Основні формули тригонометрії. Основне тригонометричне тотожність

Формули приведення - це співвідношення, які дозволяють перейти від синус, косинус, тангенс і котангенс з кутами `frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` до цих же функцій кута `\alpha`, який знаходиться в першій чверті одиничного кола. Таким чином, формули приведення «приводять» нас до роботи з кутами в межах від 0 до 90 градусів, що дуже зручно.

Усіх разом формул приведення є 32 штуки. Вони безперечно знадобляться на ЄДІ, іспитах, заліках. Але відразу попередимо, що заучувати напам'ять їх немає потреби! Потрібно витратити трохи часу і зрозуміти алгоритм їх застосування, тоді вам не важко буде в потрібний момент вивести необхідну рівність.

Спочатку запишемо всі формули приведення:

Для кута (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) або (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha) = cos \ \ alpha; `` sin (\frac (\pi)2 + \alpha) = cos \ \ alpha`
`cos(\frac(\pi)2 - \alpha)=sin \\alpha;``cos(\frac(\pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha) = ctg \ \alpha;`` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;`` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для кута (`\pi \pm \alpha`) або (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \\alpha;` `sin(\pi + \alpha)=-sin \\alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \\alpha;``cos(\pi + \alpha)=-cos \\alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \\alpha;`` ctg(\pi + \alpha)=ctg \\alpha`

Для кута (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) або (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-cos \\alpha;``sin(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-cos \\alpha`
`cos(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-sin \\alpha;``cos(\frac(3\pi)2 + \alpha)=sin \\alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha) = ctg \ \alpha;`` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha) = tg \ \alpha;`` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для кута (`2\pi \pm \alpha`) або (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \\alpha;` `sin(2\pi + \alpha)=sin \\alpha`
` cos (2 \ pi - \ alpha) = cos \ \ alpha; `` cos (2 \ pi + \ alpha) = cos \ \ alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;`` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Часто можна зустріти формули приведення у вигляді таблиці, де кути записані в радіанах:

Щоб скористатися нею, потрібно вибрати рядок із потрібною нам функцією, і стовпець із потрібним аргументом. Наприклад, щоб дізнатися за допомогою таблиці, чому буде одно `sin(\pi + \alpha)`, достатньо знайти відповідь на перетині рядка `sin \beta` і стовпця `\pi + \alpha`. Отримаємо `sin(\pi + \alpha)=-sin \\alpha`.

І друга, аналогічна таблиця, де кути записані у градусах:

Мнемонічне правило формул приведення або як їх запам'ятати

Як ми вже згадували, заучувати всі наведені вище співвідношення не потрібно. Якщо ви уважно на них подивилися, то, напевно, помітили деякі закономірності. Вони дозволяють нам сформулювати менімонічне правило (мнемоніка - запам'ятовувати), за допомогою якого легко можна отримати будь-яку формулу приведення.

Відразу зазначимо, що для застосування цього правила потрібно добре вміти визначати (або запам'ятати) знаки тригонометричних функцій у різних чвертях одиничного кола.
Саме щеплення містить 3 етапи:

1. 1. Аргумент функції повинен бути представлений у вигляді `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, причому `\alpha` - обов'язково гострий кут (від 0 до 90 градусів).
   2. Для аргументів `\frac(\pi)2\pm\alpha`, `\frac(3\pi)2\pm\alpha` тригонометрична функціяперетворюваного виразу змінюється на кофункцію, тобто протилежну (синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки). Для аргументів `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функція не змінюється.
   3. Визначається символ вихідної функції. Отримана функція у правій частині матиме такий самий знак.

Щоб подивитися, як на практиці можна застосувати це правило, змінимо кілька виразів:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

Функція на протилежну змінюється. Кут \pi + \alpha` знаходиться в III чверті, косинус у цій чверті має знак "-", тому перетворена функція буде також зі знаком "-".

Відповідь: `cos(\pi + \alpha) = - cos \alpha`

2. `sin(\frac(3\pi)2 - \alpha)`.

Згідно мнемонічному правилуфункція зміниться на протилежну. Кут `frac (3\pi)2 - \alpha` знаходиться в III чверті, синус тут має знак "-", тому результат також буде зі знаком "-".

Відповідь: ` sin (\ frac (3 \ pi) 2 - \ alpha) = - cos \ alpha `

3. `cos(\frac(7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))`. Представимо `3\pi` як `2\pi+\pi`. `2\pi` - період функції.

