Onlayn yechim bilan tengsizlik kalkulyatori. Chiziqli tengsizliklar

Tengsizlik - bu sonlarning bir-biriga nisbatan kattaligini ko'rsatadigan raqamli nisbat. Tengsizliklar amaliy fanlarda kattaliklarni qidirishda keng qo'llaniladi. Bizning kalkulyatorimiz sizga chiziqli tengsizliklarni echish kabi qiyin mavzuni hal qilishda yordam beradi.

Tengsizlik nima

Haqiqiy hayotdagi teng bo'lmagan nisbatlar turli ob'ektlarni doimiy taqqoslashga mos keladi: yuqori yoki past, uzoqroq yoki yaqinroq, og'irroq yoki engilroq. Intuitiv yoki vizual tarzda biz bir ob'ekt boshqasidan kattaroq, balandroq yoki og'irroq ekanligini tushunishimiz mumkin, lekin aslida bu har doim mos keladigan miqdorlarni tavsiflovchi raqamlarni taqqoslash masalasidir. Ob'ektlarni istalgan asosda taqqoslashingiz mumkin va har qanday holatda biz sonli tengsizlikni yaratishimiz mumkin.

Agar ma'lum sharoitlarda noma'lum miqdorlar teng bo'lsa, ularni raqamli aniqlash uchun tenglama tuzamiz. Agar yo'q bo'lsa, unda "teng" belgisi o'rniga bu miqdorlar orasidagi boshqa har qanday nisbatni ko'rsatishimiz mumkin. Ikkita raqam yoki matematik ob'ektlar ">" dan katta, "" dan kichik bo'lishi mumkin.<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Tengsizlik belgilari zamonaviy shaklda ingliz matematiki Tomas Xarriot tomonidan ixtiro qilingan bo'lib, u 1631 yilda teng bo'lmagan nisbatlar haqida kitob nashr etgan. ">" dan katta va "" dan kichik<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Tengsizliklarni yechish

Tengsizliklar, xuddi tenglamalar kabi, har xil turdagi bo'ladi. Chiziqli, kvadrat, logarifmik yoki eksponensial teng bo'lmagan nisbatlar turli usullar bilan chiqariladi. Biroq, qanday usuldan qat'i nazar, har qanday tengsizlik birinchi navbatda standart shaklga tushirilishi kerak. Buning uchun tenglik modifikatsiyalari bilan bir xil bo'lgan bir xil transformatsiyalar qo'llaniladi.

Tengsizliklarning identifikator transformatsiyalari

Ifodalarning bunday o'zgarishlari tenglamalar arvohiga juda o'xshaydi, ammo ular tengsizliklarni yechishda e'tiborga olish kerak bo'lgan nuanslarga ega.

Birinchi identifikatsiyani o'zgartirish tenglik bilan o'xshash operatsiya bilan bir xil. Teng bo'lmagan nisbatning ikkala tomoniga siz bir xil son yoki noma'lum x bilan ifodani qo'shishingiz yoki ayirishingiz mumkin, bunda tengsizlik belgisi bir xil bo'lib qoladi. Ko'pincha, bu usul soddalashtirilgan shaklda ifoda shartlarini tengsizlik belgisi orqali raqam belgisini teskarisiga o'tkazish sifatida ishlatiladi. Bu atamaning o'zi belgisining o'zgarishini anglatadi, ya'ni har qanday tengsizlik belgisi orqali o'tkazilganda + R - R ga o'zgaradi va aksincha.

Ikkinchi o'zgartirish ikkita nuqtaga ega:

Teng bo'lmagan nisbatning ikkala tomonini bir xil ijobiy songa ko'paytirish yoki bo'lish mumkin. Tengsizlik belgisining o'zi o'zgarmaydi.
Tengsizlikning ikkala tomonini bir xil manfiy songa bo'lish yoki ko'paytirishga ruxsat beriladi. Tengsizlik belgisining o'zi teskari tomonga o'zgaradi.

Tengsizliklarning ikkinchi bir xil o'zgarishi tenglamalarni o'zgartirish bilan jiddiy farqlarga ega. Birinchidan, manfiy songa ko'paytirish/bo'lishda teng bo'lmagan ifoda belgisi har doim teskari bo'ladi. Ikkinchidan, munosabatlarning qismlarini bo'lish yoki ko'paytirishga noma'lumni o'z ichiga olgan har qanday ifoda emas, balki faqat son orqali ruxsat beriladi. Haqiqat shundaki, biz noma'lumning orqasida noldan katta yoki kichik raqam yashiringanligini aniq bila olmaymiz, shuning uchun ikkinchi bir xil o'zgartirish faqat raqamlar bilan tengsizliklarga qo'llaniladi. Keling, ushbu qoidalarni misollar bilan ko'rib chiqaylik.

Tengsizliklarni yechishga misollar

Algebraga oid topshiriqlarda tengsizliklar mavzusiga oid turli xil topshiriqlar mavjud. Keling, bizga bir ifoda beraylik:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Birinchidan, qavslarni oching va barcha noma'lumlarni chapga, barcha raqamlarni o'ngga o'tkazing.

6x − 12x > 6 + 3

Ifodaning ikkala qismini -6 ga bo'lish kerak, shuning uchun noma'lum x ni topganda, tengsizlik belgisi teskari tomonga o'zgaradi.

Ushbu tengsizlikni yechishda biz ikkala bir xil o'zgarishlardan foydalandik: biz barcha raqamlarni belgining o'ng tomoniga o'tkazdik va nisbatning ikkala tomonini manfiy songa bo'ldik.

Bizning dasturimiz noma'lumlar bo'lmagan sonli tengsizliklarni echish uchun kalkulyatordir. Dastur uchta sonning nisbati uchun quyidagi teoremalarni o'z ichiga oladi:

agar A< B то A–C< B–C;
agar A > B, keyin A–C > B–C.

A-C atamalarini ayirish o'rniga har qanday arifmetik amalni belgilashingiz mumkin: qo'shish, ko'paytirish yoki bo'lish. Shunday qilib, kalkulyator yig'indilar, farqlar, mahsulotlar yoki kasrlarning tengsizliklarini avtomatik ravishda taqdim etadi.

Xulosa

Haqiqiy hayotda tengsizliklar tenglamalar kabi keng tarqalgan. Tabiiyki, kundalik hayotda tengsizliklarni hal qilish bo'yicha bilim kerak bo'lmasligi mumkin. Biroq, amaliy fanlarda tengsizliklar va ularning tizimlari keng qo'llaniladi. Masalan, jahon iqtisodiyoti muammolarining turli xil tadqiqotlari chiziqli yoki kvadrat tengsizliklar tizimini yig'ish va ochishga qisqartiriladi va ba'zi teng bo'lmagan munosabatlar ma'lum ob'ektlarning mavjudligini isbotlashning aniq usuli bo'lib xizmat qiladi. Chiziqli tengsizliklarni echish yoki o'z hisoblaringizni tekshirish uchun dasturlarimizdan foydalaning.

Shakl ax 2 + bx + 0 0, bu erda (> belgisi o'rniga, albatta, boshqa har qanday tengsizlik belgisi bo'lishi mumkin). Bizda bunday tengsizliklarni yechish uchun zarur bo'lgan nazariyaning barcha faktlari mavjud, ularni hozir tekshiramiz.

1-misol. Tengsizlikni yeching:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Qaror,

a) shaklda ko'rsatilgan y \u003d x 2 - 2x - 3 parabolani ko'rib chiqing. 117.

Tengsizlikni yechish x 2 - 2x - 3 > 0 - bu x ning qiymatlari parabola nuqtalarining ordinatalari ijobiy bo'lgan savolga javob berishni anglatadi.

Biz e'tibor qilamizki, y > 0, ya'ni funksiya grafigi x o'qi ustida, x da joylashgan.< -1 или при х > 3.

