Ko'rsatma

Vazifa 1.
Agar bir oyog‘i ikkinchisidan 1 sm uzun, uchburchak esa 28 sm bo‘lishi ma’lum bo‘lsa, uchburchakning barcha tomonlari uzunligini toping.

Yechim.
Asosiy maydon formulasini yozing S = (a*b)/2 = 28. Ma'lumki, b = a + 1, bu qiymatni formulaga almashtiring: 28 = (a*(a+1))/2.
qavslarni oching, oling kvadrat tenglama bitta noma'lum a^2 + a - 56 = 0 bilan.
Buni D = 1 + 224 = 225 diskriminantni hisoblash orqali toping. Tenglama ikkita yechimga ega: a_1 = (-1 + √225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 va a_2 = (-1 - √) 225)/2 = (-1 - 15)/2 = -8.
Ikkinchisi mantiqiy emas, chunki segmentning uzunligi manfiy bo'lishi mumkin emas, shuning uchun a = 7 (sm).
Ikkinchi oyoqning uzunligini toping b = a + 1 = 8 (sm).
Uchinchi tomonning uzunligi qoladi. To'g'ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasiga ko'ra c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64, demak c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10,6 (sm).

Vazifa 2.
To'g'ri burchakli uchburchakning barcha tomonlari uzunligini toping, agar uning maydoni 14 sm va ACB burchagi 30 ° bo'lsa.

Yechim.
S = (a*b)/2 = 14 asosiy formulani yozing.
Endi to'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatiga ko'ra, gipotenuza va trigonometrik funktsiyalar ko'paytmasi orqali oyoqlarning uzunliklarini ifodalang:
a = c*cos(ACB) = c*cos(30°) = c*(√3/2) ≈ 0,87*c.
b = c * sin (ACB) = c * sin (30 °) = c * (1/2) = 0,5 * c.

Olingan qiymatlarni maydon formulasiga almashtiring:
14 = (0,87*0,5*c^2)/2, bu yerdan:
28 ≈ 0,435*s^2 → c = √64,4 ≈ 8 (sm).
Siz gipotenuzaning uzunligini topdingiz, endi qolgan ikki tomonning uzunligini toping:
a = 0,87 * c = 0,87 * 8 ≈ 7 (sm), b = 0,5 * c = 0,5 * 8 = 4 (sm).

Tegishli videolar

Birinchidan, notatsiya haqida kelishib olaylik. Oyoq - to'g'ri burchakli uchburchakning qo'shni bo'lgan tomoni to'g'ri burchak(ya'ni, boshqa tomoni bilan 90 graduslik burchak hosil qiladi). Biz a va b oyoqlarning uzunliklarini belgilashga rozi bo'lamiz. Oyoqlarga qarama-qarshi bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining qiymatlari mos ravishda A va B deb nomlanadi. Gipotenuza - to'g'ri burchakli uchburchakning to'g'ri burchakka qarama-qarshi bo'lgan tomoni (ya'ni, u to'g'ri burchakka qarama-qarshi bo'lib, uchburchakning boshqa tomonlari bilan o'tkir burchaklar hosil qiladi). Gipotenuzaning uzunligini s bilan belgilaymiz. Kerakli maydonni S bilan belgilang.

Ko'rsatma

S = (a ^ 2) / (2 * tg (A)) formulasini qo'llang, agar sizga faqat bitta oyoq (a) berilgan bo'lsa, lekin bu oyoqqa (A) qarama-qarshi burchak ham ma'lum. "^2" belgisi kvadratlashtirishni bildiradi.

Agar sizga faqat bitta oyoq (a) berilgan bo'lsa, S=(a ^ 2) * tg (B) / 2 d formulasidan foydalaning, lekin siz bu oyoqqa (B) ulashgan burchakni ham bilasiz.

Tegishli videolar

Manbalar:

• "Universitetlarga abituriyentlar uchun matematika bo'yicha qo'llanma", ed. G.N. Yakovleva, 1982 yil.

Toʻgʻri burchakli uchburchakning tomonlari va burchaklari oʻrtasidagi munosabat matematikaning trigonometriya deb ataladigan boʻlimida yoritilgan. To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini topish uchun Pifagor teoremasini, trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarini bilish va trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini topish uchun ba'zi vositalarga ega bo'lish kifoya, masalan, kalkulyator yoki Bradis jadvallari. To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini topish masalalarining asosiy holatlarini quyida ko'rib chiqing.

Sizga kerak bo'ladi

• Kalkulyator, Bradis jadvallari.

Ko'rsatma

Agar o'tkir burchaklardan biri, masalan, A, va oyoqlardan biri, masalan, a berilgan bo'lsa, u holda gipotenuza va boshqa oyoq quyidagi munosabatlardan hisoblanadi: b=a*tg(A), c=a *sin(A).

Foydali maslahat

Agar siz hisoblash uchun zarur bo'lgan burchaklardan birining sinusi yoki kosinasi qiymatini bilmasangiz, Bradis jadvallaridan foydalanishingiz mumkin, ular trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini beradi. katta raqam burchaklar. Bundan tashqari, zamonaviy kalkulyatorlarning ko'pchiligi burchaklarning sinuslari va kosinuslarini hisoblashga qodir.

Manbalar:

• 2019 yilda to'g'ri burchakli uchburchakning tomonini qanday hisoblash mumkin

Maslahat 4: To‘g‘ri burchakli uchburchak asosini qanday topish mumkin

To'g'ri burchakli uchburchak kabi shaklda tomonlarning bir-biriga nisbatan aniq nisbati bo'lishi shart. Ulardan ikkitasini bilib, har doim uchinchisini topishingiz mumkin. Buni qanday qilish mumkin, siz quyidagi ko'rsatmalardan bilib olasiz.

Sizga kerak bo'ladi

• - kalkulyator.

Ko'rsatma

Ikkala oyoqni kvadratga aylantiring va ularni a2 + b2 qo'shing. Natijada gipotenuza ( asos) c2 kvadratida. Keyinchalik, siz faqat ikkinchisidan ildizni olishingiz kerak va gipotenuza topiladi. Bu usul oddiy va ulardan foydalanish oson. Partiyalarni topish jarayonida asosiy narsa uchburchak Shunday qilib - eng keng tarqalgan xatolikka yo'l qo'ymaslik uchun dastlabki natijadan ildizni olishni unutmang. Formula dunyodagi eng mashhur Pifagor teoremasi tufayli olingan bo'lib, u barcha manbalarda a2+b2 = c2 kabi ko'rinadi.

Oyoqlardan birini a qarama-qarshi burchak sin a sinusiga ajrating. Agar vaziyatda tomonlar va sinuslar ma'lum bo'lsa, gipotenuzani topishning ushbu varianti maqbul bo'ladi. Bu holda formula juda oddiy shaklga ega bo'ladi: c=a/sin a. Barcha hisob-kitoblarda ehtiyot bo'ling.

a tomonini ikkiga ko'paytiring. Gipotenuza hisoblab chiqilgan. Bu, ehtimol, bizga qo'l topishning eng oddiy usuli. Ammo, afsuski, bu usul faqat bitta holatda qo'llaniladi - gradus o'lchovidagi burchakka qarama-qarshi bo'lgan tomon o'ttiz raqamiga teng bo'lsa. Agar mavjud bo'lsa, u doimo gipotenuzaning yarmi bo'lishiga amin bo'lishingiz mumkin. Shunga ko'ra, siz faqat ikki barobarga oshirishingiz kerak va siz tugatasiz.

a oyog'ini unga qo'shni cos a burchakning kosinusiga bo'ling. Ushbu usul faqat oyoqlardan birini va unga ulashgan burchakning kosinusini bilsangiz mos keladi. Bu usul sizga ilgari taqdim etilgan usulga o'xshaydi, unda oyoq ham ishlatiladi, lekin kosinus o'rniga qarama-qarshi burchakning sinusi. Faqat bu holatda u biroz boshqacha o'zgartirilgan bo'ladi tashqi ko'rinish: s=a/ cos a. Ana xolos.

Maslahat 5: To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari ma'lum bo'lsa, burchakni qanday topish mumkin

Tre kvadrat, burchaklaridan biri to'g'ri (90 ° ga teng), to'g'ri burchak deb ataladi. Uning eng uzun tomoni har doim to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotadi va gipotenuza deb ataladi, qolgan ikkitasi tomonlar konki deyiladi. Agar ushbu uch tomonning uzunligi ma'lum bo'lsa, uchburchakning barcha burchaklarining qiymatlarini toping kvadrat va qiyin emas, chunki aslida siz faqat burchaklardan birini hisoblashingiz kerak. Buni bir necha usul bilan amalga oshirish mumkin.

