Механічні хвилі визначення фізики. Виникнення та розповсюдження механічних хвиль

1. Механічні хвилі, частота хвилі. Поздовжні та поперечні хвилі.

2. Хвильовий фронт. Швидкість та довжина хвилі.

3. Рівняння плоскої хвилі.

4. Енергетичні властивості хвилі.

5. Деякі спеціальні різновиди хвиль.

6. Ефект Доплера та його використання в медицині.

7. Анізотропія під час поширення поверхневих хвиль. Вплив ударних хвиль на біологічні тканини.

8. Основні поняття та формули.

9. Завдання.

2.1. Механічні хвилі, частота хвилі. Поздовжні та поперечні хвилі

Якщо в будь-якому місці пружного середовища (твердого, рідкого або газоподібного) порушити коливання її частинок, то внаслідок взаємодії між частинками це коливання почне поширюватися в середовищі від частинки до частинки з деякою швидкістю v.

Наприклад, якщо в рідке або газоподібне середовище помістити тіло, що коливається, то коливальний рухтіла передаватиметься прилеглим до нього частинкам середовища. Вони, своєю чергою, залучають до коливального руху сусідні частки тощо. При цьому всі точки середовища здійснюють коливання з однаковою частотою, що дорівнює частоті коливання тіла. Ця частота називається частотою хвилі.

Хвиляназивається процес поширення механічних коливань у пружному середовищі.

Частотою хвиліназивається частота коливань точок середовища, в якому поширюється хвиля.

З хвилею пов'язане перенесення енергії коливань від джерела коливань до периферійних ділянок середовища. При цьому у середовищі виникають

періодичні деформації, що переносяться хвилею з однієї точки середовища до іншої. Самі частки середовища не переміщуються разом із хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. Тому поширення хвилі не супроводжується перенесенням речовини.

Відповідно до частоти механічні хвилі поділяються на різні діапазони, які вказані в табл. 2.1.

Таблиця 2.1.Шкала механічних хвиль

Залежно від напрямку коливань частинок по відношенню до напряму поширення хвилі, розрізняють поздовжні та поперечні хвилі.

Поздовжні хвилі- хвилі, при поширенні яких частинки середовища коливаються вздовж тієї ж прямої, якою поширюється хвиля. При цьому в середовищі чергуються області стиснення та розрядження.

Поздовжні механічні хвилі можуть виникати у всіхсередовищах (твердих, рідких та газоподібних).

Поперечні хвилі- хвилі, при поширенні яких частинки коливаються перпендикулярно до напряму поширення хвилі. У цьому середовищі виникають періодичні деформації зсуву.

У рідинах і газах пружні сили виникають тільки при стиску та не виникають при зрушенні, тому поперечні хвилі в цих середовищах не утворюються. Виняток становлять хвилі на поверхні рідини.

2.2. Хвильовий фронт. Швидкість та довжина хвилі

У природі не існує процесів, що поширюються з нескінченно великою швидкістю, тому обурення, створене зовнішнім впливом в одній точці середовища, досягне іншої точки не миттєво, а згодом. При цьому середовище ділиться на дві області: область, точки якої вже залучені до коливального руху, і область, точки якої ще знаходяться в рівновазі. Поверхня, що розділяє ці області, називається фронтом хвилі.

Фронт хвилігеометричне місце точок, яких до цього моменту дійшло вагання (обурення середовища).

При поширенні хвилі її фронт переміщається, рухаючись із деякою швидкістю, яку називають швидкістю хвилі.

Швидкістю хвилі (v) називається швидкість переміщення її фронту.

Швидкість хвилі залежить від властивостей середовища та типу хвилі: поперечні та поздовжні хвилі у твердому тілі поширюються з різними швидкостями.

Швидкість поширення всіх типів хвиль визначається за умови слабкого згасання хвилі наступним виразом:

де G – ефективний модуль пружності, ρ – щільність середовища.

Швидкість хвилі в середовищі не слід плутати зі швидкістю руху частинок середовища, залучених у хвильовий процес. Наприклад, при поширенні звукової хвилі у повітрі середня швидкість коливань його молекул близько 10 см/с, а швидкість звукової хвилі за нормальних умов близько 330 м/с.

Форма хвильового фронту визначає геометричний тип хвилі. Найпростіші типи хвиль за цією ознакою плоскіі сферичні.

Плоскийназивається хвиля, у якої фронтом є площина, перпендикулярна до напряму поширення.

Плоскі хвилі виникають, наприклад, у закритому поршньому циліндрі з газом, коли поршень здійснює коливання.

Амплітуда плоскої хвилі залишається майже незмінною. Її слабке зменшення в міру віддалення джерела хвилі пов'язане з в'язкістю рідкого або газоподібного середовища.

Сферичнійназивається хвиля, у якої фронт має форму сфери.

Такою, наприклад, є хвиля, що викликається в рідкому або газоподібному середовищі сферичним пульсуючим джерелом.

Амплітуда сферичної хвилі при віддаленні джерела убуває назад пропорційно квадрату відстані.

Для опису низки хвильових явищ, наприклад інтерференції та дифракції, використовують спеціальну характеристику, яка називається довжиною хвилі.

Довжиною хвилі називається відстань, на яку переміщається її фронт за час, що дорівнює періоду коливань частинок середовища:

Тут v- швидкість хвилі, Т - період коливань, ν - частота коливань точок середовища, ω - Циклічна частота.

Оскільки швидкість поширення хвилі залежить від властивостей середовища, то довжина хвилі λ при переході з одного середовища до іншого змінюється, тоді як частота ν залишається незмінною.

Це визначення довжини хвилі має важливу геометричну інтерпретацію. Розглянемо рис. 2.1 а, на якому показано усунення точок середовища в певний момент часу. Положення фронту хвилі відзначено точками А та Ст.

Через час Т, що дорівнює одному періоду коливань, фронт хвилі переміститься. Його положення показано на рис. 2.1 б точками А 1 і В 1 . З малюнка видно, що довжина хвилі λ дорівнює відстані між сусідніми точками, що коливаються в однаковій фазі, наприклад, відстані між двома сусідніми максимумами або мінімумами обурення.

Рис. 2.1.Геометрична інтерпретація довжини хвилі

2.3. Рівняння плоскої хвилі

Хвиля виникає внаслідок періодичних зовнішніх впливів на середу. Розглянемо поширення плоскоюхвилі, створеної гармонічними коливаннями джерела:

де х і – зміщення джерела, А – амплітуда коливань, ω – кругова частота коливань.

