Calculateur d'inégalités avec solution en ligne. Inégalités linéaires

L'inégalité est un rapport numérique qui illustre l'ampleur des nombres les uns par rapport aux autres. Les inégalités sont largement utilisées dans la recherche de quantités en sciences appliquées. Notre calculatrice vous aidera à traiter un sujet aussi difficile que la résolution d'inéquations linéaires.

Qu'est-ce que l'inégalité

Des rapports inégaux dans la vie réelle correspondent à la comparaison constante d'objets différents : plus haut ou plus bas, plus loin ou plus près, plus lourd ou plus léger. Intuitivement ou visuellement, on peut comprendre qu'un objet est plus grand, plus haut ou plus lourd qu'un autre, mais en fait il s'agit toujours de comparer des nombres qui caractérisent les quantités correspondantes. On peut comparer des objets sur n'importe quelle base, et dans tous les cas, on peut faire une inégalité numérique.

Si les quantités inconnues dans des conditions spécifiques sont égales, alors pour leur détermination numérique, nous faisons une équation. Sinon, au lieu du signe "égal", nous pouvons indiquer tout autre rapport entre ces quantités. Deux nombres ou objets mathématiques peuvent être supérieurs à ">", inférieurs à "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Les signes d'inégalité sous leur forme moderne ont été inventés par le mathématicien britannique Thomas Harriot, qui a publié en 1631 un livre sur les rapports inégaux. Supérieur à ">" et inférieur à "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Résoudre les inégalités

Les inégalités, comme les équations, sont de différents types. Des rapports inégaux linéaires, carrés, logarithmiques ou exponentiels sont déclenchés par diverses méthodes. Cependant, quelle que soit la méthode, toute inégalité doit d'abord être réduite à une forme standard. Pour cela, on utilise des transformations identiques, qui sont identiques aux modifications d'égalités.

Transformations identitaires des inégalités

De telles transformations d'expressions sont très similaires au fantôme des équations, mais elles ont des nuances qu'il est important de prendre en compte lors du dénouement des inégalités.

La première transformation d'identité est identique à l'opération analogue avec des égalités. Aux deux côtés du rapport inégal, vous pouvez ajouter ou soustraire le même nombre ou la même expression avec un x inconnu, tandis que le signe d'inégalité reste le même. Le plus souvent, cette méthode est utilisée sous une forme simplifiée comme le transfert des termes de l'expression à travers le signe de l'inégalité avec le changement du signe du nombre à l'opposé. Cela fait référence au changement du signe du terme lui-même, c'est-à-dire que + R lorsqu'il est transféré via n'importe quel signe d'inégalité se changera en - R et vice versa.

La seconde transformation a deux points :

Les deux côtés d'un rapport inégal peuvent être multipliés ou divisés par le même nombre positif. Le signe de l'inégalité lui-même ne changera pas.
Les deux côtés de l'inégalité peuvent être divisés ou multipliés par le même nombre négatif. Le signe de l'inégalité elle-même changera à l'opposé.

La deuxième transformation identique des inégalités présente de sérieuses différences avec la modification des équations. Premièrement, lors de la multiplication/division par un nombre négatif, le signe d'une expression inégale s'inverse toujours. Deuxièmement, diviser ou multiplier des parties d'une relation n'est autorisé que par un nombre, et non par une expression contenant une inconnue. Le fait est que nous ne pouvons pas savoir avec certitude si un nombre supérieur ou inférieur à zéro est caché derrière l'inconnue, de sorte que la deuxième transformation identique est appliquée aux inégalités exclusivement avec des nombres. Regardons ces règles avec des exemples.

Exemples de déliement des inégalités

Dans les devoirs d'algèbre, il existe une variété de devoirs sur le thème des inégalités. Donnons-nous une expression :

6x − 3(4x + 1) > 6.

Tout d'abord, ouvrez les parenthèses et déplacez toutes les inconnues vers la gauche et tous les nombres vers la droite.

6x − 12x > 6 + 3

Nous devons diviser les deux parties de l'expression par −6, donc lors de la recherche d'un x inconnu, le signe de l'inégalité changera en l'opposé.

Lors de la résolution de cette inégalité, nous avons utilisé les deux transformations identiques : nous avons déplacé tous les nombres à droite du signe et divisé les deux côtés du rapport par un nombre négatif.

