Урок "Періодичність функцій y=sinx, y=cosx". Синус (sin x) та косинус (cos x) – властивості, графіки, формули

>> Періодичність функцій у = sin х, у = cos х

§ 11. Періодичність функцій у = sin х, у = cos х

У попередніх параграфах ми використали сім властивостей функцій: область визначення, парність або непарність, монотонність, обмеженість, найбільше та найменше значення, безперервність, область значень функції Використовували ми ці властивості або для того, щоб побудувати графік функції (так було, наприклад, § 9), або для того, щоб прочитати побудований графік (так було, наприклад, § 10). Тепер настав сприятливий моментдля введення ще однієї (восьмої) властивості функцій, яка чудово проглядається на побудованих вище графікахфункцій у = sin х(див. рис. 37), у=соs х(див. рис. 41).

Визначення.Функцію називають періодичною, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого х з множин виконується подвійне рівність:

Число Т, що задовольняє зазначеною умовоюназивають періодом функції у = f(х).
Звідси випливає, що для будь-якого х справедливі рівності:

то функції у = sin х, у = соs х є періодичними та число 2 пслужить періодом і тій, й іншій функції.
Періодичність функції - і є обіцяне восьме властивість функцій.

А тепер подивіться графік функції у = sin х (рис. 37). Щоб побудувати синусоїду, достатньо побудувати одну її хвилю (на відрізку, а потім зрушити цю хвилю по осі х на У результаті за допомогою однієї хвилі ми побудуємо весь графік.

Подивимося з цієї точки зору на графік функції у = соs х (рис. 41). Бачимо, що і тут для побудови графіка достатньо спочатку збудувати одну хвилю (наприклад, на відрізку

А потім зрушити її по осі х на
Узагальнюючи, робимо наступний висновок.

Якщо функція у = f(х) має період Т, то для побудови графіка функції потрібно спочатку побудувати гілка (хвилю, частина) графіка на будь-якому проміжку довжини Т (найчастіше беруть проміжок з кінцями в точках, а потім зрушити цю гілку по осі х вправо і ліворуч на Т, 2Т, ЗТ тощо.
У періодичної функції нескінченно багато періодів: якщо Т – період, то і 2Т – період, і ЗТ – період, і – Т – період; взагалі періодом є будь-яке число виду KТ, де = ±1, ±2, ± 3... Зазвичай намагаються, якщо це можливо, виділити найменший позитивний період, його називають основним періодом.
Отже, будь-яке число виду 2пк, де = ±1, ± 2, ± 3, є періодом функцій у = sinп х, у = соs х; 2п-основний період і тієї, і іншої функції.

приклад.Знайти основний період функції:

а)Нехай Т – основний період функції у = sin х. Покладемо

Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність Але, оскільки мова йдепро відшукання основного періоду, отримуємо
б)Нехай Т - основний період функції у = 0,5х. Покладемо f(х) = 0,5х. Тоді f(х + Т) = соs 0,5 (х + Т) = соs (0,5 х + 0,5 Т).

Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність соs (0,5х + 0,5Т)=соs 0,5х.

Значить, 0,5 т = 2пп. Але, оскільки йдеться про відшукання основного періоду, отримуємо 0.5Т = 2 л, Т = 4л.

Узагальненням результатів, отриманих у прикладі, є таке твердження: основний період функції

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Вдосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний планна рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки

З центром у точці A.
α - Кут, виражений у радіанах.

Визначення
Сінус (sin α)- це тригонометрична функція, що залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, Рівна відношенню довжини протилежного катета | BC | до довжини гіпотенузи | AC |

Косинус (cos α)- це тригонометрична функція, що залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, рівна відношенню довжини прилеглого катета |AB| до довжини гіпотенузи | AC |

Прийняті позначення

;
;
.

;
;
.

Графік функції синус, y = sin x

Графік функції косинус, y = cos x

Властивості синуса та косинуса

Періодичність

Функції y = sin xта y = cos xперіодичні з періодом 2 π.