Якщо деяка точка середовища віддалена від джерела на відстань s, а швидкість хвилі дорівнює v,то обурення, створене джерелом, досягне цієї точки через τ = s/v. Тому фаза коливань в точці, що розглядається, в момент часу t буде такою ж, як фаза коливань джерела в момент часу (t - s/v),а амплітуда коливань залишиться практично незмінною. В результаті коливання цієї точки будуть визначатися рівнянням

Тут ми використали формули для кругової частоти (ω = 2π/Т) та довжини хвилі (λ = v T).

Підставивши цей вираз у вихідну формулу, отримаємо

Рівняння (2.2), що визначає зміщення будь-якої точки середовища у будь-який момент часу, називається рівняння плоскої хвилі.Аргумент при косинусі - величина φ = ωt - 2 π s /λ - називається фазою хвилі.

2.4. Енергетичні характеристики хвилі

Середовище, в якому поширюється хвиля, має механічну енергію, що складається з енергій коливального руху всіх її частинок. Енергія однієї частинки з масою m 0 знаходиться за формулою (1.21): Е 0 = m 0 Α 2 ω 2/2. В одиниці обсягу середовища міститься n = p/m 0 частинок (ρ - Щільність середовища). Тому одиниця обсягу середовища має енергію w р = nЕ 0 = ρ Α 2 ω 2 /2.

Об'ємна щільність енергії(\¥ р) - енергія коливального руху частинок середовища, що містяться в одиниці її обсягу:

де ρ – щільність середовища, А – амплітуда коливань частинок, ω – частота хвилі.

При поширенні хвилі енергія, що повідомляється джерелом, переноситься у віддалені області.

Для кількісного опису перенесення енергії вводять такі величини.

Потік енергії(Ф) - величина, що дорівнює енергії, що переноситься хвилею через дану поверхню за одиницю часу:

Інтенсивність хвиліабо щільність потоку енергії (I) - величина, рівна потокуенергії, що переноситься хвилею через одиничний майданчик, перпендикулярний напряму поширення хвилі:

Можна показати, що інтенсивність хвилі дорівнює добутку швидкості її поширення на об'ємну щільність енергії

2.5. Деякі спеціальні різновиди

хвиль

1. Ударні хвилі.При поширенні звукових хвиль швидкість коливання частинок вбирається у кількох див/с, тобто. вона в сотні разів менша за швидкість хвилі. При сильних обуреннях (вибух, рух тіл із надзвуковою швидкістю, потужний електричних розряд) швидкість коливань частинок середовища може стати порівнянною зі швидкістю звуку. При цьому виникає ефект, який називають ударною хвилею.

При вибуху нагріті до високих температур продукти, що мають велику щільність, розширюються і стискають тонкий шарнавколишнього повітря.

Ударна хвиля -тонка перехідна область, що поширюється з надзвуковою швидкістю, в якій відбувається стрибкоподібне зростання тиску, щільності і швидкості руху речовини.

Ударна хвиля може мати значну енергію. Так, при ядерному вибуху на утворення ударної хвилі довкіллявитрачається близько 50% всієї енергії вибуху. Ударна хвиля, досягаючи об'єктів, здатна спричинити руйнування.

2. Поверхневі хвилі.Поруч із об'ємними хвилями в суцільних середовищах за наявності протяжних кордонів можуть бути хвилі, локалізовані поблизу кордонів, які грають роль хвилеводів. Такі, зокрема, поверхневі хвилі у рідині та пружному середовищі, відкриті англійським фізиком В. Стреттом (лордом Релеєм) у 90-х роках 19 століття. В ідеальному випадку хвилі Релея розповсюджуються вздовж межі напівпростору, експонентно затухаючи в поперечному напрямку. В результаті поверхневі хвилі локалізують енергію збурень, створених на поверхні, порівняно вузькому приповерхневому шарі.

Поверхневі хвиліхвилі, які розповсюджуються вздовж вільної поверхні тіла або вздовж кордону тіла з іншими середовищами та швидко згасають при віддаленні від кордону.

Прикладом таких хвиль можуть служити хвилі земної кори(Сейсмічні хвилі). Глибина проникнення поверхневих хвиль становить кілька довжин хвиль. На глибині, що дорівнює довжині хвилі, об'ємна щільність енергії хвилі становить приблизно 0,05 її об'ємної щільності на поверхні. Амплітуда зміщення швидко зменшується при віддаленні від поверхні та на глибині декількох довжин хвиль практично зникає.

3. Хвилі збудження в активних середовищах.

Активно збудлива, або активна, середовище - безперервне середовище, що складається з великої кількості елементів, кожен з яких має запас енергії.

При цьому кожен елемент може бути в одному з трьох станів: 1 - збудження, 2 - рефрактерність (незбудливість протягом певного часу після збудження), 3 - спокій. В збудження можуть перейти елементи лише зі стану спокою. Хвилі збудження в активних середовищах називають автохвилями. Автохвилі -це самопідтримуються хвилі в активному середовищі, що зберігають свої характеристики постійними за рахунок розподілених у середовищі джерел енергії.

Характеристики автохвилі - період, довжина хвилі, швидкість поширення, амплітуда і форма - в режимі залежать тільки від локальних властивостей середовища проживання і не залежать від початкових умов. У табл. 2.2 представлено подібність і відмінність автохвиль і стандартних механічних хвиль.

Автохвилі можна порівняти з поширенням пожежі у степу. Полум'я поширюється області з розподіленими запасами енергії (по сухій траві). Кожен наступний елемент (суха травинка) запалюється від попереднього. І таким чином поширюється фронт хвилі збудження (полум'я) активним середовищем (сухою травою). При зустрічі двох осередків пожежі полум'я зникає, тому що вичерпано запаси енергії - вся трава вигоріла.

Опис процесів поширення автохвиль в активних середовищах використовується щодо поширення потенціалів дії з нервових і м'язових волокнах.

Таблиця 2.2.Порівняння автохвиль та звичайних механічних хвиль

2.6. Ефект Доплера та його використання в медицині

Християн Доплер (1803-1853) – австрійський фізик, математик, астроном, директор першого у світі фізичного інституту.

Ефект Доплераполягає у зміні частоти коливань, що сприймається спостерігачем, внаслідок відносного руху джерела коливань та спостерігача.

