Тригонометричні функції та їх. Що таке синус і косинус - це відсотки

У цій статті будуть розглянуті три основні властивості тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Перша властивість - знак функції в залежності від того, який чверті одиничного кола наділить кут α. Друга властивість – періодичність. Відповідно до цієї властивості, тигонометрична функція не змінює значення при зміні кута на ціле число обертів. Третє власне визначає, як змінюються значення функцій sin, cos, tg, ctg при протилежних кутах і - .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Часто в математичному тексті або в контексті завдання можна зустріти фразу: "кут першої, другої, третьої чи четвертої координатної чверті". Що це таке?

Звернемося до одиничного кола. Вона поділена на чотири чверті. Зазначимо на колі початкову точку A 0 (1 , 0) і повертаючи її навколо точки O на кут α потрапимо в точку A 1 (x , y) . Залежно від того, в якій чверті лежатиме точка A 1 (x , y) , кут α буде називатися кутом першої, другої, третьої та четвертої чверті відповідно.

Для наочності наведемо ілюстрацію.

Кут α = 30° лежить у першій чверті. Кут – 210° є кутом другої чверті. Кут 585° – кут третьої чверті. Кут – 45° – це кут четвертої чверті.

При цьому кути ±90°, ±180°, ±270°, ±360° не належать жодній чверті, оскільки лежать на координатних осях.

Тепер розглянемо знаки, які приймають синус, косинус, тангенс та котангенс залежно від того, в якій чверті лежить кут.

Щоб визначити знаки синуса по чвертях, згадаємо визнання. Синус - це ордината точки A 1 (x, y). З малюнка видно, що у першій та другій чвертях вона позитивна, а у третій та четверній – негативна.

Косинус - це абсцис точки A 1 (x, y). Відповідно до цього, визначаємо знаки косинуса на колі. Косинус позитивний у першій та четвертій чвертях, а негативний у другій та третій чверті.

Для визначення знаків тангенсу та котангенсу по чвертях також згадуємо визначення цих тригонометричних функцій. Тангенс – відношення ординати точки до абсцис. Значить, за правилом розподілу чисел з різними знаками, коли ордината та абсциса мають однакові знаки, знак тангенсу на колі буде позитивним, а коли ордината та абсцисса мають різні знаки – негативним. Аналогічно визначаються знаки котангенсу за чвертями.

Важливо пам'ятати!

1. Синус кута має знак плюс в 1 і 2 чвертях, знак мінус - в 3 і 4 чвертях.
2. Косинус кута має знак плюс в 1 і 4 чвертях, знак мінус - в 2 і 3 чвертях.
3. Тангенс кута має знак плюс в 1 і 3 чвертях, знак мінус - в 2 і 4 чвертях.
4. Котангенс кута має знак плюс в 1 і 3 чвертях, знак мінус - в 2 і 4 чвертях.

Властивість періодичності

Властивість періодичності - одна з очевидних властивостей тригонометричних функцій.

Властивість періодичності

При зміні кута ціле число повних оборотів значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса даного кута залишаються незмінними.

Дійсно, при зміні кута на ціле число оборотів ми завжди будемо потрапляти з початкової точки A на одиничному колі в точку A 1 з одними і тими самими координатами. Відповідно, не змінюватимуться і значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Математично дана властивість записується так:

sin α + 2 π · z = sin α cos α + 2 π · z = cos α t g α + 2 π · z = t g α c t g α + 2 π · z = c t g α

Яке застосування практично знаходить це властивість? Властивість періодичності, як і формули приведення, часто використовується для обчислення значень синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів великих кутів.

Наведемо приклади.

sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5

tg (-689 °) = tg (31 ° + 360 ° · (- 2)) = tg 31 ° tg (- 689 °) = tg (- 329 ° + 360 ° · (- 1)) = tg (- 329 °)

Знову звернемося до одиничного кола.

Точка A 1 (x , y) - результат повороту початкової точки A 0 (1 , 0) навколо центру кола на кут α. Точка A 2 (x - y) - результат повороту початкової точки на кут - α .

Крапки A 1 і A 2 симетричні щодо осі абсцис. У випадку, коли α = 0°, ±180°, ±360° точки A1 та A2 збігаються. Нехай одна точка має координати (x, y), а друга - (x, - y). Згадаймо визначення синуса, косинуса, тангенсу, котангенсу та запишемо:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

Звідси випливає властивість синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів. протилежних кутів.

