Sonning eng kichik umumiy karrali 2. Eng kichik umumiy karrali qanday topiladi, lekin ikki yoki undan ortiq sonlar uchun

Eng kichik umumiy ko'paytmani qanday topish mumkin?

Biz eng kichik umumiy karrali topadigan ikkita sonning har bir koeffitsientini topib, keyin birinchi va ikkinchi raqamlarga to'g'ri kelgan ko'paytmalarni bir-biriga ko'paytirishimiz kerak. Mahsulotning natijasi kerakli ko'p bo'ladi.

Misol uchun, bizda 3 va 5 raqamlari bor va biz LCMni (eng kichik umumiy ko'plik) topishimiz kerak. Biz ko'paytirilishi kerak va uch va besh 1 2 3 dan boshlanadigan barcha raqamlar uchun ... biz ko'rmagunimizcha va hokazo bir xil raqam bu yerda va u yerda.

Biz uchtani ko'paytiramiz va olamiz: 3, 6, 9, 12, 15

Beshni ko'paytiring va oling: 5, 10, 15

Bosh faktorizatsiya usuli bir nechta sonlarning eng kichik umumiy karrali (LCM) topish uchun eng klassik hisoblanadi. Ushbu usul quyidagi videoda aniq va sodda tarzda ko'rsatilgan:

Qo‘shish, ko‘paytirish, bo‘lish, umumiy maxrajga kamaytirish va boshqalar arifmetik amallar juda hayajonli faoliyat, butun varaqni egallagan misollar ayniqsa hayratga tushadi.

Shunday qilib, ikkita son uchun umumiy ko'paytmani toping, bu ikkita son bo'linadigan eng kichik son bo'ladi. Shuni ta'kidlashni istardimki, kelajakda izlayotgan narsangizni topish uchun formulalarga murojaat qilish shart emas, agar siz ongingizda hisoblashingiz mumkin bo'lsa (va buni o'rgatish mumkin), keyin raqamlarning o'zi sizning boshingizda paydo bo'ladi va keyin kasrlar yong'oq kabi chertadi.

Boshlash uchun biz ikkita sonni bir-biriga qarama-qarshi ko'paytirishimiz mumkinligini bilib olamiz va keyin bu raqamni kamaytiramiz va navbatma-navbat shu ikki raqamga bo'lamiz, shuning uchun biz eng kichik ko'paytmani topamiz.

Misol uchun, ikkita raqam 15 va 6. Biz ko'paytiramiz va 90 ni olamiz. Bu aniq ko'proq raqam. Bundan tashqari, 15 3 ga bo'linadi va 6 3 ga bo'linadi, ya'ni biz ham 90 ni 3 ga bo'lamiz. Biz 30 ni olamiz. 30 ni 15 ga bo'lishga harakat qilamiz 2. Va 30 bo'lsa 6 ni 5 ga bo'ladi. 2 chegara bo'lgani uchun, 15 va 6 sonlari uchun eng kichik karrali 30 bo'ladi.

Ko'proq raqamlar bilan biroz qiyinroq bo'ladi. lekin agar siz bo'lingan yoki ko'paytirilganda qaysi raqamlar nol qoldiqni berishini bilsangiz, unda, printsipial jihatdan, katta qiyinchiliklar bo'lmaydi.

MOKni qanday topish mumkin

Mana sizga eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) topishning ikkita usulini ko'rsatadigan video. Taklif etilgan usullardan birinchisini qo'llash orqali siz eng kichik umumiy ko'paytma nima ekanligini yaxshiroq tushunishingiz mumkin.

Eng kichik umumiy ko'paytmani topishning yana bir usuli. Keling, illyustrativ misolni ko'rib chiqaylik.

Bir vaqtning o'zida uchta raqamning LCM ni topish kerak: 16, 20 va 28.

Biz har bir raqamni uning tub omillari mahsuloti sifatida ifodalaymiz:

Biz barcha asosiy omillarning kuchlarini yozamiz:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

Biz eng katta darajali barcha tub bo'luvchilarni (ko'paytirgichlarni) tanlaymiz, ularni ko'paytiramiz va LCMni topamiz:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Shunday qilib, hisob-kitob natijasida 560 soni olindi.U eng kichik umumiy karradir, ya'ni u uchta sonning har biriga qoldiqsiz bo'linadi.

Eng kichik umumiy ko'paytma - bu bir nechta berilgan sonlarga qoldiqsiz bo'linadigan son. Bunday ko'rsatkichni hisoblash uchun siz har bir raqamni olishingiz va uni oddiy omillarga ajratishingiz kerak. Mos keladigan raqamlar o'chiriladi. Har kimni birma-bir qoldiradi, ularni navbatma-navbat bir-biriga ko'paytiradi va kerakli narsani - eng kam umumiy ko'paytiradi.

NOC, yoki eng kichik umumiy karra, eng kichiki natural son berilgan sonlarning har biriga qoldiqsiz bo'linadigan ikki yoki undan ortiq sonlar.

30 va 42 ning eng kichik umumiy karralini qanday topishga misol keltiramiz.

Birinchi qadam bu raqamlarni tub omillarga ajratishdir.

30 uchun bu 2 x 3 x 5.

42 uchun bu 2 x 3 x 7. 2 va 3 30 sonining kengayishida bo'lgani uchun biz ularni kesib tashlaymiz.

30 sonining kengayishi tarkibiga kiradigan omillarni yozamiz. Bu 2 x 3 x 5.
Endi siz ularni etishmayotgan omilga ko'paytirishingiz kerak, bizda 42 ni parchalashda mavjud va bu 7. Biz 2 x 3 x 5 x 7 ni olamiz.
2 x 3 x 5 x 7 ga teng bo'lgan narsani topamiz va 210 ni olamiz.

Natijada, biz 30 va 42 raqamlarining LCM 210 ekanligini olamiz.

Eng kichik umumiy karralini topish uchun, ketma-ket bir necha oddiy qadamlarni bajarishingiz kerak. Buni ikkita raqam misolida ko'rib chiqing: 8 va 12

Ikkala raqamni tub ko'paytmalarga ajratamiz: 8=2*2*2 va 12=3*2*2
Raqamlardan biri uchun bir xil ko'paytirgichlarni kamaytiramiz. Bizning holatda, 2 * 2 mos keladi, biz ularni 12 raqamiga qisqartiramiz, keyin 12 bitta omilga ega bo'ladi: 3.
Qolgan barcha omillarning ko‘paytmasini toping: 2*2*2*3=24

Tekshirib, biz 24 ning ham 8, ham 12 ga bo'linishiga ishonch hosil qilamiz va bu sonlarning har biriga bo'linadigan eng kichik natural sondir. Biz shu yerdamiz eng kichik umumiy karralini toping.

Men 6 va 8 raqamlari misolida tushuntirishga harakat qilaman. Eng kichik umumiy ko'paytma bu sonlarga bo'linadigan sondir (bizning holatimizda 6 va 8) va qoldiq bo'lmaydi.

Shunday qilib, biz birinchi 6 ni 1, 2, 3, va hokazo va 8 ni 1, 2, 3 va hokazolarga ko'paytirishni boshlaymiz.

a va b sonlari qoldiqsiz bo'linadigan eng katta natural son deyiladi eng katta umumiy bo'luvchi bu raqamlar. GCD(a, b)ni belgilang.

Ikkita natural son 18 va 60 misolidan foydalanib, GCD ni topishni ko'rib chiqing:

1 Raqamlarni tub omillarga ajratamiz:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Birinchi raqamni kengaytirishdan ikkinchi raqamni kengaytirishga kirmaydigan barcha omillarni o'chiring, biz olamiz 2×3×3 .

