Comment écrire une équation quadratique en connaissant les racines. Équations quadratiques - exemples avec solutions, caractéristiques et formules

Nous continuons à étudier le sujet solution d'équations". Nous nous sommes déjà familiarisés avec les équations linéaires et maintenant nous allons nous familiariser avec équations du second degré.

Tout d'abord, nous discuterons de ce qu'est une équation quadratique, comment elle est écrite sous sa forme générale et donnerons des définitions connexes. Après cela, à l'aide d'exemples, nous analyserons en détail comment les équations quadratiques incomplètes sont résolues. Ensuite, nous passons à la résolution d'équations complètes, obtenons la formule des racines, nous familiarisons avec le discriminant d'une équation quadratique et considérons les solutions d'exemples typiques. Enfin, nous traçons les liens entre les racines et les coefficients.

Navigation dans les pages.

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ? Leurs genres

Vous devez d'abord comprendre clairement ce qu'est une équation quadratique. Par conséquent, il est logique de commencer à parler d'équations quadratiques avec la définition d'une équation quadratique, ainsi que les définitions qui s'y rapportent. Après cela, vous pouvez considérer les principaux types d'équations quadratiques : réduites et non réduites, ainsi que les équations complètes et incomplètes.

Définition et exemples d'équations quadratiques

Définition.

Équation quadratique est une équation de la forme une x 2 +b x+c=0, où x est une variable, a , b et c sont des nombres et a est différent de zéro.

Disons tout de suite que les équations quadratiques sont souvent appelées équations du second degré. C'est parce que l'équation quadratique est équation algébrique second degré.

La définition sonore permet de donner des exemples d'équations quadratiques. Donc 2x2 +6x+1=0, 0,2x2 +2,5x+0,03=0, etc. sont des équations quadratiques.

Définition.

Nombres a , b et c sont appelés coefficients de l'équation quadratique a x 2 +b x + c=0, et le coefficient a est appelé le premier, ou senior, ou coefficient en x 2, b est le deuxième coefficient, ou coefficient en x, et c est un membre libre.

Par exemple, prenons une équation quadratique de la forme 5 x 2 −2 x−3=0 , ici le premier coefficient est 5 , le second coefficient est −2 , et le terme libre est −3 . Notez que lorsque les coefficients b et/ou c sont négatifs, comme dans l'exemple qui vient d'être donné, la forme abrégée de l'équation quadratique de la forme 5 x 2 −2 x−3=0 est utilisée, et non 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Il convient de noter que lorsque les coefficients a et / ou b sont égaux à 1 ou -1, alors ils ne sont généralement pas explicitement présents dans la notation de l'équation quadratique, ce qui est dû aux particularités de la notation de tel . Par exemple, dans l'équation quadratique y 2 −y+3=0, le coefficient directeur est un et le coefficient en y est −1.

Équations quadratiques réduites et non réduites

Selon la valeur du coefficient directeur, on distingue les équations quadratiques réduites et non réduites. Donnons les définitions correspondantes.

Définition.

Une équation quadratique dans laquelle le coefficient directeur est 1 est appelée équation quadratique réduite. Sinon, l'équation quadratique est non réduit.

Selon cette définition, les équations quadratiques x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, etc. - réduit, dans chacun d'eux le premier coefficient est égal à un. Et 5 x 2 −x−1=0 , etc. - équations quadratiques non réduites, leurs coefficients directeurs sont différents de 1 .

À partir de n'importe quelle équation quadratique non réduite, en divisant ses deux parties par le coefficient directeur, vous pouvez passer à l'équation réduite. Cette action est une transformation équivalente, c'est-à-dire que l'équation quadratique réduite ainsi obtenue a les mêmes racines que l'équation quadratique non réduite d'origine, ou, comme elle, n'a pas de racines.

Prenons un exemple de la façon dont la transition d'une équation quadratique non réduite à une équation réduite est effectuée.

Exemple.

A partir de l'équation 3 x 2 +12 x−7=0, passer à l'équation quadratique réduite correspondante.

La solution.

Il nous suffit d'effectuer la division des deux parties de l'équation d'origine par le coefficient directeur 3, il est non nul, nous pouvons donc effectuer cette action. On a (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , qui est identique à (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , et ainsi de suite (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , d'où . Nous avons donc obtenu l'équation quadratique réduite, qui est équivalente à celle d'origine.

Réponse:

Équations quadratiques complètes et incomplètes

Il y a une condition a≠0 dans la définition d'une équation quadratique. Cette condition est nécessaire pour que l'équation a x 2 +b x+c=0 soit exactement carrée, puisqu'avec a=0 elle devient en fait une équation linéaire de la forme b x+c=0 .

Quant aux coefficients b et c, ils peuvent être égaux à zéro, à la fois séparément et ensemble. Dans ces cas, l'équation quadratique est dite incomplète.

Définition.

L'équation quadratique a x 2 +b x+c=0 est appelée incomplet, si au moins un des coefficients b , c est égal à zéro.

À son tour

Définition.

Équation quadratique complète est une équation dans laquelle tous les coefficients sont différents de zéro.

Ces noms ne sont pas donnés par hasard. Cela ressortira clairement de la discussion suivante.

Si le coefficient b est égal à zéro, alors l'équation quadratique devient a x 2 +0 x+c=0 , et elle est équivalente à l'équation a x 2 +c=0 . Si c=0 , c'est-à-dire que l'équation quadratique a la forme a x 2 +b x+0=0 , alors elle peut être réécrite comme a x 2 +b x=0 . Et avec b=0 et c=0 on obtient l'équation quadratique a·x 2 =0. Les équations résultantes diffèrent de l'équation quadratique complète en ce que leurs membres gauches ne contiennent ni un terme avec la variable x, ni un terme libre, ou les deux. D'où leur nom - équations quadratiques incomplètes.

Ainsi les équations x 2 +x+1=0 et −2 x 2 −5 x+0,2=0 sont des exemples d'équations quadratiques complètes, et x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sont des équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Il ressort des informations du paragraphe précédent qu'il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes:

• a x 2 =0 , les coefficients b=0 et c=0 lui correspondent ;
• a x 2 +c=0 quand b=0 ;
• et a x 2 + b x = 0 lorsque c = 0 .

Analysons dans l'ordre comment sont résolues les équations quadratiques incomplètes de chacun de ces types.

un x 2 \u003d 0

Commençons par résoudre des équations quadratiques incomplètes dans lesquelles les coefficients b et c sont égaux à zéro, c'est-à-dire avec des équations de la forme a x 2 =0. L'équation a x 2 =0 est équivalente à l'équation x 2 =0, qui est obtenue à partir de l'original en divisant ses deux parties par un nombre non nul a. De toute évidence, la racine de l'équation x 2 \u003d 0 est nulle, puisque 0 2 \u003d 0. Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui s'explique, en effet, pour tout nombre p non nul, l'inégalité p 2 >0 a lieu, ce qui implique que pour p≠0, l'égalité p 2 =0 n'est jamais atteinte.

Ainsi, l'équation quadratique incomplète a x 2 \u003d 0 a une seule racine x \u003d 0.

A titre d'exemple, nous donnons la solution d'une équation quadratique incomplète −4·x 2 =0. Elle équivaut à l'équation x 2 \u003d 0, sa seule racine est x \u003d 0, par conséquent, l'équation d'origine a également une seule racine zéro.

Une solution courte dans ce cas peut être émise comme suit :
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

une x 2 +c=0

Considérons maintenant comment sont résolues les équations quadratiques incomplètes, dans lesquelles le coefficient b est égal à zéro, et c≠0, c'est-à-dire les équations de la forme a x 2 +c=0. On sait que le transfert d'un terme d'un côté de l'équation à l'autre de signe opposé, ainsi que la division des deux côtés de l'équation par un nombre non nul, donnent une équation équivalente. Par conséquent, les transformations équivalentes suivantes de l'équation quadratique incomplète a x 2 +c=0 peuvent être effectuées :

• déplacer c vers la droite, ce qui donne l'équation a x 2 =−c,
• et divisons ses deux parties par a , nous obtenons .

L'équation résultante nous permet de tirer des conclusions sur ses racines. Selon les valeurs de a et c, la valeur de l'expression peut être négative (par exemple, si a=1 et c=2 , alors ) ou positive, (par exemple, si a=−2 et c=6 , alors ), il n'est pas égal à zéro , car par condition c≠0 . Nous analyserons séparément les cas et .

Si , alors l'équation n'a pas de racine. Cette affirmation découle du fait que le carré de tout nombre est un nombre non négatif. Il s'ensuit que lorsque , alors pour tout nombre p l'égalité ne peut pas être vraie.

Si , alors la situation avec les racines de l'équation est différente. Dans ce cas, si nous rappelons environ, alors la racine de l'équation devient immédiatement évidente, c'est le nombre, puisque. Il est facile de deviner que le nombre est aussi la racine de l'équation , en effet, . Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui peut être montré, par exemple, par contradiction. Faisons-le.

Notons les racines juste exprimées de l'équation par x 1 et −x 1 . Supposons que l'équation ait une autre racine x 2 différente des racines indiquées x 1 et −x 1 . On sait que la substitution dans l'équation au lieu de x de ses racines transforme l'équation en une véritable égalité numérique. Pour x 1 et −x 1 nous avons , et pour x 2 nous avons . Les propriétés des égalités numériques nous permettent d'effectuer une soustraction terme à terme des vraies égalités numériques, donc la soustraction des parties correspondantes des égalités donne x 1 2 − x 2 2 =0. Les propriétés des opérations sur les nombres nous permettent de réécrire l'égalité résultante sous la forme (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . On sait que le produit de deux nombres est égal à zéro si et seulement si au moins l'un d'entre eux est égal à zéro. Il résulte donc de l'égalité obtenue que x 1 -x 2 =0 et/ou x 1 +x 2 =0 , ce qui revient au même, x 2 =x 1 et/ou x 2 = -x 1 . On est donc arrivé à une contradiction, puisqu'au début on a dit que la racine de l'équation x 2 est différente de x 1 et −x 1 . Cela prouve que l'équation n'a pas d'autres racines que et .

