Tengsizliklarni intervallar usulida yechish. Kvadrat tengsizliklarni intervalli usulda yechish

Tengsizliklarni yechish uchun interval usuli universal hisoblanadi. Ba'zan bu usulni bo'shliq usuli deb ham atashadi. U bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan ratsional tengsizliklarni va boshqa turdagi tengsizliklarni echish uchun ham ishlatilishi mumkin. Materialimizda biz masalaning barcha jihatlariga e'tibor qaratishga harakat qildik.

Bu bo'limda sizni nima kutmoqda? Biz bo'shliq usulini tahlil qilamiz va uning yordamida tengsizliklarni echish algoritmlarini ko'rib chiqamiz. Keling, teginaylik nazariy jihatlari usulni qo'llash bunga asoslanadi.

Biz mavzuning odatda yoritilmaydigan nuanslariga alohida e'tibor beramiz maktab o'quv dasturi. Masalan, intervallarga belgilar qo'yish qoidalarini va intervallar usulini ko'rib chiqing umumiy ko'rinish uni ratsional tengsizliklar bilan bog'lamasdan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritm

Maktab algebrasi kursida gap usuli qanday kiritilganini kim eslaydi? Odatda hamma narsa f (x) ko'rinishdagi tengsizliklarni yechishdan boshlanadi.< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >yoki ≥). Bu yerda f(x) koʻphad yoki koʻphadlar nisbati boʻlishi mumkin. O'z navbatida polinom quyidagicha ifodalanishi mumkin:

x o'zgaruvchisi uchun koeffitsienti 1 bo'lgan chiziqli binomiallarning ko'paytmasi;
etakchi koeffitsienti 1 va ildizlarining manfiy diskriminantiga ega bo'lgan kvadrat trinomlarning mahsuloti.

Mana shunday tengsizliklarga misollar:

(x + 3) (x 2 - x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0 ,

(x − 5) (x + 5) ≤ 0 ,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

Bunday turdagi tengsizliklarni yechish algoritmini misollarda berganimizdek, interval usulidan foydalanib yozamiz:

pay va maxrajning nollarini topamiz, buning uchun tengsizlikning chap tomonidagi ifodaning pay va maxrajini nolga tenglashtiramiz va hosil bo’lgan tenglamalarni yechamiz;
topilgan nollarga mos keladigan nuqtalarni aniqlang va ularni koordinata o'qiga tire bilan belgilang;
ifoda belgilarini aniqlang f(x) har bir interval bo'yicha yechilgan tengsizlikning chap tomonidan va ularni grafikga qo'ying;
tomonidan boshqariladigan grafikning kerakli bo'limlari ustida lyukni qo'llang keyingi qoida: tengsizlik belgilari bo'lsa< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >yoki ≥ , keyin biz “+” belgisi bilan belgilangan joylarni soya qilib tanlaymiz.

Biz ishlaydigan chizma sxematik ko'rinishga ega bo'lishi mumkin. Haddan tashqari tafsilotlar chizmani ortiqcha yuklaydi va qaror qabul qilishni qiyinlashtiradi. Biz ko'lamga unchalik qiziqmaymiz. Bu yopish uchun etarli bo'ladi to'g'ri joylashuv ularning koordinatalarining qiymatlari ortib borayotgan nuqtalar.

Qat'iy tengsizliklar bilan ishlaganda biz to'ldirilmagan (bo'sh) markazga ega bo'lgan doira shaklida nuqtaning yozuvidan foydalanamiz. Qat'iy bo'lmagan tengsizliklar bo'lsa, maxrajning nollariga mos keladigan nuqtalar bo'sh, qolganlari esa oddiy qora rang sifatida ko'rsatiladi.

Belgilangan nuqtalar koordinata chizig'ini bir nechta sonli intervallarga ajratadi. Bu bizga raqamlar to'plamining geometrik tasvirini olish imkonini beradi, bu aslida berilgan tengsizlikning yechimidir.

Bo'shliq usulining ilmiy asoslari

Intervalli usul asosidagi yondashuv uzluksiz funksiyaning quyidagi xossasiga asoslanadi: funksiya bu funksiya uzluksiz bo‘lgan (a, b) oraliqda o‘zgarmas belgini saqlab qoladi va yo‘qolmaydi. Xuddi shu xususiyat uchun odatiy hisoblanadi sonli nurlar(−∞ , a) va (a , +∞).

Funksiyaning yuqoridagi xossasi Bolzano-Koshi teoremasi bilan tasdiqlangan, u kirish imtihonlariga tayyorgarlik ko‘rish uchun ko‘plab qo‘llanmalarda keltirilgan.