Важливо: Функції `cos \alpha` та `sin \alpha` мають період `2\pi` або `360^\circ`, їх значення не зміняться, якщо ці величини збільшити чи зменшити аргумент.

Виходячи з цього, наш вираз можна записати таким чином: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`.) Застосувавши два рази мнемонічне правило, отримаємо: `cos (\pi+(\frac(\pi) 2-\alpha) = - cos (\frac(\pi)2-\alpha) = - sin \alpha`.

Відповідь: ` cos (\ frac (7 \ pi) 2 - \ alpha) = - sin \ alpha `.

Кінське правило

Другий пункт вищеописаного мнемонічного правила називають ще кінським правилом формул приведення. Цікаво, чому кінським?

Отже, ми маємо функції з аргументами `frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, точки \frac(\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` - ключові, вони розташовуються на осях координат. `\pi` та `2\pi` на горизонтальній осі абсцис, а `\frac(\pi)2` і `\frac(3\pi)2` на вертикальній осі ординат.

Запитуємо себе: «Чи змінюється функція на кофункцію?». Щоб відповісти на це питання, потрібно посунути головою вздовж осі, на якій розташована ключова цятка.

Тобто для аргументів із ключовими точками, розташованими на горизонтальній осі, ми відповідаємо «ні», крутячи головою в сторони. А для кутів із ключовими точками, розташованими на вертикальній осі, ми відповідаємо «так», киваючи головою зверху вниз, як кінь 🙂

Рекомендуємо подивитись відеоурок, у якому автор докладно пояснює, як запам'ятати формули приведення без заучування їх напам'ять.

Практичні приклади використання формул приведення

Застосування формул приведення починається ще 9, 10 класі. Чимало завдань із їх використанням винесено на ЄДІ. Ось деякі із завдань, де доведеться застосовувати ці формули:

• завдання на розв'язання прямокутного трикутника;
• перетворення числових та літерних тригонометричних виразів, обчислення їх значень;
• стереометричні завдання.

Приклад 1. Обчисліть за допомогою формул приведення а) `sin 600^\circ`, б) `tg 480^\circ`, в) `cos 330^\circ`, г) `sin 240^\circ`.

Рішення: а) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

б) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

г) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Приклад 2. Виразивши косинус через синус за формулами приведення, порівняти числа: 1) `sin \ frac (9 \ pi) 8` і ` cos \ frac (9 \ pi) 8 `; 2) `sin \frac (\pi)8` та `cos \frac (3\pi)10`.

Рішення: 1) `sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \ frac (9 \ pi) 8> cos \ frac (9 \ pi) 8 `.

2) `cos \frac (3\pi)10 = cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5) = sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Доведемо спочатку дві формули для синуса і косинуса аргументу `frac(\pi)2 + \alpha`: `sin(\frac(\pi)2 + \alpha)=cos \\alpha` і `cos(\frac(\) pi) 2 + \ alpha) = - sin \ \ alpha`. Інші виводяться з них.

Візьмемо одиничне коло і у ньому точку А з координатами (1,0). Нехай після повороту на кут `\alpha` вона перейде в точку `А_1(х, у)`, а після повороту на кут `\frac(\pi)2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустивши перпендикуляри з цих точок на пряму ОХ, побачимо, що трикутники `OA_1H_1` та `OA_2H_2` рівні, оскільки рівні їхні гіпотенузи та прилеглі кути. Тоді виходячи з визначень синуса і косинуса можна записати `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, `sin(\frac(\pi)2 + \alpha)=x`, `cos(\frac(\) pi) 2 + \ alpha) = -y `. Звідки можна записати, що `sin(\frac(\pi)2 + \alpha)=cos\alpha` та `cos(\frac(\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, що доводить формули приведення для синуса та косинуса кута `\frac(\pi)2 + \alpha`.

Виходячи з визначення тангенсу і котангенсу, отримаємо tg(\frac(\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` і `stg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac (\) pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, що доводить формули приведення для тангенсу і котангенса кута `frac (\pi)2 + \alpha`.

Щоб довести формули з аргументом `frac(\pi)2 - \alpha`, достатньо уявити його, як `\frac(\pi)2 + (-\alpha)` і пройти той же шлях, що і вище. Наприклад, `cos(\frac(\pi)2 - \alpha) = cos(\frac(\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Кути `\pi + \alpha` і `\pi - \alpha` можна уявити, як `\frac(\pi)2+(\frac(\pi)2+\alpha)` і `\frac(\pi) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` відповідно.