Demak, tengsizlikning yechimlari barcha ochiq nuqtalardir nur(- 00 , - 1), shuningdek ochiq nurning barcha nuqtalari (3, +00).

U (to'plamlar birlashmasi belgisi) belgisidan foydalanib, javobni quyidagicha yozish mumkin: (-00 , - 1) U (3, +00). Biroq, javobni shunday yozish ham mumkin:< - 1; х > 3.

b) tengsizlik x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: jadval-1 bo'lsa, x o'qi ostida joylashgan< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) x 2 - 2x - 3 > 0 tengsizlik x 2 - 2x - 3 > 0 tengsizlikdan farq qiladi, chunki javobda x 2 - 2x - 3 = 0 tenglamaning ildizlari ham bo'lishi kerak, ya'ni x = - nuqtalari. 1

va x \u003d 3. Shunday qilib, bu qat'iy bo'lmagan tengsizlikning echimlari nurning barcha nuqtalari (-00, - 1], shuningdek, nurning barcha nuqtalari.

Amaliy matematiklar odatda shunday deyishadi: nega biz ax 2 + bx + c > 0 tengsizligini yechib, kvadrat funktsiyaning parabola grafigini diqqat bilan tuzamiz.

y \u003d ax 2 + bx + c (1-misolda bo'lgani kabi)? Grafikning sxematik eskizini yaratish kifoya, buning uchun siz faqat topishingiz kerak ildizlar kvadrat trinomial (parabolaning x o'qi bilan kesishish nuqtasi) va parabolaning shoxlari qayerga yo'naltirilganligini aniqlang - yuqoriga yoki pastga. Ushbu sxematik eskiz tengsizlik yechimining vizual talqinini beradi.

2-misol Tengsizlikni yeching - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Qaror.

1) Kvadrat trinomialning ildizlarini toping - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) y \u003d -2x 2 + Zx + 9 funktsiyasining grafigi sifatida xizmat qiluvchi parabola x o'qini 3 va - 1,5 nuqtalarda kesib o'tadi va parabola shoxlari pastga yo'naltirilgan, chunki eskisi koeffitsienti- salbiy raqam - 2. Shaklda. 118 - bu grafikning eskizi.

3) rasmdan foydalanish. 118, xulosa qilamiz:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Javob: x< -1,5; х > 3.

3-misol 4x 2 - 4x + 1 tengsizlikni yeching< 0.
Qaror.

1) 4x 2 - 4x + 1 = 0 tenglamasidan topamiz.

2) Kvadrat uchburchakning bitta ildizi bor; demak, kvadrat trinomialning grafigi vazifasini bajaruvchi parabola x o'qini kesib o'tmaydi, balki unga nuqtada tegadi. Parabola shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan (119-rasm).

3) Shaklda ko'rsatilgan geometrik modeldan foydalanish. 119, biz belgilangan tengsizlik faqat nuqtada qanoatlantirilishini aniqlaymiz, chunki x ning boshqa barcha qiymatlari uchun grafikning ordinatalari ijobiydir.
Javob: .
Ehtimol, siz 1, 2, 3-misollarda aniq belgilanganligini payqadingiz algoritm kvadrat tengsizliklarni yechib, uni rasmiylashtiramiz.

ax 2 + bx + 0 0 kvadrat tengsizlikni yechish algoritmi (ax 2 + bx + c)< 0)

Ushbu algoritmning birinchi bosqichi kvadrat trinomialning ildizlarini topishdir. Ammo ildizlar mavjud bo'lmasligi mumkin, shuning uchun nima qilish kerak? Keyin algoritm qo'llanilmaydi, ya'ni boshqacha fikr yuritish kerak. Bu dalillarning kaliti quyidagi teoremalar orqali berilgan.

