Comment convertir une expression en une valeur identique. Identités, définition, notation, exemples

Sujet "Preuves d'identité» 7e année (KRO)

Manuel Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.

Objectifs de la leçon

Éducatif:

connaître et consolider dans un premier temps les notions d'"expressions identiques à l'identique", "d'identité", de "transformations à l'identique" ;

examiner les moyens de prouver les identités, contribuer au développement des compétences pour prouver les identités ;

vérifier l'assimilation par les étudiants de la matière couverte, former les compétences d'application de l'étudié pour la perception du nouveau.

Développement:

Développer un discours mathématique compétent des élèves (enrichir et compliquer vocabulaire lors de l'utilisation de termes mathématiques spéciaux),

développer la réflexion,

Éducatif: cultiver l'assiduité, la précision, l'exactitude de l'enregistrement de la solution des exercices.

Type de leçon : apprentissage de nouveau matériel

Pendant les cours

1 . Organisation du temps.

Vérification des devoirs.

Questions sur les devoirs.

Débriefing au tableau.

Mathématiques nécessaires
C'est impossible sans elle
Nous enseignons, nous enseignons, amis,
De quoi se souvient-on le matin ?

2 . Faisons un entraînement.

Résultat de l'addition. (Somme)

Combien de nombres connaissez-vous ? (Dix)

Centième de nombre. (Pour cent)

résultat de division ? (Privé)

Le plus petit nombre naturel ? (une)

Est-il possible de diviser nombres naturels obtenir zéro ? (Non)

Quel est le plus grand entier négatif. (-une)

Par quel nombre ne peut pas être divisé ? (0)

Résultat de la multiplication ? (Travailler)

Le résultat de la soustraction. (Différence)

Propriété commutative de l'addition. (La somme ne change pas du réarrangement des places des termes)

Propriété commutative de la multiplication. (Le produit ne change pas de la permutation des places des facteurs)

L'étude nouveau sujet(définition avec une note dans un carnet)

Trouver la valeur des expressions à x=5 et y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3a=3*5+3*4=27

Nous avons obtenu le même résultat. Il découle de la propriété distributive qu'en général, pour toutes les valeurs des variables, les valeurs des expressions 3(x + y) et 3x + 3y sont égales.

Considérons maintenant les expressions 2x + y et 2xy. Pour x=1 et y=2 ils prennent des valeurs égales :

Cependant, vous pouvez spécifier des valeurs x et y telles que les valeurs de ces expressions ne soient pas égales. Par exemple, si x=3, y=4, alors

Définition: Deux expressions dont les valeurs sont égales pour toutes les valeurs des variables sont dites identiques à l'identique.

Les expressions 3(x+y) et 3x+3y sont identiquement égales, mais les expressions 2x+y et 2xy ne sont pas identiquement égales.

L'égalité 3(x + y) et 3x + 3y est vraie pour toutes les valeurs de x et y. De telles égalités sont appelées identités.

Définition: Une égalité qui est vraie pour toutes les valeurs des variables est appelée une identité.

Les véritables égalités numériques sont également considérées comme des identités. Nous avons déjà rencontré des identités. Les identités sont des égalités qui expriment les propriétés de base des actions sur les nombres (les élèves commentent chaque propriété en la prononçant).

une + b = b + une
ab=ba
(une + b) + c = une + (b + c)
(ab)c = un(bc)
a(b + c) = ab + ac

Donner d'autres exemples d'identités

Définition: Le remplacement d'une expression par une autre, identiquement égale à elle, s'appelle une transformation à l'identique ou simplement une transformation d'une expression.

Des transformations identiques d'expressions avec des variables sont effectuées en fonction des propriétés des opérations sur les nombres.

Les transformations d'identité des expressions sont largement utilisées pour calculer les valeurs des expressions et résoudre d'autres problèmes. Vous avez déjà dû effectuer des transformations identiques, par exemple, réduction de termes similaires, expansion de parenthèses.

5 . N ° 691, n ° 692 (avec prononciation des règles d'ouverture des parenthèses, multiplication des nombres négatifs et positifs)

Identités pour choisir une solution rationnelle :(travail frontal)

6 . Résumé de la leçon.

Le professeur pose des questions et les élèves y répondent comme ils le souhaitent.

Quelles sont les deux expressions dites identiques à l'identique ? Donne des exemples.

Quelle égalité est appelée identité ? Donne un exemple.

Quelles transformations identiques connaissez-vous ?

7. Devoirs. Apprendre des définitions, Donner des exemples d'expressions identiques (au moins 5), les écrire dans un cahier

Cet article propose une première notion d'identité. Ici, nous définissons l'identité, introduisons la notation utilisée et, bien sûr, donnons divers exemples identités

Navigation dans les pages.

Qu'est-ce que l'identité ?

Il est logique de commencer la présentation du matériel par définitions d'identité. Dans le manuel de Yu. N. Makarychev, algèbre pour 7 classes, la définition de l'identité est donnée comme suit:

Définition.

Identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs des variables ; toute véritable égalité numérique est aussi une identité.

Dans le même temps, l'auteur précise immédiatement qu'à l'avenir cette définition sera clarifiée. Cette clarification a lieu en 8e année, après s'être familiarisé avec la définition des valeurs acceptables des variables et ODZ. La définition devient :

Définition.

Identités sont de vraies égalités numériques, ainsi que des égalités vraies pour toutes les valeurs admissibles des variables qui y sont incluses.

Alors pourquoi, lors de la définition d'une identité, en 7e année, nous parlons de toutes les valeurs des variables, et en 8e année, nous commençons à parler des valeurs des variables à partir de leur DPV ? Jusqu'en 8e année, le travail est effectué exclusivement avec des expressions entières (en particulier avec des monômes et des polynômes), et ils ont un sens pour toutes les valeurs des variables qu'ils contiennent. Par conséquent, en 7e année, on dit que l'identité est une égalité qui est vraie pour toutes les valeurs des variables. Et en 8e année, des expressions apparaissent qui ont déjà un sens non pas pour toutes les valeurs de variables, mais uniquement pour les valeurs de leur ODZ. Par conséquent, par identités, nous commençons à appeler des égalités qui sont vraies pour toutes les valeurs admissibles des variables.

L'identité est donc cas particulierégalité. Autrement dit, toute identité est une égalité. Mais toute égalité n'est pas une identité, mais seulement une égalité qui est vraie pour toutes les valeurs de variables de leur plage de valeurs acceptables.

Signe d'identité

On sait qu'en écrivant des égalités, on utilise un signe égal de la forme "=", à gauche et à droite duquel se trouvent des nombres ou des expressions. Si nous ajoutons une ligne horizontale supplémentaire à ce signe, nous obtenons signe d'identité"≡", ou comme on l'appelle aussi signe égal.

Le signe d'identité n'est généralement utilisé que lorsqu'il est nécessaire de souligner que nous avons devant nous non seulement l'égalité, mais précisément l'identité. Dans d'autres cas, les registres des identités ne diffèrent pas formellement des égalités.

Exemples d'identité

Il est temps d'apporter exemples d'identités. La définition de l'identité donnée dans le premier paragraphe nous y aidera.

Les égalités numériques 2=2 sont des exemples d'identités, puisque ces égalités sont vraies, et toute égalité numérique vraie est, par définition, une identité. Ils peuvent s'écrire 2≡2 et .

Les égalités numériques de la forme 2+3=5 et 7−1=2·3 sont aussi des identités, puisque ces égalités sont vraies. Autrement dit, 2+3≡5 et 7−1≡2 3 .

Passons à des exemples d'identités qui contiennent non seulement des nombres, mais aussi des variables dans leur notation.

Considérons l'égalité 3·(x+1)=3·x+3 . Pour toute valeur de la variable x, l'égalité écrite est vraie en raison de la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition, par conséquent, l'égalité d'origine est un exemple d'identité. Voici un autre exemple d'identité : y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, ici la plage de valeurs valides pour les variables x et y est toutes les paires (x, y) , où x et y sont tous les nombres sauf zéro.

Mais les égalités x+1=x−1 et a+2 b=b+2 a ne sont pas des identités, puisqu'il y a des valeurs des variables pour lesquelles ces égalités seront incorrectes. Par exemple, pour x=2 l'égalité x+1=x−1 devient la mauvaise égalité 2+1=2−1 . De plus, l'égalité x+1=x−1 n'est pas du tout atteinte pour toutes les valeurs de la variable x . Et l'égalité a+2 b=b+2 a se transforme en une égalité incorrecte si on prend diverses significations variables a et b. Par exemple, avec a=0 et b=1, on arrivera à la mauvaise égalité 0+2 1=1+2 0 . Égalité |x|=x , où |x| - la variable x , n'est pas non plus une identité, puisqu'elle n'est pas vraie pour valeurs négatives X .

Des exemples des identités les plus connues sont sin 2 α+cos 2 α=1 et a log a b =b .

En conclusion de cet article, je voudrais souligner que lorsque nous étudions les mathématiques, nous rencontrons constamment des identités. Les enregistrements de propriété d'action numérique sont des identités, par exemple, a+b=b+a , 1 a=a , 0 a=0 et a+(−a)=0 . De plus, les identités sont

Propriétés de base de l'addition et de la multiplication des nombres.

Propriété commutative de l'addition : lorsque les termes sont réarrangés, la valeur de la somme ne change pas. Pour tous les nombres a et b, l'égalité est vraie

La propriété associative de l'addition : pour ajouter un troisième nombre à la somme de deux nombres, vous pouvez additionner la somme du deuxième et du troisième au premier nombre. Pour tous les nombres a, b et c l'égalité est vraie

Propriété commutative de la multiplication : la permutation des facteurs ne change pas la valeur du produit. Pour tous les nombres a, b et c, l'égalité est vraie

La propriété associative de la multiplication : pour multiplier le produit de deux nombres par un troisième nombre, vous pouvez multiplier le premier nombre par le produit du deuxième et du troisième.

Pour tous les nombres a, b et c, l'égalité est vraie

Propriété distributive : pour multiplier un nombre par une somme, vous pouvez multiplier ce nombre par chaque terme et additionner les résultats. Pour tous les nombres a, b et c l'égalité est vraie

Il découle des propriétés commutatives et associatives de l'addition que, dans n'importe quelle somme, vous pouvez réorganiser les termes comme vous le souhaitez et les combiner en groupes de manière arbitraire.

Exemple 1 Calculons la somme 1,23+13,5+4,27.

Pour ce faire, il convient de combiner le premier terme avec le troisième. On a:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Cela découle des propriétés commutatives et associatives de la multiplication : dans n'importe quel produit, vous pouvez réorganiser les facteurs de n'importe quelle manière et les combiner arbitrairement en groupes.

Exemple 2 Trouvons la valeur du produit 1,8 0,25 64 0,5.

En combinant le premier facteur avec le quatrième, et le second avec le troisième, on aura :

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

La propriété de distribution est également valide lorsque le nombre est multiplié par la somme de trois termes ou plus.

Par exemple, pour tous les nombres a, b, c et d, l'égalité est vraie

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

On sait que la soustraction peut être remplacée par l'addition en ajoutant à la minuende le nombre opposé à la soustraction :

Cela permet une expression numérique tapez a-b considérons la somme des nombres a et -b, considérons une expression numérique de la forme a + b-c-d comme la somme des nombres a, b, -c, -d, etc. Les propriétés considérées des actions sont également valables pour de telles sommes.

Exemple 3 Trouvons la valeur de l'expression 3,27-6,5-2,5+1,73.

Cette expression est la somme des nombres 3,27, -6,5, -2,5 et 1,73. En appliquant les propriétés d'addition, nous obtenons : 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -quatre.

Exemple 4 Calculons le produit 36·().

Le multiplicateur peut être considéré comme la somme des nombres et -. En utilisant la propriété distributive de la multiplication, on obtient :

36()=36-36=9-10=-1.

Identités

Définition. Deux expressions dont les valeurs correspondantes sont égales pour toutes les valeurs des variables sont dites identiques à l'identique.

Définition. Une égalité qui est vraie pour toutes les valeurs des variables est appelée une identité.

Trouvons les valeurs des expressions 3(x+y) et 3x+3y pour x=5, y=4 :

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3a=3 5+3 4=15+12=27.

Nous avons obtenu le même résultat. Il découle de la propriété distributive qu'en général, pour toutes les valeurs des variables, les valeurs correspondantes des expressions 3(x+y) et 3x+3y sont égales.

Considérons maintenant les expressions 2x+y et 2xy. Pour x=1, y=2 ils prennent des valeurs égales :

Cependant, vous pouvez spécifier des valeurs x et y telles que les valeurs de ces expressions ne soient pas égales. Par exemple, si x=3, y=4, alors

Les expressions 3(x+y) et 3x+3y sont identiquement égales, mais les expressions 2x+y et 2xy ne sont pas identiquement égales.

L'égalité 3(x+y)=x+3y, vraie pour toutes les valeurs de x et y, est une identité.

Les véritables égalités numériques sont également considérées comme des identités.

Ainsi, les identités sont des égalités exprimant les principales propriétés des actions sur les nombres :

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

D'autres exemples d'identités peuvent être donnés :

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformations identitaires des expressions

Le remplacement d'une expression par une autre, identiquement égale à elle, s'appelle une transformation à l'identique ou simplement une transformation d'une expression.

Des transformations identiques d'expressions avec des variables sont effectuées en fonction des propriétés des opérations sur les nombres.

Pour trouver la valeur de l'expression xy-xz compte tenu des valeurs x, y, z, vous devez effectuer trois étapes. Par exemple, avec x=2.3, y=0.8, z=0.2 on obtient :

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Ce résultat peut être obtenu en deux étapes seulement, en utilisant l'expression x(y-z), qui est identiquement égale à l'expression xy-xz :

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Nous avons simplifié les calculs en remplaçant l'expression xy-xz par l'expression identiquement égale x(y-z).

Les transformations d'identité des expressions sont largement utilisées pour calculer les valeurs des expressions et résoudre d'autres problèmes. Certaines transformations identiques ont déjà été effectuées, par exemple, la réduction de termes similaires, l'ouverture de parenthèses. Rappelons les règles pour effectuer ces transformations :

pour apporter des termes similaires, vous devez additionner leurs coefficients et multiplier le résultat par la partie commune des lettres ;

s'il y a un signe plus devant les parenthèses, alors les parenthèses peuvent être omises, en conservant le signe de chaque terme entre parenthèses ;

s'il y a un signe moins avant les crochets, alors les crochets peuvent être omis en changeant le signe de chaque terme entre crochets.

Exemple 1 Ajoutons des termes semblables dans la somme 5x+2x-3x.

Nous utilisons la règle de réduction des termes semblables :

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Cette transformation est basée sur la propriété distributive de la multiplication.

Exemple 2 Développons les parenthèses dans l'expression 2a+(b-3c).

En appliquant la règle des parenthèses ouvrantes précédées d'un signe plus :

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

La transformation effectuée est basée sur la propriété associative de l'addition.

Exemple 3 Développons les parenthèses dans l'expression a-(4b-c).

Utilisons la règle pour développer les parenthèses précédées d'un signe moins :

a-(4b-c)=a-4b+c.

La transformation effectuée est basée sur la propriété distributive de la multiplication et la propriété associative de l'addition. Montrons-le. Représentons le deuxième terme -(4b-c) dans cette expression comme un produit (-1)(4b-c) :

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

En appliquant ces propriétés des actions, on obtient :

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Au cours de l'étude de l'algèbre, nous sommes tombés sur les notions de polynôme (par exemple ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ etc.) et de fraction algébrique (par exemple $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ etc.) La similarité de ces concepts est qu'à la fois dans les polynômes et dans les fractions algébriques il y a variables et valeurs numériques, opérations arithmétiques: addition, soustraction, multiplication, exponentiation. La différence entre ces concepts est que la division par une variable n'est pas effectuée en polynômes, tandis que la division par une variable peut être effectuée en fractions algébriques.

Les polynômes et les fractions algébriques sont appelés expressions algébriques rationnelles en mathématiques. Mais les polynômes sont des expressions rationnelles entières, et les fractions algébriques sont fractionnellement rationnel expressions.

Peut être obtenu à partir de fractions --expression rationnelle ensemble expression algébrique en utilisant la transformation identique, qui dans ce cas sera la propriété principale d'une fraction - réduction de fractions. Vérifions-le en pratique :

Exemple 1

Transformer :$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

La solution: Convertir donné équation rationnelle fractionnaire possible en utilisant la propriété principale fractions - abréviations, c'est à dire. en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre ou une expression autre que $0$.

Cette fraction ne peut pas être réduite immédiatement, il faut convertir le numérateur.

On transforme l'expression au numérateur de la fraction, pour cela on utilise la formule du carré de la différence : $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

La fraction a la forme

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

Maintenant, nous voyons qu'il y a un facteur commun au numérateur et au dénominateur - c'est l'expression $x-2$, sur laquelle nous allons réduire la fraction

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

Après réduction, nous avons obtenu que l'expression fractionnaire-rationnelle originale $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ est devenue un polynôme $x-2$, c'est-à-dire tout rationnel.

Faisons maintenant attention au fait que les expressions $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ et $x-2\ $ peuvent être considérées comme identiques pas pour toutes les valeurs de la variable, car pour qu'une expression fractionnaire-rationnelle existe et pour que la réduction par le polynôme $x-2$ soit possible, il faut que le dénominateur de la fraction ne soit pas égal à $0$ (ainsi que le facteur par lequel on réduit. Dans cet exemple le dénominateur et le multiplicateur sont les mêmes, mais ce n'est pas toujours le cas).

Les valeurs variables pour lesquelles la fraction algébrique existera sont appelées valeurs variables valides.

On pose une condition sur le dénominateur de la fraction : $x-2≠0$, puis $x≠2$.

Ainsi les expressions $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ et $x-2$ sont identiques pour toutes les valeurs de la variable sauf $2$.

Définition 1

identiquement égal Les expressions sont celles qui sont égales pour toutes les valeurs possibles de la variable.

Une transformation identique est tout remplacement de l'expression originale par une expression identiquement égale. Ces transformations incluent les actions suivantes : addition, soustraction, multiplication, parenthèses fractions algébriquesà un dénominateur commun, réduction de fractions algébriques, réduction de termes semblables, etc. Il faut tenir compte du fait qu'un certain nombre de transformations, telles que la réduction, la réduction de termes similaires, peuvent modifier les valeurs admissibles de la variable.

Techniques utilisées pour prouver les identités

Convertir le côté gauche de l'identité vers le côté droit ou vice versa à l'aide de transformations d'identité

Réduire les deux parties à la même expression en utilisant des transformations identiques

Déplacez les expressions d'une partie de l'expression à une autre et prouvez que la différence résultante est égale à $0$

Laquelle des méthodes ci-dessus à utiliser pour prouver une identité donnée dépend de l'identité d'origine.

Exemple 2

Prouver l'identité $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

La solution: Pour prouver cette identité, nous utilisons la première des méthodes ci-dessus, à savoir, nous transformerons le côté gauche de l'identité jusqu'à ce qu'il soit égal au côté droit.

Considérons le côté gauche de l'identité : $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- c'est la différence de deux polynômes. Dans ce cas, le premier polynôme est le carré de la somme de trois termes. Pour élever au carré la somme de plusieurs termes, on utilise la formule :

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Pour cela, il faut multiplier un nombre par un polynôme. Rappelons que pour cela il faut multiplier le facteur commun hors parenthèses par chaque terme du polynôme entre parenthèses. On obtient alors :

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Revenons maintenant au polynôme d'origine, il prendra la forme :

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Notez qu'il y a un signe "-" devant la parenthèse, ce qui signifie que lorsque les parenthèses sont ouvertes, tous les signes qui étaient entre parenthèses sont inversés.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= une ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Si nous apportons des termes similaires, alors nous obtenons que les monômes $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ et $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ s'annulent, c'est-à-dire leur somme est égale à $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= une ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Ainsi, par des transformations identiques, nous avons obtenu expression identique sur le côté gauche de l'identité d'origine

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Notez que l'expression résultante montre que l'identité d'origine est vraie.

Notez que dans l'identité d'origine, toutes les valeurs de la variable sont autorisées, ce qui signifie que nous avons prouvé l'identité en utilisant des transformations identiques, et c'est vrai pour toutes les valeurs autorisées de la variable.