"imtihon va oge topshiriqlarida ehtimollik nazariyasi". Ehtimollar nazariyasining oddiy masalalari

Bugungi kunga qadar matematika bo'yicha USE muammolarining ochiq bankida (mathege.ru) taqdim etilgan bo'lib, uning echimi ehtimollikning klassik ta'rifi bo'lgan faqat bitta formulaga asoslangan.

Formulani tushunishning eng oson yo'li misollardir.
1-misol Savatda 9 ta qizil va 3 ta ko'k to'p bor. To'plar faqat rangi bilan farqlanadi. Tasodifiy (qaramasdan) biz ulardan birini olamiz. Shu tarzda tanlangan to'pning ko'k bo'lish ehtimoli qanday?

Izoh. Ehtimollik muammolarida biror narsa sodir bo'ladi (bu holda, to'pni tortib olish bizning harakatimiz). boshqacha natija- natija. Shuni ta'kidlash kerakki, natijani turli yo'llar bilan ko'rish mumkin. "Biz to'p chiqarib oldik" ham natija. "Biz ko'k to'pni chiqarib oldik" - natija. "Biz ushbu aniq to'pni barcha mumkin bo'lgan to'plardan tortib oldik" - natijaning eng kam umumlashtirilgan ko'rinishi elementar natija deb ataladi. Bu ehtimollikni hisoblash uchun formulada nazarda tutilgan elementar natijalardir.

Qaror. Endi biz ko'k to'pni tanlash ehtimolini hisoblaymiz.
A hodisasi: "tanlangan to'p ko'k bo'lib chiqdi"
Barcha mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni: 9+3=12 (biz chizishimiz mumkin bo'lgan barcha to'plar soni)
A hodisasi uchun qulay natijalar soni: 3 (A hodisasi sodir bo'lgan bunday natijalar soni - ya'ni ko'k sharlar soni)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Javob: 0,25

Xuddi shu masala uchun qizil to'pni tanlash ehtimolini hisoblaylik.
Mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni bir xil bo'lib qoladi, 12. Qulay natijalar soni: 9. Istalgan ehtimollik: 9/12=3/4=0,75

Har qanday hodisaning ehtimoli har doim 0 dan 1 gacha.
Ba'zan kundalik nutqda (lekin ehtimollik nazariyasida emas!) Hodisalarning ehtimoli foiz sifatida baholanadi. Matematik va suhbat orqali baholash o'rtasidagi o'tish 100% ga ko'paytirish (yoki bo'lish) orqali amalga oshiriladi.
Shunday qilib,
Bunday holda, sodir bo'lishi mumkin bo'lmagan hodisalar uchun ehtimollik nolga teng - ehtimolsiz. Misol uchun, bizning misolimizda, bu savatdan yashil to'pni chizish ehtimoli bo'ladi. (Agar formula bo'yicha hisoblansa, qulay natijalar soni 0, P(A)=0/12=0)
1-ehtimolda variantlarsiz mutlaqo sodir bo'ladigan voqealar mavjud. Masalan, "tanlangan to'p qizil yoki ko'k bo'lishi" ehtimoli bizning muammomiz uchun. (Qulay natijalar soni: 12, P(A)=12/12=1)

Biz ehtimollik ta'rifini ko'rsatadigan klassik misolni ko'rib chiqdik. Hamma o'xshash Vazifalardan foydalanish ehtimollar nazariyasiga ko'ra, ushbu formulani qo'llash orqali hal qilinadi.
Qizil va ko'k sharlar o'rniga olma va nok, o'g'il va qizlar, o'rganilgan va o'rganilmagan chiptalar, ma'lum bir mavzu bo'yicha savolni o'z ichiga olgan va unda bo'lmagan chiptalar (prototiplar , ), nuqsonli va yuqori sifatli sumkalar yoki bog 'nasoslari (prototiplar) bo'lishi mumkin. , ) - printsip bir xil bo'lib qoladi.

Ular USE ehtimollik nazariyasi muammosini shakllantirishda bir oz farq qiladi, bu erda siz ma'lum bir kunda sodir bo'lgan voqea ehtimolini hisoblashingiz kerak. ( , ) Oldingi vazifalarda bo'lgani kabi, elementar natija nima ekanligini aniqlashingiz kerak va keyin xuddi shu formulani qo'llashingiz kerak.

2-misol Konferensiya uch kun davom etadi. Birinchi va ikkinchi kunlarda har birida 15 tadan, uchinchi kunda 20. Maʼruzalarni topshirish tartibi lotereya orqali aniqlansa, uchinchi kunga professor M.ning maʼruzasi tushishi ehtimoli qanday?

Bu erda elementar natija nima? - Professor ma'ruzasini nutq uchun barcha mumkin bo'lgan seriya raqamlaridan biriga belgilash. O'yinda 15+15+20=50 kishi ishtirok etadi. Shunday qilib, professor M.ning hisoboti 50 ta raqamdan birini olishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, faqat 50 ta elementar natijalar mavjud.
Qanday ijobiy natijalar bor? - Professor uchinchi kuni nutq so'zlashi ma'lum bo'lganlar. Ya'ni oxirgi 20 ta raqam.
Formulaga ko'ra, ehtimollik P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Javob: 0,4

Bu erda qur'a tashlash - bu odamlar va buyurtma qilingan joylar o'rtasida tasodifiy yozishmalarni o'rnatish. 2-misolda, ma'lum bir shaxsning qaysi joyni egallashi mumkinligi nuqtai nazaridan moslik ko'rib chiqildi. Xuddi shu vaziyatga boshqa tomondan yondashishingiz mumkin: odamlardan qaysi biri ma'lum bir joyga qanday ehtimollik bilan etib borishi mumkin (prototiplar , , , ):

3-misol Qura tashlashda 5 nafar nemis, 8 nafar frantsuz va 3 nafar estoniyalik ishtirok etmoqda. Birinchi (/ikkinchi/ettinchi/oxirgi - bu muhim emas) frantsuz bo'lish ehtimoli qanday?