Властивість синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів протилежних кутів

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

Відповідно до цієї властивості, справедливі рівності

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

Розглянута властивість часто використовується під час вирішення практичних завдань у випадках, коли потрібно позбавитися від негативних знаків кутів в агрументах тригонометричних функцій.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дозволяють встановити низку характерних результатів – властивостей синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. У цій статті ми розглянемо три основні властивості. Перше вказує знаки синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута α залежно від цього, кутом якої координатної чверті є α . Далі ми розглянемо властивість періодичності, що встановлює незмінність значень синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута при зміні цього кута на ціле число оборотів. Третя властивість виражає залежність між значеннями синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу протилежних кутів α та −α .

Якщо Вас цікавлять властивості функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса, їх можна вивчити у відповідному розділі статті .

Навігація на сторінці.

Знаки синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу по чвертях

Нижче в цьому пункті буде зустрічатися фраза "кут I, II, III і IV координатної чверті". Пояснимо, що це за кути.

Візьмемо одиничне коло , відзначимо у ньому початкову точку А(1, 0) , і повернемо її навколо точки O на кут α , у своїй вважатимемо, що ми потрапимо у точку A 1 (x, y) .

Кажуть що кут α є кутом I, II, III, IV координатної чвертіякщо точка А 1 лежить в I, II, III, IV чверті відповідно; якщо ж кут α такий, що точка A 1 лежить на будь-якій з координатних прямих Ox або Oy, цей кут не належить жодній з чотирьох чвертей.

Для наочності наведемо графічну ілюстрацію. На кресленнях нижче зображені кути повороту 30, -210, 585 і -45 градусів, які є кутами I, II, III і IV координатних чвертей відповідно.

Кути 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …градусів не належать жодній з координатних чвертей.

Тепер розберемося, які знаки мають значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута повороту α залежно від того, кутом якої чверті є α .

Для синуса та косинуса це зробити просто.

За визначенням синус кута - це ордината точки А 1 . Вочевидь, що у I і II координатних чвертях вона позитивна, а III і IV чвертях – негативна. Таким чином, синус кута α має знак плюс у I та II чвертях, а знак мінус – у III та VI чвертях.

У свою чергу косинус кута α - це абсцис точки A 1 . У I та IV чвертях вона позитивна, а у II та III чвертях – негативна. Отже, значення косинуса кута α у I та IV чвертях позитивні, а у II та III чвертях – негативні.

Щоб визначити знаки по чвертях тангенсу та котангенсу, потрібно згадати їх визначення: тангенс – це відношення ординати точки A 1 до абсциси, а котангенс – відношення абсциси точки A 1 до ординати. Тоді з правил розподілу чиселз однаковими та різними знаками слід, що тангенс та котангенс мають знак плюс, коли знаки абсциси та ординати точки A 1 однакові, і мають знак мінус – коли знаки абсциси та ординати точки A 1 різні. Отже, тангенс та котангенс кута мають знак + у I та III координатних чвертях, і знак мінус – у II та IV чвертях.

Справді, наприклад, у першій чверті і абсцис x , і ордината y точки A 1 позитивні, тоді і приватне x/y , і приватне y/x - позитивно, отже, тангенс і котангенс мають знаки + . А в другій чверті абсцису x – негативна, а ордината y – позитивна, тому і x/y, і y/x – негативні, звідки тангенс та котангенс мають знак мінус.

Переходимо до наступної властивості синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Властивість періодичності

Зараз ми розберемо, мабуть, найбільш очевидну властивість синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута. Воно полягає в наступному: при зміні кута на ціле число повних оборотів значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу цього кута не змінюються.

Це і зрозуміло: при зміні кута на ціле число оборотів ми з початкової точки А завжди будемо потрапляти в точку А 1 на одиничному колі, отже значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса залишаються незмінними, так як незмінні координати точки A 1 .

За допомогою формул аналізовану властивість синуса, косинуса, тангенсу і котангенсу можна записати так: sin(α+2·π·z)=sinα , cos(α+2·π·z)=cosα , tg(α+2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , де α - кут повороту в радіанах, z – будь-яке , абсолютна величина якого вказує кількість повних оборотів, на які змінюється кут α , а знак числа z вказує напрямок повороту.

