Ehtimollikning klassik ta'rifi imtihonni hal qiladi. Matematika bo'yicha imtihon bo'yicha ehtimollar nazariyasi

Hodisa ehtimoli $A$ - bu $A$ uchun qulay natijalar sonining barcha teng darajada mumkin bo'lgan natijalar soniga nisbati.

$P(A)=(m)/(n)$, bu yerda $n$ - mumkin boʻlgan natijalarning umumiy soni va $m$ - $A$ foydasiga erishilgan natijalar soni.

Hodisa ehtimoli $$ segmentidagi raqamdir

Taksi kompaniyasi 50 dollarga tushadi avtomobillar. Ularning 35 dollari qora, qolganlari sariq. Mashinaning tasodifiy chaqiruvda kelishi ehtimolini toping sariq rang.

Sariq mashinalar sonini toping:

Hammasi bo'lib 50 dollarlik mashinalar bor, ya'ni qo'ng'iroqqa elliktadan bittasi keladi. 15$ sariq mashinalar bor, shuning uchun sariq mashinaning kelish ehtimoli $(15)/(50)=(3)/(10)=0,3$ ni tashkil qiladi.

Javob: $0,3$

Qarama-qarshi hodisalar

Ikki hodisa qarama-qarshi, agar deyiladi bu test ular bir-biriga mos kelmaydi va ulardan biri sodir bo'lishi kerak. Qarama-qarshi hodisalarning ehtimollari yig'indisi 1 ga teng. $A$ hodisasiga qarama-qarshi hodisa $((A))↖(-)$ deb yoziladi.

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

Mustaqil hodisalar

Ikkita $A$ va $B$ hodisalari mustaqil deyiladi, agar ularning har birining sodir boʻlish ehtimoli boshqa hodisa sodir boʻlgan yoki sodir boʻlmaganiga bogʻliq boʻlmasa. Aks holda, hodisalar bog'liq deb ataladi.

Ikki mustaqil hodisa $A$ va $B$ koʻpaytmasi ehtimoli ushbu ehtimolliklarning koʻpaytmasiga teng:

$P(A B)=P(A) P(B)$

Ivan Ivanovich ikki xil lotereya chiptasini sotib oldi. Birinchisining g'alaba qozonish ehtimoli lotereya chiptasi, $0,15$ ga teng. Ikkinchi lotereya chiptasining yutish ehtimoli $0,12. Ivan Ivanovich ikkala qur'ada ham ishtirok etadi. Qur’a bir-biridan mustaqil o‘tkaziladi deb faraz qilib, ikkala durangda ham Ivan Ivanovichning g‘alaba qozonish ehtimolini toping.

Ehtimollik $P(A)$ - birinchi chiptani yutadi.

Ehtimollik $P(B)$ - ikkinchi chiptani yutadi.

$A$ va $B$ hodisalari mustaqil hodisalardir. Ya'ni, ikkala hodisaning sodir bo'lish ehtimolini topish uchun ehtimollar ko'paytmasini topish kerak

$P(A B)=P(A) P(B)$

$P=0,15 0,12=0,018$

Javob: $0,018

Mos kelmaydigan hodisalar

Ikkita $A$ va $B$ hodisalari, agar $A$ va $B$ hodisalariga ijobiy taʼsir koʻrsatadigan natijalar boʻlmasa, mos kelmaydigan deb hisoblanadi. (Bir vaqtning o'zida sodir bo'lmaydigan voqealar)

$A$ va $B$ ikkita mos kelmaydigan hodisalar yig'indisining ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

Algebra imtihonida talaba barcha imtihonlardan bitta savol oladi. Bu mavzu bo'yicha savol bo'lish ehtimoli " Kvadrat tenglamalar", $0,3$ ga teng. Bu mavzu bo'yicha savol bo'lish ehtimoli " Irratsional tenglamalar", $0,18$ ga teng. Bir vaqtning o'zida bu ikki mavzuga oid savollar yo'q. Talaba imtihonda shu ikki mavzudan biriga savol berishi ehtimolini toping.

Bu hodisalar nomuvofiq deb ataladi, chunki talaba YO "Kadrikulyar tenglamalar" mavzusida yoki "Irratsional tenglamalar" mavzusida savol oladi. Mavzularni bir vaqtning o'zida ushlab bo'lmaydi. $A$ va $B$ ikkita mos kelmaydigan hodisalar yig'indisining ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P \u003d 0,3 + 0,18 \u003d 0,48 $

Javob: $0,48

Qo'shma tadbirlar

Ikki hodisa qo'shma hodisa deyiladi, agar ulardan birining sodir bo'lishi bir xil sud jarayonida ikkinchisining sodir bo'lishini istisno qilmasa. Aks holda, hodisalar mos kelmaydigan deb ataladi.

$A$ va $B$ ikkita qoʻshma hodisalar yigʻindisining ehtimoli bu hodisalarning ehtimolliklari yigʻindisidan ularning hosilasi ehtimolini ayirgan holda tengdir:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

Kinoteatrning qabulxonasida ikkita bir xil qahva mashinasi bor. Mashinada kun oxirigacha kofe tugashi ehtimoli $0,6$ ni tashkil qiladi. Ikkala mashinada ham kofe tugashi ehtimoli 0,32 dollarni tashkil qiladi. Kun oxiriga qadar savdo avtomatlaridan kamida bittasida kofe tugashi ehtimolini toping.

Keling, hodisalarni belgilaymiz, keling:

$A$ = qahva birinchi mashinada tugaydi,

$B$ = kofe ikkinchi mashinada tugaydi.

$A B =$ ikkala avtomatda kofe tugaydi,

$A + B =$ qahva kamida bitta avtomatda tugaydi.

Konventsiyaga ko'ra, $ P (A) = P (B) = 0,6; P(A B) = $0,32.

$A$ va $B$ hodisalari qoʻshma boʻlib, ikkita qoʻshma hodisa yigʻindisining ehtimoli bu hodisalarning ehtimolliklari yigʻindisiga teng boʻlib, ularning hosilasi ehtimoliga kamayadi:

$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0,6 + 0,6 - 0,32 = 0,88$

Bugungi kunga qadar matematika bo'yicha USE muammolarining ochiq bankida (mathege.ru) taqdim etilgan bo'lib, uning echimi ehtimollikning klassik ta'rifi bo'lgan faqat bitta formulaga asoslangan.

Formulani tushunishning eng oson yo'li misollardir.
1-misol Savatda 9 ta qizil va 3 ta ko'k to'p bor. To'plar faqat rangi bilan farqlanadi. Tasodifiy (qaramasdan) biz ulardan birini olamiz. Shu tarzda tanlangan to'pning ko'k bo'lish ehtimoli qanday?

Izoh. Ehtimollik muammolarida biror narsa sodir bo'ladi (bu holda, to'pni tortib olish bizning harakatimiz). boshqacha natija- natija. Shuni ta'kidlash kerakki, natijani turli yo'llar bilan ko'rish mumkin. "Biz to'p chiqarib oldik" ham natija. "Biz ko'k to'pni chiqarib oldik" - natija. "Biz ushbu aniq to'pni barcha mumkin bo'lgan to'plardan tortib oldik" - natijaning eng kam umumlashtirilgan ko'rinishi elementar natija deb ataladi. Bu ehtimollikni hisoblash uchun formulada nazarda tutilgan elementar natijalardir.

Qaror. Endi biz ko'k to'pni tanlash ehtimolini hisoblaymiz.
A hodisasi: "tanlangan to'p ko'k bo'lib chiqdi"
Barcha mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni: 9+3=12 (biz chizishimiz mumkin bo'lgan barcha to'plar soni)
A hodisasi uchun qulay natijalar soni: 3 (A hodisasi sodir bo'lgan bunday natijalar soni - ya'ni ko'k sharlar soni)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Javob: 0,25

Xuddi shu masala uchun qizil to'pni tanlash ehtimolini hisoblaylik.
Mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni bir xil bo'lib qoladi, 12. Qulay natijalar soni: 9. Istalgan ehtimollik: 9/12=3/4=0,75

Har qanday hodisaning ehtimoli har doim 0 dan 1 gacha.
Ba'zan kundalik nutqda (lekin ehtimollik nazariyasida emas!) Hodisalarning ehtimoli foiz sifatida baholanadi. Matematik va suhbat orqali baholash o'rtasidagi o'tish 100% ga ko'paytirish (yoki bo'lish) orqali amalga oshiriladi.
Shunday qilib,
Bunday holda, sodir bo'lishi mumkin bo'lmagan hodisalar uchun ehtimollik nolga teng - ehtimolsiz. Misol uchun, bizning misolimizda, bu savatdan yashil to'pni chizish ehtimoli bo'ladi. (Agar formula bo'yicha hisoblansa, qulay natijalar soni 0, P(A)=0/12=0)
1-ehtimolda variantlarsiz mutlaqo sodir bo'ladigan voqealar mavjud. Masalan, "tanlangan to'p qizil yoki ko'k bo'lishi" ehtimoli bizning muammomiz uchun. (Qulay natijalar soni: 12, P(A)=12/12=1)

Biz ehtimollik ta'rifini ko'rsatadigan klassik misolni ko'rib chiqdik. Hamma o'xshash Vazifalardan foydalanish ehtimollar nazariyasiga ko'ra, ushbu formulani qo'llash orqali hal qilinadi.
Qizil va ko'k sharlar o'rniga olma va nok, o'g'il va qizlar, o'rganilgan va o'rganilmagan chiptalar, ma'lum bir mavzu bo'yicha savolni o'z ichiga olgan va unda bo'lmagan chiptalar (prototiplar , ), nuqsonli va yuqori sifatli sumkalar yoki bog 'nasoslari (prototiplar) bo'lishi mumkin. , ) - printsip bir xil bo'lib qoladi.

Nazariya muammosini shakllantirishda bir oz farq qiladi Ehtimolliklardan foydalanish, bu erda ma'lum bir kunda sodir bo'lgan voqea ehtimolini hisoblashingiz kerak. ( , ) Oldingi vazifalarda bo'lgani kabi, elementar natija nima ekanligini aniqlashingiz kerak va keyin xuddi shu formulani qo'llashingiz kerak.

2-misol Konferensiya uch kun davom etadi. Birinchi va ikkinchi kunlarda har birida 15 tadan, uchinchi kunda 20. Maʼruzalarni topshirish tartibi lotereya orqali aniqlansa, uchinchi kunga professor M.ning maʼruzasi tushishi ehtimoli qanday?

Bu erda elementar natija nima? - Professor ma'ruzasini nutq uchun barcha mumkin bo'lgan seriya raqamlaridan biriga belgilash. O'yinda 15+15+20=50 kishi ishtirok etadi. Shunday qilib, professor M.ning hisoboti 50 ta raqamdan birini olishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, faqat 50 ta elementar natijalar mavjud.
Qanday ijobiy natijalar bor? - Professor uchinchi kuni nutq so'zlashi ma'lum bo'lganlar. Ya'ni oxirgi 20 ta raqam.
Formulaga ko'ra, ehtimollik P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Javob: 0,4

Bu erda qur'a tashlash - bu odamlar va buyurtma qilingan joylar o'rtasida tasodifiy yozishmalarni o'rnatish. 2-misolda, ma'lum bir shaxsning qaysi joyni egallashi mumkinligi nuqtai nazaridan moslik ko'rib chiqildi. Xuddi shu vaziyatga boshqa tomondan yondashishingiz mumkin: odamlardan qaysi biri ma'lum bir joyga qanday ehtimollik bilan etib borishi mumkin (prototiplar , , , ):

3-misol Qura tashlashda 5 nafar nemis, 8 nafar frantsuz va 3 nafar estoniyalik ishtirok etmoqda. Birinchi (/ikkinchi/ettinchi/oxirgi - bu muhim emas) frantsuz bo'lish ehtimoli qanday?

Elementar natijalar soni - barchasining soni mumkin bo'lgan odamlar lot bo'yicha kim kirishi mumkin edi joy berilgan. 5+8+3=16 kishi.
Qulay natijalar - frantsuzlar. 8 kishi.
Kerakli ehtimollik: 8/16=1/2=0,5
Javob: 0,5

Prototip biroz boshqacha. Tangalar () va zarlar () haqida biroz ijodiyroq vazifalar mavjud. Ushbu muammolarning echimlarini prototip sahifalarida topish mumkin.

Mana, tanga otish yoki zar otishning ba'zi misollari.

4-misol Biz tanga tashlaganimizda, dumlar paydo bo'lish ehtimoli qanday?
Natijalar 2 - boshlar yoki quyruqlar. (tanga hech qachon chetiga tushmaydi, deb ishoniladi) Qulay natija - dumlar, 1.
Ehtimollik 1/2=0,5
Javob: 0,5.