Raqamli tengsizliklar xossalari asosida oraliqlardagi belgining doimiyligini ham asoslash mumkin. Masalan, x - 5 x + 1 > 0 tengsizligini olaylik. Agar pay va maxrajning nollarini topib, ularni son qatoriga qo‘ysak, qator bo‘shliqlar hosil bo‘ladi: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) va (5 , + ∞) .

Har qanday intervalni olib, unda butun oraliqda tengsizlikning chap tomonidagi ifoda doimiy belgiga ega bo'lishini ko'rsatamiz. Bu interval (− ∞ , − 1) bo‘lsin. Bu oraliqdan istalgan t sonni olaylik. t shartlarini qondiradi< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Olingan tengsizliklar va sonli tengsizliklar xossasidan foydalanib, t + 1 deb taxmin qilishimiz mumkin.< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t oraliqda (− ∞ , − 1) .

Salbiy sonlarni bo'lish qoidasidan foydalanib, t - 5 t + 1 ifodasining qiymati ijobiy bo'lishini ta'kidlashimiz mumkin. Bu x - 5 x + 1 ifoda qiymati har qanday qiymat uchun ijobiy bo'lishini anglatadi x bo'shliqdan (− ∞ , − 1) . Bularning barchasi misol sifatida olingan intervalda ifoda doimiy belgiga ega ekanligini ta'kidlashga imkon beradi. Bizning holatlarimizda bu "+" belgisi.

Numerator va maxrajning nollarini topish

Nollarni topish algoritmi oddiy: hisob va maxrajdan olingan ifodalarni nolga tenglashtiramiz va natijada olingan tenglamalarni yechamiz. Qiyinchiliklarga duch kelsangiz, “Tenglamalarni faktoring orqali yechish” mavzusiga murojaat qilishingiz mumkin. Ushbu bo'limda biz bir misol bilan cheklanamiz.

x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxrajning nollarini topish uchun tenglamalarni olish va yechish uchun ularni nolga tenglashtiramiz: x (x - 0, 6) = 0 va x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Birinchi holda, biz ikkita tenglamalar to'plamiga o'tishimiz mumkin x = 0 va x - 0 , 6 = 0 , bu bizga ikkita ildiz 0 va 0 , 6 beradi. Bular numeratorning nollari.

Ikkinchi tenglama uchta tenglama to'plamiga ekvivalentdir x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Biz bir qator o'zgarishlarni amalga oshiramiz va x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0 ni olamiz. Birinchi tenglamaning ildizi 0, ikkinchi tenglamaning ildizi yo'q, chunki u manfiy diskriminantga ega, uchinchi tenglamaning ildizi 5 ga teng. Bular maxrajning nollari.

Bu holda 0 raqamning noli va maxrajning noli hisoblanadi.

Umuman olganda, tengsizlikning chap tomonida ratsional bo'lishi shart bo'lmagan kasr mavjud bo'lganda, tenglamalarni olish uchun pay va maxraj ham nolga tenglashtiriladi. Tenglamalarni yechish hisob va maxrajning nollarini topish imkonini beradi.

Intervalning belgisini aniqlash oddiy. Buning uchun berilgan oraliqdan istalgan ixtiyoriy tanlangan nuqta uchun tengsizlikning chap tomonidagi ifoda qiymatini topish mumkin. Intervalning ixtiyoriy tanlangan nuqtasidagi ifoda qiymatining natijaviy belgisi butun intervalning belgisi bilan mos keladi.

Keling, ushbu bayonotni misol bilan ko'rib chiqaylik.

x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 tengsizlikni oling. Tengsizlikning chap tomonida joylashgan ifoda hisoblagichida nolga ega emas. Nol maxraj soni - 3 bo'ladi. Biz raqamlar chizig'ida ikkita bo'shliqni olamiz (− ∞ , − 3) va (− 3 , + ∞) .

Intervallarning belgilarini aniqlash uchun oraliqlarning har biriga ixtiyoriy ravishda olingan nuqtalar uchun x 2 - x + 4 x + 3 ifoda qiymatini hisoblaymiz.

Birinchi intervaldan (− ∞ , − 3) oling - 4. Da x = -4 bizda (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Bizda bor salbiy ma'no, shuning uchun butun interval "-" belgisi bilan bo'ladi.

Bo'shliq uchun (− 3 , + ∞) nol koordinatasiga ega bo'lgan nuqta bilan hisob-kitoblarni amalga oshiramiz. x = 0 uchun bizda 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 mavjud. Biz ijobiy qiymat oldik, ya'ni butun intervalda "+" belgisi bo'ladi.

