Darajalar o'tkir uchburchakni anglatadi. Uchburchaklar turlari: toʻgʻri burchakli, oʻtkir burchakli, toʻgʻri burchakli

Qoidaga ko'ra, ikkita uchburchak, agar ular bir xil shaklga ega bo'lsa, turli o'lchamlarda, aylantirilgan yoki hatto teskari bo'lsa ham, o'xshash hisoblanadi.

Rasmda ko'rsatilgan A 1 B 1 C 1 va A 2 B 2 C 2 o'xshash ikkita uchburchakning matematik ko'rinishi quyidagicha yoziladi:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Ikki uchburchak o'xshash, agar:

1. Bitta uchburchakning har bir burchagi boshqa uchburchakning mos burchagiga teng:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 va ∠C1 = ∠C2

2. Bir uchburchak tomonlarini boshqa uchburchakning mos tomonlariga nisbatlari bir-biriga teng:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Aloqalar ikki tomon bir uchburchakning boshqa uchburchakning mos tomonlari bir-biriga teng va bir vaqtning o'zida
Bu tomonlar orasidagi burchaklar teng:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ va $\burchak A_1 = \burchak A_2$
yoki
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ va $\burchak B_1 = \burchak B_2$
yoki
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ va $\burchak C_1 = \burchak C_2$

Shu kabi uchburchaklarni teng uchburchaklar bilan aralashtirib yubormaslik kerak. Kongruent uchburchaklar mos keladigan tomonlar uzunliklariga ega. Shunday qilib, teng uchburchaklar uchun:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Bundan kelib chiqadiki, barcha teng uchburchaklar o'xshashdir. Biroq, barcha o'xshash uchburchaklar teng emas.

Yuqoridagi belgilar ikkita uchburchakning o'xshash yoki o'xshashligini aniqlash uchun har bir uchburchakning uchta burchagi yoki uch tomonining uzunligini bilishimiz, o'xshash uchburchaklar bilan muammolarni hal qilishimiz kerakligini ko'rsatadi. Har bir uchburchak uchun yuqoridagi har qanday uchta qiymatni bilish kifoya. Ushbu qiymatlar turli xil kombinatsiyalarda bo'lishi mumkin:

1) har bir uchburchakning uchta burchagi (uchburchaklar tomonlarining uzunligini bilish shart emas).

Yoki bitta uchburchakning kamida 2 burchagi boshqa uchburchakning 2 burchagiga teng bo'lishi kerak.
Chunki 2 ta burchak teng bo'lsa, uchinchi burchak ham teng bo'ladi.(Uchinchi burchakning qiymati 180 - burchak1 - burchak2)

2) har bir uchburchak tomonlarining uzunliklari (burchaklarini bilish shart emas);

3) ikki tomonning uzunliklari va ular orasidagi burchak.

Keyinchalik, shunga o'xshash uchburchaklar bilan ba'zi muammolarni hal qilishni ko'rib chiqamiz. Avval yuqoridagi qoidalarni qo‘llash orqali to‘g‘ridan-to‘g‘ri yechish mumkin bo‘lgan masalalarni ko‘rib chiqamiz, so‘ngra shunga o‘xshash uchburchaklar usuli yordamida yechish mumkin bo‘lgan amaliy masalalarni muhokama qilamiz.

O'xshash uchburchaklar bilan amaliy masalalar

1-misol: Quyidagi rasmdagi ikkita uchburchak o'xshashligini ko'rsating.

Qaror:
Ikkala uchburchakning tomonlari uzunligi ma'lum bo'lganligi sababli, ikkinchi qoidani bu erda qo'llash mumkin:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC) )=\frac(15)(5)=3$

2-misol: Berilgan ikkita uchburchakning oʻxshashligini koʻrsating va tomonlarning uzunliklarini toping PQ va PR.

Qaror:
∠A = ∠P va ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(chunki ∠C = 180 - ∠A - ∠B va ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Bundan kelib chiqadiki, ∆ABC va ∆PQR uchburchaklari o'xshashdir. Demak:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ va
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

3-misol: Uzunlikni aniqlang AB bu uchburchakda.

Qaror:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED va ∠A umumiy => uchburchaklar DABC va DADE o'xshashdir.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \O'ng strelka 2\ marta AB = AB + 4 \O'ng strelka AB = 4$

4-misol: Uzunlikni aniqlang AD(x) shakldagi geometrik shakl.

∆ABC va ∆CDE uchburchaklari o'xshash, chunki AB || DE va ​​ular umumiy xususiyatga ega yuqori burchak C.
Biz bir uchburchak ikkinchisining masshtabli versiyasi ekanligini ko'ramiz. Biroq, biz buni matematik tarzda isbotlashimiz kerak.

AB || DE, CD || AC va BC || EI
∠BAC = ∠EDC va ∠ABC = ∠DEC

Yuqorida aytilganlarga asoslanib va ​​umumiy burchak mavjudligini hisobga olgan holda C, biz ∆ABC va ∆CDE uchburchaklari o'xshash ekanligini aytishimiz mumkin.

Demak:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7) ) = $23,57
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Amaliy misollar

5-misol: Zavod rasmda ko'rsatilganidek, 1-darajadan 2-darajaga, ya'ni 1-darajadan 3 metr balandlikda bo'lgan mahsulotlarni tashish uchun eğimli konveyerdan foydalanadi. Eğimli konveyerga bir uchidan 1-darajaga va boshqa uchidan 1-darajali ish joyidan 8 metr masofada joylashgan ish stantsiyasiga xizmat ko'rsatiladi.

Zavod konveyer burchagini saqlab qolgan holda, 1-darajadan 9 metr balandlikda joylashgan yangi darajaga chiqish uchun konveyerni yangilamoqchi.