5-misol Agar tangani ikki marta aylantirsak nima bo'ladi? Ikkala marta ham yuqoriga ko'tarilish ehtimoli qanday?
Asosiysi, ikkita tanga tashlashda qaysi elementar natijalarni hisobga olishimizni aniqlash. Ikki tanga uloqtirgandan so'ng, quyidagi natijalardan biri paydo bo'lishi mumkin:
1) PP - ikkala marta ham dumlari chiqdi
2) PO - birinchi marta quyruqlar, ikkinchi marta boshlar
3) OP - birinchi marta boshlar, ikkinchi marta dumlar
4) OO - ikkala marta ham bosh ko'taradi
Boshqa variantlar yo'q. Bu shuni anglatadiki, 4 ta elementar natija mavjud.Faqat birinchisi qulay, 1.
Ehtimollik: 1/4=0,25
Javob: 0,25

Ikkita tanga otilishi dumga tushish ehtimoli qanday?
Elementar natijalar soni bir xil, 4. Qulay natijalar ikkinchi va uchinchi, 2.
Bir dumini olish ehtimoli: 2/4=0,5

Bunday muammolarda boshqa formula yordam berishi mumkin.
Agar bir tanga otish bilan variantlari bizda 2 ta natija bor, keyin ikkita uloqtirish uchun natijalar 2 2=2 2 =4 bo'ladi (5-misoldagi kabi), uchta otish uchun 2 2 2=2 3 =8, to'rtta uchun: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … N ta otish uchun 2·2·...·2=2 N ta mumkin natija mavjud.

Shunday qilib, siz 5 ta tanga otishdan 5 ta dum olish ehtimolini topishingiz mumkin.
Elementar natijalarning umumiy soni: 2 5 =32.
Qulay natijalar: 1. (RRRRRR - barcha 5 marta quyruq)
Ehtimollik: 1/32=0,03125

Xuddi shu narsa zar uchun ham amal qiladi. Bir otishda 6 ta natija bor.Demak, ikki otish uchun: 6 6=36, uchta otish uchun 6 6 6=216 va hokazo.

6-misol Biz zar tashlaymiz. Juft sonni olish ehtimoli qanday?

Jami natijalar: 6, yuzlar soniga ko'ra.
Qulay: 3 ta natija. (2, 4, 6)
Ehtimollik: 3/6=0,5

7-misol Ikki zar tashlang. Hammasi 10 ta aylanish ehtimoli qanday? (yuzdan birgacha)

Bitta o'lim uchun 6 ta mumkin bo'lgan natijalar mavjud. Demak, ikkita uchun, yuqoridagi qoidaga ko'ra, 6·6=36.
Jami 10 taning yiqilib tushishi uchun qanday natijalar qulay bo'ladi?
10 ni 1 dan 6 gacha bo'lgan ikkita sonning yig'indisiga ajratish kerak. Buni ikki usulda bajarish mumkin: 10=6+4 va 10=5+5. Shunday qilib, kublar uchun variantlar mumkin:
(birinchida 6, ikkinchisida 4)
(Birinchida 4, ikkinchisida 6)
(birinchida 5, ikkinchisida 5)
Hammasi bo'lib, 3 ta variant. Kerakli ehtimollik: 3/36=1/12=0,08
Javob: 0,08

B6 muammolarining boshqa turlari quyidagi "Qanday hal qilish kerak" maqolalaridan birida muhokama qilinadi.

V-6-2014 (USE bankining barcha 56 prototipi)

Eng oddiyini qurish va o'rganish imkoniyatiga ega bo'ling matematik modellar(ehtimollar nazariyasi)

1. Tasodifiy tajribada ikkita zar tashlanadi. Jami 8 ball olish ehtimolini toping. Natijani yuzdan bir qismigacha yaxlitlang. Qaror: Zarlarni tashlash natijasida 8 ball tushadigan natijalar soni 5 ta: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Zarlarning har biri oltita usulda tushishi mumkin, shuning uchun natijalarning umumiy soni 6 6 = 36. Demak, jami 8 ball tushishi ehtimoli 5 ga teng: 36=0,138…=0,14

2. Tasodifiy tajribada simmetrik tanga ikki marta tashlanadi. Boshlarning aynan bir marta paydo bo'lish ehtimolini toping. Yechim: Tajribaning 4 ta natijasi bor: bosh-bosh, bosh-dum, dum-bosh, dum-dum. Boshlar ikki holatda aynan bir marta ko'tariladi: boshlar-dumlar va quyruq-boshlar. Shunday qilib, boshlarning 1 marta tushishi ehtimoli 2: 4 = 0,5.

3. Gimnastika bo‘yicha chempionatda 20 nafar sportchi ishtirok etadi: 8 nafari Rossiyadan, 7 nafari AQShdan, qolganlari Xitoydan. Gimnastikachilarning chiqish tartibi qur’a orqali aniqlanadi. Birinchi bo‘lib qatnashgan sportchi Xitoydan bo‘lish ehtimolini toping. Yechim: Chempionatda ishtirok etadiXitoydan kelgan sportchilar. Shunda birinchi bo'lib xitoylik sportchi bo'lish ehtimoli 5:20 = 0,25 ga teng.

4. O'rtacha, sotilgan 1000 ta bog 'nasoslaridan 5 tasi oqadi. Tasodifiy tanlangan bitta nasosning oqmasligi ehtimolini toping. Yechim: O'rtacha, sotilgan 1000 ta bog 'nasoslaridan 1000 - 5 = 995 ta oqmaydi. Bu nazorat qilish uchun tasodifiy tanlangan bitta nasosning oqmasligi ehtimoli 995: 1000 = 0,995 ekanligini anglatadi.

5. Zavod sumkalar ishlab chiqaradi. O'rtacha har 100 ta sifatli sumka uchun yashirin nuqsonlari bo'lgan sakkizta sumka mavjud. Sotib olingan sumkaning sifatli bo'lish ehtimolini toping. Natijani yuzdan bir qismigacha yaxlitlang. Yechim: Shartga ko'ra, har 100 + 8 = 108 sumka uchun 100 ta sifatli sumkalar mavjud. Bu shuni anglatadiki, sotib olingan sumkaning yuqori sifatli bo'lish ehtimoli 100: 108 \u003d 0,925925 ... \u003d 0,93

6. Yadro uloqtirish musobaqasida Finlyandiyadan 4 nafar, Daniyadan 7 nafar, Shvetsiyadan 9 nafar va Norvegiyadan 5 nafar sportchi ishtirok etmoqda. Sportchilarning musobaqalash tartibi qur’a orqali aniqlanadi. Oxirgi ishtirokchi Shvetsiyadan bo'lish ehtimolini toping.. Yechim: Musobaqada jami 4+7+9+5=25 nafar sportchi ishtirok etadi. Demak, so‘nggi o‘rinni egallagan sportchi Shvetsiyadan bo‘lish ehtimoli 9:25 = 0,36 ga teng.

7. Ilmiy konferensiya 5 kundan keyin o‘tkaziladi. Hammasi bo'lib 75 ta hisobot rejalashtirilgan - birinchi uch kun, har biri 17 ta hisobot, qolganlari to'rtinchi va beshinchi kunlar orasida teng taqsimlanadi. Hisobotlar tartibi qura tashlash orqali aniqlanadi. Professor M.ning maʼruzasi konferensiyaning soʻnggi kuniga belgilanishi ehtimoli qanday? Yechim: Dastlabki uch kun davomida 51 ta ma’ruza o‘qiladi, oxirgi ikki kun davomida 24 ta ma’ruza o‘qilishi rejalashtirilgan. Shuning uchun oxirgi kunga 12 ta hisobot rejalashtirilgan. Demak, professor M.ning maʼruzasi konferentsiyaning soʻnggi kuniga belgilanishi ehtimoli 12: 75 = 0,16.

8. Ijrochilar tanlovi 5 kundan keyin o'tkaziladi. Hammasi bo'lib 80 ta spektakl e'lon qilindi - har bir mamlakatdan bittadan. Birinchi kuni 8 ta spektakl bo'lib o'tadi, qolganlari qolgan kunlar o'rtasida teng taqsimlanadi. Spektakllarning tartibi qur’a tashlash orqali aniqlanadi. Musobaqaning uchinchi kunida Rossiya vakilining chiqishi ehtimoli qanday? Yechim: Uchinchi kunga rejalashtirilgannutqlar. Bu shuni anglatadiki, Rossiya vakilining chiqishi musobaqaning uchinchi kunida rejalashtirilgan bo'lishi ehtimoli 18: 80 = 0,225.

9. Seminarga Norvegiyadan 3 nafar, Rossiyadan 3 nafar va Ispaniyadan 4 nafar olim keldi. Hisobotlar tartibi qura tashlash orqali aniqlanadi. Sakkizinchi rossiyalik olimning ma'ruzasi bo'lish ehtimolini toping. Yechim: Seminarda jami 3 + 3 + 4 = 10 ta olim qatnashadi, ya'ni sakkizinchi o'rinni egallagan olimning Rossiyadan bo'lish ehtimoli 3:10 = 0,3.

10. Badminton chempionatining birinchi bosqichi boshlanishidan oldin ishtirokchilar qur’a tashlash yo‘li bilan tasodifiy tarzda o‘yin juftliklariga bo‘linadi. Chempionatda jami 26 nafar badmintonchi, shu jumladan, Rossiyadan 10 nafar ishtirokchi, shu jumladan Ruslan Orlov ishtirok etadi. Ruslan Orlov birinchi davrada rossiyalik badmintonchi bilan o'ynashi ehtimolini toping? Yechim: Birinchi davrada Ruslan Orlov 26 - 1 = 25 badmintonchi bilan o'ynashi mumkin, ulardan 10 - 1 = 9 nafari Rossiyadan. Bu shuni anglatadiki, Ruslan Orlov birinchi davrada rossiyalik biron bir badmintonchi bilan o'ynash ehtimoli 9: 25 = 0,36.

11. Biologiya biletlari kolleksiyasida bor-yo'g'i 55 ta bilet bor, ulardan 11 tasida botanika fanidan savol bor. Talaba tasodifiy tanlab olingan imtihon biletida botanikadan savol olish ehtimolini toping. Yechish: 11: 55 = 0,2

12. Suvga sakrash bo'yicha chempionatda 25 nafar sportchi qatnashmoqda, ulardan 8 nafari Rossiyadan, 9 nafari Paragvaydan. Spektakllarning tartibi qur’a tashlash orqali aniqlanadi. Oltinchi jumper Paragvaydan bo'lish ehtimolini toping.

13. Ikkita zavod avtomobil faralari uchun bir xil shisha ishlab chiqaradi. Birinchi zavod ushbu ko'zoynaklarning 30 foizini, ikkinchisi - 70 foizini ishlab chiqaradi. Birinchi zavodda nuqsonli oynalarning 3%, ikkinchisi esa 4% ishlab chiqariladi. Do'konda tasodifan sotib olingan stakanning nuqsonli bo'lish ehtimolini toping.

Qaror. %% ni kasrga aylantiring.

A hodisasi - "Birinchi zavoddan sotib olingan ko'zoynaklar". P(A)=0,3

B hodisasi - "Ikkinchi zavoddan ko'zoynaklar sotib olinadi". P(B)=0,7

X hodisasi - "Windows buzuq".

P(A va X) = 0,3*0,03=0,009

P(B va X) = 0,7*0,04=0,028 Umumiy ehtimollik formulasiga ko’ra: P = 0,009+0,028 = 0.037

14. Agar grossmeyster A. oq o'ynasa, u holda grossmeyster B.ni 0,52 ehtimol bilan yutadi. Agar A. qora oʻynasa, A. 0,3 ehtimollik bilan B.ni magʻlub etadi. Grossmeysterlar A. va B. ikkita o'yin o'tkazadilar, ikkinchi o'yinda esa donalarning rangini o'zgartiradilar. A.ning ikkala marta ham g‘alaba qozonish ehtimolini toping. Qaror: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Vasya, Petya, Kolya va Lyosha qur'a tashlashdi - o'yinni kim boshlashi kerak. Petyaning o'yinni boshlash ehtimolini toping.

Yechish: Tasodifiy tajriba – qur’a tashlash.
Ushbu tajribada elementar voqea lotda yutgan ishtirokchi hisoblanadi.
Biz mumkin bo'lgan elementar hodisalarni sanab o'tamiz:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lesha).
Ulardan 4 tasi bo'ladi, ya'ni. N=4. Lot shuni anglatadiki, barcha elementar hodisalar bir xil darajada mumkin.
A= hodisasi (Petya lotni yutib oldi) faqat bitta elementar hodisa (Petya) tomonidan ma'qullanadi. Shuning uchun N(A)=1.
Keyin P(A)=0,25 Javob: 0,25.

16. Jahon chempionatida 16 ta jamoa ishtirok etadi. Qur'a tashlash orqali ular to'rtta jamoadan iborat to'rtta guruhga bo'linishi kerak. Qutida guruh raqamlari bo'lgan kartalar aralashtiriladi: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Jamoa sardorlari bir vaqtning o'zida bitta kartani tortib olishadi. . Rossiya terma jamoasining ikkinchi guruhdan joy olish ehtimoli qanday? Qaror: Hammasi bo'lib 16 ta natija mavjud. 2 raqami bilan 4 bo'ladi. Demak 4: 16=0,25

17. Geometriya imtihonida talaba imtihon savollari ro‘yxatidan bitta savol oladi. Bu chizilgan doira savoli bo'lish ehtimoli 0,2 ga teng. Bu savolning paralelogramma bo'lish ehtimoli 0,15 ga teng. Bir vaqtning o'zida bu ikki mavzuga oid savollar yo'q. Talaba imtihonda shu ikki mavzudan biriga savol berish ehtimolini toping.

= ("Yozilgan doira" mavzusidagi savol),
= ("Parallelogramma" mavzusi bo'yicha savol).
Ishlanmalar va mos kelmaydi, chunki shartga ko'ra ro'yxatda bir vaqtning o'zida ushbu ikki mavzuga tegishli savollar yo'q.
Tadbir= (bu ikki mavzudan biriga oid savol) ularning birlashmasi:.
Mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qo'shish formulasini qo'llaymiz:
.

18.B savdo markazi ikkita bir xil savdo avtomatlari qahva sotadi. Mashinada kun oxirigacha kofe tugashi ehtimoli 0,3 ga teng. Ikkala mashinada ham kofe tugashi ehtimoli 0,12 ga teng. Kun oxiriga kelib ikkala savdo avtomatida kofe qolishi ehtimolini toping.

Keling, voqealarni aniqlaylik
= (qahva birinchi mashinada tugaydi),
= (qahva ikkinchi mashinada tugaydi).
Vazifaga ko'ra va .
Ehtimollarni qo'shish formulasidan foydalanib, biz hodisaning ehtimolini topamiz
va = (qahva kamida bitta mashinada tugaydi):

.
Shuning uchun, qarama-qarshi hodisaning ehtimoli (kofe ikkala mashinada qoladi) ga teng
.

19. Biatlonchi nishonlarga besh marta o‘q uzadi. Bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli 0,8 ga teng. Biatlonchining birinchi uch marta nishonga tegishi va oxirgi ikkitasini o'tkazib yuborish ehtimolini toping. Natijani yuzdan bir qismigacha yaxlitlang.

Bu masalada har bir keyingi otishni o'rganish natijasi avvalgilariga bog'liq emasligi taxmin qilinadi. Shuning uchun, "birinchi o'qga urish", "ikkinchi o'qga urish" va boshqalar. mustaqil.
Har bir urish ehtimoli. Shunday qilib, har bir o'tkazib yuborish ehtimoli. Biz mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish formulasidan foydalanamiz. Biz ketma-ketlikni olamiz
= (ur, urish, urish, o'tkazib yuborish, o'tkazib yuborish) ehtimoli bor
=
= . Javob: .

20. Do'konda ikkita to'lov mashinasi mavjud. Ularning har biri boshqa avtomatdan qat'i nazar, 0,05 ehtimollik bilan noto'g'ri bo'lishi mumkin. Kamida bitta avtomatning xizmat ko'rsatish ehtimolini toping.

Bu muammo avtomatlarning ishlashining mustaqilligini ham nazarda tutadi.
Qarama-qarshi hodisaning ehtimolini toping
= (har ikkala mashina ham noto'g'ri).
Buning uchun biz mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish formulasidan foydalanamiz:
.
Shunday qilib, voqea ehtimoli= (kamida bitta avtomat ishlaydi) ga teng. Javob: .

21. Xona ikkita chiroqli chiroq bilan yoritilgan. Bir yil ichida bitta chiroqning yonib ketishi ehtimoli 0,3 ga teng. Bir yil ichida kamida bitta chiroq yonib ketmasligi ehtimolini toping. Yechim: ikkalasi ham yonib ketadi (hodisalar mustaqil va biz ehtimollar mahsuloti formulasidan foydalanamiz) p1=0,3⋅0,3=0,09 ehtimollik bilan
Qarama-qarshi hodisa(Ikkalasi ham yonmaydi = hech bo'lmaganda BIRTAsi yonmaydi)
p=1-p1=1-0,09=0,91 ehtimollik bilan sodir bo'ladi
JAVOB: 0,91

22. Yangilik ehtimoli elektr choynak xizmat qiladi bir yildan ortiq, 0,97 ga teng. Uning ikki yildan ortiq davom etishi ehtimoli 0,89 ga teng. Uning ikki yildan kam, lekin bir yildan ortiq davom etishi ehtimolini toping.

Qaror.

A = "choynak bir yildan ortiq, lekin ikki yildan kamroq vaqt xizmat qiladi", B = "choynak ikki yildan ortiq davom etadi", keyin A + B = "choynak bir yildan ortiq davom etadi".

A va B hodisalar qo'shma, ularning yig'indisining ehtimoli bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng bo'lib, ularning hosilasi ehtimoli bilan kamayadi. Choynakning roppa-rosa ikki yil ichida - aynan o'sha kuni, soat va soniyada ishdan chiqishidan iborat bo'lgan ushbu hodisalarning mahsuloti ehtimoli nolga teng. Keyin:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) = P(A) + P(B),

shuning uchun shart ma'lumotlaridan foydalanib, biz 0,97 = P (A) + 0,89 ni olamiz.

Shunday qilib, kerakli ehtimollik uchun bizda: P (A) = 0,97 - 0,89 = 0,08.

23. Agrofirma xaridlari tovuq tuxumlari ikki xonadonda. Birinchi xo‘jalikdagi tuxumlarning 40%i oliy toifadagi tuxumlar, ikkinchi fermadagi tuxumlarning 20%i yuqori toifadagi tuxumlardir. Hammasi bo'lib tuxumlarning 35 foizi eng yuqori toifani oladi. Ushbu fermadan sotib olingan tuxum birinchi fermadan bo'lish ehtimolini toping. Qaror: Birinchi fermer xo'jaligida bo'lsin, qishloq xo'jaligi firmasi sotib oladi tuxum, shu jumladan eng yuqori toifadagi tuxumlar, ikkinchi fermada esa - tuxum, shu jumladan eng yuqori toifadagi tuxum. Shunday qilib, jami, agroform sotib oladi tuxum, shu jumladan eng yuqori toifadagi tuxum. Shartiga ko'ra, tuxumlarning 35% eng yuqori toifaga ega, keyin:

Shuning uchun sotib olingan tuxumning birinchi fermadan bo'lish ehtimoli teng =0,75

24. Telefon klaviaturasida 0 dan 9 gacha bo'lgan 10 ta raqam mavjud. Tasodifiy bosilgan sonning juft bo'lish ehtimoli qanday?

25. 10 dan 19 gacha tasodifiy tanlangan natural sonning uchga bo‘linish ehtimoli qanday?

26. Kovboy Jon devorga chivinni uradi, agar u revolverdan otgan bo'lsa, ehtimollik 0,9 ga teng. Agar Jon o'q uzmagan revolverni otgan bo'lsa, u 0,2 ehtimollik bilan pashshani uradi. Stolda 10 ta revolver bor, ulardan faqat 4 tasi otilgan. Kovboy Jon devorda pashshani ko'radi, tasodifan duch kelgan birinchi revolverni ushlaydi va pashshani otadi. Jonni o'tkazib yuborish ehtimolini toping. Yechim: Jon ko‘ruvchi revolverni tutib, undan ursa yoki o‘tilmagan revolverni tutib, undan ursa pashshani uradi. Shartli ehtimollik formulasiga ko'ra, bu hodisalarning ehtimollari mos ravishda 0,4 0,9 = 0,36 va 0,6 0,2 = 0,12 ga teng. Bu hodisalar mos kelmaydi, ularning yig'indisining ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng: 0,36 + 0,12 = 0,48. Jon o'tkazib yuborgan voqea buning aksi. Uning ehtimoli 1 - 0,48 = 0,52.

27. Turistlar guruhida 5 kishi bor. Qur'a yordamida ular qishloqqa ovqat uchun borishlari kerak bo'lgan ikki kishini tanlaydilar. Turist A. doʻkonga bormoqchi boʻladi, lekin u lotga boʻysunadi. A ning do'konga borishi ehtimoli qanday? Qaror: Jami besh nafar sayyoh bor, ulardan ikkitasi tasodifiy tanlab olingan. Tanlangan bo'lish ehtimoli 2:5 = 0,4. Javob: 0,4.

28. Boshlashdan oldin futbol o'yini Qaysi jamoa to'p o'yinini boshlashini aniqlash uchun hakam tanga tashlaydi. "Fizika" jamoasi turli jamoalar bilan uchta o'yin o'tkazadi. Ushbu o'yinlarda "Fizik" lotni ikki marta yutib olish ehtimolini toping. Yechim: Tanganing lotni yutish uchun mas’ul bo‘lgan tomonini “1” bilan belgilaymiz, tanganing boshqa tomoni esa “0” bilan belgilanadi. Keyin uchta qulay kombinatsiya mavjud: 110, 101, 011 va jami 2 ta kombinatsiya mavjud. 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Shunday qilib, kerakli ehtimollik:

29. Zar ikki marta tashlanadi. Tajribaning nechta elementar natijalari "A = ball yig'indisi 5 ga teng" hodisasini qo'llab-quvvatlaydi? Yechish: To‘rt holatda ballar yig‘indisi 5 ga teng bo‘lishi mumkin: “3+2”, “2+3”, “1+4”, “4+1”. Javob: 4.

30. Tasodifiy tajribada simmetrik tanga ikki marta tashlanadi. OR natijasining kelishi ehtimolini toping (birinchi marta bosh, ikkinchi marta quyruq). Qaror: To'rtta mumkin bo'lgan natijalar mavjud: boshlar-boshlar, bosh-quyruqlar, dumlar-boshlar, dumlar-dumlar. Qulay narsa bitta: bosh-dumlar. Shuning uchun kerakli ehtimollik 1: 4 = 0,25 ga teng. Javob: 0,25.

31. Guruhlar rok-festivalda chiqish qiladi - har bir e'lon qilingan mamlakatlardan bittadan. Amalga oshirish tartibi qur'a bilan belgilanadi. Daniya guruhi Shvetsiya va Norvegiya guruhidan keyin chiqishlari ehtimoli qanday? Natijani yuzdan bir qismigacha yaxlitlang. Qaror: Savolga javob berish uchun festivalda qatnashadigan guruhlarning umumiy soni muhim emas. Ular qancha bo'lishidan qat'i nazar, ko'rsatilgan mamlakatlar uchun 6 ta yo'l bor nisbiy pozitsiya ma'ruzachilar orasida (D - Daniya, S - Shvetsiya, N - Norvegiya):

L...S...N..., ...D...N...Sh..., ...Sh...N...L..., ...Sh. ..L...N..., ...N...D...W..., ...N...S...L...

Daniya ikki marta Shvetsiya va Norvegiyadan keyin keladi. Demak, guruhlarning shu tarzda tasodifiy taqsimlanish ehtimoli teng Javob: 0,33.

32. Artilleriyadan otish paytida avtomatik tizim nishonga zarba beradi. Agar nishon yo'q qilinmasa, tizim yana o'q uzadi. Nishon yo'q qilinmaguncha otishmalar takrorlanadi. Birinchi o'q bilan ma'lum bir nishonni yo'q qilish ehtimoli 0,4, va har bir keyingi o'q bilan - 0,6. Nishonni yo'q qilish ehtimoli kamida 0,98 bo'lishini ta'minlash uchun nechta otish kerak bo'ladi? Qaror: Siz ketma-ket o'tkazib yuborilgan ketma-ketlikdan keyin omon qolish ehtimolini hisoblab, muammoni "harakat bilan" hal qilishingiz mumkin: P (1) = 0,6. P (2) = P (1) 0,4 = 0,24. P (3) = P (2) 0,4 = 0,096. P (4) = P (3) 0,4 = 0,0384; P (5) = P (4) 0,4 = 0,01536. Oxirgi ehtimollik 0,02 dan kam, shuning uchun nishonga beshta zarba berish kifoya.

33. Musobaqaning keyingi bosqichiga o'tish uchun futbol jamoasi ikkita o'yinda kamida 4 ochko to'plashi kerak. Agar jamoa g'alaba qozonsa 3 ochko, durang bo'lsa - 1 ochko, yutqazsa - 0 ochko oladi. Jamoaning musobaqaning keyingi bosqichiga chiqish ehtimolini toping. Har bir o'yinda g'alaba qozonish va mag'lub bo'lish ehtimoli bir xil va 0,4 ga teng ekanligini hisobga oling.. Qaror : Jamoa ikkita o'yinda uchta usulda kamida 4 ochko olishi mumkin: 3+1, 1+3, 3+3. Bu hodisalar bir-biriga mos kelmaydi, ularning yig'indisining ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng. Ushbu hodisalarning har biri ikkita mustaqil hodisaning mahsulidir - birinchi va ikkinchi o'yindagi natija. Shunday qilib, bizda:

34. Ma'lum bir shaharda tug'ilgan 5000 chaqaloqning 2512 nafari o'g'il bolalardir. Ushbu shaharda qizlarning tug'ilish chastotasini toping. Natijani mingdan biriga yaxlitlang. Qaror: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. Samolyot bortida avariya chiqish yo‘llari yonida 12 ta o‘rindiq va kabinalarni ajratib turuvchi qismlar orqasida 18 ta o‘rindiq mavjud. Qolgan o‘rindiqlar yo‘lovchiga noqulay baland. Yoʻlovchi V.ning boʻyi baland. Samolyotda 300 ta oʻrin boʻlsa, roʻyxatdan oʻtish paytida tasodifiy oʻrindiq tanlagan holda yoʻlovchi B. qulay oʻrindiq olishi ehtimolini toping. Qaror : Samolyotda 12 + 18 = 30 oʻrin yoʻlovchi V. uchun qulay boʻlib, jami samolyotda 300 ta oʻrin bor. Demak, yoʻlovchi B.ning qulay oʻrindiq olish ehtimoli 30 ga teng: 300 = 0,1.Javob: 0,1.