Belgilarni aniqlashning boshqa usulidan foydalanishingiz mumkin. Buning uchun intervallardan birida belgini topib, uni saqlashimiz yoki noldan o'tganda o'zgartirishimiz mumkin. Har bir narsani to'g'ri bajarish uchun quyidagi qoidaga amal qilish kerak: maxrajning nol qismidan o'tayotganda, lekin ayiruvchi emas, yoki hisoblagich emas, balki maxrajning darajasi bo'lsa, biz belgini teskarisiga o'zgartirishimiz mumkin. Bu nolni beradigan ifoda toq va agar daraja juft bo'lsa, biz belgini o'zgartira olmaymiz. Agar biz ayiruvchi va maxrajning ham nolga teng nuqtani olgan bo'lsak, u holda bu nolni beradigan iboralarning darajalari yig'indisi toq bo'lgandagina belgini teskari tomonga o'zgartirish mumkin.

Agar biz ushbu materialning birinchi xatboshi boshida ko'rib chiqqan tengsizlikni eslasak, eng o'ng oraliqda biz "+" belgisini qo'yishimiz mumkin.

Endi misollarga murojaat qilaylik.

(x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 tengsizlikni oling va uni intervalli usul yordamida yeching. Buning uchun pay va maxrajning nollarini topib, ularni koordinatali chiziqda belgilashimiz kerak. Numeratorning nollari nuqtalar bo'ladi 2 , 3 , 4 , nuqtaning maxraji 1 , 3 , 4. Biz ularni koordinata o'qiga tire bilan belgilaymiz.

Maxrajning nollari bo'sh nuqtalar bilan belgilanadi.

Biz qat'iy bo'lmagan tengsizlik bilan shug'ullanayotganimiz sababli, qolgan chiziqlarni oddiy nuqtalar bilan almashtiramiz.

Endi nuqtalarni intervallarga joylashtiramiz. Eng o'ngdagi oraliq (4, +∞) + belgisi bo'ladi.

O'ngdan chapga o'tib, qolgan bo'shliqlarni belgilaymiz. Biz 4 koordinatali nuqtadan o'tamiz. Bu raqam va maxrajning noli. Xulosa qilib aytganda, bu nollar ifodalarni beradi (x − 4) 2 Va x − 4. Biz ularning kuchlarini 2 + 1 = 3 qo'shamiz va olamiz toq raqam. Bu shuni anglatadiki, bu holda o'tishdagi belgi teskarisiga o'zgaradi. Intervalda (3, 4) minus belgisi bo'ladi.

Koordinatasi 3 bo'lgan nuqta orqali (2, 3) intervalga o'tamiz. Bu ham hisoblagich, ham maxraj uchun nolga teng. Biz buni ikkita ifoda tufayli oldik (x - 3) 3 va (x − 3) 5, ularning kuchlari yig'indisi 3 + 5 = 8 ga teng. Juft sonni olish oraliq belgisini o'zgarishsiz qoldirish imkonini beradi.

Koordinatasi 2 bo'lgan nuqta hisoblagichning noli hisoblanadi. X - 2 ifoda darajasi 1 (toq) ga teng. Bu shuni anglatadiki, bu nuqtadan o'tayotganda, belgi teskari bo'lishi kerak.

Bizda oxirgi interval (− ∞ , 1) qoldi. Koordinatasi 1 bo'lgan nuqta nol maxrajdir. Bu ifodadan kelib chiqqan (x − 1) 4, teng daraja bilan 4 . Shuning uchun belgi bir xil bo'lib qoladi. Yakuniy chizma quyidagicha ko'rinadi:

Interval usulidan foydalanish, ayniqsa, ifoda qiymatini hisoblash katta hajmdagi ish bilan bog'liq bo'lgan hollarda samarali bo'ladi. Misol sifatida ifoda qiymatini baholash zarurati bo'lishi mumkin

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

3 - 3 4, 3 - 2 4 oralig'ining istalgan nuqtasida.

Endi olingan bilim va ko'nikmalarni amaliyotda qo'llaymiz.

1-misol

(x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 tengsizlikni yeching.

Yechim

Tengsizlikni yechish uchun intervallar usulini qo'llash maqsadga muvofiqdir. Numerator va maxrajning nollarini toping. Numerator nollari 1 va - 5, maxraj nollari 7 va 1. Keling, ularni raqamlar qatorida belgilaymiz. Biz qat'iy bo'lmagan tengsizlik bilan shug'ullanamiz, shuning uchun biz maxrajning nollarini bo'sh nuqtalar bilan belgilaymiz, hisoblagichning noli - 5 muntazam to'ldirilgan nuqta bilan belgilanadi.

Biz noldan o'tayotganda belgini o'zgartirish qoidalaridan foydalangan holda bo'shliqlarning belgilarini qo'yamiz. Keling, eng o'ng oraliqdan boshlaylik, buning uchun biz tengsizlikning chap tomonidagi ifodaning qiymatini oraliqdan o'zboshimchalik bilan olingan nuqtada hisoblaymiz. Biz "+" belgisini olamiz. Keling, koordinata chizig'idagi barcha nuqtalardan ketma-ket o'tib, belgilarni qo'yamiz va quyidagilarga erishamiz:

Biz ≤ belgisiga ega bo'lgan qat'iy bo'lmagan tengsizlik bilan ishlaymiz. Bu shuni anglatadiki, biz "-" belgisi bilan belgilangan bo'shliqlarni soya bilan belgilashimiz kerak.

Javob: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Ratsional tengsizliklarni hal qilish ko'p hollarda ularni oldindan o'zgartirishni talab qiladi to'g'ri turdagi. Shundagina interval usulidan foydalanish mumkin bo'ladi. Bunday o'zgartirishlarni amalga oshirish algoritmlari "Ratsional tengsizliklarni yechish" materialida ko'rib chiqiladi.

Kvadrat trinomlarni tengsizlikka aylantirish misolini ko'rib chiqing.

2-misol

(x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 tengsizlikning yechimini toping.

Yechim

Keling, tengsizlik yozuvidagi kvadrat trinomlarning diskriminantlari haqiqatan ham manfiy ekanligini bilib olaylik. Bu bizga ushbu tengsizlikning shakli yechimga interval usulini qo'llash imkonini beradimi yoki yo'qligini aniqlash imkonini beradi.

Trinomial uchun diskriminantni hisoblang x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0 . Endi x 2 + 2 x - 8 trinomial uchun diskriminantni hisoblaymiz: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Ko'rib turganingizdek, tengsizlik oldindan o'zgartirishni talab qiladi. Buning uchun biz x 2 + 2 x - 8 trinomialni ifodalaymiz (x + 4) (x - 2), va keyin (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 tengsizlikni yechish uchun interval usulini qo'llang.

Javob: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

f (x) ko'rinishdagi tengsizliklarni yechish uchun umumlashtirilgan bo'shliq usuli qo'llaniladi.< 0 (≤ , >, ≥) , bu erda f (x) bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan ixtiyoriy ifodadir x.

Barcha harakatlar ma'lum bir algoritmga muvofiq amalga oshiriladi. Bunday holda, tengsizliklarni umumlashtirilgan interval usuli bilan yechish algoritmi biz avval tahlil qilganimizdan biroz farq qiladi:

f funksiyaning aniqlanish sohasini va bu funksiyaning nollarini toping;
koordinata o'qi bo'yicha chegara nuqtalarini belgilang;
funktsiyaning nollarini sonlar qatoriga solish;
intervallarning belgilarini aniqlash;
biz inkubatsiyani qo'llaymiz;
javobni yozing.

Raqam chizig'ida, shuningdek, ta'rif sohasining alohida nuqtalarini belgilash kerak. Masalan, funksiyaning aniqlanish sohasi (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) toʻplamdir. . Bu shuni anglatadiki, biz nuqtalarni koordinatalari bilan belgilashimiz kerak - 5 , 1 , 3 , 4 , 7 Va 10 . ball − 5 va 7 bo'sh ko'rsatilgan, qolganlarini funksiyaning nollaridan farqlash uchun rangli qalam bilan ajratib ko'rsatish mumkin.

Qat'iy bo'lmagan tengsizliklar holatida funksiyaning nollari oddiy (soyali) nuqtalar bilan, qat'iy tengsizliklar uchun esa bo'sh nuqtalar bilan belgilanadi. Agar nollar chegara nuqtalari yoki aniqlanish sohasining alohida nuqtalariga to'g'ri kelsa, ular qora rangga bo'yalgan bo'lib, tengsizlik turiga qarab ularni bo'sh yoki to'ldirish mumkin.

Javob yozuvi raqam to'plami Bunga quyidagilar kiradi:

ochilgan bo'shliqlar;
Agar biz belgisi > yoki ≥ bo'lgan tengsizlik bilan ishlayotgan bo'lsak, domenning ortiqcha belgisi bilan yoki tengsizlikda belgilar mavjud bo'lsa, minus belgisi bilan alohida nuqtalar.< или ≤ .

Endi biz mavzuning boshida taqdim etgan algoritm umumlashtirilgan interval usulini qo'llash algoritmining alohida holati ekanligi ayon bo'ldi.

Umumlashtirilgan interval usulini qo'llash misolini ko'rib chiqing.

3-misol

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 tengsizlikni yeching.< 0 .

Yechim

f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 bo'ladigan f funksiyani kiritamiz. Funktsiya sohasini toping f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Endi funksiyaning nollarini topamiz. Buning uchun irratsional tenglamani yechamiz:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Biz ildizni olamiz x = 12 .

Koordinata o'qida chegara nuqtalarini belgilash uchun biz foydalanamiz To'q sariq rang. Ballar - 6, 4 ball to'ldiriladi, 7 ball esa bo'sh qoladi. Biz olamiz:

Biz funktsiyaning nolini bo'sh qora nuqta bilan belgilaymiz, chunki biz qat'iy tengsizlik bilan ishlaymiz.