Boshqacha aytganda, agar D< 0, а >0, u holda ax 2 + bx + c > 0 tengsizlik barcha x uchun qanoatlantiriladi; aksincha, ax 2 + bx + c tengsizlik< 0 не имеет решений.
Isbot. jadval funktsiyalari y \u003d ax 2 + bx + c - shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan (a > 0 bo'lgani uchun) va x o'qini kesib o'tmaydigan parabola, chunki kvadrat trinomial shart bo'yicha ildizlarga ega emas. Grafik rasmda ko'rsatilgan. 120. Barcha x uchun grafik x o'qidan yuqorida joylashganligini ko'ramiz, ya'ni barcha x uchun ax 2 + bx + c > 0 tengsizlik qanoatlantiriladi, buni isbotlash talab qilingan.

Boshqacha aytganda, agar D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 hech qanday yechimga ega emas.

Isbot. y \u003d ax 2 + bx + c funktsiyasining grafigi parabola bo'lib, uning shoxlari pastga yo'naltirilgan (chunki a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

4-misol. Tengsizlikni yeching:

a) 2x 2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) 2x 2 - x + 4 kvadrat trinomialning diskriminantini toping. Bizda D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31 bor.< 0.
Trinomialning katta koeffitsienti (2-raqam) ijobiydir.

Demak, 1-teorema bo'yicha barcha x uchun 2x 2 - x + 4 > 0 tengsizlik qanoatlantiriladi, ya'ni berilgan tengsizlikning yechimi butun (-00, + 00) bo'ladi.

b) Kvadrat trinomialning diskriminantini toping - x 2 + Zx - 8. Bizda D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23 bor.< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Javob: a) (-00, + 00); b) yechim yo'q.

Quyidagi misolda kvadrat tengsizliklarni yechishda qo‘llaniladigan boshqa fikrlash usuli bilan tanishamiz.

5-misol 3x 2 - 10x + 3 tengsizlikni yeching< 0.
Qaror. 3x 2 - 10x + 3 kvadrat trinomialni koeffitsientlarga ajratamiz. Trinomialning ildizlari 3 raqamlari va shuning uchun ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) dan foydalanib, biz Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x -) ni olamiz. 3) (x - )
Raqam chizig'ida trinomialning ildizlarini qayd qilamiz: 3 va (122-rasm).

x > 3 bo'lsin; u holda x-3>0 va x->0 va demak, 3(x - 3)(x - ) ko'paytma musbat bo'ladi. Keyin, keling< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Demak, 3(x-3)(x-) ko’paytma manfiy. Nihoyat, x bo'lsin<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) musbat.

Mulohazalarni umumlashtirib, biz shunday xulosaga kelamiz: Zx 2 - 10x + 3 kvadrat trinomining belgilari rasmda ko'rsatilganidek o'zgaradi. 122. Bizni x kvadrat trinomial manfiy qiymatlarni nima uchun olishi qiziqtiradi. Anjirdan. 122 xulosa qilamiz: 3x 2 - 10x + 3 kvadrat trinomial (, 3) oralig'idan x ning istalgan qiymati uchun manfiy qiymatlarni oladi.
Javob (, 3), yoki< х < 3.

Izoh. Biz 5-misolda qo'llagan fikrlash usuli odatda intervallar usuli (yoki intervallar usuli) deb ataladi. Matematikada hal qilish uchun faol foydalaniladi oqilona tengsizliklar. 9-sinfda biz interval usulini batafsil o'rganamiz.

6-misol. p parametrining qaysi qiymatlarida kvadrat tenglama x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) ikki xil ildizga ega;

b) bitta ildizga ega;

c) ildizlari yo'qmi?

Qaror. Kvadrat tenglamaning ildizlari soni uning diskriminant D belgisiga bog'liq. Bu holda biz D \u003d 25 - 4p 2 ni topamiz.

a) Kvadrat tenglama ikki xil ildizga ega, agar D> 0 bo‘lsa, masala 25 - 4p 2 > 0 tengsizlikni yechishga keltiriladi. Bu tengsizlikning ikkala qismini ham -1 ga ko‘paytiramiz (tengsizlik belgisini o‘zgartirishni eslab). Biz 4p 2 - 25 ekvivalent tengsizlikni olamiz< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

4(p - 2.5) (p + 2.5) ifodaning belgilari rasmda ko'rsatilgan. 123.