А `\frac(3\pi)2 + \alpha` і `\frac(3\pi)2 - \alpha` як `pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` і `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

У цій статті ми всебічно розглянемо. Основні тригонометричні тотожності є рівності, що встановлюють зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом одного кута, і дозволяють знаходити будь-яку з цих тригонометричних функцій через відому іншу.

Відразу перерахуємо основні тригонометричні тотожності, які розберемо у цій статті. Запишемо їх у таблицю, а нижче дамо висновок цих формул і наведемо необхідні пояснення.

Навігація на сторінці.

Зв'язок між синусом та косинусом одного кута

Іноді говорять не про основні тригонометричні тотожності, перераховані в таблиці вище, а про одне єдине основному тригонометричному тотожностівиду . Пояснення цього факту досить просте: рівності виходять з основного тригонометричного тотожності після розподілу обох його частин на відповідно, а рівності і випливають з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Докладніше про це поговоримо у наступних пунктах.

Тобто, особливий інтерес представляє саме рівність, якій дали назву основної тригонометричної тотожності.

Перш ніж довести основне тригонометричне тотожність, дамо його формулювання: сума квадратів синуса і косинуса одного кута тотожно дорівнює одиниці. Тепер доведемо його.

Основне тригонометричне тотожність дуже часто використовується при перетворення тригонометричних виразів. Воно дозволяє суму квадратів синуса та косинуса одного кута замінювати одиницею. Не менш часто основне тригонометричне тотожність використовується і у зворотному порядку: одиниця замінюється сумою квадратів синуса та косинуса будь-якого кута.

Тангенс та котангенс через синус та косинус

Тотожності, що зв'язують тангенс і котангенс із синусом і косинусом одного кута виду та Одночасно випливають з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Справді, за визначенням синус є ордината y, косинус є абсциса x, тангенс є відношення ординати до абсциси, тобто, , а котангенс є ставленням абсциси до ординати, тобто, .

Завдяки такій очевидності тотожностей і Часто визначення тангенсу та котангенсу дають не через відношення абсциси та ординати, а через відношення синуса та косинуса. Так тангенсом кута називають ставлення синуса до косинусу цього кута, а котангенсом – відношення косинуса до синуса.

На закінчення цього пункту слід зазначити, що тотожність і мають місце всім таких кутів , у яких входять у яких тригонометричні функції мають сенс. Так формула справедлива для будь-яких, відмінних від (інакше в знаменнику буде нуль, а поділ на нуль ми не визначали), а формула - Для всіх, відмінних від, де z-будь-яке.

Зв'язок між тангенсом та котангенсом

Ще більш очевидним тригонометричним тотожністю, ніж два попередні, є тотожність, що зв'язує тангенс і котангенс одного кута виду . Зрозуміло, що воно має місце для будь-яких кутів , відмінних від , інакше або тангенс, або котангенс не визначено.

Доказ формули дуже просто. За визначенням та , звідки . Можна було доказ провести і трохи інакше. Так як і , то .

Отже, тангенс і котангенс одного кута, за якого вони мають сенс, є .

Співвідношення між основними тригонометричними функціями – синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом – задаються тригонометричними формулами. Оскільки зв'язків між тригонометричними функціями досить багато, цим пояснюється і розмаїття тригонометричних формул. Одні формули пов'язують тригонометричні функції однакового кута, інші функції кратного кута, треті дозволяють знизити ступінь, четверті висловити всі функції через тангенс половинного кута, і т.д.

У цій статті ми перерахуємо всі основні тригонометричні формули, яких достатньо для вирішення переважної більшості завдань тригонометрії. Для зручності запам'ятовування та використання групуватимемо їх за призначенням, і заноситимемо в таблиці.

Навігація на сторінці.

Основні тригонометричні тотожності

Основні тригонометричні тотожностізадають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом одного кута. Вони випливають із визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, а також поняття одиничного кола. Вони дозволяють висловити одну тригонометричну функцію через будь-яку іншу.

Детальний опис цих формул тригонометрії, їх виведення та приклади застосування дивіться у статті.

Формули приведення

Формули приведеннявипливають із властивостей синуса, косинуса, тангенса і котангенса, тобто, вони відображають властивість періодичності тригонометричних функцій, властивість симетричності, а також властивість зсуву на даний кут. Ці тригонометричні формули дозволяють від роботи з довільними кутами переходити до роботи з кутами в межах від нуля до 90 градусів.

Обгрунтування цих формул, мнемонічне правило їх запам'ятовування і приклади їх застосування можна вивчити у статті .