Biz belgilarni alohida intervallarda aniqlaymiz. Buning uchun har bir oraliqdan bitta nuqta oling, masalan, 16 , 8 , 6 Va − 8 , va ulardagi funksiya qiymatini hisoblang f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Biz hozirgina belgilagan belgilarni joylashtiramiz va minus belgisi bilan bo'shliqlar ustiga lyuk qo'llaymiz:

Javob "-" belgisi bilan ikkita intervalning birlashuvi bo'ladi: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Bunga javoban biz koordinatali nuqtani kiritdik - 6 . Bu qat’iy tengsizlikni yechishda javobga kiritmaydigan funksiyaning noli emas, balki aniqlanish sohasiga kirgan ta’rif sohasining chegara nuqtasidir. Funktsiyaning bu nuqtadagi qiymati manfiy, ya'ni u tengsizlikni qanoatlantiradi.

Biz butun oraliqni kiritmaganimizdek, javobga 4-bandni kiritmadik [4, 7) . Bu nuqtada, xuddi butun belgilangan oraliqdagi kabi, funktsiyaning qiymati musbat bo'lib, echilayotgan tengsizlikni qanoatlantirmaydi.

Aniqroq tushunish uchun uni yana bir bor yozamiz: quyidagi hollarda rangli nuqtalar javobga kiritilishi kerak:

bu nuqtalar ochilgan bo'shliqning bir qismidir,
bu nuqtalar funksiya sohasining alohida nuqtalari, yechishdagi tengsizlikni qanoatlantiradigan funksiya qiymatlari.

Javob: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Bo'shliq usuli kasrli ratsional tengsizliklarni yechishning oddiy usulidir. Bu o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan ratsional (yoki kasr-ratsional) ifodalarni o'z ichiga olgan tengsizliklarning nomi.

1. Masalan, quyidagi tengsizlikni ko'rib chiqaylik

Intervalli usul uni bir necha daqiqada hal qilishga imkon beradi.

Bu tengsizlikning chap tomonida kasrli ratsional funksiya joylashgan. Ratsional, chunki unda na ildizlar, na sinuslar, na logarifmlar mavjud - faqat ratsional ifodalar. O'ng tomonda nol.

Intervalli usul kasrli ratsional funksiyaning quyidagi xossasiga asoslanadi.

Kasr ratsional funktsiya belgisini faqat nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalarda o'zgartirishi mumkin.

Faktorlarga ajratishni eslang kvadrat trinomial, ya'ni shaklning ifodasi.

Ildizlar qayerda va kvadrat tenglama.

Biz o'qni chizamiz va hisoblagich va maxraj yo'qolgan nuqtalarni joylashtiramiz.

Maxrajning nollari va teshilgan nuqtalardir, chunki bu nuqtalarda tengsizlikning chap tomonidagi funktsiya aniqlanmagan (nolga bo'linib bo'lmaydi). Numerator va - nollari soyalanadi, chunki tengsizlik qat'iy emas. For va bizning tengsizligimiz qondiriladi, chunki uning ikkala qismi ham nolga teng.

Bu nuqtalar o'qni intervallarga ajratadi.

Bu oraliqlarning har birida tengsizligimizning chap tomonidagi kasr-ratsional funksiyaning ishorasini aniqlaymiz. Esda tutamizki, kasrli ratsional funktsiya faqat nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalarda belgini o'zgartirishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, pay yoki maxraj yo'qolgan nuqtalar orasidagi intervallarning har birida tengsizlikning chap tomonidagi ifoda belgisi doimiy bo'ladi - "ortiqcha" yoki "minus".

Va shuning uchun har bir bunday intervalda funktsiyaning ishorasini aniqlash uchun biz ushbu intervalga tegishli har qanday nuqtani olamiz. Bizga mos keladigani.
. Masalan, tengsizlikning chap tomonidagi ifoda belgisini oling. "Qavslar" ning har biri salbiy. Chap tomonda belgi bor.

Keyingi interval: . uchun belgini tekshirib ko'raylik. Biz chap tomonning belgisini o'zgartirganligini tushunamiz.

Keling, olaylik. Ifoda ijobiy bo'lsa - demak, u dan gacha bo'lgan butun intervalda ijobiy bo'ladi.

, uchun tengsizlikning chap tomoni manfiy.

Va nihoyat class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Qaysi intervallarda ifoda ijobiy ekanligini aniqladik. Javob yozish qoladi:

Javob: .

Iltimos, diqqat qiling: intervallardagi belgilar bir-birini almashtiradi. Bu sodir bo'ldi, chunki har bir nuqtadan o'tayotganda, chiziqli omillarning aniq biri belgisini o'zgartirdi, qolganlari esa uni o'zgarmadi.