Tengsizlik 4(p - 2,5)(p + 2,5) degan xulosaga kelamiz.< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadrat tenglama Agar D 0 bo'lsa, bitta ildizga ega.
Yuqorida aytib o'tganimizdek, p = 2,5 da D = 0 yoki p = -2,5.

p parametrining ushbu qiymatlari uchun bu kvadrat tenglama faqat bitta ildizga ega.

c) Kvadrat tenglamaning ildizi bo‘lmaydi, agar D bo‘lsa< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Biz 4p 2 - 25 > 0 ni olamiz; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, bu erdan (123-rasmga qarang) p< -2,5; р >2.5. p parametrining ushbu qiymatlari uchun bu kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.

Javob: a) p da (-2,5, 2,5);

b) p = 2,5 yoki p = -2,5 da;
c) r da< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A.G., Algebra. 8-sinf: Proc. umumiy ta'lim uchun muassasalar - 3-nashr, yakunlangan. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 b.: kasal.

O'quvchiga onlayn yordam, 8-sinf uchun matematika yuklab olish, kalendar-tematik rejalashtirish

Shuningdek qarang: Chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yechish, Chiziqli dasturlash masalalarining kanonik shakli

Bunday muammo uchun cheklovlar tizimi ikkita o'zgaruvchidagi tengsizliklardan iborat:
maqsad funksiyasi esa shaklga ega F = C 1 x + C 2 y, bu maksimal darajaga ko'tarilishi kerak.

Keling, savolga javob beraylik: qanday raqamlar juftligi ( x; y) tengsizliklar sistemasining yechimlari, ya'ni ular bir vaqtning o'zida har bir tengsizlikni qanoatlantiradimi? Boshqacha qilib aytganda, tizimni grafik tarzda yechish nimani anglatadi?
Avval ikkita noma'lumli bitta chiziqli tengsizlikning yechimi nima ekanligini tushunishingiz kerak.
Ikkita noma’lumli chiziqli tengsizlikni yechish deganda tengsizlik qanoatlantiriladigan noma’lumlarning barcha juft qiymatlarini aniqlash tushuniladi.
Masalan, tengsizlik 3 x – 5y≥ 42 juftlikni qondirish ( x , y): (100, 2); (3, –10) va hokazo. Muammo shunday barcha juftlarni topishda.
Ikki tengsizlikni ko'rib chiqing: bolta + tomonidan≤ c, bolta + tomonidan≥ c. To'g'riga bolta + tomonidan = c tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi, shunda ulardan birining nuqtalarining koordinatalari tengsizlikni qanoatlantiradi. bolta + tomonidan >c, va boshqa tengsizlik bolta + +tomonidan <c.
Haqiqatan ham, koordinatali nuqtani oling x = x 0; keyin to'g'ri chiziqda yotgan va abscissaga ega nuqta x 0 , ordinataga ega

Aniqlik uchun ruxsat bering a<0, b>0, c>0. Abtsissa bilan barcha nuqtalar x 0 yuqorida P(masalan, nuqta M), bor y M>y 0 , va nuqta ostidagi barcha nuqtalar P, abscissa bilan x 0, bor yN<y 0 . Shu darajada x 0 - bu ixtiyoriy nuqta, u holda chiziqning bir tomonida har doim nuqtalar bo'ladi bolta+ tomonidan > c, yarim tekislikni hosil qiladi va boshqa tomondan, buning uchun nuqtalar bolta + tomonidan< c.

