Інтеграл та його практичне застосування. Курсова робота застосування інтегралу

Тема дослідження

Застосування інтегрального обчислення у плануванні витрат сім'ї

Актуальність проблеми

Все частіше в соціальних та економічних сферахпри обчисленні ступеня нерівності у розподілі доходів використовується математика, зокрема, інтегральне обчислення. Вивчаючи практичне застосуванняінтеграла ми дізнаємося:

Як інтеграл та обчислення площі за допомогою інтеграла допомагає у розподілі матеріальних витрат?

Як інтеграл допоможе накопичити гроші на відпустку.

Ціль

спланувати витрати сім'ї з використанням інтегрального обчислення

Завдання

Вивчити геометричний сенсінтеграла.
Розглянути методи інтегрування у соціальній та економічній сферах життя.
Скласти прогноз матеріальних витрат сім'ї під час ремонту квартири з використанням інтегралу.
Розрахувати обсяг споживання енергії сім'ї роком з урахуванням інтегрального обчислення.
Розрахувати суму накопичувального вкладу до Ощадбанку на відпустку.

Гіпотеза

інтегральне обчислення допомагає в економічних розрахунках під час планування доходів та витрат сім'ї.

Етапи дослідження

Вивчили геометричний сенс інтеграла та методи інтегрування у соціальній та економічній сферах життя.
Зробили розрахунок матеріальних витрат, необхідних під час ремонту квартири за допомогою інтегралу.
Розрахували обсяг споживання електроенергії у квартирі та витрати на електроенергію сім'ї на рік.
Розглянули один із варіантів полонення доходів сім'ї через вклади в Ощадбанк за допомогою інтегралу.

Об'єкт дослідження

інегральне обчислення у соціальній та економічних сферах життя.

Методи

Аналіз літератури на тему "Практичне застосування інтегрального обчислення"
Вивчення методів інтегрування під час вирішення завдань на обчислення площ та обсягів фігур за допомогою інтегралу.
Аналіз витрат та доходів сім'ї за допомогою інтегрального обчислення.

Хід роботи

Огляд літератури на тему "Практичне застосування інтегрального обчислення"
Вирішення системи завдань на обчислення площ та обсягів фігур за допомогою інтегралу.
Розрахунок витрат та доходів сім'ї за допомогою інтегрального обчислення: ремонт кімнати, обсяг електроенергії, вклади в Ощадбанк на відпустку.

Наші результати

Як інтеграл та обчислення обсягу за допомогою інтеграла допомагає у прогнозуванні обсягів споживання електроенергії?

Висновки

Економічний розрахунок необхідних коштів при ремонті квартири можна швидше і точніше виконати за допомогою інтегрального обчислення.

Витрати обсягів електроенергії сім'ї легше і швидше розрахувати за допомогою інтегрального обчислення та програми Microsoft Office Excel, а значить прогнозувати витрати сім'ї на оплату електроенергії на рік.

Прибуток від вкладів у ощадбанк можна розрахувати з допомогою інтегрального обчислення, отже спланувати відпустку сім'ї.

Список ресурсів

Друковані видання:

Підручник Алгебра та початку аналізу 10-11 клас. А.Г. Мордкович. Менімозіна. М: 2007
Підручник Алгебра та початку аналізу 10-11 клас. О. Колмогоров Освіта. М: 2007
Математика для соціологів та економістів. Ахтямов А.М. М.: ФІЗМАТЛІТ, 2004. – 464 с.
Інтегральне обчислення. Довідник з Вищій МатематиціМ. Я. Вигодського, Просвітництво, 2000

Іванов Сергій, студент гр.14-ЕОП-33Д

Робота може бути використана на узагальнюючому уроці на теми "Похідна", "Інтеграл".

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі акаунт ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

ДБПОУ КНТ ім. Б. І. Корнілова Дослідницька роботана тему: «застосування Похідних та інтегралів у фізиці, математиці та електротехніці.» Студент гр. 2014-еоп-33д іванова Сергія.

1. Історія появи похідної. Наприкінці 17 століття великий англійський вчений Ісаак Ньютон довів що Шлях і швидкість пов'язані між собою формулою: V(t)=S'(t) і такий зв'язок існує між кількісними характеристиками найрізноманітніших процесів досліджуваних: фізикою, (a=V'=x '', F = ma = m * x '', імпульс P = mV = mx ', кінетична E = mV 2 /2= mx ' 2 /2), хімією, біологією та технічними науками. Це відкриття Ньютона стало поворотним пунктом історія природознавства.