Ефект спостерігається в акустиці та оптиці.

Отримаємо формулу, що описує ефект Доплера, для випадку, коли джерело та приймач хвилі рухаються щодо середовища вздовж однієї прямої зі швидкостями v І та v П відповідно. Джерелоздійснює гармонійні коливанняз частотою 0 відносно свого рівноважного положення. Хвиля, створена цими коливаннями, поширюється серед зі швидкістю v.З'ясуємо, яку частоту коливань зафіксує у цьому випадку приймач.

Обурення, створювані коливаннями джерела, поширюються серед і досягають приймача. Розглянемо одне повне коливання джерела, що починається на момент часу t 1 = 0

і закінчується в момент t2 = T0 (T0 - період коливань джерела). Обурення середовища, створені в ці моменти часу, досягають приймача моменти t" 1 і t" 2 відповідно. При цьому приймач фіксує коливання з періодом та частотою:

Знайдемо моменти t" 1 і t" 2 для випадку, коли джерело та приймач рухаються назустрічодин одному, а початкова відстань між ними дорівнює S. У момент t 2 = T 0 ця відстань стане рівною S - (v І + v П) T 0 (рис. 2.2).

Рис. 2.2.Взаємне розташування джерела та приймача в моменти t 1 та t 2

Ця формула справедлива для випадку, коли швидкості v і і v п спрямовані назустрічодин одному. У загальному випадку під час руху

джерела та приймача вздовж однієї прямої формула для ефекту Доплера набуває вигляду

Для джерела швидкість v І береться зі знаком «+», якщо він рухається у напрямку приймача, і зі знаком «-» інакше. Для приймача – аналогічно (рис. 2.3).

Рис. 2.3.Вибір знаків для швидкостей джерела та приймача хвиль

Розглянемо один окремий випадоквикористання ефекту Доплера у медицині. Нехай генератор ультразвуку поєднаний із приймачем у вигляді деякої технічної системи, яка є нерухомою щодо середовища. Генератор випромінює ультразвук, що має частоту 0, який поширюється в середовищі зі швидкістю v. Назустрічсистемі зі швидкістю v т рухається деяке тіло. Спочатку система виконує роль джерела (v І= 0), а тіло – роль приймача (v Tl= v Т). Потім хвиля відбивається від об'єкта і фіксується нерухомим приймальним пристроєм. В цьому випадку v І = v Т,а v п = 0.

Застосувавши формулу (2.7) двічі, отримаємо формулу для частоти, що фіксується системою після відображення випущеного сигналу:

При наближенніоб'єкта до датчика частота відбитого сигналу збільшується,а при видалення - зменшується.

Вимірявши доплерівський зсув частоти, з формули (2.8) можна знайти швидкість руху тіла, що відбиває:

Знак «+» відповідає руху тіла назустріч випромінювачу.

Ефект Доплера використовується для визначення швидкості кровотоку, швидкості руху клапанів та стінок серця (доплерівська ехокардіографія) та інших органів. Схема відповідної установки для вимірювання швидкості крові показано на рис. 2.4.

Рис. 2.4.Схема установки для вимірювання швидкості крові: 1 – джерело ультразвуку, 2 – приймач ультразвуку

Установка складається з двох п'єзокристалів, один з яких служить для генерації ультразвукових коливань (зворотний п'єзоефект), а другий - для прийому ультразвуку (прямий п'єзоефект), розсіяного кров'ю.

Приклад. Визначити швидкість кровотоку в артерії, якщо при зустрічному відображенні ультразвуку (ν 0 = 100 кГц = 100000 Гц, v = 1500 м/с) від еритроцитів виникає доплерівський зсув частоти ν Д = 40 Гц.

Рішення. За формулою (2.9) знайдемо:

v 0 = v Д v /2v 0 = 40x 1500/(2x 100000) = 0,3 м/с.

2.7. Анізотропія при поширенні поверхневих хвиль. Дія ударних хвиль на біологічні тканини

1. Анізотропія розповсюдження поверхневих хвиль.При дослідженні механічних властивостейшкіри за допомогою поверхневих хвиль на частоті 5-6 кГц (не плутати з УЗ) проявляється акустична анізотропія шкіри. Це виявляється у тому, що швидкості поширення поверхневої хвилі у взаємно перпендикулярних напрямках – вздовж вертикальної (Y) та горизонтальної (Х) осей тіла – розрізняються.

Для кількісної оцінки ступеня вираження акустичної анізотропії використовується коефіцієнт механічної анізотропії, який обчислюється за формулою:

де v у- швидкість уздовж вертикальної осі, v x- Вздовж горизонтальної осі.

Коефіцієнт анізотропії приймається за позитивний (К+), якщо v y> v xпри v y < v xкоефіцієнт приймається за негативний (К-). Чисельні значення швидкості поверхневих хвиль у шкірі та ступеня вираженості анізотропії є об'єктивними критеріями для оцінки різних впливів, у тому числі і на шкіру.

2. Дія ударних хвиль на біологічні тканини.У багатьох випадках впливу на біологічні тканини (органи) необхідно враховувати ударні хвилі, що виникають при цьому.

Так, наприклад, ударна хвиля виникає при ударі тупим предметом по голові. Тому при проектуванні захисних касок дбають про те, щоб погасити ударну хвилю і запобігти потилиці при лобовому ударі. Цій меті і є внутрішня стрічка в касці, яка на перший погляд здається необхідною лише для вентиляції.

Ударні хвилі виникають у тканинах при впливі на них високоінтенсивного лазерного випромінювання. Часто після цього у шкірі починають розвиватися рубцеві (чи інші) зміни. Це, наприклад, має місце у косметологічних процедурах. Тому, щоб знизити шкідливий впливударних хвиль необхідно заздалегідь розраховувати дозування впливу з урахуванням фізичних властивостей як випромінювання, так і самої шкіри.

Рис. 2.5.Поширення радіальних ударних хвиль

Ударні хвилі використовуються в радіальній ударно-хвильовій терапії. На рис. 2.5 показано поширення радіальних ударних хвиль від аплікатора.

