classique de la courbe se décalera de 2 segments unitaires le long de l'axe des abscisses et de 3 le long de l'axe des ordonnées.

Comment construire une parabole à l'aide d'une équation quadratique

Il est important que les écoliers apprennent à dessiner correctement une parabole en fonction des paramètres donnés.

En analysant les expressions et les équations, vous pouvez voir les éléments suivants :

Le point d'intersection de la ligne désirée avec le vecteur d'ordonnée aura une valeur égale à c.
Tous les points du graphique (le long de l'axe des x) seront symétriques par rapport à l'extremum principal de la fonction.

De plus, les intersections avec OX peuvent être trouvées en connaissant le discriminant (D) d'une telle fonction :

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Pour ce faire, vous devez assimiler l'expression à zéro.

La présence de racines de parabole dépend du résultat :

D ˃ 0, alors x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a) ;
D \u003d 0, puis x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D ˂ 0, alors il n'y a pas de points d'intersection avec le vecteur OX.

On obtient l'algorithme de construction d'une parabole :

déterminer la direction des branches;
trouver les coordonnées du sommet ;
trouver l'intersection avec l'axe y ;
trouver l'intersection avec l'axe des x.

Exemple 1

Étant donné une fonction y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Il est nécessaire de construire une parabole. Nous agissons selon l'algorithme :

a \u003d 1, par conséquent, les branches sont dirigées vers le haut;
coordonnées extrêmes : x = - (-5) / 2 = 5/2 ; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4 ;
coupe l'axe y à la valeur y = 4 ;
trouver le discriminant : D = 25 - 16 = 9 ;
à la recherche de racines

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (Dix).

Exemple 2

Pour la fonction y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, vous devez construire une parabole. Nous agissons selon l'algorithme ci-dessus:

a \u003d 3, par conséquent, les branches sont dirigées vers le haut;
coordonnées extrêmes : x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3 ; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3 ;
avec l'axe y se croisera à la valeur y \u003d -1;
trouver le discriminant : D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Donc les racines :

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3 ; 0).

A partir des points obtenus, vous pouvez construire une parabole.

Directrice, excentricité, foyer d'une parabole

D'après l'équation canonique, le foyer F a pour coordonnées (p/2, 0).

La droite AB est une directrice (sorte de corde de parabole d'une certaine longueur). Son équation est x = -p/2.

Excentricité (constante) = 1.

Conclusion

Nous avons considéré le sujet que les élèves étudient dans lycée. Maintenant, vous savez, en regardant la fonction quadratique d'une parabole, comment trouver son sommet, dans quelle direction les branches seront dirigées, s'il y a un décalage le long des axes et, avec un algorithme de construction, vous pouvez dessiner son graphique.