Pi attitude. Débuter en sciences

Les mathématiciens du monde entier mangent un morceau de gâteau chaque année le 14 mars - après tout, c'est le jour de Pi, le nombre irrationnel le plus célèbre. Cette date est directement liée au nombre dont les premiers chiffres sont 3.14. Pi est le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Comme il est irrationnel, il est impossible de l'écrire sous forme de fraction. C'est un nombre infiniment long. Il a été découvert il y a des milliers d'années et a été constamment étudié depuis, mais Pi a-t-il encore des secrets ? Des origines anciennes à un avenir incertain, voici quelques-uns des faits les plus intéressants sur pi.

Mémoriser Pi

Le record de mémorisation des nombres après la virgule appartient à Rajveer Meena de l'Inde, qui a réussi à mémoriser 70 000 chiffres - il a établi le record le 21 mars 2015. Avant cela, le détenteur du record était Chao Lu de Chine, qui a réussi à mémoriser 67 890 chiffres - ce record a été établi en 2005. Le détenteur officieux du record est Akira Haraguchi, qui a enregistré en vidéo sa répétition de 100 000 chiffres en 2005 et a récemment publié une vidéo où il parvient à retenir 117 000 chiffres. Un record officiel ne deviendrait que si cette vidéo était enregistrée en présence d'un représentant du Livre Guinness des records, et sans confirmation, cela ne reste qu'un fait impressionnant, mais n'est pas considéré comme un exploit. Les passionnés de mathématiques adorent mémoriser le nombre Pi. De nombreuses personnes utilisent diverses techniques mnémoniques, telles que la poésie, où le nombre de lettres dans chaque mot est le même que pi. Chaque langue a ses propres variantes de ces phrases, qui aident à mémoriser à la fois les premiers chiffres et une centaine.

Il existe un langage Pi

Les mathématiciens fascinés par la littérature ont inventé un dialecte dans lequel le nombre de lettres dans tous les mots correspond aux chiffres de Pi dans l'ordre exact. L'écrivain Mike Keith a même écrit un livre, Not a Wake, entièrement écrit en langage Pi. Les passionnés d'une telle créativité écrivent leurs œuvres en pleine conformité avec le nombre de lettres et la signification des chiffres. Cela n'a aucune application pratique, mais c'est un phénomène assez courant et bien connu dans les cercles de scientifiques enthousiastes.

Croissance exponentielle

Pi est un nombre infini, donc les gens, par définition, ne pourront jamais déterminer les nombres exacts de ce nombre. Cependant, le nombre de chiffres après la virgule a fortement augmenté depuis la première utilisation du Pi. Même les Babyloniens l'utilisaient, mais une fraction de trois et un huitième leur suffisait. Les Chinois et les créateurs de l'Ancien Testament étaient complètement limités aux trois. En 1665, Sir Isaac Newton avait calculé 16 chiffres de pi. En 1719, le mathématicien français Tom Fante de Lagny avait calculé 127 chiffres. L'avènement des ordinateurs a radicalement amélioré la connaissance de Pi par l'homme. De 1949 à 1967, le nombre de chiffres connus de l'homme est monté en flèche de 2037 à 500 000. Il n'y a pas si longtemps, Peter Trueb, un scientifique suisse, a pu calculer 2,24 billions de chiffres de Pi ! Cela a pris 105 jours. Bien sûr, ce n'est pas la limite. Il est probable qu'avec le développement de la technologie, il sera possible d'établir un chiffre encore plus précis - puisque Pi est infini, il n'y a tout simplement pas de limite à la précision, et seules les caractéristiques techniques de la technologie informatique peuvent la limiter.

Calculer Pi à la main

Si vous voulez trouver le nombre vous-même, vous pouvez utiliser la technique à l'ancienne - vous aurez besoin d'une règle, d'un pot et d'une ficelle, vous pouvez également utiliser un rapporteur et un crayon. L'inconvénient d'utiliser un bocal est qu'il doit être rond, et la précision sera déterminée par la capacité de la personne à enrouler la corde autour de lui. Il est possible de tracer un cercle avec un rapporteur, mais cela demande aussi habileté et précision, car un cercle irrégulier peut sérieusement fausser vos mesures. Une méthode plus précise implique l'utilisation de la géométrie. Divisez le cercle en plusieurs segments, comme des tranches de pizza, puis calculez la longueur d'une ligne droite qui transformerait chaque segment en un triangle isocèle. La somme des côtés donnera un nombre approximatif de pi. Plus vous utilisez de segments, plus le nombre sera précis. Bien sûr, dans vos calculs, vous ne pourrez pas vous approcher des résultats d'un ordinateur, néanmoins, ces expériences simples vous permettent de comprendre plus en détail ce qu'est Pi en général et comment il est utilisé en mathématiques.

Découverte de Pi

Les anciens Babyloniens connaissaient l'existence du nombre Pi il y a déjà quatre mille ans. Les tablettes babyloniennes calculent Pi comme 3,125, et le papyrus mathématique égyptien contient le nombre 3,1605. Dans la Bible, le nombre Pi est donné dans une longueur obsolète - en coudées, et le mathématicien grec Archimède a utilisé le théorème de Pythagore pour décrire Pi, le rapport géométrique de la longueur des côtés d'un triangle et de l'aire de \u200b \u200bles chiffres à l'intérieur et à l'extérieur des cercles. Ainsi, il est prudent de dire que Pi est l'un des concepts mathématiques les plus anciens, bien que le nom exact de ce nombre soit apparu relativement récemment.

Une nouvelle version de Pi

Même avant que pi ne soit lié aux cercles, les mathématiciens avaient déjà de nombreuses façons de nommer ce nombre. Par exemple, dans les anciens manuels de mathématiques, on peut trouver une phrase en latin, qui peut être grossièrement traduite par "la quantité qui indique la longueur lorsque le diamètre est multiplié par celle-ci". Le nombre irrationnel est devenu célèbre lorsque le scientifique suisse Leonhard Euler l'a utilisé dans ses travaux sur la trigonométrie en 1737. Cependant, le symbole grec pour pi n'était toujours pas utilisé - cela ne s'est produit que dans un livre du mathématicien moins connu William Jones. Il l'utilisa dès 1706, mais il fut longtemps négligé. Au fil du temps, les scientifiques ont adopté ce nom, et c'est maintenant la version la plus célèbre du nom, bien qu'avant il s'appelait aussi le numéro Ludolf.

Pi est-il normal ?