Такі хвилі створюються в приладах, забезпечених спеціальним компресором. Радіальна ударна хвиля генерується пневматичним методом. Поршень, що у маніпуляторі, рухається з великою швидкістю під впливом керованого імпульсу стисненого повітря. Коли поршень ударяє по аплікатору, встановленому в маніпуляторі, його кінетична енергія перетворюється на механічну енергію області тіла, яку впливав. При цьому для зниження втрат при передачі хвиль у повітряному прошарку, що знаходиться між аплікатором і шкірою, і для забезпечення хорошої провідності ударних хвиль використовується контактний гель. Нормальний режим роботи: частота 6-10 Гц, робочий тиск 250 кПа, число імпульсів за сеанс - до 2000.

1. На кораблі включають сирену, що подає сигнали в тумані, і через t = 6,6 з чутно відлуння. Як далеко знаходиться поверхня, що відображає? Швидкість звуку у повітрі v= 330 м/с.

Рішення

Під час t звук проходить шлях 2S: 2S = vt →S = vt/2 = 1090 м. Відповідь: S = 1090 м-коду.

2. Який мінімальний розмірпредметів, становище яких можуть визначити летючі мишіза допомогою свого сенсора, що має частоту 100000 Гц? Яким є мінімальний розмір предметів, які можуть виявити дельфіни з використанням частоти 100 000 Гц?

Рішення

Мінімальні розміри предмета дорівнюють довжині хвилі:

λ 1= 330 м/с/10 5 Гц = 3,3 мм. Такий приблизно розмір комах, якими харчуються кажани;

λ 2= 1500 м/с/10 5 Гц = 1,5 см. Дельфін може виявити невелику рибку.

Відповідь:λ 1= 3,3 мм; λ 2= 1,5 див.

3. Спочатку людина бачить спалах блискавки, а через 8 секунд після цього чує удар грому. На якій відстані від нього блиснула блискавка?

Рішення

S = v зв t = 330 x 8 = 2640 м-коду. Відповідь: 2640 м.

4. Дві звукові хвилімають однакові характеристики, за винятком того, що довжина хвилі однієї вдвічі більша, ніж у іншої. Яка їх переносить велику енергію? Скільки разів?

Рішення

Інтенсивність хвилі прямо пропорційна квадрату частоти (2.6) і обернено пропорційна квадрату довжини хвилі (ω = 2πv/λ ). Відповідь:та, у якої довжина хвилі менша; у 4 рази.

5. Звукова хвиля, що має частоту 262 Гц, поширюється у повітрі зі швидкістю 345 м/с. а) Чому дорівнює її довжина хвилі? б) За який час фаза у цій точці простору змінюється на 90°? в) Чому дорівнює різниця фаз (у градусах) між точками, що віддаляються одна від одної на 6,4 см?

Рішення

а) λ = v /ν = 345/262 = 1,32 м;

в) Δφ = 360 ° s / λ = 360 x 0,064/1,32 = 17,5 °. Відповідь:а) λ = 1,32 м; б) t = T/4; в) Δφ = 17,5 °.

6. Оцінити верхню межу (частоту) ультразвуку у повітрі, якщо відома швидкість його поширення v= 330 м/с. Вважати, що молекули повітря мають розмір порядку d = 10-10 м.

Рішення

У повітрі механічна хвиля є поздовжньою і довжина хвилі відповідає відстані між двома найближчими згущення (або розрядження) молекул. Оскільки відстань між згущенням не може бути менше розмірівмолекул, то явно граничним випадком слід вважати d = λ. З цих міркувань маємо ν = v /λ = 3,3x 10 12 Гц. Відповідь:ν = 3,3x 10 12 Гц.

7. Дві машини рухаються назустріч один одному зі швидкостями v 1 = 20 м/с та v 2 = 10 м/с. Перша машина подає сигнал із частотою ν 0 = 800 Гц. Швидкість звуку v= 340 м/с. Яку частоту сигнал почує водій другої машини: а) до зустрічі машин; б) після зустрічі машин?

8. Коли поїзд проходить повз, Ви чуєте, як частота його свистка змінюється від ν 1 = 1000 Гц (при наближенні) до ν 2 = 800 Гц (коли потяг віддаляється). Чому дорівнює швидкість поїзда?

Рішення

Це завдання відрізняється від попередніх тим, що нам невідома швидкість джерела звуку - поїзда - і частота його сигналу ν 0 невідома. Тому виходить система рівнянь із двома невідомими:

Рішення

Нехай v- Швидкість вітру, і він дме від людини (приймач) до джерела звуку. Щодо землі вони нерухомі, а щодо повітряного середовища обидва рухаються вправо зі швидкістю u.

За формулою (2.7) отримаємо частоту звуку. сприймається людиною. Вона незмінна:

Відповідь:частота не зміниться.

Уявити, що таке механічні хвилі, можна, кинувши у воду камінь. Кола, що виникають на ній і є западинами і гребнями, що чергуються, - це приклад механічних хвиль. У чому їхня сутність? Механічні хвилі – це процес поширення коливань у пружних середовищах.

Хвилі на поверхнях рідин

Такі механічні хвилі існують завдяки впливу на частинки рідини сил міжмолекулярної взаємодії та тяжкості. Люди вже давно вивчають це явище. Найбільш примітними є океанські та морські хвилі. Принаймні збільшення швидкості вітру вони змінюються, які висота зростає. Також ускладнюється форма самих хвиль. В океані вони можуть досягати жахливих масштабів. Одним із найнаочніших прикладів сили є цунамі, які все змітають на своєму шляху.

Енергія морських та океанських хвиль

Досягаючи берега, морські хвилі при різкій зміні глибини зростають. Вони іноді досягають висоти кілька метрів. У такі моменти колосальної маси води передається береговим перешкодам, які під її впливом швидко руйнуються. Сила прибою іноді досягає грандіозних значень.

Пружні хвилі

У механіці вивчають як коливання лежить на поверхні рідини, а й звані пружні хвилі. Це обурення, які поширюються у різних середовищах під впливом них сил пружності. Таке обурення є будь-яким відхиленням частинок даного середовища від положення рівноваги. Наочним прикладом пружних хвиль є довга мотузкаабо гумова трубка, прикріплена одним з кінців до чогось. Якщо її туго натягнути, а потім бічним різким рухом створити на другому (незакріпленому) її кінці обурення, можна побачити, як воно по всій довжині мотузки «пробіжить» до опори і позначиться назад.

Початкове обурення призводить до виникнення серед хвилі. Воно викликається дією якогось стороннього тіла, яке у фізиці називається джерелом хвилі. Їм може бути рука людини, яка хитнула мотузку, або камінчик, кинутий у воду. У тому випадку, коли дія джерела має короткочасний характер, серед часто виникає одиночна хвиля. Коли ж «обурювач» здійснює тривалі хвилі, починають виникати одна за одною.