Notre programme est une calculatrice pour résoudre des inégalités numériques qui ne contiennent pas d'inconnues. Le programme contient les théorèmes suivants pour les rapports de trois nombres :

si un< B то A–C< B–C;
si A > B, alors A–C > B–C.

Au lieu de soustraire les termes A-C, vous pouvez spécifier n'importe quelle opération arithmétique : addition, multiplication ou division. Ainsi, la calculatrice présentera automatiquement les inégalités de sommes, de différences, de produits ou de fractions.

Conclusion

Dans la vraie vie, les inégalités sont aussi courantes que les équations. Naturellement, dans la vie de tous les jours, les connaissances sur la résolution des inégalités peuvent ne pas être nécessaires. Cependant, dans les sciences appliquées, les inégalités et leurs systèmes sont largement utilisés. Par exemple, diverses études des problèmes de l'économie mondiale se réduisent à la compilation et au déchaînement de systèmes d'inégalités linéaires ou carrées, et certaines relations inégales servent de moyen sans ambiguïté de prouver l'existence de certains objets. Utilisez nos programmes pour résoudre des inégalités linéaires ou vérifiez vos propres calculs.

La forme ax 2 + bx + 0 0, où (au lieu du signe >, il peut bien sûr y avoir n'importe quel autre signe d'inégalité). Nous avons tous les faits de la théorie nécessaires pour résoudre de telles inégalités, que nous allons maintenant vérifier.

Exemple 1. Résolvez l'inégalité :

a) x 2 - 2x - 3 > 0 ; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Décision,

a) Considérez la parabole y \u003d x 2 - 2x - 3 illustrée à la fig. 117.

Résoudre l'inégalité x 2 - 2x - 3 > 0 - cela signifie répondre à la question pour laquelle les valeurs de x les ordonnées des points de la parabole sont positives.

On remarque que y > 0, c'est-à-dire que le graphe de la fonction est situé au-dessus de l'axe des abscisses, en x< -1 или при х > 3.

Ainsi, les solutions de l'inégalité sont toutes des points de l'ouvert faisceau(- 00 , - 1), ainsi que tous les points du faisceau ouvert (3, +00).

En utilisant le signe U (le signe de l'union des ensembles), la réponse peut s'écrire comme suit : (-00 , - 1) U (3, +00). Cependant, la réponse peut aussi être écrite comme ceci :< - 1; х > 3.

b) Inégalité x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: programme situé sous l'axe des abscisses si -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) L'inégalité x 2 - 2x - 3 > 0 diffère de l'inégalité x 2 - 2x - 3 > 0 en ce que la réponse doit également inclure les racines de l'équation x 2 - 2x - 3 = 0, c'est-à-dire les points x = - 1

et x \u003d 3. Ainsi, les solutions de cette inégalité non stricte sont tous les points du faisceau (-00, - 1], ainsi que tous les points du faisceau.

Les mathématiciens pratiques disent généralement ceci: pourquoi, en résolvant l'inégalité ax 2 + bx + c > 0, construisons-nous soigneusement un graphe parabolique d'une fonction quadratique

y \u003d ax 2 + bx + c (comme cela a été fait dans l'exemple 1) ? Il suffit de faire une esquisse schématique du graphique, pour laquelle il suffit de trouver racines trinôme carré (le point d'intersection de la parabole avec l'axe des x) et déterminer où les branches de la parabole sont dirigées - vers le haut ou vers le bas. Cette esquisse schématique donnera une interprétation visuelle de la solution de l'inégalité.

Exemple 2 Résolvez l'inégalité - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Décision.

1) Trouvez les racines du trinôme carré - 2x 2 + Zx + 9 : x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) La parabole, qui sert de graphique à la fonction y \u003d -2x 2 + Zx + 9, coupe l'axe des x aux points 3 et - 1,5, et les branches de la parabole sont dirigées vers le bas, car l'ancienne coefficient- nombre négatif - 2. Dans la fig. 118 est une esquisse d'un graphique.

3) En utilisant la fig. 118, nous concluons :< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Réponse : x< -1,5; х > 3.

Exemple 3 Résolvez l'inéquation 4x 2 - 4x + 1< 0.
Décision.

1) De l'équation 4x 2 - 4x + 1 = 0 nous trouvons.