1-rasm

Yarim tekislikdagi tengsizlik belgisi raqamlarga bog'liq a, b , c.
Bu ikkita o'zgaruvchidagi chiziqli tengsizliklar tizimini grafik hal qilishning quyidagi usulini nazarda tutadi. Tizimni hal qilish uchun sizga kerak:

Har bir tengsizlik uchun berilgan tengsizlikka mos keladigan tenglamani yozing.
Tenglamalar orqali berilgan funksiyalarning grafiklari bo‘lgan chiziqlarni tuzing.
Har bir to'g'ri chiziq uchun tengsizlik bilan berilgan yarim tekislikni aniqlang. Buning uchun to'g'ri chiziqda yotmaydigan ixtiyoriy nuqtani oling, uning koordinatalarini tengsizlikka almashtiring. agar tengsizlik to'g'ri bo'lsa, unda tanlangan nuqtani o'z ichiga olgan yarim tekislik asl tengsizlikning yechimidir. Agar tengsizlik noto'g'ri bo'lsa, u holda chiziqning boshqa tomonidagi yarim tekislik bu tengsizlikning echimlari to'plamidir.
Tengsizliklar tizimini yechish uchun tizimdagi har bir tengsizlikning yechimi bo'lgan barcha yarim tekisliklarning kesishish maydonini topish kerak.

Bu maydon bo'sh bo'lib chiqishi mumkin, keyin tengsizliklar tizimining echimlari yo'q, u mos kelmaydi. Aks holda, tizim izchil deb aytiladi.
Yechimlar chekli son va cheksiz to'plam bo'lishi mumkin. Hudud yopiq ko'pburchak bo'lishi mumkin yoki cheksiz bo'lishi mumkin.

Keling, uchta tegishli misolni ko'rib chiqaylik.

Misol 1. Tizimni grafik yechish:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2y + 5 ≤ 0.

tengsizliklarga mos keladigan x+y–1=0 va –2x–2y+5=0 tenglamalarni ko‘rib chiqing;
bu tenglamalar orqali berilgan to'g'ri chiziqlarni quramiz.

2-rasm

Tengsizliklar bilan berilgan yarim tekisliklarni aniqlaylik. Ixtiyoriy nuqtani oling, (0; 0) bo'lsin. O'ylab ko'ring x+ y– 1 0, nuqtani (0; 0) almashtiramiz: 0 + 0 – 1 ≤ 0. demak, (0; 0) nuqta yotadigan yarim tekislikda, x + y – 1 ≤ 0, ya'ni. to'g'ri chiziq ostida yotgan yarim tekislik birinchi tengsizlikning yechimidir. Ushbu nuqtani (0; 0) ikkinchisiga almashtirib, biz quyidagilarga erishamiz: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, ya’ni. (0; 0) nuqta yotadigan yarim tekislikda, -2 x – 2y+ 5≥ 0, va bizdan qaerda -2 so'radi x – 2y+ 5 ≤ 0, shuning uchun boshqa yarim tekislikda - to'g'ri chiziq ustidagi birida.
Bu ikki yarim tekislikning kesishishini toping. Chiziqlar parallel, shuning uchun tekisliklar hech qanday joyda kesishmaydi, ya'ni bu tengsizliklar sistemasi yechimlari yo'q, u mos kelmaydi.

2-misol. Tengsizliklar sistemasining grafik yechimlarini toping:

3-rasm
1. Tengsizliklarga mos tenglamalarni yozing va to‘g‘ri chiziqlarni tuzing.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. (0; 0) nuqtani tanlab, yarim tekisliklardagi tengsizliklar belgilarini aniqlaymiz:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, ya'ni. x + 2y– to‘g‘ri chiziq ostidagi yarim tekislikda 2 ≤ 0;
0 – 0 – 1 ≤ 0, ya’ni. y –x– to‘g‘ri chiziq ostidagi yarim tekislikda 1 ≤ 0;
0 + 2 =2 ≥ 0, ya'ni. y+ 2 ≥ 0 chiziq ustidagi yarim tekislikda.
3. Ushbu uchta yarim tekislikning kesishishi uchburchak bo'lgan maydon bo'ladi. Tegishli chiziqlarning kesishish nuqtalari sifatida mintaqaning uchlarini topish qiyin emas

Shunday qilib, LEKIN(–3; –2), DA(0; 1), Bilan(6; –2).