Умови виникнення механічних хвиль

Такі коливання утворюються який завжди. Необхідною умовоюдля їх появи є виникнення в момент обурення середовища, що перешкоджають йому сил, зокрема, пружності. Вони прагнуть зблизити сусідні частки, коли вони розходяться, і відштовхнути їх у момент зближення. Сили пружності, діючи на віддалені джерела обурення частки, починають виводити їх із рівноваги. Згодом всі частинки середовища втягуються в один коливальний рух. Поширення таких коливань є хвилею.

Механічні хвилі в пружному середовищі

У пружній хвилі існують 2 види руху одночасно: коливання частинок та поширення обурення. Поздовжньою називається механічна хвиля, частки якої коливаються вздовж напряму її розповсюдження. Поперечною називається хвиля, частки середовища якої коливаються поперек спрямування її поширення.

Властивості механічних хвиль

Обурення в поздовжній хвилі є розрідження і стискування, а поперечної - зрушення (зміщення) одних шарів середовища стосовно іншим. Деформація стиску супроводжується появою сил пружності. При цьому пов'язана з появою сил пружності виключно в твердих тілах. У газоподібних та рідких середовищах зсув шарів цих середовищ не супроводжується виникненням згаданої сили. Завдяки своїм властивостям поздовжні хвилі здатні поширюватися у будь-яких середовищах, а поперечні – виключно у твердих.

Особливості хвиль на поверхні рідин

Хвилі на поверхні рідини не поздовжні та не поперечні. Вони мають складніший, так званий поздовжньо-поперечний характер. У цьому випадку частинки рідини рухаються по колу або витягнутим еліпсам. частинок на поверхні рідини, особливо при великих коливаннях, супроводжуються їх повільним, але безперервним переміщенням у напрямку поширення хвилі. Саме ці властивості механічних хвиль у воді зумовлюють появу на березі різних дарів моря.

Частота механічних хвиль

Якщо в пружному середовищі (рідкому, твердому, газоподібному) порушити коливання її частинок, то внаслідок взаємодії між ними воно поширюватиметься зі швидкістю u. Так, якщо в газоподібному або рідкому середовищі буде перебувати тіло, що коливається, то його рух почне передаватися всім прилеглим до нього частинкам. Вони залучатимуть у процес такі і таке інше. При цьому абсолютно всі точки середовища стануть здійснювати коливання однакової частоти, що дорівнює частоті тіла, що коливається. Вона є частотою хвилі. Іншими словами, цю величину можна охарактеризувати як точок у середовищі, де поширюється хвиля.

Відразу може бути незрозуміло, як відбувається цей процес. З механічними хвилями пов'язують перенесення енергії коливального руху з його джерела до периферії середовища. У результаті виникають звані періодичні деформації, які переносяться хвилею з однієї точки до іншої. При цьому самі частинки середовища разом із хвилею не переміщуються. Вони коливаються поруч із своїм становищем рівноваги. Саме тому поширення механічної хвилі не супроводжується перенесенням речовини з одного місця до іншого. У механічних хвиль різна частота. Тому їх поділили на діапазони та створили спеціальну шкалу. Частота вимірюється у герцах (Гц).

Основні формули

Механічні хвилі, формули обчислення яких досить прості, є цікавим об'єктомдля вивчення. Швидкість хвилі (υ) - це швидкість переміщення її фронту (геометричне місце всіх точок, яких дійшло коливання середовища в Наразі):

де ρ – щільність середовища, G – модуль пружності.

При розрахунку не варто плутати швидкість механічної хвилі в середовищі зі швидкістю руху частинок середовища, які залучені в Так, наприклад, звукова хвиля в повітрі поширюється з середньою швидкістюколивання його молекул 10 м/с, у той час як швидкість звукової хвилі в нормальних умовах становить 330 м/с.

Хвильовий фронт буває різних видів, Найпростішими з яких є:

Сферичний - викликається коливаннями в газоподібному або рідкому середовищі. Амплітуда хвилі при цьому зменшується при віддаленні від джерела обернено пропорційно квадрату відстані.

Плоский - являє собою площину, яка перпендикулярна до напряму поширення хвилі. Він виникає, наприклад, у закритому поршневому циліндрі, коли той здійснює коливальні рухи. Плоска хвиля характеризується майже постійною амплітудою. Її незначне зменшення при віддаленні джерела обурення пов'язане зі ступенем в'язкості газоподібного або рідкого середовища.

Довжина хвилі

Під розуміють відстань, на яку буде переміщений її фронт за час, що дорівнює періоду коливання частинок середовища:

λ = υT = υ/v = 2πυ/ω,

де Т - період коливання, - швидкість хвилі, - циклічна частота, - частота коливання точок середовища.

Оскільки швидкість поширення механічної хвилі знаходиться в повній залежності від властивостей середовища, то її довжина під час переходу з одного середовища в інше змінюється. При цьому частота коливання завжди залишається колишньою. Механічні і подібні до того, що при їх поширенні здійснюється передача енергії, але не відбувається перенесення речовини.

ВИЗНАЧЕННЯ

Поздовжня хвиля– це хвиля, у разі поширення якої зміщення частинок середовища відбувається у напрямі поширення хвилі (рис.1, а).

Причиною виникнення поздовжньої хвилі є стискування/розтягування, тобто. опір середовища зміні його обсягу. У рідинах чи газах така деформація супроводжується розрідженням або ущільненням частинок середовища. Поздовжні хвилі можуть поширюватися у будь-яких середовищах – твердих, рідких та газоподібних.

прикладами поздовжніх хвильє хвилі в пружному стрижні або звукові хвилі в газах.

Поперечні хвилі

ВИЗНАЧЕННЯ

Поперечна хвиля- Це хвиля, при поширенні якої зсув частинок середовища відбувається в напрямку, перпендикулярному поширенню хвилі (рис.1, б).

Причиною поперечної хвилі є деформація зсуву одного шару середовища щодо іншого. При поширенні поперечної хвилі у середовищі утворюються гребені та западини. Рідини і гази, на відміну твердих тіл, не мають пружністю по відношенню до зсуву шарів, тобто. не чинять опору зміні форми. Тому поперечні хвилі можуть поширюватися лише у твердих тілах.

Прикладами поперечних хвиль можуть бути хвилі, що біжать по натягнутій мотузці або по струні.

Хвилі на поверхні рідини не є поздовжніми, ні поперечними. Якщо кинути на поверхню води поплавець, то можна побачити, що він рухається, погойдуючись на хвилях, круговою. Таким чином, хвиля на поверхні рідини має як поперечну, так і поздовжню компоненти. На поверхні рідини можуть виникати хвилі особливого типу – так звані поверхневі хвилі. Вони виникають у результаті дії та сили поверхневого натягу.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Завдання

Визначити напрямок поширення поперечної хвилі, якщо поплавець у певний момент часу має напрямок швидкості, вказаний на малюнку.

Рішення

Зробимо малюнок. Накреслимо поверхню хвилі поблизу поплавця через деякий проміжок часу , враховуючи, що цей час поплавок опустився вниз, оскільки його у час була спрямована вниз. Продовживши лінію праворуч і ліворуч, покажемо положення хвилі в момент часу . Порівнявши положення хвилі в початковий момент часу ( суцільна лінія) й у час (пунктирна лінія), робимо висновок у тому, що хвиля поширюється вліво.

Досвід показує, що коливання, збуджені в будь-якій точці пружного середовища з часом передаються до її інших частин. Так від каменя, кинутого у спокійну воду озера, колами розходяться хвилі, що з часом сягають берега. Коливання серця, розташованого всередині грудної клітки, можна відчути на зап'ясті, що використовується для визначення пульсу. Наведені приклади пов'язані з поширенням механічних хвиль.

• Механічною хвилею називаєтьсяпроцес поширення коливань у пружному середовищі, що супроводжується передачею енергії від однієї точки середовища до іншої. Зауважимо, що механічні хвилі що неспроможні поширюватися у вакуумі.

Джерелом механічної хвилі є тіло, що коливає. Якщо джерело коливається синусоїдально, то й хвиля в пружному середовищі матиме форму синусоїди. Коливання, викликані будь-якому місці пружного середовища, поширюються серед з певною швидкістю, що залежить від щільності і пружних властивостей середовища.

Підкреслимо, що при поширенні хвилі відсутня перенесення речовини, Т. е. Частки тільки коливаються поблизу положень рівноваги. Середнє усунення частинок щодо положення рівноваги за великий проміжок часу дорівнює нулю.

Основні характеристики хвилі

Розглянемо основні властивості хвилі.

• "Хвильовий фронт"- це уявна поверхня, до якої дійшло хвильове обурення на даний момент часу.

• Лінія, проведена перпендикулярно хвильовому фронту у напрямі поширення хвилі, називається променем.

Промінь вказує напрямок поширення хвилі.

Залежно від форми фронту хвилі розрізняють хвилі плоскі, сферичні та ін.

В плоскій хвиліхвильові поверхні є площини, перпендикулярні до напряму поширення хвилі. Плоскі хвилі можна отримати на поверхні води у плоскій ванночці за допомогою коливань плоского стрижня (рис. 1).

Mex-voln-1-01.swfРис. 1. Збільшити Flash

В сферичній хвиліхвильові поверхні є концентричними сферами. Сферичну хвилю може створити пульсуючий в однорідному пружному середовищі шар. Така хвиля поширюється з однаковою швидкістю в усіх напрямках. Променями є радіуси сфер (рис. 2).

Основними характеристиками хвилі:

• амплітуда (A) - модуль максимального зміщення точок середовища з положень рівноваги при коливаннях;

• період (T) - час повного коливання (період коливань точок середовища дорівнює періоду коливань джерела хвилі)

\(T=\dfrac(t)(N),\)

Де t- проміжок часу, протягом якого відбуваються Nколивань;

• частота(ν) - число повних коливань, що здійснюються в цій точці в одиницю часу

\((\rm \nu) =\dfrac(N)(t).\)

Частота хвилі визначається частотою коливань джерела;

• швидкість(υ) – швидкість переміщення гребеня хвилі (це не швидкість частинок!)

• довжина хвилі(λ) - найменша відстань між двома точками, коливання яких відбуваються в однаковій фазі, тобто це відстань, на яку хвиля поширюється за проміжок часу, рівний періоду коливань джерела

\(\lambda =\upsilon \cdot T.\)

Для характеристики енергії, що переноситься хвилями, використовується поняття інтенсивності хвилі (I), яка визначається як енергія ( W), що переноситься хвилею в одиницю часу ( t= 1 c) через поверхню площею S= 1 м 2 розташовану перпендикулярно до напрямку поширення хвилі:

\(I=\dfrac(W)(S\cdot t).\)

Іншими словами, інтенсивність є потужністю, що переноситься хвилями через поверхню одиничної площі, перпендикулярно до напряму поширення хвилі. Одиницею інтенсивності в СІ є ват на метр у квадраті (1 Вт/м2).

Рівняння хвилі, що біжить

Розглянемо коливання джерела хвилі, що відбуваються з циклічною частотою ω \(\left(\omega =2\pi \cdot \nu =\dfrac(2\pi )(T) \right)\) та амплітудою A:

\(x(t)=A\cdot \sin \; (\omega \cdot t),\)

де x(t) - Зміщення джерела від положення рівноваги.

У деяку точку середовища коливання прийдуть не миттєво, а через проміжок часу, що визначається швидкістю хвилі та відстанню від джерела до точки спостереження. Якщо швидкість хвилі у цьому середовищі дорівнює υ, то залежність від часу tкоординати (зміщення) xколивальної точки, що знаходиться на відстані rвід джерела, що описується рівнянням

\(x(t,r) = A\cdot \sin \; \omega \cdot \left(t-\dfrac(r)(\upsilon ) \right)=A\cdot \sin \;\left(\omega \cdot tk\cdot r \right), \;\;\; (1)\)

де k-хвильове число \(\left(k=\dfrac(\omega)(\upsilon) = \dfrac(2\pi)(\lambda) \right), \;\;\;\varphi =\omega \cdot tk \cdot r\) - фаза хвилі.

Вираз (1) називається рівнянням хвилі, що біжить.

Біжучу хвилю можна спостерігати при наступному експерименті: якщо один кінець гумового шнура, що лежить на гладкому горизонтальному столі, закріпити і, злегка натягнувши шнур рукою, привести його другий кінець у коливальний рух у напрямку, перпендикулярному шнуру, то по ньому побіжить хвиля.