2) Le trinôme carré a une racine ; cela signifie que la parabole servant de graphique à un trinôme carré ne coupe pas l'axe des abscisses, mais le touche en un point. Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut (Fig. 119.)

3) En utilisant le modèle géométrique représenté sur la fig. 119, nous établissons que l'inégalité spécifiée n'est satisfaite qu'au point, puisque pour toutes les autres valeurs de x, les ordonnées du graphique sont positives.
Répondre: .
Vous avez probablement remarqué qu'en fait, dans les exemples 1, 2, 3, un algorithme en résolvant des inégalités quadratiques, nous allons le formaliser.

L'algorithme de résolution de l'inégalité quadratique ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

La première étape de cet algorithme consiste à trouver les racines d'un trinôme carré. Mais les racines peuvent ne pas exister, alors que faire ? Alors l'algorithme est inapplicable, ce qui signifie qu'il faut raisonner différemment. La clé de ces arguments est donnée par les théorèmes suivants.

Autrement dit, si D< 0, а >0, alors l'inégalité ax 2 + bx + c > 0 est satisfaite pour tout x ; au contraire, l'inégalité ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Preuve. programme les fonctions y \u003d ax 2 + bx + c est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut (puisque a > 0) et qui ne coupe pas l'axe x, puisque le trinôme carré n'a pas de racine par condition. Le graphique est représenté sur la fig. 120. On voit que pour tout x le graphe est situé au-dessus de l'axe des x, ce qui signifie que pour tout x l'inégalité ax 2 + bx + c > 0 est satisfaite, ce qu'il fallait prouver.

Autrement dit, si D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 n'a pas de solution.

Preuve. Le graphique de la fonction y \u003d ax 2 + bx + c est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas (puisque a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Exemple 4. Résolvez l'inégalité :

a) 2x 2 - x + 4 > 0 ; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Trouvez le discriminant du trinôme carré 2x 2 - x + 4. Nous avons D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Le coefficient supérieur du trinôme (numéro 2) est positif.

Par conséquent, d'après le théorème 1, pour tout x, l'inégalité 2x 2 - x + 4 > 0 est satisfaite, c'est-à-dire que la solution à l'inégalité donnée est le tout (-00, + 00).

b) Trouvez le discriminant du trinôme carré - x 2 + Zx - 8. Nous avons D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Réponse : a) (-00, + 00) ; b) il n'y a pas de solutions.

Dans l'exemple suivant, nous allons nous familiariser avec une autre façon de raisonner, qui est utilisée pour résoudre les inégalités quadratiques.

Exemple 5 Résolvez l'inégalité 3x 2 - 10x + 3< 0.
Décision. Factorisons le trinôme carré 3x 2 - 10x + 3. Les racines du trinôme sont les nombres 3 et, par conséquent, en utilisant ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), on obtient Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
On note sur la droite numérique les racines du trinôme : 3 et (Fig. 122).

Soit x > 3 ; alors x-3>0 et x->0, et donc le produit 3(x - 3)(x - ) est positif. Ensuite, laissez< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Par conséquent, le produit 3(x-3)(x-) est négatif. Enfin, soit x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) est positif.

En résumant le raisonnement, nous arrivons à la conclusion: les signes du trinôme carré Zx 2 - 10x + 3 changent comme indiqué sur la Fig. 122. Nous nous intéressons à ce pour quoi x le trinôme carré prend des valeurs négatives. De la fig. 122 nous concluons: le trinôme carré 3x 2 - 10x + 3 prend des valeurs négatives pour toute valeur de x de l'intervalle (, 3)
Réponse (, 3), ou< х < 3.

Commenter. La méthode de raisonnement que nous avons appliquée dans l'exemple 5 est généralement appelée méthode des intervalles (ou méthode des intervalles). Il est activement utilisé en mathématiques pour résoudre rationnel inégalités. En 9e année, nous étudierons plus en détail la méthode des intervalles.

Exemple 6. A quelles valeurs du paramètre p est l'équation quadratique x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) a deux racines différentes ;

b) a une racine ;

c) n'a pas de racines ?

Décision. Le nombre de racines d'une équation quadratique dépend du signe de son discriminant D. Dans ce cas, on trouve D \u003d 25 - 4p 2.

a) Une équation quadratique a deux racines différentes, si D> 0, alors le problème se réduit à résoudre l'inégalité 25 - 4p 2 > 0. On multiplie les deux parties de cette inégalité par -1 (en n'oubliant pas de changer le signe de l'inégalité). On obtient une inégalité équivalente 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Les signes de l'expression 4(p - 2,5) (p + 2,5) sont représentés sur la fig. 123.