Le nombre pi est définitivement étrange, mais comment obéit-il aux lois mathématiques normales ? Les scientifiques ont déjà résolu de nombreuses questions liées à ce nombre irrationnel, mais certains mystères demeurent. Par exemple, on ne sait pas à quelle fréquence tous les chiffres sont utilisés - les chiffres de 0 à 9 doivent être utilisés dans des proportions égales. Cependant, les statistiques peuvent être tracées pour les premiers billions de chiffres, mais du fait que le nombre est infini, il est impossible de prouver quoi que ce soit avec certitude. Il y a d'autres problèmes qui échappent encore aux scientifiques. Il est possible que le développement ultérieur de la science contribue à les éclairer, mais pour le moment cela reste au-delà des limites de l'intelligence humaine.

Pi sonne divin

Les scientifiques ne peuvent pas répondre à certaines questions sur le nombre Pi, cependant, chaque année, ils comprennent mieux son essence. Déjà au XVIIIe siècle, l'irrationalité de ce nombre était prouvée. De plus, il a été prouvé que le nombre est transcendantal. Cela signifie qu'il n'y a pas de formule définie qui vous permettrait de calculer pi en utilisant des nombres rationnels.

Insatisfaction avec Pi

De nombreux mathématiciens sont simplement amoureux de Pi, mais certains pensent que ces nombres n'ont aucune signification particulière. De plus, ils affirment que le nombre Tau, qui est deux fois plus grand que Pi, est plus pratique à utiliser comme nombre irrationnel. Tau montre la relation entre la circonférence et le rayon, ce qui, selon certains, représente une méthode de calcul plus logique. Cependant, il est impossible de déterminer sans ambiguïté quoi que ce soit à ce sujet, et l'un et l'autre nombre auront toujours des partisans, les deux méthodes ont droit à la vie, c'est donc juste un fait intéressant, et non une raison de penser que vous ne devriez pas utilisez le nombre Pi.

Quel est le nombre pi nous connaissons et nous souvenons de l'école. Il est égal à 3,1415926 et ainsi de suite... Il suffit qu'une personne ordinaire sache que ce nombre s'obtient en divisant la circonférence d'un cercle par son diamètre. Mais beaucoup de gens savent que le nombre Pi apparaît dans des domaines inattendus non seulement en mathématiques et en géométrie, mais aussi en physique. Eh bien, si vous plongez dans les détails de la nature de ce nombre, vous pouvez voir beaucoup de surprises parmi les séries interminables de nombres. Est-il possible que Pi cache les secrets les plus profonds de l'univers ?

Nombre infini

Le nombre Pi lui-même apparaît dans notre monde comme la longueur d'un cercle dont le diamètre est égal à un. Mais, malgré le fait que le segment égal à Pi soit assez fini, le nombre Pi commence comme 3,1415926 et va à l'infini dans des rangées de nombres qui ne se répètent jamais. Le premier fait surprenant est que ce nombre, utilisé en géométrie, ne peut s'exprimer en fraction de nombres entiers. En d'autres termes, vous ne pouvez pas l'écrire comme un rapport de deux nombres a/b. De plus, le nombre Pi est transcendantal. Cela signifie qu'il n'existe pas une telle équation (polynomiale) à coefficients entiers dont la solution serait Pi.

Le fait que le nombre Pi soit transcendant a été prouvé en 1882 par le mathématicien allemand von Lindemann. C'est cette preuve qui est devenue la réponse à la question de savoir s'il est possible de dessiner un carré avec un compas et une règle, dont l'aire est égale à l'aire d'un cercle donné. Ce problème est connu sous le nom de recherche de la quadrature du cercle, qui trouble l'humanité depuis l'Antiquité. Il semblait que ce problème avait une solution simple et était sur le point d'être révélé. Mais c'est une propriété incompréhensible de pi qui a montré que le problème de la quadrature d'un cercle n'a pas de solution.

Depuis au moins quatre millénaires et demi, l'humanité tente d'obtenir une valeur de pi de plus en plus précise. Par exemple, dans la Bible dans le 1er Livre des Rois (7:23), le nombre pi est pris égal à 3.

Remarquable de précision, la valeur de Pi se retrouve dans les pyramides de Gizeh : le rapport du périmètre et de la hauteur des pyramides est de 22/7. Cette fraction donne une valeur approximative de Pi, égale à 3,142... À moins, bien sûr, que les Égyptiens aient établi un tel rapport par accident. La même valeur déjà en relation avec le calcul du nombre Pi a été reçue au IIIe siècle avant JC par le grand Archimède.

Dans le papyrus Ahmes, un ancien manuel de mathématiques égyptien datant de 1650 av. J.-C., Pi est calculé comme 3,160493827.

Dans les anciens textes indiens vers le IXe siècle av. J.-C., la valeur la plus précise était exprimée par le nombre 339/108, qui équivalait à 3,1388...

Pendant près de deux mille ans après Archimède, les gens ont essayé de trouver des moyens de calculer pi. Parmi eux se trouvaient des mathématiciens célèbres et inconnus. Par exemple, l'architecte romain Mark Vitruvius Pollio, l'astronome égyptien Claudius Ptolemy, le mathématicien chinois Liu Hui, le sage indien Ariabhata, le mathématicien médiéval Leonardo de Pise, connu sous le nom de Fibonacci, le scientifique arabe Al-Khwarizmi, dont le nom a donné le mot "algorithme" est apparu. Tous et de nombreuses autres personnes recherchaient les méthodes les plus précises pour calculer Pi, mais jusqu'au XVe siècle, ils n'ont jamais reçu plus de 10 chiffres après la virgule en raison de la complexité des calculs.

Enfin, en 1400, le mathématicien indien Madhava du Sangamagram a calculé Pi avec une précision allant jusqu'à 13 chiffres (bien qu'il ait encore fait une erreur dans les deux derniers).

Nombre de signes

Au 17ème siècle, Leibniz et Newton découvrent l'analyse des quantités infinitésimales, qui permet de calculer pi plus progressivement - à travers les séries de puissances et les intégrales. Newton lui-même a calculé 16 décimales, mais ne l'a pas mentionné dans ses livres - cela est devenu connu après sa mort. Newton a affirmé qu'il n'avait calculé Pi que par ennui.

À peu près au même moment, d'autres mathématiciens moins connus se sont également relevés, proposant de nouvelles formules pour calculer le nombre Pi à l'aide de fonctions trigonométriques.

Par exemple, voici la formule utilisée pour calculer Pi par le professeur d'astronomie John Machin en 1706 : PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239). En utilisant des méthodes d'analyse, Machin a dérivé de cette formule le nombre Pi avec cent décimales.

Soit dit en passant, dans le même 1706, le nombre Pi a reçu une désignation officielle sous la forme d'une lettre grecque: il a été utilisé par William Jones dans ses travaux sur les mathématiques, prenant la première lettre du mot grec «périphérie», qui signifie "cercle". Né en 1707, le grand Leonhard Euler a popularisé cette appellation désormais connue de tout écolier.

Avant l'ère des ordinateurs, les mathématiciens se préoccupaient de calculer le plus de signes possible. À cet égard, il y avait parfois des curiosités. Le mathématicien amateur W. Shanks a calculé 707 chiffres de pi en 1875. Ces sept cents signes ont été immortalisés sur le mur du Palais des Découvertes à Paris en 1937. Cependant, neuf ans plus tard, des mathématiciens attentifs ont découvert que seuls les 527 premiers caractères étaient correctement calculés. Le musée a dû engager des dépenses décentes pour corriger l'erreur - maintenant tous les chiffres sont corrects.

Lorsque les ordinateurs sont apparus, le nombre de chiffres de Pi a commencé à être calculé dans des ordres complètement inimaginables.

L'un des premiers ordinateurs électroniques ENIAC, créé en 1946, qui était énorme et générait tellement de chaleur que la pièce s'est réchauffée à 50 degrés Celsius, a calculé les 2037 premiers chiffres de Pi. Ce calcul a pris 70 heures à la voiture.

Au fur et à mesure que les ordinateurs se sont améliorés, notre connaissance de pi est allée de plus en plus loin dans l'infini. En 1958, 10 000 chiffres du nombre ont été calculés. En 1987, les Japonais calculaient 10 013 395 caractères. En 2011, le chercheur japonais Shigeru Hondo a franchi la barre des 10 000 milliards.

Où pouvez-vous trouver Pi ?

Ainsi, souvent notre connaissance du nombre Pi reste au niveau scolaire, et nous savons avec certitude que ce nombre est indispensable en premier lieu en géométrie.

En plus des formules pour la longueur et l'aire d'un cercle, le nombre Pi est utilisé dans les formules pour les ellipses, les sphères, les cônes, les cylindres, les ellipsoïdes, etc. : quelque part les formules sont simples et faciles à retenir, et quelque part, ils contiennent des intégrales très complexes.

Ensuite, nous pouvons rencontrer le nombre Pi dans des formules mathématiques, où, à première vue, la géométrie n'est pas visible. Par exemple, l'intégrale indéfinie de 1/(1-x^2) est Pi.

Pi est souvent utilisé dans l'analyse des séries. Par exemple, voici une série simple qui converge vers pi :

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = IP/4

Parmi les séries, pi apparaît de manière la plus inattendue dans la fonction zêta de Riemann bien connue. Il ne sera pas possible d'en parler en quelques mots, nous dirons seulement qu'un jour le nombre Pi aidera à trouver une formule de calcul des nombres premiers.

Et c'est absolument incroyable : Pi apparaît dans deux des plus belles formules "royales" des mathématiques - la formule de Stirling (qui aide à trouver la valeur approximative de la factorielle et de la fonction gamma) et la formule d'Euler (qui relie autant que cinq constantes mathématiques).

Cependant, la découverte la plus inattendue attendait les mathématiciens en théorie des probabilités. Pi est également là.

Par exemple, la probabilité que deux nombres soient premiers entre eux est 6/PI^2.

Pi apparaît dans le problème du lancer d'aiguille de Buffon au XVIIIe siècle : quelle est la probabilité qu'une aiguille lancée sur une feuille de papier avec un motif croise l'une des lignes. Si la longueur de l'aiguille est L, et la distance entre les lignes est L, et r > L, alors nous pouvons calculer approximativement la valeur de Pi en utilisant la formule de probabilité 2L/rPI. Imaginez - nous pouvons obtenir Pi à partir d'événements aléatoires. Et d'ailleurs Pi est présent dans la distribution de probabilité normale, apparaît dans l'équation de la fameuse courbe gaussienne. Cela signifie-t-il que pi est encore plus fondamental que le simple rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre ?

Nous pouvons également rencontrer Pi en physique. Pi apparaît dans la loi de Coulomb, qui décrit la force d'interaction entre deux charges, dans la troisième loi de Kepler, qui montre la période de révolution d'une planète autour du Soleil, et se produit même dans l'arrangement des orbitales électroniques d'un atome d'hydrogène. Et, encore une fois, le plus incroyable est que le nombre Pi est caché dans la formule du principe d'incertitude de Heisenberg, la loi fondamentale de la physique quantique.

Secrets de Pi

Dans le roman "Contact" de Carl Sagan, basé sur le film du même nom, des extraterrestres informent l'héroïne que parmi les signes de Pi, il y a un message secret de Dieu. À partir d'une certaine position, les chiffres du nombre cessent d'être aléatoires et représentent un code dans lequel tous les secrets de l'Univers sont enregistrés.

Ce roman reflétait en fait l'énigme qui occupe l'esprit des mathématiciens de toute la planète : le nombre Pi est-il un nombre normal dans lequel les chiffres sont dispersés avec la même fréquence, ou y a-t-il quelque chose qui ne va pas avec ce nombre. Et bien que les scientifiques tendent vers la première option (mais ne peuvent pas le prouver), Pi semble très mystérieux. Un Japonais a un jour calculé combien de fois les nombres de 0 à 9 apparaissent dans les premiers billions de chiffres de pi. Et j'ai vu que les chiffres 2, 4 et 8 sont plus fréquents que les autres. C'est peut-être l'un des indices que Pi n'est pas tout à fait normal, et les chiffres qu'il contient ne sont vraiment pas aléatoires.

Rappelons-nous tout ce que nous avons lu ci-dessus et demandons-nous quel autre nombre irrationnel et transcendantal est si courant dans le monde réel ?

Et il y a d'autres bizarreries en magasin. Par exemple, la somme des vingt premiers chiffres de Pi est 20, et la somme des 144 premiers chiffres est égale au "nombre de la bête" 666.

Le protagoniste de la série télévisée américaine The Suspect, le professeur Finch, a déclaré aux étudiants qu'en raison de l'infinité de pi, n'importe quelle combinaison de nombres peut s'y produire, des nombres de votre date de naissance à des nombres plus complexes. Par exemple, à la 762e position, il y a une séquence de six neuf. Cette position s'appelle le point de Feynman, du nom du célèbre physicien qui remarqua cette combinaison intéressante.

On sait aussi que le nombre Pi contient la séquence 0123456789, mais il se situe sur le 17 387 594 880ème chiffre.

Tout cela signifie que dans l'infini de Pi, vous pouvez trouver non seulement des combinaisons intéressantes de nombres, mais aussi le texte codé de "Guerre et Paix", la Bible et même le secret principal de l'univers, s'il existe.