Résumons les informations contenues dans ce paragraphe. L'équation quadratique incomplète a x 2 +c=0 est équivalente à l'équation , qui

• n'a pas de racines si ,
• a deux racines et si .

Considérons des exemples de résolution d'équations quadratiques incomplètes de la forme a·x 2 +c=0 .

Commençons par l'équation quadratique 9 x 2 +7=0 . Après avoir transféré le terme libre au côté droit de l'équation, il prendra la forme 9·x 2 =−7. En divisant les deux côtés de l'équation résultante par 9 , nous arrivons à . Puisqu'un nombre négatif est obtenu sur le côté droit, cette équation n'a pas de racines, par conséquent, l'équation quadratique incomplète d'origine 9 x 2 + 7 = 0 n'a pas de racines.

Résolvons une autre équation quadratique incomplète −x 2 +9=0. Nous transférons le neuf sur le côté droit: -x 2 \u003d -9. Maintenant, nous divisons les deux parties par −1, nous obtenons x 2 =9. Le côté droit contient un nombre positif, à partir duquel nous concluons que ou . Après avoir noté la réponse finale : l'équation quadratique incomplète −x 2 +9=0 a deux racines x=3 ou x=−3.

une x 2 +b x=0

Il reste à traiter la solution du dernier type d'équations quadratiques incomplètes pour c=0 . Les équations quadratiques incomplètes de la forme a x 2 +b x=0 permettent de résoudre méthode de factorisation. Évidemment, on peut, situé sur le côté gauche de l'équation, pour lequel il suffit de prendre le facteur commun x entre parenthèses. Cela nous permet de passer de l'équation quadratique incomplète d'origine à une équation équivalente de la forme x·(a·x+b)=0 . Et cette équation est équivalente à l'ensemble des deux équations x=0 et a x+b=0 , dont la dernière est linéaire et a pour racine x=-b/a .

Ainsi, l'équation quadratique incomplète a x 2 +b x=0 a deux racines x=0 et x=−b/a.

Pour consolider le matériel, nous allons analyser la solution d'un exemple précis.

Exemple.

Résous l'équation.

La solution.

Nous prenons x entre parenthèses, cela donne l'équation. Elle est équivalente à deux équations x=0 et . Nous résolvons l'équation linéaire résultante : , et après avoir divisé le nombre fractionnaire par une fraction ordinaire, nous trouvons . Par conséquent, les racines de l'équation originale sont x=0 et .

Après avoir acquis la pratique nécessaire, les solutions de ces équations peuvent être écrites brièvement :

Réponse:

x=0 , .

Discriminant, formule des racines d'une équation quadratique

Pour résoudre des équations quadratiques, il existe une formule racine. Écrivons la formule des racines de l'équation quadratique: , où D=b 2 −4 une c- soi-disant discriminant d'une équation quadratique. La notation signifie essentiellement que .

Il est utile de savoir comment la formule racine a été obtenue et comment elle est appliquée pour trouver les racines des équations quadratiques. Traitons cela.

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Nous devons résoudre l'équation quadratique a·x 2 +b·x+c=0 . Effectuons quelques transformations équivalentes :

• Nous pouvons diviser les deux parties de cette équation par un nombre non nul a, nous obtenons ainsi l'équation quadratique réduite.
• À présent sélectionner un carré complet sur son côté gauche : . Après cela, l'équation prendra la forme .
• A ce stade, il est possible d'effectuer le transfert des deux derniers termes vers la droite avec le signe opposé, on a .
• Et transformons aussi l'expression du côté droit : .

En conséquence, nous arrivons à l'équation , qui est équivalente à l'équation quadratique originale a·x 2 +b·x+c=0 .

Nous avons déjà résolu des équations de forme similaire dans les paragraphes précédents lorsque nous avons analysé . Cela nous permet de tirer les conclusions suivantes concernant les racines de l'équation :

• si , alors l'équation n'a pas de solutions réelles ;
• si , alors l'équation a la forme , donc , d'où sa seule racine est visible ;
• si , alors ou , qui est identique à ou , c'est-à-dire que l'équation a deux racines.

Ainsi, la présence ou l'absence des racines de l'équation, et donc de l'équation quadratique d'origine, dépend du signe de l'expression du côté droit. A son tour, le signe de cette expression est déterminé par le signe du numérateur, puisque le dénominateur 4 a 2 est toujours positif, c'est-à-dire le signe de l'expression b 2 -4 a c . Cette expression b 2 −4 a c est appelée discriminant d'une équation quadratique et marqué de la lettre ré. À partir de là, l'essence du discriminant est claire - par sa valeur et son signe, on conclut si l'équation quadratique a de vraies racines, et si oui, quel est leur nombre - un ou deux.

Revenons à l'équation , réécrivons-la en utilisant la notation du discriminant : . Et nous concluons :

• si D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• si D = 0, alors cette équation a une racine unique ;
• enfin, si D>0, alors l'équation a deux racines ou , qui peuvent être réécrites sous la forme ou , et après expansion et réduction des fractions à un dénominateur commun, on obtient .

Nous avons donc dérivé les formules pour les racines de l'équation quadratique, elles ressemblent à , où le discriminant D est calculé par la formule D=b 2 −4 a c .

Avec leur aide, avec un discriminant positif, vous pouvez calculer les deux racines réelles d'une équation quadratique. Lorsque le discriminant est égal à zéro, les deux formules donnent la même valeur racine correspondant à la seule solution de l'équation quadratique. Et avec un discriminant négatif, en essayant d'utiliser la formule des racines d'une équation quadratique, nous sommes confrontés à l'extraction de la racine carrée d'un nombre négatif, ce qui nous emmène au-delà du cadre du programme scolaire. Avec un discriminant négatif, l'équation quadratique n'a pas de racines réelles, mais a une paire Conjugaison compliquée racines, qui peuvent être trouvées en utilisant les mêmes formules de racine que nous avons obtenues.

Algorithme de résolution d'équations quadratiques à l'aide de formules racine

En pratique, lors de la résolution d'une équation quadratique, vous pouvez immédiatement utiliser la formule racine, avec laquelle calculer leurs valeurs. Mais il s'agit davantage de trouver des racines complexes.

Cependant, dans un cours d'algèbre scolaire, on ne parle généralement pas de racines complexes, mais de racines réelles d'une équation quadratique. Dans ce cas, il est conseillé de trouver d'abord le discriminant avant d'utiliser les formules des racines de l'équation quadratique, de s'assurer qu'il est non négatif (sinon, on peut conclure que l'équation n'a pas de racines réelles), et après cela calculer les valeurs des racines.

Le raisonnement ci-dessus permet d'écrire algorithme pour résoudre une équation quadratique. Pour résoudre l'équation quadratique a x 2 + b x + c \u003d 0, il vous faut :

• à l'aide de la formule discriminante D=b 2 -4 a c calculer sa valeur ;
• conclure que l'équation quadratique n'a pas de racines réelles si le discriminant est négatif ;
• calculer la racine unique de l'équation à l'aide de la formule si D=0 ;
• trouver deux racines réelles d'une équation quadratique en utilisant la formule racine si le discriminant est positif.

Notons seulement ici que si le discriminant est égal à zéro, la formule peut également être utilisée, elle donnera la même valeur que .

Vous pouvez passer à des exemples d'application de l'algorithme pour résoudre des équations quadratiques.

Exemples de résolution d'équations quadratiques

Considérez les solutions de trois équations quadratiques avec un discriminant positif, négatif et nul. Après avoir traité leur solution, par analogie, il sera possible de résoudre toute autre équation quadratique. Commençons.

Exemple.

Trouver les racines de l'équation x 2 +2 x−6=0 .

La solution.

Dans ce cas, nous avons les coefficients suivants de l'équation quadratique : a=1 , b=2 et c=−6 . Selon l'algorithme, vous devez d'abord calculer le discriminant, pour cela nous substituons les a, b et c indiqués dans la formule discriminante, nous avons ré=b 2 −4 une c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Puisque 28>0, c'est-à-dire que le discriminant est supérieur à zéro, l'équation quadratique a deux racines réelles. Trouvons-les par la formule des racines , on obtient , ici on peut simplifier les expressions obtenues en faisant factoriser le signe de la racine suivi d'une réduction de fraction :

Réponse:

Passons au prochain exemple typique.

Exemple.

Résolvez l'équation quadratique −4 x 2 +28 x−49=0 .

La solution.

On commence par trouver le discriminant : D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Par conséquent, cette équation quadratique a une racine unique, que nous trouvons sous la forme , c'est-à-dire

Réponse:

x=3,5 .

Il reste à considérer la solution des équations quadratiques à discriminant négatif.

Exemple.

Résolvez l'équation 5 y 2 +6 y+2=0 .

La solution.

Voici les coefficients de l'équation quadratique : a=5 , b=6 et c=2 . En substituant ces valeurs dans la formule discriminante, nous avons ré=b 2 −4 une c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Le discriminant est négatif, donc cette équation quadratique n'a pas de racines réelles.

Si vous devez spécifier des racines complexes, nous utilisons la formule bien connue pour les racines de l'équation quadratique et effectuons opérations avec des nombres complexes:

Réponse:

il n'y a pas de racines réelles, les racines complexes sont : .

Encore une fois, nous notons que si le discriminant de l'équation quadratique est négatif, l'école écrit généralement immédiatement la réponse, dans laquelle elle indique qu'il n'y a pas de racines réelles et qu'elle ne trouve pas de racines complexes.