Elementar natijalar soni - barchasining soni mumkin bo'lgan odamlar lot bo'yicha kim kirishi mumkin edi joy berilgan. 5+8+3=16 kishi.
Qulay natijalar - frantsuzlar. 8 kishi.
Kerakli ehtimollik: 8/16=1/2=0,5
Javob: 0,5

Prototip biroz boshqacha. Tangalar () va zarlar () haqida biroz ijodiyroq vazifalar mavjud. Ushbu muammolarning echimlarini prototip sahifalarida topish mumkin.

Mana, tanga otish yoki zar otishning ba'zi misollari.

4-misol Biz tanga tashlaganimizda, dumlar paydo bo'lish ehtimoli qanday?
Natijalar 2 - boshlar yoki quyruqlar. (tanga hech qachon chetiga tushmaydi, deb ishoniladi) Qulay natija - dumlar, 1.
Ehtimollik 1/2=0,5
Javob: 0,5.

5-misol Agar tangani ikki marta aylantirsak nima bo'ladi? Ikkala marta ham yuqoriga ko'tarilish ehtimoli qanday?
Asosiysi, ikkita tanga tashlashda qaysi elementar natijalarni hisobga olishimizni aniqlash. Ikki tanga uloqtirgandan so'ng, quyidagi natijalardan biri paydo bo'lishi mumkin:
1) PP - ikkala marta ham dumlari chiqdi
2) PO - birinchi marta quyruqlar, ikkinchi marta boshlar
3) OP - birinchi marta boshlar, ikkinchi marta dumlar
4) OO - ikkala marta ham bosh ko'taradi
Boshqa variantlar yo'q. Bu shuni anglatadiki, 4 ta elementar natija mavjud.Faqat birinchisi qulay, 1.
Ehtimollik: 1/4=0,25
Javob: 0,25

Ikkita tanga otilishi dumga tushish ehtimoli qanday?
Elementar natijalar soni bir xil, 4. Qulay natijalar ikkinchi va uchinchi, 2.
Bir dumini olish ehtimoli: 2/4=0,5

Bunday muammolarda boshqa formula yordam berishi mumkin.
Agar bir tanga otish bilan variantlari bizda 2 ta natija bor, keyin ikkita uloqtirish uchun natijalar 2 2=2 2 =4 bo'ladi (5-misoldagi kabi), uchta otish uchun 2 2 2=2 3 =8, to'rtta uchun: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … N ta otish uchun 2·2·...·2=2 N ta mumkin natija mavjud.

Shunday qilib, siz 5 ta tanga otishdan 5 ta dum olish ehtimolini topishingiz mumkin.
Elementar natijalarning umumiy soni: 2 5 =32.
Qulay natijalar: 1. (RRRRRR - barcha 5 marta quyruq)
Ehtimollik: 1/32=0,03125

Xuddi shu narsa zar uchun ham amal qiladi. Bir otishda 6 ta natija bor.Demak, ikki otish uchun: 6 6=36, uchta otish uchun 6 6 6=216 va hokazo.

6-misol Biz zar tashlaymiz. Juft sonni olish ehtimoli qanday?

Jami natijalar: 6, yuzlar soniga ko'ra.
Qulay: 3 ta natija. (2, 4, 6)
Ehtimollik: 3/6=0,5

7-misol Ikki zar tashlang. Hammasi 10 ta aylanish ehtimoli qanday? (yuzdan birgacha)

Bitta o'lim uchun 6 ta mumkin bo'lgan natijalar mavjud. Demak, ikkita uchun, yuqoridagi qoidaga ko'ra, 6·6=36.
Jami 10 taning yiqilib tushishi uchun qanday natijalar qulay bo'ladi?
10 ni 1 dan 6 gacha bo'lgan ikkita son yig'indisiga ajratish kerak. Buni ikki usulda bajarish mumkin: 10=6+4 va 10=5+5. Shunday qilib, kublar uchun variantlar mumkin:
(birinchida 6, ikkinchisida 4)
(Birinchida 4, ikkinchisida 6)
(birinchida 5, ikkinchisida 5)
Hammasi bo'lib, 3 ta variant. Kerakli ehtimollik: 3/36=1/12=0,08
Javob: 0,08

B6 muammolarining boshqa turlari quyidagi "Qanday hal qilish kerak" maqolalaridan birida muhokama qilinadi.

Shaxsiy slaydlarda taqdimot tavsifi:

1 slayd

Slayd tavsifi:

Ehtimollar nazariyasi bo'yicha asosiy vazifalar 9-sonli MBOU OGEga tayyorgarlik "No4 4-sonli gimnaziya. A.S. Pushkin” Muallif: Sofina N.Yu.

2 slayd

Slayd tavsifi:

Matematika bo'yicha 9-sonli OGE matematik tayyorgarlik uchun asosiy tekshiriladigan talablar Variantlarni tizimli sanab o'tishni talab qiladigan amaliy muammolarni hal qilish; tasodifiy hodisalarning yuzaga kelish imkoniyatlarini solishtirish, tasodifiy hodisaning ehtimolini baholash, ehtimollik va statistika apparati yordamida real vaziyat modellarini solishtirish va o'rganish. 9-son - asosiy vazifa. Topshiriqni bajarish uchun maksimal ball - 1.

3 slayd

Slayd tavsifi:

Hodisa A ehtimoli - bu hodisa uchun qulay bo'lgan m natijalar sonining nisbati umumiy soni Bir sinov yoki kuzatish natijasida yuzaga kelishi mumkin bo'lgan teng darajada mumkin bo'lgan barcha mos kelmaydigan hodisalarning n i Ehtimollikning klassik ta'rifi Tasodifiy hodisaning klassik ehtimolligini hisoblash formulasini eslang R = n m.