Au fait, à propos de la Bible. Le célèbre vulgarisateur des mathématiques Martin Gardner déclara en 1966 que le millionième signe du nombre Pi (à l'époque encore inconnu) serait le nombre 5. Il expliqua ses calculs par le fait que dans la version anglaise de la Bible, en le 3e livre, 14e chapitre, verset 16 -m (3-14-16) le septième mot contient cinq lettres. Le chiffre du million a été reçu huit ans plus tard. C'était le numéro cinq.

Vaut-il la peine après cela d'affirmer que le nombre pi est aléatoire ?

Je n'ai jamais pensé à l'histoire de l'origine de Pi. J'ai lu des faits assez intéressants sur Leibniz et Newton. Newton a calculé 16 décimales mais ne l'a pas dit dans son livre. Merci pour le bon article.

Réponse

Une fois, j'ai lu sur un forum sur la magie que le nombre PI n'avait pas seulement une signification magique, mais aussi rituelle. De nombreux rituels sont associés à ce nombre et ont été utilisés par les magiciens depuis les temps anciens de la découverte de ce nombre.

Réponse

la somme des vingt premiers chiffres de pi est 20… Est-ce sérieux ? Dans un système binaire, n'est-ce pas ?

Réponse

1. Réponse

   1. 100 n'est pas la somme des 20 premiers chiffres, mais 20 décimales.

      Réponse

1. avec diamètre = 1, la circonférence = pi, et donc le cercle ne se fermera jamais !

   Réponse

NUMÉRO p - le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, - la valeur est constante et ne dépend pas de la taille du cercle. Le nombre exprimant cette relation est généralement désigné par la lettre grecque 241 (de "perijereia" - cercle, périphérie). Cette désignation est devenue courante après les travaux de Leonhard Euler, faisant référence à 1736, mais elle a été utilisée pour la première fois par William Jones (1675–1749) en 1706. Comme tout nombre irrationnel, il est représenté par une fraction décimale non périodique infinie :

p= 3.141592653589793238462643… Les besoins des calculs pratiques relatifs aux cercles et aux corps ronds nous ont obligés à rechercher 241 approximations utilisant des nombres rationnels déjà dans l'Antiquité. L'information selon laquelle la circonférence est exactement trois fois plus longue que le diamètre se trouve dans les tablettes cunéiformes de l'ancienne Mésopotamie. Même valeur numérique p il y a aussi dans le texte de la Bible : "Et il fit une mer de cuivre coulé, d'un bout à l'autre elle avait dix coudées, tout rond, cinq coudées de haut, et une ficelle de trente coudées l'enlaçait tout autour" (1 Rois 7.23). Tout comme les anciens chinois. Mais déjà en 2000 av. les anciens Égyptiens utilisaient une valeur plus précise pour le nombre 241, qui est obtenue à partir de la formule de l'aire d'un cercle de diamètre ré:

Cette règle du 50ème problème du papyrus Rhind correspond à la valeur 4(8/9) 2 » 3.1605. Le papyrus Rhinda, trouvé en 1858, porte le nom de son premier propriétaire, il a été copié par le scribe Ahmes vers 1650 avant JC, l'auteur de l'original est inconnu, il est seulement établi que le texte a été créé dans la seconde moitié du 19ème siècle. AVANT JC. Bien que la façon dont les Égyptiens ont obtenu la formule elle-même n'est pas claire d'après le contexte. Dans le soi-disant papyrus de Moscou, qui a été copié par un certain étudiant entre 1800 et 1600 av. à partir d'un texte plus ancien, vers 1900 avant JC, il y a un autre problème intéressant concernant le calcul de la surface d'un panier "avec un trou de 4½". On ne sait pas quelle était la forme du panier, mais tous les chercheurs s'accordent à dire ici pour le nombre p la même valeur approximative 4(8/9) 2 est prise.

Afin de comprendre comment les anciens scientifiques obtenaient tel ou tel résultat, il faut essayer de résoudre le problème en utilisant uniquement les connaissances et les méthodes de calcul de l'époque. C'est exactement ce que font les chercheurs de textes anciens, mais les solutions qu'ils parviennent à trouver ne sont pas forcément « les mêmes ». Très souvent, plusieurs solutions sont proposées pour une tâche, chacun peut choisir selon ses goûts, mais personne ne peut dire qu'elle était utilisée dans l'Antiquité. Concernant l'aire d'un cercle, l'hypothèse d'A.E. Raik, auteur de nombreux ouvrages sur l'histoire des mathématiques, semble plausible : l'aire d'un cercle de diamètre ré est comparée à la surface du carré décrit autour de lui, à partir de laquelle de petits carrés avec des côtés et sont retirés à leur tour (Fig. 1). Dans notre notation, les calculs ressembleront à ceci: en première approximation, l'aire du cercle Ségale à la différence entre l'aire d'un carré de côté ré et la surface totale de quatre petits carrés MAIS avec une fête ré:

Cette hypothèse est étayée par des calculs similaires dans l'un des problèmes du papyrus de Moscou, où il est proposé de calculer

A partir du VIe s. AVANT JC. les mathématiques se sont développées rapidement dans la Grèce antique. Ce sont les anciens géomètres grecs qui ont strictement prouvé que la circonférence d'un cercle est proportionnelle à son diamètre ( je = 2p R; R est le rayon du cercle, l- sa longueur), et l'aire d'un cercle est la moitié du produit de la circonférence et du rayon :

S = ½ je R = p R 2 .

Cette preuve est attribuée à Eudoxe de Cnide et Archimède.

Au 3ème siècle AVANT JC. Archimède par écrit À propos de la mesure d'un cercle calculé les périmètres de polygones réguliers inscrits dans un cercle et décrits autour de celui-ci (Fig. 2) - d'un 6- à un 96-gon. Il établit ainsi que le nombre p se situe entre 3 10/71 et 3 1/7, c'est-à-dire 3.14084< p < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (p» 3.14166) a été trouvé par le célèbre astronome, créateur de la trigonométrie, Claude Ptolémée (IIe siècle), mais il n'a pas été utilisé.

Indiens et Arabes croyaient que p= . Cette valeur est également donnée par le mathématicien indien Brahmagupta (598 - ca. 660). En Chine, les scientifiques au 3ème siècle. utilisé la valeur 3 7/50, qui est pire que l'approximation d'Archimède, mais dans la seconde moitié du Ve s. Zu Chun Zhi (c. 430 - c. 501) a reçu pour p approximatif 355/113 ( p» 3.1415927). Il est resté inconnu des Européens et n'a été retrouvé par le mathématicien néerlandais Adrian Antonis qu'en 1585. Cette approximation ne donne une erreur qu'à la septième décimale.

La recherche d'une approximation plus précise p continué plus loin. Par exemple, al-Kashi (première moitié du XVe siècle) en Traité du Cercle(1427) a calculé 17 décimales p. En Europe, la même signification a été retrouvée en 1597. Pour ce faire, il a dû calculer le côté d'un 800 335 168-gon régulier. Le scientifique néerlandais Ludolf Van Zeilen (1540–1610) lui a trouvé 32 décimales correctes (publié à titre posthume en 1615), cette approximation est appelée le nombre de Ludolf.

