Значення подвійного кута. Формули тригонометрії

Найчастіші питання

Чи можливо виготовити друк на документі за наданим зразком? Відповідь Так можливо. Надішліть на нашу електронну адресу скан-копію або фото хорошої якостіі ми виготовимо необхідний дублікат.

Які види оплати ви приймаєте? Відповідь Ви можете оплатити документ під час отримання на руки у кур'єра після того, як перевірите правильність заповнення та якість виконання диплома. Також це можна зробити в офісі поштових компаній, що пропонують послуги післяплати.
Всі умови доставки та оплати документів розписані у розділі «Оплата та доставка». Також готові вислухати Ваші пропозиції щодо умов доставки та оплати за документ.

Чи можу я бути певна, що після оформлення замовлення ви не зникнете з моїми грошима? Відповідь У сфері виготовлення дипломів у нас є досить тривалий досвід роботи. У нас є кілька сайтів, які постійно оновлюються. Наші фахівці працюють у різних куточках країни, виготовляючи понад 10 документів на день. За роки роботи наші документи допомогли багатьом людям вирішити проблеми працевлаштування або перейти до більш високооплачувана робота. Ми заробили довіру та визнання серед клієнтів, тому у нас зовсім немає причин чинити таким чином. Тим більше, що це просто неможливо зробити фізично: Ви оплачуєте своє замовлення в момент отримання на руки, передоплати немає.

Чи можу я замовити диплом будь-якого ВНЗ? Відповідь Загалом, так. Ми працюємо у цій сфері майже 12 років. За цей час сформувалася практично повна база видаваних документів майже всіх ВНЗ країни та різні рокивидачі. Все, що Вам потрібно – вибрати ВНЗ, спеціальність, документ та заповнити форму замовлення.

Що робити при виявленні в документі помилок та помилок? Відповідь Отримуючи документ у нашого кур'єра або поштової компанії, ми рекомендуємо ретельно перевірити всі деталі. Якщо буде виявлена ​​помилка, помилка або неточність, Ви маєте право не забирати диплом, при цьому потрібно вказати виявлені недоліки особисто кур'єру або письмовому виглядінадіславши лист на електронну пошту.
У найкоротший термін ми виправимо документ та повторно відправимо на вказану адресу. Зрозуміло, що пересилання буде оплачено нашою компанією.
Щоб уникнути подібних непорозумінь, перед тим, як заповнювати оригінальний бланк, ми надсилаємо на пошту замовнику макет майбутнього документа для перевірки та затвердження остаточного варіанта. Перед надсиланням документа кур'єром або поштою ми також робимо додаткове фотота відео (в т. ч. в ультрафіолетовому світінні), щоб Ви мали наочне уявлення про те, що отримаєте у підсумку.

Що потрібно зробити, щоб замовити диплом у вашій компанії? Відповідь Для замовлення документа (атестата, диплома, академічної довідки та ін.) необхідно заповнити онлайн форму замовлення на нашому сайті або повідомити свою електронну пошту, щоб ми вислали вам бланк анкети, який потрібно заповнити і надіслати назад нам.
Якщо ви не знаєте, що вказати в якомусь полі форми замовлення/анкети, залиште їх незаповненими. Всю інформацію, що бракує, ми тому уточнимо в телефонному режимі.

Останні відгуки

Валентина:

Ви врятували нашого сина від звільнення! Справа в тому, що недоучившись в інституті, син пішов до армії. А повернувшись, відновлюватись не захотів. Працював без диплома. Але нещодавно почали звільняти всіх, хто не має скоринки. Тож вирішили звернутися до вас і не пошкодували! Тепер спокійно працює та нічого не боїться! Спасибі!

Найчастіші питання

Чи можливо виготовити друк на документі за наданим зразком? Відповідь Так можливо. Надішліть на нашу електронну адресу скан-копію або фото гарної якості, і ми виготовимо необхідний дублікат.

Які види оплати ви приймаєте? Відповідь Ви можете оплатити документ під час отримання на руки у кур'єра після того, як перевірите правильність заповнення та якість виконання диплома. Також це можна зробити в офісі поштових компаній, що пропонують послуги післяплати.
Всі умови доставки та оплати документів розписані у розділі «Оплата та доставка». Також готові вислухати Ваші пропозиції щодо умов доставки та оплати за документ.

Чи можу я бути певна, що після оформлення замовлення ви не зникнете з моїми грошима? Відповідь У сфері виготовлення дипломів у нас є досить тривалий досвід роботи. У нас є кілька сайтів, які постійно оновлюються. Наші фахівці працюють у різних куточках країни, виготовляючи понад 10 документів на день. За роки роботи наші документи допомогли багатьом людям вирішити проблеми працевлаштування або перейти на високооплачувану роботу. Ми заробили довіру та визнання серед клієнтів, тому у нас зовсім немає причин чинити таким чином. Тим більше, що це просто неможливо зробити фізично: Ви оплачуєте своє замовлення в момент отримання на руки, передоплати немає.

Чи можу я замовити диплом будь-якого ВНЗ? Відповідь Загалом, так. Ми працюємо у цій сфері майже 12 років. За цей час сформувалася майже повна база видаваних документів багатьох ВНЗ країни та за різні роки видачі. Все, що Вам потрібно – вибрати ВНЗ, спеціальність, документ та заповнити форму замовлення.

Що робити при виявленні в документі помилок та помилок? Відповідь Отримуючи документ у нашого кур'єра або поштової компанії, ми рекомендуємо ретельно перевірити всі деталі. Якщо буде виявлено помилку, помилку або неточність, Ви маєте право не забирати диплом, при цьому потрібно вказати виявлені недоліки особисто кур'єру або письмово, надіславши листа на електронну пошту.
У найкоротший термін ми виправимо документ та повторно відправимо на вказану адресу. Зрозуміло, що пересилання буде оплачено нашою компанією.
Щоб уникнути подібних непорозумінь перед тим, як заповнювати оригінальний бланк, ми надсилаємо на пошту замовнику макет майбутнього документа, для перевірки та затвердження остаточного варіанту. Перед надсиланням документа кур'єром або поштою ми також робимо додаткове фото та відео (в т. ч. в ультрафіолетовому світінні), щоб Ви мали наочне уявлення про те, що отримаєте.

Що потрібно зробити, щоб замовити диплом у вашій компанії? Відповідь Для замовлення документа (атестата, диплома, академічної довідки та ін.) необхідно заповнити онлайн форму замовлення на нашому сайті або повідомити свою електронну пошту, щоб ми вислали вам бланк анкети, який потрібно заповнити і надіслати назад нам.
Якщо ви не знаєте, що вказати в якомусь полі форми замовлення/анкети, залиште їх незаповненими. Всю інформацію, що бракує, ми тому уточнимо в телефонному режимі.

Останні відгуки

Валентина:

Ви врятували нашого сина від звільнення! Справа в тому, що недоучившись в інституті, син пішов до армії. А повернувшись, відновлюватись не захотів. Працював без диплома. Але нещодавно почали звільняти всіх, хто не має скоринки. Тож вирішили звернутися до вас і не пошкодували! Тепер спокійно працює та нічого не боїться! Спасибі!

Формули подвійного кута служать для вираження синусів, косінусів, тангенсів, котангенсів кута зі значенням 2 α, використовуючи тригонометричні функції кута α. Ця стаття познайомить із усіма формулами подвійного кута з доказами. Буде розглянуто приклади застосування формул. У заключній частині буде показано формули потрійного, четверного кутів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Список формул подвійного кута

Для перетворення формул подвійного кута слід пам'ятати про те, що кути в тригонометрії мають вигляд n α запису, де n є натуральним числом, значення вираз записується без дужок. Таким чином, вважається, що запис sin n α має те саме значення, що і sin (n α) . При позначенні sin n α маємо аналогічний запис (sin α) n . Використання запису застосовується для всіх тригонометричних функцій зі ступенями n.

Нижче наведено формули подвійного кута:

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α, cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 · c t g α

Зазначимо, що дані формули sin та cos застосовні з будь-яким значенням кута α. Формула тангенса подвійного кута справедлива за будь-якого значення α , де t g 2 α має сенс, тобто α ≠ π 4 + π 2 · z , z є будь-яким цілим числом. Котангенс подвійного кута існує за будь-якого α, де c t g 2 α визначено на α ≠ π 2 · z .

Косинус подвійного кута має потрійний запис подвійного кута. Усі вони є застосовними.

Доказ формул подвійного кута

Доказ формул бере початок із формул додавання. Застосуємо формули синуса суми:

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β і косинуса суми cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β . Припустимо, що β = α тоді отримаємо, що

sin (α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α та cos (α + α) = cos α · cos α - sin α · sin α = cos 2 α - sin 2 α

Таким чином доводяться формули синуса і косинуса подвійного кута sin 2 α = 2 · sin α · cos α і cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α.

Інші формули cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α і cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 приводять до вигляду cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α при заміні 1 на суму квадратів за основною тотожністю sin 2 α + cos 2 α = 1 . Отримуємо, що sin 2 + cos 2 α = 1 . Так 1 - 2 · sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 · sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α і 2 · cos 2 α - 1 = 2 · cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) = cos 2 α - sin 2 α.

Для доказу формул подвійного кута тангенсу і котангенсу застосуємо рівності t g 2 α = sin 2 α cos 2 α і c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α. Після перетворення отримаємо, що t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α - sin 2 α і c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α. Розділимо вираз на cos 2 α де cos 2 α ≠ 0 з будь-яким значенням α , коли t g α визначений. Інший вираз поділимо на sin 2 α де sin 2 α ≠ 0 з будь-якими значеннями α , коли c t g 2 α має сенс. Щоб довести формулу подвійного кута для тангенсу та котангенсу, підставимо та отримаємо: