Ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarga misollar. eksponensial tengsizliklar

Belgorod davlat universiteti

KADR algebra, sonlar nazariyasi va geometriya

Ish mavzusi: Ko'rsatkichli-kuchli tenglamalar va tengsizliklar.

Diplom ishi fizika-matematika fakulteti talabasi

Nazoratchi:

______________________________

Taqrizchi: ____________________________

________________________

Belgorod. 2006 yil

Kirish			3
Mavzu I.	Tadqiqot mavzusi bo'yicha adabiyotlarni tahlil qilish.
Mavzu II.	Ko'rsatkichli-kuchli tenglamalar va tengsizliklarni yechishda qo'llaniladigan funksiyalar va ularning xossalari.
	I.1.	Quvvat funktsiyasi va uning xususiyatlari.
	I.2.	Eksponensial funktsiya va uning xususiyatlari.
Mavzu III.	Ko'rsatkich-kuch tenglamalarini yechish, algoritm va misollar.
Mavzu IV.	Ko‘rsatkich-kuch tengsizliklarini yechish, yechish rejasi va misollar.
Mavzu v.	Maktab o'quvchilari bilan "Ko'rsatkichli quvvat tenglamalari va tengsizliklarni echish" mavzusida mashg'ulotlar o'tkazish tajribasi.
v. 1.	O'quv materiali.
v. 2.	Mustaqil hal qilish uchun vazifalar.
Xulosa.	Xulosa va takliflar.
Bibliografiya.
Ilovalar

Kirish.

"... ko'rish va tushunish quvonchi ..."

A. Eynshteyn.

Bu ishimda men matematika o‘qituvchisi sifatida o‘z tajribamni, hech bo‘lmaganda uni o‘qitishga bo‘lgan munosabatimni – matematika fani, pedagogika, didaktika, psixologiya va hatto falsafa hayratlanarli darajada bo‘lgan insoniyat masalasini ma’lum darajada yetkazishga harakat qildim. o'zaro bog'langan.

Menda aqliy rivojlanish qutblarida turgan bolalar va bitiruvchilar bilan ishlash imkoniga ega bo'ldim: psixiatrda ro'yxatdan o'tgan va haqiqatan ham matematikaga qiziqqanlar.

Men ko'plab uslubiy muammolarni hal qilishim kerak edi. Men hal qilishga muvaffaq bo'lganlar haqida gapirishga harakat qilaman. Ammo bundan ham ko'proq - buning iloji yo'q edi va hal qilinayotganda yangi savollar paydo bo'ladi.

Ammo tajribaning o'zidan ham muhimroq, o'qituvchining fikrlari va shubhalari: nega aynan shunday, bu tajriba?

Yoz esa hozir boshqacha, ta’lim navbati esa qiziqroq bo‘ldi. "Yupiterlar ostida" bugungi kunda "hammani va hamma narsani" o'qitishning afsonaviy optimal tizimini izlash emas, balki bolaning o'zi. Ammo keyin - zarurat bilan - va o'qituvchi.

10-11-sinflar uchun algebra maktab kursida va tahlil boshlandi imtihondan o'tish kurs uchun o'rta maktab va universitetlarga kirish imtihonlarida asos va ko'rsatkichlarda noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamalar va tengsizliklar mavjud - bular ko'rsatkichli-quvvat tenglamalari va tengsizliklari.

Maktabda ularga kam e'tibor beriladi, darsliklarda bu mavzu bo'yicha vazifalar deyarli yo'q. Biroq, ularni hal qilish texnikasini o'zlashtirish, menimcha, juda foydali: bu aqliy va Ijodiy qobiliyatlar talabalar, oldimizda mutlaqo yangi ufqlar ochiladi. Muammolarni yechishda talabalar birinchi ko'nikmalarga ega bo'ladilar tadqiqot ishi, ularning matematik madaniyati boyib boradi, qobiliyati mantiqiy fikrlash. Maktab o'quvchilarida maqsadlilik, maqsad qo'yish, mustaqillik kabi shaxsiy xususiyatlar rivojlanadi, bu ularga keyingi hayotda foydali bo'ladi. Shuningdek, o'quv materialini takrorlash, kengaytirish va chuqur o'zlashtirish mavjud.

Dissertatsiyamning ushbu mavzusi ustida kurs ishini yozish bilan ishlay boshladim. Ushbu mavzu bo'yicha matematik adabiyotlarni chuqurroq o'rganish va tahlil qilish jarayonida men ko'rsatkichli quvvat tenglamalari va tengsizliklarni echishning eng mos usulini aniqladim.

Bu umumiy qabul qilingan yondashuvga qo'shimcha ravishda eksponensial-quvvat tenglamalarini echishda (asos 0 dan katta olinadi) va bir xil tengsizliklarni echishda (baza 1 dan katta yoki 0 dan katta, lekin undan kichik olinadi) 1), asoslar manfiy, 0 va 1 bo'lgan hollarda ham ko'rib chiqiladi.

Yozma tahlil imtihon varaqalari o‘quvchilar maktab darsliklarida ko‘rsatkichli-kuch funksiyasi argumentining manfiy qiymati masalasining yoritilmaganligi ularga bir qator qiyinchiliklar tug‘dirib, xatolarga olib kelishini ko‘rsatadi. Shuningdek, ular olingan natijalarni tizimlashtirish bosqichida muammolarga duch kelishadi, bu erda tenglamaga o'tish natijasida - oqibat yoki tengsizlik - oqibatda begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Xatolarni bartaraf qilish uchun biz asl tenglama yoki tengsizlikni tekshirish va ko'rsatkichli quvvat tenglamalarini yechish algoritmidan yoki eksponensial kuch tengsizliklarini echish rejasidan foydalanamiz.

Talabalar bitiruv va kirish imtihonlarini muvaffaqiyatli topshirishlari uchun sinfda yoki qo‘shimcha ravishda fakultativ va to‘garaklarda ko‘rsatkichli-kuchli tenglama va tengsizliklarni yechishga e’tiborni kuchaytirish zarur, deb o‘ylayman.

Shunday qilib Mavzu , meniki tezis quyidagicha ta'riflanadi: "Ko'rsatkichli-kuchli tenglamalar va tengsizliklar".

Maqsadlar bu ishlardan:

1. Ushbu mavzuga oid adabiyotlarni tahlil qiling.

2. Bermoq to'liq tahlil ko'rsatkichli-kuchli tenglamalar va tengsizliklar yechimlari.

3. Ushbu mavzu bo'yicha har xil turdagi etarli miqdordagi misollar keltiring.

4. Darsda, fakultativ va aylana darslarida ko‘rsatkichli quvvat tenglamalari va tengsizliklarni yechishning tavsiya etilgan usullari qanday idrok etilishini tekshiring. Ushbu mavzuni o'rganish bo'yicha tegishli tavsiyalar bering.

Mavzu Bizning tadqiqotimiz eksponensial quvvat tenglamalari va tengsizliklarni yechish texnikasini ishlab chiqishdan iborat.

Tadqiqotning maqsadi va mavzusi quyidagi vazifalarni hal qilishni talab qildi:

1. “Ko‘rsatkichli-kuchli tenglamalar va tengsizliklar” mavzusidagi adabiyotlarni o‘rganing.

2. Ko‘rsatkichli-kuchli tenglamalar va tengsizliklarni yechish usullarini o‘zlashtiring.

3. “Ko‘rsatkich-kuch tenglamalari va tengsizliklarni yechish” mavzusi bo‘yicha o‘quv materialini tanlang va turli darajadagi mashqlar tizimini ishlab chiqing.

Dissertatsiya tadqiqoti jarayonida 20 dan ortiq maqolalar qo'llanilishiga bag'ishlangan turli usullar ko'rsatkichli-kuchli tenglamalar va tengsizliklar yechimlari. Bu erdan olamiz.

Tezis rejasi:

Kirish.

I bob. Tadqiqot mavzusi bo'yicha adabiyotlarni tahlil qilish.

II bob. Ko'rsatkichli-kuchli tenglamalar va tengsizliklarni yechishda qo'llaniladigan funksiyalar va ularning xossalari.

II.1. Quvvat funksiyasi va uning xossalari.

II.2. Ko'rsatkichli funktsiya va uning xossalari.

III bob. Ko'rsatkich-kuch tenglamalarini yechish, algoritm va misollar.

IV bob. Ko‘rsatkich-kuch tengsizliklarini yechish, yechish rejasi va misollar.

V bob. Ushbu mavzu bo'yicha maktab o'quvchilari bilan mashg'ulotlar o'tkazish tajribasi.

1. O'quv materiali.

2. Mustaqil yechish uchun topshiriqlar.

Xulosa. Xulosa va takliflar.

Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati.

I bobda tahlil qilingan adabiyotlar

Ushbu darsda biz turli ko'rsatkichli tengsizliklarni ko'rib chiqamiz va ularni eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklarni yechish usuliga asoslanib yechish usullarini o'rganamiz.

1. Ko‘rsatkichli funksiyaning ta’rifi va xossalari

Ko'rsatkichli funktsiyaning ta'rifi va asosiy xususiyatlarini eslang. Barcha ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarning yechimi aynan xossalarga asoslanadi.

Eksponensial funktsiya shaklning funksiyasi bo'lib, bu erda asos daraja va Bu erda x mustaqil o'zgaruvchi, argument; y - bog`liq o`zgaruvchi, funksiya.

Guruch. 1. Ko‘rsatkichli funksiya grafigi

Grafik ortib borayotgan va kamayuvchi ko'rsatkichni ko'rsatadi, ko'rsatkich funksiyasini mos ravishda birdan katta va birdan kichik, lekin noldan katta bo'lgan asosda tasvirlaydi.

Ikkala egri chiziq (0;1) nuqtadan o'tadi.

Ko'rsatkichli funktsiyaning xossalari:

Domen: ;

Qiymatlar diapazoni: ;

Funktsiya monotonik, kabi ortadi, kabi kamayadi.

Monotonik funktsiya o'zining har bir qiymatini argumentning bitta qiymati bilan oladi.

Qachonki, argument minusdan ortiqcha cheksizlikka ko'tarilganda, funktsiya noldan, inklyuziv emas, ortiqcha cheksizlikka ko'tariladi, ya'ni argumentning berilgan qiymatlari uchun biz monoton ravishda ortib borayotgan funktsiyaga ega bo'lamiz (). Aksincha, argument minusdan plyus cheksizlikka ko'tarilganda, funktsiya cheksizlikdan nolga, inklyuzivga, ya'ni argumentning berilgan qiymatlari uchun biz monoton ravishda kamayuvchi funktsiyaga ega bo'lamiz ().

2. Eng oddiy darajali tengsizliklar, yechish texnikasi, misol

Yuqorida aytilganlarga asoslanib, biz eng oddiy eksponensial tengsizliklarni yechish usulini taqdim etamiz:

Tengsizliklarni yechish usuli:

Darajalar asoslarini tenglashtiring;

Tengsizlikning qarama-qarshi belgisini ushlab turish yoki o'zgartirish ko'rsatkichlarini solishtiring.

Murakkab ko'rsatkichli tengsizliklarni yechish, qoida tariqasida, ularni eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklarga kamaytirishdan iborat.

Darajaning asosi birdan katta, ya'ni tengsizlik belgisi saqlanib qoladi:

Keling, o'ng tomonni darajaning xususiyatlariga ko'ra aylantiramiz:

Darajaning asosi birdan kichik, tengsizlik belgisi teskari bo'lishi kerak:

Kvadrat tengsizlikni yechish uchun tegishli kvadrat tenglamani yechamiz:

Viet teoremasi bo'yicha biz ildizlarni topamiz:

Parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan.

Shunday qilib, biz tengsizlikka yechim topamiz:

O'ng tomonni nol ko'rsatkichli kuch sifatida ko'rsatish mumkinligini taxmin qilish oson:

Darajaning asosi birdan katta, tengsizlik belgisi o'zgarmaydi, biz olamiz:

Bunday tengsizliklarni yechish tartibini eslang.

Kasrli ratsional funktsiyani ko'rib chiqing:

Ta'rif sohasini topish:

Funktsiyaning ildizlarini topamiz:

Funktsiya bitta ildizga ega,

Biz belgi doimiyligi intervallarini ajratamiz va har bir oraliqda funktsiyaning belgilarini aniqlaymiz:

Guruch. 2. Belgilar doimiyligining intervallari

Shunday qilib, biz javob oldik.

Javob:

3. Tipik ko‘rsatkichli tengsizliklarni yechish

Ko'rsatkichlari bir xil, lekin asoslari har xil bo'lgan tengsizliklarni ko'rib chiqing.

Eksponensial funktsiyaning xususiyatlaridan biri shundaki, u argumentning har qanday qiymatlari uchun qat'iy ijobiy qiymatlarni oladi, ya'ni uni eksponensial funktsiyaga bo'lish mumkin. Berilgan tengsizlikni uning o‘ng tomoniga bo‘lamiz:

Darajaning asosi birdan katta, tengsizlik belgisi saqlanadi.

Keling, yechimni tasvirlab beraylik:

6.3-rasmda funksiyalarning grafiklari va . Shubhasiz, argument noldan katta bo'lsa, funktsiya grafigi yuqoriroqda joylashgan bo'lsa, bu funktsiya kattaroq bo'ladi. Argumentning qiymatlari salbiy bo'lsa, funktsiya pastga o'tadi, u kamroq bo'ladi. Agar argumentning qiymati teng bo'lsa, u holda berilgan nuqta ham berilgan tengsizlikning yechimidir.

Guruch. 3. Tasvir, misol uchun 4

Berilgan tengsizlikni daraja xossalariga ko‘ra o‘zgartiramiz:

Mana shunga o'xshash a'zolar:

Keling, ikkala qismni ham ajratamiz:

Endi biz 4-misolga o'xshash tarzda hal qilishni davom ettiramiz, ikkala qismni ham quyidagilarga ajratamiz:

Darajaning asosi birdan katta, tengsizlik belgisi saqlanib qoladi:

4. Ko‘rsatkichli tengsizliklarning grafik yechimi

6-misol – tengsizlikni grafik usulda yechish:

Chap va o'ng tomonlardagi funktsiyalarni ko'rib chiqing va ularning har birini chizing.

Funktsiya ko'rsatkich bo'lib, u butun ta'rif sohasi bo'ylab, ya'ni argumentning barcha haqiqiy qiymatlari uchun ortadi.

Funktsiya chiziqli bo'lib, butun ta'rif sohasi bo'ylab, ya'ni argumentning barcha haqiqiy qiymatlari uchun kamayadi.