Numéro p apparaît non seulement dans la résolution de problèmes géométriques. Depuis l'époque de F. Vieta (1540-1603), la recherche des limites de certaines suites arithmétiques compilées selon des lois simples a conduit au même nombre p. Pour cette raison, en déterminant le nombre p presque tous les mathématiciens célèbres y ont participé : F. Viet, H. Huygens, J. Wallis, G. V. Leibniz, L. Euler. Ils ont reçu diverses expressions pour 241 sous la forme d'un produit infini, la somme d'une série, une fraction infinie.

Par exemple, en 1593, F. Viet (1540-1603) a dérivé la formule

En 1658, l'Anglais William Brounker (1620-1684) trouva une représentation du nombre p comme une fraction continue infinie

cependant, on ne sait pas comment il est arrivé à ce résultat.

En 1665, John Wallis (1616-1703) prouva que

Cette formule porte son nom. Pour la détermination pratique du nombre 241, il est de peu d'utilité, mais est utile dans divers raisonnements théoriques. Il est entré dans l'histoire des sciences comme l'un des premiers exemples d'œuvres infinies.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) établit la formule suivante en 1673 :

exprimer le nombre p/4 comme somme de la série. Cependant, cette série converge très lentement. Calculer p précis à dix chiffres, il faudrait, comme l'a montré Isaac Newton, trouver la somme de 5 milliards de nombres et passer environ mille ans de travail continu là-dessus.

Mathématicien londonien John Machin (1680–1751) en 1706, appliquant la formule

a obtenu l'expression

qui est toujours considéré comme l'un des meilleurs pour le calcul approximatif p. Il ne faut que quelques heures de comptage manuel pour trouver les mêmes dix décimales exactes. John Machin lui-même a calculé p avec 100 caractères corrects.

Utilisation de la même ligne pour arctg X et formules

valeur numérique p reçu sur ordinateur avec une précision de cent mille décimales. De tels calculs sont intéressants en relation avec la notion de nombres aléatoires et pseudo-aléatoires. Traitement statistique d'un ensemble ordonné d'un nombre spécifié de caractères p montre qu'il possède de nombreuses caractéristiques d'une séquence aléatoire.

Il existe des façons amusantes de se souvenir d'un nombre p plus précisément que juste 3.14. Par exemple, après avoir appris le quatrain suivant, vous pouvez facilement nommer sept décimales p:

Vous avez juste besoin d'essayer

Et souvenez-vous de tout tel qu'il est :

Trois, quatorze, quinze

quatre-vingt-douze et seize.

(S.Bobrov Bicorne magique)

Compter le nombre de lettres dans chaque mot des phrases suivantes donne également la valeur du nombre p:

"Qu'est-ce que je sais sur les cercles ?" ( p» 3.1416). Ce proverbe a été suggéré par Ya.I. Perelman.

« Je connais donc le numéro appelé Pi. - Bon travail!" ( p» 3.1415927).

"Apprenez et sachez dans le nombre connu derrière le nombre le nombre, comment remarquer la bonne chance" ( p» 3.14159265359).

Le professeur de l'une des écoles de Moscou a proposé la phrase: "Je le sais et je m'en souviens parfaitement", et son élève a composé une suite amusante: "Beaucoup de signes me sont superflus, en vain." Ce couplet permet de définir 12 chiffres.

Et voici à quoi ressemblent les 101 chiffres d'un nombre p sans arrondir

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

De nos jours, à l'aide d'un ordinateur, la valeur d'un nombre p calculé avec des millions de chiffres corrects, mais une telle précision n'est nécessaire dans aucun calcul. Mais la possibilité de détermination analytique du nombre ,

Dans la dernière formule, le numérateur contient tous les nombres premiers, et les dénominateurs diffèrent d'eux par un, et le dénominateur est supérieur au numérateur s'il a la forme 4 n+ 1, et moins sinon.

Bien que depuis la fin du XVIe siècle, c'est-à-dire depuis que les concepts mêmes de nombres rationnels et irrationnels ont été formés, de nombreux scientifiques ont été convaincus que p- le nombre est irrationnel, mais ce n'est qu'en 1766 que le mathématicien allemand Johann Heinrich Lambert (1728–1777), basé sur la relation découverte par Euler entre les fonctions exponentielles et trigonométriques, l'a strictement prouvé. Numéro p ne peut pas être représenté comme une simple fraction, quelle que soit la taille du numérateur et du dénominateur.

En 1882, le professeur à l'Université de Munich, Carl Louis Ferdinand Lindemann (1852–1939), utilisant les résultats obtenus par le mathématicien français C. Hermite, prouva que p- un nombre transcendantal, c'est-à-dire ce n'est la racine d'aucune équation algébrique une n X n + une n– 1 xn– 1 + … + un 1 x + un 0 = 0 avec des coefficients entiers. Cette preuve a mis fin à l'histoire du plus ancien problème mathématique de la quadrature d'un cercle. Depuis des milliers d'années, ce problème n'a pas cédé aux efforts des mathématiciens, l'expression "la quadrature du cercle" est devenue synonyme de problème insoluble. Et le tout s'est avéré être dans la nature transcendantale du nombre p.

En mémoire de cette découverte, un buste de Lindemann a été érigé dans le hall devant l'auditorium mathématique de l'Université de Munich. Sur le piédestal sous son nom se trouve un cercle traversé par un carré de surface égale, à l'intérieur duquel la lettre est inscrite p.

Marina Fedosova

Introduction

L'article contient des formules mathématiques, donc pour la lecture, rendez-vous sur le site pour leur affichage correct. Le nombre \(\pi \) a une riche histoire. Cette constante désigne le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre.

En science, le nombre \(\pi \) est utilisé dans tout calcul où il y a des cercles. Partant du volume d'une canette de soda, jusqu'aux orbites des satellites. Et pas seulement des cercles. En effet, dans l'étude des lignes courbes, le nombre \(\pi \) aide à comprendre les systèmes périodiques et oscillatoires. Par exemple, les ondes électromagnétiques et même la musique.

En 1706, dans le livre "A New Introduction to Mathematics" du scientifique britannique William Jones (1675-1749), la lettre de l'alphabet grec \(\pi\) est utilisée pour la première fois pour désigner le nombre 3.141592.. .. Cette désignation vient de la lettre initiale des mots grecs περιϕερεια - cercle, périphérie et περιµετρoς - périmètre. La désignation généralement acceptée est devenue après les travaux de Leonhard Euler en 1737.

période géométrique

La constance du rapport de la longueur d'un cercle à son diamètre est connue depuis longtemps. Les habitants de la Mésopotamie utilisaient une approximation assez grossière du nombre \(\pi \). Comme il ressort de problèmes anciens, ils utilisent la valeur \(\pi ≈ 3 \) dans leurs calculs.

