Quvvat funksiyasining xossalari nimaga bog'liq? Quvvat funktsiyasi

Ushbu darsda biz kuch funktsiyalarini o'rganishni davom ettiramiz ratsional ko'rsatkich, manfiy ratsional ko‘rsatkichli funksiyalarni ko‘rib chiqing.

1. Asosiy tushunchalar va ta’riflar

Manfiy butun sonli darajali funksiyalarning xossalari va grafiklarini eslang.

Hatto n uchun, :

Funktsiyaga misol:

Bunday funksiyalarning barcha grafiklari ikkita qo'zg'almas nuqtadan o'tadi: (1;1), (-1;1). Bu turdagi funksiyalarning xususiyati ularning paritetidir, grafiklar op-y o'qiga nisbatan simmetrikdir.

Guruch. 1. Funksiya grafigi

Toq n uchun, :

Funktsiyaga misol:

Bunday funksiyalarning barcha grafiklari ikkita qo'zg'almas nuqtadan o'tadi: (1;1), (-1;-1). Ushbu turdagi funktsiyalarning o'ziga xos xususiyati ularning g'alatiligi, grafiklarning kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.

Guruch. 2. Funksiya grafigi

2. Manfiy ratsional darajali funksiya, grafiklar, xossalar

Keling, asosiy ta'rifni eslaylik.

Ratsional musbat ko'rsatkichli manfiy bo'lmagan a sonining darajasi son deyiladi.

Ratsional manfiy ko'rsatkichli musbat a sonining darajasi son deyiladi.

Quyidagi tenglik uchun amal qiladi:

Misol uchun: ; - ifoda manfiy ratsional ko'rsatkichli darajani aniqlashda mavjud emas; bor, chunki koʻrsatkich butun son boʻlsa,

Ratsional manfiy ko'rsatkichli kuch funksiyalarini ko'rib chiqishga murojaat qilaylik.

Misol uchun:

Ushbu funktsiyani chizish uchun siz jadval yaratishingiz mumkin. Biz boshqacha qilamiz: birinchidan, biz maxrajning grafigini tuzamiz va o'rganamiz - biz buni bilamiz (3-rasm).

Guruch. 3. Funksiya grafigi

Maxraj funksiyasining grafigi qo'zg'almas nuqtadan (1;1) o'tadi. Asl funktsiyaning grafigini qurishda bu nuqta qoladi, ildiz ham nolga moyil bo'lganda, funktsiya cheksizlikka intiladi. Va aksincha, x cheksizlikka intilgani uchun funksiya nolga intiladi (4-rasm).

Guruch. 4. Funksiya grafigi

O'rganilayotgan funktsiyalar oilasidan yana bir funktsiyani ko'rib chiqing.

Bu ta'rifi bo'yicha muhim ahamiyatga ega

Funktsiyaning maxrajdagi grafigini ko'rib chiqaylik: , bu funksiyaning grafigini bilamiz, u o'zining aniqlanish sohasi bo'yicha ortadi va (1; 1) nuqtadan o'tadi (5-rasm).

Guruch. 5. Funksiya grafigi

Dastlabki funktsiyaning grafigini qurishda (1; 1) nuqta qoladi, ildiz ham nolga moyil bo'lsa, funktsiya cheksizlikka intiladi. Va aksincha, x cheksizlikka intilgani uchun funksiya nolga intiladi (6-rasm).

Guruch. 6. Funksiya grafigi

Ko'rib chiqilgan misollar grafik qanday ketayotganini va o'rganilayotgan funktsiya - manfiy ratsional ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatlari qanday ekanligini tushunishga yordam beradi.

Bu turkumga kiruvchi funksiyalar grafiklari (1;1) nuqtadan o'tadi, funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayadi.

Funktsiya doirasi:

Funktsiya yuqoridan chegaralangan emas, balki pastdan chegaralangan. Funktsiyada na maksimal, na eng kichik qiymat.

Funktsiya uzluksiz, u noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan barcha ijobiy qiymatlarni oladi.

Qavariq pastga funksiyasi (15.7-rasm)

Egri chiziqda A va B nuqtalar olinadi, ular orqali segment chiziladi, butun egri chiziq segmentdan pastda, bu shart egri chiziqning ixtiyoriy ikkita nuqtasi uchun qanoatlantiriladi, shuning uchun funktsiya pastga qarab qavariq. Guruch. 7.

Guruch. 7. Funksiyaning qavariqligi

3. Tipik masalalarni yechish

Bu oilaning funktsiyalari pastdan nol bilan chegaralanganligini tushunish kerak, lekin ular eng kichik qiymatga ega emas.

1-misol - \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] oraliqda funksiyaning maksimal va minimumini toping.

Grafik (2-rasm).

2-rasm. $f\left(x\right)=x^(2n)$ funksiya grafigi

Tabiiy toq darajali daraja funksiyasining xossalari

Ta'rif sohasi barcha haqiqiy sonlardir.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ toq funksiyadir.

$f(x)$ butun taʼrif sohasida uzluksizdir.

Diapazon barcha haqiqiy raqamlardir.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ uchun.

$f(""\left(x\o'ng))=(\chap(\left(2n-1\o'ng)\cdot x^(2\left(n-1\o'ng))\o'ng))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funktsiya $x\in (-\infty ,0)$ uchun botiq va $x\in (0,+\infty)$ uchun qavariq.

Grafik (3-rasm).

3-rasm. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ funksiya grafigi.

Butun sonli darajali quvvat funksiyasi

Boshlash uchun biz butun sonli daraja tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif 3

Daraja haqiqiy raqam$n$ butun sonli $a$ formula bilan aniqlanadi:

4-rasm

Endi butun ko‘rsatkichli daraja funksiyasi, uning xossalari va grafigini ko‘rib chiqaylik.

Ta'rif 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ butun koʻrsatkichli quvvat funksiyasi deyiladi.

Agar daraja noldan katta bo'lsa, u holda biz tabiiy ko'rsatkichli daraja funksiyasi holatiga kelamiz. Biz bu haqda yuqorida muhokama qilganmiz. $n=0$ uchun $y=1$ chiziqli funksiyani olamiz. Uning mulohazalarini o‘quvchi ixtiyoriga qoldiramiz. Salbiy butun sonli darajali funktsiyaning xususiyatlarini ko'rib chiqish qoladi

Manfiy butun ko‘rsatkichli daraja funksiyasining xossalari

Qo'llash doirasi $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Agar ko‘rsatkich juft bo‘lsa, funksiya juft bo‘ladi, agar u toq bo‘lsa, funksiya toq bo‘ladi.

$f(x)$ butun taʼrif sohasida uzluksizdir.

Qiymat diapazoni:

Agar ko'rsatkich juft bo'lsa, $(0,+\infty)$, toq bo'lsa, $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Agar ko'rsatkich toq bo'lsa, funktsiya $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ ga kamayadi. Juft ko'rsatkich uchun funktsiya $x\in (0,+\infty)$ sifatida kamayadi. va $x\in \left(-\infty ,0\right)$ sifatida ortadi.

$f(x)\ge 0$ butun domen boʻylab

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Energetika funktsiyalari. Xossalar. Grafiklar"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.

11-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
9-11-sinflar uchun "Trigonometriya" interfaol qo'llanma
10-11-sinflar uchun "Logarifmlar" interfaol qo'llanma

Quvvat funksiyalari, ta'rif sohasi.

Bolalar, oxirgi darsda biz ratsional ko'rsatkichli raqamlar bilan ishlashni o'rgandik. Ushbu darsda biz kuch funktsiyalarini ko'rib chiqamiz va ko'rsatkich ratsional bo'lgan holat bilan cheklanamiz.
Formaning funksiyalarini ko'rib chiqamiz: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Dastavval ko‘rsatkichi $\frac(m)(n)>1$ bo‘lgan funksiyalarni ko‘rib chiqamiz.
Bizga $y=x^2*5$ maxsus funksiya berilsin.
O'tgan darsda bergan ta'rifga ko'ra: agar $x≥0$ bo'lsa, u holda bizning funktsiyamiz sohasi $(x)$ nuridir. Keling, funktsiya grafigimizni sxematik tasvirlaymiz.

$y=x^(\frac(m)(n))$, $0 funksiya xossalari 2. Juft ham, toq ham emas.
3. $$ ga oshadi,
b) $(2,10)$,
c) $$ nurida.
Qaror.
Bolalar, 10-sinfda segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini qanday topganimizni eslaysizmi?
To'g'ri, biz hosiladan foydalanganmiz. Keling, misolimizni yechib, eng kichik va eng katta qiymatni topish algoritmini takrorlaymiz.
1. Berilgan funksiyaning hosilasini toping:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Hosilasi asl funksiyaning butun sohasi bo‘yicha mavjud bo‘lsa, u holda kritik nuqtalar yo‘q. Statsionar nuqtalarni topamiz:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ va $x_2=\sqrt(64)=4$.
Berilgan segmentga faqat bitta yechim $x_2=4$ tegishli.
Segmentning oxirida va ekstremal nuqtada funksiyamiz qiymatlari jadvalini tuzamiz:
Javob: $y_(ism)=-862,65$ bilan $x=9$; $x=4$ uchun $y_(maks)=38,4$.

Misol. Tenglamani yeching: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Qaror. $y=x^(\frac(4)(3))$ funksiyaning grafigi ortib bormoqda, $y=24-x$ funksiyaning grafigi esa kamaymoqda. Bolalar, siz va men bilamiz: agar bir funktsiya ortib, ikkinchisi kamaysa, ular faqat bitta nuqtada kesishadi, ya'ni bizda faqat bitta yechim bor.
Eslatma:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Ya'ni $x=8$ uchun $16=16$ to'g'ri tenglikni oldik, bu bizning tenglamamizning yechimi.
Javob: $x=8$.

Misol.
Funksiya grafigini chizing: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Qaror.
Funktsiyamizning grafigi $y=x^(\frac(3)(4))$ funksiya grafigidan uni 3 birlik o'ngga va 2 birlik yuqoriga siljitgan holda olinadi.

Misol. $y=x^(-\frac(4)(5))$ chiziqqa $x=1$ nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.
Qaror. Tangens tenglama bizga ma'lum bo'lgan formula bilan aniqlanadi:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Bizning holatda $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Keling, hosilani topamiz:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Keling, hisoblab chiqamiz:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Tangens tenglamasini toping:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Javob: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

1. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini toping: $y=x^\frac(4)(3)$ segmentida:
a) $$.
b) $(4,50)$.
c) $$ nurida.
3. Tenglamani yeching: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Funksiya grafigini tuzing: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. $y=x^(-\frac(3)(7))$ chiziqqa $x=1$ nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.

Manfiy butun sonli darajali funksiyalarning xossalari va grafiklarini eslang.

Hatto n uchun, :

Funktsiyaga misol:

Bunday funksiyalarning barcha grafiklari ikkita qo'zg'almas nuqtadan o'tadi: (1;1), (-1;1). Bu turdagi funksiyalarning xususiyati ularning paritetidir, grafiklar op-y o'qiga nisbatan simmetrikdir.

Guruch. 1. Funksiya grafigi

Toq n uchun, :

Funktsiyaga misol:

Bunday funksiyalarning barcha grafiklari ikkita qo'zg'almas nuqtadan o'tadi: (1;1), (-1;-1). Ushbu turdagi funktsiyalarning o'ziga xos xususiyati ularning g'alatiligi, grafiklarning kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.

Guruch. 2. Funksiya grafigi

Keling, asosiy ta'rifni eslaylik.

Ratsional musbat ko'rsatkichli manfiy bo'lmagan a sonining darajasi son deyiladi.

Ratsional manfiy ko'rsatkichli musbat a sonining darajasi son deyiladi.

Quyidagi tenglik uchun amal qiladi:

Misol uchun: ; - ifoda manfiy ratsional ko'rsatkichli darajani aniqlashda mavjud emas; bor, chunki koʻrsatkich butun son boʻlsa,

Ratsional manfiy ko'rsatkichli kuch funksiyalarini ko'rib chiqishga murojaat qilaylik.

Misol uchun:

Ushbu funktsiyani chizish uchun siz jadval yaratishingiz mumkin. Biz boshqacha qilamiz: birinchidan, biz maxrajning grafigini tuzamiz va o'rganamiz - biz buni bilamiz (3-rasm).

Guruch. 3. Funksiya grafigi

Maxraj funksiyasining grafigi qo'zg'almas nuqtadan (1;1) o'tadi. Asl funktsiyaning grafigini qurishda bu nuqta qoladi, ildiz ham nolga moyil bo'lganda, funktsiya cheksizlikka intiladi. Va aksincha, x cheksizlikka intilgani uchun funksiya nolga intiladi (4-rasm).

Guruch. 4. Funksiya grafigi

O'rganilayotgan funktsiyalar oilasidan yana bir funktsiyani ko'rib chiqing.

Bu ta'rifi bo'yicha muhim ahamiyatga ega

Funktsiyaning maxrajdagi grafigini ko'rib chiqaylik: , bu funksiyaning grafigini bilamiz, u o'zining aniqlanish sohasi bo'yicha ortadi va (1; 1) nuqtadan o'tadi (5-rasm).

Guruch. 5. Funksiya grafigi

Dastlabki funktsiyaning grafigini qurishda (1; 1) nuqta qoladi, ildiz ham nolga moyil bo'lsa, funktsiya cheksizlikka intiladi. Va aksincha, x cheksizlikka intilgani uchun funksiya nolga intiladi (6-rasm).

Guruch. 6. Funksiya grafigi

Ko'rib chiqilgan misollar grafik qanday ketayotganini va o'rganilayotgan funktsiya - manfiy ratsional ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatlari qanday ekanligini tushunishga yordam beradi.

Bu turkumga kiruvchi funksiyalar grafiklari (1;1) nuqtadan o'tadi, funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayadi.

Funktsiya doirasi:

Funktsiya yuqoridan chegaralangan emas, balki pastdan chegaralangan. Funktsiya maksimal va minimal qiymatga ega emas.

Funktsiya uzluksiz, u noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan barcha ijobiy qiymatlarni oladi.

Qavariq pastga funksiyasi (15.7-rasm)

Egri chiziqda A va B nuqtalar olinadi, ular orqali segment chiziladi, butun egri chiziq segmentdan pastda, bu shart egri chiziqning ixtiyoriy ikkita nuqtasi uchun qanoatlantiriladi, shuning uchun funktsiya pastga qarab qavariq. Guruch. 7.

Guruch. 7. Funksiyaning qavariqligi

Bu oilaning funktsiyalari pastdan nol bilan chegaralanganligini tushunish kerak, lekin ular eng kichik qiymatga ega emas.

1-misol - intervaldagi funksiyaning maksimal va minimumini toping)