Formule racine pour les deuxièmes coefficients pairs

La formule des racines d'une équation quadratique , où D=b 2 −4 a c permet d'obtenir une formule plus compacte qui permet de résoudre des équations quadratiques avec un coefficient pair en x (ou simplement avec un coefficient qui ressemble à 2 n , par exemple, ou 14 ln5=2 7 ln5 ). Sortons-la.

Disons que nous devons résoudre une équation quadratique de la forme a x 2 +2 n x + c=0 . Trouvons ses racines en utilisant la formule que nous connaissons. Pour cela, on calcule le discriminant ré=(2 n) 2 −4 une c=4 n 2 −4 une c=4 (n 2 −a c), puis nous utilisons la formule racine :

Notons l'expression n 2 − a c comme D 1 (elle est parfois notée D "). Ensuite, la formule des racines de l'équation quadratique considérée avec le deuxième coefficient 2 n prend la forme , où D 1 =n 2 -a c .

Il est facile de voir que D=4·D 1 , soit D 1 =D/4 . En d'autres termes, D 1 est la quatrième partie du discriminant. Il est clair que le signe de D 1 est le même que le signe de D . C'est-à-dire que le signe D1 est également un indicateur de la présence ou de l'absence des racines de l'équation quadratique.

Donc, pour résoudre une équation quadratique avec le second coefficient 2 n, il faut

• Calculer D 1 =n 2 −a·c ;
• Si J 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Si D 1 =0, alors calculez la racine unique de l'équation à l'aide de la formule ;
• Si D 1 >0, alors trouvez deux racines réelles en utilisant la formule.

Considérez la solution de l'exemple en utilisant la formule racine obtenue dans ce paragraphe.

Exemple.

Résolvez l'équation quadratique 5 x 2 −6 x−32=0 .

La solution.

Le deuxième coefficient de cette équation peut être représenté par 2·(−3) . Autrement dit, vous pouvez réécrire l'équation quadratique d'origine sous la forme 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , ici a=5 , n=−3 et c=−32 , et calculer la quatrième partie de la discriminant: ré 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Comme sa valeur est positive, l'équation a deux racines réelles. Nous les trouvons en utilisant la formule racine correspondante :

Notez qu'il était possible d'utiliser la formule habituelle pour les racines d'une équation quadratique, mais dans ce cas, il faudrait faire plus de travail de calcul.

Réponse:

Simplification de la forme des équations quadratiques

Parfois, avant de se lancer dans le calcul des racines d'une équation quadratique à l'aide de formules, cela ne fait pas de mal de se poser la question : « Est-il possible de simplifier la forme de cette équation » ? Convenez qu'en termes de calculs, il sera plus facile de résoudre l'équation quadratique 11 x 2 −4 x −6=0 que 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Habituellement, une simplification de la forme d'une équation quadratique est obtenue en multipliant ou en divisant les deux côtés de celle-ci par un certain nombre. Par exemple, dans le paragraphe précédent, nous avons réussi à réaliser une simplification de l'équation 1100 x 2 −400 x −600=0 en divisant les deux côtés par 100 .

Une transformation similaire est effectuée avec des équations quadratiques dont les coefficients ne sont pas . Dans ce cas, les deux parties de l'équation sont généralement divisées par les valeurs absolues de ses coefficients. Par exemple, prenons l'équation quadratique 12 x 2 −42 x+48=0. valeurs absolues de ses coefficients : pgcd(12, 42, 48)= pgcd(gcd(12, 42), 48)= pgcd(6, 48)=6 . En divisant les deux parties de l'équation quadratique originale par 6 , nous arrivons à l'équation quadratique équivalente 2 x 2 −7 x+8=0 .

Et la multiplication des deux parties de l'équation quadratique est généralement effectuée pour se débarrasser des coefficients fractionnaires. Dans ce cas, la multiplication est effectuée sur les dénominateurs de ses coefficients. Par exemple, si les deux parties d'une équation quadratique sont multipliées par LCM(6, 3, 1)=6 , alors elle prendra une forme plus simple x 2 +4 x−18=0 .

En conclusion de ce paragraphe, notons que l'on se débarrasse presque toujours du moins au coefficient le plus élevé de l'équation quadratique en changeant les signes de tous les termes, ce qui correspond à multiplier (ou diviser) les deux parties par −1. Par exemple, généralement à partir de l'équation quadratique −2·x 2 −3·x+7=0 aller à la solution 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relation entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique

La formule des racines d'une équation quadratique exprime les racines d'une équation en fonction de ses coefficients. Sur la base de la formule des racines, vous pouvez obtenir d'autres relations entre les racines et les coefficients.

Les formules les plus connues et applicables du théorème de Vieta de la forme et . En particulier, pour l'équation quadratique donnée, la somme des racines est égale au second coefficient de signe opposé, et le produit des racines est le terme libre. Par exemple, par la forme de l'équation quadratique 3 x 2 −7 x+22=0, on peut immédiatement dire que la somme de ses racines est 7/3, et le produit des racines est 22/3.

En utilisant les formules déjà écrites, vous pouvez obtenir un certain nombre d'autres relations entre les racines et les coefficients de l'équation quadratique. Par exemple, vous pouvez exprimer la somme des carrés des racines d'une équation quadratique en fonction de ses coefficients : .

Bibliographie.

• Algèbre: cahier de texte pour 8 cellules. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; éd. S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : malade. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. À 14 h Partie 1. Un manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement / A. G. Mordkovich. - 11e éd., effacé. - M. : Mnemozina, 2009. - 215 p. : ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Dans la continuité du sujet "Résoudre des équations", le matériel de cet article vous présentera les équations quadratiques.

Considérons tout en détail: l'essence et la notation d'une équation quadratique, définir des termes liés, analyser le schéma de résolution d'équations incomplètes et complètes, se familiariser avec la formule des racines et du discriminant, établir des liens entre les racines et les coefficients, et bien sûr nous donnerons une solution visuelle d'exemples pratiques.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Équation quadratique, ses types

Définition 1

Équation quadratique est l'équation écrite comme une x 2 + b x + c = 0, où X– variable, a , b et c sont des nombres, tandis que un n'est pas nul.

Souvent, les équations quadratiques sont aussi appelées équations du second degré, puisqu'en fait une équation quadratique est une équation algébrique du second degré.

Donnons un exemple pour illustrer la définition donnée : 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. sont des équations quadratiques.

Définition 2

Les nombres a , b et c sont les coefficients de l'équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, tandis que le coefficient un est appelé le premier, ou senior, ou coefficient à x 2, b - le deuxième coefficient, ou coefficient à X, un c appelé membre gratuit.

Par exemple, dans l'équation quadratique 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 le coefficient le plus élevé est 6 , le deuxième coefficient est − 2 , et le terme libre est égal à − 11 . Faisons attention au fait que lorsque les coefficients b et/ou c sont négatifs, alors la forme abrégée est utilisée 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, mais non 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Précisons également cet aspect : si les coefficients un et/ou bégal 1 ou − 1 , alors ils peuvent ne pas participer explicitement à l'enregistrement de l'équation quadratique, ce qui s'explique par les particularités de l'enregistrement des coefficients numériques indiqués. Par exemple, dans l'équation quadratique y 2 − y + 7 = 0 le coefficient principal est 1 et le deuxième coefficient est − 1 .

Équations quadratiques réduites et non réduites

Selon la valeur du premier coefficient, les équations quadratiques sont divisées en réduites et non réduites.

Définition 3

Équation quadratique réduite est une équation quadratique où le coefficient directeur est 1 . Pour les autres valeurs du coefficient directeur, l'équation quadratique n'est pas réduite.

Voici quelques exemples : les équations quadratiques x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 sont réduites, dans chacune desquelles le coefficient dominant est 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- équation quadratique non réduite, où le premier coefficient est différent de 1 .

Toute équation quadratique non réduite peut être convertie en une équation réduite en divisant ses deux parties par le premier coefficient (transformation équivalente). L'équation transformée aura les mêmes racines que l'équation non réduite donnée ou n'aura pas de racines du tout.

L'examen d'un exemple précis nous permettra de montrer clairement le passage d'une équation quadratique non réduite à une équation réduite.

Exemple 1

Étant donné l'équation 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Il est nécessaire de convertir l'équation originale dans la forme réduite.

La solution

Selon le schéma ci-dessus, nous divisons les deux parties de l'équation d'origine par le coefficient directeur 6 . Alors on obtient : (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0 : 3, et c'est la même chose que : (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 et plus loin: (6 : 6) x 2 + (18 : 6) x - 7 : 6 = 0 . D'ici: X 2 + 3 X - 1 1 6 = 0 . Ainsi, une équation équivalente à celle donnée est obtenue.

Réponse: X 2 + 3 X - 1 1 6 = 0 .

Équations quadratiques complètes et incomplètes

Passons à la définition d'une équation quadratique. Dans celui-ci, nous avons précisé que un ≠ 0. Une condition similaire est nécessaire pour l'équation une x 2 + b x + c = 0était exactement carré, puisque un = 0 il se transforme essentiellement en une équation linéaire bx + c = 0.

Dans le cas où les coefficients b et c sont égaux à zéro (ce qui est possible, à la fois individuellement et conjointement), l'équation quadratique est dite incomplète.

Définition 4

Équation quadratique incomplète est une équation quadratique un X 2 + b X + c \u003d 0, où au moins un des coefficients b et c(ou les deux) est nul.

Équation quadratique complète est une équation quadratique dans laquelle tous les coefficients numériques ne sont pas égaux à zéro.

Voyons pourquoi les types d'équations quadratiques reçoivent précisément de tels noms.

Pour b = 0, l'équation quadratique prend la forme une x 2 + 0 x + c = 0, qui est identique à une x 2 + c = 0. À c = 0 l'équation quadratique s'écrit une x 2 + b x + 0 = 0, ce qui équivaut une x 2 + b x = 0. À b = 0 et c = 0 l'équation prendra la forme une x 2 = 0. Les équations que nous avons obtenues diffèrent de l'équation quadratique complète en ce que leurs membres gauches ne contiennent ni terme de variable x, ni terme libre, ni les deux à la fois. En fait, ce fait a donné le nom à ce type d'équations - incomplètes.

Par exemple, x 2 + 3 x + 4 = 0 et − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sont des équations quadratiques complètes ; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sont des équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

La définition donnée ci-dessus permet de distinguer les types suivants d'équations quadratiques incomplètes :

• une x 2 = 0, les coefficients correspondent à une telle équation b = 0 et c = 0 ;
• un x 2 + c \u003d 0 pour b \u003d 0;
• une X 2 + b X = 0 pour c = 0 .

Considérons successivement la solution de chaque type d'équation quadratique incomplète.

Solution de l'équation a x 2 \u003d 0

Comme déjà mentionné ci-dessus, une telle équation correspond aux coefficients b et c, égal à zéro. L'équation une x 2 = 0 peut être converti en une équation équivalente x2 = 0, que nous obtenons en divisant les deux côtés de l'équation d'origine par le nombre un, non égal à zéro. Le fait évident est que la racine de l'équation x2 = 0 est nul car 0 2 = 0 . Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui s'explique par les propriétés du degré : pour tout nombre p , différent de zéro, l'inégalité est vraie p2 > 0, d'où il résulte que lorsque p ≠ 0égalité p2 = 0 ne sera jamais atteint.

Définition 5

Ainsi, pour l'équation quadratique incomplète a x 2 = 0, il existe une racine unique x=0.

Exemple 2

Par exemple, résolvons l'équation quadratique incomplète − 3 x 2 = 0. Elle est équivalente à l'équation x2 = 0, sa seule racine est x=0, alors l'équation originale a une seule racine - zéro.

La solution se résume comme suit :

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solution de l'équation a x 2 + c \u003d 0

Vient ensuite la solution des équations quadratiques incomplètes, où b \u003d 0, c ≠ 0, c'est-à-dire des équations de la forme une x 2 + c = 0. Transformons cette équation en transférant le terme d'un côté de l'équation à l'autre, en changeant le signe à l'opposé et en divisant les deux côtés de l'équation par un nombre qui n'est pas égal à zéro :

• supporter cà droite, ce qui donne l'équation une x 2 = - c;
• diviser les deux membres de l'équation par un, on obtient comme résultat x = - c a .

Nos transformations sont équivalentes, respectivement, l'équation résultante est également équivalente à celle d'origine, et ce fait permet de tirer une conclusion sur les racines de l'équation. A partir de quelles valeurs un et c dépend de la valeur de l'expression - c a : il peut avoir un signe moins (par exemple, si un = 1 et c = 2, alors - c a = - 2 1 = - 2) ou un signe plus (par exemple, si un = -2 et c=6, alors - c une = - 6 - 2 = 3); n'est pas égal à zéro car c ≠ 0. Arrêtons-nous plus en détail sur les situations où - c a< 0 и - c a > 0 .

Dans le cas où - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p l'égalité p 2 = - c a ne peut pas être vraie.

Tout est différent quand - c a > 0: rappelez-vous la racine carrée, et il deviendra évident que la racine de l'équation x 2 \u003d - c a sera le nombre - c a, puisque - c a 2 \u003d - c a. Il est facile de comprendre que le nombre - - c a - est aussi la racine de l'équation x 2 = - c a : en effet, - - c a 2 = - c a .

L'équation n'aura pas d'autres racines. Nous pouvons le démontrer en utilisant la méthode inverse. Tout d'abord, définissons la notation des racines trouvées ci-dessus comme x1 et −x1. Supposons que l'équation x 2 = - c a a aussi une racine x2, qui est différent des racines x1 et −x1. Nous savons qu'en substituant dans l'équation au lieu de X ses racines, nous transformons l'équation en une juste égalité numérique.

Pour x1 et −x1écrire : x 1 2 = - c a , et pour x2- x 2 2 \u003d - c un. En se basant sur les propriétés des égalités numériques, on soustrait une égalité vraie d'une autre terme à terme, ce qui nous donnera : X 1 2 - X 2 2 = 0. Utilisez les propriétés des opérations sur les nombres pour réécrire la dernière égalité sous la forme (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. On sait que le produit de deux nombres est nul si et seulement si au moins un des nombres est nul. De ce qui a été dit, il résulte que x1 − x2 = 0 et/ou x1 + x2 = 0, ce qui revient au même x2 = x1 et/ou X 2 = − X 1. Une contradiction évidente est apparue, car au début, il était convenu que la racine de l'équation x2 diffère de x1 et −x1. Ainsi, nous avons prouvé que l'équation n'a pas d'autres racines que x = - c a et x = - - c a .

Nous résumons tous les arguments ci-dessus.

Définition 6

Équation quadratique incomplète une x 2 + c = 0 est équivalente à l'équation x 2 = - c a , qui :

• n'aura pas de racines à - c a< 0 ;
• aura deux racines x = - c a et x = - - c a quand - c a > 0 .

Donnons des exemples de résolution d'équations une x 2 + c = 0.

Exemple 3

Étant donné une équation quadratique 9 x 2 + 7 = 0 . Il faut trouver sa solution.

La solution

Nous transférons le terme libre sur le côté droit de l'équation, puis l'équation prendra la forme 9 x 2 \u003d - 7.
Nous divisons les deux côtés de l'équation résultante par 9 , on arrive à x 2 = - 7 9 . Sur le côté droit, nous voyons un nombre avec un signe moins, ce qui signifie : l'équation donnée n'a pas de racine. Alors l'équation quadratique incomplète d'origine 9 x 2 + 7 = 0 n'aura pas de racines.

Réponse: l'équation 9 x 2 + 7 = 0 n'a pas de racines.

Exemple 4

Il faut résoudre l'équation − x2 + 36 = 0.

La solution

Déplaçons 36 vers la droite : − x 2 = − 36.
Divisons les deux parties en − 1 , on a x2 = 36. Sur le côté droit se trouve un nombre positif, à partir duquel nous pouvons conclure que x = 36 ou x = - 36 .
Nous extrayons la racine et écrivons le résultat final : une équation quadratique incomplète − x2 + 36 = 0 a deux racines x=6 ou x = -6.

Réponse: x=6 ou x = -6.

Solution de l'équation a x 2 +b x=0

Analysons le troisième type d'équations quadratiques incomplètes, lorsque c = 0. Trouver une solution à une équation quadratique incomplète une x 2 + b x = 0, nous utilisons la méthode de factorisation. Factorisons le polynôme, qui est du côté gauche de l'équation, en prenant le facteur commun entre parenthèses X. Cette étape permettra de transformer l'équation quadratique incomplète d'origine en son équivalent X (une X + b) = 0. Et cette équation, à son tour, est équivalente à l'ensemble des équations x=0 et une X + b = 0. L'équation une X + b = 0 linéaire, et sa racine : x = − b une.

Définition 7

Ainsi, l'équation quadratique incomplète une x 2 + b x = 0 aura deux racines x=0 et x = − b une.

Consolidons le matériel avec un exemple.

Exemple 5

Il faut trouver la solution de l'équation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

La solution

Sortons X en dehors des parenthèses et obtenez l'équation x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Cette équation est équivalente aux équations x=0 et 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Vous devez maintenant résoudre l'équation linéaire résultante : 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Brièvement, nous écrivons la solution de l'équation comme suit :

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou x = 3 3 7

Réponse: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminant, formule des racines d'une équation quadratique

Pour trouver une solution aux équations quadratiques, il existe une formule racine :

Définition 8

x = - b ± D 2 a, où ré = b 2 − 4 une c est le soi-disant discriminant d'une équation quadratique.

Écrire x \u003d - b ± D 2 a signifie essentiellement que x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Il sera utile de comprendre comment la formule indiquée a été dérivée et comment l'appliquer.

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Supposons que nous soyons confrontés à la tâche de résoudre une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0. Effectuons un certain nombre de transformations équivalentes :

• diviser les deux membres de l'équation par le nombre un, différent de zéro, on obtient l'équation quadratique réduite : x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• sélectionnez le carré complet sur le côté gauche de l'équation résultante :
  X 2 + b une X + c une = X 2 + 2 b 2 une X + b 2 une 2 - b 2 une 2 + c une = = X + b 2 une 2 - b 2 une 2 + c une
  Après cela, l'équation prendra la forme: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• il est maintenant possible de transférer les deux derniers termes vers la droite, en changeant le signe en sens inverse, après quoi nous obtenons : x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• enfin, on transforme l'expression écrite à droite de la dernière égalité :
  b 2 une 2 - c une \u003d b 2 4 une 2 - c une \u003d b 2 4 une 2 - 4 une c 4 une 2 \u003d b 2 - 4 une c 4 une 2.

Ainsi, nous sommes arrivés à l'équation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , qui est équivalente à l'équation originale une x 2 + b x + c = 0.

Nous avons discuté de la solution de telles équations dans les paragraphes précédents (la solution des équations quadratiques incomplètes). L'expérience déjà acquise permet de tirer une conclusion sur les racines de l'équation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 :

• pour b 2 - 4 une c 4 une 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pour b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, l'équation a la forme x + b 2 · a 2 = 0, alors x + b 2 · a = 0.

A partir de là, la seule racine x = - b 2 · a est évidente ;

• pour b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, le bon est : x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ou x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , qui est le identique à x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ou x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , c'est-à-dire l'équation a deux racines.

