Властивості синусів та косінусів формули. Основні тригонометричні тотожності

Тригонометрія - розділ математичної науки, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх використання у геометрії. Розвиток тригонометрії почався ще за часів античної Греції. За часів середньовіччя важливий внесок у розвиток цієї науки зробили вчені Близького Сходу та Індії.

Ця стаття присвячена базовим поняттям та визначенням тригонометрії. У ній розглянуто визначення основних тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Пояснено та проілюстровано їх зміст у контексті геометрії.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Спочатку визначення тригонометричних функцій, аргументом яких є кут, виражалися через співвідношення сторін прямокутного трикутника.

Визначення тригонометричних функцій

Синус кута (sin α) - відношення катета, що протилежить цьому куту, до гіпотенузи.

Косинус кута (cos α) – відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс кута (t g α) – відношення протилежного катета до прилеглого.

Котангенс кута (c t g α) - відношення прилеглого катета до протилежного.

Дані визначення дано для гострого кута прямокутного трикутника!

Наведемо ілюстрацію.

У трикутнику ABC із прямим кутом С синус кута А дорівнює відношенню катета BC до гіпотенузи AB.

Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу дозволяють обчислювати значення цих функцій за відомими довжинами сторін трикутника.

Важливо пам'ятати!

Область значень синуса і косинуса: від -1 до 1. Іншими словами синус і косинус набувають значення від -1 до 1. Область значень тангенса і котангенса - вся числова пряма, тобто ці функції можуть набувати будь-які значення.

Визначення, дані вище, відносяться до гострих кутів. У тригонометрії вводиться поняття кута повороту, величина якого, на відміну від гострого кута, не обмежена рамками від 0 до 90 градусів. Кут повороту в градусах або радіанах виражається будь-яким дійсним числом від ∞ до + ∞.

У цьому контексті можна дати визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута довільної величини. Уявімо одиничне коло з центром на початку декартової системи координат.

Початкова точка A з координатами (1 , 0) повертається навколо центру одиничного кола на деякий кут і переходить в точку A 1 . Визначення дається через координати точки A 1 (x, y).

Синус (sin) кута повороту

Синус кута повороту - це ордината точки A 1 (x , y). sin α = y

Косинус (cos) кута повороту

Косинус кута повороту α - це абсцис точки A 1 (x, y). cos α = х

Тангенс (tg) кута повороту

Тангенс кута повороту - це відношення ординати точки A 1 (x, y) до її абсцис. t g α = y x

Котангенс (ctg) кута повороту

Котангенс кута повороту α - це відношення абсцис точки A 1 (x , y) до її ординати. c t g α = x y

Синус та косинус визначені для будь-якого кута повороту. Це логічно, адже абсцису та ординату точки після повороту можна визначити за будь-якого вугілля. Інакше справа з тангенсом і котангенсом. Тангенс не визначено, коли точка після повороту перетворюється на точку з нульовою абсцисою (0 , 1) і (0 , - 1). У таких випадках вираз для тангенсу t g α = y x просто не має сенсу, тому що в ньому є поділ на нуль. Аналогічно ситуація із котангенсом. Відмінністю у тому, що котангенс не визначено у випадках, як у нуль звертається ордината точки.

Важливо пам'ятати!

Синус та косинус визначені для будь-яких кутів α.

Тангенс визначений для всіх кутів, крім α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z)

Котангенс визначений для всіх кутів, крім α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z)

При вирішенні практичних прикладів не кажуть "синус кута повороту α". Слова "кут повороту" просто опускають, маючи на увазі, що з контексту і так зрозуміло, про що йдеться.

Числа

Як бути з визначенням синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа, а не кута повороту?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом числа tназивається число, яке відповідно дорівнює синусу, косинусу, тангенсу та котангенсу в tрадіан.

Наприклад, синус числа 10 π дорівнює синусу кута повороту величиною 10 π рад.

Існує й інший підхід до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа. Розглянемо його докладніше.

Будь-якому дійсному числу tставиться у відповідність точка на одиничному колі з центром на початку прямокутної декартової системи координат. Синус, косинус, тангенс та котангенс визначаються через координати цієї точки.

Початкова точка на колі - точка A з координатами (1, 0).

Позитивному числу t

Негативному числу tвідповідає точка, в яку перейде початкова точка, якщо рухатиметься по колу проти годинникової стрілки та пройде шлях t .

Тепер, коли зв'язок числа та точки на колі встановлено, переходимо до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Синус (sin) числа t

Синус числа t- ордината точки одиничного кола, що відповідає числу t. sin t = y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t- абсцису точки одиничного кола, що відповідає числу t. cos t = x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t- відношення ординати до абсцисі точки одиничного кола, що відповідає числу t. t g t = y x = sin t cos t

Останні визначення знаходяться у відповідності і не суперечать визначенню, даному на початку цього пункту. Крапка на колі, що відповідає числу t, збігається з точкою, в яку переходить початкова точка після повороту на кут tрадіан.

Тригонометричні функції кутового та числового аргументу

Кожному значенню кута відповідає певне значення синуса і косинуса цього кута. Також, як усім кутам α, відмінним від α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) відповідає певне значення тангенсу. Котангенс, як сказано вище, визначений для всіх α, крім α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z).

Можна сказати, що sin α, cos α, t g α, c t g α - це функції кута альфа, або функції кутового аргументу.

Аналогічно можна говорити про синус, косінус, тангенс і котангенс, як про функції числового аргументу. Кожному дійсному числу tвідповідає певне значення синуса чи косинуса числа t. Усім числам, відмінним від π 2 + π · k, k ∈ Z відповідає значення тангенсу. Котангенс, аналогічно, визначений всім чисел, крім π · k , k ∈ Z.

Основні функції тригонометрії

Синус, косинус, тангенс та котангенс - основні тригонометричні функції.

З контексту зазвичай зрозуміло, з яким аргументом тригонометричної функції (кутовий аргумент чи числовий аргумент) ми маємо справу.

Повернемося до даних на самому початку визначенням та кутку альфа, що лежить у межах від 0 до 90 градусів. Тригонометричні визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу повністю узгоджуються з геометричними визначеннями, даними за допомогою співвідношень сторін прямокутного трикутника. Покажемо це.

Візьмемо одиничне коло з центром у прямокутній декартовій системі координат. Повернемо початкову точку A (1, 0) на кут величиною до 90 градусів і проведемо з отриманої точки A 1 (x, y) перпендикуляр до осі абсцис. В отриманому прямокутному трикутнику кут A 1 O H дорівнює куту повороту α довжина катета O H дорівнює абсцисі точки A 1 (x , y) . Довжина катета, що протилежить куту, дорівнює ординаті точки A 1 (x , y) , а довжина гіпотенузи дорівнює одиниці, тому що вона є радіусом одиничного кола.

Відповідно до визначення геометрії, синус кута α дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значить, визначення синуса гострого кута у прямокутному трикутнику через співвідношення сторін еквівалентно визначенню синуса кута повороту α при альфа лежачому в межах від 0 до 90 градусів.

Аналогічно відповідність визначень можна показати для косинуса, тангенсу та котангенсу.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

Вирішення тригонометричних рівнянь будь-якого рівня складності в кінцевому підсумку зводиться до вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. І в цьому найкращим помічником знову виявляється тригонометричне коло.

Згадаймо визначення косинуса та синуса.

Косинусом кута називається абсцисса (тобто координата по осі) точки на одиничному колі, що відповідає повороту на даний кут.

Синусом кута називається ордината (тобто координата по осі) точки на одиничному колі, що відповідає повороту на даний кут.

Позитивним напрямом руху по тригонометричному колу вважається рух проти годинникової стрілки. Повороту на 0 градусів (або 0 радіан) відповідає точка з координатами (1; 0)

Використовуємо ці визначення для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Розв'яжемо рівняння

Цьому рівнянню задовольняють такі значення кута повороту , які відповідають точкам кола, ордината яких дорівнює .

Відзначимо на осі ординат точку з ординатою:

Проведемо горизонтальну лінію паралельно осі абсцис до перетину з колом. Ми отримаємо дві точки, що лежать на колі і мають ординату. Ці точки відповідають кутам повороту на і радіан:

Якщо ми, вийшовши з точки, що відповідає куту повороту на радіан, обійдемо повне коло, то ми прийдемо в точку, яка відповідає куту повороту на радіан і має ту ж ординату. Тобто, цей кут повороту також задовольняє нашому рівнянню. Ми можемо робити скільки завгодно "холостих" оборотів, повертаючись у ту саму точку, і всі ці значення кутів задовольнятимуть нашому рівнянню. Число "холостих" оборотів позначимо буквою (або ). Оскільки ми можемо здійснювати ці обороти як і позитивному, і у негативному напрямі, (або ) можуть набувати будь-які цілі значення.

Тобто перша серія рішень вихідного рівняння має вигляд:

, , - безліч цілих чисел (1)

Аналогічно, друга серія рішень має вигляд:

, Де , . (2)

Як ви здогадалися, в основі цієї серії рішень лежить точка кола, що відповідає куту повороту на .

Ці дві серії рішень можна поєднати в один запис:

Якщо ми цього запису візьмемо (тобто парне ), ми отримаємо першу серію рішень.

Якщо ми в цьому записі візьмемо (тобто непарне), ми отримаємо другу серію рішень.

2. Тепер давайте вирішимо рівняння

Так як - це абсцисса точки одиничного кола, отриманого поворотом на кут, відзначимо на осі крапку з абсцисою:

Проведемо вертикальну лінію паралельно осі до перетину з колом. Ми отримаємо дві точки, що лежать на колі і мають абсцис. Ці точки відповідають кутам повороту на радіан. Згадаймо, що при русі за годинниковою стрілкою ми отримуємо негативний кут повороту:

Запишемо дві серії рішень:

,

,

(Ми потрапляємо в потрібну точку, пройшовши з головного повного кола, тобто .

Об'єднаємо ці дві серії в один запис:

3. Розв'яжемо рівняння

Лінія тангенсів проходить через точку з координатами (1,0) одиничного кола паралельно осі OY

Зазначимо на ній точку, з ординатою, що дорівнює 1 (ми шукаємо, тангенс яких кутів дорівнює 1):

З'єднаємо цю точку з початком координат прямою лінією та відзначимо точки перетину прямої з одиничним колом. Точки перетину прямої та кола відповідають кутам повороту на і :

Оскільки точки, що відповідають кутам повороту, які задовольняють нашому рівнянню, лежать на відстані радіан одна від одної, то ми можемо записати рішення таким чином:

4. Розв'яжемо рівняння

Лінія котангенсів проходить через точку з координатами одиничного кола паралельно осі.

Відзначимо на лінії котангенсів точку з абсцисою -1:

З'єднаємо цю точку з початком координат прямої та продовжимо її до перетину з колом. Ця пряма перетне коло в точках, що відповідають кутам повороту на і радіан:

Оскільки ці точки відстоять одна від одної на відстань, що дорівнює , то загальне рішення цього рівняння ми можемо записати так:

У наведених прикладах, що ілюструють рішення найпростіших тригонометричних рівнянь, були використані табличні значення тригонометричних функцій.

Однак, якщо в правій частині рівняння стоїть не табличного значення, то ми в загальне рішення рівняння підставляємо значення:

ОСОБЛИВІ РІШЕННЯ:

Зазначимо на колі точки, ордината яких дорівнює 0:

Зазначимо на колі єдину точку, ордината якої дорівнює 1:

Зазначимо на колі єдину точку, ордината якої дорівнює -1:

Оскільки прийнято вказувати значення, найближчі до нуля, рішення запишемо так:

Зазначимо на колі точки, абсцис яких дорівнює 0:

5.
Зазначимо на колі єдину точку, абсцис якої дорівнює 1:

Зазначимо на колі єдину точку, абсцис якої дорівнює -1:

І трохи складніші приклади:

1.

Синус дорівнює одиниці, якщо аргумент дорівнює

Аргумент у нашого синуса дорівнює, тому отримаємо:

Розділимо обидві частини рівності на 3:

Відповідь:

2.

Косинус дорівнює нулю, якщо аргумент косинуса дорівнює

Аргумент у нашого косинуса дорівнює, тому отримаємо:

Виразимо, для цього спочатку перенесемо вправо з протилежним знаком:

Спростимо праву частину:

Розділимо обидві частини на -2:

Зауважимо, що перед доданком знак не змінюється, оскільки k може приймати будь-які цілі значення.

Відповідь:

І насамкінець подивіться відеоурок "Відбір коренів у тригонометричному рівнянні за допомогою тригонометричного кола"

На цьому розмову про вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь ми закінчимо. Наступного разу ми з вами поговоримо про те, як вирішувати.

Спочатку синус і косинус виникли через необхідність розраховувати величини прямокутних трикутниках. Було помічено, що якщо значення градусної міри кутів у прямокутному трикутнику не змінювати, то співвідношення сторін, наскільки ці сторони не змінювалися в довжині, залишається завжди однаковим.

Саме так і було введено поняття синуса та косинуса. Синус гострого кута у прямокутному трикутнику – це відношення протилежного катета до гіпотенузи, а косинус – прилеглого до гіпотенузи.

Теореми косінусів та синусів

Але косинуси та синуси можуть застосовуватися не тільки у прямокутних трикутниках. Щоб знайти значення тупого чи гострого кута, сторони будь-якого трикутника, достатньо застосувати теорему косінусів та синусів.

Теорема косінусів досить проста: "Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін за вирахуванням подвоєного твору цих сторін на косинус кута між ними".

Існує два трактування теореми синусів: мала та розширена. Відповідно до малої: «У трикутнику кути пропорційні протилежним сторонам». Цю теорему часто розширюють за рахунок властивості описаної у трикутника кола: «У трикутнику кути пропорційні протилежним сторонам, а їх відношення дорівнює діаметру описаного кола».

Похідні

Похідна – математичний інструмент, що показує, як швидко змінюється функція щодо зміни її аргументу. Похідні використовуються , геометрії, і , ряд технічних дисциплін.

При розв'язанні задач потрібно знати табличні значення похідних тригонометричних функцій: синуса та косинуса. Похідною синуса є косинус, а косинуса – синус, але зі знаком «мінус».

Застосування в математиці

Особливо часто синуси та косинуси використовуються при вирішенні прямокутних трикутників та задач, пов'язаних з ними.

Зручність синусів і косінусів знайшло своє відображення й у техніці. Кути та сторони було просто оцінювати за теоремами косінусів та синусів, розбиваючи складні фігури та об'єкти на «прості» трикутники. Інженери і , часто мають справу з розрахунками співвідношення сторін і градусних заходів, витрачали чимало часу та зусиль для обчислення косінусів та синусів не табличних кутів.

Тоді на допомогу прийшли таблиці Брадіса, що містять тисячі значень синусів, косінусів, тангенсів і котангенсів різних кутів. У радянські часи деякі викладачі змушували своїх підопічних сторінки таблиць Брадіса напам'ять.

Радіан - кутова величина дуги, по довжині рівної радіусу або 57,295779513 градусів.

Градус (в геометрії) - 1/360 частина кола або 1/90 частина прямого кута.

π = 3.141592653589793238462… (приблизне значення числа Пі).

Таблиця косінусів для кутів: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330 °, 360 °.

Кут х (у градусах)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150 °	180 °	210°	225°	240°	270°	300 °	315°	330°	360°
Кут х (у радіанах)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Вивчення тригонометрії ми розпочнемо із прямокутного трикутника. Визначимо, що таке синус та косинус, а також тангенс та котангенс гострого кута. Це є основи тригонометрії.

Нагадаємо, що прямий кут- це кут, що дорівнює 90 градусів. Іншими словами, половина розгорнутого кута.

Гострий кут- Найменший 90 градусів.

Тупий кут- більший за 90 градусів. Щодо такого кута «тупий» - не образа, а математичний термін:-)

Намалюємо прямокутний трикутник. Прямий кут зазвичай позначається. Звернемо увагу, що сторона, що лежить навпроти кута, позначається тією ж літерою, лише невеликою. Так, сторона, що лежить навпроти кута A, позначається .

Кут позначається відповідною грецькою літерою.

Гіпотенузапрямокутного трикутника - це сторона, що лежить навпроти прямого кута.

Катети- Сторони, що лежать навпроти гострих кутів.

Катет, що лежить навпроти кута, називається протилежним(По відношенню до куту). Інший катет, що лежить на одній із сторін кута, називається прилеглим.

Сінусгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи:

Косинусгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

Тангенсгострого кута у прямокутному трикутнику - відношення протилежного катета до прилеглого:

Інше (рівносильне) визначення: тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:

Котангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до протилежного (або, що те саме, відношення косинуса до синуса):

Зверніть увагу на основні співвідношення для синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, які наведені нижче. Вони знадобляться нам при вирішенні завдань.

Давайте доведемо деякі з них.

Добре, ми дали визначення та записали формули. А для чого ж потрібні синус, косинус, тангенс і котангенс?

Ми знаємо, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює.

Знаємо співвідношення між сторонамипрямокутного трикутника. Це теорема Піфагора: .

Виходить, що знаючи два кути в трикутнику можна знайти третій. Знаючи дві сторони прямокутного трикутника, можна знайти третю. Отже, для кутів – своє співвідношення, для сторін – своє. А що робити, якщо в прямокутному трикутнику відомий один кут (крім прямого) і одна сторона, а треба знайти інші сторони?

З цим і зіткнулися люди у минулому, складаючи карти місцевості та зоряного неба. Адже не завжди можна безпосередньо виміряти усі сторони трикутника.

Синус, косинус і тангенс – їх ще називають тригонометричними функціями кута- дають співвідношення між сторонамиі кутамитрикутник. Знаючи кут, можна знайти всі його тригонометричні функції за спеціальними таблицями. А знаючи синуси, косинуси та тангенси кутів трикутника та одну з його сторін, можна знайти решту.

Ми також намалюємо таблицю значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для «хороших» кутів від до .

Зверніть увагу на два червоні прочерки в таблиці. При відповідних значеннях кутів тангенс та котангенс не існують.

Розберемо кілька завдань із тригонометрії з Банку завдань ФІПД.

1. У трикутнику кут дорівнює . Знайдіть .

Завдання вирішується за чотири секунди.

Оскільки , .

2 . У трикутнику кут дорівнює , , . Знайдіть .

Знайдемо за теоремою Піфагора.

Завдання вирішено.

Часто в задачах зустрічаються трикутники з кутами або з кутами і . Основні співвідношення для них запам'ятовуйте напам'ять!

Для трикутника з кутами і катет, що лежить навпроти кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Трикутник з кутами і рівнобедрений. У ньому гіпотенуза в рази більша за катет.

Ми розглянули завдання розв'язання прямокутних трикутників - тобто знаходження невідомих сторін чи кутів. Але це не все! У варіантах ЄДІ з математики безліч завдань, де фігурує синус, косинус, тангенс або котангенс зовнішнього кута трикутника. Про це – у наступній статті.

Розбираємось із простими поняттями: синус та косинуста обчислення косинуса у квадраті та синуса у квадраті.

Синус та косинус вивчаються у тригонометрії (науці про трикутники з прямим кутом).

Тому для початку згадаємо основні поняття прямокутного трикутника:

Гіпотенуза- Сторона, яка завжди лежить навпроти прямого кута (кута 90 градусів). Гіпотенуза – це найдовша сторона трикутника із прямим кутом.

Дві сторони, що залишилися в прямокутному трикутнику, називаються катетами.

Також слід пам'ятати, що три кути в трикутнику завжди мають суму 180°.

Тепер переходимо до косинусу та синусу кута альфа (∠α)(так можна назвати будь-який непрямий кут у трикутнику або використовувати як позначення ікс – «x», Що не змінює суті).

Синус кута альфа (sin ∠α)- це відношення протилежногокатета (сторона, що лежить навпроти відповідного кута) до гіпотенузи. Якщо дивитися на малюнку, то sin ∠ABC = AC/BC

Косинус кута альфа (cos ∠α)- Відношення прилеглогодо кута катета до гіпотенузи. Якщо знову дивитися на малюнку вище, то cos ∠ABC = AB / BC

І просто для нагадування: косинус і синус ніколи не будуть більше одиниці, тому що будь-який котить коротше за гіпотенузу (а гіпотенуза - це найдовша сторона будь-якого трикутника, адже найдовша сторона розташована навпроти найбільшого кута в трикутнику).

Косинус у квадраті, синус у квадраті

Тепер переходимо до основних тригонометричних формул: обчислення косинуса у квадраті та синуса у квадраті.

Для їх обчислення слід запам'ятати основне тригонометричне тотожність:

sin 2 α + cos 2 α = 1(Синус квадрат плюс косинус квадрат одного кута завжди дорівнюють одиниці).

З тригонометричного тотожності робимо висновки про синус:

sin 2 α = 1 - cos 2 α

синус квадрат альфадорівнює одиниці мінус косинус подвійного кута альфа і все це ділити на два.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​З тригонометричного тотожності робимо висновки про косінус:

cos 2 α = 1 - sin 2 α

або складніший варіант формули: косинус квадрат альфадорівнює одиниці плюс косинус подвійного кута альфа і ділимо все на два.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Ці дві складніші формули синуса у квадраті і косинуса у квадраті називають ще «зниження ступеня для квадратів тригонометричних функцій». Тобто. була друга ступінь, знизили до першої та обчислення стали зручніше.