Agar bu funktsiyalar kesishsa, ya'ni tizim yechimga ega bo'lsa, unda bunday yechim yagona bo'lib, uni osongina taxmin qilish mumkin. Buning uchun butun sonlar ustida takrorlang ()

Ushbu tizimning ildizi quyidagilardan iborat ekanligini ko'rish oson.

Shunday qilib, funktsiya grafiklari birga teng argumentga ega bo'lgan nuqtada kesishadi.

Endi biz javob olishimiz kerak. Berilgan tengsizlikning ma'nosi shundan iboratki, ko'rsatkich chiziqli funktsiyadan katta yoki teng bo'lishi kerak, ya'ni undan katta yoki teng bo'lishi kerak. Javob aniq: (6.4-rasm)

Guruch. 4. Tasvir, misol uchun 6

Shunday qilib, biz turli tipik ko'rsatkichli tengsizliklarning yechimini ko'rib chiqdik. Keyinchalik murakkabroq eksponensial tengsizliklarni ko'rib chiqishga o'tamiz.

Adabiyotlar ro'yxati

Mordkovich A. G. Algebra va boshlanishi matematik tahlil. - M .: Mnemosin. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra va matematik analizning boshlanishi. - M .: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. va boshqalar Algebra va matematik analizning boshlanishi. - M.: Ma'rifat.

Matematika. md. Matematika - takrorlash. com. Diffur. kemsu. ru.

Uy vazifasi

1. Algebra va tahlilning boshlanishi, 10-11 sinflar (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsin) 1990 yil, No 472, 473;

2. Tengsizlikni yeching:

3. Tengsizlikni yeching.

Ko'pchilik eksponensial tengsizliklar juda murakkab va tushunarsiz narsa deb o'ylashadi. Va ularni hal qilishni o'rganish deyarli buyuk san'at bo'lib, uni faqat tanlanganlar tushunishi mumkin ...

To'liq bema'nilik! Eksponensial tengsizliklar oson. Va ularni hal qilish har doim oson. Xo'sh, deyarli har doim. :)

Bugun biz ushbu mavzuni uzoq va keng tahlil qilamiz. Ushbu dars maktab matematikasining ushbu bo'limini endigina tushuna boshlaganlar uchun juda foydali bo'ladi. dan boshlaylik oddiy vazifalar va yana ko'p narsalarga o'tamiz qiyin savollar. Bugun hech qanday tinny bo'lmaydi, lekin siz hozir o'qigan narsa nazorat va nazoratning barcha turlari bo'yicha tengsizliklarning aksariyatini hal qilish uchun etarli bo'ladi. mustaqil ish. Va bu sizning imtihoningiz.

Har doimgidek, ta'rifdan boshlaylik. Eksponensial tengsizlik - bu ko'rsatkichli funktsiyani o'z ichiga olgan har qanday tengsizlik. Boshqacha qilib aytganda, u har doim shaklning tengsizligiga tushirilishi mumkin

\[((a)^(x)) \gt b\]

Bu erda $b$ ning roli oddiy raqam yoki undan ham qattiqroq bo'lishi mumkin. Misollar? Ha iltimos:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ to'rtlik ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end (tekislash)\]

Menimcha, ma'no aniq: $((a)^(x))$ eksponensial funksiya mavjud, u biror narsa bilan taqqoslanadi, keyin esa $x$ topishni so'raydi. Ayniqsa, klinik holatlarda, $x$ o'zgaruvchisi o'rniga, ular $f\left(x \right)$ funktsiyasini qo'yishi va shu bilan tengsizlikni biroz murakkablashtirishi mumkin. :)

Albatta, ba'zi hollarda tengsizlik yanada jiddiyroq ko'rinishi mumkin. Misol uchun:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Yoki bu ham:

Umuman olganda, bunday tengsizliklarning murakkabligi juda xilma-xil bo'lishi mumkin, ammo ular baribir oddiy konstruktsiyaga tushadilar $((a)^(x)) \gt b$. Va biz qandaydir tarzda bunday dizayn bilan shug'ullanamiz (ayniqsa, klinik holatlarda, hech narsa xayolga kelmasa, logarifmlar bizga yordam beradi). Shuning uchun, endi biz bunday oddiy konstruktsiyalarni qanday hal qilishni o'rganamiz.

Eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklarni yechish

Keling, juda oddiy narsani ko'rib chiqaylik. Masalan, bu erda:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Shubhasiz, o'ngdagi raqam ikkining kuchi sifatida qayta yozilishi mumkin: $4=((2)^(2))$. Shunday qilib, asl tengsizlik juda qulay shaklda qayta yoziladi:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Va endi qo'llar $x \gt 2$ javobini olish uchun darajalar tagida turgan ikkiliklarni "chizib tashlash" uchun qichishadi. Ammo biror narsani chizishdan oldin, keling, ikkita kuchni eslaylik:

\[((2)^(1))=2;\to'rt ((2)^(2))=4;\to'rt ((2)^(3))=8;\to'rt ((2)^( 4))=16;...\]

Ko'rib turganimizdek, nima Ko'proq eksponentda tursa, chiqish soni shunchalik katta bo'ladi. — Rahmat, kap! - deb baqiradi o'quvchilardan biri. Bu boshqacha sodir bo'ladimi? Afsuski, bu sodir bo'ladi. Misol uchun:

\[((\left(\frac(1)(2) \o'ng))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ o'ng))^(2))=\frac(1)(4);\to'rt ((\left(\frac(1)(2) \o'ng))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Bu erda ham hamma narsa mantiqiy: daraja qanchalik katta bo'lsa, 0,5 soni o'z-o'zidan ko'paytiriladi (ya'ni yarmiga bo'linadi). Shunday qilib, natijada raqamlar ketma-ketligi kamayadi va birinchi va ikkinchi ketma-ketliklar orasidagi farq faqat bazada bo'ladi:

• Agar daraja asosi $a \gt 1$ bo'lsa, u holda $n$ ko'rsatkichi o'sishi bilan $((a)^(n))$ soni ham o'sadi;
• Aksincha, agar $0 \lt a \lt 1$ boʻlsa, $n$ koʻrsatkichi oʻsishi bilan $((a)^(n))$ soni kamayadi.

Ushbu faktlarni umumlashtirib, biz eksponensial tengsizliklarning butun yechimiga asoslangan eng muhim bayonotni olamiz:

Agar $a \gt 1$ bo'lsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \gt n$ tengsizligiga ekvivalent bo'ladi. Agar $0 \lt a \lt 1$ bo'lsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \lt n$ tengsizligiga ekvivalent bo'ladi.

Boshqacha qilib aytganda, agar baza birdan katta bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Va agar baza birdan kam bo'lsa, u ham olib tashlanishi mumkin, ammo tengsizlik belgisini ham o'zgartirish kerak bo'ladi.

E'tibor bering, biz $a=1$ va $a\le 0$ variantlarini ko'rib chiqmadik. Chunki bu holatlarda noaniqlik mavjud. $((1)^(x)) \gt 3$ ko‘rinishdagi tengsizlik qanday yechilsin deylik? Har qanday kuchga bitta yana bittani beradi - biz hech qachon uch yoki undan ko'pini olmaymiz. Bular. yechimlar yo'q.