4 slayd

Slayd tavsifi:

Ehtimollikning klassik ta'rifi Misol: Ota-onalar qo'mitasi bolalar uchun bitiruv sovg'alari uchun 40 ta rang varaqlarini sotib oldi. o'quv yili. Shulardan 14 tasi A.S.ning ertaklari asosida yaratilgan. Pushkin va G.X.Andersenning ertaklariga asoslangan 26. Sovg'alar tasodifiy taqsimlanadi. Nastya A.S.ning ertaklari asosida bo'yash kitobini olish ehtimolini toping. Pushkin. Yechish: m= 14; n= 14 +26=40 R= 14/40= 0,35 Javob: 0,35.

5 slayd

Slayd tavsifi:

Misol: Imtihon uchun 60 ta savol bor edi. Ivan ulardan 3 tasini o'rganmagan. U o'rganilgan savolga duch kelish ehtimolini toping. Yechish: Bu yerda n=60. Ivan 3 ni o'rganmadi, shuning uchun u qolgan hamma narsani o'rgandi, ya'ni. m=60-3=57. P=57/60=0,95. Ehtimolning klassik ta'rifi Javob: 0,95.

6 slayd

Slayd tavsifi:

“Buyurtma qur’a orqali aniqlanadi” Misol: gimnastika bo‘yicha chempionatda 20 nafar sportchi ishtirok etmoqda: Rossiyadan 8 nafar, AQShdan 7 nafar, qolganlari Xitoydan. Gimnastikachilarning chiqish tartibi qur’a orqali aniqlanadi. Beshinchi sportchi Xitoydan bo'lish ehtimolini toping. Yechim: Muammoning shartida "sehrli" "lot" so'zi mavjud, ya'ni biz gapirish tartibini unutamiz. Shunday qilib, m= 20-8-7=5 (Xitoydan); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25. Javob: 0,25.

7 slayd

Slayd tavsifi:

Misol: 5 kundan keyin ilmiy konferentsiya o'tkaziladi. Jami 75 ta hisobot rejalashtirilgan - birinchi 3 kun, har biri 17 ta hisobot, qolganlari 4 va 5 kunlar orasida teng taqsimlanadi. Hisobotlar tartibi qura tashlash orqali aniqlanadi. Professor Ivanovning ma'ruzasi konferentsiyaning oxirgi kuniga belgilanishi ehtimoli qanday? Yechish: Ma’lumotlarni jadvalga joylashtiramiz. Buni oldik m=12; n=75. P=12/75=0,16. Javob: 0,16. “Buyurtma lotereya orqali aniqlanadi” I kun II III IV V Jami taqdimotlar soni 17 17 17 12 12 75

8 slayd

Slayd tavsifi:

Hodisa chastotasi Hodisaning ehtimollik chastotasi bilan bir xil tarzda topiladi, uning vazifalari ham prototiplarda mavjud. Farqi nimada? Ehtimollik bashorat qilinadigan qiymat, chastota esa haqiqatning bayonotidir. Misol: Yangi planshetning bir yil ichida ta'mirlanishi ehtimoli 0,045 ga teng. Muayyan shaharda yil davomida sotilgan 1000 ta planshetdan 51 tasi kafolat ustaxonasiga yetib kelgan. "Kafolatli ta'mirlash" hodisasining chastotasi ushbu shahardagi ehtimolidan qanchalik farq qiladi? Yechish: Hodisa chastotasini toping: 51/1000=0,051. Va ehtimollik 0,045 ga teng (shart bo'yicha) Bu shuni anglatadiki, bu shaharda "kafolatli ta'mirlash" hodisasi kutilganidan tez-tez sodir bo'ladi. ∆= 0,051- 0,045= 0,006 farq topilsin. Shu bilan birga, biz farq belgisi biz uchun muhim emas, balki faqat uning mutlaq qiymati ekanligini hisobga olishimiz kerak. Javob: 0,006.

9 slayd

Slayd tavsifi:

Variantlarni sanab o'tish bilan bog'liq muammolar ("tangalar", "gugurtlar") k - tangalar soni, keyin mumkin bo'lgan natijalar soni: n = 2k. Misol: Tasodifiy tajribada simmetrik tanga ikki marta tashlanadi. Boshlarning aynan bir marta paydo bo'lish ehtimolini toping. Yechim: tanga tushirish variantlari: OO; YOKI; RR; RO. Shunday qilib, n=4. Qulay natijalar: RR va RR. Ya'ni, m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Javob: 0,5.

10 slayd

Slayd tavsifi:

Misol: Boshlashdan oldin futbol o'yini Qaysi jamoa birinchi bo'lib to'pga ega bo'lishini aniqlash uchun hakam tanga tashlaydi. "Merkuriy" jamoasi "Mars", "Yupiter", "Uran" jamoalari bilan navbatma-navbat o'ynaydi. Barcha o‘yinlarda to‘pga egalik huquqini “Merkuriy” jamoasi qo‘lga kiritish ehtimolini toping? Variantlar ("tangalar", "gugurtlar")ni sanab o'tish bilan bog'liq muammolar Yechim: "Merkuriy" jamoasining qolgan uchta jamoadan biri bilan bo'lgan o'yinda birinchi to'pga egalik qilish huquqini "dumlar" deb belgilaymiz. Keyin ushbu jamoaning ikkinchi to'piga egalik qilish huquqi "Burgut" dir. Shunday qilib, keling, tangani uch marta tashlashning barcha mumkin bo'lgan natijalarini yozamiz. "O" - boshlar, "P" - quyruqlar. ; ya'ni, n=8; m=1. P=1/8=0,125. Javob: 0,125 n = 23 "Mars" "Yupiter" "Uran"

11 slayd

Slayd tavsifi:

“Zar” (zar) bo‘yicha masalalar “K” zarning otish soni, keyin esa mumkin bo‘lgan natijalar soni: n = 6k. Misol: Dasha zarni ikki marta tashlaydi. Uning umumiy soni 8 ga tushishi ehtimolini toping. Natijani yuzdan bir qismigacha yaxlitlang. Javob: 0,14. Yechish: Ikki zarning yig‘indisi 8 ball bo‘lishi kerak. Bu quyidagi kombinatsiyalar mavjud bo'lsa mumkin: 2 va 6 6 va 2 3 va 5 5 va 3 4 va 4 m= 5 (5) mos kombinatsiyalar) n \u003d 36 P \u003d 5/36 \u003d 0,13 (8)

12 slayd

Slayd tavsifi:

Mustaqil hodisalar va ko'paytirish qonuni 1-, 2- va n-chi hodisalarni topish ehtimoli quyidagi formula bo'yicha topiladi: R= R1*R2*…*Rn Misol: Biatlonchi nishonga besh marta o'q uzadi. Bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli 0,8 ga teng. Biatlonchining birinchi uch marta nishonga tegishi va oxirgi ikkitasini o'tkazib yuborish ehtimolini toping. Natijani yuzdan bir qismigacha yaxlitlang. Javob: 0,02. Yechim: Har bir keyingi zarbaning natijasi avvalgilariga bog'liq emas. Shuning uchun, "birinchi o'qga urish", "ikkinchi o'qga urish" va boshqalar. mustaqil. Har bir urish ehtimoli 0,8 ga teng. Shunday qilib, o'tkazib yuborish ehtimoli 1 - 0,8 = 0,2. 1 otish: 0,8 2 otish: 0,8 3 otish: 0,8 4 otish: 0,2 5 otish: 0,2 ,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

13 slayd

Slayd tavsifi:

"Va" qonunlari va "yoki" qonunlarining kombinatsiyasi Misol: Ofis 3 xil firma xodimlari uchun kantselyariya buyumlarini sotib oladi. Bundan tashqari, birinchi kompaniyaning mahsulotlari barcha etkazib berishlarning 40% ni tashkil qiladi, ikkinchi kompaniyaning qolgan qismi esa teng taqsimlanadi. Ma’lum bo‘lishicha, 2-korxonaning ruchkalarining 2 foizi nuqsonli ekan. 1 va 3-firmalarda nikohning ulushi mos ravishda 1% va 3% ni tashkil qiladi. Xodim A yangi jo'natmadan qalam oldi. Uning to'g'ri bo'lish ehtimolini toping. Yechish: 2 va 3-firmalarning mahsulotlari (100%-40%):2=30% ta’minot. P (nikoh) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (xizmat qilinadigan qalamlar) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Javob: 0,981.

Oson vazifalar

Stolda 25 ta pirog bor: 7 - murabbo, 9 - kartoshka, qolganlari karam bilan. Tasodifiy tanlangan pirogning karam bilan bo'lish ehtimoli qanday?

0,36

Taksida 40 ta mashina ishlaydi: 14 tasi Lada, 8 tasi Renault, 2 tasi Mercedes, qolganlari esa Skoda markasi. Sizning qo'ng'iroqingizga Mercedes kelishi ehtimoli qanday?

0,05

Zar otilganda kamida uchta raqam paydo bo'lish ehtimolini aniqlang.

Ira, Dima, Vasya, Natasha va Andrey 60 metrda standartdan o'tishadi. Qizning eng tez yugurish ehtimoli qancha?

Er osti o'tish joyida sotib olingan telefonning soxta bo'lish ehtimoli 0,83 ga teng. O'tish davrida sotib olingan telefonning soxta bo'lmasligi ehtimoli qanday?

0,17

Basketbol turnirida 20 ta jamoa, jumladan, “Yigitlar” jamoasi ishtirok etadi. Barcha jamoalar 4 ta guruhga bo'lingan: A, B, C, D. "Yigitlar" jamoasining A guruhida bo'lish ehtimoli qanday?

0,25

Lotereya sumkasida 5 dan 94 gacha raqamlangan bochkalar mavjud. Xaltadan olingan bochkada ikki xonali raqam bo‘lish ehtimoli qanday? Javobingizni yuzdan bir qismigacha yaxlitlang.

0,94

Imtihon oldidan Igor oxirigacha chidadi va 80 ta chiptadan atigi 5 tasini o'rganishga muvaffaq bo'ldi. U o'rganilgan chiptaga duch kelish ehtimolini aniqlang.

0,0625

Anya radioni yoqadi va tasodifiy radio to'lqinini tanlaydi. Hammasi bo'lib, uning radio qabul qiluvchisi 20 ta radio to'lqinni ushlaydi va ulardan faqat 7 tasi bu daqiqa musiqa yangradi. Anyaning musiqiy to'lqinga tushish ehtimolini toping.

0,35

Sodaning har yigirmanchi shishasida qopqoq ostida g'alaba qozongan kod yashiringan. Sotib olingan shishaning qopqog'i ostida yutuq kodiga ega bo'lish ehtimolini aniqlang.

0,05

Vazifalar qiyinroq

Tasodifiy tanlangan 3 xonali sonning 5 ga bo'linish ehtimoli qanday?

0,2

Beshta o‘quvchining bo‘yi (sm.da) qayd etiladi: 166, 158, 132, 136, 170. Bu sonlar to‘plamining o‘rta arifmetik qiymati uning medianasidan qancha farq qiladi?

Bitta kichik davlatning statistik ma'lumotlariga ko'ra, tug'ilgan chaqaloqning o'g'il bo'lish ehtimoli 0,507 ga teng ekanligi ma'lum. 2017-yilda bu mamlakatda tug‘ilgan har 1000 chaqaloqqa o‘rtacha 486 nafar qiz to‘g‘ri keldi. Ushbu mamlakatda 2017 yilda ayollar tug'ilishining chastotasi ushbu hodisaning ehtimolidan qanchalik farq qiladi?