Nous concluons que l'inégalité 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) équation quadratique a une racine si D vaut 0.
Comme nous l'avons indiqué ci-dessus, D = 0 à p = 2,5 ou p = -2,5.

C'est pour ces valeurs du paramètre p que cette équation quadratique n'a qu'une seule racine.

c) Une équation quadratique n'a pas de racines si D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

On obtient 4p 2 - 25 > 0 ; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, d'où (voir Fig. 123) p< -2,5; р >2.5. Pour ces valeurs du paramètre p, cette équation quadratique n'a pas de racines.

Réponse : a) à p (-2,5, 2,5) ;

b) à p = 2,5 ou p = -2,5 ;
c) à r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algèbre. 8e année : Proc. pour l'enseignement général institutions - 3e éd., finalisée. - M. : Mnemosyne, 2001. - 223 p. : ill.

Aider un élève en ligne, Mathématiques pour le téléchargement de 8e année, planification calendrier-thématique

voir aussi Résoudre graphiquement un problème de programmation linéaire, Forme canonique des problèmes de programmation linéaire

Le système de contraintes pour un tel problème consiste en des inégalités à deux variables :
et la fonction objectif a la forme F = C 1 X + C 2 y, qui doit être maximisé.

Répondons à la question : quelles paires de nombres ( X; y) sont des solutions au système d'inégalités, c'est-à-dire satisfont-elles simultanément à chacune des inégalités ? En d'autres termes, que signifie résoudre graphiquement un système ?
Vous devez d'abord comprendre quelle est la solution d'une inégalité linéaire à deux inconnues.
Résoudre une inégalité linéaire à deux inconnues revient à déterminer tous les couples de valeurs des inconnues pour lesquelles l'inégalité est satisfaite.
Par exemple, l'inégalité 3 X – 5y≥ 42 satisfont les paires ( X , y) : (100, 2); (3, –10), etc. Le problème est de trouver toutes ces paires.
Considérons deux inégalités : hache + par≤ c, hache + par≥ c. Droit hache + par = c divise le plan en deux demi-plans de manière à ce que les coordonnées des points de l'un d'eux satisfassent l'inégalité hache + par >c, et l'autre inégalité hache + +par <c.
En effet, prenons un point de coordonnées X = X 0 ; puis un point situé sur une droite et ayant pour abscisse X 0 , a une ordonnée

Laissons pour plus de précision un<0, b>0, c>0. Tous les points avec abscisse X 0 ci-dessus P(par exemple point M), avoir y M>y 0 , et tous les points en dessous du point P, d'abscisse X 0 , avoir oN<y 0 . Dans la mesure où X 0 est un point arbitraire, alors il y aura toujours des points d'un côté de la ligne pour lesquels hache+ par > c, formant un demi-plan, et d'autre part, des points pour lesquels hache + par< c.

Image 1

Le signe de l'inégalité dans le demi-plan dépend des nombres un, b , c.
Cela implique la méthode suivante pour la résolution graphique de systèmes d'inégalités linéaires à deux variables. Pour résoudre le système, vous avez besoin de :

Pour chaque inégalité, écrivez l'équation correspondant à l'inégalité donnée.
Construire des droites qui sont des graphiques de fonctions données par des équations.
Pour chaque droite, déterminer le demi-plan, qui est donné par l'inégalité. Pour ce faire, prenez un point arbitraire qui ne se trouve pas sur une ligne droite, substituez ses coordonnées dans l'inégalité. si l'inégalité est vraie, alors le demi-plan contenant le point choisi est la solution de l'inégalité d'origine. Si l'inégalité est fausse, alors le demi-plan de l'autre côté de la droite est l'ensemble des solutions à cette inégalité.
Pour résoudre un système d'inégalités, il est nécessaire de trouver l'aire d'intersection de tous les demi-plans qui sont la solution à chaque inégalité du système.

Cette zone peut se révéler vide, alors le système d'inégalités n'a pas de solutions, il est incohérent. Sinon, le système est dit cohérent.
Les solutions peuvent être un nombre fini et un ensemble infini. La zone peut être un polygone fermé ou elle peut être illimitée.