36. Universitetdagi olimpiadada ishtirokchilar uchta sinf xonasida joylashadilar. Birinchi ikkitasida har biri 120 kishidan, qolganlari boshqa binodagi zaxira auditoriyaga olib ketiladi. Hisoblashda jami 250 nafar ishtirokchi borligi ma'lum bo'ldi. Tasodifiy tanlangan ishtirokchi olimpiadani bo'sh xonada yozish ehtimolini toping. Qaror: Hammasi bo'lib 250 - 120 - 120 = 10 kishi zahiradagi auditoriyaga yuborildi. Shuning uchun, tasodifiy tanlangan ishtirokchi olimpiadani zaxira xonada yozish ehtimoli 10: 250 = 0,04. Javob: 0,04.

37. Sinfda 26 kishi bor, ular orasida ikki egizak - Andrey va Sergey ham bor. Sinf tasodifiy ravishda har biri 13 kishidan iborat ikkita guruhga bo'lingan. Andrey va Sergeyning bir guruhda bo'lish ehtimolini toping. Qaror: Egizaklardan biri qandaydir guruhda bo'lsin. U bilan birga qolgan 25 sinfdoshdan 12 nafari guruhda bo'ladi. Ikkinchi egizakning ushbu 12 kishi orasida bo'lish ehtimoli 12:25 = 0,48.

38. Taksi kompaniyasida 50 ta mashina bor; Ulardan 27 tasi qora rangda, yon tomonlarida sariq yozuvlar, qolganlari esa qora rangda bitilgan. Qora yozuvli sariq mashina tasodifiy qo'ng'iroq paytida kelishi ehtimolini toping. Yechish: 23:50=0,46

39. Turistlar guruhida 30 kishi bor. Ular vertolyotda bir necha qadamda uzoq hududga tashlanadi, har bir reysda 6 kishi. Vertolyotning turistlarni tashish tartibi tasodifiy. Turist P.ning birinchi vertolyot parvozini amalga oshirish ehtimolini toping. Qaror: Birinchi reysda 6 ta oʻrin, jami 30 oʻrin bor.U holda turist P.ning birinchi vertolyot parvozida uchish ehtimoli: 6:30 = 0,2.

40. Yangi DVD pleerning bir yil ichida ta'mirlanishi ehtimoli 0,045 ga teng. Muayyan shaharda yil davomida sotilgan 1000 ta DVD pleerdan 51 tasi kafolat ustaxonasiga yetib kelgan. "Kafolatli ta'mirlash" hodisasining chastotasi ushbu shahardagi ehtimolidan qanchalik farq qiladi? Yechim: "Kafolatli ta'mirlash" hodisasining chastotasi (nisbiy chastotasi) 51: 1000 = 0,051. U bashorat qilingan ehtimoldan 0,006 ga farq qiladi.

41. 67 mm diametrli podshipniklarni ishlab chiqarishda diametrning belgilanganidan 0,01 mm dan ko'p bo'lmagan farq qilish ehtimoli 0,965 ni tashkil qiladi. Tasodifiy rulmanning diametri 66,99 mm dan kichik yoki 67,01 mm dan katta bo'lish ehtimolini toping. Qaror. Shartga ko'ra, rulman diametri 0,965 ehtimollik bilan 66,99 dan 67,01 mm gacha bo'ladi. Shuning uchun, qarama-qarshi hodisaning istalgan ehtimoli 1 - 0,965 = 0,035 ga teng.

42. Talaba O.ning biologiya fanidan 11 dan ortiq topshiriqlarni toʻgʻri yechish ehtimoli 0,67 ga teng. O.ning 10 dan ortiq masalalarni toʻgʻri yechish ehtimoli 0,74 ga teng. O.ning aniq 11 ta masalani toʻgʻri yechish ehtimolini toping. Qaror: A = “talaba 11 ta masalani yechadi” va B = “talaba 11 dan ortiq masalani yechadi” hodisalarini ko‘rib chiqing. Ularning yig'indisi A + B hodisasi = "talaba 10 dan ortiq masalalarni hal qiladi". A va B hodisalar mos kelmaydi, ularning yig'indisining ehtimolligi ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng: P (A + B) = P (A) + P (B). Keyin, masalaning ma'lumotlaridan foydalanib, biz olamiz: 0,74 = P(A) + 0,67, bu erdan P (A) = 0,74 - 0,67 = 0,07.Javob: 0,07.

43. Institutga “Tilshunoslik” mutaxassisligi bo‘yicha o‘qishga kirish uchun abituriyent Yagona davlat imtihonida uchta fanning har biri – matematika, rus tili va chet tilidan kamida 70 ball to‘plashi kerak. "Tijorat" ixtisosligiga kirish uchun uchta fanning har birida - matematika, rus tili va ijtimoiy fanlardan kamida 70 ball to'plash kerak. Abituriyent Z.ning matematikadan kamida 70 ball olish ehtimoli 0,6, rus tilidan 0,8, xorijiy til- 0,7 va ijtimoiy fanlardan - 0,5. Z.ning qayd etilgan ikkita mutaxassislikdan kamida bittasiga oʻqishga kirishi ehtimolini toping. Yechim: Hech boʻlmaganda biror joyga kirish uchun Z. rus tilidan ham, matematikadan ham kamida 70 ball toʻplashi, bunga qoʻshimcha ravishda chet tili yoki ijtimoiy fanlardan kamida 70 ball toʻplashi kerak. Bo'lsin A, B, C va D - bu Z. mos ravishda matematika, rus tili, chet el va ijtimoiy fanlardan kamida 70 ball toʻplagan voqealar. O'shandan beri

Kelish ehtimoli uchun bizda:

44. Keramika idishlari zavodida ishlab chiqarilgan plitalarning 10% da nuqsoni bor. Mahsulot sifatini nazorat qilish jarayonida nuqsonli plitalarning 80% i aniqlanadi. Qolgan plitalar sotiladi. Sotib olayotganda tasodifiy tanlangan plastinkaning nuqsonlari yo'qligi ehtimolini toping. Javobingizni yuzdan bir qismigacha yaxlitlang. Qaror : Zavod ishlab chiqarsinplitalar. Barcha yuqori sifatli zindonlar va 20% aniqlanmagan nosozliklar sotuvga chiqariladi:plitalar. Chunki sifatli, sifatli plastinka sotib olish ehtimoli 0,9p:0,92p=0,978 Javob: 0,978.

45. Do'konda uchta sotuvchi bor. Ularning har biri 0,3 ehtimollik bilan mijoz bilan band. Tasodifiy vaqtda uchta sotuvchining bir vaqtning o'zida band bo'lish ehtimolini toping (mijozlar bir-biridan mustaqil ravishda kiradi deb faraz qiling). Qaror : Mustaqil hodisalarni hosil qilish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari mahsulotiga teng. Shuning uchun, uchta sotuvchi ham band bo'lish ehtimoli

46. Xaridorlarning sharhlariga asoslanib, Ivan Ivanovich ikkita onlayn-do'konning ishonchliligini baholadi. Buning ehtimoli istalgan mahsulot A do'konidan yetkazib berilgan - 0,8. Ushbu mahsulotni B do'konidan yetkazib berish ehtimoli 0,9 ga teng. Ivan Ivanovich bir vaqtning o'zida ikkala do'konga ham buyurtma berdi. Onlayn do'konlar bir-biridan mustaqil ishlaydi deb faraz qilsak, hech bir do'kon tovarni yetkazib bermasligi ehtimolini toping. Qaror: Birinchi do'kon tovarlarni etkazib bermaslik ehtimoli 1 - 0,9 = 0,1. Ikkinchi do'konning tovarlarni etkazib bermaslik ehtimoli 1 - 0,8 = 0,2. Ushbu hodisalar mustaqil bo'lganligi sababli, ularning mahsuloti ehtimoli (har ikkala do'kon ham tovarlarni etkazib bermaydi) ushbu hodisalarning ehtimolliklari mahsulotiga teng: 0,1 0,2 = 0,02

47. Tuman markazidan qishloqqa har kuni avtobus qatnaydi. Dushanba kuni avtobusda 20 dan kam yo'lovchi bo'lish ehtimoli 0,94 ni tashkil qiladi. 15 dan kam yo'lovchi bo'lish ehtimoli 0,56 ga teng. Yo'lovchilar soni 15 dan 19 gacha bo'lish ehtimolini toping. Yechim: A = "avtobusda 15 dan kam yo'lovchi bor" va B = "avtobusda 15 dan 19 gacha yo'lovchi bor" hodisalarini ko'rib chiqing. Ularning yig'indisi A + B = "avtobusda 20 dan kam yo'lovchi" hodisasidir. A va B hodisalar mos kelmaydi, ularning yig'indisining ehtimolligi ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng: P (A + B) = P (A) + P (B). Keyin, masalaning ma'lumotlaridan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: 0,94 = 0,56 + P (B), bu erdan P (B) = 0,94 - 0,56 = 0,38. Javob: 0,38.

48. Voleybol o'yini boshlanishidan oldin jamoa sardorlari to'p o'yinini qaysi jamoa boshlashini aniqlash uchun yarmarka qur'a tashlashadi. Stator jamoasi Rotor, Motor va Starter jamoalari bilan navbatma-navbat o'ynaydi. Stator faqat birinchi va oxirgi o'yinlarni boshlash ehtimolini toping. Qaror. Uchta hodisaning ko'paytma ehtimolini topish talab qilinadi: "Stator" birinchi o'yinni boshlaydi, ikkinchi o'yinni boshlamaydi, uchinchi o'yinni boshlaydi. Mustaqil hodisalarni hosil qilish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari mahsulotiga teng. Ularning har birining ehtimoli 0,5 ga teng, shundan topamiz: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Javob: 0,125.

49. Ertaklar mamlakatida ob-havoning ikki turi mavjud: yaxshi va zo'r, ertalab esa ob-havo kun bo'yi o'zgarmaydi. Ma'lumki, 0,8 ehtimollik bilan ertaga ob-havo bugungidek bo'ladi. Bugun 3-iyul, ertaklar mamlakatida ob-havo yaxshi. 6 iyulda Sehrli ob-havo bo'lishi ehtimolini toping. Qaror. 4, 5 va 6 iyuldagi ob-havo uchun 4 ta variant mavjud: XXO, XOO, OXO, MChJ (bu erda X yaxshi, O - ajoyib ob-havo). Bunday ob-havoning ehtimolini topamiz: P(XXO) = 0,8 0,8 0,2 = 0,128; P (XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P (OXO) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008; P (OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Bu hodisalar mos kelmaydi, ularning yig'indisining ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng: P(XXO) + P(XXO) + P(XXO) + P(OOO) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50. Gepatitga shubha qilingan barcha bemorlarga qon tahlili topshiriladi. Agar tahlil gepatitni aniqlasa, u holda tahlil natijasi chaqiriladi ijobiy . Gepatit bilan og'rigan bemorlarda tahlillar beradi ijobiy natija 0,9 ehtimollik bilan. Agar bemorda gepatit bo'lmasa, unda test 0,01 ehtimollik bilan noto'g'ri ijobiy natija berishi mumkin. Ma'lumki, gepatitga shubha bilan yotqizilgan bemorlarning 5 foizi haqiqatda gepatitga ega. Gepatitga shubha bilan klinikaga yotqizilgan bemorni tekshirish natijasi ijobiy bo‘lish ehtimolini toping. Qaror. Bemorning tahlili ikki sababga ko'ra ijobiy bo'lishi mumkin: A) bemorda gepatit bor, uning tahlili to'g'ri; B) bemorda gepatit yo'q, tahlillari noto'g'ri. Bular bir-biriga mos kelmaydigan hodisalar, ularning yig'indisining ehtimoli bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng. Bizda: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.

51. Mishaning cho'ntagida to'rtta shirinlik bor edi - Grillaj, Sincap, Sigir va Qaldirg'och, shuningdek, kvartiraning kalitlari. Kalitlarni chiqarib, Misha tasodifan cho'ntagidan bitta bo'lak konfetni tashladi. Grillage konfetining yo'qolishi ehtimolini toping.

52.Mexanik soatlar o'n ikki soatlik terish bilan bir nuqtada sindirib, yurishni to'xtatdi. Buning ehtimolini toping soat qo'li muzlab qoldi, 10 belgiga yetdi, lekin 1 soatlik belgiga etib bormadi. Yechish: 3: 12=0,25

53. Batareyaning nuqsonli bo'lish ehtimoli 0,06 ga teng. Do'kondagi mijoz ushbu batareyalardan ikkitasini o'z ichiga olgan tasodifiy paketni tanlaydi. Ikkala batareyaning ham yaxshi bo'lish ehtimolini toping. Yechim: Batareyaning yaxshi bo'lish ehtimoli 0,94 ga teng. Mustaqil hodisalarni keltirib chiqarish ehtimoli (har ikkala batareya ham yaxshi bo'ladi) ushbu hodisalarning ehtimolliklari mahsulotiga teng: 0,94 0,94 \u003d 0,8836. Javob: 0,8836.

54. Avtomatik liniya batareyalarni ishlab chiqaradi. Tayyor batareyaning nuqsonli bo'lish ehtimoli 0,02 ga teng. Qadoqlashdan oldin har bir batareya boshqaruv tizimidan o'tadi. Tizimning yomon batareyani rad etish ehtimoli 0,99 ni tashkil qiladi. Tizim noto'g'ri yaxshi batareyani rad etishi ehtimoli 0,01 ga teng. Tasodifiy tanlangan ishlab chiqarilgan batareyaning boshqaruv tizimi tomonidan rad etilishi ehtimolini toping. Qaror. Batareyaning rad etilishi quyidagi hodisalarning natijasi bo'lishi mumkin: A = batareya haqiqatan ham yomon va adolatli rad etilgan yoki B = batareya yaxshi, lekin xatolik tufayli rad etilgan. Bular bir-biriga mos kelmaydigan hodisalar, ularning yig'indisining ehtimoli bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng. Bizda ... bor:

55. Rasmda labirint tasvirlangan. O'rgimchak "Kirish" nuqtasida labirintga sudraladi. O'rgimchak orqaga burilib, sudrala olmaydi, shuning uchun har bir vilkada o'rgimchak hali sudralmagan yo'llardan birini tanlaydi. Keyingi yo'lni tanlash tasodifiy deb hisoblasak, o'rgimchak chiqishga qanday ehtimollik bilan kelishini aniqlang..

Qaror.

Belgilangan to'rtta vilkaning har birida o'rgimchak D dan chiqish yo'lini yoki 0,5 ehtimollik bilan boshqa yo'lni tanlashi mumkin. Bular mustaqil hodisalar bo'lib, ularning hosilasi ehtimoli (o'rgimchak D chiqishiga etadi) bu hodisalarning ehtimolliklari mahsulotiga teng. Demak, D chiqishiga kelish ehtimoli (0,5) ga teng. 4 = 0,0625.

Tula shahri ta'lim muassasasi matematika o'qituvchilari uchun "Matematikada USE vazifalarini bo'limlardan echish: kombinatorika, ehtimollar nazariyasi" mavzusida seminar rejasi. Ta'lim usullari»

Vaqt sarflash: 12 00 ; 15 00

Manzil: MBOU "1-sonli litsey", xona. № 8

I. Ehtimollik uchun muammoni yechish

1. Ehtimolning klassik ta'rifiga oid masalalar yechish

Biz, o'qituvchilar sifatida, ehtimollik nazariyasi bo'yicha USEdagi vazifalarning asosiy turlari ehtimollikning klassik ta'rifiga asoslanganligini allaqachon bilamiz. Xodisa ehtimoli nima deyilganini eslaylikmi?

Voqea ehtimoli- ma'lum bir hodisa uchun qulay natijalar sonining nisbati umumiy soni natijalar.

Matematika o‘qituvchilari ilmiy-uslubiy birlashmamizda a umumiy sxema ehtimollik uchun muammoni hal qilish. E’tiboringizga havola etmoqchiman. Aytgancha, biz ish tajribamiz bilan o'rtoqlashdik va muammolarni hal qilish bo'yicha birgalikda muhokama qilish uchun sizning e'tiboringizga taqdim etgan materiallarda biz ushbu sxemani taqdim etdik. Biroq, men buni ovoz chiqarib aytmoqchiman.

Bizning fikrimizcha, bu sxema mantiqiy ravishda hamma narsani javonlarga tezda qo'yishga yordam beradi va shundan keyin vazifani o'qituvchi va talabalar uchun juda oson hal qilish mumkin.

Shunday qilib, men quyidagi mazmundagi muammoni batafsil tahlil qilmoqchiman.

Yigitlarga bunday yechimni qanday etkazish metodologiyasini tushuntirish uchun men siz bilan gaplashmoqchi edim, bunda yigitlar bu odatiy vazifani tushunishadi, keyin esa ular bu vazifalarni o'zlari tushunishadi.

Ushbu muammoda tasodifiy tajriba nima? Endi biz ushbu tajribada elementar hodisani ajratib olishimiz kerak. Bu elementar hodisa nima? Keling, ularni sanab o'tamiz.

Savollar bormi?

Hurmatli hamkasblar, siz ham zar bilan ehtimollik masalalarini ko'rib chiqdingiz. Menimcha, biz uni qismlarga ajratishimiz kerak, chunki ba'zi nuances bor. Keling, ushbu muammoni biz sizga taklif qilgan sxema bo'yicha tahlil qilaylik. Kubning har bir yuzida 1 dan 6 gacha bo'lgan sonlar mavjud bo'lgani uchun elementar hodisalar 1, 2, 3, 4, 5, 6 raqamlaridir. Biz elementar hodisalarning umumiy soni 6 ta ekanligini aniqlaymiz. Qaysi ekanligini aniqlaymiz. elementar hodisalar hodisaga yordam beradi. Ushbu hodisani faqat ikkita voqea ma'qullaydi - 5 va 6 (chunki shartdan kelib chiqadiki, 5 va 6 ball tushishi kerak).

Barcha elementar hodisalar bir xil darajada mumkinligini tushuntiring. Topshiriq bo'yicha qanday savollar bo'ladi?

Tanganing simmetrik ekanligini qanday tushunasiz? Keling, buni aniq tushunaylik, ba'zida ba'zi iboralar tushunmovchiliklarni keltirib chiqaradi. Keling, ushbu muammoni kontseptual tarzda tushunaylik. Keling, qanday elementar natijalar bo'lishi mumkinligi tasvirlangan tajribada siz bilan shug'ullanamiz. Tasavvur qila olasizmi, bosh qayerda, dum qayerda? Chiqib ketish variantlari qanday? Boshqa voqealar bormi? Hodisalarning umumiy soni qancha? Muammoga ko'ra, kallalar roppa-rosa bir marta tushib ketgani ma'lum. Shunday qilib, bu voqeaUshbu to'rtta OR va RO foydasidan elementar hodisalar, bu allaqachon ikki marta sodir bo'lishi mumkin emas. Biz hodisaning ehtimoli topiladigan formuladan foydalanamiz. Eslatib o'tamiz, B qismidagi javoblar butun yoki kasr bo'lishi kerak.

Interfaol doskada ko‘rsating. Biz topshiriqni o'qiymiz. Ushbu tajribaning asosiy natijasi qanday? Juftlik buyurtma qilinganligini aniqlang - ya'ni raqam birinchi o'limga, ikkinchi o'limga tushdi. Har qanday vazifada siz oqilona usullarni, shakllarni tanlashingiz va echimni jadvallar, diagrammalar va boshqalar shaklida taqdim etishingiz kerak bo'lgan daqiqalar mavjud. Ushbu muammoda bunday jadvaldan foydalanish qulay. Men sizga allaqachon beraman kalit taslim yechim, lekin yechish jarayonida ma'lum bo'ladiki, bu masalada yechimni jadval ko'rinishida qo'llash oqilona. Jadval nimani anglatishini tushuntiring. Ustunlar nima uchun 1, 2, 3, 4, 5, 6 ekanligini tushunasiz.

Keling, kvadrat chizamiz. Chiziqlar birinchi rulonning natijalariga mos keladi - ularning oltitasi bor, chunki matritsa oltita yuzga ega. Ustunlar kabi. Har bir katakchaga tushgan nuqtalar yig'indisini yozamiz. To'ldirilgan jadvalni ko'rsating. Keling, yig'indisi sakkizga teng bo'lgan katakchalarni ranglaymiz (shartda talab qilinganidek).

O'ylaymanki, keyingi muammoni, avvalgilarini tahlil qilgandan so'ng, yigitlarga o'zlari hal qilishlari mumkin.

Quyidagi masalalarda barcha elementar natijalarni yozishning hojati yo'q. Ularning sonini sanash kifoya.

(Yechimsiz) Men yigitlarga bu muammoni o'zlari hal qilishlarini berdim. Muammoni hal qilish algoritmi

1. Tasodifiy tajriba nima ekanligini va tasodifiy hodisa nima ekanligini aniqlang.

2. Elementar hodisalarning umumiy sonini toping.

3. Masalaning shartida ko’rsatilgan hodisaga ma’qul keladigan hodisalar sonini topamiz.

4. Formuladan foydalanib hodisaning ehtimolini toping.

Talabalarga savol berish mumkin, agar 1000 ta akkumulyator sotuvga chiqarilgan bo'lsa va ulardan 6 tasi noto'g'ri bo'lsa, tanlangan batareya quyidagicha aniqlanadi? Bizning vazifamizda nima bor? Keyinchalik, bu erda raqam sifatida ishlatiladigan narsalarni topish haqida savol beramanva men uni topishni taklif qilamanraqam. Keyin so‘rayman, bu yerda nima voqea bo‘lyapti? Qancha akkumulyatorlar tadbirni yakunlashni ma'qul ko'radi? Keyinchalik, formuladan foydalanib, biz ushbu ehtimollikni hisoblaymiz.

Bu erda bolalarga ikkinchi yechim taklif qilinishi mumkin. Keling, bu usul nima bo'lishi mumkinligini muhokama qilaylik?

1. Hozir qanday hodisani ko'rib chiqish mumkin?

2. Berilgan hodisaning ehtimoli qanday topiladi?

Bolalarga bu formulalar haqida aytib berish kerak. Ular keyingi

Sakkizinchi vazifani bolalarga mustaqil ravishda taklif qilish mumkin, chunki u oltinchi vazifaga o'xshaydi. Bu ularga sifatida taklif qilinishi mumkin mustaqil ish, yoki doskadagi kartada.

Bu muammoni hozirda o'tkazilayotgan olimpiadaga nisbatan hal qilish mumkin. Vazifalarda turli tadbirlar ishtirok etishiga qaramay, vazifalar xarakterlidir.

2. Ehtimollarni hisoblashning eng oddiy qoidalari va formulalari (qarama-qarshi hodisalar, hodisalar yig'indisi, hodisalar mahsuloti)

Bu vazifa To'plamdan foydalanish. Biz eritmani taxtaga joylashtiramiz. Ushbu muammoni tahlil qilish uchun talabalar oldiga qanday savollarni qo'yishimiz kerak.

1. Qancha pulemyot bor edi? Bir marta ikkita avtomat, keyin allaqachon ikkita hodisa mavjud. Men bolalardan qanday voqea bo'lishini so'rayman? Ikkinchi voqea nima bo'ladi?

2. hodisaning ehtimoli. Biz uni hisoblashimiz shart emas, chunki u shartda berilgan. Muammoning shartiga ko'ra, "har ikkala mashinada ham qahva tugashi" ehtimoli 0,12 ga teng. A hodisasi bor edi, B hodisasi bor edi. Va yangi voqea paydo bo'ladimi? Men bolalarga savol beraman - nima? Bu ikkala savdo avtomatida kofe tugab qolgan voqea. Bu holda, ehtimollik nazariyasida bu yangi hodisa bo'lib, u A va B ikkita hodisaning kesishishi deb ataladi va shu tarzda belgilanadi.

Keling, ehtimollarni qo'shish formulasidan foydalanamiz. Formula quyidagicha

Biz buni sizga ma'lumotnoma materialida beramiz va yigitlar bu formulani berishlari mumkin. Bu sizga hodisalar yig'indisining ehtimolini topish imkonini beradi. Bizga qarama-qarshi hodisaning ehtimolini so'rashdi, uning ehtimoli formula bo'yicha topiladi.

13-masalada hodisalar ko‘paytmasi tushunchasidan foydalaniladi, uning ehtimolini topish formulasi Ilovada keltirilgan.

3. Mumkin variantlar daraxtini qo'llash bo'yicha vazifalar

Muammoning shartiga ko'ra, diagramma tuzish va ko'rsatilgan ehtimolliklarni topish oson.

Qanday yordam bilan nazariy material Siz talabalar bilan shu kabi muammolarni hal qilishda ishlaganmisiz? Imkoniyatlar daraxtidan foydalandingizmi yoki bunday muammolarni hal qilish uchun boshqa usullardan foydalandingizmi? Grafiklar tushunchasini berdingizmi? Beshinchi yoki oltinchi sinfda yigitlar shunday muammolarga duch kelishadi, ularni tahlil qilish grafik tushunchasini beradi.

Men sizdan so'ramoqchiman, siz va talabalaringiz ehtimollik masalalarini yechishda imkoniyatlar daraxtidan foydalanishni o'ylab ko'rdingizmi? Gap shundaki, USEda nafaqat bunday vazifalar mavjud, balki biz hozir hal qiladigan murakkab vazifalar paydo bo'ldi.

Keling, siz bilan bunday muammolarni hal qilish metodologiyasini muhokama qilaylik - agar u mening metodologiyamga to'g'ri kelsa, men yigitlarga tushuntirganimdek, men siz bilan ishlash osonroq bo'ladi, agar bo'lmasa, men sizga bu muammoni hal qilishda yordam beraman.

Keling, voqealarni muhokama qilaylik. 17-muammoda qanday hodisalarni aniqlash mumkin?

Samolyotda daraxt qurishda daraxtning ildizi deb ataladigan nuqta belgilanadi. Keyinchalik, biz voqealarni ko'rib chiqishni boshlaymizva. Biz segmentni quramiz (ehtimollar nazariyasida u filial deb ataladi). Shartda aytilishicha, birinchi zavod 30% ishlab chiqaradi mobil telefonlar bu tovar (nima? Ular ishlab chiqaradigan), shuning uchun in bu daqiqa Men talabalardan so'rayman, birinchi zavod ushbu markadagi telefonlarni, ular ishlab chiqaradigan telefonlarni ishlab chiqarish ehtimoli qanday? Voqea telefonning birinchi zavodda chiqarilishi bo'lganligi sababli, bu hodisaning ehtimoli 30% yoki 0,3 ni tashkil qiladi. Qolgan telefonlar ikkinchi zavodda ishlab chiqariladi - biz ikkinchi segmentni qurmoqdamiz va bu hodisaning ehtimoli 0,7 ga teng.

Talabalarga savol beriladi - birinchi zavod tomonidan qanday turdagi telefon ishlab chiqarilishi mumkin? Kamchilikli yoki nuqsonsiz. Birinchi zavod tomonidan ishlab chiqarilgan telefonda nuqson bo'lish ehtimoli qanday? Shartga ko'ra, 0,01 ga teng deyiladi. Savol: Birinchi zavodda ishlab chiqarilgan telefonda nuqson bo'lmasligi ehtimoli qanday? Ushbu hodisa berilgan hodisaga qarama-qarshi bo'lganligi sababli, uning ehtimoli teng.

Telefonning nuqsonli bo'lish ehtimolini topish talab qilinadi. Bu birinchi zavoddan bo'lishi mumkin yoki ikkinchidan bo'lishi mumkin. Keyin biz ehtimollarni qo'shish formulasidan foydalanamiz va biz butun ehtimollik telefonning birinchi zavoddan nuqsonli va telefonning ikkinchi zavoddan nuqsonli bo'lish ehtimoli yig'indisi ekanligini olamiz. Telefonning nuqsoni borligi va birinchi zavodda ishlab chiqarilganligi ehtimoli ilovada keltirilgan ehtimollar mahsuloti formulasi bilan topiladi.

4. Eng ko'plaridan biri qiyin vazifalar ehtimollik uchun USE bankidan

Misol uchun, FIPI vazifalar bankidan 320199-sonni tahlil qilaylik. Bu B6 dagi eng qiyin vazifalardan biridir.

Institutga “Tilshunoslik” mutaxassisligi boʻyicha oʻqishga kirish uchun abituriyent Z. Yagona davlat imtihonida uchta fanning har biridan – matematika, rus tili va chet tilidan kamida 70 ball toʻplashi kerak. "Tijorat" ixtisosligiga kirish uchun uchta fanning har birida - matematika, rus tili va ijtimoiy fanlardan kamida 70 ball to'plash kerak.

Abituriyent Z.ning matematikadan kamida 70 ball olish ehtimoli 0,6, rus tilidan 0,8, chet tilidan 0,7 va ijtimoiy fanlardan 0,5 ga teng.

Z.ning qayd etilgan ikkita mutaxassislikdan kamida bittasiga kirishi ehtimolini toping.

E’tibor bering, muammo Z. ismli abituriyent bir vaqtning o‘zida tilshunoslikni ham, tijoratni ham o‘qib, ikkita diplom oladimi, deb so‘ramaydi. Bu yerda Z.ning shu ikki mutaxassislikdan hech boʻlmaganda bittasiga oʻqishga kirishi, yaʼni yutib olishi ehtimolini topishimiz kerak. kerakli miqdor ball.

Ikki mutaxassislikdan kamida bittasiga kirish uchun Z. matematika fanidan kamida 70 ball toʻplashi kerak. Va rus tilida. Va hali - ijtimoiy fan yoki chet ellik.

Uning uchun matematikadan 70 ball to'plash ehtimoli 0,6 ga teng.

Matematika va rus tilidan ball to'plash ehtimoli teng.

Keling, chet el va ijtimoiy fanlar bilan shug'ullanamiz. Agar abituriyent ijtimoiy fanlar, chet tili yoki ikkala fandan ball to'plagan bo'lsa, biz uchun variantlar mos keladi. Agar u tilda ham, "jamiyatda" ham ball to'plamagan bo'lsa, variant mos kelmaydi. Bu shuni anglatadiki, ijtimoiy fanlardan yoki chet eldan o'tish ehtimoli kamida 70 ballga teng. Natijada, matematika, rus va ijtimoiy fanlarni yoki chet eldan o'tish ehtimoli teng

Bu javob.

II . Kombinator masalalarni yechish

1. Kombinatsiyalar va faktoriallar soni

Keling, nazariy materialni qisqacha tahlil qilaylik.

Ifodan ! "en-faktorial" ni o'qiydi va hammaning mahsulotini bildiradi natural sonlar 1 dann shu jumladan:n ! = 1 2 3 ...n .

Bundan tashqari, matematikada, ta'rifga ko'ra, 0! = 1. Bunday ifoda kamdan-kam uchraydi, lekin baribir ehtimollar nazariyasi masalalarida uchraydi.

Ta'rif

To'liq boshqa narsalarni tanlash kerak bo'lgan narsalar (qalamlar, shirinliklar, nima bo'lishidan qat'iy nazar) bo'lsin. Keyin bunday tanlov uchun variantlar soni chaqiriladikombinatsiyalar soni elementlardan. Bu raqam maxsus formula bo'yicha ko'rsatiladi va hisoblanadi.

Belgilanish

Bu formula bizga nima beradi? Aslida, deyarli hech qanday jiddiy vazifani usiz hal qilib bo'lmaydi.

Yaxshiroq tushunish uchun keling, bir nechta oddiy kombinatoryal muammolarni tahlil qilaylik:

Vazifa

Barmenda 6 xil yashil choy bor. Choy marosimi uchun siz topshirishingiz kerak yashil choy aniq 3 turli navlar. Bufetchi buyurtmani necha usulda bajarishi mumkin?

Qaror

Bu erda hamma narsa oddiy: born = Tanlash uchun 6 ta navk = 3 xil. Kombinatsiyalar sonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:

Javob

Formulada almashtiring. Biz barcha muammolarni hal qila olmaymiz, lekin tipik vazifalar biz yozdik, ular sizning e'tiboringizga taqdim etiladi.

Vazifa

20 nafar talabadan iborat guruhda konferentsiyada nutq so'zlash uchun 2 nafar vakil tanlanishi kerak. Buni necha usulda qilish mumkin?

Qaror

Yana, bizda hamma narsa born = 20 talaba, lekin siz tanlashingiz kerakk = 2 talaba. Kombinatsiyalar sonini toping:

E'tibor bering, turli faktoriallarga kiritilgan omillar qizil rang bilan belgilangan. Ushbu ko'paytirgichlar og'riqsiz kamayishi va shu bilan hisob-kitoblarning umumiy miqdorini sezilarli darajada kamaytirishi mumkin.

Javob

190

Vazifa

Omborga har xil nuqsonli 17 ta server keltirildi, bu oddiy serverlardan 2 barobar arzon. Direktor maktab uchun 14 ta ana shunday serverlar sotib olib, iqtisod qilingan 200 000 rubl miqdoridagi mablag‘ni boshqa jihozlar sotib olishga sarflagan. Direktor nuqsonli serverlarni necha xil usulda tanlashi mumkin?

Qaror

Vazifada juda ko'p qo'shimcha ma'lumotlar mavjud, ular chalkash bo'lishi mumkin. Ko'pchilik muhim faktlar: hammasi born = 17 server va direktor kerakk = 14 server. Biz kombinatsiyalar sonini hisoblaymiz:

Qizil rang yana kamaytirilayotgan multiplikatorlarni ko'rsatadi. Hammasi bo'lib 680 ta kombinatsiya paydo bo'ldi. Umuman olganda, rejissyor tanlash uchun juda ko'p narsaga ega.

Javob

680

Bu vazifa injiqdir, chunki bu vazifada qo'shimcha ma'lumotlar mavjud. Ular ko'plab talabalarni chalg'itadi to'g'ri qaror. Hammasi bo'lib 17 ta server bor edi va direktor 14 tasini tanlashi kerak edi. Formulani almashtirsak, biz 680 ta kombinatsiyani olamiz.

2. Ko‘paytirish qonuni

Ta'rif

ko'paytirish qonuni kombinatorikada: mustaqil to'plamlardagi birikmalar (yo'llar, birikmalar) soni ko'paytiriladi.

Boshqacha qilib aytganda, bo'lsinA bir harakatni bajarish usullari vaB boshqa harakatni amalga oshirish usullari. Yo'l ham bu harakatlar mustaqil, ya'ni. hech qanday tarzda bog'liq emas. Keyin formula bo'yicha birinchi va ikkinchi amalni bajarish usullari sonini topishingiz mumkin:C = A · B .

Vazifa

Petyada har biri 1 rubldan 4 ta tanga va har biri 10 rubldan 2 tanga bor. Petya qaramagan holda cho‘ntagidan 1 so‘m nominaldagi 1 tanga va yana 10 so‘mlik 1 tanga chiqarib, 11 rublga qalam oldi. U bu tangalarni necha xil usulda tanlashi mumkin?

Qaror

Shunday qilib, birinchi navbatda Petya oladik = 1 tangan = nominal qiymati 1 rubl bo'lgan 4 ta mavjud tanga. Buni amalga oshirish usullari soniC 4 1 = ... = 4.

Keyin Petya yana cho'ntagiga qo'l cho'ntagiga qo'l cho'ntagiga qo'l cho'ntagiga qo'l cho'ntagiga yana qo'l uradi va chiqarib oladik = 1 tangan = Nominal qiymati 10 rubl bo'lgan 2 ta mavjud tanga. Bu erda kombinatsiyalar soniC 2 1 = ... = 2.

Ushbu harakatlar mustaqil bo'lgani uchun, variantlarning umumiy soniC = 4 2 = 8.

Javob

Vazifa

Savatda 8 ta oq va 12 ta qora shar bor. Bu savatdan 2 ta oq va 2 ta qora sharni nechta usulda olish mumkin?

Qaror

Savatdagi jamin = Tanlash uchun 8 ta oq shark = 2 to'p. Buni qilish mumkinC 8 2 = ... = 28 xil usul.

Bundan tashqari, aravada mavjudn = Yana tanlash uchun 12 qora to'pk = 2 to'p. Buni amalga oshirish usullari soniC 12 2 = ... = 66.

Oq to'pni tanlash va qora rangni tanlash mustaqil hodisa bo'lganligi sababli, kombinatsiyalarning umumiy soni ko'paytirish qonuniga muvofiq hisoblanadi:C = 28 66 = 1848. Ko'rib turganingizdek, bir nechta variant bo'lishi mumkin.

Javob

1848

Ko'paytirish qonuni ikkita yoki undan ko'p oddiylardan tashkil topgan murakkab harakatni qancha usullar bilan bajarish mumkinligini ko'rsatadi - agar ularning barchasi mustaqil bo'lsa.

3. Qo‘shish qonuni

Agar ko'paytirish qonuni bir-biriga bog'liq bo'lmagan "izolyatsiya qilingan" hodisalarda harakat qilsa, qo'shish qonunida buning aksi to'g'ri keladi. U bir vaqtning o'zida hech qachon sodir bo'lmaydigan o'zaro eksklyuziv voqealar bilan bog'liq.

Masalan, "Pyotr cho'ntagidan 1 tanga chiqardi" va "Pyotr cho'ntagidan bitta tanga chiqarmadi" - bu bir-birini istisno qiladigan hodisalar, chunki bitta tangani chiqarmasdan turib, olib bo'lmaydi.

Xuddi shunday, "Tasodifiy tanlangan to'p - oq" va "Tasodifiy tanlangan to'p - qora" hodisalari ham bir-birini istisno qiladi.

Ta'rif

Qo'shimcha qonun kombinatorikada: agar ikkita o'zaro eksklyuziv harakatni bajarish mumkin bo'lsaA vaB yo'llar, o'z navbatida, bu hodisalar birlashtirilishi mumkin. Bu amalga oshirilishi mumkin bo'lgan yangi hodisani yaratadiX = A + B yo'llari.

Boshqacha qilib aytganda, o'zaro eksklyuziv harakatlarni (hodisalar, variantlar) birlashtirganda, ularning kombinatsiyalari soni qo'shiladi.

Aytishimiz mumkinki, qo'shish qonuni kombinatorikada mantiqiy "YOKI" bo'lib, o'zaro istisno variantlardan har qandayi bizga mos keladi. Aksincha, ko'paytirish qonuni mantiqiy "VA" bo'lib, unda biz birinchi va ikkinchi harakatlarning bir vaqtning o'zida bajarilishidan manfaatdormiz.

Vazifa

Savatda 9 ta qora va 7 ta qizil shar bor. Bola bir xil rangdagi 2 ta to'pni chiqaradi. U buni necha usulda qila oladi?

Qaror

Agar to'plar bir xil rangda bo'lsa, unda bir nechta variant bor: ularning ikkalasi ham qora yoki qizil. Shubhasiz, bu variantlar bir-birini istisno qiladi.

Birinchi holda, bola tanlashi kerakk = dan 2 ta qora sharn = 9 mavjud. Buni amalga oshirish usullari soniC 9 2 = ... = 36.

Xuddi shunday, ikkinchi holatda biz tanlaymizk = 2 ta qizil sharn = 7 mumkin. Yo'llar soniC 7 2 = ... = 21.

Yo'llarning umumiy sonini topish qoladi. Qora va qizil sharli variantlar bir-birini istisno qilganligi sababli, qo'shish qonuniga ko'ra bizda:X = 36 + 21 = 57.

Javob57

Vazifa

Do‘konda 15 dona atirgul va 18 dona lola sotiladi. 9-sinf o'quvchisi sinfdoshi uchun 3 ta gul sotib olmoqchi va barcha gullar bir xil bo'lishi kerak. U bunday guldastani necha usulda yasashi mumkin?

Qaror

Shartga ko'ra, barcha gullar bir xil bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz 3 ta atirgul yoki 3 ta lola sotib olamiz. Nima bo'lganda ham,k = 3.

Atirgullar bo'lsa, siz tanlashingiz kerak bo'ladin = 15 ta variant, shuning uchun kombinatsiyalar soniC 15 3 = ... = 455. Lolalar uchunn = 18 va kombinatsiyalar soni -C 18 3 = ... = 816.

Atirgullar va lolalar bir-birini istisno qiladigan variantlar bo'lgani uchun biz qo'shish qonuniga muvofiq ishlaymiz. Variantlarning umumiy sonini olingX = 455 + 816 = 1271. Bu javob.

Javob

1271

Qo'shimcha shartlar va cheklovlar

Ko'pincha muammoning matnida bizni qiziqtiradigan kombinatsiyalarga sezilarli cheklovlar qo'yadigan qo'shimcha shartlar mavjud. Ikki jumlani solishtiring:

5 ta qalam to'plami mavjud turli xil ranglar. 3 zarbli tutqichlarni nechta usulda tanlash mumkin?

Turli rangdagi 5 ta qalam to'plami mavjud. Agar ulardan biri qizil bo'lishi kerak bo'lsa, 3 zarbli tutqichni necha xil usulda tanlash mumkin?

Birinchi holda, biz o'zimizga yoqadigan har qanday rangni olish huquqiga egamiz - qo'shimcha cheklovlar yo'q. Ikkinchi holda, hamma narsa murakkabroq, chunki biz qizil tutqichni tanlashimiz kerak (u asl to'plamda deb taxmin qilinadi).

Shubhasiz, har qanday cheklovlar variantlarning umumiy sonini keskin kamaytiradi. Xo'sh, bu holatda kombinatsiyalar sonini qanday topish mumkin? Faqat eslab qoling keyingi qoida:

To'plam bo'lsinn tanlash uchun elementlark elementlar. Raqamga qo'shimcha cheklovlar kiritilishi bilann vak bir xil miqdorda kamayadi.

Boshqacha qilib aytganda, agar siz 5 ta qalamning 3 tasini tanlashingiz kerak bo'lsa va ulardan biri qizil rangda bo'lishi kerak bo'lsa, siz ulardan birini tanlashingiz kerak bo'ladi.n = 5 − 1 = 4 element tomonidank = 3 − 1 = 2 ta element. Shunday qilib, o'rnigaC 5 3 hisobga olinishi kerakC 4 2 .

Keling, ushbu qoida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik aniq misollar:

Vazifa

20 nafar talaba, shu jumladan 2 nafar a'lochi talabalar guruhida konferentsiyada ishtirok etish uchun 4 kishini tanlash kerak. Agar a'lochi talabalar konferentsiyaga borishlari kerak bo'lsa, bu to'rttasini necha xil usulda tanlash mumkin?

Qaror

Shunday qilib, bir guruh born = 20 talaba. Lekin siz faqat tanlashingiz kerakk = ulardan 4 tasi. Agar qo'shimcha cheklovlar bo'lmasa, u holda variantlar soni kombinatsiyalar soniga teng ediC 20 4 .

Biroq, bizga berildi qo'shimcha shart: 2 ta sharaf shu to'rttadan bo'lishi kerak. Shunday qilib, yuqoridagi qoidaga ko'ra, biz raqamlarni kamaytiramizn vak 2 tomonidan. Bizda:

Javob

153

Vazifa

Petyaning cho‘ntagida 8 ta tanga bor, shundan 6 tasi rubl, 2 tasi 10 rubllik tanga. Petya uchta tangani boshqa cho'ntagiga soladi. Agar ikkala 10 rubllik tanga ham boshqa cho'ntagiga tushganligi ma'lum bo'lsa, Petya buni necha usul bilan amalga oshirishi mumkin?

Qaror

Demak born = 8 tanga. Petya siljiydik = 3 tanga, shundan 2 tasi o'n rubl. Ma'lum bo'lishicha, o'tkaziladigan 3 ta tangadan 2 tasi allaqachon o'rnatilgan, shuning uchun raqamlarn vak 2 ga kamaytirilishi kerak. Bizda:

Javob

III . Kombinatorika va ehtimollar nazariyasi formulalaridan foydalanish bo'yicha qo'shma masalalarni yechish

Vazifa

Petyaning cho‘ntagida 4 rubllik tanga va 2 2 rubllik tanga bor edi. Petya qaramasdan, boshqa cho'ntagiga uchta tanga soldi. Ikki rubllik tangalarning bir xil cho‘ntakda bo‘lish ehtimolini toping.

Qaror

Aytaylik, ikkala ikki rubllik tangalar haqiqatan ham bitta cho'ntagiga tushdi, unda ikkita variant bo'lishi mumkin: yoki Petya ularni umuman siljitmadi yoki ikkalasini ham bir vaqtning o'zida siljitdi.

Birinchi holda, ikki rubllik tangalar o'tkazilmaganda, 3 rubllik tanga o'tkazilishi kerak edi. Jami 4 ta shunday tanga borligi sababli, buni amalga oshirish usullari soni 4 dan 3 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:C 4 3 .

Ikkinchi holda, ikkala ikki rubllik tanga o'tkazilganda, yana bir rubllik tanga o'tkazilishi kerak bo'ladi. U 4 ta mavjudidan tanlanishi kerak va buni amalga oshirish usullari soni 4 dan 1 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:C 4 1 .

Endi tangalarni almashtirish usullarining umumiy sonini topamiz. Hammasi bo'lib 4 + 2 = 6 ta tanga mavjud va ulardan faqat 3 tasini tanlash kerak bo'lganligi sababli, variantlarning umumiy soni 6 dan 3 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:C 6 3 .

Ehtimollikni topish qoladi:

Javob

0,4

Interfaol doskada ko‘rsating. Muammoning shartiga ko'ra, Petya qaramasdan uchta tangani bitta cho'ntagiga solib qo'yganiga e'tibor bering. Bu savolga javob berib, ikkita ikki rubllik tanga haqiqatan ham bitta cho'ntakda qolgan deb taxmin qilishimiz mumkin. Ehtimollarni qo'shish formulasiga qarang. Formulani yana ko'rsating.

Vazifa

Petyaning cho‘ntagida 5 rubllik 2 tanga va 10 rubllik 4 tanga bor edi. Petya qaramasdan, boshqa cho'ntagiga 3 tanga soldi. Besh rubllik tangalarning hozir turli cho'ntaklarda bo'lish ehtimolini toping.

Qaror

Besh rubllik tangalar turli cho'ntaklarda yotishi uchun siz ulardan faqat bittasini siljitishingiz kerak. Buning usullari soni 2 dan 1 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:C 2 1 .

Petya jami 3 ta tanga o'tkazganligi sababli, u har biri 10 rubldan yana 2 ta tanga o'tkazishi kerak bo'ladi. Petyada 4 ta shunday tanga bor, shuning uchun usullar soni 4 dan 2 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:C 4 2 .

Mavjud bo'lgan 6 tangadan 3 tasini almashtirish uchun qancha variant borligini topish qoladi. Bu raqam, oldingi masalada bo'lgani kabi, 6 dan 3 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:C 6 3 .

Ehtimolni topish:

Oxirgi bosqichda biz ikki rubllik tangalarni tanlash usullarini va o'n rubllik tangalarni tanlash usullarini ko'paytirdik, chunki bu hodisalar mustaqildir.

Javob

0,6

Shunday qilib, tangalar bilan bog'liq muammolar o'z ehtimollik formulasiga ega. Bu shunchalik sodda va muhimki, uni teorema sifatida shakllantirish mumkin.

Teorema

Tanga tashlansinn bir marta. Keyin boshlarning to'liq tushishi ehtimolik vaqtni quyidagi formula yordamida topish mumkin:

QayerdaC n k - kombinatsiyalar sonin tomonidan elementlark , bu formula bo'yicha hisoblanadi:

Shunday qilib, tangalar bilan muammoni hal qilish uchun ikkita raqam kerak: otish soni va boshlar soni. Ko'pincha bu raqamlar muammoning matnida to'g'ridan-to'g'ri berilgan. Bundan tashqari, aniq nimani hisoblash muhim emas: dumlar yoki burgutlar. Javob bir xil bo'ladi.

Bir qarashda teorema juda og'ir ko'rinadi. Ammo bu biroz mashq qilishga arziydi - va siz endi yuqorida tavsiflangan standart algoritmga qaytishni xohlamaysiz.

Tanga to'rt marta tashlanadi. Boshlarning uch marta yuqoriga chiqishi ehtimolini toping.

Qaror

Muammoning shartiga ko'ra, otishlarning umumiy sonin = 4. Kerakli bosh soni:k = 3. O'rnini bosishn vak formulaga:

Xuddi shu muvaffaqiyat bilan siz quyruq sonini hisoblashingiz mumkin:k = 4 - 3 = 1. Javob bir xil bo'ladi.

Javob

0,25

Vazifa [ Ish daftari“Matematikada 2012-yildan foydalaning. B6 vazifalari»]

Tanga uch marta tashlanadi. Uning hech qachon dumlari chiqmasligi ehtimolini toping.

Qaror

Raqamlarni yana yozingn vak . Tanga 3 marta tashlanganligi sababli,n = 3. Va quyruq bo'lmasligi kerakligi sababli,k = 0. Raqamlarni almashtirish qoladin vak formulaga:

Eslatib o'taman, 0! ta'rifi bo'yicha = 1. Shunung uchunC 3 0 = 1.

Javob

0,125

Vazifa [ Sinov FOYDALANISH matematika bo'yicha 2012. Irkutsk]

Tasodifiy tajribada simmetrik tanga 4 marta tashlanadi. Boshlarning quyruqdan ko'ra ko'proq paydo bo'lish ehtimolini toping.

Qaror

Dumlardan ko'ra boshlar ko'proq bo'lishi uchun ular 3 marta (keyin 1 ta quyruq bo'ladi) yoki 4 marta (keyin dumlar umuman bo'lmaydi) tushishi kerak. Keling, ushbu hodisalarning har birining ehtimolini topamiz.

Bo'lsinp 1 - boshlarning 3 marta tushishi ehtimoli. Keyinn = 4, k = 3. Bizda:

Endi topamizp 2 - boshlarning 4 marta tushishi ehtimoli. Ushbu holatdan = 4, k = 4. Bizda:

Javobni olish uchun ehtimolliklarni qo'shish kerakp 1 vap 2 . Esingizda bo'lsin: siz faqat bir-birini istisno qiladigan voqealar uchun ehtimollarni qo'shishingiz mumkin. Bizda ... bor:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Javob

0,3125

Yigitlar bilan Yagona davlat imtihoniga va GIAga tayyorgarlik ko'rishda vaqtingizni tejash uchun biz yigitlar bilan tanlashingiz va hal qilishingiz mumkin bo'lgan ko'plab vazifalarning echimlarini taqdim etdik.

GIA materiallari, turli yillardagi yagona davlat imtihonlari, darsliklar va saytlar.

IV. Malumot materiali

Matematikadan imtihon bo'yicha ehtimollik nazariyasi shaklda ifodalanishi mumkin oddiy vazifalar ehtimollikning klassik ta'rifi bo'yicha va ancha murakkab bo'lganlar shaklida, tegishli teoremalarni qo'llash bo'yicha.

Ushbu qismda biz ehtimollik ta'rifidan foydalanish etarli bo'lgan muammolarni ko'rib chiqamiz. Ba'zan bu erda biz qarama-qarshi hodisaning ehtimolini hisoblash uchun formulani ham qo'llaymiz. Garchi bu formuladan bu erda voz kechish mumkin bo'lsa-da, u quyidagi muammolarni hal qilishda kerak bo'ladi.

Nazariy qism

Tasodifiy hodisa - bu kuzatish yoki sinov paytida sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisadir (oldindan bashorat qilish mumkin emas).