1. Історія появи похідної. Честь відкриття основних законів математичного аналізупоруч із Ньютоном належить німецькому математику Готфріду Вільгельму Лейбніцу. До цих законів Лейбніц прийшов, вирішуючи завдання проведення дотичної довільної кривої, тобто. сформулював геометричний сенс похідної, що значення похідної у точці торкання є кутовий коефіцієнтдотичної або tg кута нахилу дотичної з позитивним напрямком осі X . Термін похідна та сучасні позначення y ', f' ввів Ж. Лагранж у 1797р.

2. Історія появи інтеграла. Поняття інтеграла та інтегральне обчислення виникли з потреби обчислювати площі (квадратуру) будь-яких фігур та обсяги (кубатуру) довільних тіл. Передісторія інтегрального обчислення перегукується з давнини. Першим відомим методом для розрахунку інтегралів є метод для дослідження площі або обсягу криволінійних фігур - метод вичерпування Євдокса давньогрецький математик, механік та астроном), який був запропонований приблизно в 370 до н. е. Суть цього методу полягає в наступному: фігура, площа або обсяг якої намагалися знайти, розбивалася на безліч частин, для яких площа або обсяг вже відомі.

«Метод вичерпування» Припустимо, що треба обчислити обсяг лимона, має неправильну форму, і тому застосувати будь-яку відому формулуобсягу не можна. За допомогою зважування знайти об'єм також важко, так як щільність лимона різних частинахйого різна. Вчинимо наступним чином. Розріжемо лимон на тонкі часточки. Кожну часточку приблизно можна вважати циліндриком, радіус основи, якого можна виміряти. Об'єм такого циліндра легко обчислити по готовою формулою. Склавши обсяги дрібних циліндрів, ми отримаємо наближене значення обсягу всього лимона. Наближення буде тим точніше, чим більш тонкі частини ми зможемо розрізати лимон.

2. Історія появи інтеграла. Після Євдоксом спосіб «вичерпування» та її варіанти обчислення обсягів і площ застосовував древній учений Архімед. Успішно розвиваючи ідеї своїх попередників, він визначив довжину кола, площу кола, об'єм та поверхню кулі. Він показав, що визначення обсягів кулі, еліпсоїда, гіперболоїда та параболоїда обертання зводиться до визначення обсягу циліндра.

Основою теорії диференціальних рівнянь стало диференціальне літочислення, створене Лейбніцем і Ньютоном. Сам термін «диференціальне рівняння» було запропоновано 1676 року Лейбніцем. 3. Історія появи диференціальних рівнянь. Спочатку диференціальні рівняння виникли із завдань механіки, у яких вимагалося визначити координати тіл, їх швидкості та прискорення, що розглядаються як функції часу при різних впливах. До диференціальних рівнянь наводили також деякі розглянуті на той час геометричні завдання.

3. Історія появи диференціальних рівнянь. З величезної кількості робіт XVII століття з диференціальних рівнянь виділяються роботи Ейлера (1707-1783) та Лагранжа (1736-1813). У цих роботах була насамперед розвинена теорія малих коливань, а отже – теорія лінійних системдиференціальних рівнянь; принагідно виникли основні поняття лінійної алгебри ( власні числаі вектори у n-мірному випадку). Після Ньютоном Лаплас і Лагранж, і потім Гаусс (1777-1855) розвивають також методи теорії обурень.

4. Застосування похідної та інтеграла в математиці: У математиці похідну широко використовують у вирішенні багатьох завдань, рівнянь, нерівностей, а також у процесі дослідження функції. Приклад: Алгоритм дослідження функції на екстремум: 1) О.О.Ф. 2) y′=f′(x), f′(x)=0 і розв'язуємо рівняння. 3)О.О.Ф. розбиваємо на інтервали. 4) Визначаємо знак похідної кожному інтервалі. Якщо f ′(x)>0 , то функція зростає. Якщо f′(x)

4. Застосування похідної та інтеграла в математиці: Інтеграл (певний інтеграл) використовують у математиці (геометрії) для знаходження площі криволінійної трапеції. Приклад: Алгоритм знаходження площі плоскої фігури за допомогою певного інтеграла: 1) Будуємо графік вказаних функцій. 2)Вказати фігуру обмежену цими лініями. 3)Знайти межі інтегрування, записати певний інтеграл та обчислити його.