Парність

Функція синус – непарна. Функція косинус – парна.

Область визначення та значень, екстремуми, зростання, спадання

Функції синус і косинус безперервні у своїй області визначення, тобто всім x (див. доказ безперервності). Їхні основні властивості представлені в таблиці (n - ціле).

	y = sin x	y = cos x
Область визначення та безперервність	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значень	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Зростання
Зменшення
Максимуми, y = 1
Мінімуми, y = - 1
Нулі, y = 0
Крапки перетину з віссю ординат, x = 0	y = 0	y = 1

Основні формули

Сума квадратів синуса та косинуса

Формули синуса та косинуса від суми та різниці

;
;

Формули твору синусів та косінусів

Формули суми та різниці

Вираз синуса через косинус

;
;
;
.

Вираз косинуса через синус

;
;
;
.

Вираз через тангенс

; .

При , маємо:
; .

При:
; .

Таблиця синусів та косінусів, тангенсів та котангенсів

У цій таблиці представлені значення синусів і косінусів при деяких значеннях аргументу.

Вирази через комплексні змінні

;

Формула Ейлера

Вирази через гіперболічні функції

;
;

Похідні

; . Висновок формул > > >

Похідні n-го порядку:
{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Зворотні функції

Зворотними функціямидо синуса і косинусу є арксинус і арккосинус відповідно.

Арксинус, arcsin

Арккосинус, arccos

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Інструкція

Щоб знайти період тригонометричної функції, зведеної в ступінь, оцініть парність ступеня. Для зменшення стандартного періоду вдвічі. Наприклад, якщо вам дана функція у = 3 cos ^ 2х, то стандартний період 2П зменшиться в 2 рази, таким чином, період дорівнюватиме П. Зверніть , функції tg, ctg в будь-якій мірі періодичні П.

Якщо вам дано рівняння, що містить або часткове двох тригонометричних функцій, спочатку знайдіть період для кожної з них окремо. Потім знайдіть мінімальне число, яке вміщало б у собі цілу кількість обох . Наприклад, дана функція =tgx*cos5x. Для тангенсу період П, для косинуса 5х – період 2П/5. Мінімальне число, в яке можна вмістити обидва ці періоди, це 2П, отже, шуканий період – 2П.

Якщо ви не можете діяти запропонованим чином або сумніваєтеся у відповіді, спробуйте діяти за визначенням. Візьміть як період функції Т, він більший за нуль. Підставте в рівняння замість х вираз (х+Т) і розв'яжіть отриману рівність, якби Т було параметром або числом. В результаті ви знайдете значення тригонометричної функції та зможете підібрати мінімальний період. Наприклад, в результаті спрощення у вас вийшло тотожність sin (Т/2)=0. Мінімальне значення Т, у якому воно виконується, 2П, і буде завдання.

Джерела:

• період sin

Періодичною функцією називається функція, що повторює свої значення через якийсь ненульовий період. Період функції називається число, при додаванні якого до аргументу функції значення функції не змінюється.

Вам знадобиться

• Знання з елементарної математики та початків аналізу.

Інструкція

Відео на тему

Зверніть увагу

Усе тригонометричні функціїє періодичними, проте поліноміальні зі ступенем більше 2 - апериодическими.

Корисна порада

Періодом функції, що складається з двох періодичних функцій, є найменша загальна кратність періодів цих функцій.

Тригонометричні рівняння- це рівняння, які містять у собі функції невідомого аргументу (наприклад: 5sinx-3cosx =7). Щоб навчитися вирішувати їх – потрібно знати деякі для цього методи.

Інструкція

Розкладання рівняння на множники. Спочатку переносимо всі члени вліво та розкладаємо на множники.

Важливо пам'ятати, що парність і непарність функції має пряму з областю визначення функції. Якщо, наприклад, парна або непарна функціяне при х = 5, вона не існує і при х = -5, чого не можна сказати про функцію загального вигляду. Під час встановлення парності та непарності звертайте увагу на область визначення функції.

Дослідження функції на парність і непарність корелює зі знаходженням безлічі значень функції. Для знаходження безлічі значень парної функції досить розглянути половину функції, правіше чи лівіше нуля. Якщо при x>0 парна функція y(x) приймає від А до, то ті ж значення вона буде і при x<0.
Для знаходження безлічі значень, що приймаються непарною функцією, також досить розглянути лише одну функції. Якщо при x>0 непарна функція y(x) приймає діапазон значень від А до, то при x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

«Тригонометричними» колись стали називати функції, що визначаються залежністю гострих кутів у прямокутному трикутнику від довжин його сторін. До таких функцій відносять насамперед синус і косинус, у другу - зворотні цим функціям секанс і косеканс, похідні від них тангенс і котангенс, а також зворотні функції арксинус, арккосинус та ін. Правильніше говорити не про «вирішення» таких функцій, а про їх "обчисленні", тобто про знаходження чисельного значення.

Інструкція

Якщо аргумент тригонометричної невідомий, то обчислити її значення можна непрямим способом, виходячи з визначень цих функцій. Для цього потрібно знати довжини сторін трикутника, тригонометричну для одного з кутів якого потрібно вирахувати. Наприклад, синус гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення довжини катета, що протилежить цьому куту, до довжини гіпотенузи. З цього випливає, що для кута достатньо знати довжини цих двох сторін. Аналогічне говорить, що синусом гострого кута є відношення довжини катета, що прилягає до цього кута, до довжини гіпотенузи. Тангенс гострого кута можна обчислити, розділивши довжину катета, що протилежить йому, на довжину прилеглого, а вимагає поділу довжини прилеглого катета до довжини протилежного. Для обчислення секансу гострого кута треба знайти відношення довжини гіпотенузи до довжини катета, що прилягає до потрібного кута, а косеканс визначається ставленням довжини гіпотенузи до довжини протилежного катета.

Якщо аргумент тригонометричної функції відомий, то знати довжини сторін трикутника не потрібно - можна скористатися таблицями значень або калькуляторами тригонометричних функцій. Такий серед стандартних програм операційної системи Windows. Для його запуску можна натиснути клавіші Win + R, ввести команду calc і клацнути кнопку «OK». В інтерфейсі програми слід розкрити розділ «Вигляд» та пункт «Інженерний» або «Науковий». Після цього можна вводити аргумент тригонометричної функції. Для обчислення функцій синус, косинус і досить після введення значення клацнути по відповідній кнопці інтерфейсу (sin, cos, tg), а знаходження зворотних їм арксинуса, арккосинуса і слід попередньо поставити позначку в чекбоксе Inv.

Є й альтернативні методи. Один з них - перейти на сайт пошукової системи Nigma або Google і ввести як пошуковий запит потрібну функцію та її аргумент (наприклад, sin 0.47). Ці пошукові системи мають вбудовані калькулятори, тому після відправки такого запиту ви отримаєте значення введеної вами тригонометричної функції.

Відео на тему

Тригонометричні функції спочатку виникли як інструменти абстрактних математичних обчислень залежностей величин гострих кутів у прямокутному трикутнику від довжин його сторін. Зараз вони дуже широко застосовуються як у наукових, так і в технічних галузях людської діяльності. Для практичних обчислень тригонометричних функцій від заданих аргументів можна використовувати різні інструменти – нижче описано кілька найбільш доступних із них.

Інструкція

Скористайтеся, наприклад, програмою-калькулятором, яка встановлюється за замовчуванням разом з операційною системою. Вона відкривається вибором пункту «Калькулятор» у папці «Службові» з підрозділу «Стандартні», що міститься в розділі «Всі програми». Цей розділ можна відкрити клацанням по кнопці «Пуск» головне меню операційної . Якщо ви використовуєте версію Windows 7, то можете просто ввести «Калькулятор» у поле «Знайти програми та файли» головного меню, а потім клацнути за відповідним посиланням у результатах пошуку.