Biz interval usuli juda oddiy ekanligini ko'ramiz. Kasr-ratsional tengsizlikni oraliqlar usuli bilan yechish uchun uni quyidagi shaklga keltiramiz:

Yoki class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \o'ng))(\displaystyle Q\left(x \o'ng)) > 0"> !}, yoki yoki.

(chap tomonda - kasr-ratsional funktsiya, o'ng tomonda - nol).

Keyin - son chizig'ida pay yoki maxraj yo'qolgan nuqtalarni belgilaymiz.
Bu nuqtalar butun son chizig'ini intervallarga ajratadi, ularning har birida kasr-ratsional funktsiya o'z belgisini saqlab qoladi.
Har bir oraliqda uning belgisini bilishgina qoladi.
Buni berilgan oraliqning istalgan nuqtasida ifoda belgisini tekshirish orqali amalga oshiramiz. Shundan so'ng biz javobni yozamiz. Hammasi shu.

Ammo savol tug'iladi: belgilar har doim o'zgarib turadimi? Yo'q har doim emas! Biz belgilarni mexanik va o'ylamasdan joylashtirishdan ehtiyot bo'lishimiz kerak.

2. Keling, boshqa tengsizlikni ko'rib chiqaylik.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \o'ng)^2)(\displaystyle \chap(x-1 \o'ng)) \left(x-3\right))>0"> !}

Biz yana nuqtalarni o'qga joylashtiramiz. Nuqtalar va nuqtalar teshilgan, chunki ular maxrajning nollaridir. Tengsizlik qat'iy bo'lgani uchun nuqta ham teshilgan.

Numerator musbat bo'lsa, maxrajdagi ikkala omil ham manfiy bo'ladi. Buni ma'lum bir oraliqdan istalgan raqamni olish orqali tekshirish oson, masalan, . Chap tomonda belgi bor:

Hisoblagich musbat bo'lganda; maxrajdagi birinchi omil ijobiy, ikkinchi omil salbiy. Chap tomonda belgi bor:

Vaziyat bir xil bo'lganda! Numerator musbat, maxrajdagi birinchi omil ijobiy, ikkinchisi salbiy. Chap tomonda belgi bor:

Nihoyat, class="tex" alt="(!LANG:x>3) bilan"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Javob: .

Nima uchun belgilar almashinuvi buzilgan? Chunki nuqtadan o'tayotganda multiplikator buning uchun "mas'ul" belgisini o'zgartirmagan. Binobarin, tengsizligimizning butun chap tomoni ham belgini o'zgartirmadi.

Chiqish: agar chiziqli omil teng quvvatda bo'lsa (masalan, kvadratda), u holda nuqtadan o'tayotganda chap tomondagi ifoda belgisi o'zgarmaydi.. G'alati daraja bo'lsa, belgi, albatta, o'zgaradi.

3. Ko'proq o'ylab ko'ring qiyin ish. Bu avvalgisidan farq qiladi, chunki tengsizlik qat'iy emas:

Chap tomoni oldingi muammoda bo'lgani kabi. Belgilarning rasmi bir xil bo'ladi:

Balki javob bir xil bo'lar? Yo'q! Yechim qo'shiladi Buning sababi shundaki, da , tengsizlikning chap va o'ng tomonlari ham nolga teng - shuning uchun bu nuqta yechimdir.

Javob: .

Matematikadan imtihondagi masalada bunday holat tez-tez uchrab turadi. Bu yerda abituriyentlar tuzoqqa tushib, ochko yo‘qotishadi. Diqqatli bo'ling!

4. Agar pay yoki maxrajni chiziqli omillarga ajratib bo'lmasa-chi? Ushbu tengsizlikni ko'rib chiqing:

Kvadrat trinomial faktorlarga ajratilmaydi: diskriminant manfiy, ildizlari yo'q. Lekin bu yaxshi! Bu iboraning belgisi hamma uchun bir xil, xususan, ijobiy ekanligini anglatadi. Bu haqda ko'proq xususiyatlar maqolasida o'qishingiz mumkin. kvadratik funktsiya.

Va endi biz tengsizligimizning ikkala tomonini hamma uchun ijobiy bo'lgan qiymatga bo'lishimiz mumkin. Ekvivalent tengsizlikka erishamiz:

Interval usuli bilan osonlikcha yechiladi.

E'tibor bering - biz tengsizlikning ikkala tomonini ijobiy ekanligini aniq bilgan qiymatga bo'ldik. Albatta, umumiy holatda, tengsizlikni ko'paytirmaslik yoki bo'lish kerak emas o'zgaruvchan, uning belgisi noma'lum.