Konveyerning yangi uchida 2-darajada ishlashini ta'minlash uchun yangi ish stantsiyasini o'rnatishingiz kerak bo'lgan masofani aniqlang. Shuningdek, mahsulot yangi darajaga o'tishda bosib o'tadigan qo'shimcha masofani hisoblang.

Qaror:

Birinchidan, rasmda ko'rsatilganidek, har bir kesishish nuqtasini ma'lum bir harf bilan belgilaymiz.

Oldingi misollarda keltirilgan mulohazalarga asoslanib, ∆ABC va ∆ADE uchburchaklari o‘xshash degan xulosaga kelishimiz mumkin. Demak,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \O'ng strelka AB = \frac(8 \qat 9)(3) ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Shunday qilib, yangi nuqta mavjud nuqtadan 16 metr masofada o'rnatilishi kerak.

Va struktura to'g'ri burchakli uchburchaklardan iborat bo'lganligi sababli, mahsulotning sayohat masofasini quyidagicha hisoblashimiz mumkin:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Xuddi shunday, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
bu mahsulot bosib o'tgan masofa bu daqiqa mavjud darajaga kirganingizda.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Bu mahsulot yangi darajaga erishish uchun bosib o'tishi kerak bo'lgan qo'shimcha masofa.

6-misol: Stiv yaqinda ko'chib kelgan do'stini ziyorat qilmoqchi yangi uy. Stiv va uning do'stining uyiga boradigan yo'l xaritasi, Stivga ma'lum bo'lgan masofalar bilan birga, rasmda ko'rsatilgan. Stivga do'stining uyiga eng qisqa yo'l bilan borishiga yordam bering.

Qaror:

Yo'l xaritasi rasmda ko'rsatilganidek, geometrik tarzda quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin.

∆ABC va ∆CDE uchburchaklari oʻxshashligini koʻramiz, shuning uchun:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Vazifa bayonotida shunday deyiladi:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km va DE = 5 km

Ushbu ma'lumotlardan foydalanib, biz quyidagi masofalarni hisoblashimiz mumkin:

$BC = \ frac (AB \ marta CD) (DE) = \ frac (15 \ marta 4,41) (5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \qat 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Stiv do'stining uyiga quyidagi yo'llar orqali borishi mumkin:

A -> B -> C -> E -> G, umumiy masofa 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km.

F -> B -> C -> D -> G, umumiy masofa 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km.

F -> A -> C -> E -> G, umumiy masofa 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km.

F -> A -> C -> D -> G, umumiy masofa 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km.

Shuning uchun, №3 marshrut eng qisqa va Stivga taklif qilinishi mumkin.

7-misol:
Trisha uyning balandligini o'lchamoqchi bo'ladi, lekin u yo'q to'g'ri vositalar. U uy oldida daraxt o'sib borayotganini payqadi va binoning balandligini aniqlash uchun o'zining zukkoligi va maktabda olgan geometriya bilimlaridan foydalanishga qaror qildi. U daraxtdan uygacha bo'lgan masofani o'lchadi, natijada 30 m bo'ldi.So'ng u daraxt oldida turib, binoning yuqori cheti daraxt tepasida ko'ringuncha orqaga chekinishni boshladi. Trisha joyni belgilab, undan daraxtgacha bo'lgan masofani o'lchadi. Bu masofa 5 m edi.

Daraxtning balandligi 2,8 m, Trishaning ko'zining balandligi esa 1,6 m Trishaga binoning balandligini aniqlashga yordam bering.

Qaror:

Masalaning geometrik ko'rinishi rasmda ko'rsatilgan.

Avval ∆ABC va ∆ADE uchburchaklarining o'xshashligidan foydalanamiz.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \O'ng strelka 2,8 \ marta AC = 1,6 \ marta (5) + AC) = 8 + 1,6 \katta AC$

$(2,8 - 1,6) \qat AC = 8 \O'ng strelka AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Keyin ∆ACB va ∆AFG yoki ∆ADE va ​​∆AFG uchburchaklarining o'xshashligidan foydalanishimiz mumkin. Keling, birinchi variantni tanlaylik.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6) )(0,16) = 10 m$

Ikkita uchburchak, agar ular bir-birining ustiga chiqishi mumkin bo'lsa, ular bir-biriga mos deyiladi. 1-rasmda teng ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklar ko'rsatilgan. Ushbu uchburchaklarning har birini boshqasiga qo'yish mumkin, shunda ular to'liq mos keladi, ya'ni ularning uchlari va tomonlari bir-biriga bog'langan. Bu holda bu uchburchaklarning burchaklari juftlik bilan birlashtirilishi aniq.

Shunday qilib, agar ikkita uchburchak teng bo'lsa, unda bir uchburchakning elementlari (ya'ni, tomonlari va burchaklari) mos ravishda boshqa uchburchakning elementlariga teng bo'ladi. Eslab qoling mos ravishda teng tomonlarga qarshi teng uchburchaklarda(ya'ni, ustiga qo'yilganda bir-birining ustiga chiqish) teng burchaklar yotadi va orqaga: qarama-qarshi mos ravishda teng burchaklar teng tomonlari yotadi.

Shunday qilib, masalan, 1-rasmda ko'rsatilgan ABC va A 1 B 1 C 1 teng uchburchaklarda, mos ravishda AB va A 1 B 1 teng tomonlariga qarama-qarshi C va C 1 teng burchaklar yotadi. ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklar tengligi quyidagicha belgilanadi: D ABC = D A 1 B 1 C 1. Ma'lum bo'lishicha, ikkita uchburchakning tengligini ularning ba'zi elementlarini solishtirish orqali aniqlash mumkin.