Введіть кута, для якого треба розрахувати тригонометричну функцію, а потім натисніть на відповідній цій кнопці - sin, cos або tan. Якщо вас цікавлять зворотні тригонометричні функції (арксинус, арккосинус або ), то спочатку натисніть кнопку з написом Inv - вона змінює присвоєні керуючим кнопкам функції на протилежні.

У попередніх версіях ОС (наприклад, Windows XP) для доступу до тригонометричних функцій треба розкрити в меню калькулятора розділ «Вигляд» і вибрати рядок «Інженерний». Крім того, замість кнопки Inv в інтерфейсі старих версій програми присутній чекбокс з написом.

Можна і без калькулятора, якщо у вас є доступ до Інтернету. У мережі є багато сервісів, які пропонують по-різному організовані обчислювачі тригонометричних функцій. Один з найзручніших вбудований у пошукову систему Nigma. Перейшовши на її головну сторінку, просто введіть у поле пошукового запиту значення, що вас цікавить - наприклад, «арктангенс 30». Після натискання кнопки "Знайти!" пошукач розрахує та покаже результат обчислення - 0,482347907101025.

Відео на тему

Тригонометрія – розділ математики вивчення , що виражають різні залежності сторін прямокутного трикутника від величин гострих кутів при гіпотенузі. Такі функції отримали назву тригонометричних, а для спрощення роботи з ними були виведені тригонометричні тотожності.

Концепція тотожностіозначає рівність, яке виконується при будь-яких значеннях аргументів функцій, що входять до нього. Тригонометричні тотожності– це рівні тригонометричних функцій, доведені та прийняті для полегшення роботи з тригонометричними формулами. Тригонометрична функція – це елементарна функція залежності одного з катетів прямокутного трикутника від величини гострого кута при гіпотенузі. Найчастіше використовуються шість основних тригонометричних функцій: sin (синус), cos (косинус), tg (тангенс), ctg (котангенс), sec (секанс) та cosec (косеканс). Ці функції називаються прямими, існують також

Мета: узагальнити та систематизувати знання учнів на тему “Періодичність функцій”; формувати навички застосування властивостей періодичної функції, знаходження найменшого позитивного періоду функції, побудови графіків періодичних функцій; сприяти підвищенню інтересу до вивчення математики; виховувати спостережливість, акуратність.

Обладнання: комп'ютер, мультимедійний проектор, картки із завданнями, слайди, годинники, таблиці орнаментів, елементи народного промислу

"Математика - це те, за допомогою чого люди керують природою і собою"
О.М. Колмогорів

Хід уроку

I. Організаційний етап.

Перевірка готовності учнів до уроку. Повідомлення теми та завдань уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Домашнє завдання перевіряємо на зразки, найскладніші моменти обговорюємо.

ІІІ. Узагальнення та систематизація знань.

1. Усна фронтальна робота.

Питання теорії.

1) Сформуйте визначення періоду функції
2) Назвіть найменший позитивний період функцій y=sin(x), y=cos(x)
3). Назвіть найменший позитивний період функцій y=tg(x), y=ctg(x)
4) Доведіть за допомогою кола вірність співвідношень:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18) 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Як побудувати графік періодичної функції?

Усні вправи.

1) Довести такі співвідношення

a) sin(740º ) = sin(20º )
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Довести, що кут 540º є одним з періодів функції y=cos(2x)

3. Довести, що кут 360º є одним з періодів функції y=tg(x)

4. Дані вирази перетворити так, щоб кути, що входять до них, по абсолютній величині не перевищували 90º .

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Де ви зустрічалися зі словами ПЕРІОД, ПЕРІОДІЧНІСТЬ?

Відповіді учнів: Період музики – побудова, у якому викладено більш-менш завершена музична думка. Геологічний період – частина епохи і поділяється на епохи з періодом від 35 до 90 млн. років.

Період напіврозпаду радіоактивної речовини. Періодичний дріб. Періодична друк - друковані видання, що з'являються в певні терміни. Періодична система Менделєєва.

6. На рисунках зображено частини графіків періодичних функцій. Визначте період функції. Визначити період функції.