Prenons trois exemples pertinents.

Exemple 1. Résoudre graphiquement le système :
X + v- 1 ≤ 0;
–2X- 2y + 5 ≤ 0.

considérons les équations x+y–1=0 et –2x–2y+5=0 correspondant aux inégalités ;
construisons les droites données par ces équations.

Figure 2

Définissons les demi-plans donnés par les inégalités. Prenons un point arbitraire, soit (0; 0). Considérer X+ y– 1 0, on substitue le point (0 ; 0) : 0 + 0 – 1 ≤ 0. donc, dans le demi-plan où se trouve le point (0 ; 0), X + y – 1 ≤ 0, c'est-à-dire le demi-plan situé au-dessous de la droite est la solution de la première inégalité. En substituant ce point (0; 0) au second, on obtient : –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, c'est-à-dire dans le demi-plan où se trouve le point (0; 0), -2 X – 2y+ 5≥ 0, et on nous a demandé où -2 X – 2y+ 5 ≤ 0, donc, dans un autre demi-plan - dans celui au-dessus de la droite.
Trouvez l'intersection de ces deux demi-plans. Les droites sont parallèles, donc les plans ne se coupent nulle part, ce qui signifie que le système de ces inégalités n'a pas de solutions, il est incohérent.

Exemple 2. Trouver graphiquement les solutions du système d'inégalités :

figure 3
1. Écrivez les équations correspondant aux inégalités et construisez des droites.
X + 2y– 2 = 0

X	2	0
y	0	1

y – X – 1 = 0

X	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Après avoir choisi le point (0; 0), on détermine les signes des inégalités dans les demi-plans :
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, soit X + 2y– 2 ≤ 0 dans le demi-plan sous la droite ;
0 – 0 – 1 ≤ 0, c'est-à-dire y –X– 1 ≤ 0 dans le demi-plan sous la droite ;
0 + 2 =2 ≥ 0, c'est-à-dire y+ 2 ≥ 0 dans le demi-plan au-dessus de la droite.
3. L'intersection de ces trois demi-plans sera une zone qui est un triangle. Il n'est pas difficile de trouver les sommets de la région comme les points d'intersection des lignes correspondantes

Ainsi, MAIS(–3; –2), À(0; 1), Avec(6; –2).

Considérons un autre exemple, dans lequel le domaine résultant de la solution du système n'est pas limité.

Résoudre les inégalités en ligne

Avant de résoudre des inégalités, il est nécessaire de bien comprendre comment les équations sont résolues.

Peu importe que l'inégalité soit stricte () ou non stricte (≤, ≥), la première étape consiste à résoudre l'équation en remplaçant le signe de l'inégalité par l'égalité (=).

Expliquez ce que signifie résoudre une inéquation ?

Après avoir étudié les équations, l'élève a en tête l'image suivante : il faut trouver de telles valeurs de la variable pour lesquelles les deux parties de l'équation prennent les mêmes valeurs. En d'autres termes, trouvez tous les points où l'égalité est vraie. Tout est correct!

Quand on parle d'inégalités, cela signifie trouver les intervalles (segments) sur lesquels l'inégalité tient. S'il y a deux variables dans l'inégalité, alors la solution ne sera plus des intervalles, mais des zones sur le plan. Devinez quelle sera la solution de l'inégalité à trois variables ?

Comment résoudre les inégalités ?

La méthode des intervalles (alias la méthode des intervalles) est considérée comme un moyen universel de résoudre les inégalités, qui consiste à déterminer tous les intervalles dans lesquels l'inégalité donnée sera satisfaite.

Sans entrer dans le type d'inégalité, dans ce cas ce n'est pas l'essentiel, il faut résoudre l'équation correspondante et déterminer ses racines, suivi de la désignation de ces solutions sur l'axe numérique.

Quelle est la bonne façon d'écrire la solution d'une inéquation ?

Lorsque vous avez déterminé les intervalles de résolution de l'inégalité, vous devez écrire correctement la solution elle-même. Il y a une nuance importante - les limites des intervalles sont-elles incluses dans la solution ?

Tout est simple ici. Si la solution de l'équation satisfait l'ODZ et que l'inégalité n'est pas stricte, alors la limite de l'intervalle est incluse dans la solution de l'inégalité. Sinon, non.