Salbiy asoslar bilan bu yanada qiziqarli. Masalan, quyidagi tengsizlikni ko'rib chiqing:

\[((\left(-2 \o'ng))^(x)) \gt 4\]

Bir qarashda hamma narsa oddiy:

To'g'rimi? Lekin yoq! $x$ oʻrniga bir juft juft son va juftlikni qoʻyish kifoya toq raqamlar yechim noto'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun. Qarab qo'ymoq:

\[\begin(align) & x=4\O'ng strelka ((\left(-2 \o'ng))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(hizalang)\]

Ko'rib turganingizdek, belgilar bir-birini almashtiradi. Lekin hali ham kasr darajalari va boshqa qalay bor. Misol uchun, $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus ikkitasi yettining ildiziga koʻtarilgan) hisoblashni qanday buyurasiz? Bo'lishi mumkin emas!

Shuning uchun aniqlik uchun biz barcha eksponensial tengsizliklarda (aytmoqchi, tenglamalarda ham) $1\ne a \gt 0$ deb faraz qilamiz. Va keyin hamma narsa juda oddiy hal qilinadi:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\O'ng strelka \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \o'ng), \\ & x \lt n\quad \chap (0 \lt a \lt 1 \o'ng). \\\end(tekislash) \o'ngga.\]

Umuman olganda, yana bir bor asosiy qoidani eslang: agar eksponensial tenglamadagi asos birdan katta bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin; va agar asos birdan kichik bo'lsa, uni ham olib tashlash mumkin, lekin bu tengsizlik belgisini o'zgartiradi.

Yechim misollari

Shunday qilib, bir nechta oddiy eksponensial tengsizliklarni ko'rib chiqing:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end (tekislash)\]

Birlamchi vazifa hamma hollarda bir xil: tengsizliklarni eng oddiy shaklga keltirish $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Endi biz har bir tengsizlik bilan shunday qilamiz va shu bilan birga biz darajalar va eksponensial funktsiyaning xususiyatlarini takrorlaymiz. Shunday ekan, ketaylik!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Bu yerda nima qilish mumkin? Xo'sh, chap tomonda biz allaqachon namoyishkorona ifodaga egamiz - hech narsani o'zgartirish kerak emas. Ammo o'ng tomonda qandaydir axloqsizlik bor: kasr va hatto maxrajdagi ildiz!

Biroq, kasrlar va kuchlar bilan ishlash qoidalarini unutmang:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end (tekislash)\]

Bu nima degani? Birinchidan, kasrni manfiy ko'rsatkichga aylantirish orqali osonlikcha qutulish mumkin. Ikkinchidan, maxraj ildiz bo'lganligi sababli, uni darajaga aylantirsa yaxshi bo'lardi - bu safar kasr ko'rsatkichi bilan.

Keling, ushbu amallarni tengsizlikning o'ng tomoniga ketma-ket qo'llaymiz va nima sodir bo'lishini ko'ramiz:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac) 1)(3))) \o'ng))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \o'ng)=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Shuni unutmangki, darajani bir darajaga ko'tarishda bu darajalarning ko'rsatkichlari qo'shiladi. Va umuman olganda, eksponensial tenglamalar va tengsizliklar bilan ishlashda, hech bo'lmaganda, kuchlar bilan ishlashning eng oddiy qoidalarini bilish mutlaqo kerak:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \o'ng))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end (tekislash)\]

Aslida, oxirgi qoida endigina murojaat qildik. Shunday qilib, bizning dastlabki tengsizligimiz quyidagicha qayta yoziladi:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\O'ng strelka ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Endi biz taglikdagi deucedan qutulamiz. 2 > 1 bo'lgani uchun tengsizlik belgisi bir xil bo'lib qoladi:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty;\frac(2)(3) \o'ng]. \\\end(align)\]

Bu butun yechim! Asosiy qiyinchilik umuman eksponensial funktsiyada emas, balki asl iborani malakali o'zgartirishda: siz uni eng oddiy shaklga ehtiyotkorlik bilan va iloji boricha tezroq olib kelishingiz kerak.

Ikkinchi tengsizlikni ko'rib chiqing:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Shunday. Bu erda biz o'nli kasrlarni kutmoqdamiz. Ko'p marta aytganimdek, vakolatli har qanday iboralarda siz o'nli kasrlardan xalos bo'lishingiz kerak - ko'pincha bu tez va oson yechimni ko'rishning yagona yo'li. Mana nimadan qutulamiz:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ o'ng)))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\O'ng strelka ((\left(\frac(1)(10) \o'ng))^(1-x)) \lt ( (\ chap (\ frac (1) (10) \ o'ng)) ^ (2)). \\\end (tekislash)\]

Bizning oldimizda yana eng oddiy tengsizlik va hatto 1/10 bazasi bilan, ya'ni. birdan kam. Xo'sh, biz tagliklarni olib tashlaymiz, bir vaqtning o'zida belgini "kamroq" dan "kattaroq" ga o'zgartiramiz va biz quyidagilarni olamiz:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end (tekislash)\]

Biz yakuniy javobni oldik: $x\in \left(-\infty;-1 \right)$. E'tibor bering, javob aniq to'plamdir va hech qanday holatda $x \lt -1$ shaklini qurish mumkin emas. Chunki formal ravishda bunday konstruksiya umuman to‘plam emas, balki $x$ o‘zgaruvchisiga nisbatan tengsizlikdir. Ha, bu juda oddiy, lekin bu javob emas!

Muhim eslatma. Ushbu tengsizlikni boshqa yo'l bilan - ikkala qismni birdan kattaroq quvvatga kamaytirish orqali hal qilish mumkin. Qarab qo'ymoq:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\O'ng strelka ((\chap(((10)^(-1)) \o'ng))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \o'ng))^(2))\O'ng strelka ((10)^(-1\cdot \left(1-x \o'ng)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Ushbu o'zgarishdan keyin biz yana olamiz eksponensial tengsizlik, lekin asos 10 > 1 bilan. Va bu shunchaki o'ntalikni kesib tashlashingiz mumkin degan ma'noni anglatadi - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Biz olamiz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end (tekislash)\]

Ko'rib turganingizdek, javob aynan bir xil. Shu bilan birga, biz o'zimizni belgini o'zgartirish zaruratidan xalos qildik va u erda ba'zi qoidalarni eslaymiz. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Biroq, bu sizni qo'rqitishiga yo'l qo'ymang. Ko'rsatkichlarda nima bo'lishidan qat'i nazar, tengsizlikni hal qilish texnologiyasi bir xil bo'lib qoladi. Shuning uchun biz birinchi navbatda 16 = 2 4 ekanligini ta'kidlaymiz. Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda dastlabki tengsizlikni qayta yozamiz:

\[\begin(align) & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Xayr! Biz odatdagidek oldik kvadrat tengsizlik! Belgisi hech qanday joyda o'zgarmadi, chunki asos ikkilik - birdan katta raqam.

Raqamlar qatoridagi funksiya nollari

Biz $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ funksiyaning belgilarini joylashtiramiz - aniqki, uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, shuning uchun "plyuslar" bo'ladi. ” yon tomonlarida. Biz funktsiya noldan kichik bo'lgan mintaqaga qiziqamiz, ya'ni. $x\in \left(2;5 \right)$ asl masalaga javobdir.