5. Застосування похідної та Інтеграла у фізиці. У фізиці похідну використовують здебільшого на вирішення завдань, наприклад: знаходження швидкості чи прискорення будь-яких тіл. Приклад: 1) Закон руху точки по прямій задається формулою s (t) = 10t ^ 2, де t-час (в секундах), s (t) - відхилення точки в момент часу t (в метрах) від початкового положення. Знайди швидкість і прискорення на момент часу t, якщо: t=1,5 с. 2) Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t)= 2+20t+5t2. Знайдіть швидкість та прискорення в момент часу t=2с (х – координата точки в метрах, t – час у секундах).

Фізична величина Середнє значення Миттєве значення Швидкість Прискорення Кутова швидкість Сила струму Потужність

5. Застосування похідної та Інтеграла у фізиці. Інтеграл також використовується у завданнях, наприклад: знаходження швидкості чи шляху. Тіло рухається із швидкістю v(t) = t + 2 (м/с). Знайти шлях, який пройде тіло через 2 секунди після початку руху. Приклад:

6. Застосування похідної та Інтеграла в електротехніці. Похідна також знайшла застосування у електротехніці. У ланцюзі електричного струму електричний зарядзмінюється з часом за законом q=q(t). Сила струму I є похідною заряду q за часом. I=q ′(t) Приклад: 1)Заряд, що протікає через провідник, змінюється за законом q=sin(2t-10) Знайти силу струму на момент часу t=5 сек. Інтеграл в електротехніці можна використовуватиме вирішення зворотних завдань, тобто. знаходження електричного заряду знаючи силу струму тощо. 2) Електричний заряд, що протікає через провідник, починаючи з моменту t = 0, задається формулою q(t) = 3t2 + t + 2. Знайдіть силу струму в момент часу t = 3с. Інтеграл в електротехніці можна використовуватиме вирішення зворотних завдань, тобто. знаходження електричного заряду знаючи силу струму тощо.

Поняття інтеграла широко застосовується у житті. Інтеграли застосовується у різних галузях науки та техніки. Основними завданнями, що обчислюються за допомогою інтегралів, є завдання на:

1. Знаходження об'єму тіла

2. Знаходження центру мас тіла.

Розглянемо кожну їх докладніше. Тут і далі, для позначення певного інтеграла від деякої функції f(x), з межами інтегрування від a до b будемо використовувати наступний запис ∫ a b f(x).

Знаходження об'єму тіла

Розглянемо наступний рисунок. Припустимо, є деяке тіло, об'єм якого дорівнює V. Також є пряма така, що якщо ми візьмемо деяку площину, перпендикулярну цій прямій, буде відома площа перерізу S даного тіла цією площиною.

Кожна така площина перпендикуляра осі Ох, а отже перетинатиме її в деякій точці х. Тобто кожній точці х з відрізка буде поставлена у відповідність число S(x) - площа перерізу тіла площину проходить через цю точку.

Виходить, що на відрізку буде задана деяка функція S(x). Якщо ця функція буде безперервною на цьому відрізку, то буде справедлива наступна формула:

V = ∫ a b S(x)dx.

Доказ цього твердження виходить за рамки програми шкільного курсу.

Обчислення центру мас тіла

Центр мас найчастіше використовується у фізиці. Наприклад, є деяке тіло, яке рухається з будь-якої швидкості. Але велике тіло розглядати незручно, і тому у фізиці розглядається це тіло як рух точки, припущення, що ця точка має таку ж масу, як і все тіло.

А завдання обчислення цетру мас тіла є основним у цьому питанні. Бо тіло велике, і яку саме точку треба взяти за центр мас? Може бути ту, що знаходиться в середині тіла? Чи може найближчу точку до переднього краю? Тут приходить на допомогу інтегрування.

Для знаходження центру мас використовують такі два правила:

1. Координата x' центру мас деякої системи матеріальних точок A1, A2, A3, … An з масами m1, m2, m3, … mn відповідно розташованих на прямій у точках з координатами x1, x2, x3, … xn знаходиться наступною формулою:

x' = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. При обчисленні координати центру мас можна будь-яку частину фігури, що розглядається, замінити на матеріальну точкупри цьому помістивши її в центр мас цієї окремої частини фігури, а масу взяти рівну масі цієї частини фігури.

Наприклад, якщо вздовж стрижня - відрізка осі Ох розподілена маса щільністю p(x), де p(x) є безперервна функція, то координата центру мас x' буде дорівнювати.

Уявіть, що ми маємо якусь функцію залежності чогось від чогось.

Наприклад, так приблизно можна на графіку уявити швидкість моєї роботи залежно від часу доби:

Швидкість я вимірюю в рядках коду за хвилину, в реального життяя програміст.