Якщо ж кут повороту α заданий у градусах, то зазначені формули перепишуться у вигляді sin(α+360°·z)=sinα, cos(α+360°·z)=cosα, tg(α+360°·z)=tgα , ctg(α+360°z)=ctgα .

Наведемо приклади використання цієї якості. Наприклад, , так як , а . Ось ще приклад: або .

Ця властивість разом із формулами приведення дуже часто використовується при обчисленні значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу «великих» кутів.

Розглянуту властивість синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу іноді називають властивістю періодичності.

Властивості синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів протилежних кутів

Нехай А 1 – точка, отримана внаслідок повороту початкової точки А(1, 0) навколо точки O на кут α, а точка А 2 – це результат повороту точки А на кут −α протилежний куту α .

Властивість синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів протилежних кутів базується на достатньо очевидному факті: згадані вище точки А 1 і 2 або збігаються (при ), або розташовуються симетрично щодо осі Ox . Тобто, якщо точка A 1 має координати (x, y) то точка А 2 матиме координати (x, −y) . Звідси за визначенням синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу записуємо рівності та .
Зіставляючи їх, приходимо до співвідношень між синусами, косинусами, тангенсами та котангенсами протилежних кутів α та −α виду .
Це і розглядається властивість у вигляді формул.

Наведемо приклади використання цієї якості. Наприклад, справедливі рівності та .

Залишається лише помітити, що властивість синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів протилежних кутів, як і попередня властивість, часто використовується при обчисленні значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, і дозволяє повністю уникнути негативних кутів.

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. З. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 з.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників у технікуми): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор по самих корисним ресурсудля

Синус, косінус, тангенс, котангенс

Поняття синуса (), косинуса (), тангенса (), котангенса () нерозривно пов'язані з поняттям кута. Щоб добре розібратися в цих, на перший погляд, складних поняттях (які викликають у багатьох школярів стан жаху), і переконатися, що «не такий страшний чорт, як його малюють», почнемо від початку і розберемося в понятті кута.

Поняття кута: радіан, градус

Давай подивимося малюнку. Вектор "повернувся" щодо точки на якусь величину. Так ось мірою цього повороту щодо початкового положення і виступатиме кут.

Що ще необхідно знати про поняття кута? Ну, звичайно ж, одиниці виміру кута!

Кут, як у геометрії, так і тригонометрії, може вимірюватися в градусах і радіанах.

Кутом (один градус) називають центральний кут в колі, що спирається на кругову дугу, рівну частині кола. Таким чином, все коло складається з «шматочків» кругових дуг, або кут, що описується колом, дорівнює.

Тобто малюнку вище зображений кут, рівний, тобто цей кут спирається на кругову дугу розміром довжини кола.

Кутом у радіан називають центральний кут в колі, що спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола. Ну, що, розібрався? Якщо ні, то давай розбиратися на малюнку.

Отже, на малюнку зображений кут, рівний радіану, тобто цей кут спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола (довжина дорівнює довжині або радіус дорівнює довжині дуги). Таким чином, довжина дуги обчислюється за такою формулою:

Де – центральний кут у радіанах.

Ну що, можеш, знаючи це, відповісти, скільки радіан містить кут, який описує коло? Так, для цього треба згадати формулу довжини кола. Ось вона:

Ну от тепер співвіднесемо ці дві формули і отримаємо, що кут, що описується колом дорівнює. Тобто, співвіднісши величину в градусах та радіанах, отримуємо, що. Відповідно, . Як можна побачити, на відміну «градусів», слово «радіан» опускається, оскільки одиниця виміру зазвичай зрозуміла з контексту.

А скільки радіан складають? Все вірно!

Вловив? Тоді вперед закріплювати:

Виникли проблеми? Тоді дивись відповіді:

Прямокутний трикутник: синус, косинус, тангенс, котангенс кута

Отже, з поняттям кута розібралися. А що ж таке синус, косинус, тангенс, котангенс кута? Давай розбиратись. Для цього нам допоможе прямокутний трикутник.

Як називаються сторони прямокутного трикутника? Все вірно, гіпотенуза і катети: гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти прямого кута(У нашому прикладі це сторона); катети - це дві сторони, що залишилися і (ті, що прилягають до прямого кута), причому, якщо розглядати катети щодо кута, то катет - це прилеглий катет, а катет - протилежний. Отже, тепер дамо відповідь на запитання: що таке синус, косинус, тангенс і котангенс кута?