Va nihoyat, boshqa tengsizlikni ko'rib chiqing:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Yana biz asosda o'nli kasrli eksponensial funktsiyani ko'ramiz. Keling, bu kasrni oddiy kasrga aylantiramiz:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0) ,2)^(1+((x)^(2))=((\left(((5)^(-1)) \oʻng))^(1+(x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \o'ng)))\end(hizala)\]

Bunday holda, biz ilgari aytilgan izohdan foydalandik - keyingi qarorimizni soddalashtirish uchun biz bazani 5\u003e 1 raqamiga qisqartirdik. Keling, o'ng tomon bilan ham xuddi shunday qilaylik:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ o'ng))^(2))=(5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Ikkala transformatsiyani ham hisobga olgan holda asl tengsizlikni qayta yozamiz:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\O'ng strelka ((5)^(-1\cdot \chap(1+) ((x)^(2)) \o'ng)))\ge ((5)^(-2))\]

Ikkala tomonning asoslari bir xil va birdan katta. O'ng va chap tomonda boshqa atamalar yo'q, shuning uchun biz faqat beshlikni "chizamiz" va biz juda oddiy iborani olamiz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\to'rt \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Bu erda siz ehtiyot bo'lishingiz kerak. Ko'pgina talabalar shunchaki chiqarib olishni yaxshi ko'radilar Kvadrat ildiz tengsizlikning ikkala qismini yozing va $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ kabi biror narsani yozing. Siz buni hech qachon qilmasligingiz kerak, chunki aniq kvadratning ildizi moduldir va hech qanday holatda asl o'zgaruvchi:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\chap| x\right|\]

Biroq, modullar bilan ishlash eng yoqimli tajriba emas, to'g'rimi? Shunday qilib, biz ishlamaymiz. Buning o'rniga, biz shunchaki barcha shartlarni chapga siljitamiz va odatdagi tengsizlikni intervalli usul yordamida hal qilamiz:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \o'ng)\left(x+1 \o'ng)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\to'rt ((x)_(2)) =-1; \\\end(tuzala)$

Yana, biz olingan nuqtalarni raqamlar chizig'ida belgilaymiz va belgilarga qaraymiz:

Iltimos, diqqat qiling: nuqtalar soyali.

Biz qat'iy bo'lmagan tengsizlikni hal qilganimiz sababli, grafikdagi barcha nuqtalar soyali. Shuning uchun javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ interval emas, balki segmentdir.

Umuman olganda, shuni ta'kidlashni istardimki, eksponensial tengsizliklarda murakkab narsa yo'q. Bugun biz amalga oshirgan barcha o'zgarishlarning ma'nosi oddiy algoritmga tushadi:

• Biz barcha darajalarni kamaytiradigan bazani toping;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko'rinishdagi tengsizlikni olish uchun o'zgartirishlarni ehtiyotkorlik bilan bajaring. Albatta, $x$ va $n$ oʻzgaruvchilari oʻrniga ancha murakkab funksiyalar boʻlishi mumkin, lekin bu maʼnoni oʻzgartirmaydi;
• Darajalar asoslarini kesib tashlang. Bunda tengsizlik belgisi o'zgarishi mumkin, agar asos $a \lt 1$ bo'lsa.

Aslida, bu barcha tengsizliklarni yechish uchun universal algoritmdir. Va bu mavzu bo'yicha sizga aytiladigan barcha narsalar faqat o'zgartirishni soddalashtirish va tezlashtirish uchun o'ziga xos fokuslar va fokuslardir. Mana biz hozir gaplashadigan fokuslardan biri. :)

ratsionalizatsiya usuli

Boshqa tengsizliklar to'plamini ko'rib chiqing:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi) \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \o'ng))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Xo'sh, ularda nimasi o'ziga xos? Ular, shuningdek, engil vaznga ega. Garchi, to'xtang! Pi quvvatga ko'tariladimi? Qanday bema'nilik?

Va $2\sqrt(3)-3$ sonini qanday qilib kuchga oshirish mumkin? Yoki $3-2\sqrt(2)$mi? Muammolarni tuzuvchilar ishga o'tirishdan oldin juda ko'p "Do'lana" ichishgan. :)

Aslida, bu vazifalarda hech qanday yomon narsa yo'q. Sizga eslatib o'taman: eksponensial funktsiya $((a)^(x))$ ko'rinishining ifodasidir, bunda $a$ asosi istalgan musbat sondir, bittadan tashqari. p soni ijobiy - biz buni allaqachon bilamiz. $2\sqrt(3)-3$ va $3-2\sqrt(2)$ raqamlari ham ijobiydir - agar ularni nol bilan solishtirsak, buni tushunish oson.

Ma'lum bo'lishicha, bu "dahshatli" tengsizliklarning barchasi yuqorida muhokama qilingan oddiylardan farq qilmaydi? Va ular buni xuddi shunday qilishadimi? Ha, mutlaqo to'g'ri. Biroq, ularning misolidan foydalanib, men mustaqil ish va imtihonlarga ko'p vaqtni tejaydigan bitta hiyla-nayrangni ko'rib chiqmoqchiman. Biz ratsionalizatsiya usuli haqida gapiramiz. Shunday qilib, diqqat:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko‘rinishdagi har qanday ko‘rsatkichli tengsizlik $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) tengsizligiga ekvivalentdir. o'ng) \gt 0 $.

Bu butun usul. :) Keyingi o'yin bo'ladi deb o'ylaganmidingiz? Bu kabi hech narsa! Ammo bir satrda tom ma'noda yozilgan bu oddiy fakt ishimizni ancha soddalashtiradi. Qarab qo'ymoq:

\[\begin(matritsa) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ \Pastga qarab \\ \chap(x+7-\chap(((x)^(2)) -3x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matritsa)\]

Bu erda boshqa eksponensial funktsiyalar yo'q! Va belgi o'zgaradimi yoki yo'qligini eslab qolish shart emas. Ammo yangi muammo tug'iladi: \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] lanatli multiplikator bilan nima qilish kerak? Bu qanday ekanligini bilmaymiz aniq qiymat raqamlari p. Biroq, kapitan aniq bir narsaga ishora qilganga o'xshaydi:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\taxminan 3,14... \gt 3\O'ng strelka \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Umuman olganda, p ning aniq qiymati bizni unchalik bezovta qilmaydi - bu biz uchun har qanday holatda ham $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 ekanligini tushunish muhimdir. $, t.e. musbat doimiy bo‘lib, tengsizlikning ikkala tomonini unga bo‘lishimiz mumkin:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \o'ng) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \o'ng)\left(x+1 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\]

Ko'rib turganingizdek, ma'lum bir nuqtada biz minus birga bo'lishimizga to'g'ri keldi va tengsizlik belgisi o'zgardi. Oxirida men Vyeta teoremasi bo'yicha kvadrat trinomialni kengaytirdim - ko'rinib turibdiki, ildizlar $((x)_(1))=5$ va $((x)_(2))=- ga teng. 1$. Keyin hamma narsa oraliqlarning klassik usuli bilan hal qilinadi:

Tengsizlikni intervallar usuli bilan yechamiz

Barcha nuqtalar teshiladi, chunki dastlabki tengsizlik qat'iydir. Bizni manfiy qiymatlari bo'lgan hudud qiziqtiradi, shuning uchun javob $x\in \left(-1;5 \right)$. Bu yechim. :)