5 . Ko'rinishidan juda oddiy bo'lgan boshqa tengsizlikni ko'rib chiqing:

Shuning uchun men uni ga ko'paytirmoqchiman. Ammo biz allaqachon aqllimiz va buni qilmaymiz. Axir, u ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin. Va biz bilamizki, agar tengsizlikning ikkala qismi manfiy qiymatga ko'paytirilsa, tengsizlik belgisi o'zgaradi.

Biz boshqacha harakat qilamiz - biz hamma narsani bir qismga yig'amiz va uni umumiy maxrajga keltiramiz. Nol o'ng tomonda qoladi:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Va bundan keyin - amal qiladi interval usuli.

Bo'shliq usuli kasrli ratsional tengsizliklarni yechishning oddiy usulidir. Bu o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan ratsional (yoki kasr-ratsional) ifodalarni o'z ichiga olgan tengsizliklarning nomi.

1. Masalan, quyidagi tengsizlikni ko'rib chiqaylik

Intervalli usul uni bir necha daqiqada hal qilishga imkon beradi.

Bu tengsizlikning chap tomonida kasrli ratsional funksiya joylashgan. Ratsional, chunki unda na ildizlar, na sinuslar, na logarifmlar mavjud - faqat ratsional ifodalar. O'ng tomonda nol.

Intervalli usul kasrli ratsional funksiyaning quyidagi xossasiga asoslanadi.

Kasr ratsional funktsiya belgisini faqat nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalarda o'zgartirishi mumkin.

Kvadrat uch a'zoning qanday koeffitsientlarga ajratilganligini, ya'ni shaklning ifodasini eslang.

Kvadrat tenglamaning ildizlari qayerda va.

Biz o'qni chizamiz va hisoblagich va maxraj yo'qolgan nuqtalarni joylashtiramiz.

Bu nuqtalar o'qni intervallarga ajratadi.

Keyingi interval: . uchun belgini tekshirib ko'raylik. Biz chap tomonning belgisini o'zgartirganligini tushunamiz.

Keling, olaylik. Ifoda ijobiy bo'lsa - demak, u dan gacha bo'lgan butun intervalda ijobiy bo'ladi.

, uchun tengsizlikning chap tomoni manfiy.

Qaysi intervallarda ifoda ijobiy ekanligini aniqladik. Javob yozish qoladi:

Javob: .

Biz interval usuli juda oddiy ekanligini ko'ramiz. Kasr-ratsional tengsizlikni oraliqlar usuli bilan yechish uchun uni quyidagi shaklga keltiramiz:

Yoki class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \o'ng))(\displaystyle Q\left(x \o'ng)) > 0"> !}, yoki yoki.

(chap tomonda - kasr-ratsional funktsiya, o'ng tomonda - nol).

Ammo savol tug'iladi: belgilar har doim o'zgarib turadimi? Yo'q har doim emas! Biz belgilarni mexanik va o'ylamasdan joylashtirishdan ehtiyot bo'lishimiz kerak.

2. Keling, boshqa tengsizlikni ko'rib chiqaylik.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \o'ng)^2)(\displaystyle \chap(x-1 \o'ng)) \left(x-3\right))>0"> !}

Biz yana nuqtalarni o'qga joylashtiramiz. Nuqtalar va nuqtalar teshilgan, chunki ular maxrajning nollaridir. Tengsizlik qat'iy bo'lgani uchun nuqta ham teshilgan.

Numerator musbat bo'lsa, maxrajdagi ikkala omil ham manfiy bo'ladi. Buni ma'lum bir oraliqdan istalgan raqamni olish orqali tekshirish oson, masalan, . Chap tomonda belgi bor:

Hisoblagich musbat bo'lganda; maxrajdagi birinchi omil ijobiy, ikkinchi omil salbiy. Chap tomonda belgi bor:

Vaziyat bir xil bo'lganda! Numerator musbat, maxrajdagi birinchi omil ijobiy, ikkinchisi salbiy. Chap tomonda belgi bor:

Nihoyat, class="tex" alt="(!LANG:x>3) bilan"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Javob: .

Chiqish: agar chiziqli omil teng quvvatda bo'lsa (masalan, kvadratda), u holda nuqtadan o'tayotganda chap tomondagi ifoda belgisi o'zgarmaydi.. G'alati daraja bo'lsa, belgi, albatta, o'zgaradi.

3. Keling, yanada murakkab ishni ko'rib chiqaylik. Bu avvalgisidan farq qiladi, chunki tengsizlik qat'iy emas:

Chap tomoni oldingi muammoda bo'lgani kabi. Belgilarning rasmi bir xil bo'ladi:

Balki javob bir xil bo'lar? Yo'q! Yechim qo'shiladi Buning sababi shundaki, da , tengsizlikning chap va o'ng tomonlari ham nolga teng - shuning uchun bu nuqta yechimdir.

Javob: .

Matematikadan imtihondagi masalada bunday holat tez-tez uchrab turadi. Bu yerda abituriyentlar tuzoqqa tushib, ochko yo‘qotishadi. Diqqatli bo'ling!

4. Agar pay yoki maxrajni chiziqli omillarga ajratib bo'lmasa-chi? Ushbu tengsizlikni ko'rib chiqing:

Kvadrat trinomial faktorlarga ajratilmaydi: diskriminant manfiy, ildizlari yo'q. Lekin bu yaxshi! Bu iboraning belgisi hamma uchun bir xil, xususan, ijobiy ekanligini anglatadi. Bu haqda ko'proq ma'lumotni kvadrat funktsiyaning xususiyatlari haqidagi maqolada o'qishingiz mumkin.

Va endi biz tengsizligimizning ikkala tomonini hamma uchun ijobiy bo'lgan qiymatga bo'lishimiz mumkin. Ekvivalent tengsizlikka erishamiz:

Interval usuli bilan osonlikcha yechiladi.

E'tibor bering - biz tengsizlikning ikkala tomonini ijobiy ekanligini aniq bilgan qiymatga bo'ldik. Albatta, umumiy holatda, tengsizlikni belgisi noma'lum o'zgaruvchiga ko'paytirmaslik yoki bo'lish kerak emas.

5 . Ko'rinishidan juda oddiy bo'lgan boshqa tengsizlikni ko'rib chiqing:

Biz boshqacha harakat qilamiz - biz hamma narsani bir qismga yig'amiz va uni umumiy maxrajga keltiramiz. Nol o'ng tomonda qoladi:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Va bundan keyin - amal qiladi interval usuli.

Tengsizliklarni interval usuli yordamida yechish (algoritm misollar bilan)

Misol . (OGE topshirig'i) Tengsizlikni \((x-7)^2 intervalli usuli bilan yeching< \sqrt{11}(x-7)\)
Yechim:

Javob : \((7;7+\sqrt(11))\)

Misol . Tengsizlikni \(≥0\) interval usuli bilan yeching.
Yechim:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Bu erda, birinchi qarashda, hamma narsa normal ko'rinadi va tengsizlik dastlab kerakli shaklga tushiriladi. Ammo bu unday emas - axir, hisoblagichning birinchi va uchinchi qavslarida x minus belgisi bilan. Biz qavslarni o'zgartiramiz, to'rtinchi daraja juft (ya'ni minus belgisini olib tashlaydi), uchinchisi esa toq (ya'ni uni olib tashlamaydi). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Mana bunday. Endi biz qavslarni allaqachon aylantirilgan "joyida" qaytaramiz.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Endi barcha qavslar kerak bo'lganda ko'rinadi (avval imzosiz kostyum keladi va faqat keyin raqam). Lekin numeratordan oldin minus bor edi. Biz uni tengsizlikni \(-1\) ga ko'paytirish orqali olib tashlaymiz, taqqoslash belgisini teskari o'zgartirishni unutmang.
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Tayyor. Endi tengsizlik to'g'ri ko'rinadi. Interval usulidan foydalanishingiz mumkin.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Keling, nuqtalarni eksa, belgilar va kerakli bo'shliqlar ustiga bo'yab qo'ying.
		\(4\) dan \(6\) oralig'ida belgini o'zgartirish shart emas, chunki \((x-6)\) qavs teng darajada (algoritmning 4-bandiga qarang). . Bayroq oltitalik ham tengsizlikka yechim ekanligini eslatib turadi. Keling, javobni yozamiz.

Javob : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\chap\(6\o'ng\)\)

Misol.(OGEdan topshiriq) Tengsizlikni \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\) oraliq usuli yordamida yeching.
Yechim:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Chap va o'ng bir xil - bu tasodifiy emas. Birinchi istak - bu \(-x^2-64\) ga bo'linishdir, lekin bu xato, chunki ildizni yo'qotish ehtimoli bor. Buning oʻrniga \(64(-x^2-64)\) ga oʻting chap tomoni
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Birinchi qavsdagi minusni chiqarib, ikkinchisini ko'paytiring
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		E'tibor bering, \(x^2\) nol yoki noldan katta. Bu shuni anglatadiki, \(x^2+64\) x ning istalgan qiymati uchun yagona musbat, ya'ni bu ifoda chap tomonning belgisiga hech qanday ta'sir qilmaydi. Shuning uchun biz ushbu ifoda orqali tengsizlikning ikkala qismini xavfsiz tarzda ajratishimiz mumkin. Minusdan qutulish uchun tengsizlikni \(-1\) ga ham ajratamiz.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Endi siz interval usulini qo'llashingiz mumkin
\(x=8;\) \(x=-8\)		Keling, javobni yozamiz