0,007

O'lik ikki marta tashlanadi. Chizilgan ikkita sonning yig'indisi 3 yoki 7 bo'lish ehtimolini toping. Javobingizni yuzdan bir qismigacha yaxlitlang.

0,22

Tasodifiy tanlangan uch xonali sonning 2 ga bo'linish ehtimoli qanday?

0,5

Ikki tanga otishning aynan bir marta dumga tushishi ehtimolini toping.

0,5

O‘lim ikki marta tashlanadi, har ikki marta ham uchdan katta son kelishi ehtimolini toping. Javobingizni yuzdan bir qismigacha yaxlitlang.

0,31

Bitta kichik davlatning statistik ma'lumotlariga ko'ra, tug'ilgan chaqaloqning o'g'il bo'lish ehtimoli 0,594 ga teng ekanligi ma'lum. 2017-yilda bu mamlakatda tug‘ilgan har 1000 chaqaloqqa o‘rtacha 513 nafar qiz to‘g‘ri kelgan. Ushbu mamlakatda 2017 yilda ayollar tug'ilishining chastotasi ushbu hodisaning ehtimolidan qanchalik farq qiladi?

0,107

Beshta o‘quvchining bo‘yi (sm.da) qayd etiladi: 184, 145, 176, 192, 174. Bu sonlar to‘plamining o‘rta arifmetik qiymati uning medianasidan qancha farq qiladi?

1,8

"Gigantlar" qishlog'i aholisining o'rtacha bo'yi 194 sm.Nikolay Petrovichning bo'yi 195 sm.Quyidagilarning qaysi biri to'g'ri?

1) Qishloq aholisidan birining bo'yi 194 sm bo'lishi kerak.

2) Nikolay Petrovich - qishloqning eng baland aholisi.

3) Nikolay Petrovichdan pastda bu qishloqdan kamida bitta odam bo'lishi aniq.

4) Nikolay Petrovichdan pastda bu qishloqdan kamida bitta yashovchi bo'ladi.

4

Qiyin vazifalar

O'q otuvchi qurol bilan nishonlarga 4 marta o'q uzadi. Bir o'q bilan nishonga aniq zarba berish ehtimoli 0,5 ga teng. Otuvchining nishonga dastlabki ikki marta tegishi va oxirgi ikkitasini o‘tkazib yuborish ehtimolini toping.

0,0625

Batareyaning nuqsonli bo'lish ehtimoli 0,05 ga teng. Do'kondagi mijoz ikkita akkumulyatorli tasodifiy paketni tanlaydi. Ikkala batareyaning ham yaxshi bo'lish ehtimolini toping.

0,9025

Otuvchi nishonlarga ketma-ket 5 marta o'q uzadi. O'q otilayotganda nishonga tegish ehtimoli 0,7 ga teng. Otuvchining nishonga dastlabki to‘rt marta tegishi va oxirgi marta o‘tkazib yuborish ehtimolini toping. Natijani yuzdan bir qismigacha yaxlitlang.

Haqiqatda yoki bizning tasavvurimizda sodir bo'ladigan hodisalarni 3 guruhga bo'lish mumkin. Bu sodir bo'lishi mumkin bo'lgan muayyan hodisalar, imkonsiz hodisalar va tasodifiy hodisalar. Ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalarni o'rganadi, ya'ni. sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisalar. Ushbu maqolada taqdim etiladi xulosa ehtimollik nazariyasi formulalari va matematikadan USE ning 4-topshirigida bo'ladigan ehtimollar nazariyasidagi muammolarni yechish misollari (profil darajasi).

Nima uchun bizga ehtimollik nazariyasi kerak

Tarixiy jihatdan ushbu muammolarni o'rganish zarurati 17-asrda fanning rivojlanishi va kasbiylashuvi bilan bog'liq holda paydo bo'lgan. qimor va kazinoning paydo bo'lishi. Bu uni o'rganish va tadqiq qilishni talab qiladigan haqiqiy hodisa edi.

Kartalar, zarlar, rulet o'ynash cheklangan miqdordagi bir xil ehtimoliy hodisalar ro'y berishi mumkin bo'lgan vaziyatlarni yaratdi. Voqea sodir bo'lish ehtimoli haqida sonli taxminlarni berish kerak edi.

20-asrda ma'lum bo'ldiki, bu bema'ni ko'rinadigan fan mikrokosmosda sodir bo'ladigan fundamental jarayonlarni tushunishda muhim rol o'ynaydi. Yaratildi zamonaviy nazariya ehtimolliklar.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari

Ehtimollar nazariyasining o'rganish ob'ekti - hodisalar va ularning ehtimollari. Agar hodisa murakkab bo'lsa, uni ehtimolliklarini topish oson bo'lgan oddiy komponentlarga bo'lish mumkin.

A va B hodisalarning yig'indisi C hodisasi deb ataladi, bu hodisa A yoki B hodisasi yoki A va B hodisalarining bir vaqtning o'zida sodir bo'lishidan iborat.

A va B hodisalarning hosilasi C hodisasi bo'lib, u ham A hodisasi, ham B hodisasi sodir bo'lganligidan iborat.

Agar bir vaqtning o'zida sodir bo'lmasa, A va B hodisalar mos kelmaydigan deb ataladi.

A hodisa sodir bo'lmasa, imkonsiz deyiladi. Bunday hodisa belgi bilan belgilanadi.

A hodisasi, agar u albatta sodir bo'lsa, aniq deb ataladi. Bunday hodisa belgi bilan belgilanadi.

Har bir A hodisasiga P(A) raqami berilsin. Bu P(A) soni, agar shunday muvofiqlik bilan quyidagi shartlar qanoatlansa, A hodisaning ehtimolligi deyiladi.

Muhim maxsus holat - bu teng ehtimolli elementar natijalar mavjud bo'lgan vaziyat va bu natijalarning o'zboshimchalik bilan A hodisalarini hosil qiladi. Bu holda, ehtimollik formula bilan kiritilishi mumkin. Shu tarzda kiritilgan ehtimollik deyiladi klassik ehtimollik. Bu holda 1-4 xossalar o'rinli ekanligini isbotlash mumkin.