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik, unda tizim yechimining natija sohasi cheklanmagan.

Tengsizliklarni onlayn hal qilish

Tengsizliklarni yechishdan oldin, tenglamalar qanday yechilishini yaxshi tushunish kerak.

Tengsizlik qat'iy () yoki qat'iy emas (≤, ≥) bo'lishidan qat'i nazar, birinchi qadam tengsizlik belgisini tenglik (=) bilan almashtirish orqali tenglamani yechishdir.

Tengsizlikni yechish nimani anglatishini tushuntiring?

Tenglamalarni o'rganib chiqqandan so'ng, talabaning boshida quyidagi rasm paydo bo'ladi: siz tenglamaning ikkala qismi bir xil qiymatlarni oladigan o'zgaruvchining shunday qiymatlarini topishingiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, tenglik amal qiladigan barcha nuqtalarni toping. Hammasi to'g'ri!

Tengsizliklar haqida gapirganda, ular tengsizlik o'rinli bo'lgan intervallarni (segmentlarni) topishni anglatadi. Agar tengsizlikda ikkita o'zgaruvchi bo'lsa, u holda yechim endi intervallar emas, balki tekislikdagi ba'zi joylar bo'ladi. Tasavvur qiling-a, uchta o'zgaruvchidagi tengsizlikning yechimi qanday bo'ladi?

Tengsizliklarni qanday hal qilish mumkin?

Intervallar usuli (aka intervallar usuli) tengsizliklarni yechishning universal usuli hisoblanadi, u berilgan tengsizlik bajariladigan barcha intervallarni aniqlashdan iborat.

Tengsizlikning turiga kirmasdan, bu holda bu mohiyat emas, mos keladigan tenglamani echish va uning ildizlarini aniqlash, so'ngra bu echimlarni raqamli o'qda belgilash talab qilinadi.

Tengsizlikning yechimini qanday yozish to‘g‘ri?

Tengsizlikni yechish uchun intervallarni aniqlaganingizda, siz yechimning o'zini to'g'ri yozishingiz kerak. Muhim nuance bor - intervallarning chegaralari yechimga kiritilganmi?

Bu erda hamma narsa oddiy. Agar tenglamaning yechimi ODZ ni qanoatlantirsa va tengsizlik qat’iy bo’lmasa, u holda oraliq chegarasi tengsizlik yechimiga kiradi. Aks holda, yo'q.

Har bir intervalni hisobga olsak, tengsizlikning yechimi intervalning o'zi yoki yarim interval (uning chegaralaridan biri tengsizlikni qanoatlantirganda) yoki segment - chegaralari bilan birga interval bo'lishi mumkin.

Muhim nuqta

Faqat intervallar, yarim intervallar va segmentlar tengsizlikning yechimi bo'lishi mumkin deb o'ylamang. Yo'q, alohida nuqtalar ham yechimga kiritilishi mumkin.

Masalan, |x|≤0 tengsizlik faqat bitta yechimga ega - 0 nuqta.

Va |x| tengsizligi

Tengsizlik kalkulyatori nima uchun?

Tengsizlik kalkulyatori to'g'ri yakuniy javobni beradi. Bunday holda, ko'p hollarda, raqamli o'q yoki tekislikning tasviri berilgan. Intervallarning chegaralari yechimga kiritilgan yoki yo'qligini ko'rishingiz mumkin - nuqtalar to'ldirilgan yoki teshilgan holda ko'rsatiladi.

Onlayn tengsizlik kalkulyatori tufayli siz tenglamaning ildizlarini to'g'ri topganingizni, ularni raqamlar chizig'ida belgilab qo'yganingizni va intervallar (va chegaralar) bo'yicha tengsizlik shartlarini tekshirganingizni tekshirishingiz mumkinmi?