Teorema 1. Uchburchaklar tengligining birinchi belgisi. Agar bitta uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak mos ravishda boshqa uchburchakning ikki tomoniga va ular orasidagi burchakka teng bo'lsa, bunday uchburchaklar teng bo'ladi (2-rasm).

Isbot. ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklarini ko'rib chiqing, ularda AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (2-rasmga qarang). D ABC = D A 1 B 1 C 1 ekanligini isbotlaymiz.

∠ A \u003d ∠ A 1 bo'lgani uchun, ABC uchburchagini A 1 B 1 C 1 uchburchakning ustiga qo'yish mumkin, shunda A cho'qqisi A 1 cho'qqisiga to'g'ri keladi va AB va AC tomonlari mos ravishda bir-birining ustiga tushadi. A 1 B 1 va A 1 C nurlari. AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 bo'lgani uchun, keyin AB tomoni A 1 B 1 tomoni va AC tomoni - A 1 C 1 tomoni bilan birlashtiriladi; xususan, B va B 1, C va C 1 nuqtalari mos keladi. Shuning uchun BC va B 1 C 1 tomonlari tekislanadi. Shunday qilib, ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklari to'liq mos keladi, ya'ni ular tengdir.

2-teorema xuddi shunday superpozitsiya usuli bilan isbotlangan.

Teorema 2. Uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisi. Agar bitta uchburchakning yon tomoni va unga tutashgan ikkita burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning yon tomoniga va unga tutashgan ikkita burchagiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar teng bo'ladi (34-rasm).

Izoh. 2-teorema asosida 3-teorema o'rnatiladi.

Teorema 3. Uchburchakning har qanday ikkita ichki burchagi yig'indisi 180° dan kichik.

4-teorema oxirgi teoremadan kelib chiqadi.

Teorema 4. Uchburchakning tashqi burchagi hammadan katta ichki burchak, unga qo'shni emas.

Teorema 5. Uchburchaklar tengligining uchinchi belgisi. Agar bitta uchburchakning uchta tomoni mos ravishda boshqa uchburchakning uchta tomoniga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar teng ().

1-misol ABC va DEF uchburchaklarida (4-rasm)

∠ A = ∠ E, AB = 20 sm, AC = 18 sm, DE = 18 sm, EF = 20 sm ABC va DEF uchburchaklarini solishtiring. DEF uchburchakdagi qaysi burchak B burchakka teng?

Qaror. Bu uchburchaklar birinchi belgida teng. DEF uchburchakning F burchagi ABC uchburchakning B burchagiga teng, chunki bu burchaklar mos keladigan teng tomonlari DE va ​​AC qarshisida joylashgan.

2-misol AB va CD segmentlari (5-rasm) ularning har birining o'rta nuqtasi bo'lgan O nuqtada kesishadi. Agar AC segmenti 6 m bo'lsa, BD segmenti nimaga teng?

Qaror. AOC va BOD uchburchaklari teng (birinchi mezon bo'yicha): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikal), AO = OB, CO = OD (shart bo'yicha).
Bu uchburchaklarning tengligidan ularning tomonlari tengligi kelib chiqadi, ya'ni AC = BD. Ammo shartga ko'ra, AC = 6 m, keyin BD = 6 m.

Standart belgi

Cho'qqilari bo'lgan uchburchak A, B va C sifatida belgilanadi (rasmga qarang). Uchburchakning uch tomoni bor:

Uchburchak tomonlarining uzunliklari kichik harflar bilan ko'rsatilgan lotin harflari bilan(a,b,c):

Uchburchak quyidagi burchaklarga ega:

Tegishli burchaklardagi burchaklarning qiymatlari an'anaviy tarzda belgilanadi Yunon harflari (α, β, γ).

Uchburchaklar tenglik belgilari

Evklid tekisligidagi uchburchak quyidagi asosiy elementlarning uchliklari bilan yagona (kongruensiyagacha) aniqlanishi mumkin:

1. a, b, g (ikki tomonning tengligi va ular orasidagi burchak);
2. a, b, g (yon va ikkita qo'shni burchakdagi tenglik);
3. a, b, c (uch tomonda tenglik).

To'g'ri burchakli uchburchaklar tengligining belgilari:

1. oyoq va gipotenuz bo'ylab;
2. ikki oyoqda;
3. oyoq va o'tkir burchak bo'ylab;
4. gipotenuza va o'tkir burchak.

Uchburchakning ba'zi nuqtalari "juftlangan". Masalan, ikkita nuqta borki, ularning barcha tomonlari 60 ° burchak ostida yoki 120 ° burchak ostida ko'rinadi. Ular chaqiriladi nuqta Torricelli. Tomonlaridagi proyeksiyalari muntazam uchburchakning uchlarida joylashgan ikkita nuqta ham bor. Bu - Apolloniy nuqtalari. Ballar va shunga o'xshashlar deyiladi Brokart nuqtalari.

To'g'ridan-to'g'ri

Har qanday uchburchakda og'irlik markazi, ortosentri va aylana markazi bir xil to'g'ri chiziqda yotadi. Eyler liniyasi.

Cheklangan doira markazidan va Lemoin nuqtasidan o'tadigan chiziq deyiladi Brokar o'qi. Uning ustida Apolloniy nuqtalari yotadi. Torricelli nuqtalari va Lemoin nuqtalari ham bir xil to'g'ri chiziqda yotadi. Uchburchak burchaklarining tashqi bissektrisalarining asoslari bir xil toʻgʻri chiziqda yotadi, ular deyiladi. tashqi bissektrisalarning o'qi. Ortotriburchak tomonlarini o'z ichiga olgan chiziqlarning uchburchak tomonlarini o'z ichiga olgan chiziqlar bilan kesishish nuqtalari ham xuddi shu chiziqda yotadi. Bu qator deyiladi ortosentrik o'q, u Eyler chizig'iga perpendikulyar.

Agar uchburchakning aylanasi ustidagi nuqtani olsak, uning uchburchakning yon tomonlaridagi proyeksiyalari bitta to'g'ri chiziqda yotadi. Simsonning to'g'ri chizig'i berilgan nuqta. Simsonning diametral qarama-qarshi nuqtalarning chiziqlari perpendikulyar.

uchburchaklar

• Berilgan nuqtadan o'tkazilgan cho'qqilari tsevyanlar asoslaridagi uchburchak deyiladi sevian uchburchagi bu nuqta.
• Berilgan nuqtaning tomonlarga proyeksiyalarida uchlari bo'lgan uchburchak deyiladi teri ostida yoki pedal uchburchagi bu nuqta.
• Cho'qqilar va berilgan nuqta orqali o'tkazilgan chiziqlarning ikkinchi kesishish nuqtalarida cho'qqilari bo'lgan, aylana bilan chegaralangan uchburchak deyiladi. sevian uchburchagi. Kevian uchburchagi teri osti uchburchagiga o'xshaydi.

doiralar

• Chizilgan doira uchburchakning har uch tomoniga teguvchi aylanadir. U yagona. Chizilgan doiraning markazi deyiladi markaz.
• Cheklangan doira- uchburchakning uchta uchidan o'tuvchi aylana. Cheklangan doira ham o'ziga xosdir.
• Aylana- uchburchakning bir tomoniga teguvchi aylana va qolgan ikki tomonining kengayishi. Uchburchakda uchta shunday doira mavjud. Ularning radikal markazi median uchburchakning chizilgan doirasining markazi deb ataladi Spikerning fikri.

Uchburchakning uch tomonining o'rta nuqtalari, uning uchta balandligining asoslari va uchlarini ortomarkaz bilan bog'laydigan uchta chiziq segmentining o'rta nuqtalari bitta aylanada yotadi. to'qqiz nuqtadan iborat doira yoki Eyler doirasi. To'qqiz nuqtali aylananing markazi Eyler chizig'ida yotadi. To'qqiz nuqtadan iborat doira chizilgan doira va uchta aylanaga tegadi. Chizilgan doira va to'qqiz nuqtadan iborat doira orasidagi aloqa nuqtasi deyiladi Feyerbax nuqtasi. Agar har bir cho'qqidan biz tomonlarini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqlarga uchburchaklarni yotqizsak, ularning uzunligi qarama-qarshi tomonlarga teng ortezlar bo'lsa, natijada olingan olti nuqta bitta doirada yotadi - Konvey doiralari. Har qanday uchburchakda uchta doirani shunday yozish mumkinki, ularning har biri uchburchakning ikki tomoniga va ikkita boshqa doiraga tegadi. Bunday doiralar deyiladi Malfatti doiralari. Uchburchak medianalar bilan bo'lingan oltita uchburchakning aylana doiralarining markazlari bitta doirada yotadi, bu deyiladi. Lamun doirasi.

Uchburchakda uchburchakning ikki tomoniga va chegaralangan doiraga tegadigan uchta doira mavjud. Bunday doiralar deyiladi yarim yozilgan yoki Verrier doiralari. Verrier doiralarining teginish nuqtalarini aylana bilan bog'lovchi segmentlar bir nuqtada kesishadi, ular deyiladi. Veryer nuqtasi. U chegaralangan doirani aylanaga olib boradigan gomotetsiya markazi bo'lib xizmat qiladi. Verrier doiralarining yon tomonlari bilan teginish nuqtalari chizilgan aylananing markazidan o'tuvchi to'g'ri chiziqda yotadi.

Chizilgan doiraning tangens nuqtalarini cho'qqilari bilan bog'laydigan chiziq segmentlari bir nuqtada kesishadi, deyiladi. Gergonne nuqtasi, va cho'qqilarni aylanalarning aloqa nuqtalari bilan bog'laydigan segmentlar - ichida Nagel nuqtasi.

Ellips, parabola va giperbolalar

Yozilgan konus (ellips) va uning istiqboli

Uchburchak ichiga cheksiz sonli konuslar (ellips, parabola yoki giperbolalar) yozilishi mumkin. Agar biz uchburchakda ixtiyoriy konusni chizib, teginish nuqtalarini qarama-qarshi cho'qqilar bilan bog'lasak, hosil bo'lgan chiziqlar bir nuqtada kesishadi. nuqtai nazar konuslar. Tekislikning yon tomonda yoki uning cho'zilishida yotmagan har qanday nuqtasi uchun bu nuqtada istiqbolli chizilgan konus mavjud.

Shtayner ellipsi chegaralangan va uning o'choqlari orqali tsevianlar o'tadi

O'rta nuqtalarda tomonlarga tegib turgan uchburchakda ellips yozilishi mumkin. Bunday ellips deyiladi Shtayner ellips bilan yozilgan(uning istiqboli uchburchakning markaziy qismi bo'ladi). Yon tomonlarga parallel cho'qqilardan o'tuvchi chiziqlarga teguvchi tasvirlangan ellips deyiladi Shtayner ellipsi bilan chegaralangan. Agar affin transformatsiya ("qiyshiq") uchburchakni muntazam shaklga aylantirsa, u holda uning chizilgan va chegaralangan Shtayner ellipsi chizilgan va chegaralangan doiraga kiradi. Ta'riflangan Shtayner ellipsi (Skutin nuqtalari) fokuslari orqali o'tkazilgan seviyanlar teng (Skutin teoremasi). Cheklangan barcha ellipslardan Shtayner ellipsi chegaralangan eng kichik maydon, va barcha yozilgan ellipslar ichida Shtayner bilan yozilgan ellips eng katta maydonga ega.