Matematikadan imtihonda uchraydigan ehtimollar nazariyasi muammolari asosan klassik ehtimollik bilan bog'liq. Bunday vazifalar juda oddiy bo'lishi mumkin. Ehtimollar nazariyasidagi muammolar ayniqsa oddiy demo versiyalari. Qulay natijalar sonini hisoblash oson, barcha natijalar soni to'g'ridan-to'g'ri shartda yoziladi.

Biz javobni formula bo'yicha olamiz.

Ehtimollikni aniqlash uchun matematikadan imtihon topshirig'iga misol

Stolda 20 ta pirog bor - 5 ta karam, 7 ta olma va 8 ta guruch. Marina pirog olmoqchi. Uning guruch kekini olish ehtimoli qanday?

Qaror.

Hammasi bo'lib 20 ta teng ehtimolli elementar natijalar mavjud, ya'ni Marina 20 ta pirogdan istalgan birini olishi mumkin. Ammo biz Marinaning guruch pattisini olish ehtimolini taxmin qilishimiz kerak, ya'ni bu erda A - guruch pattisini tanlash. Bu shuni anglatadiki, bizda jami 8 ta qulay natija bor (guruchli pirogni tanlash) Keyin ehtimollik quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi:

Mustaqil, qarama-qarshi va ixtiyoriy hodisalar

Biroq, vazifalarning ochiq bankida, ko'proq qiyin vazifalar. Shuning uchun, keling, ehtimollar nazariyasida o'rganiladigan boshqa savollarga o'quvchi e'tiborini qaratamiz.

A va B hodisalar, agar ularning har birining ehtimoli boshqa hodisa sodir bo'lganligiga bog'liq bo'lmasa, mustaqil deyiladi.

B hodisasi A hodisasi sodir bo'lmaganligidan iborat, ya'ni. B hodisasi A hodisasiga qarama-qarshidir. Qarama-qarshi hodisaning ehtimoli bir minus to'g'ridan-to'g'ri hodisa ehtimoliga teng, ya'ni. .

Qo'shish va ko'paytirish teoremalari, formulalar

A va B ixtiyoriy hodisalar uchun bu hodisalar yig'indisining ehtimoli ularning qo'shma hodisasi ehtimolisiz ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng, ya'ni. .

Mustaqil A va B hodisalari uchun bu hodisalarning hosilasi ehtimoli ularning ehtimolliklarining mahsulotiga teng, ya'ni. Ushbu holatda .

Oxirgi 2 ta gap ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari deb ataladi.

Har doim ham natijalar sonini hisoblash juda oddiy emas. Ba'zi hollarda kombinatorik formulalardan foydalanish kerak. Eng muhimi, muayyan shartlarga javob beradigan hodisalar sonini hisoblashdir. Ba'zan bunday hisob-kitoblar mustaqil vazifalarga aylanishi mumkin.

6 ta o‘quvchini 6 ta bo‘sh o‘rindiqqa nechta usulda o‘tirish mumkin? Birinchi talaba 6 ta o‘rindan istalgan birini egallaydi. Ushbu variantlarning har biri ikkinchi talabani joylashtirishning 5 ta usuliga mos keladi. Uchinchi talaba uchun 4 ta bo'sh joy, to'rtinchisi uchun - 3, beshinchisi uchun - 2, oltinchisi qolgan yagona o'rinni egallaydi. Barcha variantlar sonini topish uchun siz 6 belgisi bilan belgilangan mahsulotni topishingiz kerak! va "olti faktorial" ni o'qing.

Umumiy holatda bu savolga javob n ta elementning almashinish soni formulasi bilan beriladi.Bizning holimizda .

Endi talabalarimiz bilan bo'lgan yana bir ishni ko'rib chiqing. 6 ta bo‘sh o‘rindiqqa 2 ta o‘quvchini nechta usulda o‘tirish mumkin? Birinchi talaba 6 ta o‘rindan istalgan birini egallaydi. Ushbu variantlarning har biri ikkinchi talabani joylashtirishning 5 ta usuliga mos keladi. Barcha variantlar sonini topish uchun siz mahsulotni topishingiz kerak.

Umumiy holda, bu savolga javob n ta elementni k element bo'yicha joylashtirish soni formulasi bilan beriladi.

Bizning holatimizda.

Va bu seriyadagi oxirgi. 6 ta talabadan 3 tasini tanlashning nechta usuli bor? Birinchi talabani 6 usulda, ikkinchisini 5 usulda, uchinchisini 4 usulda tanlash mumkin. Ammo bu variantlar orasida bir xil uchta talaba 6 marta uchraydi. Barcha variantlar sonini topish uchun siz qiymatni hisoblashingiz kerak: . Umumiy holda, bu savolga javob elementlar bo'yicha elementlarning birikmalari soni formulasi bilan beriladi:

Bizning holatimizda.

Ehtimollikni aniqlash uchun matematikadan imtihondan masalalarni yechish misollari

Vazifa 1. To'plamdan, tahrir. Yashchenko.

Bir tovoqda 30 ta pirog bor: go'shtli 3 ta, karam bilan 18 ta va gilosli 9 ta. Sasha tasodifan bitta pirogni tanlaydi. Uning gilos bilan tugashi ehtimolini toping.

.

Javob: 0,3.

Muammo 2. To'plamdan, tahrir. Yashchenko.

Har bir partiyada 1000 ta lampochka, o'rtacha 20 ta nuqsonli. Partiyadan tasodifiy tanlangan lampochkaning yaxshi bo‘lish ehtimolini toping.

Yechish: Ishlaydigan lampochkalar soni 1000-20=980. Keyin partiyadan tasodifiy olingan lampochkaning xizmat ko'rsatish ehtimoli:

Javob: 0,98.