Il est possible de conclure que la présence ou l'absence des racines de l'équation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (et donc l'équation d'origine) dépend du signe de l'expression b 2 - 4 a c 4 · un 2 écrit sur le côté droit. Et le signe de cette expression est donné par le signe du numérateur, (le dénominateur 4 à 2 sera toujours positif), c'est-à-dire le signe de l'expression b 2 − 4 une c. Cette expression b 2 − 4 une c un nom est donné - le discriminant d'une équation quadratique et la lettre D est définie comme sa désignation. Ici, vous pouvez écrire l'essence du discriminant - par sa valeur et son signe, ils concluent si l'équation quadratique aura de vraies racines et, si oui, combien de racines - une ou deux.

Revenons à l'équation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Réécrivons-le en utilisant la notation discriminante : x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Récapitulons les conclusions :

Définition 9

• à ré< 0 l'équation n'a pas de racines réelles ;
• à J=0 l'équation a une seule racine x = - b 2 · a ;
• à D > 0 l'équation a deux racines: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ou x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Sur la base des propriétés des radicaux, ces racines peuvent être écrites comme suit: x \u003d - b 2 a + D 2 a ou - b 2 a - D 2 a. Et lorsque nous ouvrons les modules et réduisons les fractions à un dénominateur commun, nous obtenons: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Ainsi, le résultat de notre raisonnement a été la dérivation de la formule des racines de l'équation quadratique :

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , discriminant ré calculé par la formule ré = b 2 − 4 une c.

Ces formules permettent, lorsque le discriminant est supérieur à zéro, de déterminer les deux racines réelles. Lorsque le discriminant est nul, l'application des deux formules donnera la même racine que la seule solution à l'équation quadratique. Dans le cas où le discriminant est négatif, en essayant d'utiliser la formule de la racine quadratique, nous serons confrontés à la nécessité d'extraire la racine carrée d'un nombre négatif, ce qui nous mènera au-delà des nombres réels. Avec un discriminant négatif, l'équation quadratique n'aura pas de racines réelles, mais une paire de racines conjuguées complexes est possible, déterminée par les mêmes formules de racine que nous avons obtenues.

Algorithme de résolution d'équations quadratiques à l'aide de formules racine

Il est possible de résoudre une équation quadratique en utilisant immédiatement la formule racine, mais cela se fait essentiellement lorsqu'il est nécessaire de trouver des racines complexes.

Dans la plupart des cas, la recherche ne vise généralement pas les racines complexes, mais les racines réelles d'une équation quadratique. Alors il est optimal, avant d'utiliser les formules des racines de l'équation quadratique, de déterminer d'abord le discriminant et de s'assurer qu'il n'est pas négatif (sinon on en conclura que l'équation n'a pas de racines réelles), puis de procéder au calcul de la valeur des racines.

Le raisonnement ci-dessus permet de formuler un algorithme de résolution d'une équation quadratique.

Définition 10

Pour résoudre une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, nécessaire:

• selon la formule ré = b 2 − 4 une c trouver la valeur du discriminant ;
• à D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pour D = 0 trouver la racine unique de l'équation par la formule x = - b 2 · a ;
• pour D > 0, déterminer deux racines réelles de l'équation quadratique par la formule x = - b ± D 2 · a.

Notez que lorsque le discriminant est nul, vous pouvez utiliser la formule x = - b ± D 2 · a , elle donnera le même résultat que la formule x = - b 2 · a .

Prenons des exemples.

Exemples de résolution d'équations quadratiques

Nous présentons la solution d'exemples pour différentes valeurs du discriminant.

Exemple 6

Il faut trouver les racines de l'équation x 2 + 2 x - 6 = 0.

La solution

Nous écrivons les coefficients numériques de l'équation quadratique: a \u003d 1, b \u003d 2 et c = − 6. Ensuite, nous agissons selon l'algorithme, c'est-à-dire Commençons à calculer le discriminant, auquel on substitue les coefficients a , b et c dans la formule discriminante : ré = b 2 - 4 une c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28 .

Donc, nous avons D > 0, ce qui signifie que l'équation d'origine aura deux vraies racines.
Pour les trouver, nous utilisons la formule racine x \u003d - b ± D 2 · a et, en remplaçant les valeurs appropriées, nous obtenons: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Nous simplifions l'expression résultante en retirant le facteur du signe de la racine, suivi d'une réduction de la fraction :

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ou x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ou x = - 1 - 7

Réponse: X = - 1 + 7 , X = - 1 - 7 .

Exemple 7

Il faut résoudre une équation quadratique − 4 × 2 + 28 × − 49 = 0.

La solution

Définissons le discriminant : ré = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Avec cette valeur du discriminant, l'équation originale n'aura qu'une seule racine, déterminée par la formule x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Réponse: x = 3, 5.

Exemple 8

Il faut résoudre l'équation 5 ans 2 + 6 ans + 2 = 0

La solution

Les coefficients numériques de cette équation seront : a = 5 , b = 6 et c = 2 . Nous utilisons ces valeurs pour trouver le discriminant : D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Le discriminant calculé est négatif, donc l'équation quadratique d'origine n'a pas de racines réelles.

Dans le cas où la tâche consiste à indiquer des racines complexes, nous appliquons la formule racine en effectuant des opérations avec des nombres complexes :

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 je 10 ou x \u003d - 6 - 2 je 10,

x = - 3 5 + 1 5 je ou x = - 3 5 - 1 5 je .

Réponse: il n'y a pas de vraies racines; les racines complexes sont : - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Dans le programme scolaire, en tant que norme, il n'est pas nécessaire de rechercher des racines complexes. Par conséquent, si le discriminant est défini comme négatif lors de la résolution, la réponse est immédiatement enregistrée qu'il n'y a pas de racines réelles.

Formule racine pour les deuxièmes coefficients pairs

La formule racine x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) permet d'obtenir une autre formule, plus compacte, permettant de trouver des solutions aux équations quadratiques à coefficient pair en x (ou à coefficient de la forme 2 a n, par exemple 2 3 ou 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Montrons comment cette formule est dérivée.

Supposons que nous soyons confrontés à la tâche de trouver une solution à l'équation quadratique a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. On agit selon l'algorithme : on détermine le discriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , puis on utilise la formule racine :

x \u003d - 2 n ± ré 2 une, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - une c 2 une, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - une c 2 une, x = - n ± n 2 - une · Californie .

Soit l'expression n 2 − a c soit notée D 1 (parfois elle est notée D "). Alors la formule des racines de l'équation quadratique considérée avec le second coefficient 2 n prendra la forme :

x \u003d - n ± D 1 a, où D 1 \u003d n 2 - a c.

Il est facile de voir que D = 4 · D 1 , ou D 1 = D 4 . En d'autres termes, D 1 est le quart du discriminant. Bien entendu, le signe de D 1 est le même que le signe de D, ce qui signifie que le signe de D 1 peut également servir d'indicateur de la présence ou de l'absence des racines d'une équation quadratique.

Définition 11

Ainsi, pour trouver une solution à une équation quadratique avec un second coefficient de 2 n, il faut :

• trouver D 1 = n 2 − une c ;
• à J 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• pour D 1 = 0, déterminer la racine unique de l'équation par la formule x = - n a ;
• pour D 1 > 0, déterminer deux racines réelles à l'aide de la formule x = - n ± D 1 a.

Exemple 9

Il faut résoudre l'équation quadratique 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

La solution

Le deuxième coefficient de l'équation donnée peut être représenté par 2 · (− 3) . Ensuite, nous réécrivons l'équation quadratique donnée sous la forme 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , où a = 5 , n = − 3 et c = − 32 .

Calculons la quatrième partie du discriminant : D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . La valeur résultante est positive, ce qui signifie que l'équation a deux racines réelles. On les définit par la formule correspondante des racines :

x = - n ± ré 1 une , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 ou x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ou x = - 2

Il serait possible d'effectuer des calculs en utilisant la formule usuelle des racines d'une équation quadratique, mais dans ce cas la solution serait plus lourde.

Réponse: x = 3 1 5 ou x = - 2 .

Simplification de la forme des équations quadratiques

Parfois, il est possible d'optimiser la forme de l'équation d'origine, ce qui simplifiera le processus de calcul des racines.

Par exemple, l'équation quadratique 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 est clairement plus pratique à résoudre que 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Le plus souvent, la simplification de la forme d'une équation quadratique est effectuée en multipliant ou en divisant ses deux parties par un certain nombre. Par exemple, ci-dessus, nous avons montré une représentation simplifiée de l'équation 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, obtenue en divisant ses deux parties par 100.

Une telle transformation est possible lorsque les coefficients de l'équation quadratique ne sont pas des nombres relativement premiers. Ensuite, généralement, les deux parties de l'équation sont divisées par le plus grand diviseur commun des valeurs absolues de ses coefficients.

À titre d'exemple, nous utilisons l'équation quadratique 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Définissons le pgcd des valeurs absolues de ses coefficients : pgcd (12 , 42 , 48) = pgcd(gcd (12 , 42) , 48) = pgcd (6 , 48) = 6 . Divisons les deux parties de l'équation quadratique originale par 6 et obtenons l'équation quadratique équivalente 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

En multipliant les deux côtés de l'équation quadratique, les coefficients fractionnaires sont généralement éliminés. Dans ce cas, multiplier par le plus petit commun multiple des dénominateurs de ses coefficients. Par exemple, si chaque partie de l'équation quadratique 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 est multipliée par LCM (6, 3, 1) \u003d 6, alors elle sera écrite sous une forme plus simple x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Enfin, notons que presque toujours se débarrasser du moins au premier coefficient de l'équation quadratique, en changeant les signes de chaque terme de l'équation, ce qui est obtenu en multipliant (ou en divisant) les deux parties par - 1. Par exemple, à partir de l'équation quadratique - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, vous pouvez passer à sa version simplifiée 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Relation entre les racines et les coefficients

La formule déjà connue des racines des équations quadratiques x = - b ± D 2 · a exprime les racines de l'équation en fonction de ses coefficients numériques. Sur la base de cette formule, nous avons la possibilité de définir d'autres dépendances entre les racines et les coefficients.