Une valeur plus précise pour \(\pi \) était utilisée par les anciens Égyptiens. À Londres et à New York, deux parties d'un ancien papyrus égyptien sont conservées, appelées "Rhinda Papyrus". Le papyrus a été compilé par le scribe Armes entre 2000 et 1700 av. BC Armes a écrit dans son papyrus que l'aire d'un cercle de rayon \(r\) est égale à l'aire d'un carré de côté égal à \(\frac(8)(9) \) du diamètre du cercle \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), soit \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). D'où \(\pi = 3,16\).

L'ancien mathématicien grec Archimède (287-212 av. J.-C.) a d'abord défini la tâche de mesurer un cercle sur une base scientifique. Il a obtenu le score \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

La méthode est assez simple, mais en l'absence de tableaux prêts à l'emploi de fonctions trigonométriques, une extraction de racine sera nécessaire. De plus, l'approximation de \(\pi \) converge très lentement : à chaque itération, l'erreur ne diminue que d'un facteur quatre.

Période analytique

Malgré cela, jusqu'au milieu du XVIIe siècle, toutes les tentatives des scientifiques européens pour calculer le nombre \ (\ pi \) se réduisaient à augmenter les côtés du polygone. Par exemple, le mathématicien néerlandais Ludolf van Zeilen (1540-1610) a calculé la valeur approximative du nombre \(\pi \) avec une précision de 20 chiffres décimaux.

Il lui a fallu 10 ans pour comprendre. En doublant le nombre de côtés des polygones inscrits et circonscrits selon la méthode d'Archimède, il aboutit à \(60 \cdot 2^(29) \) - un gon pour calculer \(\pi \) avec 20 décimal des endroits.

Après sa mort, 15 chiffres plus exacts du nombre \(\pi \) ont été trouvés dans ses manuscrits. Ludolph a légué que les signes qu'il a trouvés ont été gravés sur sa pierre tombale. En son honneur, le nombre \(\pi \) était parfois appelé le "nombre de Ludolf" ou la "constante de Ludolf".

L'un des premiers à introduire une méthode différente de celle d'Archimède fut François Viet (1540-1603). Il est arrivé au résultat qu'un cercle dont le diamètre est égal à un a une aire :

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1 )(2)) ) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

D'autre part, l'aire est \(\frac(\pi)(4) \). En remplaçant et en simplifiant l'expression, nous pouvons obtenir la formule de produit infini suivante pour calculer la valeur approximative \(\frac(\pi)(2) \) :

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

La formule résultante est la première expression analytique exacte du nombre \(\pi \). En plus de cette formule, Vieta, utilisant la méthode d'Archimède, donna à l'aide de polygones inscrits et circonscrits, commençant par un 6-gone et se terminant par un polygone de côtés \(2^(16) \cdot 6 \) , une approximation du nombre \(\pi \) avec 9 signes corrects.

Le mathématicien anglais William Brounker (1620-1684) a utilisé la fraction continue pour calculer \(\frac(\pi)(4)\) comme suit :

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Cette méthode de calcul de l'approximation du nombre \(\frac(4)(\pi) \) nécessite pas mal de calculs pour obtenir au moins une petite approximation.

Les valeurs obtenues à la suite de la substitution sont soit supérieures, soit inférieures au nombre \(\pi \), et à chaque fois plus proches de la vraie valeur, mais pour obtenir la valeur 3,141592, un calcul assez important sera nécessaire.

Un autre mathématicien anglais John Machin (1686-1751) utilisa en 1706 la formule dérivée par Leibniz en 1673 pour calculer le nombre \(\pi \) avec 100 décimales, et l'appliqua comme suit :

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

La série converge rapidement et peut être utilisée pour calculer le nombre \(\pi \) avec une grande précision. Des formules de ce type ont été utilisées pour établir plusieurs records à l'ère de l'informatique.

Au 17ème siècle avec le début de la période des mathématiques de grandeur variable, une nouvelle étape s'ouvrait dans le calcul de \(\pi \). Le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) a trouvé en 1673 l'expansion du nombre \(\pi \), sous sa forme générale, il peut être écrit comme la série infinie suivante :

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

La série est obtenue en remplaçant x = 1 par \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) - \cdots\)

Leonhard Euler développe l'idée de Leibniz dans ses travaux sur l'utilisation des séries pour arctg x lors du calcul du nombre \(\pi \). Le traité De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi (Sur les diverses méthodes d'expression de la quadrature d'un cercle par des nombres approchés), rédigé en 1738, traite des méthodes d'amélioration des calculs à l'aide de la formule de Leibniz.

Euler écrit que la série arc tangente convergera plus rapidement si l'argument tend vers zéro. Pour \(x = 1\) la convergence de la série est très lente : pour calculer avec une précision jusqu'à 100 chiffres, il faut ajouter \(10^(50)\) termes de la série. Vous pouvez accélérer les calculs en diminuant la valeur de l'argument. Si on prend \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), alors on obtient la série

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 - \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Selon Euler, si nous prenons 210 termes de cette série, nous obtenons 100 chiffres corrects du nombre. La série résultante est peu pratique, car il faut connaître une valeur suffisamment précise du nombre irrationnel \(\sqrt(3)\). De plus, dans ses calculs, Euler a utilisé des expansions des tangentes d'arc dans la somme des tangentes d'arc d'arguments plus petits :

\[où x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Loin de là toutes les formules de calcul de \(\pi \) qu'Euler utilisait dans ses cahiers ont été publiées. Dans des ouvrages publiés et des cahiers, il a considéré 3 séries différentes pour calculer l'arc tangente, et a également fait de nombreuses déclarations concernant le nombre de termes sommables nécessaires pour obtenir une valeur approximative \(\pi \) avec une précision donnée.

Au cours des années suivantes, le raffinement de la valeur du nombre \(\pi \) s'est fait de plus en plus vite. Ainsi, par exemple, en 1794, George Vega (1754-1802) a déjà identifié 140 signes, dont seulement 136 se sont avérés corrects.

Période de calcul

Le XXe siècle a été marqué par une toute nouvelle étape dans le calcul du nombre \(\pi\). Le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan (1887-1920) a découvert de nombreuses nouvelles formules pour \(\pi \). En 1910, il obtient une formule pour calculer \(\pi \) par le développement de l'arc tangente dans une série de Taylor :

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

Avec k=100, une précision de 600 chiffres corrects du nombre \(\pi \) est atteinte.