Sinov paytida ruxsat bering (tanga yoki o'limni tashlash, tortish imtihon kartasi va hokazo) teng darajada mumkin bo'lgan natijalar mumkin. Misol uchun, tanga otishda barcha natijalar soni 2 ga teng, chunki "dumlar" yoki "burgutlar" ning yo'qolishidan tashqari boshqa natijalar bo'lishi mumkin emas. Zarni uloqtirganda 6 ta natijaga erishish mumkin, chunki zarning yuqori qismida 1 dan 6 gacha bo'lgan har qanday raqamlar paydo bo'lishi mumkin.

A hodisasining ehtimoli - bu hodisa uchun qulay natijalar sonining teng darajada mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbati (bu ehtimollikning klassik ta'rifi). Biz yozamiz

Masalan, A hodisasi zarb o'ramida toq sonli ochkolarni olishdan iborat bo'lsin. Hammasi bo'lib 6 ta natija bo'lishi mumkin: 1, 2, 3, 4, 5, 6 o'limning yuqori yuzida.Ayni paytda 1, 3, 5 tushib qolgan natijalar A hodisasi uchun qulaydir. .

E'tibor bering, qo'shaloq tengsizlik doimo o'rinli bo'ladi, shuning uchun har qanday A hodisasining ehtimolligi intervalda yotadi, ya'ni . Agar sizning javobingiz birdan kattaroq ehtimolga ega bo'lsa, unda siz biror joyda xato qildingiz va yechimni ikki marta tekshirishingiz kerak.

A va B hodisalar deyiladi qarama-qarshi Agar biron bir natija ulardan biri uchun qulay bo'lsa, bir-biriga.

Misol uchun, zarb o'ralganida, voqea "dumaladi toq raqam” – “juft sonli o‘ralgan” hodisasining teskarisi.

A hodisaga qarama-qarshi hodisa belgilanadi. Qarama-qarshi hodisalarning ta'rifidan kelib chiqadi
, degani,
.

To'plamdan ob'ektlarni tanlash bilan bog'liq muammolar

Vazifa 1. Jahon chempionatida 24 ta jamoa ishtirok etadi. Qur'a tashlash orqali ular oltita jamoadan iborat to'rtta guruhga bo'linishi kerak. Qutida guruh raqamlari bilan aralash kartalar mavjud:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Jamoa sardorlari har biri bittadan kartani tortib olishadi. Rossiya terma jamoasining uchinchi guruhdan joy olish ehtimoli qanday?

Natijalarning umumiy soni kartalar soniga teng - ulardan 24 tasi. 6 ta qulay natija bor (chunki 3 raqami oltita kartada yozilgan). Istalgan ehtimollik teng .

Javob: 0,25.

Vazifa 2. Bir urnada 14 ta qizil, 9 ta sariq va 7 ta yashil shar mavjud. Bitta to'p urnadan tasodifiy ravishda olinadi. Ushbu to'pning sariq bo'lish ehtimoli qanday?

Natijalarning umumiy soni to'plar soniga teng: 14 + 9 + 7 = 30. Ushbu hodisa uchun qulay natijalar soni 9. Istalgan ehtimollik tengdir. .

Vazifa 3. Telefon klaviaturasida 0 dan 9 gacha bo'lgan 10 ta raqam mavjud. Tasodifiy bosilgan raqam juft va 5 dan katta bo'lish ehtimoli qanday?

Bu erda natija ma'lum bir tugmachani bosadi, shuning uchun jami 10 ta natija mumkin. Ko'rsatilgan hodisa natijalarga ko'ra ma'qul bo'ladi, bu 6 yoki 8 tugmachalarini bosishni anglatadi. Bunday ikkita natija mavjud. Kerakli ehtimollik .

Javob: 0,2.

Vazifa 4. 4 dan 23 gacha tasodifiy tanlangan natural sonning 3 ga bo'linish ehtimoli qanday?

4 dan 23 gacha bo'lgan oraliqda 23 - 4 + 1 = 20 natural son mavjud, ya'ni jami 20 ta mumkin bo'lgan natijalar mavjud. Ushbu segmentda quyidagi raqamlar uchga ko'paytiriladi: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Jami 6 ta shunday raqam bor, shuning uchun 6 ta natija ko'rib chiqilayotgan hodisaga yordam beradi. Istalgan ehtimollik teng .

Javob: 0,3.

Vazifa 5. Imtihonda taklif qilingan 20 ta biletdan talaba atigi 17 tasiga javob bera oladi.Talaba tasodifiy tanlangan biletga javob bera olmasligi ehtimoli qancha?

1-yo'l.

Talaba 17 ta biletga javob bera olgani uchun 3 ta biletga javob bera olmaydi. Ushbu chiptalardan birini olish ehtimoli, ta'rifiga ko'ra, .

2-yo'l.

“Talaba biletga javob bera oladi” hodisasini A bilan belgilang. Keyin. Qarama-qarshi hodisaning ehtimoli =1 - 0,85 = 0,15.

Javob: 0,15.

Vazifa 6. Chempionatda badiiy gimnastika 20 nafar sportchi ishtirok etadi: 6 nafari Rossiyadan, 5 nafari Germaniyadan, qolganlari Fransiyadan. Gimnastikachilarning chiqish tartibi qur’a orqali aniqlanadi. Yettinchi sportchining Fransiyadan bo‘lish ehtimolini toping.

Hammasi bo'lib 20 nafar sportchi bor, ularning barchasida yettinchi o'rinni egallash imkoniyati teng. Shunday qilib, 20 ta teng ehtimolli natijalar mavjud. Frantsiyadan 20 - 6 - 5 = 9 sportchi, shuning uchun ushbu tadbir uchun 9 ta qulay natijalar mavjud. Kerakli ehtimollik .

Javob: 0,45.

Vazifa 7. Ilmiy konferensiya 5 kun ichida o‘tkaziladi. Jami 50 ta hisobot rejalashtirilgan - birinchi uch kun, har biri 12 ta hisobot, qolganlari to'rtinchi va beshinchi kunlar orasida teng taqsimlanadi. Hisobotlar tartibi qura tashlash orqali aniqlanadi. Professor N.ning maʼruzasi konferensiyaning soʻnggi kuniga belgilanishi ehtimoli qanday?

Birinchidan, oxirgi kun uchun qancha hisobot rejalashtirilganligini bilib olaylik. Hisobotlar dastlabki uch kunga rejalashtirilgan. Qolgan ikki kun o'rtasida teng taqsimlangan 50 - 36 = 14 ta hisobot mavjud, shuning uchun hisobotlar oxirgi kunga rejalashtirilgan.

Natija sifatida professor N. ma'ruzasining tartib raqamini ko'rib chiqamiz. Bunday 50 ta teng mumkin bo'lgan natijalar mavjud. Ko'rsatilgan hodisaga mos keladigan 7 ta natija mavjud (ma'ruzalar ro'yxatidagi oxirgi 7 raqam). Kerakli ehtimollik .

Javob: 0,14.

Vazifa 8. Samolyot bortida avariya chiqish yo‘llari yonida 10 ta o‘rindiq va kabinalarni ajratib turuvchi qismlar orqasida 15 ta o‘rindiq mavjud. Qolgan o'rindiqlar baland bo'yli yo'lovchilar uchun noqulay. Yoʻlovchi K.ning boʻyi baland. Samolyotda 200 ta oʻrin boʻlsa, roʻyxatdan oʻtish vaqtida oʻrindiqni tasodifiy tanlash bilan yoʻlovchi K. qulay oʻrindiq olishi ehtimolini toping.

Ushbu muammoning natijasi joyni tanlashdir. Hammasi bo'lib 200 ta teng mumkin bo'lgan natijalar mavjud. "Tanlangan joy qulay" tadbirini yoqing 15 + 10 = 25 natija. Kerakli ehtimollik .

Javob: 0,125.

9-topshiriq. Zavodda yig‘ilgan 1000 dona kofe maydalagichdan 7 tasi nuqsonli. Mutaxassis ushbu 1000 ta qahva maydalagichdan tasodifiy tanlab olingan bitta qahva maydalagichni tekshiradi. Tekshirilayotgan kofe maydalagichning nuqsonli bo‘lish ehtimolini toping.

Kofe maydalagichni tasodifiy tanlashda 1000 ta natijaga erishish mumkin, A hodisasi "tanlangan qahva maydalagich nuqsonli" 7 ta natija uchun qulaydir. Ehtimollik ta'rifi bo'yicha.

Javob: 0,007.

10-topshiriq. Zavod muzlatgichlar ishlab chiqaradi. O‘rtacha har 100 ta yuqori sifatli muzlatgichga 15 ta yashirin nuqsonli muzlatgich to‘g‘ri keladi. Sotib olingan muzlatgich yuqori sifatli bo'lish ehtimolini toping. Natijani yuzdan bir qismigacha yaxlitlang.

Bu vazifa avvalgisiga o'xshaydi. Biroq, "har 100 ta sifatli muzlatgichga 15 ta nuqsonli" degan so'z bizga shuni aytadi. nuqsonli 15 dona 100 sifatga kiritilmagan. Shuning uchun natijalarning umumiy soni 100 + 15 = 115 (muzlatgichlarning umumiy soniga teng), qulay natijalar 100. Kerakli ehtimollik . Kasrning taxminiy qiymatini hisoblash uchun burchakka bo'linishdan foydalanish qulay. Biz 0,869 ... ni olamiz, bu 0,87.

Javob: 0,87.

11-topshiriq. Tennis chempionatining birinchi bosqichi boshlanishidan oldin ishtirokchilar qura tashlash yo'li bilan tasodifiy o'yin juftliklariga bo'linadi. Chempionatda jami 16 nafar tennischi, jumladan, Rossiyadan 7 nafar, jumladan Maksim Zaytsev ham ishtirok etmoqda. Maksim Zaytsevning birinchi davrada rossiyalik istalgan tennischi bilan o'ynashi ehtimolini toping.

Oldingi vazifada bo'lgani kabi, siz shartni diqqat bilan o'qib chiqishingiz va natija nima ekanligini va qanday ijobiy natija ekanligini tushunishingiz kerak (masalan, ehtimollik formulasini o'ylamasdan qo'llash noto'g'ri javobga olib keladi).

Bu erda natija - Maksim Zaitsevning raqibi. Hammasi bo'lib 16 nafar tennischi bor va Maksim o'zi bilan o'ynay olmagani uchun 16 - 1 = 15 teng ehtimolli natijalar mavjud. Yaxshi natija - bu Rossiyadan kelgan raqib. 7 ta shunday qulay natija bor - 1 = 6 (biz Maksimning o'zini ruslar orasidan chiqaramiz). Kerakli ehtimollik .

Javob: 0,4.

12-topshiriq. Futbol bo'limida 33 kishi qatnashadi, ular orasida ikki aka-uka - Anton va Dmitriy ham bor. Bo'limga kelganlar tasodifiy tarzda har biri 11 kishidan iborat uchta jamoaga bo'lingan. Anton va Dmitriyning bir jamoada bo'lish ehtimolini toping.

Keling, Anton va Dmitriydan boshlab, o'yinchilarni bo'sh joylarga ketma-ket joylashtirish orqali jamoalarni tuzamiz. Birinchidan, Antonni 33 ta bo'sh joydan tasodifiy tanlangan joyga joylashtiramiz.Endi biz Dmitriyni bo'sh joyga qo'yamiz (natija sifatida u uchun joy tanlashni ko'rib chiqamiz). Hammasi bo'lib 32 ta bepul joy mavjud (birini allaqachon Anton egallagan), shuning uchun jami 32 ta mumkin bo'lgan natijalar mavjud. Anton bilan bitta jamoada 10 ta bo'sh joy qoldi, shuning uchun "Anton va Dmitriy bir jamoada" tadbiri 10 ta natija bilan ma'qullanadi. Ushbu hodisaning ehtimoli .

Javob: 0,3125.

13-topshiriq. O'n ikki soatlik siferblatgichli mexanik soat bir nuqtada buzilib, ishlamay qoldi. Soat strelkasi 11 ga yetganda, lekin 2 ga yetmaganda muzlab qolish ehtimolini toping.

An'anaviy ravishda terish qo'shni raqamlar belgilari orasida joylashgan 12 ta sektorga bo'linishi mumkin (12 va 1, 1 va 2, 2 va 3, ..., 11 va 12). Natija sifatida ko'rsatilgan sektorlardan birida soat yelkasining to'xtashini ko'rib chiqamiz. Hammasi bo'lib 12 ta teng mumkin bo'lgan natijalar mavjud. Ushbu hodisa uchta natija (11 va 12, 12 va 1, 1 va 2 o'rtasidagi sektorlar) tomonidan ma'qullanadi. Istalgan ehtimollik teng .

Javob: 0,25.

Xulosa qiling

Ehtimollar nazariyasi bo'yicha oddiy muammolarni hal qilish bo'yicha materialni o'rganib chiqqandan so'ng, biz nashr etadigan mustaqil yechim uchun topshiriqlarni bajarishni tavsiya etaman. telegram kanalimiz. Shuningdek, siz ularni kiritish orqali ularning amalga oshirilishining to'g'riligini tekshirishingiz mumkin taklif qilingan shaklda javoblar.