Обсяг роботи - швидкість роботи помножити на час. Тобто якщо я пишу 3 рядки за хвилину, то за годину виходить 180. Якщо у нас є такий графік, можна дізнатися, скільки роботи я зробив за день: це площа під графіком. Але як це порахувати?

Розділимо графік на стовпчики рівної ширини завбільшки за годину. А висоту цих стовпчиків зробимо рівною швидкості роботи в середині цієї години.

Площа кожного стовпчика окремо легко порахувати, треба помножити ширину на висоту. Виходить, що площа кожного стовпчика - це скільки я роботи зробив за кожну годину. А якщо підсумувати всі стовпчики, то вийде моя зразкова робота за день.

Проблема в тому, що результат вийде зразковий, а нам потрібно точне число. Розіб'ємо графік на стовпчики по півгодини:

На картинці видно, що це набагато ближче до того, що ми шукаємо.

Так зменшувати відрізки на графіку можна до нескінченності, і щоразу ми все ближче і ближче підходитимемо до площі під графіком. А коли ширина стовпчиків прагнутиме нуля, тоді сума їх площ прагнутиме площі під графіком. Це і називається інтегралом і позначається так:

У цій формулі f(x) означає функцію, яка залежить від величини x, а літери a та b - це відрізок на якому ми хочемо знайти інтеграл.

Навіщо це потрібно?

Вчені намагаються всі фізичні явища висловити як математичної формули. Як тільки у нас є формула, далі вже можна за допомогою неї порахувати будь-що. А інтеграл – це один із основних інструментів роботи з функціями.

Наприклад, якщо ми маємо формулу кола, ми можемо за допомогою інтеграла порахувати його площу. Якщо ми маємо формулу кулі, то ми можемо порахувати її обсяг. За допомогою інтегрування знаходять енергію, роботу, тиск, масу, електричний заряд та багато інших величин.

Ні, навіщо це мені потрібно?

Та навіщо - просто так, із цікавості. Насправді інтеграли входять навіть у шкільну програмуале не так багато людей навколо пам'ятають, що це таке.

Натиснувши на кнопку "Скачати архів", ви завантажуєте потрібний вам файл абсолютно безкоштовно.
Перед скачуванням даного файлу згадайте про ті хороші реферати, контрольні, курсові, дипломних роботах, статтях та інших документах, які лежать незатребуваними у вашому комп'ютері. Це ваша праця, вона повинна брати участь у розвитку суспільства та приносити користь людям. Знайдіть ці роботи та відправте в базу знань.
Ми та всі студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будемо вам дуже вдячні.

Щоб завантажити архів з документом, в полі, розташоване нижче, впишіть п'ятизначне число та натисніть кнопку "Завантажити архів"

Подібні документи

Ознайомлення із історією поняття інтеграла. Поширення інтегрального числення, відкриття формули Ньютона-Лейбніца. Символ суми; розширення поняття суми. Опис необхідності вираження всіх фізичних явищ як математичної формули.

презентація , доданий 26.01.2015

Ідеї інтегрального обчислення у працях давніх математиків. Особливості способу вичерпування. Історія знаходження формули обсягу тора Кеплера. Теоретичне обґрунтування принципу інтегрального числення (принцип Кавальєрі). Поняття певного інтегралу.

презентація , доданий 05.07.2016

Історія інтегрального числення. Визначення та властивості подвійного інтеграла. Його геометрична інтерпретація, обчислення в декартових та полярних координатах, зведення його до повторного. Застосування економіки та геометрії для обчислення обсягів і площ.

курсова робота , доданий 16.10.2013

Визначення криволінійного інтеграла за координатами, його основні властивості та обчислення. Умова незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування. Обчислення площ фігур за допомогою подвійного інтегралу. Використання формули Гріна.

контрольна робота , доданий 23.02.2011

Умови існування певного інтегралу. Додаток інтегрального числення. Інтегральне обчислення у геометрії. Механічний додаток певного інтеграла. Інтегральне обчислення у біології. Інтегральне обчислення економіки.

курсова робота , доданий 21.01.2008

Історія інтегрального та диференціального обчислення. Програми певного інтеграла до вирішення деяких завдань механіки та фізики. Моменти та центри мас плоских кривих, теорема Гульдена. Диференційне рівняння. Приклади розв'язання задач у MatLab.

реферат, доданий 07.09.2009

Поняття інтеграла Стілтьєса. Загальні умовиіснування інтеграла Стілтьєса, класи випадків його існування та граничний перехід під його знаком. Приведення інтеграла Стілтьєса до інтеграла Рімана. Застосування в теорії ймовірностей та квантової механіки.

дипломна робота , доданий 20.07.2009