3 Chizilgandan keyin qolgan tub omillarni ko'paytiramiz va sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisini olamiz: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 E'tibor bering, birinchi yoki ikkinchi raqamdan omillarni kesib tashlashimiz muhim emas, natija bir xil bo'ladi:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 va 432

Raqamlarni tub omillarga ajratamiz:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Koeffitsientlari ikkinchi va uchinchi raqamlarda bo'lmagan birinchi raqamni o'chiring:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

GCD natijasida ( 324 , 111 , 432 )=3

Evklid algoritmi yordamida GCD ni topish

Eng katta umumiy bo'luvchini topishning ikkinchi usuli Evklid algoritmi. Evklidning algoritmi eng ko'p samarali usul topish GCD, undan foydalanib, siz doimiy ravishda raqamlar bo'linishining qolgan qismini topib, amal qilishingiz kerak takrorlanuvchi formula.

Takroriy formula GCD uchun, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), bu erda a mod b - a ga b bo'lishning qoldig'i.

Evklid algoritmi

Misol Sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisini toping 7920 va 594

Keling, GCD( 7920 , 594 ) Evklid algoritmidan foydalanib, bo'linishning qolgan qismini kalkulyator yordamida hisoblaymiz.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Natijada biz GCD ( 7920 , 594 ) = 198

Eng kichik umumiy ko'plik

Kasrlarni qo`shish va ayirishda umumiy maxrajni topish turli denominatorlar bilishi va hisoblay olishi kerak eng kichik umumiy karra(MOK).

“A” sonining karrali o‘zi “a” soniga qoldiqsiz bo‘linadigan sondir.

8 ga karrali sonlar (ya'ni bu raqamlar 8 ga qoldiqsiz bo'linadi): bular 16, 24, 32 ...

9 ning koʻpaytmalari: 18, 27, 36, 45…

Berilgan a sonining bir xil sonning bo'luvchilaridan farqli o'laroq, cheksiz ko'p karralilari mavjud. Bo'luvchilar - chekli son.

Ikki natural sonning umumiy karrali bu ikkala songa teng boʻlinadigan sondir..

Eng kichik umumiy ko'plik Ikki yoki undan ortiq natural sonlar (LCM) bu sonlarning har biriga boʻlinadigan eng kichik natural sondir.

MOKni qanday topish mumkin

LCM ikki shaklda topilishi va yozilishi mumkin.

LCMni topishning birinchi usuli

Bu usul odatda kichik raqamlar uchun qo'llaniladi.

Ikkala raqam uchun bir xil bo'lgan ko'paytma hosil bo'lguncha qatordagi raqamlarning har biri uchun ko'paytmalarni yozamiz.
"A" sonining ko'pligi "K" bosh harfi bilan belgilanadi.

Misol. LCM 6 va 8 ni toping.

LCMni topishning ikkinchi usuli

Ushbu usul uch yoki undan ortiq raqamlar uchun LCMni topish uchun foydalanish uchun qulaydir.

Raqamlarning kengayishidagi bir xil omillar soni har xil bo'lishi mumkin.

Kichik sonni kengaytirishda (kichikroq raqamlar) kattaroq sonni kengaytirishga kirmagan omillarni (bizning misolimizda 2) ta'kidlang va bu omillarni kattaroq sonni kengaytirishga qo'shing.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Olingan ishni javob sifatida yozib oling.
Javob: LCM (24, 60) = 120

Shuningdek, siz eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) topishni quyidagicha rasmiylashtirishingiz mumkin. LCM ni topamiz (12, 16, 24).

24 = 2 2 2 3

Raqamlarning kengayishidan ko'rinib turibdiki, 12 ning barcha omillari 24 ning kengayishiga (sonlarning eng kattasi) kiradi, shuning uchun biz 16 raqamining kengayishidan LCMga faqat bitta 2 qo'shamiz.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Javob: LCM (12, 16, 24) = 48

MOKni topishning alohida holatlari

Agar raqamlardan biri boshqalarga teng bo'linadigan bo'lsa, bu sonlarning eng kichik umumiy karrali bu songa teng bo'ladi.

Masalan, LCM(60, 15) = 60
Koʻp tub sonlarning umumiy tub boʻluvchilari boʻlmagani uchun ularning eng kichik umumiy karrali shu sonlarning koʻpaytmasiga teng.

Bizning veb-saytimizda siz hisob-kitoblaringizni tekshirish uchun onlaynda eng kam umumiy ko'p sonni topish uchun maxsus kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin.

Agar natural son faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan bo'lsa, u tub son deyiladi.

Har qanday natural son har doim 1 ga va o'ziga bo'linadi.

2 raqami eng kichik tub sondir. Bu yagona juft tub son, qolgan tub sonlar toqdir.

Ko'p tub sonlar mavjud va ular orasida birinchisi 2 raqamidir. Biroq, oxirgi tub raqam yo'q. "O'qish uchun" bo'limida siz 997 gacha bo'lgan tub sonlar jadvalini yuklab olishingiz mumkin.

Lekin ko'pgina natural sonlar boshqa natural sonlarga teng bo'linadi.

12 soni 1 ga, 2 ga, 3 ga, 4 ga, 6 ga, 12 ga bo'linadi;
36 soni 1 ga, 2 ga, 3 ga, 4 ga, 6 ga, 12 ga, 18 ga, 36 ga bo‘linadi.

Raqam teng bo'linadigan raqamlar (12 uchun bular 1, 2, 3, 4, 6 va 12) sonning bo'luvchilari deyiladi.

A natural sonning bo'luvchisi shunday natural son bo'lib, berilgan "a" sonni qoldiqsiz bo'ladi.

Ikki dan ortiq koeffitsientga ega bo'lgan natural son kompozit son deyiladi.

E'tibor bering, 12 va 36 raqamlari umumiy bo'luvchilarga ega. Bu raqamlar: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu raqamlarning eng katta bo'luvchisi 12 ga teng.

Berilgan ikkita "a" va "b" sonlarning umumiy bo'luvchisi bu ikkala berilgan "a" va "b" sonlar qoldiqsiz bo'lingan sondir.

Eng katta umumiy boʻluvchi(gcd) ikkita berilgan sonlar "a" va "b" bo'ladi eng katta raqam, unga ko'ra "a" va "b" sonlari qoldiqsiz bo'linadi.

Qisqacha aytganda, "a" va "b" sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisi quyidagicha yoziladi:

Misol: gcd (12; 36) = 12 .

Yechim yozuvidagi raqamlarning bo'luvchilari "D" bosh harfi bilan belgilanadi.

7 va 9 raqamlari faqat bitta umumiy bo'luvchiga ega - 1 raqami. Bunday raqamlar chaqiriladi umumiy sonlar.

Koʻpaytirish raqamlari faqat bitta umumiy bo'luvchiga ega bo'lgan natural sonlar - 1 raqami. Ularning GCD 1 ga teng.

Eng katta umumiy bo'luvchini qanday topish mumkin

Ikki yoki undan ortiq natural sonlarning gcd ni topish uchun sizga kerak:

sonlarning bo‘luvchilarini tub ko‘paytuvchilarga ajratish;

Hisob-kitoblar vertikal chiziq yordamida qulay tarzda yoziladi. Qatorning chap tomonida birinchi navbatda dividendni, o'ngda - bo'luvchini yozing. Keyinchalik chap ustunda biz shaxsiy qiymatlarni yozamiz.

Keling, darhol misol bilan tushuntiramiz. 28 va 64 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajratamiz.

64 = 2 2 2 2 2 2
Biz bir xil tub omillarning mahsulotini topamiz va javobni yozamiz;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Javob: GCD (28; 64) = 4

GCD ning joylashishini ikkita usulda tartibga solishingiz mumkin: ustunda (yuqorida qilinganidek) yoki "qatorda".

GCD yozishning birinchi usuli

GCD 48 va 36 ni toping.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

GCD yozishning ikkinchi usuli

Endi GCD qidiruv yechimini qatorga yozamiz. GCD 10 va 15 ni toping.

Bizning ma'lumot saytimizda siz o'zingizning hisob-kitoblaringizni tekshirish uchun yordamchi dastur yordamida onlaynda eng katta umumiy bo'luvchini topishingiz mumkin.

Eng kichik umumiy ko'paytmani topish, LCMni topish usullari, misollari.

Quyida keltirilgan material LCM - Eng kam umumiy ko'plik, ta'rif, misollar, LCM va GCD o'rtasidagi munosabatlar sarlavhasi ostidagi maqoladan nazariyaning mantiqiy davomidir. Bu erda biz gaplashamiz eng kichik umumiy ko'paytmani topish (LCM), va Maxsus e'tibor Keling, misollarni ko'rib chiqaylik. Keling, avval ushbu raqamlarning GCD bo'yicha ikkita raqamning LCM qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz. Keyinchalik, sonlarni tub omillarga ajratish orqali eng kichik umumiy ko'paytmani topishni ko'rib chiqing. Shundan so'ng, biz uchta va LCM ni topishga e'tibor qaratamiz Ko'proq raqamlar, shuningdek, salbiy sonlarning LCM ni hisoblashga e'tibor bering.

Sahifani navigatsiya qilish.

Eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) gcd orqali hisoblash

Eng kichik umumiy ko'paytmani topishning bir usuli LCM va GCD o'rtasidagi munosabatlarga asoslanadi. LCM va GCD o'rtasidagi mavjud munosabat sizga ma'lum bo'lgan eng katta umumiy bo'luvchi orqali ikkita musbat butun sonning eng kichik umumiy ko'paytmasini hisoblash imkonini beradi. Tegishli formulada shakl mavjud LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Yuqoridagi formula bo'yicha LCMni topish misollarini ko'rib chiqing.

126 va 70 ikkita sonning eng kichik umumiy karralini toping.

Bu misolda a=126 , b=70 . LCM(a, b)=a b formulasi bilan ifodalangan LCM ning GCD bilan bog’lanishidan foydalanamiz: GCM(a, b) . Ya'ni, avval 70 va 126 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisini topishimiz kerak, shundan so'ng biz yozma formula bo'yicha bu raqamlarning LCM ni hisoblashimiz mumkin.

Evklid algoritmi yordamida gcd(126, 70) ni toping: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , demak gcd(126, 70)=14 .

Endi biz kerakli eng kichik umumiy karrani topamiz: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

LCM(68, 34) nima?

68 34 ga teng bo'linishi uchun gcd(68, 34)=34 bo'ladi. Endi biz eng kichik umumiy karralini hisoblaymiz: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

E'tibor bering, oldingi misol a va b musbat butun sonlar uchun LCMni topish uchun quyidagi qoidaga mos keladi: agar a soni b ga bo'linadigan bo'lsa, bu sonlarning eng kichik umumiy karrali a dir.

Raqamlarni asosiy omillarga ajratish orqali LCMni topish

Eng kichik umumiy ko'paytmani topishning yana bir usuli raqamlarni tub omillarga ajratishga asoslangan. Agar biz ushbu sonlarning barcha tub omillarining ko'paytmasini yasasak, shundan so'ng biz ushbu ko'paytmadan ushbu sonlarning kengayishlarida mavjud bo'lgan barcha umumiy tub omillarni chiqarib tashlasak, natijada hosil bo'lgan ko'paytma bu sonlarning eng kichik umumiy ko'paytmasiga teng bo'ladi.

LCMni topish uchun e'lon qilingan qoida LCM(a, b)=a b tengligidan kelib chiqadi: GCM(a, b) . Haqiqatan ham, a va b sonlarining ko'paytmasi a va b sonlarining kengayishiga jalb qilingan barcha omillarning mahsulotiga teng. O'z navbatida, gcd(a, b) a va b sonlarining kengayishlarida bir vaqtning o'zida mavjud bo'lgan barcha tub omillarning ko'paytmasiga teng (bu sonlarni tub omillarga ajratish yordamida gcd ni topish bo'limida tasvirlangan. ).

Keling, bir misol keltiraylik. 75=3 5 5 va 210=2 3 5 7 ekanligini bilib olaylik. Ushbu kengayishlarning barcha omillari ko'paytmasini tuzing: 2 3 3 5 5 5 7 . Endi biz bu mahsulotdan 75 sonining kengayishida ham, 210 sonining kengayishida ham mavjud bo'lgan barcha omillarni istisno qilamiz (bunday omillar 3 va 5), keyin mahsulot 2 3 5 5 7 ko'rinishini oladi. Bu ko'paytmaning qiymati 75 va 210 ning eng kichik umumiy ko'paytmasiga teng, ya'ni LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

441 va 700 sonlarini tub ko‘paytuvchilarga ajratgandan so‘ng, bu sonlarning eng kichik umumiy karralini toping.

441 va 700 sonlarini tub ko‘paytuvchilarga ajratamiz:

Biz 441=3 3 7 7 va 700=2 2 5 5 7 ni olamiz.

Endi bu sonlarning kengayishlarida ishtirok etuvchi barcha omillarning ko‘paytmasini yasaymiz: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Keling, ushbu mahsulotdan ikkala kengaytmada bir vaqtning o'zida mavjud bo'lgan barcha omillarni chiqarib tashlaylik (bunday omil faqat bitta - bu 7 raqami): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Demak, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

Raqamlarni tub omillarga ajratish yordamida LCMni topish qoidasi biroz boshqacha shakllantirilishi mumkin. Agar b sonining kengayishidagi etishmayotgan omillarni a sonining kengayishidagi omillarga qo'shsak, hosil bo'lgan ko'paytmaning qiymati a va b sonlarining eng kichik umumiy ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Masalan, barcha bir xil 75 va 210 raqamlarini olaylik, ularning tub ko'paytmalarga kengayishi quyidagicha: 75=3 5 5 va 210=2 3 5 7 . 75 sonining kengayishidan 3, 5 va 5 koeffitsientlarga 210 sonining kengayishidan etishmayotgan 2 va 7 koeffitsientlarni qo'shamiz, biz 2 3 5 5 7 ko'paytmani olamiz, qiymati LCM(75) , 210).

84 va 648 ning eng kichik umumiy karralini toping.

Biz birinchi navbatda 84 va 648 sonlarining tub omillarga bo'linishini olamiz. Ular 84=2 2 3 7 va 648=2 2 2 3 3 3 3 ga oʻxshaydi. 84 sonining kengayishidan 2, 2, 3 va 7 koeffitsientlariga 648 sonining kengayishidan etishmayotgan 2, 3, 3 va 3 koeffitsientlarni qo'shamiz, 2 2 2 3 3 3 3 7 ko'paytmani olamiz, Bu 4 536 ga teng. Shunday qilib, 84 va 648 raqamlarining kerakli eng kichik umumiy karrali 4536 ga teng.

Uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topish

Uch yoki undan ortiq sonning eng kichik umumiy karralini ketma-ket ikki raqamning LCM ni topish orqali topish mumkin. Uch yoki undan ortiq sonlarning LCM ni topishga imkon beruvchi tegishli teoremani eslang.

a 1 , a 2 , …, a k musbat sonlar berilsin, bu sonlarning eng kichik umumiy karrali m k ketma-ket hisoblashda topiladi m 2 = LCM (a 1, a 2) , m 3 = LCM (m 2, a). 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Ushbu teoremaning to'rtta sonning eng kichik umumiy karralini topish misolida qo'llanilishini ko'rib chiqing.