Відповідь: Т = 2; Т=2; Т=4; Т = 8.

7. Де в житті ви зустрічалися з побудовою елементів, що повторюються?

Відповідь учнів: Елементи орнаментів, народна творчість.

IV. Колективне розв'язання задач.

(Рішення завдань на слайдах.)

Розглянемо один із способів дослідження функції на періодичність.

При цьому способі обходяться труднощі, пов'язані з доказом того, що той чи інший період є найменшим, а також відпадає необхідність стосуватися питань про арифметичні дії над періодичними функціями та про періодичність складної функції. Міркування спирається лише визначення періодичної функції і такий факт: якщо Т – період функції, те й nT(n?0) – її період.

Завдання 1. Знайдіть найменший позитивний період функції f(x)=1+3(x+q>5)

Рішення: Припустимо, що Т-період цієї функції. Тоді f(x+T)=f(x) всім x € D(f), тобто.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0.25)

Покладемо x=-0,25 отримаємо

(T) = 0<=>T = n, n € Z

Ми отримали, що всі періоди цієї функції (якщо вони існують) знаходяться серед цілих чисел. Виберемо серед цих чисел найменше додатне число. Це 1 . Перевіримо, чи не буде воно і справді періодом 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Оскільки (T+1)=(T) за будь-якого Т, то f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), тобто. 1 – період f. Оскільки 1 – найменше з усіх позитивних чисел, то T=1.

Завдання 2. Показати, що функція f(x)=cos 2 (x) періодична і визначити її основний період.

Завдання 3. Знайдіть основний період функції

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Допустимо Т-період функції, тоді для будь-якого хсправедливе співвідношення

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Якщо х = 0, то

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Якщо х=-Т, то

sin0+5cos0=sin(-1,5Т)+5cos0,75(-Т)

5= – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)

sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Склавши, отримаємо:

10cos (0,75 Т) = 10

2π n, n € Z

Виберемо з усіх “підозрілих” на період чисел найменше позитивне та перевіримо, чи є воно періодом для f. Це число

f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Отже – основний період функції f.

Завдання 4. Перевіримо, чи є періодичною функція f(x)=sin(x)

Нехай Т - період функції f. Тоді для будь-кого

sin|x+Т|=sin|x|

Якщо х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Припустимо. Що за деякого n число π n є періодом

розглянутої функції π n>0. Тоді sin|π n+x|=sin|x|

Звідси випливає, що n має бути одночасно і парним і непарним числом, але це неможливо. Тому ця функція не є періодичною.

Завдання 5. Перевірити, чи є періодичною функція

f(x)=

Нехай Т - період f, тоді

, Звідси sinT = 0, Т = π n, n € Z. Припустимо, що при деякому n число π n дійсно є періодом цієї функції. Тоді і число 2π n буде періодом

Оскільки чисельники рівні, то рівні та його знаменники, тому

Отже, функція f не періодична.

Робота у групах.

Завдання групи 1.

Завдання групи 2.

Перевірте, чи є функція f періодичною і знайдіть її основний період (якщо існує).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Завдання групи 3.

Після закінчення роботи гурту презентують свої рішення.

VI. Підбиття підсумків уроку.

Рефлексія.

Вчитель видає учням картки з малюнками і пропонує зафарбувати частина першого малюнка відповідно до того, у якому обсязі, як їм здається, вони оволоділи методами дослідження функції на періодичність, а частини другого малюнка – відповідно до свого внеску в роботу на уроці.

VII. Домашнє завдання

1). Перевірте, чи є функція f періодичною і знайдіть її основний період (якщо вона існує)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функція y=f(x) має період Т=2 та f(x)=x 2 +2x при х € [-2; 0]. Знайдіть значення виразу -2f(-3)-4f(3,5)

Література/

1. Мордкович О.Г.Алгебра та початку аналізу з поглибленим вивченням.
2. Математика. Підготовка до ЄДІ. За ред. Лисенка Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
3. Шереметьєва Т.Г. , Тарасова О.О.Алгебра та початку аналізу для 10-11 класів.