Brokard ellipsi va uning perspektori - Lemoin nuqtasi

Fokuslari Brokar nuqtalarida joylashgan ellips deyiladi Brokart ellipsi. Uning istiqboli Lemoin nuqtasidir.

Yozilgan parabolaning xossalari

Kipert parabolasi

Yozilgan parabolalarning istiqbollari chegaralangan Shtayner ellipsida yotadi. Chizilgan parabolaning fokusi aylanada yotadi va direktrisa ortosentrdan o'tadi. Eyler direktrisasi bilan uchburchak ichiga yozilgan parabola deyiladi Kipert parabolasi. Uning istiqboli aylana bilan chegaralangan Shtayner ellipsining kesishuvining to‘rtinchi nuqtasidir. Shtayner nuqtasi.

Cypert giperbolasi

Agar tasvirlangan giperbola balandliklarning kesishish nuqtasidan o'tsa, u teng yonli bo'ladi (ya'ni uning asimptotalari perpendikulyar). Teng yonli giperbolaning asimptotalarining kesishish nuqtasi to‘qqiz nuqtadan iborat aylanada yotadi.

Transformatsiyalar

Agar cho'qqilardan o'tuvchi chiziqlar va tomonlarda yotmagan ba'zi nuqtalar va ularning kengaytmalari tegishli bissektrisalarga nisbatan aks ettirilsa, ularning tasvirlari ham bir nuqtada kesishadi, bu deyiladi. izogonal konjugat asl (agar nuqta chegaralangan doirada bo'lsa, natijada olingan chiziqlar parallel bo'ladi). E'tiborga molik nuqtalarning ko'p juftlari izogonal konjugatsiyaga ega: aylana va ortomarkazning markazi, markaz va Lemoin nuqtasi, Brokar nuqtalari. Apolloniy nuqtalari Torricelli nuqtalari bilan izogonal kon'yugat, aylana markazi esa o'ziga izogonal konjugatdir. Izogonal konjugatsiya ta'sirida to'g'ri chiziqlar chegaralangan konuslarga, chegaralangan konuslar esa to'g'ri chiziqlarga o'tadi. Demak, Kipert giperbolasi va Brokard o'qi, Enjabek giperbolasi va Eyler chizig'i, Feyerbax giperbolasi va chizilgan doira markazlari chizig'i izogonal konjugatdir. Izogonal konjugatsiya nuqtalarining subdermal uchburchaklarining chegaralangan doiralari bir-biriga to'g'ri keladi. Yozilgan ellipslarning o'choqlari izogonal konjugatdir.

Agar simmetrik kevyan o'rniga asosi yon tomonning o'rtasidan asl asosning asosi kabi uzoqda bo'lgan tsevianni olsak, unda bunday kevianlar ham bir nuqtada kesishadi. Olingan transformatsiya deyiladi izotomiya konjugasiyasi. Shuningdek, u chegaralangan konuslarga chiziqlarni xaritalaydi. Gergonne va Nagel nuqtalari izotomik konjugatdir. Affin transformatsiyalar ostida izotomik konjugatsiya nuqtalari izotomik konjugatsiyaga o'tadi. Izotomiya konjugatsiyasida tasvirlangan Shtayner ellipsi cheksizlikda to'g'ri chiziqqa o'tadi.

Agar uchburchakning aylanadan chetlari bilan kesilgan segmentlarda ma'lum bir nuqtadan o'tkazilgan tsevianlarning tagida yon tomonlarga tegib turuvchi doiralar chiziladi, so'ngra bu doiralarning aloqa nuqtalari chegaralangan doiralar bilan bog'lanadi. qarama-qarshi uchlari bo'lgan doira, keyin bunday chiziqlar bir nuqtada kesishadi. Samolyotning asl nuqtani hosil bo'lgan nuqtaga moslashtirishi deyiladi izosirkulyar transformatsiya. Izogonal va izotomik konjugatsiyalarning tarkibi o'zi bilan izodoiraviy transformatsiyaning tarkibi. Ushbu kompozitsiya uchburchakning tomonlarini joyida qoldiradigan va tashqi bissektrisalarning o'qini cheksiz to'g'ri chiziqqa aylantiradigan proyektiv transformatsiyadir.

Agar biror nuqtaning Sevian uchburchagining tomonlarini davom ettirsak va ularning mos tomonlari bilan kesishgan nuqtalarini olsak, hosil bo'lgan kesishish nuqtalari bitta to'g'ri chiziqda yotadi. uch chiziqli qutbli boshlang'ich nuqtasi. Ortosentrik o'q - ortosentrning uch chiziqli qutbi; chizilgan doira markazining uch chiziqli qutbi tashqi bissektrisalarning o'qidir. Cheklangan konusda yotgan nuqtalarning uch chiziqli qutblari bir nuqtada kesishadi (cheklangan aylana uchun bu Lemoin nuqtasi, aylanasi Shtayner ellipsi uchun esa markazdir). Izogonal (yoki izotomik) konjugatsiya va uch chiziqli qutbning tarkibi ikki tomonlama transformatsiyadir (agar nuqtaga izogonal (izotomik) konjugatsiya nuqtaning uch chiziqli qutbida yotsa, u holda nuqtaning uch chiziqli qutbi izogonal (izotomik) nuqtaga konjugat nuqtaning uch chiziqli qutbida yotadi).

Kublar

Uchburchakdagi munosabatlar

Eslatma: bu kesmada, , , uchburchakning uch tomonining uzunliklari va , , mos ravishda shu uch tomoniga (qarama-qarshi burchaklar) qarama-qarshi yotgan burchaklardir.

uchburchak tengsizligi

Degenerativ bo'lmagan uchburchakda uning ikki tomonining uzunligi yig'indisi uchinchi tomonning uzunligidan kattaroqdir, degenerativ uchburchakda u tengdir. Boshqacha qilib aytganda, uchburchak tomonlarining uzunliklari quyidagi tengsizliklar bilan bog'lanadi:

Uchburchak tengsizligi metrikaning aksiomalaridan biridir.