Les plus célèbres et applicables sont les formules du théorème de Vieta :

x 1 + x 2 \u003d - b une et x 2 \u003d c une.

En particulier, pour l'équation quadratique donnée, la somme des racines est le second coefficient de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre. Par exemple, par la forme de l'équation quadratique 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0, il est possible de déterminer immédiatement que la somme de ses racines est 7 3 , et le produit des racines est 22 3 .

Vous pouvez également trouver un certain nombre d'autres relations entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique. Par exemple, la somme des carrés des racines d'une équation quadratique peut être exprimée en termes de coefficients :

X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2 = - b une 2 - 2 c une = b 2 une 2 - 2 c une = b 2 - 2 une c une 2.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée

Dans la société moderne, la capacité de fonctionner avec des équations contenant une variable au carré peut être utile dans de nombreux domaines d'activité et est largement utilisée en pratique dans les développements scientifiques et techniques. Cela peut être démontré par la conception des navires maritimes et fluviaux, des avions et des missiles. À l'aide de tels calculs, les trajectoires du mouvement de divers corps, y compris des objets spatiaux, sont déterminées. Des exemples avec la solution d'équations quadratiques sont utilisés non seulement dans les prévisions économiques, dans la conception et la construction de bâtiments, mais aussi dans les circonstances quotidiennes les plus ordinaires. Ils peuvent être nécessaires lors de voyages de camping, lors d'événements sportifs, dans les magasins lors de vos achats et dans d'autres situations très courantes.

Décomposons l'expression en facteurs composants

Le degré d'une équation est déterminé par la valeur maximale du degré de la variable que contient l'expression donnée. S'il est égal à 2, alors une telle équation est appelée une équation quadratique.

Si nous parlons dans le langage des formules, alors ces expressions, quelle que soit leur apparence, peuvent toujours être amenées à la forme lorsque le côté gauche de l'expression se compose de trois termes. Parmi eux : ax 2 (c'est-à-dire une variable au carré avec son coefficient), bx (une inconnue sans carré avec son coefficient) et c (composante libre, c'est-à-dire un nombre ordinaire). Tout cela est égal à 0 sur le côté droit.Dans le cas où un tel polynôme n'a pas l'un de ses termes constitutifs, à l'exception de l'axe 2, on l'appelle une équation quadratique incomplète. Des exemples avec la solution de tels problèmes, dans lesquels la valeur des variables n'est pas difficile à trouver, doivent être considérés en premier.

Si l'expression semble telle qu'il y a deux termes sur le côté droit de l'expression, plus précisément ax 2 et bx, il est plus facile de trouver x en mettant la variable entre parenthèses. Maintenant, notre équation ressemblera à ceci : x(ax+b). De plus, il devient évident que soit x=0, soit le problème se réduit à trouver une variable à partir de l'expression suivante : ax+b=0. Ceci est dicté par une des propriétés de la multiplication. La règle dit que le produit de deux facteurs donne 0 seulement si l'un d'eux est nul.

Exemple

x=0 ou 8x - 3 = 0

En conséquence, nous obtenons deux racines de l'équation : 0 et 0,375.

Des équations de ce type peuvent décrire le mouvement des corps sous l'action de la gravité, qui ont commencé à se déplacer à partir d'un certain point, pris comme origine. Ici, la notation mathématique prend la forme suivante : y = v 0 t + gt 2 /2. En substituant les valeurs nécessaires, en assimilant le côté droit à 0 et en trouvant d'éventuelles inconnues, vous pouvez connaître le temps écoulé entre le moment où le corps se lève et le moment où il tombe, ainsi que de nombreuses autres quantités. Mais nous en reparlerons plus tard.

Factoriser une expression

La règle décrite ci-dessus permet de résoudre ces problèmes dans des cas plus complexes. Considérons des exemples avec la solution d'équations quadratiques de ce type.

X2 - 33x + 200 = 0

Ce trinôme carré est complet. Premièrement, nous transformons l'expression et la décomposons en facteurs. Il y en a deux : (x-8) et (x-25) = 0. En conséquence, nous avons deux racines 8 et 25.

Des exemples avec la solution d'équations quadratiques en 9e année permettent à cette méthode de trouver une variable dans des expressions non seulement du deuxième, mais même des troisième et quatrième ordres.

Par exemple : 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Lors de la factorisation du côté droit en facteurs avec une variable, il y en a trois, c'est-à-dire (x + 1), (x-3) et (x + 3).

En conséquence, il devient évident que cette équation a trois racines : -3 ; -une; 3.

Extraction de la racine carrée

Un autre cas d'équation incomplète du second ordre est une expression écrite dans le langage des lettres de telle manière que le côté droit est construit à partir des composantes ax 2 et c. Ici, pour obtenir la valeur de la variable, le terme libre est transféré sur le côté droit, puis la racine carrée est extraite des deux côtés de l'égalité. Il convient de noter que dans ce cas, il y a généralement deux racines de l'équation. Les seules exceptions sont les égalités qui ne contiennent pas du tout le terme c, où la variable est égale à zéro, ainsi que les variantes d'expressions lorsque le côté droit s'avère négatif. Dans ce dernier cas, il n'y a aucune solution, car les actions ci-dessus ne peuvent pas être effectuées avec des racines. Des exemples de solutions aux équations quadratiques de ce type doivent être considérés.

Dans ce cas, les racines de l'équation seront les nombres -4 et 4.

Calcul de la superficie du terrain

La nécessité de ce type de calculs est apparue dans l'Antiquité, car le développement des mathématiques à cette époque lointaine était en grande partie dû à la nécessité de déterminer les surfaces et les périmètres des parcelles avec la plus grande précision.

Nous devrions également considérer des exemples avec la solution d'équations quadratiques compilées sur la base de problèmes de ce genre.

Donc, disons qu'il y a un terrain rectangulaire dont la longueur est supérieure de 16 mètres à la largeur. Vous devriez trouver la longueur, la largeur et le périmètre du site, si l'on sait que sa superficie est de 612 m 2.

En passant aux affaires, nous ferons d'abord l'équation nécessaire. Notons la largeur de la section comme x, alors sa longueur sera (x + 16). Il résulte de ce qui a été écrit que l'aire est déterminée par l'expression x (x + 16), qui, selon la condition de notre problème, est 612. Cela signifie que x (x + 16) \u003d 612.

La solution d'équations quadratiques complètes, et cette expression n'est que cela, ne peut pas se faire de la même manière. Pourquoi? Bien que le côté gauche de celui-ci contienne toujours deux facteurs, leur produit n'est pas du tout égal à 0, donc d'autres méthodes sont utilisées ici.

Discriminant

Tout d'abord, nous ferons les transformations nécessaires, puis l'apparence de cette expression ressemblera à ceci : x 2 + 16x - 612 = 0. Cela signifie que nous avons reçu une expression sous la forme correspondant à la norme précédemment spécifiée, où a=1, b=16, c= -612.

Cela peut être un exemple de résolution d'équations quadratiques à travers le discriminant. Ici, les calculs nécessaires sont effectués selon le schéma: D = b 2 - 4ac. Cette valeur auxiliaire permet non seulement de trouver les valeurs souhaitées dans l'équation du second ordre, mais elle détermine le nombre d'options possibles. Dans le cas D>0, il y en a deux ; pour D=0 il y a une racine. Dans le cas D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

À propos des racines et de leur formule

Dans notre cas, le discriminant est : 256 - 4(-612) = 2704. Cela indique que notre problème a une réponse. Si vous savez, à, la solution des équations quadratiques doit être poursuivie en utilisant la formule ci-dessous. Il vous permet de calculer les racines.

Cela signifie que dans le cas présenté : x 1 =18, x 2 =-34. La deuxième option de ce dilemme ne peut pas être une solution, car la taille de la parcelle de terrain ne peut pas être mesurée en valeurs négatives, ce qui signifie que x (c'est-à-dire la largeur de la parcelle) est de 18 m. À partir de là, nous calculons la longueur : 18+16=34, et le périmètre 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Exemples et tâches

Nous poursuivons l'étude des équations quadratiques. Des exemples et une solution détaillée de plusieurs d'entre eux seront donnés ci-dessous.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Transférons tout sur le côté gauche de l'égalité, effectuons une transformation, c'est-à-dire que nous obtenons la forme de l'équation, qui est généralement appelée standard, et l'assimile à zéro.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Après avoir ajouté des similaires, nous déterminons le discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Notre équation aura donc deux racines. Nous les calculons selon la formule ci-dessus, ce qui signifie que le premier d'entre eux sera égal à 4/3 et le second à 1.

2) Nous allons maintenant révéler des énigmes d'un genre différent.

Découvrons s'il y a des racines x 2 - 4x + 5 = 1 ici du tout ? Pour obtenir une réponse exhaustive, on ramène le polynôme à la forme familière correspondante et on calcule le discriminant. Dans cet exemple, il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation quadratique, car l'essentiel du problème n'est pas du tout là-dedans. Dans ce cas, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, ce qui signifie qu'il n'y a vraiment pas de racines.

Théorème de Vieta

Il est commode de résoudre des équations quadratiques grâce aux formules ci-dessus et au discriminant, lorsque la racine carrée est extraite de la valeur de ce dernier. Mais cela n'arrive pas toujours. Cependant, il existe de nombreuses façons d'obtenir les valeurs des variables dans ce cas. Exemple : résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta. Il porte le nom d'un homme qui a vécu dans la France du XVIe siècle et a eu une brillante carrière grâce à son talent mathématique et ses relations à la cour. Son portrait est visible dans l'article.

Le schéma que le célèbre Français a remarqué était le suivant. Il a prouvé que la somme des racines de l'équation est égale à -p=b/a, et leur produit correspond à q=c/a.

Examinons maintenant des tâches spécifiques.

3x2 + 21x - 54 = 0

Pour simplifier, transformons l'expression :

x2 + 7x - 18 = 0

En utilisant le théorème de Vieta, cela nous donnera ceci : la somme des racines est -7, et leur produit est -18. De là, nous obtenons que les racines de l'équation sont les nombres -9 et 2. Après vérification, nous nous assurerons que ces valeurs des variables correspondent vraiment à l'expression.

Graphique et équation d'une parabole

Les concepts de fonction quadratique et d'équations quadratiques sont étroitement liés. Des exemples en ont déjà été donnés précédemment. Examinons maintenant quelques énigmes mathématiques un peu plus en détail. Toute équation du type décrit peut être représentée visuellement. Une telle dépendance, tracée sous forme de graphe, s'appelle une parabole. Ses différents types sont présentés dans la figure ci-dessous.

Toute parabole a un sommet, c'est-à-dire un point d'où partent ses branches. Si a>0, ils vont haut jusqu'à l'infini, et quand a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Les représentations visuelles des fonctions aident à résoudre toutes les équations, y compris les équations quadratiques. Cette méthode est appelée graphique. Et la valeur de la variable x est la coordonnée d'abscisse aux points d'intersection de la ligne du graphique avec 0x. Les coordonnées du sommet peuvent être trouvées par la formule qui vient d'être donnée x 0 = -b / 2a. Et, en remplaçant la valeur résultante dans l'équation d'origine de la fonction, vous pouvez trouver y 0, c'est-à-dire la deuxième coordonnée du sommet de la parabole appartenant à l'axe y.

L'intersection des branches de la parabole avec l'axe des abscisses

Il y a beaucoup d'exemples avec la solution d'équations quadratiques, mais il y a aussi des modèles généraux. Considérons-les. Il est clair que l'intersection du graphe avec l'axe 0x pour a>0 n'est possible que si y 0 prend des valeurs négatives. Et pour un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sinon D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

À partir du graphique d'une parabole, vous pouvez également déterminer les racines. L'inverse est également vrai. Autrement dit, s'il n'est pas facile d'obtenir une représentation visuelle d'une fonction quadratique, vous pouvez assimiler le côté droit de l'expression à 0 et résoudre l'équation résultante. Et connaissant les points d'intersection avec l'axe 0x, il est plus facile de tracer.

De l'histoire

À l'aide d'équations contenant une variable au carré, autrefois, non seulement effectuaient des calculs mathématiques et déterminaient l'aire de formes géométriques. Les anciens avaient besoin de tels calculs pour des découvertes grandioses dans le domaine de la physique et de l'astronomie, ainsi que pour faire des prévisions astrologiques.

Comme le suggèrent les scientifiques modernes, les habitants de Babylone ont été parmi les premiers à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est passé quatre siècles avant l'avènement de notre ère. Bien sûr, leurs calculs étaient fondamentalement différents de ceux actuellement acceptés et se sont avérés beaucoup plus primitifs. Par exemple, les mathématiciens mésopotamiens n'avaient aucune idée de l'existence des nombres négatifs. Ils étaient également peu familiers avec d'autres subtilités de celles connues de tout étudiant de notre temps.

Peut-être même plus tôt que les savants de Babylone, le sage indien Baudhayama a adopté la solution des équations quadratiques. Cela s'est produit environ huit siècles avant l'avènement de l'ère du Christ. Certes, les équations du second ordre, les méthodes de résolution qu'il a données, étaient les plus simples. En plus de lui, les mathématiciens chinois s'intéressaient également à des questions similaires dans l'ancien temps. En Europe, les équations quadratiques n'ont commencé à être résolues qu'au début du XIIIe siècle, mais plus tard, elles ont été utilisées dans leurs travaux par de grands scientifiques tels que Newton, Descartes et bien d'autres.

Équation quadratique - facile à résoudre ! *Plus loin dans le texte "KU". Amis, il semblerait qu'en mathématiques, cela puisse être plus facile que de résoudre une telle équation. Mais quelque chose m'a dit que beaucoup de gens avaient des problèmes avec lui. J'ai décidé de voir combien d'impressions Yandex donne par demande et par mois. Voici ce qui s'est passé, jetez un oeil:

Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie qu'environ 70 000 personnes par mois recherchent ces informations, et c'est l'été, et ce qui se passera pendant l'année scolaire - il y aura deux fois plus de demandes. Ce n'est pas surprenant, car ces gars et ces filles qui ont longtemps obtenu leur diplôme et se préparent à l'examen recherchent ces informations, et les écoliers essaient également de se rafraîchir la mémoire.

Malgré le fait qu'il existe de nombreux sites qui expliquent comment résoudre cette équation, j'ai également décidé de contribuer et de publier le matériel. Tout d'abord, je veux que les visiteurs viennent sur mon site sur cette demande ; deuxièmement, dans d'autres articles, lorsque le discours «KU» apparaîtra, je donnerai un lien vers cet article; troisièmement, je vais vous en dire un peu plus sur sa solution que ce qui est généralement indiqué sur d'autres sites. Commençons! Le contenu de l'article :

Une équation quadratique est une équation de la forme :

où les coefficients a,bet avec des nombres arbitraires, avec a≠0.

Dans le cours scolaire, le matériel est donné sous la forme suivante - la division des équations en trois classes se fait conditionnellement:

1. Avoir deux racines.

2. * Avoir une seule racine.

3. N'ont pas de racines. Il convient de noter ici qu'ils n'ont pas de véritables racines

Comment les racines sont-elles calculées ? Juste!

Nous calculons le discriminant. Sous ce mot "terrible" se cache une formule très simple :

Les formules racine sont les suivantes :

*Ces formules doivent être connues par cœur.

Vous pouvez immédiatement écrire et décider:

Exemple:

1. Si D > 0, alors l'équation a deux racines.

2. Si D = 0, alors l'équation a une racine.

3. Si D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Regardons l'équation :

A cette occasion, lorsque le discriminant est nul, le cours de l'école dit qu'une racine est obtenue, ici elle est égale à neuf. C'est vrai, ça l'est, mais...

Cette représentation est quelque peu erronée. En fait, il y a deux racines. Oui, oui, ne soyez pas surpris, il s'avère que deux racines égales, et pour être mathématiquement précis, alors deux racines doivent être écrites dans la réponse :

x 1 = 3 x 2 = 3

Mais c'est ainsi - une petite digression. À l'école, vous pouvez écrire et dire qu'il n'y a qu'une seule racine.

Maintenant l'exemple suivant :

Comme nous le savons, la racine d'un nombre négatif n'est pas extraite, il n'y a donc pas de solution dans ce cas.

C'est tout le processus de décision.

Fonction quadratique.

Voici à quoi ressemble la solution géométriquement. Ceci est extrêmement important à comprendre (à l'avenir, dans l'un des articles, nous analyserons en détail la solution d'une inégalité quadratique).

C'est une fonction de la forme :

où x et y sont des variables

a, b, c sont des nombres donnés, où a ≠ 0

Le graphique est une parabole :

Autrement dit, il s'avère qu'en résolvant une équation quadratique avec "y" égal à zéro, nous trouvons les points d'intersection de la parabole avec l'axe des x. Il peut y avoir deux de ces points (le discriminant est positif), un (le discriminant est nul) ou aucun (le discriminant est négatif). En savoir plus sur la fonction quadratique Vous pouvez voir article d'Inna Feldman.

Prenons des exemples :

Exemple 1 : Décider 2x 2 +8 X–192=0

un=2 b=8 c= -192

ré = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Réponse : x 1 = 8 x 2 = -12

* Vous pouvez immédiatement diviser les côtés gauche et droit de l'équation par 2, c'est-à-dire la simplifier. Les calculs seront plus faciles.

Exemple 2 : Décider x2–22 x+121 = 0

un=1 b=-22 c=121

ré = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Nous avons obtenu que x 1 \u003d 11 et x 2 \u003d 11

Dans la réponse, il est permis d'écrire x = 11.

Réponse : x = 11

Exemple 3 : Décider x 2 –8x+72 = 0

un=1 b= -8 c=72

ré = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Le discriminant est négatif, il n'y a pas de solution en nombres réels.

Réponse : pas de solution

Le discriminant est négatif. Il existe une solution !

Ici, nous parlerons de la résolution de l'équation dans le cas où un discriminant négatif est obtenu. Savez-vous quelque chose sur les nombres complexes ? Je n'entrerai pas dans les détails ici sur pourquoi et où ils sont apparus et quel est leur rôle spécifique et leur nécessité en mathématiques, c'est un sujet pour un grand article séparé.

Notion de nombre complexe.

Un peu de théorie.

Un nombre complexe z est un nombre de la forme

z = a + bi

où a et b sont des nombres réels, i est l'unité dite imaginaire.

un+bi est un NOMBRE UNIQUE, pas une addition.

L'unité imaginaire est égale à la racine de moins un :

Considérons maintenant l'équation :

Obtenez deux racines conjuguées.

Équation quadratique incomplète.

Considérons des cas particuliers, c'est lorsque le coefficient "b" ou "c" est égal à zéro (ou les deux sont égaux à zéro). Ils sont résolus facilement sans aucun discriminant.

Cas 1. Coefficient b = 0.

L'équation prend la forme :

Transformons :

Exemple:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Cas 2. Coefficient c = 0.

L'équation prend la forme :

Transformer, factoriser :

*Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro.

Exemple:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ou x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cas 3. Coefficients b = 0 et c = 0.

Ici, il est clair que la solution de l'équation sera toujours x = 0.

Propriétés utiles et modèles de coefficients.

Il existe des propriétés qui permettent de résoudre des équations avec de grands coefficients.

unX 2 + boîte+ c=0 égalité

un + b+ c = 0, alors

— si pour les coefficients de l'équation unX 2 + boîte+ c=0 égalité

un+ avec =b, alors

Ces propriétés aident à résoudre un certain type d'équation.

Exemple 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La somme des coefficients est 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, donc

Exemple 2 : 2501 X 2 +2507 X+6=0

Égalité un+ avec =b, moyens

Régularités des coefficients.

1. Si dans l'équation ax 2 + bx + c \u003d 0 le coefficient "b" est (a 2 +1) et que le coefficient "c" est numériquement égal au coefficient "a", alors ses racines sont

hache 2 + (une 2 +1) ∙ X + une \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a X 2 \u003d -1 / une.

Exemple. Considérons l'équation 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Si dans l'équation ax 2 - bx + c \u003d 0, le coefficient "b" est (a 2 +1) et le coefficient "c" est numériquement égal au coefficient "a", alors ses racines sont

hache 2 - (une 2 + 1) ∙ X + une \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d une X 2 \u003d 1 / une.

Exemple. Considérons l'équation 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Si dans l'équation ax 2 + bx - c = 0 coefficient "b" est égal à (a 2 – 1), et le coefficient « c » numériquement égal au coefficient "a", alors ses racines sont égales

hache 2 + (une 2 -1) ∙ X - une \u003d 0 \u003d\u003e X 1 \u003d - une X 2 \u003d 1 / une.

Exemple. Considérons l'équation 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Si dans l'équation ax 2 - bx - c \u003d 0, le coefficient "b" est égal à (a 2 - 1) et que le coefficient c est numériquement égal au coefficient "a", alors ses racines sont

hache 2 - (une 2 -1) ∙ X - une \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d une X 2 \u003d - 1 / une.

Exemple. Considérez l'équation 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Théorème de Vieta.

Le théorème de Vieta porte le nom du célèbre mathématicien français François Vieta. En utilisant le théorème de Vieta, on peut exprimer la somme et le produit des racines d'un KU arbitraire en termes de ses coefficients.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

En somme, le nombre 14 ne donne que 5 et 9. Ce sont les racines. Avec une certaine habileté, en utilisant le théorème présenté, vous pouvez résoudre de nombreuses équations quadratiques immédiatement oralement.

Théorème de Vieta, d'ailleurs. pratique car après avoir résolu l'équation quadratique de la manière habituelle (par le discriminant), les racines résultantes peuvent être vérifiées. Je recommande de le faire tout le temps.

MÉTHODE DE TRANSFERT

Avec cette méthode, le coefficient "a" est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était "transféré", c'est pourquoi on l'appelle méthode de transfert. Cette méthode est utilisée lorsqu'il est facile de trouver les racines d'une équation à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Si un un± b+c≠ 0, alors la technique de transfert est utilisée, par exemple :

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Selon le théorème de Vieta dans l'équation (2), il est facile de déterminer que x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Les racines obtenues de l'équation doivent être divisées par 2 (puisque les deux ont été "jetées" de x 2), on obtient

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Quelle est la justification? Voyez ce qui se passe.

Les discriminants des équations (1) et (2) sont :

Si vous regardez les racines des équations, seuls différents dénominateurs sont obtenus et le résultat dépend précisément du coefficient en x 2:

Les deuxièmes racines (modifiées) sont 2 fois plus grandes.

Nous divisons donc le résultat par 2.

*Si nous obtenons un brelan, nous divisons le résultat par 3, et ainsi de suite.

Réponse : x 1 = 5 x 2 = 0,5

m² ur-ie et l'examen.

Je parlerai brièvement de son importance - VOUS DEVRIEZ POUVOIR DÉCIDER rapidement et sans réfléchir, vous devez connaître par cœur les formules des racines et du discriminant. De nombreuses tâches faisant partie des tâches USE consistent à résoudre une équation quadratique (y compris géométrique).

Ce qui vaut la peine d'être noté !

1. La forme de l'équation peut être "implicite". Par exemple, l'entrée suivante est possible :

15+ 9x 2 - 45x = 0 ou 15x+42+9x 2 - 45x=0 ou 15 -5x+10x 2 = 0.

Vous devez l'amener sous une forme standard (afin de ne pas vous tromper lors de la résolution).

2. Rappelez-vous que x est une valeur inconnue et qu'elle peut être désignée par n'importe quelle autre lettre - t, q, p, h et autres.

Le discriminant, ainsi que les équations quadratiques, commencent à être étudiés dans le cours d'algèbre en 8e année. Vous pouvez résoudre une équation quadratique par le discriminant et en utilisant le théorème de Vieta. La méthodologie d'étude des équations quadratiques, ainsi que la formule discriminante, est inculquée plutôt sans succès aux écoliers, comme beaucoup dans la vraie éducation. Par conséquent, les années scolaires passent, l'enseignement de la 9e à la 11e année remplace "l'enseignement supérieur" et tout le monde cherche à nouveau - "Comment résoudre une équation quadratique ?", "Comment trouver les racines d'une équation ?", "Comment trouver le discriminant ?" et...

Formule discriminante

Le discriminant D de l'équation quadratique a*x^2+bx+c=0 est D=b^2–4*a*c.
Les racines (solutions) de l'équation quadratique dépendent du signe du discriminant (D) :
D>0 - l'équation a 2 racines réelles différentes ;
D=0 - l'équation a 1 racine (2 racines qui coïncident) :
ré<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
La formule de calcul du discriminant est assez simple, c'est pourquoi de nombreux sites proposent un calculateur de discriminant en ligne. Nous n'avons pas encore compris ce type de scripts, alors qui sait comment l'implémenter, veuillez écrire à l'e-mail Cette adresse e-mail est protégée du spam. Vous devez activer JavaScript pour afficher. .

Formule générale pour trouver les racines d'une équation quadratique:

Les racines de l'équation sont trouvées par la formule
Si le coefficient de la variable dans le carré est apparié, il est conseillé de calculer non pas le discriminant, mais sa quatrième partie
Dans de tels cas, les racines de l'équation sont trouvées par la formule

La deuxième façon de trouver des racines est le théorème de Vieta.

Le théorème est formulé non seulement pour les équations quadratiques, mais aussi pour les polynômes. Vous pouvez lire ceci sur Wikipedia ou d'autres ressources électroniques. Cependant, pour simplifier, considérons la partie qui concerne les équations quadratiques réduites, c'est-à-dire les équations de la forme (a=1)
L'essence des formules de Vieta est que la somme des racines de l'équation est égale au coefficient de la variable, pris avec le signe opposé. Le produit des racines de l'équation est égal au terme libre. Les formules du théorème de Vieta ont une notation.
La dérivation de la formule de Vieta est assez simple. Écrivons l'équation quadratique en termes de facteurs premiers
Comme vous pouvez le voir, tout ce qui est ingénieux est simple en même temps. Il est efficace d'utiliser la formule de Vieta lorsque la différence de module des racines ou la différence de module des racines est de 1, 2. Par exemple, les équations suivantes, selon le théorème de Vieta, ont des racines




Jusqu'à 4 analyses d'équations devraient ressembler à ceci. Le produit des racines de l'équation est 6, donc les racines peuvent être les valeurs (1, 6) et (2, 3) ou des paires avec le signe opposé. La somme des racines est 7 (le coefficient de la variable de signe opposé). De là, nous concluons que les solutions de l'équation quadratique sont égales à x=2 ; x=3.
Il est plus facile de sélectionner les racines de l'équation parmi les diviseurs du terme libre, en corrigeant leur signe afin de satisfaire aux formules de Vieta. Au début, cela semble difficile à faire, mais avec de la pratique sur un certain nombre d'équations quadratiques, cette technique sera plus efficace que de calculer le discriminant et de trouver les racines de l'équation quadratique de manière classique.
Comme vous pouvez le voir, la théorie scolaire de l'étude du discriminant et des moyens de trouver des solutions à l'équation est dépourvue de sens pratique - "Pourquoi les écoliers ont-ils besoin d'une équation quadratique ?", "Quelle est la signification physique du discriminant ?".

Essayons de comprendre que décrit le discriminant ?

Au cours de l'algèbre, ils étudient les fonctions, les schémas d'étude des fonctions et les fonctions de traçage. De toutes les fonctions, une place importante est occupée par une parabole dont l'équation peut s'écrire sous la forme
Ainsi, la signification physique de l'équation quadratique est les zéros de la parabole, c'est-à-dire les points d'intersection du graphique de la fonction avec l'axe des abscisses Ox
Je vous demande de vous souvenir des propriétés des paraboles qui sont décrites ci-dessous. Le moment viendra de passer des examens, des tests ou des examens d'entrée et vous serez reconnaissant pour le matériel de référence. Le signe de la variable dans le carré correspond au fait que les branches de la parabole sur le graphique vont monter (a>0),

ou une parabole avec des branches vers le bas (un<0) .

Le sommet de la parabole se trouve à mi-chemin entre les racines

La signification physique du discriminant :

Si le discriminant est supérieur à zéro (D>0), la parabole a deux points d'intersection avec l'axe Ox.
Si le discriminant est égal à zéro (D=0), alors la parabole du haut touche l'axe des abscisses.
Et le dernier cas, lorsque le discriminant est inférieur à zéro (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Équations quadratiques incomplètes