Ko'rsatma

Trigonometrik funksiyalarni to‘g‘ri burchakli tri ko‘rinishida aniqlashning kattaliklarini (a, b, g) hisoblash uchun foydalaning. Masalan, o'tkir burchakning sinusi uchun qarama-qarshi oyoq uzunligining gipotenuzaning uzunligiga nisbati. Demak, agar oyoqlarning uzunliklari (A va B) va gipotenuza (C), unda siz, masalan, A oyoqqa qarama-qarshi joylashgan a burchakning sinusini uzunlikka bo'lish orqali topishingiz mumkin. tomonlar Va uzunligi uchun tomonlar C (gipotenuza): sin(a)=A/C. Ushbu burchakning sinusining qiymatini bilib, siz sinusning teskari funktsiyasi - arksinus yordamida uning qiymatini darajalarda topishingiz mumkin. Ya'ni, a=arcsin(sin(a))=arcsin(A/C). Xuddi shu tarzda, siz uchburchakdagi o'tkir burchakning qiymatini topishingiz mumkin. kvadrat e, lekin bu kerak emas. Chunki barcha burchaklarning yig'indisi kvadrat a 180° va tre kvadrat Agar burchaklardan biri 90° ga teng boʻlsa, uchinchi burchakning qiymatini 90° ning topilgan burchak qiymatining farqi sifatida hisoblash mumkin: b=180°-90°-a=90°-a.

Sinusni belgilash o'rniga, kerakli burchakka qo'shni oyoq uzunligining gipotenuzaning uzunligiga nisbati sifatida ifodalanadigan o'tkir burchakning kosinus ta'rifidan foydalanishingiz mumkin: cos(a)=B/ C. Va bu erda teskarisini ishlating trigonometrik funktsiya(arkkosin) burchakning gradusdagi qiymatini topish uchun: a=arccos(cos(a))=arccos(B/C). Shundan so'ng, oldingi bosqichdagi kabi, etishmayotgan burchakning qiymatini topish qoladi: b=90°-a.

Siz shunga o'xshash tangensdan foydalanishingiz mumkin - u kerakli burchakka qarama-qarshi oyoq uzunligining qo'shni oyoq uzunligiga nisbati bilan ifodalanadi: tg (a) = A / B. Burchakning gradusdagi qiymati yana teskari trigonometrik funksiya orqali aniqlanadi - : a=arctg(tg(a))=arctg(A/B). Yo'qolgan burchak formulasi o'zgarishsiz qoladi: b=90°-a.

Tegishli videolar

Maslahat 6: To'g'ri burchakli uchburchakning bir tomonining uzunligini qanday topish mumkin

Agar burchaklaridan biri to'g'ri burchak bo'lsa, uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak hisoblanadi. Yon uchburchak to'g'ri burchakka qarama-qarshi joylashgan gipotenuza va qolgan ikkitasi deyiladi tomonlar- kateterlar. To'rtburchak tomonlarining uzunliklarini topish uchburchak, bir necha usulda ishlatilishi mumkin.

Ko'rsatma

1. Ikki oyoqning qiymatlari ma'lum

Bunday holda, to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
S=0,5ab

2. Bir oyoq va gipotenuza ma'lum

Bunday sharoitda Pifagor teoremasi va yuqoridagi formuladan foydalanish eng mantiqiydir:
S = 0,5∙sqrt(c^2-a^2)∙a,
sqrt qayerda Kvadrat ildiz, c^2-a^2 - gipotenuza va oyoq kvadratining farqini bildiruvchi radikal ifoda.

3. Uchburchakning barcha tomonlari qiymatlari berilgan

Bunday muammolar uchun siz Heron formulasidan foydalanishingiz mumkin:
S = (p-a) (p-b),
Bu erda p - yarim perimetr, u quyidagi ifoda bilan topiladi: p = 0,5∙ (a+b+c)

4. Bir oyoq va burchak ma'lum

Bu erda trigonometrik funktsiyalarga murojaat qilish kerak. Masalan, tg(1) = 1/stg(1) = b/a. Ya'ni, bu nisbat tufayli noma'lum oyoqning qiymatini aniqlash mumkin. Keyin muammo birinchi nuqtaga qisqartiriladi.