Considérant chaque intervalle, la solution à l'inégalité peut être l'intervalle lui-même, ou un demi-intervalle (lorsque l'une de ses limites satisfait l'inégalité), ou un segment - un intervalle avec ses limites.

Point important

Ne pensez pas que seuls les intervalles, les demi-intervalles et les segments peuvent être la solution d'une inégalité. Non, des points individuels peuvent également être inclus dans la solution.

Par exemple, l'inégalité |x|≤0 n'a qu'une seule solution - le point 0.

Et l'inégalité |x|

A quoi sert le calculateur d'inégalités ?

Le calculateur d'inégalité donne la bonne réponse finale. Dans ce cas, dans la plupart des cas, une illustration d'un axe ou d'un plan numérique est donnée. Vous pouvez voir si les limites des intervalles sont incluses dans la solution ou non - les points sont affichés remplis ou percés.

Grâce au calculateur d'inégalités en ligne, vous pouvez vérifier si vous avez correctement trouvé les racines de l'équation, les avoir marquées sur la droite numérique et vérifié les conditions d'inégalité sur les intervalles (et les bornes) ?

Si votre réponse diffère de la réponse de la calculatrice, vous devez absolument revérifier votre solution et identifier l'erreur commise.

Inégalité est une expression avec, ≤ ou ≥. Par exemple, 3x - 5 Résoudre une inéquation signifie trouver toutes les valeurs des variables pour lesquelles cette inégalité est vraie. Chacun de ces nombres est une solution de l'inégalité, et l'ensemble de toutes ces solutions est son de nombreuses solutions. Les inégalités qui ont le même ensemble de solutions sont appelées inégalités équivalentes.

Inégalités linéaires

Les principes de résolution des inégalités sont similaires aux principes de résolution des équations.

Principes de résolution des inégalités
Pour tous les nombres réels a, b et c :
Le principe de l'addition des inégalités: Si un Principe de multiplication des inégalités: Si un 0 est vrai, alors ac Si un bc est également vrai.
Des déclarations similaires s'appliquent également pour a ≤ b.

Lorsque les deux côtés d'une inégalité sont multipliés par un nombre négatif, le signe de l'inégalité doit être inversé.
Les inégalités de premier niveau, comme dans l'exemple 1 (ci-dessous), sont appelées inégalités linéaires.

Exemple 1 Résolvez chacune des inégalités suivantes. Dessinez ensuite un ensemble de solutions.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Décision
Tout nombre inférieur à 11/5 est une solution.
L'ensemble des solutions est (x|x
Pour faire une vérification, nous pouvons tracer y 1 = 3x - 5 et y 2 = 6 - 2x. Alors on peut voir d'ici que pour x
L'ensemble de solutions est (x|x ≤ 1), ou (-∞, 1]. Le graphique de l'ensemble de solutions est illustré ci-dessous.

Doubles inégalités

Quand deux inégalités sont reliées par un mot et, ou alors, alors il se forme double inégalité. Double inégalité comme
-3 et 2x + 5 ≤ 7
appelé connecté parce qu'il utilise et. Fiche -3 Les doubles inégalités peuvent être résolues en utilisant les principes d'addition et de multiplication des inégalités.

Exemple 2 Résoudre -3 Décision Nous avons

Ensemble de solutions (x|x ≤ -1 ou alors x > 3). Nous pouvons également écrire la solution en utilisant la notation d'espacement et le symbole pour les associations ou inclusions des deux ensembles : (-∞ -1] (3, ∞). Le graphique de l'ensemble des solutions est présenté ci-dessous.

Pour tester, dessinez y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 et y 3 = 1. Notez que pour (x|x ≤ -1 ou alors x > 3), y 1 ≤ y 2 ou alors y 1 > y 3 .

Inégalités à valeur absolue (module)

Les inégalités contiennent parfois des modules. Les propriétés suivantes sont utilisées pour les résoudre.
Pour a > 0 et une expression algébrique x :
|x| |x| > a est équivalent à x ou x > a.
Déclarations similaires pour |x| ≤ a et |x| ≥ un.

Par example,
|x| |y| ≥ 1 est équivalent à y ≤ -1 ou alors y ≥ 1 ;
et |2x + 3| ≤ 4 est équivalent à -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Exemple 4 Résolvez chacune des inégalités suivantes. Tracez l'ensemble des solutions.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Décision
a) |3x + 2|

L'ensemble solution est (x|-7/3