Формули додавання

Тригонометричні формули складанняпоказують, як тригонометричні функції суми чи різниці двох кутів виражаються через тригонометричні функції цих кутів. Ці формули є базою для виведення наступних нижче тригонометричних формул.

Формули подвійного, потрійного тощо. кута

Формули подвійного, потрійного тощо. кута (їх ще називають формулами кратного кута) показують, як тригонометричні функції подвійних, потрійних тощо. кутів () виражаються через тригонометричні функції одинарного кута. Їх висновок виходить з формулах складання.

Більш детальна інформація зібрана у статті формули подвійного, потрійного тощо. кута.

Формули половинного кута

Формули половинного кутапоказують, як тригонометричні функції половинного кута виражаються через косинус цілого кута. Ці тригонометричні формули випливають із формул подвійного кута.

Їх висновок та приклади застосування можна переглянути у статті.

Формули зниження ступеня

Тригонометричні формули зниження ступеняпокликані сприяти переходу від натуральних ступенів тригонометричних функцій до синусів і косінусів у першому ступені, але кратних кутів. Іншими словами, вони дозволяють знижувати ступені тригонометричних функцій до першої.

Формули суми та різниці тригонометричних функцій

Основне призначення формул суми та різниці тригонометричних функційполягає у переході до твору функцій, що дуже корисно при спрощенні тригонометричних виразів. Зазначені формули також широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь, так як дозволяють розкладати на множники суму та різницю синусів і косінусів.

Формули твору синусів, косінусів та синуса на косинус

Перехід від твору тригонометричних функцій до суми чи різниці здійснюється за допомогою формул твору синусів, косінусів та синусу на косинус.

Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.

Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.

Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників у технікуми): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Copyright by cleverstudents

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати в будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

Тригонометричні тотожності— це рівності, які встановлюють зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом одного кута, що дозволяє знаходити будь-яку з цих функцій за умови, що буде відома будь-яка інша.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Дане тотожність говорить про те, що сума квадрата синуса одного кута і квадрата косинуса одного кута дорівнює одиниці, що на практиці дає можливість обчислити синус одного кута, коли відомий його косинус і навпаки.

При перетворенні тригонометричних виразів дуже часто використовують дану тотожність, яка дозволяє замінювати одиницею суму квадратів косинуса і синуса одного кута і також робити операцію заміни у зворотному порядку.

Знаходження тангенсу та котангенсу через синус та косинус

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Дані тотожності утворюються з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Адже якщо розібратися, то визначення ординатою y є синус, а абсцисою x — косинус. Тоді тангенс дорівнюватиме \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), а відношення \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)— буде котангенсом.

Додамо, що тільки для таких кутів \alpha , при яких тригонометричні функції, що входять до них, мають сенс, матимуть місце тотожності , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Наприклад: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)є справедливою для кутів \alpha , які відмінні від \frac(\pi)(2)+\pi z, а ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- Для кута \alpha, відмінного від \pi z, z - є цілим числом.

Залежність між тангенсом та котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Це тотожність справедливе тільки для таких кутів \alpha , які відмінні від \frac(\pi)(2) z. Інакше чи котангенс чи тангенс не будуть визначені.

Спираючись на вищевикладені пункти, отримуємо, що tg \alpha = \frac(y)(x), а ctg \alpha=\frac(x)(y). Звідси слідує що tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Таким чином, тангенс і котангенс одного кута, за якого вони мають сенс, є взаємно зворотними числами.

Залежності між тангенсом та косинусом, котангенсом та синусом

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)— сума квадрата тангенса кута \alpha і 1 дорівнює зворотному квадрату косинуса цього кута. Це тотожність справедливе для всіх \alpha , відмінних від \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)— сума 1 і квадрат котангенсу кута \alpha дорівнює зворотному квадрату синуса даного кута. Дане тотожність справедливе для будь-якого \ alpha, відмінного від \ pi z .

Приклади з розв'язаннями задач на використання тригонометричних тотожностей

Приклад 1

Знайдіть \sin \alpha і tg \alpha якщо \cos \alpha=-\frac12і \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Показати рішення

Рішення

Функції \sin \alpha та \cos \alpha пов'язує формула \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Підставивши до цієї формули \cos \alpha = -\frac12, отримаємо:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Це рівняння має 2 розв'язки:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

За умовою \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . У другій чверті синус позитивний, тому \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Для того щоб знайти tg \alpha , скористаємося формулою tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Приклад 2

Знайдіть \cos \alpha і ctg \alpha , якщо і \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Показати рішення

Рішення

Підставивши у формулу \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1це за умовою число \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), отримуємо \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Це рівняння має два рішення \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

За умовою \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . У другій чверті косинус негативний, тому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Для того щоб знайти ctg \alpha , скористаємося формулою ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Відповідні величини нам відомі.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Це останній і найголовніший урок, необхідний вирішення завдань B11. Ми вже знаємо, як переводити кути з радіанної міри в градусну (див. урок «Радіанна і градусна міра кута»), а також вміємо визначати знак тригонометричної функції, орієнтуючись за координатними чвертями (див. урок «Знаки тригонометричних функцій»).