5. Ma'lum bo'lgan gipotenuza va burchak

Bunda sinus va kosinusning trigonometrik funksiyalaridan ham foydalaniladi: cos(2)=1/sin(2) = b/c. Keyin muammoning yechimi maqolaning ikkinchi xatboshiga qisqartiriladi.

Tegishli videolar

Maslahat 11: To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari qanday nomlanadi

birinchisiga o'xshash ta'rif. To'g'ri burchakli uchburchak - bu ikki tomoni perpendikulyar bo'lgan uchburchak.

Gipotenuza va oyoqlar

O'tkir va kengaygan uchburchaklar burchaklarning uchlarini bog'laydigan chiziq segmentlari oddiygina tomonlar deb ataladi. Yon tomonda boshqa nomlar mavjud. To'g'ri burchakka qo'shni bo'lganlar oyoqlar deb ataladi. To'g'ri burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza deyiladi. dan tarjima qilingan yunoncha so'z"gipotenuza" "cho'zilgan", "oyoq" esa "perpendikulyar" degan ma'noni anglatadi.

Gipotenuza va oyoqlar o'rtasidagi munosabatlar

To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari ma'lum nisbatlar bilan bir-biriga bog'langan bo'lib, bu hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Masalan, oyoqlarning o'lchamlarini bilib, siz gipotenuzaning uzunligini hisoblashingiz mumkin. Bu nisbat, uni kashf etgan shaxs nomi bilan atalgan, Pifagor teoremasi deb nomlangan va u quyidagicha ko'rinadi:

c2=a2+b2, bu yerda c gipotenuza, a va b oyoqlar. Ya'ni, gipotenuza oyoqlarning kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng bo'ladi. Oyoqlarning birortasini topish uchun gipotenuzaning kvadratidan ikkinchi oyog'ining kvadratini ayirish va hosil bo'lgan farqdan kvadrat ildizni olish kifoya.

Qo'shni va qarama-qarshi oyoq

ACB to‘g‘ri burchakli uchburchakni chizing. C harfi to'g'ri burchakning cho'qqisini belgilash uchun ishlatiladi, A va B o'tkir burchaklarning uchlari. Har bir burchakka qarama-qarshi tomonlar qulay tarzda a, b va c deb ataladi, ularga qarama-qarshi burchaklar nomidan keyin. A burchagini ko'rib chiqing. Oyoq a, chunki u qarama-qarshi, b oyog'i - qo'shni bo'ladi. Qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati deyiladi. Bu trigonometrik funktsiyani quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: sinA=a/c. Qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati kosinus deb ataladi. U quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: cosA=b/c.

Shunday qilib, burchak va tomonlardan birini bilib, ushbu formulalar yordamida boshqa tomonni hisoblash mumkin. Ikkala oyoq ham trigonometrik munosabatlar bilan bog'langan. Qarama-qarshining qo'shniga nisbati tangens deb ataladi va qo'shnining qarama-qarshiligiga nisbati kotangens deb ataladi. Bu nisbatlarni tgA=a/b yoki ctgA=b/a formulalari bilan ifodalash mumkin.

Uchburchak - bu bir burchagi 90 ° ga teng bo'lgan tekis geometrik shakl. Shu bilan birga, geometriyada ko'pincha bunday raqamning maydonini hisoblash talab qilinadi. Buni qanday qilish kerak, biz batafsilroq aytib beramiz.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini aniqlashning eng oddiy formulasi

Dastlabki ma'lumotlar, bu erda: a va b - uchburchakning to'g'ri burchakdan chiqadigan tomonlari.

Ya'ni, maydon to'g'ri burchakdan chiqadigan ikki tomonning ko'paytmasining yarmiga teng. Albatta, oddiy uchburchakning maydonini hisoblash uchun Heron formulasi mavjud, ammo qiymatni aniqlash uchun siz uchta tomonning uzunligini bilishingiz kerak. Shunga ko'ra, siz gipotenuzani hisoblashingiz kerak bo'ladi va bu qo'shimcha vaqt.

Heron formulasidan foydalanib, to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini toping

Bu taniqli va original formula, ammo buning uchun siz Pifagor teoremasidan foydalanib, ikki oyoq bo'ylab gipotenuzani hisoblashingiz kerak bo'ladi.

Bu formulada: a, b, c uchburchakning tomonlari, p esa yarim perimetrdir.

Gipotenuza va burchak berilgan to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini toping

Muammoingizdagi oyoqlarning hech biri ma'lum bo'lmasa, unda eng ko'p foydalaning oddiy tarzda yo'q, bunday qilolmaysiz. Qiymatni aniqlash uchun siz oyoqlarning uzunligini hisoblashingiz kerak. Bu oddiygina gipotenuza va kiritilgan burchakning kosinusu orqali amalga oshiriladi.

b=c×cos(a)

Oyoqlardan birining uzunligini bilib, Pifagor teoremasidan foydalanib, to'g'ri burchakdan chiqadigan ikkinchi tomonni hisoblashingiz mumkin.

b 2 \u003d c 2 -a 2

Ushbu formulada c va a mos ravishda gipotenuza va oyoqdir. Endi siz birinchi formuladan foydalanib, maydonni hisoblashingiz mumkin. Xuddi shu tarzda, ikkinchi va burchakni hisobga olgan holda, oyoqlardan birini hisoblash mumkin. Bunday holda, kerakli tomonlardan biri oyoqning mahsulotiga va burchakning tangensiga teng bo'ladi. Hududni hisoblashning boshqa usullari mavjud, ammo asosiy teoremalar va qoidalarni bilib, kerakli qiymatni osongina topishingiz mumkin.

Agar sizda uchburchakning biron bir tomoni bo'lmasa, faqat mediana va burchaklardan biri bo'lsa, unda siz tomonlarning uzunligini hisoblashingiz mumkin. Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ikkiga bo'lish uchun mediananing xususiyatlaridan foydalaning. Shunga ko'ra, u o'tkir burchakdan chiqsa, gipotenuza vazifasini bajarishi mumkin. To'g'ri burchakdan chiqadigan uchburchak tomonlarining uzunligini topish uchun Pifagor teoremasidan foydalaning.

Ko'rib turganingizdek, asosiy formulalar va Pifagor teoremasini bilib, siz faqat bitta burchakka va tomonlardan birining uzunligiga ega bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin.

Qanday qilib eslay olasiz maktab o'quv dasturi geometriyada uchburchak - bu bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bilan bog'langan uchta segmentdan hosil bo'lgan figura. Uchburchak uchta burchak hosil qiladi, shuning uchun raqam nomi. Ta'rif boshqacha bo'lishi mumkin. Uchburchakni uch burchakli ko'pburchak deb ham atash mumkin, javob xuddi shunday to'g'ri bo'ladi. Uchburchaklar teng tomonlar soniga va shakllardagi burchaklarning o'lchamiga ko'ra bo'linadi. Shunday qilib, bunday uchburchaklarni mos ravishda teng yonli, teng yonli va miqyosli, shuningdek, to'rtburchaklar, o'tkir burchakli va to'g'ri burchakli ajrating.

Uchburchakning maydonini hisoblash uchun ko'plab formulalar mavjud. Uchburchakning maydonini qanday topishni tanlang, ya'ni. qaysi formuladan foydalanish kerak, faqat siz. Ammo uchburchakning maydonini hisoblash uchun ko'plab formulalarda qo'llaniladigan ba'zi belgilarni ta'kidlash kerak. Shunday qilib, esda tuting:

S - uchburchakning maydoni,

a, b, c - uchburchakning tomonlari,

h - uchburchakning balandligi,

R - aylana radiusi,

p - yarim perimetr.

Mana, agar siz geometriya kursini butunlay unutgan bo'lsangiz, foydali bo'lishi mumkin bo'lgan asosiy belgilar. Quyida eng tushunarli va tushunarli emas murakkab variantlar uchburchakning noma'lum va sirli maydonini hisoblash. Bu qiyin emas va sizning uy ehtiyojlaringiz uchun ham, farzandlaringizga ham yordam beradi. Keling, uchburchakning maydonini nokni otish kabi oson hisoblashni eslaylik:

Bizning holatda, uchburchakning maydoni: S = ½ * 2,2 sm * 2,5 sm = 2,75 kv.sm. Maydon kvadrat santimetrda (sqcm) o'lchanganini unutmang.

To'g'ri burchakli uchburchak va uning maydoni.

To'g'ri burchakli uchburchak - bu bir burchagi 90 gradusga teng bo'lgan uchburchak (shuning uchun to'g'ri burchakli uchburchak deb ataladi). To'g'ri burchak ikkita perpendikulyar chiziqdan (uchburchakda ikkita perpendikulyar segment) hosil bo'ladi. To'g'ri burchakli uchburchakda faqat bitta to'g'ri burchak bo'lishi mumkin, chunki har qanday uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 180 ga teng. Ma'lum bo'lishicha, boshqa ikkita burchak qolgan 90 gradusni o'zaro ajratishi kerak, masalan, 70 va 20, 45 va 45 va hokazo. Shunday qilib, siz asosiy narsani esladingiz, to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topishni o'rganish qoladi. Tasavvur qiling-a, bizning oldimizda shunday to'g'ri burchakli uchburchak bor va biz uning S maydonini topishimiz kerak.

1. To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini aniqlashning eng oson usuli quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

Bizning holatda, to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni: S = 2,5 sm * 3 sm / 2 = 3,75 kv.sm.

Aslida, endi uchburchakning maydonini boshqa usullar bilan tekshirish kerak emas, chunki kundalik hayotda u foydali bo'ladi va faqat bu yordam beradi. Ammo uchburchakning maydonini o'tkir burchaklar orqali o'lchash variantlari ham mavjud.

2. Boshqa hisoblash usullari uchun sizda kosinuslar, sinuslar va tangenslar jadvali bo'lishi kerak. O'zingiz baho bering, bu erda siz hali ham foydalanishingiz mumkin bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning maydonlarini hisoblashning ba'zi variantlari mavjud:

Biz birinchi formuladan va kichik dog'lar bilan foydalanishga qaror qildik (biz daftarga chizdik va eski o'lchagich va transportyordan foydalandik), ammo biz to'g'ri hisob-kitobni oldik:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Biz bunday natijalarni oldik 3,6=3,7, lekin hujayra siljishini hisobga olsak, biz bu nuanceni kechira olamiz.

Izossellar uchburchagi va uning maydoni.

Agar siz teng yonli uchburchak formulasini hisoblash vazifasiga duch kelsangiz, unda eng oson yo'li asosiy va uchburchak maydoni uchun klassik formuladan foydalanishdir.

Ammo birinchi navbatda, teng yonli uchburchakning maydonini topishdan oldin, biz uning qanday figura ekanligini bilib olamiz. Teng yonli uchburchak - bu ikki tomoni uzunligi bir xil bo'lgan uchburchak. Bu ikki tomon tomonlar deb ataladi, uchinchi tomon asos deb ataladi. Teng yonli uchburchakni teng qirrali uchburchak bilan aralashtirmang, ya'ni. uch tomoni teng bo'lgan teng tomonli uchburchak. Bunday uchburchakda burchaklarga, to'g'rirog'i, ularning o'lchamiga alohida moyillik yo'q. Biroq, teng yonli uchburchakda poydevordagi burchaklar teng, lekin teng tomonlar orasidagi burchakdan farq qiladi. Shunday qilib, siz birinchi va asosiy formulani allaqachon bilasiz, teng burchakli uchburchakning maydonini aniqlash uchun yana qanday formulalar ma'lum ekanligini bilish qoladi:

To'g'ri burchakli uchburchak haqiqatda deyarli har bir burchakda mavjud. Ushbu raqamning xususiyatlarini bilish, shuningdek, uning maydonini hisoblash qobiliyati, shubhasiz, siz uchun nafaqat geometriyadagi muammolarni hal qilish uchun, balki hayotiy vaziyatlarda ham foydali bo'ladi.

uchburchak geometriyasi

Elementar geometriyada to'g'ri burchakli uchburchak - bu uchta burchakni (ikkita o'tkir va bitta to'g'ri) tashkil etuvchi uchta bog'langan segmentdan iborat figuradir. To'g'ri uchburchak - bu bir qator bilan tavsiflangan asl figura muhim xususiyatlar, ular trigonometriyaning asosini tashkil qiladi. Oddiy uchburchakdan farqli o'laroq, to'rtburchaklar shaklning tomonlari o'z nomlariga ega:

• Gipotenuza to'g'ri burchakka qarama-qarshi joylashgan uchburchakning eng uzun tomonidir.
• Oyoqlar - to'g'ri burchak hosil qiluvchi segmentlar. Ko'rib chiqilayotgan burchakka qarab, oyoq unga qo'shni bo'lishi mumkin (bu burchakni gipotenuza bilan hosil qiladi) yoki qarama-qarshi (burchakka qarama-qarshi yotadi). To'rtburchaklar bo'lmagan uchburchaklar uchun oyoqlari yo'q.

Trigonometriyaning asosini tashkil etuvchi oyoq va gipotenuzaning nisbati: sinuslar, tangenslar va sekantlar to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining nisbati sifatida aniqlanadi.

Haqiqatda to'g'ri uchburchak

Bu raqam qabul qilindi keng foydalanish hayotda. Uchburchaklar dizayn va texnologiyada qo'llaniladi, shuning uchun raqamning maydonini hisoblash muhandislar, me'morlar va dizaynerlar tomonidan amalga oshirilishi kerak. Tetraedra yoki prizmalarning asoslari uchburchak shakliga ega - kundalik hayotda uchratish oson bo'lgan uch o'lchamli raqamlar. Bundan tashqari, kvadrat haqiqatda "tekis" to'g'ri burchakli uchburchakning eng oddiy ko'rinishidir. Kvadrat metalldan ishlov berish, chizmachilik, qurilish va duradgorlik asbobi, bu maktab o'quvchilari va muhandislar tomonidan burchaklarni qurish uchun ishlatiladi.

Uchburchakning maydoni

Geometrik figuraning maydoni - bu uchburchak tomonlari bilan qancha tekislik chegaralanganligini miqdoriy bahodir. Oddiy uchburchakning maydonini Heron formulasidan foydalangan holda yoki chizilgan yoki chegaralangan doiraning asosi, tomoni, burchagi va radiusi kabi o'zgaruvchilar bilan hisob-kitoblarda ishlaydigan besh usulda topish mumkin. Eng oddiy maydon formulasi quyidagicha ifodalanadi:

Bu erda a - uchburchakning tomoni, h - balandligi.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblash formulasi oddiyroq:

Bu erda a va b - oyoqlar.

Onlayn kalkulyatorimiz bilan ishlashda siz uchta juft parametrdan foydalanib, uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin:

• ikki oyoq;
• oyoq va qo'shni burchak;
• oyoq va qarama-qarshi burchak.

Vazifalarda yoki kundalik vaziyatlarda sizga beriladi turli xil kombinatsiyalar o'zgaruvchilar, shuning uchun kalkulyatorning ushbu shakli uchburchakning maydonini bir necha usul bilan hisoblash imkonini beradi. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Haqiqiy hayot misollari

Seramika kafel

Aytaylik, siz oshxonaning devorlarini qoplashni xohlaysiz keramik plitkalar, bu to'g'ri burchakli uchburchak shakliga ega. Plitkalarning iste'molini aniqlash uchun siz qoplamaning bir elementining maydonini va umumiy maydoni qayta ishlangan sirt. 7 ni qayta ishlashga ruxsat bering kvadrat metr. Bitta elementning oyoqlarining uzunligi har biri 19 sm, keyin plitkaning maydoni quyidagilarga teng bo'ladi:

Bu shuni anglatadiki, bitta elementning maydoni 24,5 kvadrat santimetr yoki 0,01805 kvadrat metrni tashkil qiladi. Ushbu parametrlarni bilib, siz devorning 7 kvadrat metrini tugatish uchun sizga 7 / 0,01805 = 387 ta plitka kerak bo'lishini hisoblashingiz mumkin.

maktab vazifasi

Aytaylik, maktab geometriyasi masalasida bir oyog'ining tomoni 5 sm, qarama-qarshi burchakning qiymati esa 30 daraja ekanligini bilgan holda, to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini topish kerak. Onlayn kalkulyatorimiz to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari va burchaklarini ko'rsatadigan rasm bilan birga keladi. Agar tomon a = 5 sm bo'lsa, uning qarama-qarshi burchagi alfa burchagi bo'lib, 30 gradusga teng. Ushbu ma'lumotlarni kalkulyator formasiga kiriting va natijani oling:

Shunday qilib, kalkulyator nafaqat berilgan uchburchakning maydonini hisoblabgina qolmay, balki qo'shni oyoq va gipotenuzaning uzunligini, shuningdek, ikkinchi burchakning qiymatini ham aniqlaydi.

Xulosa

To'rtburchaklar uchburchaklar bizning hayotimizda tom ma'noda har bir burchakda uchraydi. Bunday raqamlarning maydonini aniqlash siz uchun nafaqat echishda foydali bo'ladi maktab topshiriqlari geometriya, balki kundalik va kasbiy faoliyat.