Agar sizning javobingiz kalkulyatorning javobidan farq qiladigan bo'lsa, unda siz, albatta, yechimingizni ikki marta tekshirishingiz va qilingan xatoni aniqlashingiz kerak.

Tengsizlik≤ yoki ≥ bilan ifodalangan ifodadir. Masalan, 3x - 5 Tengsizlikni yechish bu tengsizlik to'g'ri bo'lgan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlarini topishni anglatadi. Bu raqamlarning har biri tengsizlikning yechimidir va barcha bunday echimlar to'plami uningdir ko'p echimlar. Yechimlar to‘plami bir xil bo‘lgan tengsizliklar deyiladi ekvivalent tengsizliklar.

Chiziqli tengsizliklar

Tengsizliklarni yechish tamoyillari tenglamalarni yechish tamoyillariga o'xshaydi.

Tengsizliklarni yechish tamoyillari
Har qanday haqiqiy a, b va c sonlar uchun:
Tengsizliklarni qo'shish printsipi: Agar a Tengsizliklarni ko'paytirish printsipi: Agar 0 rost bo'lsa, u holda ac Agar bc ham rost bo'lsa.
Shu kabi bayonotlar a ≤ b uchun ham amal qiladi.

Tengsizlikning ikkala tomoni manfiy songa ko'paytirilsa, tengsizlik belgisini teskari aylantirish kerak.
Birinchi darajali tengsizliklar, 1-misoldagi kabi (quyida) deyiladi chiziqli tengsizliklar.

1-misol Quyidagi tengsizliklarning har birini yeching. Keyin yechimlar to'plamini chizing.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Qaror
11/5 dan kichik bo'lgan har qanday raqam yechimdir.
Yechimlar to‘plami (x|x
Tekshirish uchun y 1 = 3x - 5 va y 2 = 6 - 2x ni chizishimiz mumkin. Keyin bu erdan x uchun ekanligini ko'rish mumkin
Yechimlar to‘plami (x|x ≤ 1) yoki (-∞, 1]. Eritmalar to‘plamining grafigi quyida ko‘rsatilgan.

Ikki tomonlama tengsizliklar

Ikki tengsizlik so‘z bilan bog‘langanda va, yoki, keyin u hosil bo'ladi ikki tomonlama tengsizlik. Ikki tomonlama tengsizlik kabi
-3 va 2x + 5 ≤ 7
chaqirdi ulangan chunki u foydalanadi va. Yozuv -3 Qo'sh tengsizliklarni tengsizliklarni qo'shish va ko'paytirish tamoyillari yordamida yechish mumkin.

2-misol Yechish -3 Qaror Bizda bor

Yechimlar to‘plami (x|x ≤ -1 yoki x > 3). Yechimni oraliq belgisi va belgisi yordamida ham yozishimiz mumkin uyushmalar yoki ikkala toʻplamning qoʻshilishi: (-∞ -1] (3, ∞).Eritmalar toʻplamining grafigi quyida koʻrsatilgan.

Sinov uchun y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 va y 3 = 1 ni chizing. (x|x ≤ -1) uchun e'tibor bering. yoki x > 3), y 1 ≤ y 2 yoki y 1 > y 3.

Mutlaq qiymatli tengsizliklar (modul)

Tengsizliklar ba'zan modullarni o'z ichiga oladi. Ularni hal qilish uchun quyidagi xususiyatlar qo'llaniladi.
a > 0 va algebraik ifoda x uchun:
|x| |x| > a x yoki x > a ga ekvivalent.
|x| uchun o'xshash bayonotlar ≤ a va |x| ≥ a.

Misol uchun,
|x| |y| ≥ 1 y ≤ -1 ga ekvivalent yoki y ≥ 1;
va |2x + 3| ≤ 4 -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4 ga ekvivalent.

4-misol Quyidagi tengsizliklarning har birini yeching. Yechimlar to‘plamini chizing.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Qaror
a) |3x + 2|

Yechimlar to‘plami (x|-7/3