uy > Mashinasozlik

y x n funksiyaning xossalari. Ko'rsatkichli funktsiya - xossalar, grafiklar, formulalar

Funktsiya qaerda X – o'zgaruvchan, A – berilgan raqam, deyiladi quvvat funktsiyasi .

Agar chiziqli funksiya bo'lsa, uning grafigi to'g'ri chiziqdir (4.3-bo'lim, 4.7-rasmga qarang).

Agar unda - kvadratik funktsiya, uning grafigi parabola (4.3-band, 4.8-rasmga qarang).

Agar uning grafigi kubik parabola bo'lsa (4.3-bo'lim, 4.9-rasmga qarang).

Quvvat funktsiyasi

Bu teskari funktsiya uchun

1. Domen:

2. Bir nechta qiymatlar:

3. Juft va toq: g'alati funktsiya.

4. Funktsiya davriyligi: davriy bo'lmagan.

5. Funktsiya null: X= 0 - yagona nol.

6. Funktsiya maksimal yoki minimal qiymatga ega emas.

7.

8. Funktsiya grafigi To'g'ri chiziqqa nisbatan kubik parabolaning grafigiga simmetrik Y=X va rasmda ko'rsatilgan. 5.1.

Quvvat funktsiyasi

1. Domen:

2. Bir nechta qiymatlar:

3. Juft va toq: funksiyasi teng.

4. Funktsiya davriyligi: davriy bo'lmagan.

5. Funktsiya null: yagona nol X = 0.

6. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari: uchun eng kichik qiymatni oladi X= 0, u 0 ga teng.

7. Ko'tarilish va pasayish oraliqlari: funksiya intervalda kamayib, intervalda ortib bormoqda

8. Funktsiya grafigi(har biriga N Î N) grafik kabi "ko'rinadi" kvadratik parabola(funksiya grafiklari 5.2-rasmda ko'rsatilgan).

Quvvat funktsiyasi

1. Domen:

2. Bir nechta qiymatlar:

3. Juft va toq: g'alati funktsiya.

4. Funktsiya davriyligi: davriy bo'lmagan.

5. Funktsiya null: X= 0 - yagona nol.

6. Maksimal va minimal qiymatlar:

7. Ko'tarilish va pasayish oraliqlari: funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib bormoqda.

8. Funktsiya grafigi(har biri uchun ) kubik parabolaning grafigiga o'xshaydi (funksiya grafiklari 5.3-rasmda ko'rsatilgan).

Quvvat funktsiyasi

1. Domen:

2. Bir nechta qiymatlar:

3. Juft va toq: g'alati funktsiya.

4. Funktsiya davriyligi: davriy bo'lmagan.

5. Funktsiya null: nolga ega emas.

6. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari: funktsiya hech kim uchun eng katta va eng kichik qiymatlarga ega emas

7. Ko'tarilish va pasayish oraliqlari: funksiya aniqlanish sohasida kamayib bormoqda.

8. Asimptotlar:(o'q OU) - vertikal asimptota;

(o'q Oh) gorizontal asimptotadir.

9. Funktsiya grafigi(har kim uchun N) giperbolaning grafigiga o'xshab "ko'rinadi" (funksiyalarning grafiklari 5.4-rasmda ko'rsatilgan).

Quvvat funktsiyasi

1. Domen:

2. Bir nechta qiymatlar:

3. Juft va toq: funksiyasi teng.

4. Funktsiya davriyligi: davriy bo'lmagan.

5. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari: funktsiya hech kim uchun eng katta va eng kichik qiymatlarga ega emas

6. Ko'tarilish va pasayish oraliqlari: funktsiya ortib boraveradi va kamayib boradi

7. Asimptotlar: X= 0 (o'q OU) - vertikal asimptota;

Y= 0 (o'q Oh) gorizontal asimptotadir.

8. Funksiya grafiklari Kvadrat giperbolalar bor (5.5-rasm).

Quvvat funktsiyasi

1. Domen:

2. Bir nechta qiymatlar:

3. Juft va toq: funksiya juft va toq xossalariga ega emas.

4. Funktsiya davriyligi: davriy bo'lmagan.

5. Funktsiya null: X= 0 - yagona nol.

6. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari: eng kichik qiymat 0 ga teng, funktsiya nuqtada oladi X= 0; eng katta qiymat ega emas.

7. Ko'tarilish va pasayish oraliqlari: funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib bormoqda.

8. Muayyan ko'rsatkichga ega bo'lgan har bir bunday funktsiya berilgan funktsiyaga teskari

9. Funktsiya grafigi har qanday funktsiyaning grafigiga o'xshaydi N va rasmda ko'rsatilgan. 5.6.

Quvvat funktsiyasi

1. Domen:

2. Bir nechta qiymatlar:

3. Juft va toq: g'alati funktsiya.

4. Funktsiya davriyligi: davriy bo'lmagan.

5. Funktsiya null: X= 0 - yagona nol.

6. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari: funktsiya hech kim uchun eng katta va eng kichik qiymatlarga ega emas

7. Ko'tarilish va pasayish oraliqlari: funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib bormoqda.

8. Funktsiya grafigi Shaklda ko'rsatilgan. 5.7.

Manfiy butun sonli darajali funksiyalarning xossalari va grafiklarini eslang.

Hatto n uchun, :

Funktsiyaga misol:

Bunday funksiyalarning barcha grafiklari ikkita qo'zg'almas nuqtadan o'tadi: (1;1), (-1;1). Bu turdagi funksiyalarning xususiyati ularning paritetidir, grafiklar op-y o'qiga nisbatan simmetrikdir.

Guruch. 1. Funksiya grafigi

Toq n uchun, :

Funktsiyaga misol:

Bunday funksiyalarning barcha grafiklari ikkita qo'zg'almas nuqtadan o'tadi: (1;1), (-1;-1). Ushbu turdagi funktsiyalarning o'ziga xos xususiyati ularning g'alatiligi, grafiklarning kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.

Guruch. 2. Funksiya grafigi

Keling, asosiy ta'rifni eslaylik.

Ratsional musbat ko'rsatkichli manfiy bo'lmagan a sonining darajasi son deyiladi.

Ratsional manfiy ko'rsatkichli musbat a sonining darajasi son deyiladi.

Quyidagi tenglik uchun amal qiladi:

Misol uchun: ; - ifoda manfiy ratsional ko'rsatkichli darajani aniqlashda mavjud emas; bor, chunki koʻrsatkich butun son boʻlsa,

Ratsional manfiy ko'rsatkichli kuch funksiyalarini ko'rib chiqishga murojaat qilaylik.

Misol uchun:

Ushbu funktsiyani chizish uchun siz jadval yaratishingiz mumkin. Biz boshqacha qilamiz: birinchidan, biz maxrajning grafigini tuzamiz va o'rganamiz - biz buni bilamiz (3-rasm).

Guruch. 3. Funksiya grafigi

Maxraj funksiyasining grafigi qo'zg'almas nuqtadan (1;1) o'tadi. Dastlabki funktsiyaning grafigini qurishda bu nuqta qoladi, ildiz ham nolga moyil bo'lganda, funktsiya cheksizlikka intiladi. Va aksincha, x cheksizlikka intilgani uchun funksiya nolga intiladi (4-rasm).

Guruch. 4. Funksiya grafigi

O'rganilayotgan funktsiyalar oilasidan yana bir funktsiyani ko'rib chiqing.

Bu ta'rifi bo'yicha muhim ahamiyatga ega

Funktsiyaning maxrajdagi grafigini ko'rib chiqaylik: , bu funksiyaning grafigini bilamiz, u o'zining aniqlanish sohasi bo'yicha ortadi va (1; 1) nuqtadan o'tadi (5-rasm).

Guruch. 5. Funksiya grafigi

Dastlabki funktsiyaning grafigini qurishda (1; 1) nuqta qoladi, ildiz ham nolga moyil bo'lsa, funktsiya cheksizlikka intiladi. Va aksincha, x cheksizlikka intilgani uchun funksiya nolga intiladi (6-rasm).

Guruch. 6. Funksiya grafigi

Ko'rib chiqilgan misollar grafik qanday ketayotganini va o'rganilayotgan funktsiya - manfiy ratsional ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatlari qanday ekanligini tushunishga yordam beradi.

Bu turkumga kiruvchi funksiyalar grafiklari (1;1) nuqtadan o'tadi, funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayadi.

Funktsiya doirasi:

Funktsiya yuqoridan chegaralangan emas, balki pastdan chegaralangan. Funktsiyada na maksimal, na eng kichik qiymat.

Funktsiya uzluksiz, u noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan barcha ijobiy qiymatlarni oladi.

Qavariq pastga funksiyasi (15.7-rasm)

Egri chiziqda A va B nuqtalar olinadi, ular orqali segment chiziladi, butun egri chiziq segmentdan pastda, bu shart egri chiziqning ixtiyoriy ikkita nuqtasi uchun qanoatlantiriladi, shuning uchun funktsiya pastga qarab qavariq. Guruch. 7.

Guruch. 7. Funksiyaning qavariqligi

Bu oilaning funktsiyalari pastdan nol bilan chegaralanganligini tushunish kerak, lekin ular eng kichik qiymatga ega emas.

1-misol - \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] oraliqda funksiyaning maksimal va minimumini toping.

Grafik (2-rasm).

2-rasm. $f\left(x\right)=x^(2n)$ funksiya grafigi

Tabiiy toq darajali daraja funksiyasining xossalari

    Ta'rif sohasi barcha haqiqiy sonlardir.

    $f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ toq funksiyadir.

    $f(x)$ butun taʼrif sohasida uzluksizdir.

    Diapazon barcha haqiqiy raqamlardir.

    $f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

    Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi.

    $f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ uchun.

    $f(""\left(x\o'ng))=(\chap(\left(2n-1\o'ng)\cdot x^(2\left(n-1\o'ng))\o'ng))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

    \ \

    Funktsiya $x\in (-\infty ,0)$ uchun botiq va $x\in (0,+\infty)$ uchun qavariq.

    Grafik (3-rasm).

3-rasm. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ funksiya grafigi.

Butun sonli darajali quvvat funksiyasi

Boshlash uchun biz butun sonli daraja tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif 3

$n$ butun koʻrsatkichli haqiqiy $a$ sonining darajasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

4-rasm

Endi butun ko‘rsatkichli daraja funksiyasi, uning xossalari va grafigini ko‘rib chiqaylik.

Ta'rif 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ butun koʻrsatkichli quvvat funksiyasi deyiladi.

Agar daraja noldan katta bo'lsa, u holda biz tabiiy ko'rsatkichli daraja funksiyasi holatiga kelamiz. Biz buni allaqachon yuqorida ko'rib chiqdik. $n=0$ uchun $y=1$ chiziqli funksiyani olamiz. Uning mulohazalarini o‘quvchi ixtiyoriga qoldiramiz. Salbiy butun sonli darajali funktsiyaning xususiyatlarini ko'rib chiqish qoladi

Manfiy butun ko‘rsatkichli daraja funksiyasining xossalari

    Qo'llash doirasi $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Agar ko‘rsatkich juft bo‘lsa, funksiya juft bo‘ladi, agar u toq bo‘lsa, funksiya toq bo‘ladi.

    $f(x)$ butun taʼrif sohasida uzluksizdir.

    Qiymat diapazoni:

    Agar ko'rsatkich juft bo'lsa, $(0,+\infty)$, toq bo'lsa, $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Agar ko'rsatkich toq bo'lsa, funktsiya $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ ga kamayadi. Juft ko'rsatkich uchun funktsiya $x\in (0,+\infty)$ sifatida kamayadi. va $x\in \left(-\infty ,0\right)$ sifatida ortadi.

    $f(x)\ge 0$ butun domen boʻylab

Eksponensial funktsiya bo'yicha mos yozuvlar ma'lumotlari - asosiy xususiyatlar, grafiklar va formulalar berilgan. Quyidagi masalalar ko'rib chiqiladi: ta'rif sohasi, qiymatlar to'plami, monotonlik, teskari funksiya, hosilaviy, integral, darajali qatorlarni kengaytirish va kompleks sonlar yordamida tasvirlash.

Ta'rif

Eksponensial funktsiya a ga teng bo'lgan n ta sonning ko'paytmasining umumlashmasi:
y (n) = a n = a a a a,
x haqiqiy sonlar to'plamiga:
y (x) = x.
Bu erda a aniqlangan haqiqiy raqam, deb ataladi ko'rsatkichli funktsiyaning asosi.
A asosli ko'rsatkichli funktsiya ham deyiladi a asosiga eksponentsial.

Umumlashtirish quyidagi tarzda amalga oshiriladi.
Tabiiy x = uchun 1, 2, 3,... , eksponensial funktsiya x omillarning mahsulotidir:
.
Bundan tashqari, u raqamlarni ko'paytirish qoidalaridan kelib chiqadigan (1,5-8) () xususiyatlarga ega. Nolda va salbiy qiymatlar butun sonlar , ko'rsatkichli funktsiya (1.9-10) formulalar bilan aniqlanadi. Kasr qiymatlari uchun x = m/n ratsional sonlar, , (1.11) formula bilan aniqlanadi. Real uchun eksponensial funktsiya quyidagicha aniqlanadi ketma-ketlik chegarasi:
,
bu yerda x ga yaqinlashuvchi ratsional sonlarning ixtiyoriy ketma-ketligi:.
Ushbu ta'rif bilan ko'rsatkichli funktsiya hamma uchun aniqlanadi va (1,5-8), shuningdek, natural x uchun xossalarni qanoatlantiradi.

Ko'rsatkichli funktsiya ta'rifining qat'iy matematik formulasi va uning xossalarining isboti "Ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatlarining ta'rifi va isboti" sahifasida berilgan.

Ko'rsatkichli funktsiyaning xossalari

y = a x ko'rsatkichli funksiya haqiqiy sonlar to'plamida () quyidagi xususiyatlarga ega:
(1.1) aniqlangan va uzluksiz, uchun, hamma uchun;
(1.2) qachon a ≠ 1 ko'p ma'noga ega;
(1.3) da qat'iy ortadi, qat'iy kamayadi,
da doimiy;
(1.4) da ;
da ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Boshqa foydali formulalar
.
Boshqa quvvat bazasiga ega eksponensial funktsiyaga aylantirish formulasi:

b = e uchun ko'rsatkichli funktsiyaning ko'rsatkich bo'yicha ifodasini olamiz:

Shaxsiy qadriyatlar

, , , , .

Rasmda eksponensial funktsiyaning grafiklari ko'rsatilgan
y (x) = x
to'rtta qiymat uchun daraja asoslari:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 va a = 1/8 . Ko'rinib turibdiki, a > uchun 1 eksponensial funksiya monoton ortib bormoqda. A darajasining asosi qanchalik katta bo'lsa, o'sish shunchalik kuchli bo'ladi. Da 0 < a < 1 eksponensial funktsiya monoton kamayib bormoqda. Qanday kam ko'rsatkich a darajasi bo'lsa, pasayish shunchalik kuchli bo'ladi.

Ko'tarilish, pasayish

Eksponensial funktsiya qat'iy monotonikdir, shuning uchun uning ekstremasi yo'q. Uning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan.

y = a x, a > 1 y = x, 0 < a < 1
Domen - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Qiymatlar diapazoni 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Monoton monoton ravishda ortadi monoton tarzda kamayadi
Nollar, y= 0 Yo'q Yo'q
Y o'qi bilan kesishish nuqtalari, x = 0 y= 1 y= 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Teskari funksiya

A darajali asosli ko'rsatkichli funktsiyaning o'zaro nisbati a asosining logarifmidir.

Agar , keyin
.
Agar , keyin
.

Ko'rsatkichli funktsiyani differensiallash

Ko'rsatkichli funktsiyani farqlash uchun uning asosini e soniga keltirish, hosilalar jadvalini va kompleks funktsiyani farqlash qoidasini qo'llash kerak.

Buning uchun logarifmlar xossasidan foydalanish kerak
va hosilalar jadvalidagi formula:
.

Eksponensial funktsiya berilgan bo'lsin:
.
Biz uni e bazasiga keltiramiz:

Kompleks funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz. Buning uchun biz o'zgaruvchini kiritamiz

Keyin

Bizda hosilalar jadvalidan (x o'zgaruvchisini z bilan almashtiring):
.
Doimiy bo'lgani uchun z ning x ga nisbatan hosilasi
.
Murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasiga ko'ra:
.

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

.
n-tartibning hosilasi:
.
Formulalarni chiqarish > > >

Ko'rsatkichli funktsiyani farqlashga misol

Funktsiyaning hosilasini toping
y= 35 x

Yechim

Ko‘rsatkichli funksiya asosini e soni bilan ifodalaymiz.
3 = e log 3
Keyin
.
Biz o'zgaruvchini kiritamiz
.
Keyin

Sanoat jadvalidan biz quyidagilarni topamiz:
.
Shu darajada 5 million 3 doimiy bo'lsa, u holda z ning x ga nisbatan hosilasi:
.
Murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasiga ko'ra bizda quyidagilar mavjud:
.

Javob

Integral

Kompleks sonlar bilan ifodalangan ifodalar

Kompleks sonlar funktsiyasini ko'rib chiqing z:
f (z) = az
bu yerda z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Kompleks konstanta a ni modul r va ph argumenti bilan ifodalaymiz:
a = r e i ph
Keyin


.
ph argumenti yagona aniqlanmagan. IN umumiy ko'rinish
φ = φ 0 + 2 pn,
bu yerda n butun son. Shuning uchun f funksiyasi (z) ham noaniq. Ko'pincha uning asosiy ahamiyati hisobga olinadi
.

Seriyalarda kengaytirish


.

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.

Biz ham tavsiya qilamiz

Yuklanmoqda...Yuklanmoqda...