Geometriya darslarida o'rta maktab Hammamizga uchburchak haqida aytilgan. Biroq, maktab o'quv dasturi doirasida biz faqat eng ko'pini olamiz zarur bilim va hisoblashning eng keng tarqalgan va standart usullarini o'rganing. Bu qiymatni topishning noodatiy usullari bormi?

Kirish sifatida, qaysi uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak deb hisoblanishini eslaylik va maydon tushunchasini ham belgilaymiz.

To'g'ri burchakli uchburchak yopiqdir geometrik shakl, burchaklaridan biri 90 0 ga teng. Ta'rifdagi integral tushunchalar oyoqlar va gipotenuzadir. Oyoqlar ulanish nuqtasida to'g'ri burchak hosil qiluvchi ikki tomondir. Gipotenuza to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomondir. To'g'ri burchakli uchburchak teng yonli bo'lishi mumkin (uning ikkita tomoni bir xil o'lchamda bo'ladi), lekin hech qachon teng tomonli bo'lmaydi (barcha tomonlari bir xil uzunlikda). Balandlik, median, vektorlar va boshqa matematik atamalarning ta'riflari batafsil tahlil qilinmaydi. Ularni ma'lumotnomalarda topish oson.

Kvadrat to'g'ri uchburchak. To'rtburchaklardan farqli o'laroq, qoida haqida

ta'rifdagi tomonlarning mahsuloti haqiqiy emas. Quruq atama tilida gapiradigan bo'lsak, uchburchakning maydoni bu raqamning tekislikning bir qismini egallash xususiyati sifatida tushuniladi, bu raqam bilan ifodalanadi. Tushunish juda qiyin, tushunasiz. Biz ta'rifni chuqur o'rganishga harakat qilmaymiz, bizning maqsadimiz bu emas. Keling, asosiy narsaga o'tamiz - to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin? Biz hisob-kitoblarni o'zimiz qilmaymiz, faqat formulalarni ko'rsatamiz. Buning uchun yozuvni aniqlaymiz: A, B, C - uchburchakning tomonlari, oyoqlari - AB, BC. ACB burchagi to'g'ri. S - uchburchakning maydoni, h n n - uchburchakning balandligi, bu erda nn - u tushirilgan tomon.

1-usul. To'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlarining o'lchami ma'lum bo'lsa, uning maydonini qanday topish mumkin

2-usul. Teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchakning maydonini toping

Usul 3. To'rtburchak orqali maydonni hisoblash

To'g'ri burchakli uchburchakni kvadratga to'ldiramiz (agar uchburchak bo'lsa

teng yon tomonli) yoki to'rtburchaklar. Biz ikkita bir xil to'g'ri burchakli uchburchakdan tashkil topgan oddiy to'rtburchakni olamiz. Bunday holda, ulardan birining maydonining qiymati olingan raqamning yarmiga teng bo'ladi. To'rtburchakning S tomonlari ko'paytmasi bilan hisoblanadi. Bu qiymatni M bilan belgilaymiz. Maydonning kerakli qiymati M ning yarmiga teng bo'ladi.

4-usul." Pifagor shimlari". Mashhur Pifagor teoremasi

Biz hammamiz uning formulasini eslaymiz: "oyoq kvadratlarining yig'indisi ...". Lekin hamma ham qila olmaydi

ayt, va bu erda bir necha "shim". Gap shundaki, dastlab Pifagor to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarida qurilgan munosabatlarni o'rgangan. Kvadratchalar tomonlari nisbatidagi naqshlarni aniqlab, u barchamizga ma'lum bo'lgan formulani chiqara oldi. Tomonlardan birining qiymati noma'lum bo'lganda foydalanish mumkin.

5-usul. To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini Heron formulasi yordamida qanday topish mumkin

Bu ham juda oddiy hisob-kitob. Formula uchburchak maydonini uning tomonlarining raqamli qiymatlari bo'yicha ifodalashni o'z ichiga oladi. Hisoblash uchun siz uchburchakning barcha tomonlari kattaligini bilishingiz kerak.

S = (p-AC)*(p-BC), bu erda p = (AB+BC+AC)*0,5

Yuqoridagilardan tashqari, uchburchak kabi sirli figuraning o'lchamini topishning boshqa ko'plab usullari mavjud. Ulardan: chizilgan yoki chegaralangan aylana usuli bilan hisoblash, cho'qqilarning koordinatalari yordamida hisoblash, vektorlardan foydalanish, absolyut qiymatlar, sinuslar, tangenslar.