L'avènement des ordinateurs a permis d'augmenter considérablement la précision des valeurs obtenues dans un laps de temps plus court. En 1949, à l'aide de l'ENIAC, un groupe de scientifiques dirigé par John von Neumann (1903-1957) a obtenu 2037 décimales de \(\pi \) en seulement 70 heures. David et Gregory Chudnovsky ont obtenu en 1987 une formule avec laquelle ils ont pu établir plusieurs records dans le calcul \(\pi \):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Chaque membre de la série donne 14 chiffres. En 1989, 1 011 196 691 décimales ont été reçues. Cette formule est bien adaptée au calcul de \(\pi \) sur les ordinateurs personnels. À l'heure actuelle, les frères sont professeurs à l'Institut polytechnique de l'Université de New York.

Un développement récent important a été la découverte de la formule en 1997 par Simon Pluff. Il permet d'extraire n'importe quel chiffre hexadécimal du nombre \(\pi \) sans calculer les précédents. La formule s'appelle la "formule Bailey-Borwain-Pluff" en l'honneur des auteurs de l'article où la formule a été publiée pour la première fois. Il ressemble à ceci :

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) - \frac(2)(8k+4 ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

En 2006, Simon, en utilisant PSLQ, a proposé de belles formules pour calculer \(\pi \). Par example,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) - 1) - \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

où \(q = e^(\pi)\). En 2009, des scientifiques japonais, utilisant le supercalculateur T2K Tsukuba System, ont obtenu le nombre \(\pi \) avec 2 576 980 377 524 décimales. Les calculs ont duré 73 heures 36 minutes. L'ordinateur était équipé de 640 processeurs AMD Opteron à quatre cœurs, qui fournissaient une performance de 95 000 milliards d'opérations par seconde.

La prochaine réalisation dans le calcul de \(\pi \) appartient au programmeur français Fabrice Bellard, qui fin 2009 sur son ordinateur personnel exécutant Fedora 10 a établi un record en calculant 2 699 999 990 000 décimales du nombre \(\pi \). Au cours des 14 dernières années, il s'agit du premier record du monde établi sans l'utilisation d'un supercalculateur. Pour des performances élevées, Fabrice a utilisé la formule des frères Chudnovsky. Au total, le calcul a pris 131 jours (103 jours de calcul et 13 jours de vérification). La réalisation de Bellar a montré que pour de tels calculs, il n'est pas nécessaire d'avoir un supercalculateur.

À peine six mois plus tard, le record de François est battu par les ingénieurs Alexander Yi et Singer Kondo. Pour établir un record de 5 billions de décimales \(\pi \), un ordinateur personnel a également été utilisé, mais avec des caractéristiques plus impressionnantes : deux processeurs Intel Xeon X5680 à 3,33 GHz, 96 Go de RAM, 38 To de mémoire disque et système Windows Server 2008 R2 Entreprise x64. Pour les calculs, Alexander et Singer ont utilisé la formule des frères Chudnovsky. Le processus de calcul a pris 90 jours et 22 To d'espace disque. En 2011, ils ont établi un autre record en calculant 10 billions de décimales pour le nombre \(\pi \). Les calculs ont eu lieu sur le même ordinateur qui avait établi leur précédent record et ont pris un total de 371 jours. Fin 2013, Alexander et Singeru ont amélioré le record à 12,1 billions de chiffres du nombre \(\pi \), ce qui ne leur a pris que 94 jours pour le calculer. Cette amélioration des performances est obtenue en optimisant les performances logicielles, en augmentant le nombre de cœurs de processeur et en améliorant considérablement la tolérance aux pannes logicielles.

Le record actuel est celui d'Alexander Yi et Singeru Kondo, qui est de 12,1 trillions de décimales de \(\pi \).

Ainsi, nous avons examiné les méthodes de calcul du nombre \(\pi \) utilisées dans l'Antiquité, les méthodes analytiques, ainsi que les méthodes et enregistrements modernes de calcul du nombre \(\pi \) sur les ordinateurs.

Liste des sources

1. Joukov A.V. Le nombre omniprésent Pi - M. : Maison d'édition LKI, 2007 - 216 p.
2. F.Rudio. Sur la quadrature du cercle, avec en annexe l'histoire de la question, compilée par F. Rudio. / Rudio F. - M.: ONTI NKTP URSS, 1936. - 235c.
3. Arndt, J. Pi déchaîné / J. Arndt, C. Haenel. - Springer, 2001. - 270p.
4. Shukhman, E.V. Calcul approximatif de Pi à l'aide d'une série pour arctg x dans des travaux publiés et non publiés de Leonhard Euler / E.V. Choukman. - Histoire des sciences et techniques, 2008 - N°4. - P. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuliaturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 - Tome 9 - 222-236p.
6. Shumikhin, S. Nombre Pi. Histoire de 4000 ans / S. Shumikhin, A. Shumikhina. — M. : Eksmo, 2011. — 192p.
7. Borwein, J.M. Ramanujan et Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Dans le monde des sciences. 1988 - N°4. - S. 58-66.
8. Alex Yee. monde des nombres. Mode d'accès : numberworld.org

Aimé?

Raconter

13 janvier 2017

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Qu'y a-t-il de commun entre une roue de Lada Priora, une alliance et une soucoupe de votre chat ? Bien sûr, vous direz beauté et style, mais j'ose discuter avec vous. Pi! C'est un nombre qui unit tous les cercles, cercles et rondeurs, qui incluent, en particulier, la bague de ma mère, et la roue de la voiture préférée de mon père, et même la soucoupe de mon chat bien-aimé Murzik. Je suis prêt à parier que dans le classement des constantes physiques et mathématiques les plus populaires, le nombre Pi prendra sans aucun doute la première ligne. Mais qu'y a-t-il derrière ? Peut-être de terribles malédictions de mathématiciens ? Essayons de comprendre ce problème.

Quel est le nombre "Pi" et d'où vient-il ?

Désignation numérique moderne π (Pi) apparu grâce au mathématicien anglais Johnson en 1706. C'est la première lettre du mot grec περιφέρεια (périphérie ou circonférence). Pour ceux qui sont passés par les mathématiques depuis longtemps, et d'ailleurs, passés, on rappelle que le nombre Pi est le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. La valeur est une constante, c'est-à-dire qu'elle est constante pour tout cercle, quel que soit son rayon. Les gens le savent depuis l'Antiquité. Ainsi, dans l'Égypte ancienne, le nombre Pi était pris égal au rapport 256/81, et dans les textes védiques la valeur 339/108 est donnée, tandis qu'Archimède suggérait le rapport 22/7. Mais ni ces façons ni beaucoup d'autres d'exprimer le nombre pi n'ont donné un résultat précis.