Keling, keyingi vazifaga o'tamiz:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \o'ng))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Bu erda hamma narsa oddiy, chunki o'ng tomonda birlik mavjud. Va biz eslaymizki, birlik nol darajasiga ko'tarilgan har qanday raqamdir. Agar bu raqam irratsional ifoda bo'lsa ham, chap tomonda joylashgan:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right)))^(0)); \\\end (tekislash)\]

Shunday qilib, keling, ratsionalizatsiya qilaylik:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \o'ng)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Faqat belgilar bilan shug'ullanish qoladi. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ koʻpaytuvchisi $x$ oʻzgaruvchisini oʻz ichiga olmaydi - bu shunchaki doimiy miqdor va biz uning belgisini aniqlashimiz kerak. Buning uchun quyidagilarga e'tibor bering:

\[\begin(matritsa) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \pastga qarab \\ 2\chap(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 2\cdot \left(2) -2 \o'ng)=0 \\\end (matritsa)\]

Ma’lum bo‘lishicha, ikkinchi omil shunchaki doimiy emas, balki manfiy konstantadir! Va unga bo'linganda, asl tengsizlikning belgisi teskarisiga o'zgaradi:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \o'ng) \gt 0. \\\end(hizala)\]

Endi hamma narsa aniq bo'ladi. Ildizlar kvadrat trinomial o'ngda: $((x)_(1))=0$ va $((x)_(2))=2$. Biz ularni raqamlar qatorida belgilaymiz va $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ funksiyaning belgilariga qaraymiz:

Bizni lateral intervallar qiziqtiradigan holat

Bizni ortiqcha belgisi bilan belgilangan intervallar qiziqtiradi. Javobni yozishgina qoladi:

Keling, keyingi misolga o'tamiz:

\[((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ o'ng))^(16-x))\]

Xo'sh, bu erda hamma narsa aniq: asoslar bir xil sonli kuchlardir. Shuning uchun men hamma narsani qisqacha yozaman:

\[\begin(matritsa) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \pastga \\ ((\chap(((3)^(-1)) \o'ng))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \o'ng))^(16-x)) \\\end(matritsa)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ chap (16-x\o'ng))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \o'ng)\left(x-4 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\]

Ko'rib turganingizdek, transformatsiyalar jarayonida biz manfiy songa ko'paytirishimiz kerak edi, shuning uchun tengsizlik belgisi o'zgardi. Oxir-oqibat, kvadrat trinomialni faktorlarga ajratish uchun yana Viet teoremasini qo'lladim. Natijada, javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left(-8;4 \right)$ - xohlovchilar buni raqam chizig'ini chizish, nuqtalarni belgilash va belgilarni sanash orqali tekshirishlari mumkin. Shu bilan birga, biz "to'plam" dan oxirgi tengsizlikka o'tamiz:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Ko'rib turganingizdek, yana bazada irratsional son, va birlik yana o'ng tomonda. Shuning uchun biz eksponensial tengsizlikni quyidagicha qayta yozamiz:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ o'ng))^(0))\]

Keling, ratsionalizatsiya qilaylik:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \o'ng) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Biroq, $1-\sqrt(2) \lt 0$ ekanligi juda aniq, chunki $\sqrt(2)\taxminan 1,4... \gt 1$. Demak, ikkinchi omil yana manfiy konstanta bo'lib, unga ko'ra tengsizlikning ikkala qismini bo'lish mumkin:

\[\begin(matritsa) \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0 \\ \pastga qarab \ \\end (matritsa)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\]

Boshqa bazaga o'ting

Eksponensial tengsizliklarni echishda alohida muammo - bu "to'g'ri" asosni izlash. Afsuski, vazifaga birinchi qarashda, nimani asos qilib olish va bu asosning darajasi sifatida nima qilish kerakligi har doim ham aniq emas.

Lekin tashvishlanmang: bu erda sehrli va "maxfiy" texnologiyalar yo'q. Matematikada algoritmlash mumkin bo'lmagan har qanday ko'nikma amaliyot orqali osonlik bilan rivojlantirilishi mumkin. Ammo buning uchun siz muammolarni hal qilishingiz kerak turli darajalar qiyinchiliklar. Masalan, bular:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \o'ng))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \o'ng))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ tugatish(tekislash)\]

Murakkabmi? Qo'rqinchlimi? Ha, bu asfaltdagi tovuqdan osonroq! Keling urinib koramiz. Birinchi tengsizlik:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Menimcha, bu erda hamma narsa aniq:

Biz asl tengsizlikni qayta yozamiz, hamma narsani "ikki" bazasiga qisqartiramiz:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\O'ng strelka \chap(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \o'ng)\cdot \left(2-1 \o'ng) \lt 0\]

Ha, ha, siz to'g'ri tushundingiz: men yuqorida tavsiflangan ratsionalizatsiya usulini qo'lladim. Endi biz ehtiyotkorlik bilan ishlashimiz kerak: biz kasr-ratsional tengsizlikka ega bo'ldik (bu maxrajda o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizlik), shuning uchun biror narsani nolga tenglashtirishdan oldin hamma narsani umumiy maxrajga qisqartirish va doimiy omildan xalos bo'lish kerak. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Endi biz standart interval usulidan foydalanamiz. Numerator nollari: $x=\pm 4$. Maxraj faqat $x=0$ bo'lganda nolga tushadi. Hammasi bo'lib, raqamlar chizig'ida belgilanishi kerak bo'lgan uchta nuqta mavjud (barcha nuqtalar teshilgan, chunki tengsizlik belgisi qat'iy). Biz olamiz:

Ko'proq qiyin ish: uchta ildiz

Siz taxmin qilganingizdek, lyukka chapdagi iboraning oraliqlarini belgilaydi salbiy qiymatlar. Shunday qilib, ikkita interval bir vaqtning o'zida yakuniy javobga o'tadi:

Intervallarning uchlari javobga kiritilmagan, chunki dastlabki tengsizlik qat'iy edi. Bu javobni boshqa tasdiqlash talab qilinmaydi. Shu nuqtai nazardan, eksponensial tengsizliklar logarifmik tengsizliklarga qaraganda ancha sodda: DPV yo'q, cheklovlar yo'q va hokazo.

Keling, keyingi vazifaga o'tamiz:

\[((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Bu erda ham hech qanday muammo yo'q, chunki biz allaqachon $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ ekanligini bilamiz, shuning uchun butun tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\O‘ng strelka ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \o'ng)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| : \ chap (-2 \ o'ng) \ o'ng. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

E'tibor bering: uchinchi qatorda men arzimas narsalarga vaqt sarflamaslikka va darhol hamma narsani (−2) ga bo'lishga qaror qildim. Minul birinchi qavsga kirdi (endi hamma joyda plyuslar bor) va deuce doimiy multiplikator bilan qisqartirildi. Mustaqil va bo'yicha haqiqiy hisob-kitoblarni amalga oshirishda aynan shunday qilish kerak nazorat ishlari- har bir harakat va o'zgarishlarni to'g'ridan-to'g'ri bo'yashga hojat yo'q.