140, 9, 54 va 250 to'rtta sonning LCM ni toping.

Avval m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9) ni topamiz. Buning uchun Evklid algoritmidan foydalanib, gcd(140, 9) ni aniqlaymiz, bizda 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , demak, gcd( 140, 9)=1 , bundan LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Ya'ni, m 2 =1 260 .

Endi biz m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54) ni topamiz. Uni gcd(1 260, 54) orqali hisoblaymiz, u ham Evklid algoritmi bilan aniqlanadi: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . U holda gcd(1 260, 54)=18 , shundan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Ya'ni, m 3 \u003d 3 780.

m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) ni topish qoladi. Buning uchun Evklid algoritmi yordamida GCD(3 780, 250) topamiz: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Demak, gcd(3 780, 250)=10 , demak, LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Ya'ni, m 4 \u003d 94 500.

Shunday qilib, asl to'rtta sonning eng kichik umumiy karrali 94 500 ga teng.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

Ko'pgina hollarda, uchta yoki undan ko'p sonning eng kichik umumiy karrali berilgan sonlarni tub faktorizatsiyalash yordamida qulay tarzda topiladi. Shu bilan birga, unga rioya qilish kerak keyingi qoida. Bir necha sonning eng kichik umumiy karrali ko‘paytmaga teng bo‘lib, u quyidagicha tuziladi: ikkinchi sonning kengayishidagi etishmayotgan omillar birinchi sonning kengayishidan barcha omillarga, kengayishidan yetishmayotgan omillarga qo‘shiladi. uchinchi raqam olingan omillarga qo'shiladi va hokazo.

Raqamlarni tub omillarga ajratish yordamida eng kichik umumiy ko'paytmani topish misolini ko'rib chiqing.

84 , 6 , 48 , 7 , 143 besh sonning eng kichik umumiy karralini toping.

Birinchidan, bu sonlarning tub ko‘paytuvchilarga bo‘linishini olamiz: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 tub son, u tub ko‘paytuvchilarga ajralishi bilan mos keladi) va 143=11 13 .

Ushbu raqamlarning LCM ni topish uchun birinchi raqam 84 ning koeffitsientlariga (ular 2 , 2 , 3 va 7 ) ikkinchi raqam 6 kengayishidan etishmayotgan omillarni qo'shish kerak. 6 raqamining kengayishi etishmayotgan omillarni o'z ichiga olmaydi, chunki 2 va 3 birinchi raqam 84 ning kengayishida allaqachon mavjud. 2, 2, 3 va 7 omillarga uchinchi raqam 48 kengayishidan etishmayotgan 2 va 2 omillarni qo'shamiz, biz 2, 2, 2, 2, 3 va 7 omillar to'plamini olamiz. Keyingi bosqichda ushbu to'plamga omillar qo'shishning hojati yo'q, chunki unda 7 allaqachon mavjud. Nihoyat, 2, 2, 2, 2, 3 va 7 omillarga 143 raqamining kengayishidan etishmayotgan 11 va 13 omillarni qo'shamiz. Biz 2 2 2 2 3 7 11 13 ko'paytmani olamiz, bu 48 048 ga teng.

Demak, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.

Manfiy sonlarning eng kichik umumiy karralini topish

Ba'zida bitta, bir nechta yoki barcha raqamlar salbiy bo'lgan raqamlarning eng kichik umumiy ko'pligini topish kerak bo'lgan vazifalar mavjud. Bunday hollarda, barcha manfiy sonlar ularning qarama-qarshi raqamlari bilan almashtirilishi kerak, shundan so'ng ijobiy sonlarning LCM ni topish kerak. Bu manfiy sonlarning LCM ni topish usuli. Masalan, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) va LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Buni qilishimiz mumkin, chunki a ning karrali to‘plami −a ning karrali to‘plami bilan bir xil (a va −a qarama-qarshi sonlar). Haqiqatan ham, b a ning qandaydir karrali bo'lsin, u holda b a ga bo'linadi va bo'linish tushunchasi b=a q bo'lgan shunday q butun sonining mavjudligini tasdiqlaydi. Lekin b=(−a)·(−q) tengligi ham to‘g‘ri bo‘ladi, bu bir xil bo‘linuvchanlik tushunchasi tufayli b ning −a ga bo‘linishini, ya’ni b ning −a ga karrali ekanligini bildiradi. Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar b −a ning bir necha karrali bo'lsa, b ham a ning karralisidir.

−145 va −45 manfiy sonlarning eng kichik umumiy karralini toping.

−145 va −45 manfiy sonlarni ularning qarama-qarshi sonlari 145 va 45 bilan almashtiramiz. Bizda LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) mavjud. gcd(145, 45)=5 ni aniqlab (masalan, Evklid algoritmidan foydalanib) LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 ni hisoblaymiz. Shunday qilib, -145 va -45 manfiy sonlarning eng kichik umumiy karrali 1305 ga teng.

www.cleverstudents.ru

Biz bo'limni o'rganishda davom etamiz. Ushbu darsda biz kabi tushunchalarni ko'rib chiqamiz GCD va MOQ.

GCD eng katta umumiy boʻluvchidir.

MOQ eng kichik umumiy karrali hisoblanadi.

Mavzu juda zerikarli, lekin uni tushunish kerak. Ushbu mavzuni tushunmasdan, siz matematikada haqiqiy to'siq bo'lgan kasrlar bilan samarali ishlay olmaysiz.

Eng katta umumiy boʻluvchi

Ta'rif. Raqamlarning eng katta umumiy boʻluvchisi a va b a va b qoldiqsiz bo'linadi.

Ushbu ta'rifni yaxshi tushunish uchun biz o'zgaruvchilar o'rniga almashtiramiz a va b har qanday ikkita raqam, masalan, o'zgaruvchi o'rniga a o'zgaruvchi o'rniga 12 raqamini va o'rniga qo'ying b raqami 9. Endi ushbu ta'rifni o'qishga harakat qilaylik:

Raqamlarning eng katta umumiy boʻluvchisi 12 va 9 bo'lgan eng katta raqam 12 va 9 qoldiqsiz bo'linadi.

Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, biz 12 va 9 raqamlarining umumiy bo'luvchisi haqida gapiramiz va bu bo'luvchi barcha mavjud bo'luvchilarning eng kattasidir. Bu eng katta umumiy bo'luvchi (gcd) topilishi kerak.

Ikki sonning eng katta umumiy boʻluvchisini topish uchun uchta usul qoʻllaniladi. Birinchi usul ancha vaqt talab etadi, lekin u mavzuning mohiyatini yaxshi tushunish va uning butun ma'nosini his qilish imkonini beradi.

Ikkinchi va uchinchi usullar juda oddiy va GCD ni tezda topishga imkon beradi. Biz barcha uchta usulni ko'rib chiqamiz. Va amalda nimani qo'llash kerak - siz tanlaysiz.

Birinchi usul - ikkita sonning barcha mumkin bo'lgan bo'luvchilarini topish va ulardan eng kattasini tanlash. Keling, ushbu usulni quyidagi misolda ko'rib chiqaylik: 12 va 9 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisini toping.

Birinchidan, biz 12 sonining barcha mumkin bo'lgan bo'luvchilarini topamiz. Buning uchun biz 12 ni 1 dan 12 gacha bo'lgan barcha bo'luvchilarga ajratamiz. Agar bo'luvchi 12 ni qoldiqsiz bo'lishga imkon bersa, biz uni ko'k rang bilan ajratib ko'rsatamiz va qavs ichida tegishli tushuntirish bering.

12: 1 = 12
(12 ni 1 ga qoldiqsiz bo'linadi, shuning uchun 1 12 ning bo'luvchisidir)

12: 2 = 6
(12 ni 2 ga qoldiqsiz bo'linadi, shuning uchun 2 12 ning bo'luvchisidir)

12: 3 = 4
(12 3 ga qoldiqsiz bo'linadi, shuning uchun 3 12 ning bo'luvchisidir)

12: 4 = 3
(12 ni 4 ga qoldiqsiz bo'linadi, shuning uchun 4 12 ning bo'luvchisidir)

12:5 = 2 (2 ta chap)
(12 5 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, shuning uchun 5 12 ning bo'luvchisi emas)

12: 6 = 2
(12 ni 6 ga qoldiqsiz bo'linadi, shuning uchun 6 12 ning bo'luvchisidir)

12: 7 = 1 (5 ta chap)
(12 ga qoldiqsiz 7 ga bo'linmaydi, shuning uchun 7 12 ning bo'luvchisi emas)

12: 8 = 1 (4 ta chap)
(12 ga qoldiqsiz 8 ga bo'linmaydi, shuning uchun 8 12 ning bo'luvchisi emas)

12:9 = 1 (3 qoldi)
(12 9 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, shuning uchun 9 12 ning bo'luvchisi emas)

12: 10 = 1 (2 ta chap)
(12 10 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, shuning uchun 10 12 ning bo'luvchisi emas)

12:11 = 1 (1 qoldi)
(12 11 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, shuning uchun 11 12 ning bo'luvchisi emas)

12: 12 = 1
(12 ni 12 ga qoldiqsiz bo'linadi, shuning uchun 12 12 ning bo'luvchisidir)

Endi 9 sonining bo'luvchilarini topamiz. Buning uchun 1 dan 9 gacha bo'lgan barcha bo'luvchilarni tekshiring.

9: 1 = 9
(9 ni 1 ga qoldiqsiz bo'linadi, shuning uchun 1 9 ning bo'luvchisidir)

9: 2 = 4 (1 qoldi)
(9 2 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, shuning uchun 2 9 ning bo'luvchisi emas)

9: 3 = 3
(9 3 ga qoldiqsiz bo'linadi, shuning uchun 3 9 ning bo'luvchisidir)

9: 4 = 2 (1 qoldi)
(9 soni 4 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, shuning uchun 4 9 ning bo'luvchisi emas)

9:5 = 1 (4 ta chap)
(9 soni 5 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, shuning uchun 5 9 ning bo'luvchisi emas)

9: 6 = 1 (3 qoldi)
(9 6 ga qoldiqsiz bo'linmadi, shuning uchun 6 9 ning bo'luvchisi emas)

9:7 = 1 (2 qoldi)
(9 ga qoldiqsiz 7 ga bo'linmaydi, shuning uchun 7 9 ning bo'luvchisi emas)

9:8 = 1 (1 qoldi)
(9 8 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, shuning uchun 8 9 ning bo'luvchisi emas)

9: 9 = 1
(9 ni 9 ga qoldiqsiz bo'linadi, shuning uchun 9 9 ning bo'luvchisidir)

Endi ikkala raqamning bo'luvchilarini yozing. Ko'k rang bilan belgilangan raqamlar bo'luvchilardir. Keling, ularni yozamiz:

Bo'luvchilarni yozib bo'lgach, qaysi biri eng katta va eng keng tarqalganligini darhol aniqlashingiz mumkin.

Ta'rifga ko'ra, 12 va 9 ning eng katta umumiy bo'luvchisi 12 va 9 ning teng bo'linadigan sonidir. 12 va 9 sonlarining eng katta va umumiy boʻluvchisi 3 raqamidir

12 soni ham, 9 soni ham 3 ga qoldiqsiz bo'linadi:

Shunday qilib, gcd (12 va 9) = 3

GCDni topishning ikkinchi usuli

Endi eng katta umumiy bo'luvchini topishning ikkinchi usulini ko'rib chiqing. mohiyati bu usul har ikkala sonni tub koʻpaytiruvchilarga koʻpaytirish va umumiy sonlarni koʻpaytirishdir.

1-misol. 24 va 18 raqamlarining GCD ni toping

Birinchidan, ikkala raqamni tub omillarga ajratamiz:

Endi biz ularning umumiy omillarini ko'paytiramiz. Adashib qolmaslik uchun umumiy omillarni ta'kidlash mumkin.

Biz 24 raqamining parchalanishini ko'rib chiqamiz. Uning birinchi koeffitsienti 2. Biz 18 raqamining parchalanishida xuddi shu omilni qidiramiz va u ham borligini ko'ramiz. Ikkalasini ham ta'kidlaymiz:

Yana 24 raqamining parchalanishini ko'rib chiqamiz. Uning ikkinchi omili ham 2. Biz 18 raqamining parchalanishida xuddi shu omilni qidiramiz va u ikkinchi marta yo'qligini ko'ramiz. Keyin biz hech narsani ta'kidlamaymiz.

24 raqamini kengaytirishda keyingi ikkitasi 18 raqamini kengaytirishda ham etishmayapti.

Biz 24 raqamining parchalanishida oxirgi omilga o'tamiz. Bu 3 omil. Biz 18 sonining parchalanishida xuddi shu omilni qidiramiz va biz uning ham borligini ko'ramiz. Biz ikkala uchtasini ham ta'kidlaymiz:

Shunday qilib, 24 va 18 raqamlarining umumiy omillari 2 va 3 omillardir. GCD ni olish uchun ushbu omillarni ko'paytirish kerak:

Shunday qilib, gcd (24 va 18) = 6

GCDni topishning uchinchi usuli

Endi eng katta umumiy bo'luvchini topishning uchinchi usulini ko'rib chiqing. Bu usulning mohiyati shundan iboratki, eng katta umumiy bo‘luvchi qidiriladigan sonlar tub omillarga ajraladi. Keyin birinchi sonning parchalanishidan ikkinchi sonning parchalanishiga kirmagan omillar o'chiriladi. Birinchi kengayishdagi qolgan raqamlar ko'paytiriladi va GCD ni oladi.

Masalan, 28 va 16 raqamlari uchun GCD ni shu tarzda topamiz. Avvalo, biz bu raqamlarni tub omillarga ajratamiz:

Bizda ikkita kengaytma bor: va

Endi birinchi raqamni kengaytirishdan biz ikkinchi raqamni kengaytirishga kirmagan omillarni o'chirib tashlaymiz. Ikkinchi raqamning kengayishi ettitani o'z ichiga olmaydi. Biz uni birinchi kengaytmadan o'chirib tashlaymiz:

Endi biz qolgan omillarni ko'paytiramiz va GCDni olamiz:

4 soni 28 va 16 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisidir. Bu raqamlarning ikkalasi ham 4 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

2-misol 100 va 40 raqamlarining GCD ni toping

100 raqamini koeffitsientga chiqarish

40 raqamini ajratib olish

Bizda ikkita kengaytma mavjud:

Endi birinchi raqamni kengaytirishdan ikkinchi raqamni kengaytirishga kirmagan omillarni o'chirib tashlaymiz. Ikkinchi raqamning kengayishi bitta beshni o'z ichiga olmaydi (faqat bitta beshta). Biz uni birinchi parchalanishdan o'chirib tashlaymiz

Qolgan raqamlarni ko'paytiring:

Biz 20 degan javobni oldik. Demak, 20 soni 100 va 40 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisidir. Bu ikki raqam 20 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

GCD (100 va 40) = 20.

3-misol 72 va 128 sonlarining gcd ni toping

72 raqamini ajratib olish

128 raqamini ajratib olish

2×2×2×2×2×2×2

Endi birinchi raqamni kengaytirishdan ikkinchi raqamni kengaytirishga kirmagan omillarni o'chirib tashlaymiz. Ikkinchi raqamning kengayishi ikkita uchlikni o'z ichiga olmaydi (hech kim yo'q). Biz ularni birinchi kengaytmadan o'chirib tashlaymiz:

Biz 8 degan javobni oldik. Demak, 8 soni 72 va 128 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisidir. Bu ikki raqam 8 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

GCD (72 va 128) = 8

Bir nechta raqamlar uchun GCDni topish

Masalan, 18, 24 va 36 raqamlari uchun GCD ni topamiz

18 raqamini faktoring

24 raqamini faktoring

36 raqamini faktoring

Bizda uchta kengaytma mavjud:

Endi biz ushbu raqamlardagi umumiy omillarni tanlaymiz va ta'kidlaymiz. Umumiy omillar uchta raqamga kiritilishi kerak:

Biz 18, 24 va 36 raqamlari uchun umumiy omillar 2 va 3 omillar ekanligini ko'ramiz. Ushbu omillarni ko'paytirish orqali biz izlayotgan GCDni olamiz:

Biz 6 degan javobni oldik. Demak, 6 soni 18, 24 va 36 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisidir. Bu uchta raqam 6 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

GCD (18, 24 va 36) = 6

2-misol 12, 24, 36 va 42 raqamlari uchun gcd ni toping

Keling, har bir raqamni faktorlarga ajratamiz. Keyin bu sonlarning umumiy ko'paytmalari ko'paytmasini topamiz.

12 raqamini faktoring

42 raqamini faktoring

Bizda to'rtta kengaytma mavjud:

Endi biz ushbu raqamlardagi umumiy omillarni tanlaymiz va ta'kidlaymiz. Umumiy omillar barcha to'rtta raqamga kiritilishi kerak:

Biz 12, 24, 36 va 42 raqamlari uchun umumiy omillar 2 va 3 omillar ekanligini ko'ramiz. Ushbu omillarni ko'paytirish orqali biz izlayotgan GCDni olamiz:

Biz 6 degan javobni oldik. Demak, 6 soni 12, 24, 36 va 42 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisidir. Bu raqamlar 6 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

gcd(12, 24, 36 va 42) = 6

Oldingi darsdan bilamizki, agar biror son boshqasiga qoldiqsiz bo‘linsa, bu songa karrali deyiladi.

Ma’lum bo‘lishicha, ko‘paytma bir nechta sonlar uchun umumiy bo‘lishi mumkin. Va endi bizni ikkita raqamning ko'paytmasi qiziqtiradi, lekin u imkon qadar kichik bo'lishi kerak.

Ta'rif. Raqamlarning eng kichik umumiy karrali (LCM). a va b- a va b a va raqam b.

Ta'rif ikkita o'zgaruvchini o'z ichiga oladi a va b. Bu o‘zgaruvchilar o‘rniga istalgan ikkita raqamni qo‘yaylik. Masalan, o'zgaruvchi o'rniga a o'zgaruvchi o'rniga 9 raqamini va o'rniga qo'ying b Keling, 12 raqamini almashtiramiz. Endi ta'rifni o'qishga harakat qilaylik:

Raqamlarning eng kichik umumiy karrali (LCM). 9 va 12 - Bu eng kichik raqam, bu ko'p sonli 9 va 12 . Boshqacha qilib aytganda, bu songa qoldiqsiz bo'linadigan juda kichik son 9 va raqamda 12 .

Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, LCM 9 va 12 ga qoldiqsiz bo'linadigan eng kichik sondir. Bu LCM ni topish uchun talab qilinadi.

Eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) topishning ikki yo'li mavjud. Birinchi usul shundaki, siz ikkita sonning birinchi karralarini yozishingiz va keyin bu ko'paytmalar orasidan ikkala songa ham, kichikga ham umumiy bo'ladigan sonni tanlashingiz mumkin. Keling, ushbu usulni qo'llaymiz.

Avval 9 sonining birinchi karralilarini topamiz.9 ning karralarini topish uchun shu to'qqizni 1 dan 9 gacha bo'lgan sonlarga navbat bilan ko'paytirish kerak.Olingan javoblar 9 sonining karralari bo'ladi.Demak. , boshlaylik. Ko'p sonlar qizil rang bilan ajratib ko'rsatiladi:

Endi biz 12 raqamining ko'paytmalarini topamiz. Buning uchun biz 12 ni 1 dan 12 gacha bo'lgan barcha raqamlarga navbat bilan ko'paytiramiz.

Quyidagi muammoning yechimini ko'rib chiqing. Yigitning qadami 75 sm, qizning qadami esa 60 sm.Ularning ikkalasi ham butun son qadam tashlaydigan eng kichik masofani topish kerak.

Qaror. Yigitlar bosib o'tadigan butun yo'l 60 va 70 ga qoldiqsiz bo'linishi kerak, chunki ularning har biri butun sonli qadamlarni bajarishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, javob 75 va 60 ning karrali bo'lishi kerak.

Birinchidan, biz 75 raqami uchun barcha ko'paytmalarni yozamiz. Biz quyidagilarni olamiz:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Endi 60 ga karrali sonlarni yozamiz.

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Endi biz ikkala qatorda joylashgan raqamlarni topamiz.

Raqamlarning umumiy ko'paytmalari raqamlar, 300, 600 va boshqalar bo'ladi.

Ularning eng kichigi 300 raqamidir. Bu holda u 75 va 60 sonlarining eng kichik umumiy karrali deb ataladi.

Muammoning shartiga qaytadigan bo'lsak, yigitlar butun sonli qadam tashlaydigan eng kichik masofa 300 sm bo'ladi.O'g'il bola bu yo'ldan 4 qadamda boradi, qiz esa 5 qadam tashlashi kerak.

Eng kichik umumiy ko‘plikni topish

Ikki natural sonning eng kichik umumiy karrali a va b ning ham karrali eng kichik natural sondir.

Ikki sonning eng kichik umumiy karralini topish uchun bu sonlarning barcha karralarini ketma-ket yozish shart emas.

Siz quyidagi usuldan foydalanishingiz mumkin.

Eng kichik umumiy ko'paytmani qanday topish mumkin

Birinchidan, bu raqamlarni asosiy omillarga ajratishingiz kerak.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Endi birinchi sonning (2,2,3,5) kengayishidagi barcha omillarni yozamiz va unga ikkinchi raqamning (5) kengayishidan barcha etishmayotgan omillarni qo'shamiz.

Natijada biz tub sonlar qatorini olamiz: 2,2,3,5,5. Bu raqamlarning mahsuloti bu raqamlar uchun eng kam umumiy omil bo'ladi. 2*2*3*5*5 = 300.

Eng kichik umumiy karralini topishning umumiy sxemasi

1. Sonlarni tub ko‘paytuvchilarga ajrating.
2. Ulardan biriga kiruvchi tub omillarni yozing.
3. Bu omillarga qolganlarning parchalanishida bo'lganlarning hammasini qo'shing, lekin tanlanganida emas.
4. Yozilgan barcha omillarning mahsulotini toping.

Ushbu usul universaldir. U har qanday natural sonning eng kichik umumiy karralini topish uchun ishlatilishi mumkin.

Onlayn kalkulyator sizga ikkita yoki boshqa raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisini va eng kichik umumiy karralini tezda topish imkonini beradi.

GCD va NOC ni topish uchun kalkulyator

GCD va NOC toping

GCD va NOC topildi: 6433

Kalkulyatordan qanday foydalanish kerak

Kirish maydoniga raqamlarni kiriting
Noto'g'ri belgilar kiritilsa, kiritish maydoni qizil rang bilan ta'kidlanadi
"GCD va NOCni toping" tugmasini bosing.

Raqamlarni qanday kiritish kerak

Raqamlar bo'sh joy, nuqta yoki vergul bilan ajratilgan holda kiritiladi
Kiritilgan raqamlarning uzunligi cheklanmagan, shuning uchun uzun raqamlarning gcd va lcm larini topish qiyin bo'lmaydi

NOD va NOK nima?

Eng katta umumiy boʻluvchi bir nechta sonlar - barcha asl sonlar qoldiqsiz bo'linadigan eng katta natural son. Eng katta umumiy bo'luvchi qisqartma sifatida ifodalanadi GCD.
Eng kichik umumiy ko'plik bir nechta sonlar - asl sonlarning har biriga qoldiqsiz bo'linadigan eng kichik son. Eng kichik umumiy ko'paytma sifatida qisqartiriladi MOQ.

Raqam boshqa raqamga qoldiqsiz bo'linishini qanday tekshirish mumkin?

Bir son ikkinchisiga qoldiqsiz boʻlinish yoki boʻlinmasligini bilish uchun sonlarning boʻlinuvchanligining baʼzi xossalaridan foydalanish mumkin. Keyin, ularni birlashtirib, ularning ba'zilari va ularning kombinatsiyalariga bo'linish qobiliyatini tekshirish mumkin.

Raqamlarning bo'linuvchanligining ba'zi belgilari

1. Sonning 2 ga bo‘linuvchanlik belgisi
Raqam ikkiga bo‘linishini (juft bo‘ladimi) aniqlash uchun ushbu sonning oxirgi raqamiga qarash kifoya: agar u 0, 2, 4, 6 yoki 8 ga teng bo‘lsa, u holda son juft, bu 2 ga bo'linishini bildiradi.
Misol: 34938 soni 2 ga bo'linishini aniqlang.
Qaror: oxirgi raqamga qarang: 8 bu raqam ikkiga bo'linishini bildiradi.

2. Sonning 3 ga bo‘linuvchanlik belgisi
Raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linsa, raqam 3 ga bo'linadi. Shunday qilib, raqam 3 ga bo'linishini aniqlash uchun siz raqamlar yig'indisini hisoblashingiz va uning 3 ga bo'linishini tekshirishingiz kerak. Raqamlar yig'indisi juda katta bo'lib chiqsa ham, xuddi shu jarayonni takrorlashingiz mumkin. yana.
Misol: 34938 soni 3 ga bo'linishini aniqlang.
Qaror: raqamlar yig'indisini hisoblaymiz: 3+4+9+3+8 = 27. 27 3 ga bo'linadi, ya'ni son uchga bo'linadi.

3. Sonning 5 ga bo‘linuvchanlik belgisi
Agar oxirgi raqami nol yoki besh bo'lsa, raqam 5 ga bo'linadi.
Misol: 34938 soni 5 ga bo'linishini aniqlang.
Qaror: oxirgi raqamga qarang: 8 bu raqam beshga bo'linmasligini bildiradi.

4. Sonning 9 ga bo‘linuvchanlik belgisi
Bu belgi uchga boʻlinish belgisiga juda oʻxshaydi: raqamlar yigʻindisi 9 ga boʻlinadigan son 9 ga boʻlinadi.
Misol: 34938 soni 9 ga bo'linishini aniqlang.
Qaror: raqamlar yig'indisini hisoblaymiz: 3+4+9+3+8 = 27. 27 9 ga bo'linadi, ya'ni son to'qqizga bo'linadi.

Ikki raqamning GCD va LCM larini qanday topish mumkin

Ikki raqamning GCD ni qanday topish mumkin

Ko'pchilik oddiy tarzda ikki sonning eng katta umumiy boʻluvchisini hisoblash bu sonlarning barcha mumkin boʻlgan boʻluvchilarini topish va ulardan eng kattasini tanlashdir.

GCD (28, 36) ni topish misolidan foydalanib, ushbu usulni ko'rib chiqing:

Ikkala raqamni ham faktorlarga ajratamiz: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
Biz umumiy omillarni topamiz, ya'ni ikkala raqamda ham bor: 1, 2 va 2.
Biz ushbu omillarning mahsulotini hisoblaymiz: 1 2 2 \u003d 4 - bu 28 va 36 raqamlarining eng katta umumiy bo'linuvchisi.

Ikki raqamning LCM ni qanday topish mumkin

Ikki sonning eng kichik karralini topishning ikkita eng keng tarqalgan usuli mavjud. Birinchi usul shundaki, siz ikkita raqamning birinchi karralarini yozishingiz va keyin ular orasida ikkala raqam uchun umumiy bo'lgan va bir vaqtning o'zida eng kichik bo'lgan raqamni tanlashingiz mumkin. Ikkinchisi esa bu raqamlarning GCD ni topishdir. Keling, buni ko'rib chiqaylik.

LCMni hisoblash uchun siz asl raqamlarning mahsulotini hisoblashingiz va keyin uni ilgari topilgan GCD ga bo'lishingiz kerak. Xuddi shu 28 va 36 raqamlari uchun LCM ni topamiz:

28 va 36 sonlarining ko‘paytmasini toping: 28 36 = 1008
gcd(28, 36) allaqachon 4 ekanligi ma'lum
LCM (28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Bir nechta raqamlar uchun GCD va LCM topish

Eng katta umumiy bo'luvchini faqat ikkita emas, balki bir nechta raqamlar uchun topish mumkin. Buning uchun eng katta umumiy boʻluvchi uchun topiladigan sonlar tub koʻpaytuvchilarga ajratiladi, soʻngra bu sonlarning umumiy tub koʻpaytmalari koʻpaytmasi topiladi. Bundan tashqari, bir nechta raqamlarning GCD ni topish uchun siz quyidagi munosabatdan foydalanishingiz mumkin: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Xuddi shunday munosabat raqamlarning eng kichik umumiy karrali uchun ham amal qiladi: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Misol: 12, 32 va 36 raqamlari uchun GCD va LCM ni toping.

Birinchidan, raqamlarni koeffitsientlarga ajratamiz: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
Umumiy omillarni topamiz: 1, 2 va 2 .
Ularning mahsuloti gcd ni beradi: 1 2 2 = 4
Endi LCM ni topamiz: buning uchun birinchi navbatda LCM(12, 32) ni topamiz: 12 32 / 4 = 96 .
Barcha uchta raqamning LCM ni topish uchun siz GCD(96, 36) ni topishingiz kerak: 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
LCM (12, 32, 36) = 96 36/12 = 288.

Quyida keltirilgan material LCM sarlavhasi ostidagi maqoladan nazariyaning mantiqiy davomi - eng kam umumiy ko'plik, ta'rif, misollar, LCM va GCD o'rtasidagi munosabatlar. Bu erda biz gaplashamiz eng kichik umumiy ko'paytmani topish (LCM), va misollarni echishga alohida e'tibor bering. Keling, avval ushbu raqamlarning GCD bo'yicha ikkita raqamning LCM qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz. Keyinchalik, sonlarni tub omillarga ajratish orqali eng kichik umumiy ko'paytmani topishni ko'rib chiqing. Shundan so'ng, biz uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topishga e'tibor qaratamiz, shuningdek, manfiy sonlarning LCM ni hisoblashga e'tibor qaratamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) gcd orqali hisoblash

Eng kichik umumiy ko'paytmani topishning bir usuli LCM va GCD o'rtasidagi munosabatlarga asoslanadi. LCM va GCD o'rtasidagi mavjud munosabat sizga ma'lum bo'lgan eng katta umumiy bo'luvchi orqali ikkita musbat butun sonning eng kichik umumiy ko'paytmasini hisoblash imkonini beradi. Tegishli formulada shakl mavjud LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Yuqoridagi formula bo'yicha LCMni topish misollarini ko'rib chiqing.

Misol.

126 va 70 ikkita sonning eng kichik umumiy karralini toping.

Qaror.

Bu misolda a=126 , b=70 . Keling, formula bilan ifodalangan LCM va GCD o'rtasidagi munosabatdan foydalanaylik LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Ya'ni, avval 70 va 126 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisini topishimiz kerak, shundan so'ng biz yozma formula bo'yicha bu raqamlarning LCM ni hisoblashimiz mumkin.

Evklid algoritmi yordamida gcd(126, 70) ni toping: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , demak gcd(126, 70)=14 .

Endi biz kerakli eng kichik umumiy ko'paytmani topamiz: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Javob:

LCM(126, 70)=630 .

Misol.

LCM(68, 34) nima?

Qaror.

Sifatida 68 34 ga teng bo'linadi, keyin gcd(68, 34)=34 . Endi biz eng kichik umumiy ko'paytmani hisoblaymiz: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Javob:

LCM(68, 34)=68.

E'tibor bering, oldingi misol a va b musbat butun sonlar uchun LCM ni topish uchun quyidagi qoidaga mos keladi: agar a soni b ga bo'linadigan bo'lsa, u holda bu sonlarning eng kichik umumiy karrali a bo'ladi.

Raqamlarni asosiy omillarga ajratish orqali LCMni topish

LCMni topish uchun e'lon qilingan qoida tenglikdan kelib chiqadi LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Haqiqatan ham, a va b sonlarining ko'paytmasi a va b sonlarining kengayishiga jalb qilingan barcha omillarning mahsulotiga teng. O'z navbatida, gcd(a, b) a va b sonlarining kengayishlarida bir vaqtning o'zida mavjud bo'lgan barcha tub omillarning ko'paytmasiga teng (bu sonlarni tub omillarga ajratish yordamida gcd ni topish bo'limida tasvirlangan. ).

Keling, bir misol keltiraylik. 75=3 5 5 va 210=2 3 5 7 ekanligini bilib olaylik. Ushbu kengayishlarning barcha omillari ko'paytmasini tuzing: 2 3 3 5 5 5 7 . Endi biz bu mahsulotdan 75 sonining kengayishida ham, 210 sonining kengayishida ham mavjud bo'lgan barcha omillarni istisno qilamiz (bunday omillar 3 va 5), keyin mahsulot 2 3 5 5 7 ko'rinishini oladi. Ushbu mahsulotning qiymati 75 va 210 raqamlarining eng kichik umumiy ko'paytmasiga teng, ya'ni LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Misol.

441 va 700 sonlarini tub ko‘paytuvchilarga ajratgandan so‘ng, bu sonlarning eng kichik umumiy karralini toping.

Qaror.

441 va 700 sonlarini tub ko‘paytuvchilarga ajratamiz:

Biz 441=3 3 7 7 va 700=2 2 5 5 7 ni olamiz.

Javob:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Raqamlarni tub omillarga ajratish yordamida LCMni topish qoidasi biroz boshqacha shakllantirilishi mumkin. Agar b sonining kengayishidagi etishmayotgan omillarni a sonining parchalanishidagi omillarga qo'shsak, hosil bo'lgan mahsulotning qiymati a va b sonlarning eng kichik umumiy karraligacha teng bo'ladi..

Misol.

84 va 648 ning eng kichik umumiy karralini toping.

Qaror.

Javob:

LCM(84, 648)=4 536 .

Uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topish

Teorema.

a 1 , a 2 , …, a k musbat sonlar berilsin, bu sonlarning eng kichik umumiy karrali m k ketma-ket hisoblashda topiladi m 2 = LCM (a 1, a 2) , m 3 = LCM (m 2, a). 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Ushbu teoremaning to'rtta sonning eng kichik umumiy karralini topish misolida qo'llanilishini ko'rib chiqing.

Misol.

140, 9, 54 va 250 to'rtta sonning LCM ni toping.

Qaror.

Bu misolda a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Avval topamiz m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Buning uchun Evklid algoritmidan foydalanib, gcd(140, 9) ni aniqlaymiz, bizda 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , demak, gcd( 140, 9)=1 , qaerdan LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Ya'ni, m 2 =1 260 .

Endi topamiz m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Uni gcd(1 260, 54) orqali hisoblaymiz, u ham Evklid algoritmi bilan aniqlanadi: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . U holda gcd(1 260, 54)=18 , shundan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Ya'ni, m 3 \u003d 3 780.

Topish uchun chap m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Buning uchun Evklid algoritmi yordamida GCD(3 780, 250) topamiz: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Demak, gcd(3 780, 250)=10 , shundan gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Ya'ni, m 4 \u003d 94 500.

Shunday qilib, asl to'rtta sonning eng kichik umumiy karrali 94 500 ga teng.

Javob:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Ko'pgina hollarda, uchta yoki undan ko'p sonning eng kichik umumiy karrali berilgan sonlarni tub faktorizatsiyalash yordamida qulay tarzda topiladi. Bunday holda, quyidagi qoidaga amal qilish kerak. Bir necha sonning eng kichik umumiy karrali ko‘paytmaga teng bo‘lib, u quyidagicha tuziladi: ikkinchi sonning kengayishidagi etishmayotgan omillar birinchi sonning kengayishidan barcha omillarga, kengayishidan yetishmayotgan omillarga qo‘shiladi. uchinchi raqam olingan omillarga qo'shiladi va hokazo.

Raqamlarni tub omillarga ajratish yordamida eng kichik umumiy ko'paytmani topish misolini ko'rib chiqing.

Misol.

84 , 6 , 48 , 7 , 143 besh sonning eng kichik umumiy karralini toping.

Qaror.

Birinchidan, bu sonlarning tub ko‘paytmalarga bo‘linishini olamiz: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 tub ko‘paytmalar) va 143=11 13 .

Biz ham tavsiya qilamiz

Yuklanmoqda...

uy > Mashinasozlik

Sonning eng kichik umumiy karrali 2. Eng kichik umumiy karrali qanday topiladi, lekin ikki yoki undan ortiq sonlar uchun

MOKni qanday topish mumkin

324 , 111 va 432

Evklid algoritmi yordamida GCD ni topish

Evklid algoritmi

Misol Sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisini toping 7920 va 594

Eng kichik umumiy ko'plik

MOKni qanday topish mumkin

LCMni topishning birinchi usuli

LCMni topishning ikkinchi usuli

MOKni topishning alohida holatlari

Eng katta umumiy bo'luvchini qanday topish mumkin

GCD yozishning birinchi usuli

GCD yozishning ikkinchi usuli

Eng kichik umumiy ko'paytmani topish, LCMni topish usullari, misollari.

Eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) gcd orqali hisoblash

Raqamlarni asosiy omillarga ajratish orqali LCMni topish

Uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topish

Manfiy sonlarning eng kichik umumiy karralini topish

Eng katta umumiy boʻluvchi

GCDni topishning ikkinchi usuli

GCDni topishning uchinchi usuli

Bir nechta raqamlar uchun GCDni topish

Eng kichik umumiy ko‘plikni topish

Eng kichik umumiy ko'paytmani qanday topish mumkin

Eng kichik umumiy karralini topishning umumiy sxemasi

Kalkulyatordan qanday foydalanish kerak

Raqamlarni qanday kiritish kerak

NOD va NOK nima?

Raqam boshqa raqamga qoldiqsiz bo'linishini qanday tekshirish mumkin?

Raqamlarning bo'linuvchanligining ba'zi belgilari

Ikki raqamning GCD va LCM larini qanday topish mumkin

Ikki raqamning GCD ni qanday topish mumkin

Ikki raqamning LCM ni qanday topish mumkin

Bir nechta raqamlar uchun GCD va LCM topish

Eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) gcd orqali hisoblash

Raqamlarni asosiy omillarga ajratish orqali LCMni topish

Uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topish

Biz ham tavsiya qilamiz