Синус кута- це відношення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.

У нашому трикутнику.

Косинус кута- Це відношення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.

У нашому трикутнику.

Тангенс кута- це відношення протилежного (дальнього) катета до прилеглого (близького).

У нашому трикутнику.

Котангенс кута- це відношення прилеглого (близького) катета до протилежного (дальнього).

У нашому трикутнику.

Ці визначення необхідні запам'ятати! Щоб було простіше запам'ятати який катет на що ділити, необхідно чітко усвідомити, що в тангенсеі котангенсісидять тільки катети, а гіпотенуза з'являється тільки в синусіі косинусі. А далі можна придумати ланцюжок асоціацій. Наприклад, ось таку:

Косинус→торкатися→доторкнутися→прилежний;

Котангенс→торкатися→доторкнутися→прилежний.

Насамперед, слід запам'ятати, що синус, косинус, тангенс і котангенс як відносини сторін трикутника не залежить від довжин цих сторін (при одному вугіллі). Не віриш? Тоді переконайся, подивившись на малюнок:

Розглянемо, наприклад, косинус кута. За визначенням, з трикутника: , але ми можемо обчислити косинус кута і з трикутника: . Бачиш, довжини у сторін різні, а значення косинуса одного кута одне й те саме. Таким чином, значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежать виключно від величини кута.

Якщо розібрався у термінах, то вперед закріплювати їх!

Для трикутника, зображеного нижче малюнку, знайдемо.

Ну що, вловив? Тоді пробуй сам: порахуй те саме для кута.

Одиничне (тригонометричне) коло

Розбираючись у поняттях градуса і радіана, ми розглядали коло з рівним радіусом. Таке коло називається одиничною. Вона дуже знадобиться щодо тригонометрії. Тому зупинимося на ній трохи докладніше.

Як можна помітити, це коло побудовано в декартовій системі координат. Радіус кола дорівнює одиниціПри цьому центр кола лежить на початку координат, початкове положення радіус-вектора зафіксовано вздовж позитивного напрямку осі (у нашому прикладі це радіус).

Кожній точці кола відповідають два числа: координата по осі та координата по осі. А що це за числа-координати? І взагалі, яке відношення вони мають до цієї теми? Для цього треба згадати про розглянутий прямокутний трикутник. На малюнку, наведеному вище, можна помітити аж два прямокутні трикутники. Розглянемо трикутник. Він прямокутний, оскільки є перпендикуляром до осі.

Чому дорівнює трикутнику? Все вірно. Крім того, нам відомо, що - це радіус одиничного кола, а значить, . Підставимо це значення на нашу формулу для косинуса. Ось що виходить:

А чому дорівнює трикутнику? Ну звичайно, ! Підставимо значення радіуса в цю формулу та отримаємо:

Так, а можеш сказати, які координати має точка, що належить колу? Ну що, ні? А якщо збагнути, що й – це просто числа? Який координаті відповідає? Ну, звісно, ​​координати! А якій координаті відповідає? Все правильно, координати! Таким чином, точка.

А чому тоді рівні? Все вірно, скористаємося відповідними визначеннями тангенсу та котангенсу та отримаємо, що, а.

А що, якщо кут буде більшим? Ось, наприклад, як у цьому малюнку:

Що ж змінилося в даному прикладі? Давай розбиратись. Для цього знову звернемося до прямокутного трикутника. Розглянемо прямокутний трикутник: кут (як прилеглий до кута). Чому дорівнює значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кута? Все вірно, дотримуємося відповідних визначень тригонометричних функцій:

Ну от, як бачиш, значення синуса кута так само відповідає координаті; значення косинуса кута – координати; а значення тангенсу та котангенсу відповідним співвідношенням. Таким чином, ці співвідношення застосовуються до будь-яких поворотів радіус-вектора.

Вже згадувалося, що початкове становище радіус-вектора - вздовж позитивного спрямування осі. Досі ми обертали цей вектор проти годинникової стрілки, а що буде, якщо повернути його за годинниковою стрілкою? Нічого екстраординарного, вийде так само кут певної величини, але він буде негативним. Таким чином, при обертанні радіус-вектора проти годинникової стрілки виходять позитивні кути, а при обертанні за годинниковою стрілкою - негативні.

Отже, ми знаємо, що цілий оборот радіус-вектора по колу становить або. А можна повернути радіус-вектор на чи на? Ну звісно, ​​можна! У першому випадку, таким чином, радіус-вектор зробить один повний оберт і зупиниться в положенні або.

У другому випадку, тобто радіус-вектор зробить три повні обороти і зупиниться в положенні або.

Таким чином, з наведених прикладів можемо зробити висновок, що кути, що відрізняються на або (де - будь-яке ціле число), відповідають одному положенню радіус-вектора.

Нижче на малюнку зображено кут. Це зображення відповідає куту тощо. Цей список можна продовжити до безкінечності. Всі ці кути можна записати загальною формулою або (де – будь-яке ціле число)

Тепер, знаючи визначення основних тригонометричних функцій та використовуючи одиничне коло, спробуй відповісти, чому рівні значення:

Ось тобі на допомогу одиничне коло:

Виникли проблеми? Тоді давай розбиратись. Отже, ми знаємо, що:

Звідси ми визначаємо координати точок, що відповідають певним заходам кута. Ну що ж, почнемо по порядку: кутку відповідає точка з координатами, отже:

Не існує;

Далі, дотримуючись тієї ж логіки, з'ясовуємо, що кутам відповідають точки з координатами, відповідно. Знаючи це, легко визначити значення тригонометричних функцій у відповідних точках. Спочатку спробуй сам, а потім звіряйся з відповідями.

Відповіді:

Таким чином, ми можемо скласти таку табличку:

Немає потреби пам'ятати всі ці значення. Достатньо пам'ятати відповідність координат точок на одиничному колі та значень тригонометричних функцій:

А ось значення тригонометричних функцій кутів і, наведених нижче в таблиці, необхідно запам'ятати:

Не треба лякатися, зараз покажемо один із прикладів досить простого запам'ятовування відповідних значень:

Для користування цим методом життєво необхідно запам'ятати значення синуса для всіх трьох заходів кута (), а також значення тангенсу кута. Знаючи ці значення, досить просто відновити всю таблицю повністю - значення косинуса переносяться відповідно до стрілочок, тобто:

Знаючи це можна відновити значення. Чисельник "" буде відповідати, а знаменник "" відповідає. Значення котангенсу переносяться відповідно до стрілочок, вказаних на малюнку. Якщо це усвідомити і запам'ятати схему зі стрілочками, досить пам'ятати всього значення з таблиці.

Координати точки на колі

А чи можна знайти точку (її координати) на колі, знаючи координати центру кола, її радіус та кут повороту?

Ну, звісно, ​​можна! Давай виведемо загальну формулудля знаходження координат точки.

Ось, наприклад, перед нами таке коло:

Нам дано, що точка – центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом точки градусів.

Як очевидно з малюнка, координаті точки відповідає довжина відрізка. Довжина відрізка відповідає координаті центру кола, тобто дорівнює. Довжину відрізка можна виразити, використовуючи визначення косинуса:

Тоді маємо, що для точки координат.

За тією ж логікою знаходимо значення координати для точки. Таким чином,

Отже, у загальному виглядікоординати точок визначаються за формулами:

Координати центру кола,

Радіус кола,

Кут повороту вектор радіуса.

Як можна помітити, для одиничного кола, що розглядається нами, ці формули значно скорочуються, так як координати центру рівні нулю, а радіус дорівнює одиниці:

Ну що, спробуємо ці формули на смак, вправляючись у знаходженні точок на колі?

1. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

2. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

3. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

4. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.

5. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.

Виникли проблеми в знаходженні координат точки на колі?

Виріши ці п'ять прикладів (або добре розберися у рішенні) і ти навчишся їх знаходити!

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Синус кута - це відношення протилежного (дальнього) катета до гіпотенузи.

Косинус кута – це відношення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.

Тангенс кута - це відношення протилежного (дальнього) катета до прилеглого (близького).

Котангенс кута - це відношення прилеглого (близького) катета до протилежного (дальнього).

Ну ось тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, то ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторю, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ.

Люди, які отримали гарна освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто його не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШ ЩАСТЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей, і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоб виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І насамкінець...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Умію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Вивчення тригонометрії ми розпочнемо із прямокутного трикутника. Визначимо, що таке синус та косинус, а також тангенс та котангенс гострого кута. Це є основи тригонометрії.

Нагадаємо, що прямий кут- це кут, що дорівнює 90 градусів. Іншими словами, половина розгорнутого кута.