Keyinchalik, tanish intervallarni usuli o'ynaydi. Numeratorning nollari: lekin ular yo'q. Chunki diskriminant salbiy bo'ladi. O'z navbatida, maxraj faqat $x=0$ bo'lganda nolga o'rnatiladi - xuddi oxirgi marta bo'lgani kabi. Xo'sh, kasr $x=0$ ning o'ng tomonida ijobiy qiymatlarni va chap tomonda salbiy qiymatlarni olishi aniq. Bizni faqat salbiy qiymatlar qiziqtirganligi sababli, yakuniy javob $x\in \left(-\infty ;0 \right)$ bo'ladi.

\[((\left(0,16 \o'ng))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \o'ng))^(x))\ge 1\]

Va eksponensial tengsizliklarda o'nli kasrlar bilan nima qilish kerak? To'g'ri: ularni oddiy narsalarga aylantirish orqali ularni yo'q qiling. Mana biz tarjima qilamiz:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\O'ng strelka ((\left(0,16 \o'ng))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\O'ng strelka ((\chap(6,25 \o'ng))^(x))=((\chap(\) frac(25)(4) \right))^(x)). \\\end (tekislash)\]

Xo'sh, biz eksponensial funktsiyalarning asoslarida nimani oldik? Va biz ikkita o'zaro raqamni oldik:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(-1))\O'ng strelka ((\chap(\frac(25)(4) \ o'ng))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(-1)) \o'ng))^(x))=((\ chap (\ frac (4) (25) \ o'ng)) ^ (-x)) \]

Shunday qilib, dastlabki tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \o'ng) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(1+2x+\left(-x \o'ng)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right)))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(0) ). \\\end (tekislash)\]

Albatta, kuchlarni bir xil asosga ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari qo'shiladi, bu ikkinchi qatorda sodir bo'ldi. Bundan tashqari, biz o'ngdagi birlikni, shuningdek, 4/25 bazasida quvvat sifatida taqdim etdik. Faqat ratsionalizatsiya qilish uchun qoladi:

\[((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(0)) \O'ng strelka \left(x+1-0 \o'ng)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \o'ng)\ge 0\]

E'tibor bering, $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, ya'ni. ikkinchi omil manfiy konstanta bo'lib, unga bo'linganda tengsizlik belgisi o'zgaradi:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty;-1 \right]. \\\end(hizalang)\]

Va nihoyat, joriy "to'plam" dan oxirgi tengsizlik:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \o'ng))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Asosan, bu erda yechim g'oyasi ham aniq: tengsizlikni tashkil etuvchi barcha eksponensial funktsiyalar "3" asosiga qisqartirilishi kerak. Ammo buning uchun siz ildizlar va darajalar bilan biroz o'ylashingiz kerak:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3))))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end (tekislash)\]

Ushbu faktlarni hisobga olgan holda, dastlabki tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \o'ng))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \o'ng))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end (tekislash)\]

Hisob-kitoblarning 2 va 3 qatorlariga e'tibor bering: tengsizlik bilan biror narsa qilishdan oldin, uni darsning boshidanoq gaplashgan shaklga keltiring: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Agar sizda chap yoki o'ng chap ko'paytirgichlar, qo'shimcha doimiylar va boshqalar mavjud bo'lsa, asoslarni ratsionalizatsiya qilish va "chizib tashlash" mumkin emas! Ushbu oddiy haqiqatni noto'g'ri tushunish tufayli son-sanoqsiz vazifalar noto'g'ri bajarildi. Men ko'rsatkichli va logarifmik tengsizliklarni tahlil qilishni boshlaganimizda, o'quvchilarim bilan doimo bu muammoni kuzataman.

Ammo bizning vazifamizga qayting. Keling, bu safar ratsionalizatsiyasiz ishlashga harakat qilaylik. Biz eslaymiz: darajaning asosi birdan katta, shuning uchun uchliklarni shunchaki kesib tashlash mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Biz olamiz:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(tuzalash)\]

Hammasi shu. Yakuniy javob: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Barqaror ifodani ajratib ko'rsatish va o'zgaruvchini almashtirish

Xulosa qilib aytganda, men tayyorlanmagan talabalar uchun juda qiyin bo'lgan yana to'rtta eksponensial tengsizlikni echishni taklif qilaman. Ular bilan kurashish uchun siz darajalar bilan ishlash qoidalarini eslab qolishingiz kerak. Xususan, umumiy omillarni qavs ichidan chiqarish.

Ammo eng muhimi, tushunishni o'rganishdir: aniq nimani qavslash mumkin. Bunday ifoda barqaror deyiladi - u yangi o'zgaruvchi bilan belgilanishi va shu bilan eksponensial funktsiyadan xalos bo'lishi mumkin. Shunday qilib, keling, vazifalarni ko'rib chiqaylik:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Birinchi qatordan boshlaylik. Bu tengsizlikni alohida yozamiz:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ ekanligini unutmang, shuning uchun o'ng tomoni mumkin qayta yozilsin:

E'tibor bering, tengsizlikda $((5)^(x+1))$ dan boshqa eksponensial funksiyalar mavjud emas. Va umuman olganda, $x$ o'zgaruvchisi boshqa joyda uchramaydi, shuning uchun yangi o'zgaruvchini kiritamiz: $((5)^(x+1))=t$. Biz quyidagi qurilishni olamiz:

\[\boshlang(tuzala) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(tuzalash)\]

Biz asl o'zgaruvchiga qaytamiz ($t=((5)^(x+1))$) va shu bilan birga 1=5 0 ekanligini eslaymiz. Bizda ... bor:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end (tekislash)\]

Bu butun yechim! Javob: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Ikkinchi tengsizlikka o'tamiz:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Bu erda hamma narsa bir xil. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ ekanligini unutmang. Keyin chap tomonni qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \o‘ng. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\O'ng strelka x\in \chapda[ 2;+\infty \o'ngda). \\\end (tekislash)\]

Taxminan shunday qilib, haqiqiy nazorat va mustaqil ish bo'yicha qaror qabul qilishingiz kerak.

Xo'sh, keling, qiyinroq narsani sinab ko'raylik. Masalan, bu erda tengsizlik mavjud:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Bu yerda muammo nimada? Avvalo, chapdagi eksponensial funktsiyalarning asoslari boshqacha: 5 va 25. Biroq, 25 \u003d 5 2, shuning uchun birinchi atama o'zgartirilishi mumkin:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(tekislash) )\]

Ko'rib turganingizdek, avvaliga biz hamma narsani bir xil bazaga keltirdik, keyin esa birinchi atama ikkinchisiga osonlikcha qisqartirilishini payqadik - bu faqat eksponentni kengaytirish uchun etarli. Endi biz xavfsiz tarzda yangi o'zgaruvchini kiritishimiz mumkin: $((5)^(2x+2))=t$ va butun tengsizlik quyidagicha qayta yoziladi:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(tuzalash)\]

Yana, muammo yo'q! Yakuniy javob: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Bugungi darsda yakuniy tengsizlikka o'tish:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Siz e'tibor berishingiz kerak bo'lgan birinchi narsa, albatta, birinchi darajali o'nlik kasrdir. Undan xalos bo'lish va shu bilan birga barcha eksponensial funktsiyalarni bir xil bazaga - "2" raqamiga keltirish kerak:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\O'ng strelka ((\left(0,5 \o'ng))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \o‘ng))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Oʻng strelka ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \oʻng))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Zo'r, biz birinchi qadamni tashladik - barchasi bir xil poydevorga olib keldi. Endi biz ta'kidlashimiz kerak ifodani belgilang. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ ekanligini unutmang. Agar biz yangi $((2)^(4x+6))=t$ oʻzgaruvchisini kiritsak, asl tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\boshlang(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end (tekislash)\]