Il s'est avéré que le nombre Pi est respectivement transcendantal et irrationnel. Cela signifie qu'il ne peut pas être représenté comme une simple fraction. S'il est exprimé en termes décimaux, la séquence de chiffres après la virgule se précipitera à l'infini, de plus, sans se répéter périodiquement. Qu'est-ce que tout cela veut dire? Très simple. Voulez-vous connaître le numéro de téléphone de la fille que vous aimez? Il peut certainement être trouvé dans la séquence de chiffres après la virgule décimale de Pi.

Le téléphone peut être consulté ici ↓

Numéro Pi jusqu'à 10000 caractères.

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Vous ne l'avez pas trouvé ? Alors regarde.

En général, il peut s'agir non seulement d'un numéro de téléphone, mais de toute information codée à l'aide de chiffres. Par exemple, si nous représentons toutes les œuvres d'Alexander Sergeevich Pushkin sous forme numérique, elles ont été stockées dans le nombre Pi avant même qu'il ne les écrive, avant même sa naissance. En principe, ils y sont toujours stockés. Soit dit en passant, les malédictions des mathématiciens dans π sont également présents, et pas seulement des mathématiciens. En un mot, Pi a tout, même des pensées qui visiteront votre tête brillante demain, après-demain, dans un an, ou peut-être dans deux. C'est très difficile à croire, mais même si nous faisons semblant d'y croire, il sera encore plus difficile d'obtenir des informations à partir de là et de les déchiffrer. Donc, au lieu de fouiller dans ces chiffres, il serait peut-être plus facile d'approcher la fille que vous aimez et de lui demander un numéro? .. Mais pour ceux qui ne recherchent pas d'astuces, eh bien, ou simplement intéressés par ce qu'est le nombre Pi, Je propose plusieurs méthodes de calculs. Comptez sur la santé.

Quelle est la valeur de Pi ? Méthodes pour son calcul:

1. Méthode expérimentale. Si pi est le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, alors peut-être que la première et la plus évidente façon de trouver notre constante mystérieuse serait de prendre manuellement toutes les mesures et de calculer pi en utilisant la formule π=l/d. Où l est la circonférence du cercle et d est son diamètre. Tout est très simple, il vous suffit de vous armer d'un fil pour déterminer la circonférence, d'une règle pour trouver le diamètre et, en fait, de la longueur du fil lui-même, et bien d'une calculatrice si vous avez des problèmes de division dans une colonne. Une casserole ou un bocal de concombres peut faire office d'échantillon mesuré, peu importe, l'essentiel ? de sorte que la base est un cercle.

La méthode de calcul considérée est la plus simple, mais malheureusement, elle présente deux inconvénients importants qui affectent la précision du nombre Pi résultant. Premièrement, l'erreur des instruments de mesure (dans notre cas, il s'agit d'une règle avec un fil), et deuxièmement, il n'y a aucune garantie que le cercle que nous mesurons aura la forme correcte. Par conséquent, il n'est pas surprenant que les mathématiques nous aient donné de nombreuses autres méthodes pour calculer π, où il n'est pas nécessaire de faire des mesures précises.

2. Série de Leibniz. Il existe plusieurs séries infinies qui vous permettent de calculer avec précision le nombre de pi à un grand nombre de décimales. L'une des séries les plus simples est la série de Leibniz. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
C'est simple : nous prenons des fractions avec 4 au numérateur (c'est celui du haut) et un nombre de la séquence de nombres impairs au dénominateur (c'est celui du bas), les additionnons et les soustrayons séquentiellement les uns avec les autres et obtenir le nombre Pi. Plus il y a d'itérations ou de répétitions de nos actions simples, plus le résultat est précis. Simple, mais pas efficace, soit dit en passant, il faut 500 000 itérations pour obtenir la valeur exacte de Pi à dix décimales près. Autrement dit, nous devrons diviser les quatre malheureux jusqu'à 500 000 fois, et en plus de cela, nous devrons soustraire et additionner les résultats obtenus 500 000 fois. Vouloir essayer?

3. La série Nilakanta. Pas le temps de jouer avec Leibniz ensuite ? Il existe une alternative. La série Nilakanta, bien qu'elle soit un peu plus compliquée, nous permet d'obtenir plus rapidement le résultat souhaité. π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) ... Je pense que si vous regardez attentivement le fragment initial donné de la série, tout devient clair et les commentaires sont superflus. Là-dessus on va plus loin.

4. Méthode de Monte-Carlo Une méthode assez intéressante pour calculer pi est la méthode de Monte Carlo. Un tel nom extravagant qu'il a obtenu en l'honneur de la ville du même nom dans le royaume de Monaco. Et la raison en est aléatoire. Non, il n'a pas été nommé par hasard, c'est juste que la méthode est basée sur des nombres aléatoires, et quoi de plus aléatoire que les numéros qui tombent sur les roulettes du casino de Monte Carlo ? Le calcul de pi n'est pas la seule application de cette méthode, puisque dans les années cinquante elle était utilisée dans les calculs de la bombe à hydrogène. Mais ne digressons pas.

Prenons un carré de côté égal à 2r, et y inscrire un cercle de rayon r. Maintenant, si vous mettez des points au hasard dans un carré, alors la probabilité P qu'un point rentre dans un cercle est le rapport des aires du cercle et du carré. P \u003d S cr / S q \u003d 2πr 2 / (2r) 2 \u003d π / 4.

Maintenant, à partir d'ici, nous exprimons le nombre Pi π=4P. Il ne reste plus qu'à obtenir des données expérimentales et à trouver la probabilité P comme le rapport des résultats dans le cercle N cr frapper la place N². En général, la formule de calcul ressemblera à ceci : π=4N cr / N².

Je voudrais noter que pour mettre en œuvre cette méthode, il n'est pas nécessaire d'aller au casino, il suffit d'utiliser n'importe quel langage de programmation plus ou moins décent. Eh bien, la précision des résultats dépendra du nombre de points définis, respectivement, le plus, le plus précis. Je vous souhaite bonne chance 😉

Nombre Tau (au lieu de conclure).

Les personnes éloignées des mathématiques ne le savent probablement pas, mais il se trouve que le nombre Pi a un frère deux fois plus grand que lui. Ce nombre est Tau(τ), et si Pi est le rapport de la circonférence au diamètre, alors Tau est le rapport de cette longueur au rayon. Et aujourd'hui, certains mathématiciens proposent d'abandonner le nombre Pi et de le remplacer par Tau, car cela est à bien des égards plus pratique. Mais jusqu'à présent, ce ne sont que des propositions, et comme l'a dit Lev Davidovich Landau : "Une nouvelle théorie commence à dominer lorsque les partisans de l'ancienne s'éteignent."