Burchaklarning uchburchak yig'indisi teoremasi

Sinus teoremasi

,

Bu erda R - uchburchak atrofida aylana radiusi. Teoremadan kelib chiqadiki, agar a< b < c, то α < β < γ.

Kosinus teoremasi

Tangens teoremasi

Boshqa nisbatlar

Uchburchakdagi metrik nisbatlar quyidagilar uchun berilgan:

Uchburchaklarni yechish

Uchburchakning nomaʼlum tomonlari va burchaklarini maʼlum boʻlganlariga asoslanib hisoblash tarixan “uchburchak yechimlari” deb atalgan. Bunda yuqoridagi umumiy trigonometrik teoremalardan foydalaniladi.

Uchburchakning maydoni

Maxsus holatlar belgisi

Hudud uchun quyidagi tengsizliklar mavjud:

Vektorlar yordamida kosmosdagi uchburchakning maydonini hisoblash

Uchburchakning uchlari , , nuqtalarida bo'lsin.

Maydon vektorini kiritamiz. Ushbu vektorning uzunligi uchburchakning maydoniga teng va u uchburchak tekisligiga normal bo'ylab yo'naltirilgan:

, bu yerda, , uchburchakning koordinata tekisliklariga proyeksiyalari bo‘lsin. Qayerda

va xuddi shunday

Uchburchakning maydoni .

Muqobil variant - tomonlarning uzunliklarini hisoblash (Pifagor teoremasidan foydalangan holda) va keyin Heron formulasidan foydalanish.

Uchburchak teoremalari

Dezarg teoremasi: agar ikkita uchburchak istiqbolli boʻlsa (uchburchaklarning mos choʻqqilaridan oʻtuvchi chiziqlar bir nuqtada kesishsa), ularning tegishli tomonlari bir toʻgʻri chiziqda kesishadi.

Sond teoremasi: agar ikkita uchburchak istiqbolli va orfologik bo'lsa (bir uchburchakning uchlaridan uchburchakning mos cho'qqilariga qarama-qarshi tomonlarga tushirilgan perpendikulyarlar va aksincha), u holda ikkala orfologiya markazlari (bu perpendikulyarlarning kesishish nuqtalari) va perspektiv markaz. perspektiv o'qiga perpendikulyar bo'lgan bitta to'g'ri chiziqda yot (Dezarg teoremasidan to'g'ri chiziq).

Bugun biz Geometriya mamlakatiga boramiz, u erda biz tanishamiz har xil turlari uchburchaklar.

O'ylab ko'ring geometrik figuralar va ular orasida "ortiqcha" ni toping (1-rasm).

Guruch. 1. Masalan, rasm

1, 2, 3, 5 raqamlari to'rtburchaklar ekanligini ko'ramiz. Ularning har biri o'z nomiga ega (2-rasm).

Guruch. 2. To‘rtburchaklar

Bu "qo'shimcha" raqam uchburchak ekanligini anglatadi (3-rasm).

Guruch. 3. Masalan, rasm

Uchburchak - bu bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtadan va bu nuqtalarni juft-juft qilib bog'laydigan uchta chiziqdan iborat figura.

Nuqtalar chaqiriladi uchburchak uchlari, segmentlar - uning partiyalar. Uchburchakning tomonlari shakllanadi Uchburchakning uchlarida uchta burchak bor.

Uchburchakning asosiy xususiyatlari quyidagilardir uch tomon va uchta burchak. Uchburchaklar burchakka qarab tasniflanadi o'tkir, to'rtburchaklar va o'tkir.

Uchburchak o'tkir burchakli deyiladi, agar uning uchta burchagi ham o'tkir bo'lsa, ya'ni 90 ° dan kichik bo'lsa (4-rasm).

Guruch. 4. O‘tkir uchburchak

Agar burchaklaridan biri 90° bo'lsa, uchburchak to'g'ri burchakli deyiladi (5-rasm).

Guruch. 5. To‘g‘ri burchakli uchburchak

Agar uchburchak burchaklaridan biri o'tmas bo'lsa, ya'ni 90° dan katta bo'lsa, uchburchak deyiladi (6-rasm).

Guruch. 6. Ketma-ket uchburchak

Teng tomonlar soniga ko'ra, uchburchaklar teng yonli, teng yonli, shkalasi.

Teng yonli uchburchak - bu ikki tomoni teng bo'lgan uchburchak (7-rasm).

Guruch. 7. Teng yon tomonli uchburchak

Bu tomonlar deyiladi lateral, uchinchi tomon - asos. Teng yonli uchburchakda asosdagi burchaklar teng.

Izosselli uchburchaklar o'tkir va o'tkir(8-rasm) .

Guruch. 8. O‘tkir va to‘g‘ri burchakli uchburchaklar

Teng tomonli uchburchak deyiladi, uning uch tomoni teng (9-rasm).

Guruch. 9. Teng yonli uchburchak

Teng tomonli uchburchakda barcha burchaklar teng. Teng tomonli uchburchaklar har doim o'tkir burchakli.

Uchburchak ko'p qirrali deb ataladi, uning uch tomoni har xil uzunlikka ega (10-rasm).

Guruch. 10. Masshtabli uchburchak

Vazifani bajaring. Ushbu uchburchaklarni uchta guruhga bo'ling (11-rasm).

Guruch. 11. Topshiriq uchun rasm

Birinchidan, burchaklarning o'lchamiga qarab taqsimlaymiz.

O'tkir uchburchaklar: No 1, No 3.

To'g'ri burchakli uchburchaklar: №2, №6.

Keng uchburchaklar: №4, №5.