Справа залишилася за малим: обчислити значення самої функції - те число, яке записується у відповідь. Тут на допомогу приходить основне тригонометричне тотожність.

Основне тригонометричне тотожність. Для будь-якого кута α правильне твердження:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Ця формула пов'язує синус та косинус одного кута. Тепер, знаючи синус, ми легко знайдемо косинус – і навпаки. Достатньо витягти квадратний корінь:

Зверніть увагу на знак «±» перед корінням. Справа в тому, що з основного тригонометричного тотожності незрозуміло, яким був вихідний синус і косинус: позитивним чи негативним. Адже зведення у квадрат – парна функція, яка «спалює» всі мінуси (якщо вони були).

Саме тому у всіх завданнях B11, які зустрічаються в ЄДІ з математики, обов'язково є додаткові умови, які допомагають позбавитися невизначеності зі знаками. Зазвичай це вказівку на координатну чверть, якою можна визначити знак.

Уважний читач напевно запитає: "А як бути з тангенсом та котангенсом?" Безпосередньо обчислити ці функції з наведених вище формул не можна. Однак існують важливі наслідки з основної тригонометричної тотожності, які вже містять тангенси та котангенси. А саме:

Важливий наслідок: для будь-якого кута α можна переписати основне тригонометричне тотожність таким чином:

Ці рівняння легко виводяться з основної тотожності - достатньо розділити обидві сторони на cos 2 α (для отримання тангенсу) або на sin 2 α (для котангенсу).

Розглянемо це на конкретних прикладах. Нижче наведено ці завдання B11, які взяті з пробних варіантів ЄДІ з математики 2012.

Нам відомий косинус, але невідомий синус. Основне тригонометричне тотожність (в «чистому» вигляді) пов'язує саме ці функції, тому працюватимемо з ним. Маємо:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Аби вирішити завдання залишилося знайти знак синуса. Оскільки кут α ∈ (π /2; π ), то градусною мірою це записується так: α ∈ (90°; 180°).

Отже, кут α лежить у ІІ координатній чверті – всі синуси там позитивні. Тому sin α = 0,1.

Отже, нам відомий синус, а треба знайти косинус. Обидві ці функції є переважно тригонометричному тотожності. Підставляємо:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Залишилося розібратися зі знаком перед дробом. Що вибрати: плюс чи мінус? За умовою, кут α належить до проміжку (π 3π /2). Перекладемо кути з радіанної міри в градусну – отримаємо: α ∈ (180°; 270°).

Вочевидь, це III координатна чверть, де все косинуси негативні. Тому cos α = −0,5.

Завдання. Знайдіть tg α якщо відомо наступне:

Тангенс і косинус пов'язані рівнянням, що випливає з основної тригонометричної тотожності:

Отримуємо: tg = ±3. Знак тангенсу визначаємо по куту α. Відомо, що α ∈ (3π /2; 2π). Перекладемо кути з радіанної міри в градусну - отримаємо α ∈ (270 °; 360 °).

Вочевидь, це IV координатна чверть, де все тангенси негативні. Тому tg = −3.

Завдання. Знайдіть cos α якщо відомо наступне:

Знову відомий синус і невідомий косинус. Запишемо основне тригонометричне тотожність:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Знак визначаємо по розі. Маємо: α ∈ (3π /2; 2π). Перекладемо кути із градусного заходу в радіану: α ∈ (270°; 360°) – це IV координатна чверть, косинуси там позитивні. Отже cos α = 0,6.

Завдання. Знайдіть sin α якщо відомо наступне:

Запишемо формулу, яка випливає з основного тригонометричного тотожності і безпосередньо пов'язує синус і котангенс:

Звідси отримуємо, що sin 2 = 1/25, тобто. sin α = ±1/5 = ±0,2. Відомо, що кут α ∈ (0; π /2). У градусній мірі це записується так: α ∈ (0 °; 90 °) - I координатна чверть.

Отже, кут знаходиться в I координатній чверті – всі тригонометричні функції там позитивні, тому sin α = 0,2.