Tabiiyki, savol tug'ilishi mumkin: biz 256 = 2 8 ekanligini qanday bilib oldik? Afsuski, bu erda siz faqat ikkita (va bir vaqtning o'zida uch va besh) kuchlarini bilishingiz kerak. Xo'sh, yoki natijani olmaguncha 256 ni 2 ga bo'ling (siz bo'lishingiz mumkin, chunki 256 juft sondir). Bu shunday ko'rinadi:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\end(tekislash) )\]

Xuddi shu narsa uchta (9, 27, 81 va 243 raqamlari uning vakolatlari) va ettita (49 va 343 raqamlari ham eslash yaxshi bo'lardi). Xo'sh, beshtada siz bilishingiz kerak bo'lgan "chiroyli" darajalar ham bor:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end (tekislash)\]

Albatta, bu raqamlarning barchasi, agar xohlasangiz, ularni bir-biriga ketma-ket ko'paytirish orqali ongda tiklanishi mumkin. Biroq, agar siz bir nechta eksponensial tengsizliklarni echishingiz kerak bo'lsa va har bir keyingisi avvalgisidan qiyinroq bo'lsa, unda siz o'ylashni istagan oxirgi narsa bu erdagi ba'zi raqamlarning kuchlari. Va shu nuqtai nazardan, bu muammolar intervalli usul bilan hal qilinadigan "klassik" tengsizliklarga qaraganda ancha murakkabdir.

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Ko'rsatkichli tenglamalar va ko'rsatkichli tengsizliklar"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.

11-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
9-11-sinflar uchun "Trigonometriya" interfaol qo'llanma
10-11-sinflar uchun "Logarifmlar" interfaol qo'llanma

Ko'rsatkichli tenglamalarning ta'rifi

Bolalar, biz ko'rsatkichli funktsiyalarni o'rgandik, ularning xususiyatlarini o'rgandik va grafiklarni tuzdik, eksponensial funktsiyalar uchraydigan tenglamalar misollarini tahlil qildik. Bugun biz eksponensial tenglamalar va tengsizliklarni o'rganamiz.

Ta'rif. Ko'rinishdagi tenglamalar: $a^(f(x))=a^(g(x))$, bunda $a>0$, $a≠1$ ko'rsatkichli tenglamalar deyiladi.

"Eksponensial funktsiya" mavzusida o'rgangan teoremalarni eslab, biz yangi teoremani kiritishimiz mumkin:
Teorema. Eksponensial tenglama $a^(f(x))=a^(g(x))$, bunda $a>0$, $a≠1$ $f(x)=g(x) tenglamasiga ekvivalent. $.

Ko'rsatkichli tenglamalarga misollar

Misol.
Tenglamalarni yechish:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Qaror.
a) Biz yaxshi bilamizki, $27=3^3$.
Keling, tenglamamizni qayta yozamiz: $3^(3x-3)=3^3$.
Yuqoridagi teoremadan foydalanib, bizning tenglamamiz $3x-3=3$ tenglamasiga kamaytirilishini olamiz, bu tenglamani yechishda $x=2$ olamiz.
Javob: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Keyin tenglamamiz qayta yozilishi mumkin: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) )=((\frac(2)(3))))^(0,2)$.
$2x+0,2=$0,2.
$x=0$.
Javob: $x=0$.

C) Dastlabki tenglama tenglamaga ekvivalent: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ va $x_2=-3$.
Javob: $x_1=6$ va $x_2=-3$.

Misol.
Tenglamani yeching: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Qaror:
Biz ketma-ket harakatlarni bajaramiz va tenglamamizning ikkala qismini bir xil asoslarga keltiramiz.
Keling, chap tomonda bir qator operatsiyalarni bajaramiz:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1)) (4)))^x$.
Keling, o'ng tomonga o'tamiz:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Dastlabki tenglama tenglamaga teng:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Javob: $x=0$.

Misol.
Tenglamani yeching: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Qaror:
Keling, tenglamamizni qayta yozamiz: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
O'zgaruvchilarni o'zgartiramiz, $a=3^x$ bo'lsin.
Yangi o'zgaruvchilarda tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ va $a_2=3$.
O'zgaruvchilarning teskari o'zgarishini bajaramiz: $3^x=-12$ va $3^x=3$.
O'tgan darsda biz eksponensial ifodalar faqat ijobiy qiymatlarni qabul qilishini bilib oldik, grafikni eslang. Demak, birinchi tenglamaning yechimi yo‘q, ikkinchi tenglamaning bitta yechimi bor: $x=1$.
Javob: $x=1$.

Keling, eksponensial tenglamalarni yechish usullarini eslatib o'tamiz:
1. Grafik usul. Tenglamaning ikkala qismini funksiya sifatida ifodalaymiz va ularning grafiklarini tuzamiz, grafiklarning kesishish nuqtalarini topamiz. (Biz bu usuldan oxirgi darsda foydalanganmiz).
2. Ko'rsatkichlarning tengligi printsipi. Printsip ikkita ifoda bilan bog'liqligiga asoslanadi bir xil asoslar agar bu asoslarning darajalari (ko'rsatkichlari) teng bo'lsa, teng bo'ladi. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. O'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli. Agar tenglama o'zgaruvchilarni o'zgartirganda uning shaklini soddalashtirsa va yechish ancha oson bo'lsa, bu usuldan foydalanish kerak.

Misol.
Tenglamalar tizimini yeching: $\begin (holatlar) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(holatlar)$.
Qaror.
Tizimning ikkala tenglamasini alohida ko'rib chiqing:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Ikkinchi tenglamani ko'rib chiqing:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
O'zgaruvchilarni o'zgartirish usulidan foydalanamiz, $y=2^(x+y)$ bo'lsin.
Keyin tenglama quyidagi shaklni oladi:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ va $y_2=-3$.
Keling, boshlang'ich o'zgaruvchilarga o'tamiz, birinchi tenglamadan $x+y=2$ olamiz. Ikkinchi tenglamaning yechimlari yo'q. U holda bizning boshlang‘ich tenglamalar sistemamiz sistemaga ekvivalent bo‘ladi: $\begin (holatlar) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(holatlar)$.
Birinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani ayirib, biz quyidagilarni olamiz: $\begin (holatlar) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(holatlar)$.
$\begin (holatlar) y=-1, \\ x=3. \end(holatlar)$.
Javob: $(3;-1)$.

eksponensial tengsizliklar

Keling, tengsizliklarga o'tamiz. Tengsizliklarni yechishda daraja asosiga e'tibor berish kerak. Tengsizliklarni echishda hodisalarning rivojlanishining ikkita mumkin bo'lgan stsenariysi mavjud.

Teorema. Agar $a>1$ boʻlsa, $a^(f(x))>a^(g(x))$ koʻrsatkichli tengsizlik $f(x)>g(x)$ tengsizligiga ekvivalent boʻladi.
Agar $0 a^(g(x))$ $f(x) ga ekvivalent

Misol.
Tengsizliklarni yeching:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Qaror.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Bizning tengsizligimiz tengsizlikka teng:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Bizning tenglamamizda darajasi kichik bo’lgan baza. 1 dan ortiq bo'lsa, tengsizlikni ekvivalent bilan almashtirganda, belgini o'zgartirish kerak.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Bizning tengsizligimiz tengsizlikka ekvivalent:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Keling, foydalanaylik interval usuli yechimlar:
Javob: $(-∞;-5]U)