Bu uchburchaklar teng tomonlar soniga ko'ra guruhlarga bo'linadi.

Masshtabli uchburchaklar: No 4, No 6.

Teng yonli uchburchaklar: No2, No3, No5.

Teng yonli uchburchak: № 1.

Chizmalarni ko'rib chiqing.

Har bir uchburchak qanday simdan yasalganini o'ylab ko'ring (12-rasm).

Guruch. 12. Topshiriq uchun rasm

Siz shunday bahslashishingiz mumkin.

Birinchi bo'lak sim uchta teng qismga bo'linadi, shuning uchun siz undan teng qirrali uchburchak yasashingiz mumkin. Rasmda uchinchi ko'rsatilgan.

Ikkinchi sim uch xil qismga bo'lingan, shuning uchun siz undan shkalali uchburchak yasashingiz mumkin. Bu birinchi rasmda ko'rsatilgan.

Uchinchi sim uch qismga bo'linadi, bu erda ikkita qism bir xil uzunlikda bo'ladi, shuning uchun siz undan teng burchakli uchburchak yasashingiz mumkin. U ikkinchi rasmda ko'rsatilgan.

Bugun darsda biz har xil turdagi uchburchaklar bilan tanishdik.

Adabiyotlar ro'yxati

1. M.I. Moro, M.A. Bantova va boshqalar.Matematika: Darslik. 3-sinf: 2 qism, 1-qism. - M .: "Ma'rifat", 2012.
2. M.I. Moro, M.A. Bantova va boshqalar.Matematika: Darslik. 3-sinf: 2 qism, 2-qism. - M .: "Ma'rifat", 2012.
3. M.I. Moreau. Matematika darslari: Yo'riqnomalar o'qituvchi uchun. 3-sinf - M.: Ta'lim, 2012.
4. Normativ hujjat. Ta'lim natijalarini monitoring qilish va baholash. - M.: "Ma'rifat", 2011 yil.
5. "Rossiya maktabi": uchun dasturlar Boshlang'ich maktab. - M.: "Ma'rifat", 2011 yil.
6. S.I. Volkov. Matematika: Tekshirish ishi. 3-sinf - M.: Ta'lim, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Testlar. - M.: "Imtihon", 2012 yil.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Uy vazifasi

1. Gaplarni tugating.

a) Uchburchak - bir xil to'g'ri chiziqda yotmaydigan va ... dan iborat bo'lgan, bu nuqtalarni juft-juft qilib bog'laydigan figura.

b) nuqtalar chaqiriladi … , segmentlar - uning … . Uchburchakning tomonlari uchburchakning uchlarida hosil bo'ladi ….

v) Burchak kattaligiga ko'ra uchburchaklar ..., ..., ... bo'ladi.

d) Teng tomonlari soniga ko'ra uchburchaklar ..., ..., ... bo'ladi.

2. Chizish

a) to'g'ri burchakli uchburchak

b) o'tkir uchburchak;

v) o'tmas uchburchak;

d) teng yonli uchburchak;

e) masshtabli uchburchak;

e) teng yonli uchburchak.

3. O'rtoqlaringizga dars mavzusi bo'yicha topshiriq tuzing.

Geometriya fani bizga uchburchak, kvadrat, kub nima ekanligini aytadi. DA zamonaviy dunyo uni maktablarda istisnosiz hamma o'rganadi. Shuningdek, uchburchak nima ekanligini va u qanday xususiyatlarga ega ekanligini bevosita o'rganadigan fan trigonometriyadir. U ma'lumotlar bilan bog'liq bo'lgan barcha hodisalarni batafsil o'rganadi.Uchburchak nima ekanligi haqida bugun maqolamizda gaplashamiz. Ularning turlari, shuningdek, ular bilan bog'liq ba'zi teoremalar quyida tavsiflanadi.

Uchburchak nima? Ta'rif

Bu tekis ko'pburchak. Uning uchta burchagi bor, bu uning nomidan aniq. Shuningdek, uning uchta tomoni va uchta uchi bor, ulardan birinchisi segmentlar, ikkinchisi nuqtalardir. Ikki burchak nimaga teng ekanligini bilib, birinchi ikkitasining yig'indisini 180 raqamidan ayirish orqali uchinchisini topishingiz mumkin.

Uchburchaklar nima?

Ular turli mezonlarga ko'ra tasniflanishi mumkin.

Avvalo, ular o'tkir burchakli, to'g'ri burchakli va to'rtburchaklarga bo'linadi. Birinchisi o'tkir burchaklarga ega, ya'ni 90 darajadan past bo'lganlar. O'tkir burchaklarda burchaklardan biri o'tkir, ya'ni 90 darajadan kattaroq bo'lgan burchak, qolgan ikkitasi o'tkirdir. O'tkir uchburchaklarga teng tomonli uchburchaklar ham kiradi. Bunday uchburchaklarning barcha tomonlari va burchaklari tengdir. Ularning barchasi 60 darajaga teng, buni barcha burchaklar yig'indisini (180) uchga bo'lish orqali osongina hisoblash mumkin.

To'g'ri uchburchak

To'g'ri burchakli uchburchak nima ekanligi haqida gapirmaslik mumkin emas.

Bunday raqam 90 gradusga teng (to'g'ri) bir burchakka ega, ya'ni uning ikki tomoni perpendikulyar. Qolgan ikkita burchak o'tkirdir. Ular teng bo'lishi mumkin, keyin u isosceles bo'ladi. Pifagor teoremasi to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq. Uning yordami bilan siz birinchi ikkitasini bilib, uchinchi tomonni topishingiz mumkin. Ushbu teoremaga ko'ra, agar siz bir oyoqning kvadratini ikkinchisining kvadratiga qo'shsangiz, gipotenuzaning kvadratini olishingiz mumkin. Oyoqning kvadratini gipotenuzaning kvadratidan ma'lum oyoqning kvadratini ayirish yo'li bilan hisoblash mumkin. Uchburchak nima ekanligi haqida gapirganda, biz teng yon tomonlarni eslashimiz mumkin. Bu tomonlarning ikkitasi teng bo'lgan va ikkita burchak ham teng bo'lgan narsadir.