Поздовжня та поперечна хвилі

Розрізняють поздовжні та поперечні хвилі.

• Хвиля називається поперечної, якщочастинки середовища коливаються у площині, перпендикулярній до напряму поширення хвилі.

Розглянемо докладніше процес утворення поперечних хвиль. Візьмемо як модель реального шнура ланцюжок кульок ( матеріальних точок), пов'язаних один з одним пружними силами (рис. 3, а). На малюнку 3 зображено процес поширення поперечної хвилі та показані положення кульок через послідовні проміжки часу, що рівні чверті періоду.

У початковий час \(\left(t_1 = 0 \right)\) всі точки перебувають у стані рівноваги (рис. 3, а). Якщо відхилити кульку 1 від положення рівноваги перпендикулярно до всього ланцюжка куль, то 2 -ой кулька, пружно пов'язана з 1 -им, почне рухатися за ним. Внаслідок інертності руху 2 -ой кулька буде повторювати рухи 1 -ого, але із запізненням у часі. Куля 3 -й, пружно пов'язаний зі 2 -им, почне рухатися за 2 -им кулькою, але з ще більшим запізненням.

Через чверть періоду \(\left(t_2 = \dfrac(T)(4) \right)\) коливання поширюються до 4 -го кульки, 1 -а кулька встигне відхилитися від свого положення рівноваги на максимальну відстань, що дорівнює амплітуді коливань А(Рис. 3, б). Через півперіоду \(\left(t_3 = \dfrac(T)(2) \right)\) 1 -а кулька, рухаючись вниз, повернеться в положення рівноваги, 4 -ий відхилиться від положення рівноваги на відстань, що дорівнює амплітуді коливань А(Рис. 3, в). Хвиля за цей час доходить до 7 -го кульки і т.д.

Через період \(\left(t_5 = T \right)\) 1 -ий кулька, здійснивши повне коливання, проходить через положення рівноваги, а коливальний рух пошириться до 13 -ого кульки (рис. 3, д). А далі рухи 1 -го кульки починають повторюватися, й у коливальному рух беруть участь дедалі більше кульок (рис. 3, буд).

Mex-voln-1-06.swfРис. 6. Збільшити Flash

Прикладами поздовжніх хвиль є звукові хвилі повітря і рідини. Пружні хвилі в газах та рідинах виникають тільки при стисканні або розрідженні середовища. Тому в таких середовищах можливе поширення поздовжніх хвиль.

Хвилі можуть поширюватися не тільки в середовищі, а й уздовж межі поділу двох середовищ. Такі хвилі отримали назву поверхневих хвиль. Прикладом даного типухвиль служать добре знайомі всім хвилі на поверхні води.

Література

1. Аксенович Л. А. Фізика в середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти/Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховання, 2004. – C. 424-428.
2. Жилко, В.В. Фізика: навч. посібник для 11 класу загальноосвіт. шк. з русявий. яз. навчання/В.В. Жилко, Л.Г. Маркович. - Мінськ: Нар. Асвіта, 2009. – С. 25-29.

§ 1.7. Механічні хвилі

Коливання речовини або поля, що розповсюджуються в просторі, називаються хвилею. Коливання речовини породжують пружні хвилі (частка – звук).

Механічна хвиля- Це поширення коливань частинок середовища з часом.

Хвилі у суцільному середовищі поширюються внаслідок взаємодії між частинками. Якщо якась частка приходить у коливальний рух, то, внаслідок пружного зв'язку, цей рух передається сусіднім часткам, і хвиля поширюється. При цьому самі частинки, що коливаються, не переміщаються разом з хвилею, а вагаютьсябіля своїх положень рівноваги.

Поздовжні хвилі– це такі хвилі, у яких напрямок коливань частинок x збігається з напрямом поширення хвилі . Поздовжні хвилі поширюються у газах, рідинах та твердих тілах.

П
оперні хвилі– це такі хвилі, у яких напрямок коливань частинок перпендикулярно до напряму поширення хвилі . Поперечні хвилі поширюються лише у твердих середовищах.

Хвилі мають двояку періодичність - у часі та у просторі. Періодичність у часі означає, що кожна частка середовища коливається біля свого положення рівноваги, і цей рух повторюється з періодом коливань T. Періодичність у просторі означає, що коливальний рух частинок середовища повторюється через певні відстані між ними.

Періодичність хвильового процесу в просторі характеризує величина, яка називається довжиною хвилі і позначається .

Довжина хвилі - це відстань, на яку поширюється хвиля в середовищі за час одного періоду коливань частки .

Звідси
, де - період коливань частинок, - частота коливань, - Швидкість поширення хвилі, що залежить від властивостей середовища.

До Як записати рівняння хвилі? Нехай шматочок шнура розташований у точці О (джерело хвилі) здійснює коливання, що відбуваються за законом косинуса

Нехай точка деяка знаходиться на відстані х від джерела (точки О). для того щоб хвиля, що розповсюджується зі швидкістю v, дійшла до неї потрібен час
. Це означає, що в точці коливання почнуться пізніше на
. Тобто. Після підстановки в це рівняння виразу
та низки математичних перетворень, отримаємо

,
. Введемо позначення:
. Тоді. Через довільність вибору точки В це рівняння і буде шуканим рівнянням плоскої хвилі
.

Вираз, що стоїть під знаком косинуса, називається фазою хвилі.
.

Е Якщо дві точки знаходяться на різних відстанях від джерела хвилі, то фази їх будуть різні. Наприклад, фази точок В і С, що знаходяться на відстані і від джерела хвилі, будуть відповідно рівні

Різниця фаз коливань, що відбуваються в точці В і в точці З позначимо
і вона буде рівна

У таких випадках говорять, що між коливаннями, що відбуваються в точках і С є зсув по фазі Δφ. Кажуть, що коливання у точках В і С відбуваються у фазі, якщо
. Якщо
то коливання в точках В і С відбуваються в протифазі. У решті випадків – просто є зрушення по фазі.

Поняття «довжина хвилі» можна визначити й інакше:

Тому k називають хвильовим числом.

Ми ввели позначення
і показали, що
. Тоді

.

Довжина хвилі - це шлях, що проходить хвилею за один період коливання.

Визначимо два важливі у хвильовій теорії поняття.

Хвильова поверхня- Це геометричне місце точок середовища, що коливаються в однаковій фазі. Хвильову поверхню можна провести через будь-яку точку середовища, отже їх нескінченно багато.

Хвильові поверхні можуть бути будь-якої форми, а в найпростішому випадку вони є сукупністю площин (якщо джерело хвиль - нескінченна площина), паралельних один одному, або сукупність концентричних сфер (якщо джерело хвиль точковий).

Фронт хвилі(хвильовий фронт) – геометричне місце точок, до яких доходять коливання на момент часу . Фронт хвилі відокремлює частину простору, залучену у хвильовий процес, від області, де коливання ще виникли. Отже, хвильовий фронт це одна з хвильових поверхонь. Він поділяє дві області: 1 – до якої дійшла хвиля на час t, 2 – не дійшла.

Хвильовий фронт у кожний момент часу лише один, і він весь час переміщається, тоді як хвильові поверхні залишаються нерухомими (вони проходять через положення рівноваги частинок, що коливаються в однаковій фазі).

Плоска хвиля- Це така хвиля, у якої хвильові поверхні (і фронт хвилі) є паралельними площинами.

Сферична хвиля- Це така хвиля, у якої хвильові поверхні є концентричними сферами. Рівняння сферичної хвилі:
.

Кожна точка середовища, до якої дійшли дві або більше хвиль, братиме участь у коливаннях, спричинених кожною хвилею окремо. А яким буде результуюче вагання? Це від низки чинників, зокрема від властивостей середовища. Якщо властивості середовища не змінюються через процес поширення хвиль, то середовище називається лінійним. Досвід показує, що у лінійному середовищі хвилі поширюються незалежно друг від друга. Ми розглядатимемо хвилі тільки в лінійних середовищах. А яким буде коливання точки, до якої дійшли дві хвилі одночасно? Для відповіді це питання необхідно зрозуміти як знайти амплітуду і фазу коливання, викликаного цим подвійним впливом. Для визначення амплітуди та фази результуючого коливання необхідно знайти усунення, викликані кожною хвилею, а потім їх скласти. Як? Геометрично!

Принцип суперпозиції (накладання) хвиль: при поширенні в лінійному середовищі декількох хвиль кожна з них поширюється так, ніби інші хвилі відсутні, а результуюче зміщення частинки середовища в будь-який момент часу дорівнює геометричній сумі зсувів, які отримують частинки, беручи участь у кожному з хвилових складових процесів.

Важливим поняттям хвильової теорії є поняття когерентність – узгоджене перебіг у часі та у просторі кількох коливальних чи хвильових процесів. Якщо різниця фаз хвиль, що приходять в точку спостереження, не залежить від часу, то такі хвилі називаються когерентними. Вочевидь, що когерентними може лише хвилі, мають однакову частоту.

Р Розглянемо, яким буде результат складання двох когерентних хвиль, що приходять в деяку точку простору (точку спостереження) В. Для того, щоб спростити математичні розрахунки, будемо вважати, що хвилі, що випромінюються джерелами S 1 і S 2 мають однакову амплітуду та початкові фази рівні нулю. У точці спостереження (у точці В) хвилі, що надходять від джерел S 1 і S 2 будуть викликати коливання частинок середовища:
і
. Результуюче коливання у точці В знайдемо як суму.

Зазвичай амплітуду та фазу результуючого коливання, що виникає в точці спостереження, знаходять за допомогою методу векторних діаграм, представляючи кожне коливання у вигляді вектора, що обертається з кутовою швидкістю. Довжина вектора дорівнює амплітуді коливання. Спочатку цей вектор утворює з вибраним напрямком кут рівний початковій фазі коливань. Тоді амплітуда результуючого коливання визначається за такою формулою.

Для нашого випадку додавання двох коливань з амплітудами
,
та фазами
,

.

Отже, амплітуда коливань, що виникають у точці, залежить від того, яка різниця шляхів
, що проходять кожною хвилею окремо від джерела до точки спостереження (
- Різниця ходу хвиль, що приходять в точку спостереження). Інтерференційні мінімуми або максимуми можуть спостерігатися у тих точках, для яких
. А це рівняння гіперболи з фокусами в точках S1 та S2.

У тих точках простору, для яких
, амплітуда коливань, що виникають, буде максимальна і дорівнює
. Так як
, то амплітуда коливань буде максимальною в тих точках, для яких.

у тих точках простору, для яких
амплітуда коливань, що виникають, буде мінімальна і дорівнює
.амплітуда коливань буде мінімальна у тих точках, для яких .

Явище перерозподілу енергії, що у результаті складання кінцевого числа когерентних хвиль, називається інтерференцією.

Явище обгинання хвилями перешкод називається дифракцією.

Іноді дифракцією називають будь-яке відхилення поширення хвиль поблизу перешкод від законів геометричної оптики (якщо розміри перешкод співрівняні з довжиною хвилі).

Б
Завдяки дифракції хвилі можуть потрапляти в область геометричної тіні, огинати перешкоди, проникати через невеликі отвори в екранах і т.д. Як пояснити попадання хвиль у область геометричної тіні? Пояснити явище дифракції можна за допомогою принципу Гюйгенса: кожна точка, до якої доходить хвиля, є джерелом вторинних хвиль (в однорідному середовищі сферичних), а що оминає цих хвиль задає положення хвильового фронту в наступний момент часу.

Вставка з інтерференції світла подивитися, що може стати в нагоді

Хвиляназивається процес поширення коливань у просторі.

Хвильова поверхня- це геометричне місце точок, у яких коливання відбуваються у однаковій фазі.

Фронтом хвиліназивається геометричне місце точок, до яких хвиля доходить до певного моменту часу t. Фронт хвилі відокремлює частину простору, залучену в хвильовий процес, від тієї області, де коливання ще виникли.

Для точкового джерела фронт хвилі є сферичною поверхнею з центром у точці розташування джерела S. 1, 2, 3 - хвильові поверхні; 1 - Фронт хвилі. Рівняння сферичної хвилі, що розповсюджується вздовж променя, що походить від джерела: . Тут - Швидкість поширення хвилі, - довжина хвилі; А- амплітуда коливань; - кругова (циклічна) частота коливань; - Зміщення від положення рівноваги точки, що знаходиться на відстані r від точкового джерела, в момент часу t.

Плоска хвиля- це хвиля із плоским хвильовим фронтом. Рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується вздовж позитивного спрямування осі y:
, де x- Зміщення від положення рівноваги точки, що знаходиться на відстані y від джерела, в момент часу t.