Гострий кут- Найменший 90 градусів.

Тупий кут- більший за 90 градусів. Щодо такого кута «тупий» - не образа, а математичний термін:-)

Намалюємо прямокутний трикутник. Прямий кут зазвичай позначається. Звернемо увагу, що сторона, що лежить навпроти кута, позначається тією ж літерою, лише невеликою. Так, сторона, що лежить навпроти кута A, позначається .

Кут позначається відповідною грецькою літерою.

Гіпотенузапрямокутного трикутника - це сторона, що лежить навпроти прямого кута.

Катети- Сторони, що лежать навпроти гострих кутів.

Катет, що лежить навпроти кута, називається протилежним(По відношенню до куту). Інший катет, що лежить на одній із сторін кута, називається прилеглим.

Сінусгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи:

Косинусгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

Тангенсгострого кута у прямокутному трикутнику - відношення протилежного катета до прилеглого:

Інше (рівносильне) визначення: тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:

Котангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до протилежного (або, що те саме, відношення косинуса до синуса):

Зверніть увагу на основні співвідношення для синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, які наведені нижче. Вони знадобляться нам при вирішенні завдань.

Давайте доведемо деякі з них.

Добре, ми дали визначення та записали формули. А для чого ж потрібні синус, косинус, тангенс і котангенс?

Ми знаємо, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює.

Знаємо співвідношення між сторонамипрямокутного трикутника. Це теорема Піфагора: .

Виходить, що знаючи два кути в трикутнику можна знайти третій. Знаючи дві сторони прямокутного трикутника, можна знайти третю. Отже, для кутів – своє співвідношення, для сторін – своє. А що робити, якщо в прямокутному трикутнику відомий один кут (крім прямого) і одна сторона, а треба знайти інші сторони?

З цим і зіткнулися люди у минулому, складаючи карти місцевості та зоряного неба. Адже не завжди можна безпосередньо виміряти усі сторони трикутника.

Синус, косинус і тангенс – їх ще називають тригонометричними функціями кута- дають співвідношення між сторонамиі кутамитрикутник. Знаючи кут, можна знайти всі його тригонометричні функціїза спеціальними таблицями. А знаючи синуси, косинуси та тангенси кутів трикутника та одну з його сторін, можна знайти решту.

Ми також намалюємо таблицю значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для «хороших» кутів від до .

Зверніть увагу на два червоні прочерки в таблиці. При відповідних значеннях кутів тангенс та котангенс не існують.

Розберемо кілька завдань із тригонометрії з Банку завдань ФІПД.

1. У трикутнику кут дорівнює . Знайдіть .

Завдання вирішується за чотири секунди.

Оскільки , .

2 . У трикутнику кут дорівнює , , . Знайдіть .

Знайдемо за теоремою Піфагора.

Завдання вирішено.

Часто в задачах зустрічаються трикутники з кутами або з кутами і . Основні співвідношення для них запам'ятовуйте напам'ять!

Для трикутника з кутами і катет, що лежить навпроти кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Трикутник з кутами і рівнобедрений. У ньому гіпотенуза в рази більша за катет.

Ми розглянули завдання розв'язання прямокутних трикутників - тобто знаходження невідомих сторін чи кутів. Але це не все! В варіантах ЄДІз математики безліч завдань, де фігурує синус, косинус, тангенс чи котангенс зовнішнього кута трикутника. Про це – у наступній статті.

Поняття синуса, косинуса, тангенса та котангенса є основними категоріями тригонометрії – розділу математики, і нерозривно пов'язані з визначенням кута. Володіння цією математичною наукою вимагає запам'ятовування та розуміння формул та теорем, а також розвиненого просторового мислення. Саме тому у школярів та студентів тригонометричні обчислення нерідко спричиняють труднощі. Щоб подолати їх, слід докладніше ознайомитися з тригонометричними функціями та формулами.

Поняття у тригонометрії

Щоб розібратися в базових поняттях тригонометрії, слід спочатку визначитися з тим, що таке прямокутний трикутник і кут в колі, і чому саме з ними пов'язані всі тригонометричні обчислення. Трикутник, у якому один із кутів має величину 90 градусів, є прямокутним. Історично ця фігура часто використовувалася людьми в архітектурі, навігації, мистецтві, астрономії. Відповідно, вивчаючи та аналізуючи властивості цієї фігури, люди прийшли до обчислення відповідних співвідношень її параметрів.