Oyoq va gipotenuza nima?

Oyoq - 90 graduslik burchak hosil qiluvchi uchburchakning tomonlaridan biri. Gipotenuza qarama-qarshi bo'lgan qolgan tomondir to'g'ri burchak. Undan perpendikulyarni oyoqqa tushirish mumkin. Qo‘shni oyoqning gipotenuzaga nisbati kosinus, aksi esa sinus deyiladi.

- uning xususiyatlari qanday?

U to'rtburchaklar shaklida. Uning oyoqlari uch va to'rtta, gipotenuzasi esa beshta. Agar siz ushbu uchburchakning oyoqlari uch va to'rtga teng ekanligini ko'rsangiz, gipotenuzaning beshga teng bo'lishiga ishonchingiz komil bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, ushbu printsipga ko'ra, ikkinchisi to'rtga, gipotenuza esa beshga teng bo'lsa, oyoq uchga teng bo'lishini osongina aniqlash mumkin. Ushbu bayonotni isbotlash uchun siz Pifagor teoremasini qo'llashingiz mumkin. Agar ikkita oyoq 3 va 4 bo'lsa, u holda 9 + 16 \u003d 25, 25 ning ildizi 5, ya'ni gipotenuzasi 5. Shuningdek, Misr uchburchagi to'g'ri burchakli uchburchak deb ataladi, uning tomonlari 6, 8 va 10 bo'ladi. ; 9, 12 va 15 va 3:4:5 nisbatdagi boshqa raqamlar.

Yana nima uchburchak bo'lishi mumkin?

Uchburchaklar ham chizilgan va chegaralangan bo'lishi mumkin. Doira tasvirlangan rasm chizilgan deb ataladi, uning barcha uchlari aylanada yotgan nuqtalardir. Cheklangan uchburchak - bu doira chizilgan. Uning barcha tomonlari ma'lum nuqtalarda u bilan aloqa qiladi.

Qanday

Har qanday raqamning maydoni o'lchanadi kvadrat birliklar(kvadrat metr, kvadrat millimetr, kvadrat santimetr, kvadrat dekimetr va boshqalar) Bu qiymat uchburchakning turiga qarab turli usullar bilan hisoblanishi mumkin. Har qanday burchakli figuraning maydonini uning tomonini unga tushirilgan perpendikulyarga ko'paytirish orqali topish mumkin. qarama-qarshi burchak, va bu raqamni ikkiga bo'lish. Ushbu qiymatni ikki tomonni ko'paytirish orqali ham topishingiz mumkin. Keyin bu sonni tomonlar orasidagi burchakning sinusiga ko'paytiring va uni ikkiga bo'ling. Uchburchakning barcha tomonlarini bilgan holda, lekin uning burchaklarini bilmasdan, siz maydonni boshqa yo'l bilan topishingiz mumkin. Buning uchun siz perimetrning yarmini topishingiz kerak. Keyin navbat bilan bu raqamdan turli tomonlarni ayirib tashlang va olingan to'rtta qiymatni ko'paytiring. Keyinchalik, chiqqan raqamni toping. Chizilgan uchburchakning maydonini barcha tomonlarini ko'paytirish va uning atrofida chegaralangan sonni to'rtga bo'lish orqali topish mumkin.

Ta'riflangan uchburchakning maydoni shu tarzda topiladi: biz perimetrning yarmini unga yozilgan doira radiusiga ko'paytiramiz. Agar u holda uning maydoni quyidagicha topilishi mumkin bo'lsa: biz tomonni kvadratga aylantiramiz, natijada olingan raqamni uchta ildizga ko'paytiramiz, keyin bu raqamni to'rtga bo'lamiz. Xuddi shunday, siz barcha tomonlari teng bo'lgan uchburchakning balandligini hisoblashingiz mumkin, buning uchun siz ulardan birini uchta ildizga ko'paytirishingiz kerak va keyin bu raqamni ikkiga bo'lishingiz kerak.

Uchburchak teoremalari

Ushbu raqam bilan bog'liq bo'lgan asosiy teoremalar yuqorida tavsiflangan Pifagor teoremasi va kosinuslardir. Ikkinchisi (sinus) - agar siz biron bir tomonni unga qarama-qarshi burchak sinusiga bo'lsangiz, uning atrofida tasvirlangan aylananing radiusini ikkiga ko'paytirishingiz mumkin. Uchinchi (kosinus) shundan iboratki, agar ikki tomonning kvadratlari yig'indisi ularning mahsulotidan ayirilsa, ikkiga ko'paytirilsa va ular orasida joylashgan burchakning kosinusiga ko'paytirilsa, uchinchi tomonning kvadrati olinadi.

Dali uchburchagi - bu nima?

Ushbu kontseptsiyaga duch kelgan ko'pchilik, dastlab bu geometriyadagi qandaydir ta'rif, deb o'ylashadi, ammo bu umuman emas. Dali uchburchagi umumiy ism mashhur rassom hayoti bilan chambarchas bog'liq uchta joy. Uning "cho'qqilari" - Salvador Dali yashagan uy, u xotiniga sovg'a qilgan qal'a va syurrealistik rasmlar muzeyi. Ushbu joylarga sayohat paytida siz ko'p narsalarni o'rganishingiz mumkin. qiziqarli faktlar butun dunyoga mashhur bu o'ziga xos ijodkor rassom haqida.