Talaba U.ning matematikadan test boʻyicha 9 dan ortiq masalalarni toʻgʻri yechish ehtimoli 0,67 ga teng. U.ning 8 dan ortiq masalalarni toʻgʻri yechish ehtimoli 0,73 ga teng. U.ning aniq 9 ta masalani toʻgʻri yechish ehtimolini toping.

Agar biz son qatorini tasavvur qilib, uning ustida 8 va 9 nuqtalarni belgilasak, u holda “U. roppa-rosa 9 ta masalani toʻgʻri yechish” sharti “U. 8 dan ortiq masalalarni toʻgʻri yechish”, lekin “V. 9 dan ortiq muammolarni to'g'ri hal qilish.

Biroq, shart "U. 9 dan ortiq masalalarni toʻgʻri yechish” sharti “U. 8 dan ortiq muammolarni to'g'ri hal qilish. Shunday qilib, voqealarni belgilasak: “V. aniq 9 ta masalani toʻgʻri yechish” - A orqali “U. 8 dan ortiq masalalarni toʻgʻri yechish” - B orqali, “U. C orqali 9 dan ortiq muammolarni to'g'ri hal qiling. Keyin yechim quyidagicha ko'rinadi:

Javob: 0,06.

Geometriya imtihonida talaba imtihon savollari ro‘yxatidan bitta savolga javob beradi. Bu trigonometriya savoli bo'lish ehtimoli 0,2 ga teng. Bu tashqi burchaklar savoli bo'lish ehtimoli 0,15 ga teng. Bir vaqtning o'zida bu ikki mavzuga oid savollar yo'q. Talaba imtihonda shu ikki mavzudan biriga savol berish ehtimolini toping.

Keling, bizda qanday voqealar borligi haqida o'ylab ko'raylik. Bizga ikkita mos kelmaydigan hodisa beriladi. Ya'ni, yoki savol "Trigonometriya" mavzusiga yoki "Tashqi burchaklar" mavzusiga tegishli bo'ladi. Ehtimollar teoremasiga ko'ra, mos kelmaydigan hodisalarning ehtimoli har bir hodisaning ehtimolliklari yig'indisiga teng, biz bu hodisalarning ehtimollik yig'indisini topishimiz kerak, ya'ni:

Javob: 0,35.

Xona uchta chiroqli chiroq bilan yoritilgan. Bir yil ichida bitta chiroqning yonib ketish ehtimoli 0,29 ni tashkil qiladi. Bir yil ichida kamida bitta chiroq yonib ketmasligi ehtimolini toping.

Keling, mumkin bo'lgan voqealarni ko'rib chiqaylik. Bizda uchta lampochka bor, ularning har biri boshqa lampochkadan mustaqil ravishda yonishi yoki yonmasligi mumkin. Bu mustaqil hodisalar.

Keyin biz bunday hodisalarning variantlarini ko'rsatamiz. Belgini qabul qilamiz: - lampochka yoqilgan, - lampochka yonib ketgan. Va darhol biz voqea ehtimolini hisoblaymiz. Masalan, “Lampochka yonib ketdi”, “Lampochka yondi”, “Lampochka yondi” uchta mustaqil hodisa sodir bo'lgan hodisaning ehtimoli: bu erda “lampochka yoqilgan” hodisasining ehtimoli quyidagicha hisoblanadi: hodisaga qarama-qarshi hodisa "lampochka o'chirilgan", ya'ni .

E'tibor bering, biz uchun faqat 7 ta mos kelmaydigan hodisa mavjud.Bunday hodisalarning ehtimoli har bir hodisaning ehtimolliklari yig'indisiga teng: .

Javob: 0.975608.

Rasmda siz boshqa muammoni ko'rishingiz mumkin:

Shunday qilib, siz va men ehtimollik nazariyasi nima ekanligini, formulalar va imtihon versiyasida uchrashishingiz mumkin bo'lgan muammolarni hal qilish misollarini tushundik.

Ushbu taqdimot ehtimollik nazariyasi imtihonida eng ko'p uchraydigan vazifalarni taqdim etadi. Asosiy darajadagi vazifalar. Taqdimot takrorlashni umumlashtirish darslarida o'qituvchilarga ham, talabalarga ham yordam beradi o'z-o'zini tarbiyalash imtihonga.

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

Taqdimotlarni oldindan ko'rishdan foydalanish uchun o'zingiz uchun hisob yarating ( hisob) Google va tizimga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

EHTIMOLLAR NAZARIYASI ASOSIY VAZIFALAR OGEga tayyorlanish

TANGA OTISH

1. Tanga ikki marta tashlanadi. Bitta bosh va bitta dumga ega bo'lish ehtimoli qanday? Qaror: Bitta tanga otishda ikkita natija bo'lishi mumkin - "boshlar" yoki "dumlar". Ikki tanga otishda - 4 ta natija (2 * 2 = 4): "burgut" - "dumlar" "dumlar" - "dumlar" "dumlar" - "burgutlar" "burgutlar" - "burgutlar" Bitta "burgut" va bitta " dumlar" to'rtta holatdan ikkitasida tushadi. P(A)=2:4=0,5. Javob: 0,5.

2. Tanga uch marta tashlanadi. Ikki bosh va bitta dumga ega bo'lish ehtimoli qanday? Yechim: tashlanganda uchta tanga 8 ta natija mumkin (2*2*2=8): "burgut" - "dumlar" - "dumlar" "dumlar" - "dumlar" - "dumlar" "dumlar" - "boshlar" - "dumlar" "boshlar" - "burgut" - "dumlar" "dumlar" - "dumlar" - "boshlar" "dumlar" - "burgutlar" - "burgutlar" "burgutlar" - "burgutlar" - "burgutlar" - "burgutlar" burgutlar" » Ikkita "burgut" va bitta "dum" tushadi uchta holat sakkizdan. P(A)=3:8=0,375. Javob: 0,375.

3. Tasodifiy tajribada simmetrik tanga to'rt marta tashlanadi. Boshlar hech qachon paydo bo'lmasligi ehtimolini toping. Yechish: To'rtta tanga otishda 16 ta natijaga erishish mumkin: (2*2*2*2=16): Qulay natijalar - 1 (to'rtta dum tushadi). P(A)=1:16=0,0625. Javob: 0,0625.

ZAR O'YINI

4. Qopqoqni aylantirganda uchdan ortiq nuqta tushishi ehtimolini aniqlang. Yechish: Hammasi bo‘lib 6 ta natija bor.Katta sonlar 3 - 4, 5, 6. P(A)=3:6=0,5. Javob: 0,5.

5. O'lim tashlanadi. Juft sonli ball olish ehtimolini toping. Yechish: Jami mumkin bo'lgan natijalar - 6. 1, 3, 5 - toq raqamlar; 2, 4, 6 juft sonlardir. Juft sonli ball olish ehtimoli 3:6=0,5 ga teng. Javob: 0,5.

6. Tasodifiy tajribada ikkita zar tashlanadi. Jami 8 ball olish ehtimolini toping. Natijani yuzdan bir qismigacha yaxlitlang. Yechish: Bu harakat - ikkita zarni uloqtirish jami 36 ta mumkin natijaga ega, chunki 6² = 36. Qulay natijalar: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Sakkiz ball olish ehtimoli 5:36 ≈ 0,14. Javob: 0,14.

7. Zarni ikki marta tashlang. Hammasi bo'lib 6 ochko tushib ketdi. Rulolardan birida 5 ni olish ehtimolini toping. Qaror: 6 balldan jami natijalar - 5: 2 va 4; 4 va 2; 3 va 3; 1 va 5; 5 va 1. Qulay natijalar - 2. P(A)=2:5=0,4. Javob: 0,4.

8. Imtihonda 50 ta bilet bor edi, Timofey ulardan 5 tasini o'rganmagan. U o'rganilgan chiptani olish ehtimolini toping. Yechim: Timofey 45 ta chiptani o'rgandi. P(A)=45:50=0,9. Javob: 0,9.

Musobaqalar

9. Gimnastika bo‘yicha chempionatda 20 nafar sportchi qatnashmoqda: 8 nafari Rossiyadan, 7 nafari AQShdan, qolganlari Xitoydan. Amalga oshirish tartibi qur'a bilan belgilanadi. Birinchi bo‘lib qatnashgan sportchi Xitoydan bo‘lish ehtimolini toping. Yechish: Jami natijalar 20. Qulay natijalar 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0,25. Javob: 0,25.

10. Otish musobaqasiga Fransiyadan 4 nafar, Angliyadan 5 nafar va Italiyadan 3 nafar sportchi keldi. Spektakllarning tartibi qur’a tashlash orqali aniqlanadi. Beshinchi sportchi Italiyadan bo'lish ehtimolini toping. Yechish: Barcha mumkin bo'lgan natijalar soni 12 ta (4 + 5 + 3 = 12). Qulay natijalar soni 3. P(A)=3:12=0,25. Javob: 0,25.

11. Badminton chempionatining birinchi bosqichi boshlanishidan oldin ishtirokchilar qur'a tashlash yo'li bilan tasodifiy o'yin juftliklariga bo'linadi. Chempionatda jami 26 nafar badmintonchi, jumladan, Rossiyadan 12 nafar ishtirokchi, jumladan, Vladimir Orlov ham ishtirok etadi. Vladimir Orlov birinchi davrada rossiyalik badmintonchi bilan o'ynashi ehtimolini toping? Qaror: Umumiy natijalar - 25 (Vladimir Orlov 25 badmintonchi bilan). Qulay natijalar - (12-1) = 11. P(A)=11:25=0,44. Javob: 0,44.

12. Ijrochilar tanlovi 5 kun ichida o'tkaziladi. Hammasi bo'lib 75 ta spektakl e'lon qilindi - har bir mamlakatdan bittadan. Birinchi kunida 27 ta spektakl bor, qolganlari qolgan kunlar orasida teng taqsimlanadi. Spektakllarning tartibi qur’a tashlash orqali aniqlanadi. Musobaqaning uchinchi kunida Rossiya vakilining chiqishi ehtimoli qanday? Qaror: Umumiy natijalar - 75. Uchinchi kuni Rossiyadan kelgan ijrochilar chiqish qiladi. Qulay natijalar - (75-27): 4 = 12. P(A)=12: 75=0,16. Javob: 0,16.

13. Kolya ikki xonali raqamni tanlaydi. Uning 5 ga bo‘linish ehtimolini toping. Yechish: Ikki xonali sonlar: 10;11;12;…;99. Jami natijalar - 90. 5 ga bo'linadigan sonlar: 10; o'n besh; 20; 25; …; 90; 95. Qulay natijalar - 18. P(A)=18:90=0,2. Javob: 0,2.

EHTIMOLLIKNI ANIQLASH UCHUN TURLI VAZIFALAR

14. Zavod sumkalar ishlab chiqaradi. O'rtacha har 170 ta sifatli sumkaga yashirin nuqsonli oltita sumka to'g'ri keladi. Sotib olingan sumkaning sifatli bo'lish ehtimolini toping. Natijani yuzdan bir qismigacha yaxlitlang. Yechish: Umumiy natijalar - 176. Qulay natijalar - 170. R(A)=170:176 ≈ 0,97. Javob: 0,97.

15. O'rtacha har 100 ta sotilgan batareyadan 94 ta akkumulyator zaryadlangan. Sotib olingan akkumulyatorning zaryadlanmaganligi ehtimolini toping. Yechish: Umumiy natijalar - 100. Qulay natijalar - 100-94=6. P(A)=6:100=0,06. Javob: 0,06.

MANBALAR http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru