Que signifie identiquement égal ? Expressions égales identiques : définition, exemples

Au cours de l'étude de l'algèbre, nous sommes tombés sur les notions de polynôme (par exemple ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ etc.) et de fraction algébrique (par exemple $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ etc.) La similarité de ces concepts est qu'à la fois dans les polynômes et dans les fractions algébriques il y a variables et valeurs numériques, opérations arithmétiques: addition, soustraction, multiplication, exponentiation. La différence entre ces concepts est que la division par une variable n'est pas effectuée en polynômes, tandis que la division par une variable peut être effectuée en fractions algébriques.

Les polynômes et les fractions algébriques sont appelés expressions algébriques rationnelles en mathématiques. Mais les polynômes sont des expressions rationnelles entières, et les fractions algébriques sont fractionnellement rationnel expressions.

Vous pouvez obtenir un entier à partir d'une expression fractionnaire-rationnelle expression algébrique en utilisant la transformation identique, qui dans ce cas sera la propriété principale d'une fraction - réduction de fractions. Vérifions-le en pratique :

Exemple 1

Transformer :$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

La solution: Convertir donné équation rationnelle fractionnaire possible en utilisant la propriété principale fractions - abréviations, c'est à dire. en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre ou une expression autre que $0$.

Cette fraction ne peut pas être réduite immédiatement, il faut convertir le numérateur.

On transforme l'expression au numérateur de la fraction, pour cela on utilise la formule du carré de la différence : $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

La fraction a la forme

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

Maintenant, nous voyons qu'il y a un facteur commun au numérateur et au dénominateur - c'est l'expression $x-2$, sur laquelle nous allons réduire la fraction

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

Après réduction, on obtient que l'original expression rationnelle fractionnaire$\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ est devenu un polynôme $x-2$, c'est-à-dire tout rationnel.

Faisons maintenant attention au fait que les expressions $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ et $x-2\ $ peuvent être considérées comme identiques pas pour toutes les valeurs de la variable, car pour qu'une expression fractionnaire-rationnelle existe et pour que la réduction par le polynôme $x-2$ soit possible, il faut que le dénominateur de la fraction ne soit pas égal à $0$ (ainsi que le facteur par lequel on réduit. Dans cet exemple le dénominateur et le multiplicateur sont les mêmes, mais ce n'est pas toujours le cas).

Les valeurs variables pour lesquelles la fraction algébrique existera sont appelées valeurs variables valides.

On pose une condition sur le dénominateur de la fraction : $x-2≠0$, puis $x≠2$.

Ainsi les expressions $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ et $x-2$ sont identiques pour toutes les valeurs de la variable sauf $2$.

Définition 1

identiquement égal Les expressions sont celles qui sont égales pour toutes les valeurs possibles de la variable.

Une transformation identique est tout remplacement de l'expression originale par une expression identiquement égale. Ces transformations incluent les actions suivantes : addition, soustraction, multiplication, parenthèses fractions algébriquesà un dénominateur commun, réduction de fractions algébriques, réduction de termes semblables, etc. Il faut tenir compte du fait qu'un certain nombre de transformations, telles que la réduction, la réduction de termes similaires, peuvent modifier les valeurs admissibles de la variable.

Techniques utilisées pour prouver les identités

Convertir le côté gauche de l'identité vers le côté droit ou vice versa à l'aide de transformations d'identité

Réduire les deux parties à la même expression en utilisant des transformations identiques

Déplacez les expressions d'une partie de l'expression à une autre et prouvez que la différence résultante est égale à $0$

Laquelle des méthodes ci-dessus à utiliser pour prouver une identité donnée dépend de l'identité d'origine.

Exemple 2

Prouver l'identité $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

La solution: Pour prouver cette identité, nous utilisons la première des méthodes ci-dessus, à savoir, nous transformerons le côté gauche de l'identité jusqu'à ce qu'il soit égal au côté droit.

Considérons le côté gauche de l'identité : $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- c'est la différence de deux polynômes. Dans ce cas, le premier polynôme est le carré de la somme de trois termes. Pour élever au carré la somme de plusieurs termes, on utilise la formule :

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Pour cela, il faut multiplier un nombre par un polynôme. Rappelons que pour cela il faut multiplier le facteur commun hors parenthèses par chaque terme du polynôme entre parenthèses. On obtient alors :

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Revenons maintenant au polynôme d'origine, il prendra la forme :

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Notez qu'il y a un signe "-" devant la parenthèse, ce qui signifie que lorsque les parenthèses sont ouvertes, tous les signes qui étaient entre parenthèses sont inversés.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= une ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Si nous apportons des termes similaires, alors nous obtenons que les monômes $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ et $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ s'annulent, c'est-à-dire leur somme est égale à $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= une ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Ainsi, par des transformations identiques, nous avons obtenu l'expression identique du côté gauche de l'identité originale

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Notez que l'expression résultante montre que l'identité d'origine est vraie.

Notez que dans l'identité d'origine, toutes les valeurs de la variable sont autorisées, ce qui signifie que nous avons prouvé l'identité en utilisant des transformations identiques, et c'est vrai pour toutes les valeurs autorisées de la variable.

Les nombres et les expressions qui composent l'expression d'origine peuvent être remplacés par des expressions qui leur sont identiques. Une telle transformation de l'expression originale conduit à une expression qui lui est identiquement égale.

Par exemple, dans l'expression 3+x, le nombre 3 peut être remplacé par la somme 1+2 , ce qui donne l'expression (1+2)+x , qui est identiquement égale à l'expression d'origine. Autre exemple : dans l'expression 1+a 5 le degré de a 5 peut être remplacé par un produit identiquement égal à lui, par exemple de la forme a·a 4 . Cela nous donnera l'expression 1+a·a 4 .

Cette transformation est sans aucun doute artificielle et constitue généralement une préparation à une transformation ultérieure. Par exemple, dans la somme 4·x 3 +2·x 2 , compte tenu des propriétés du degré, le terme 4·x 3 peut être représenté comme un produit 2·x 2 ·2·x . Après une telle transformation, l'expression originale prendra la forme 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . De toute évidence, les termes de la somme résultante ont un facteur commun 2 x 2, nous pouvons donc effectuer la transformation suivante - parenthèses. Après cela, nous arriverons à l'expression : 2 x 2 (2 x+1) .

Additionner et soustraire le même nombre

Une autre transformation artificielle d'une expression est l'addition et la soustraction du même nombre ou de la même expression en même temps. Une telle transformation est identique, puisqu'elle équivaut en fait à ajouter zéro, et l'ajout de zéro ne change pas la valeur.

Prenons un exemple. Prenons l'expression x 2 +2 x . Si vous en ajoutez un et en soustrayez un, cela vous permettra d'effectuer une autre transformation identique à l'avenir - sélectionner le carré du binôme: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliographie.

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• Mordkovitch A.G. Algèbre. 7e année. A 14h Partie 1. Cahier de l'élève les établissements d'enseignement/ A. G. Mordkovitch. - 17e éd., ajouter. - M. : Mnemozina, 2013. - 175 p. : ill. ISBN 978-5-346-02432-3.

Propriétés de base de l'addition et de la multiplication des nombres.

Propriété commutative de l'addition : lorsque les termes sont réarrangés, la valeur de la somme ne change pas. Pour tous les nombres a et b, l'égalité est vraie

La propriété associative de l'addition : pour ajouter un troisième nombre à la somme de deux nombres, vous pouvez additionner la somme du deuxième et du troisième au premier nombre. Pour tous les nombres a, b et c l'égalité est vraie

Propriété commutative de la multiplication : la permutation des facteurs ne change pas la valeur du produit. Pour tous les nombres a, b et c, l'égalité est vraie

La propriété associative de la multiplication : pour multiplier le produit de deux nombres par un troisième nombre, vous pouvez multiplier le premier nombre par le produit du deuxième et du troisième.

Pour tous les nombres a, b et c, l'égalité est vraie

Propriété distributive : pour multiplier un nombre par une somme, vous pouvez multiplier ce nombre par chaque terme et additionner les résultats. Pour tous les nombres a, b et c l'égalité est vraie

Il découle des propriétés commutatives et associatives de l'addition que, dans n'importe quelle somme, vous pouvez réorganiser les termes comme vous le souhaitez et les combiner en groupes de manière arbitraire.

Exemple 1 Calculons la somme 1,23+13,5+4,27.

Pour ce faire, il convient de combiner le premier terme avec le troisième. On a:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Cela découle des propriétés commutatives et associatives de la multiplication : dans n'importe quel produit, vous pouvez réorganiser les facteurs de n'importe quelle manière et les combiner arbitrairement en groupes.

Exemple 2 Trouvons la valeur du produit 1,8 0,25 64 0,5.

En combinant le premier facteur avec le quatrième, et le second avec le troisième, on aura :

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

La propriété de distribution est également valide lorsque le nombre est multiplié par la somme de trois termes ou plus.

Par exemple, pour tous les nombres a, b, c et d, l'égalité est vraie

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

On sait que la soustraction peut être remplacée par l'addition en ajoutant à la minuende le nombre opposé à la soustraction :

Cela permet une expression numérique tapez a-b considérons la somme des nombres a et -b, considérons une expression numérique de la forme a + b-c-d comme la somme des nombres a, b, -c, -d, etc. Les propriétés considérées des actions sont également valables pour de telles sommes.

Exemple 3 Trouvons la valeur de l'expression 3,27-6,5-2,5+1,73.

Cette expression est la somme des nombres 3,27, -6,5, -2,5 et 1,73. En appliquant les propriétés d'addition, nous obtenons : 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -quatre.

Exemple 4 Calculons le produit 36·().

Le multiplicateur peut être considéré comme la somme des nombres et -. En utilisant la propriété distributive de la multiplication, on obtient :

36()=36-36=9-10=-1.

Identités

Définition. Deux expressions dont les valeurs correspondantes sont égales pour toutes les valeurs des variables sont dites identiques à l'identique.

Définition. Une égalité qui est vraie pour toutes les valeurs des variables est appelée une identité.

Trouvons les valeurs des expressions 3(x+y) et 3x+3y pour x=5, y=4 :

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3a=3 5+3 4=15+12=27.

Nous avons obtenu le même résultat. Il découle de la propriété distributive qu'en général, pour toutes les valeurs des variables, les valeurs correspondantes des expressions 3(x+y) et 3x+3y sont égales.

Considérons maintenant les expressions 2x+y et 2xy. Pour x=1, y=2 ils prennent des valeurs égales :

Cependant, vous pouvez spécifier des valeurs x et y telles que les valeurs de ces expressions ne soient pas égales. Par exemple, si x=3, y=4, alors

Les expressions 3(x+y) et 3x+3y sont identiquement égales, mais les expressions 2x+y et 2xy ne sont pas identiquement égales.

L'égalité 3(x+y)=x+3y, vraie pour toutes les valeurs de x et y, est une identité.

Les véritables égalités numériques sont également considérées comme des identités.

Ainsi, les identités sont des égalités exprimant les principales propriétés des actions sur les nombres :

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

D'autres exemples d'identités peuvent être donnés :

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformations identitaires des expressions

Le remplacement d'une expression par une autre, identiquement égale à elle, s'appelle transformation identitaire ou simplement en convertissant une expression.

Des transformations identiques d'expressions avec des variables sont effectuées en fonction des propriétés des opérations sur les nombres.

Pour trouver la valeur de l'expression xy-xz compte tenu des valeurs x, y, z, vous devez effectuer trois étapes. Par exemple, avec x=2.3, y=0.8, z=0.2 on obtient :

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Ce résultat peut être obtenu en deux étapes seulement, en utilisant l'expression x(y-z), qui est identiquement égale à l'expression xy-xz :

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Nous avons simplifié les calculs en remplaçant l'expression xy-xz par l'identique expression égale x(y-z).

Les transformations d'identité des expressions sont largement utilisées pour calculer les valeurs des expressions et résoudre d'autres problèmes. Certaines transformations identiques ont déjà été effectuées, par exemple, la réduction de termes similaires, l'ouverture de parenthèses. Rappelons les règles pour effectuer ces transformations :

pour apporter des termes similaires, vous devez additionner leurs coefficients et multiplier le résultat par la partie commune des lettres ;

s'il y a un signe plus devant les parenthèses, alors les parenthèses peuvent être omises, en conservant le signe de chaque terme entre parenthèses ;

s'il y a un signe moins avant les crochets, alors les crochets peuvent être omis en changeant le signe de chaque terme entre crochets.

Exemple 1 Ajoutons des termes semblables dans la somme 5x+2x-3x.

Nous utilisons la règle de réduction des termes semblables :

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Cette transformation est basée sur la propriété distributive de la multiplication.

Exemple 2 Développons les parenthèses dans l'expression 2a+(b-3c).

En appliquant la règle des parenthèses ouvrantes précédées d'un signe plus :

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

La transformation effectuée est basée sur la propriété associative de l'addition.

Exemple 3 Développons les parenthèses dans l'expression a-(4b-c).

Utilisons la règle pour développer les parenthèses précédées d'un signe moins :

a-(4b-c)=a-4b+c.

La transformation effectuée est basée sur la propriété distributive de la multiplication et la propriété associative de l'addition. Montrons-le. Représentons le deuxième terme -(4b-c) dans cette expression comme un produit (-1)(4b-c) :

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

En appliquant ces propriétés des actions, on obtient :

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Expressions identitaires, identité. Transformation identitaire d'une expression. Preuves d'identité

Trouvons les valeurs des expressions 2(x - 1) 2x - 2 pour les valeurs données de la variable x. Nous écrivons les résultats dans un tableau :

On peut en conclure que les valeurs des expressions 2(x - 1) 2x - 2 pour chaque valeur donnée variables x sont égales entre elles. Selon la propriété distributive de la multiplication par rapport à la soustraction 2(x - 1) = 2x - 2. Donc, pour toute autre valeur de la variable x, la valeur de l'expression 2(x - 1) 2x - 2 sera aussi égaux les uns aux autres. De telles expressions sont dites identiquement égales.

Par exemple, les expressions 2x + 3x et 5x sont synonymes, puisque pour chaque valeur de la variable x, ces expressions acquièrent les mêmes valeurs(ceci découle de la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition, puisque 2x + 3x = 5x).

Considérons maintenant les expressions 3x + 2y et 5xy. Si x \u003d 1 et b \u003d 1, alors les valeurs correspondantes de ces expressions sont égales entre elles :

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Cependant, vous pouvez spécifier des valeurs x et y pour lesquelles les valeurs de ces expressions ne seront pas égales entre elles. Par exemple, si x = 2 ; y = 0, alors

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Par conséquent, il existe de telles valeurs des variables pour lesquelles les valeurs correspondantes des expressions 3x + 2y et 5xy ne sont pas égales. Par conséquent, les expressions 3x + 2y et 5xy ne sont pas égales à l'identique.

Sur la base de ce qui précède, les identités, en particulier, sont des égalités : 2(x - 1) = 2x - 2 et 2x + 3x = 5x.

Une identité est toute égalité qui s'écrit propriétés connues actions sur les nombres. Par exemple,

une + b = b + une ; (une + b) + c = une + (b + c); a(b + c) = ab + ac ;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Il y a aussi des égalités comme des identités :

un + 0 = un; un ∙ 0 = 0 ; a ∙ (-b) = -ab ;

un + (-a) = 0 ; une ∙ 1 = une ; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Si nous réduisons des termes similaires dans l'expression -5x + 2x - 9, nous obtenons que 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. Dans ce cas, ils disent que l'expression 5x + 2x - 9 a été remplacée par l'expression 7x - 9, qui lui est identique.

Des transformations identiques d'expressions à variables sont réalisées en appliquant les propriétés des opérations sur les nombres. En particulier, les transformations identiques avec l'ouverture des parenthèses, la construction de termes similaires, etc.

Des transformations identiques doivent être effectuées lors de la simplification de l'expression, c'est-à-dire en remplaçant une expression par une expression qui lui est identiquement égale, qui doit être plus courte.

Exemple 1. Simplifiez l'expression :

1) -0,3m ∙ 5n ;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5 mn = -1,5 mn ;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13 ;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - un + 2 b + 3 b - un= 3a + 5b + 2.

Pour prouver que l'égalité est une identité (autrement dit, pour prouver l'identité, on utilise des transformations identité des expressions.

Vous pouvez prouver l'identité de l'une des manières suivantes :

• effectuer des transformations identiques de son côté gauche, le réduisant ainsi à la forme du côté droit ;
• effectuer des transformations identiques de son côté droit, le réduisant ainsi à la forme du côté gauche ;
• effectuer des transformations identiques de ses deux parties, élevant ainsi les deux parties aux mêmes expressions.

Exemple 2. Prouver l'identité :

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Développement

1) Transformons le côté gauche de cette égalité :

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Par des transformations identiques, l'expression du côté gauche de l'égalité a été réduite à la forme du côté droit et a ainsi prouvé que cette égalité est une identité.

2) Transformons le côté droit de cette égalité :

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Par des transformations identiques, le côté droit de l'égalité s'est réduit à la forme du côté gauche et a ainsi prouvé que cette égalité est une identité.

3) Dans ce cas, il convient de simplifier les parties gauche et droite de l'égalité et de comparer les résultats :

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Par des transformations identiques, les parties gauche et droite de l'égalité ont été réduites à la même forme : 26x - 44. Cette égalité est donc une identité.

Quelles expressions sont dites identiques ? Donnez un exemple d'expressions identiques. Quelle égalité est appelée identité ? Donnez un exemple d'identité. Qu'appelle-t-on la transformation identitaire d'une expression ? Comment prouver son identité ?

1. (Oral) Soit il y a des expressions identiquement égales :

1) 2a + a et 3a ;

2) 7x + 6 et 6 + 7x ;

3) x + x + x et x 3 ;

4) 2(x - 2) et 2x - 4 ;

5) m - n et n - m;

6) 2a ∙ r et 2p ∙ a ?

1. Les expressions sont-elles identiques :

1) 7x - 2x et 5x ;

2) 5a - 4 et 4 - 5a ;

3) 4m + n et n + 4m ;

4) a + a et a 2;

5) 3(a - 4) et 3a - 12;

6) 5m ∙ n et 5m + n ?

1. (Verbalement) L'identité de l'égalité est-elle :

1) 2a + 106 = 12ab ;

2) 7r - 1 = -1 + 7r ;

3) 3(x - y) = 3x - 5y ?

1. Parenthèse ouverte :

1. Parenthèse ouverte :

1. Réduire les termes similaires :

1. Nommez plusieurs expressions identiques aux expressions 2a + 3a.
2. Simplifiez l'expression en utilisant les propriétés permutantes et conjonctives de la multiplication :

1) -2,5 x ∙ 4 ;

2) 4p ∙ (-1,5) ;

3) 0,2 x ∙ (0,3g);

4)- x ∙<-7у).

1. Simplifiez l'expression :

1) -2p ∙ 3,5 ;

2) 7a ∙ (-1,2) ;

3) 0,2 x ∙ (-3y) ;

4) - 1m ∙ (-3n).

1. (Verbal) Simplifiez l'expression :

1) 2x - 9 + 5x ;

2) 7a - 3b + 2a + 3b ;

4) 4a ∙ (-2b).

1. Réduire les termes similaires :

1) 56 - 8a + 4b - une;

2) 17 - 2p + 3p + 19 ;

3) 1,8a + 1,9b + 2,8a - 2,9b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13 ;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2p - 7) - 2(g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. Ouvrez les parenthèses et réduisez les termes similaires :

1) 3(8a - 4) + 6a ;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20) si x = 2,4 ;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4 si a = 10 ;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), si m = -3,7 ;

4) 2x - 3(x + y) + 4y si x = -1, y = 1.

1. Simplifiez l'expression et trouvez sa valeur :

1) 0,7 x + 0,3(x - 4) si x = -0,7 ;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, si v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), si a = -1 ;

4) 5(m - n) - 4m + 7n si m = 1,8 ; n = -0,9.

1. Prouver l'identité :

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2 ;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x ;

4) s - 2 \u003d 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

1. Prouver l'identité :

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14 ;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. La longueur de l'un des côtés du triangle est d'un cm et la longueur de chacun des deux autres côtés est supérieure de 2 cm. Écrivez le périmètre du triangle sous forme d'expression et simplifiez l'expression.
2. La largeur du rectangle est de x cm et la longueur est supérieure de 3 cm à la largeur. Écrivez le périmètre du rectangle sous forme d'expression et simplifiez l'expression.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Développez les parenthèses et simplifiez l'expression :

1) un - (un - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5 ans - (6 ans - (7 ans - (8 ans - 1)) );

6) (2.1a - 2.8b) - (1a - 1b).

1. Prouver l'identité :

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

1. Prouver l'identité :

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Montrer que la valeur de l'expression

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) ne dépend pas de la valeur de la variable.

1. Montrer que pour toute valeur de la variable, la valeur de l'expression

un - (un - (5a + 2)) - 5 (un - 8)

est le même nombre.

1. Montrer que la somme de trois nombres pairs consécutifs est divisible par 6.
2. Montrer que si n est un nombre naturel, alors la valeur de l'expression -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) est un nombre pair.

Exercices à répéter

1. Un alliage pesant 1,6 kg contient 15 % de cuivre. Combien de kg de cuivre est contenu dans cet alliage ?
2. Quel pourcentage est le nombre 20 de son:

1) carré ;

1. Le touriste a marché pendant 2 heures et fait du vélo pendant 3 heures. Au total, le touriste a parcouru 56 km. Trouvez la vitesse à laquelle le touriste a fait du vélo si elle est supérieure de 12 km/h à la vitesse à laquelle il a marché.

Tâches intéressantes pour les étudiants paresseux

1. 11 équipes participent au championnat de football de la ville. Chaque équipe joue un match avec les autres. Prouver qu'à tout moment de la compétition il y a une équipe qui a joué un nombre pair de matchs ou qui n'en a pas encore joué.