Основні категорії, пов'язані з прямокутними трикутниками - гіпотенуза та катети. Гіпотенуза – сторона трикутника, що лежить проти прямого кута. Катети, відповідно, це решта двох сторін. Сума кутів будь-яких трикутників завжди дорівнює 180 градусів.

Сферична тригонометрія - розділ тригонометрії, який не вивчається в школі, однак у прикладних науках на кшталт астрономії та геодезії, вчені користуються саме ним. Особливість трикутника у сферичній тригонометрії в тому, що він завжди має суму кутів понад 180 градусів.

Кути трикутника

У прямокутному трикутнику синусом кута є відношення катета, що протилежить шуканому куту, до гіпотенузи трикутника. Відповідно, косинус - це відношення прилеглого катета та гіпотенузи. Обидва ці значення завжди мають величину менше одиниці, оскільки гіпотенуза завжди довша за катет.

Тангенс кута - величина, що дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета шуканого кута, або синуса до косинусу. Котангенс, своєю чергою, це ставлення прилеглого катета шуканого кута до протилежного кактету. Котангенс кута можна отримати, розділивши одиницю на значення тангенса.

Одиничне коло

Одиничне коло в геометрії - коло, радіус якого дорівнює одиниці. Таке коло будується в декартовій системі координат, при цьому центр кола збігається з точкою початку координат, а початкове положення вектора радіусу визначено за позитивним напрямком осі Х (осі абсцис). Кожна точка кола має дві координати: ХХ та YY, тобто координати абсцис та ординат. Вибравши на колі будь-яку точку в площині ХХ, і опустивши з неї перпендикуляр на вісь абсцис, отримуємо прямокутний трикутник, утворений радіусом до обраної точки (позначимо її буквою С), перпендикуляром, проведеним до осі Х (точка перетину позначається буквою G), а відрізок осі абсцис між початком координат (точка позначена буквою А) та точкою перетину G. Отриманий трикутник АСG — прямокутний трикутник, вписаний у коло, де AG — гіпотенуза, а АС та GC — катети. Кут між радіусом кола АС та відрізком осі абсцис з позначенням AG, визначимо як α (альфа). Так, cos = AG/AC. Враховуючи, що АС - це радіус одиничного кола, і він дорівнює одиниці, вийде, що cos α = AG. Аналогічно sin α=CG.

Крім того, знаючи ці дані, можна визначити координату точки С на колі, оскільки cos α=AG, а sin α=CG, отже, точка має задані координати (cos α;sin α). Знаючи, що тангенс дорівнює відношенню синуса до косинусу, можна визначити, що tg = y/х, а ctg = х/y. Розглядаючи кути у негативній системі координат, можна розрахувати, що значення синуса та косинуса деяких кутів можуть бути негативними.

Обчислення та основні формули

Значення тригонометричних функцій

Розглянувши сутність тригонометричних функцій через одиничне коло, можна вивести значення цих функцій деяких кутів. Значення перераховані у таблиці нижче.

Найпростіші тригонометричні тотожності

Рівняння, у яких під знаком тригонометричної функції є невідоме значення, називаються тригонометричними. Тотожності зі значенням sin х = α, k — будь-яке ціле число:

1. sin х = 0, х = πk.
2. 2. sin х = 1, х = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin х = а, | > 1, немає рішень.
5. sin х = а, | ≦ 1, х = (-1)^k * arcsin α + πk.

Тотожності зі значенням cos х = а, де k - будь-яке ціле число:

1. cos х = 0, х = π/2 + πk.
2. cos х = 1, х = 2πk.
3. cos х = -1, х = π + 2πk.
4. cos х = а, | > 1, немає рішень.
5. cos х = а, | ≤ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Тотожності зі значенням tg х = а, де k - будь-яке ціле число:

1. tg х = 0, х = π/2 + πk.
2. tg х = а, х = arctg α + πk.

Тотожності зі значенням ctg х = а, де k - будь-яке ціле число:

1. ctg х = 0, х = π/2 + πk.
2. ctg х = а, х = arcctg α + πk.

Формули приведення

Ця категорія постійних формул позначає методи, за допомогою яких можна перейти від тригонометричних функцій виду до функцій аргументу, тобто навести синус, косинус, тангенс і котангенс кута будь-якого значення до відповідних показників кута інтервалу від 0 до 90 градусів для більшої зручності обчислень.

Формули приведення функцій для синуса кута виглядають таким чином:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Для косинуса кута:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Використання вищезгаданих формул можливе за дотримання двох правил. По-перше, якщо кут можна представити як значення (π/2±a) або (3π/2±a), значення функції змінюється:

• з sin на cos;
• з cos на sin;
• з tg на ctg;
• із ctg на tg.

Значення функції залишається незмінним, якщо кут може бути представлений як (π±a) або (2π±a).

По-друге, знак наведеної функції не змінюється: якщо він спочатку був позитивний, таким і залишається. Аналогічно із негативними функціями.

Формули додавання

Ці формули виражають величини синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу суми та різниці двох кутів повороту через їх тригонометричні функції. Зазвичай кути позначаються як і β.

Формули мають такий вигляд:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tg(α±β) = (tgα±tgβ)/(1∓tgα*tgβ).
4. ctg(α±β) = (-1±ctgα*ctgβ)/(ctgα±ctgβ).

Ці формули справедливі будь-яких величин кутів α і β.

Формули подвійного та потрійного кута

Тригонометричні формули подвійного та потрійного кута — це формули, які пов'язують функції кутів 2α та 3α відповідно, із тригонометричними функціями кута α. Виводяться з формул додавання:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα/(1 - tg^2α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3α) / (1-tg^2α).

Перехід від суми до твору

Враховуючи, що 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), спростивши цю формулу, отримуємо тотожність sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Аналогічно sinα - sinβ = 2sin(α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓α) = √2cos(π/4±α).

Перехід від твору до суми

Ці формули випливають з тотожностей переходу суми до твір:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα*cosβ=1/2*.

Формули зниження ступеня

У цих тотожностях квадратний і кубічний ступінь синуса і косинуса можна виразити через синус і косинус першого ступеня кратного кута:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Універсальна підстановка

Формули універсальної тригонометричної підстановки виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tg^2 x/2), при цьому х = π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), де х = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), де х = π + 2πn;
• ctg x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), при цьому х = π + 2πn.

Приватні випадки

Приватні випадки найпростіших тригонометричних рівняньнаведено нижче (k - будь-яке ціле число).

Приватні для синусу:

Значення sin x	Значення x
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk або 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk або -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk або 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk або -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk або 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk або -2π/3 + 2πk

Приватні для косинуса:

Значення cos x	Значення х
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Приватні для тангенсу:

Значення tg x	Значення х
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Приватні для котангенсу:

Значення ctg x	Значення x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Теореми

Теорема синусів

Існує два варіанти теореми - простий та розширений. Проста теорема синусів: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. При цьому, a, b, c — сторони трикутника, і α, β, γ — відповідно кути, що протилежать.

Розширена теорема синусів для довільного трикутника: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. У цьому тотожності R позначає радіус кола, який вписаний заданий трикутник.

Теорема косінусів

Тотожність відображається так: a^2 = b^2 + c^2 — 2*b*c*cos α. У формулі a, b, c - сторони трикутника, і α - кут, що протилежить стороні а.

Теорема тангенсів

Формула виражає зв'язок між тангенсами двох кутів і довжиною сторін, що їм протилежні. Сторони позначені як a, b, c, а відповідні протилежні кути – α, β, γ. Формула теореми тангенсів: (a - b) / (a ​​+ b) = tg ((α - β) / 2) / tg ((α + β) / 2).

Теорема котангенсів

Зв'язує радіус вписаного в трикутник кола з довжиною його сторін. Якщо a, b, c — сторони трикутника, і А, В, С, відповідно, кути, що протилежать їм, r — радіус вписаного кола, і p — напівпериметр трикутника, справедливі такі тотожності:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Прикладне застосування

Тригонометрія - не лише теоретична наука, пов'язана з математичними формулами. Її властивостями, теоремами та правилами користуються на практиці різні галузі людської діяльності- астрономія, повітряна та морська навігація, теорія музики, геодезія, хімія, акустика, оптика, електроніка, архітектура, економіка, машинобудування, вимірювальні роботи, комп'ютерна графіка, картографія, океанографія, та багато інших.

Синус, косинус, тангенс і котангенс — основні поняття тригонометрії, з допомогою яких математично можна висловити співвідношення між кутами і довжинами сторін у трикутнику, і знайти шукані величини через тотожності, теореми та правила.