Preprosto povedano, to so enačbe, v katerih je vsaj ena s spremenljivko v imenovalcu.

Na primer:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Primer ne frakcijski racionalne enačbe:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kako se rešujejo frakcijske racionalne enačbe?

Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti pri ulomnih racionalnih enačbah, je, da morate vanje pisati. In ko najdete korenine, jih preverite glede sprejemljivosti. V nasprotnem primeru se lahko pojavijo tuje korenine in celotna rešitev se bo štela za napačno.

Algoritem za reševanje delne racionalne enačbe:

Izpiši in "reši" ODZ.

Vsak člen v enačbi pomnožite s skupnim imenovalcem in zmanjšajte nastale ulomke. Imenovalci bodo izginili.

Napišite enačbo brez odpiranja oklepajev.

Rešite dobljeno enačbo.

Najdene korenine preverite z ODZ.

V odgovor zapišite korenine, ki so opravili test v 7. koraku.

Ne zapomnite si algoritma, 3-5 rešenih enačb - in zapomnil si bo sam.

Primer . Rešite ulomno racionalno enačbo \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

rešitev:

odgovor: \(3\).

Primer . Poiščite korenine ulomne racionalne enačbe \(=0\)

rešitev:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Zapišemo in "rešimo" ODZ. Razširite \(x^2+7x+10\) v formulo: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Na srečo smo \(x_1\) in \(x_2\) že našli.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Očitno je skupni imenovalec ulomkov: \((x+2)(x+5)\). Z njim pomnožimo celotno enačbo.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Zmanjšamo ulomke
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Odpiranje oklepajev
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Dajemo podobne pogoje
\(2x^2+9x-5=0\)		Iskanje korenin enačbe
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Ena od korenin ne sodi pod ODZ, zato v odgovor zapišemo le drugi koren.

odgovor: \(\frac(1)(2)\).

Rešitev ulomne racionalne enačbe

Vodnik za pomoč

Racionalne enačbe so enačbe, v katerih sta leva in desna stran racionalni izrazi.

(Ne pozabite, da so racionalni izrazi cela števila in frakcijski izrazi brez radikalov, vključno z operacijami seštevanja, odštevanja, množenja ali deljenja - na primer: 6x; (m – n)2; x/3y itd.)

Ulomno-racionalne enačbe se praviloma zmanjšajo na obliko:

Kje P(x) in Q(x) so polinomi.

Če želite rešiti takšne enačbe, pomnožite obe strani enačbe s Q(x), kar lahko vodi do tujih korenin. Zato je treba pri reševanju frakcijskih racionalnih enačb preveriti najdene korenine.

Racionalna enačba se imenuje celo število ali algebraična, če nima deljenja z izrazom, ki vsebuje spremenljivko.

Primeri celotne racionalne enačbe:

5x - 10 = 3 (10 - x)

3x
-=2x-10
4

Če je v racionalni enačbi deljenje z izrazom, ki vsebuje spremenljivko (x), se enačba imenuje ulomno racionalna.

Primer frakcijske racionalne enačbe:

15
x + - = 5x - 17
x

Frakcijske racionalne enačbe se običajno rešujejo na naslednji način:

1) poiščite skupni imenovalec ulomkov in z njim pomnožite oba dela enačbe;

2) reši nastalo celotno enačbo;

3) iz svojih korenin izključi tiste, ki obračajo skupni imenovalec ulomkov na nič.

Primeri reševanja celih in ulomnih racionalnih enačb.

Primer 1. Rešite celotno enačbo

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

rešitev:

Iskanje najnižjega skupnega imenovalca. To je 6. 6 delite z imenovalcem in rezultat pomnožite s števcem vsakega ulomka. Dobimo enačbo, ki je enakovredna tej:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Od leve in desne strani enak imenovalec, se lahko izpusti. Potem imamo enostavnejšo enačbo:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Rešimo ga tako, da odpremo oklepaje in skrajšamo podobne izraze:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Primer rešen.

Primer 2. Rešite ulomno racionalno enačbo

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Najdemo skupni imenovalec. To je x(x - 5). Torej:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Sedaj se spet znebimo imenovalca, saj je enak za vse izraze. Zmanjšamo podobne člene, enačimo enačbo na nič in dobimo kvadratna enačba:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Ko rešimo kvadratno enačbo, najdemo njene korenine: -2 in 5.

Preverimo, ali so te številke korenine prvotne enačbe.

Pri x = –2 skupni imenovalec x(x – 5) ne izgine. Torej je -2 koren prvotne enačbe.

Pri x = 5 skupni imenovalec izgine in dva od treh izrazov izgubita pomen. Torej število 5 ni koren prvotne enačbe.

Odgovor: x = -2

Več primerov

Primer 1

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Odgovor: -2,2; 6.

Primer 2

T. Kosyakova,
šola št. 80, Krasnodar

Rešitev kvadratnih in ulomno-racionalnih enačb, ki vsebujejo parametre

Lekcija 4

Tema lekcije:

Namen lekcije: oblikovati sposobnost reševanja ulomno-racionalnih enačb, ki vsebujejo parametre.

Vrsta lekcije: uvajanje novega gradiva.

1. (Ustno.) Reši enačbe:

Primer 1. Reši enačbo

Rešitev.

Poiščite neveljavne vrednosti a:

Odgovori. Če če a = – 19 , potem ni korenin.

Primer 2. Reši enačbo

Rešitev.

Poiščite neveljavne vrednosti parametrov a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odgovori. Če a = 5 a № 5 , potem x=10– a .

Primer 3. Pri kakšnih vrednostih parametra b enačbo Ima:

a) dve korenini b) edini koren?

Rešitev.

1) Poiščite neveljavne vrednosti parametrov b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 oz b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 oz b = – 2.

2) Reši enačbo x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

a)

Brez neveljavnih vrednosti parametrov b , dobimo, da ima enačba dva korena, če b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, vendar je to neveljavna vrednost parametra b ; če b 2 –1=0 , tj. b=1 oz.

Odgovor: a) če b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , nato dve korenini; b) če b=1 oz b=-1 , potem edini koren.

Samostojno delo

1. možnost

Reši enačbe:

2. možnost

Reši enačbe:

Odgovori

V 1. kaj če a=3 , potem ni korenin; če b) če če a № 2 , potem ni korenin.

V 2.Če a=2 , potem ni korenin; če a=0 , potem ni korenin; če
b) če a=– 1 , potem enačba izgubi pomen; če potem ni korenin;
če

Domača naloga.

Reši enačbe:

Odgovori: a) Če a № –2 , potem x= a ; če a=–2 , potem ni rešitev; b) če a № –2 , potem x=2; če a=–2 , potem ni rešitev; c) če a=–2 , potem x- katero koli drugo številko kot 3 ; če a № –2 , potem x=2; d) če a=–8 , potem ni korenin; če a=2 , potem ni korenin; če

Lekcija 5

Tema lekcije:"Rešitev ulomno-racionalnih enačb, ki vsebujejo parametre".

Cilji lekcije:

učenje reševanja enačb z nestandardnim pogojem;
zavestno usvajanje algebraičnih pojmov in odnosov med njimi s strani študentov.

Vrsta lekcije: sistematizacija in posploševanje.

Preverjanje domače naloge.

Primer 1. Reši enačbo

a) glede na x; b) glede na y.

Rešitev.

a) Poiščite neveljavne vrednosti y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– neveljavna vrednost parametra y.

Če y№ 0 , potem x=y-2; če y=0, potem enačba izgubi svoj pomen.

b) Poiščite neveljavne vrednosti parametrov x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– neveljavna vrednost parametra x; y(2+x-y)=0, y=0 oz y=2+x;

y=0 ne izpolnjuje pogoja y(y–x)№ 0 .

Odgovor: a) če y=0, potem enačba izgubi pomen; če y№ 0 , potem x=y-2; b) če x=0 x№ 0 , potem y=2+x .

Primer 2. Za katere cele vrednosti parametra a so korenine enačbe pripadajo intervalu

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Če a № 0 oz a № – 1 , potem

odgovor: 5 .

Primer 3. Poiščite relativno x celotne rešitve enačbe

Odgovori. Če y=0, potem enačba nima smisla; če y=–1, potem x- katero koli celo število, razen nič; če y# 0, y# – 1, potem ni rešitev.

Primer 4 Reši enačbo s parametri a in b .

Če a№ – b , potem

Odgovori. Če a= 0 oz b= 0 , potem enačba izgubi pomen; če a№ 0,b№ 0, a=-b , potem x- katero koli število razen nič; če a№ 0,b№ 0,a№ -b potem x=-a, x=-b .

Primer 5. Dokažite, da je za vsako neničelno vrednost parametra n enačba ima en sam koren enak – n .

Rešitev.

tj. x=-n, kar je bilo treba dokazati.

Domača naloga.

1. Poiščite celotne rešitve enačbe

2. Pri katerih vrednostih parametra c enačbo Ima:
a) dve korenini b) edini koren?

3. Poišči vse cele korene enačbe če a O N .

4. Reši enačbo 3xy - 5x + 5y = 7: a) relativno y; b) relativno x .

1. Enačbo izpolnjuje katera koli celoštevilska enaka vrednosti x in y, razen nič.
2. a) Kdaj
b) pri oz
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Če potem ni korenin; če
b) če potem ni korenin; če

Test

1. možnost

1. Določite vrsto enačbe 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 pri: a) c=-3; b) c=2; v) c=4 .

2. Reši enačbe: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; v)

3. Reši enačbo 3x-xy-2y=1:

a) relativno x ;
b) relativno y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, vemo, da ima parameter n samo cele vrednosti.

5. Za katere vrednosti b velja enačba Ima:

a) dve korenini
b) edini koren?

2. možnost

1. Določite vrsto enačbe 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 pri: a) c=-4; b) c=7; v) c=1 .

2. Reši enačbe: a) y 2 +cy=0; b) ny2 –8y+2=0; v)

3. Reši enačbo 6x-xy+2y=5:

a) relativno x ;
b) relativno y .

4. Poiščite cele korene enačbe nx 2 -22x+2n=0, vemo, da ima parameter n samo cele vrednosti.

5. Za katere vrednosti parametra a enačba Ima:

a) dve korenini
b) edini koren?

Odgovori

V 1. 1. a) Linearna enačba;
b) nepopolna kvadratna enačba; c) kvadratna enačba.
2. a) Če b=0, potem x=0; če b#0, potem x=0, x=b;
b) če cО (9;+Ґ ), potem ni korenin;
c) če a=–4 , potem enačba izgubi pomen; če a№ –4 , potem x=- a .
3. a) Če y=3, potem ni korenin; če);
b) a=–3, a=1.

Dodatne naloge

Reši enačbe:

Literatura

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametrih od samega začetka. - Tutor, št.2/1991, str. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Potrebni pogoji pri nalogah s parametri. – Kvant, št.11/1991, str. 44–49.
3. Dorofejev G.V., Zatakavai V.V. Reševanje problema, ki vsebuje parametre. 2. del. - M., Perspektiva, 1990, str. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Petsto štirinajst nalog s parametri. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Naloge s parametri. - M., Izobraževanje, 1986.

V tem članku vam bom pokazal algoritmi za reševanje sedmih vrst racionalnih enačb, ki se s spremembo spremenljivk zmanjšajo na kvadratne. V večini primerov so transformacije, ki vodijo do zamenjave, zelo nepomembne in o njih je težko uganiti sami.

Za vsako vrsto enačbe bom razložil, kako spremeniti spremenljivko, nato pa bom pokazal podrobno rešitev v ustrezni video vadnici.

Imate možnost, da sami nadaljujete z reševanjem enačb, nato pa svojo rešitev preverite z video vadnico.

Torej, začnimo.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Upoštevajte, da je zmnožek štirih oklepajev na levi strani enačbe, število pa na desni strani.

1. Oklepaje združimo po dva, tako da je vsota prostih členov enaka.

2. Pomnožite jih.

3. Uvedemo spremembo spremenljivke.

V naši enačbi združimo prvi oklepaj s tretjim, drugega pa s četrtim, saj (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

Na tej točki postane sprememba spremenljivke očitna:

Dobimo enačbo

odgovor:

2 .

Enačba te vrste je podobna prejšnji z eno razliko: na desni strani enačbe je produkt števila za. In rešuje se na povsem drugačen način:

1. Oklepaje združimo po dva, tako da je produkt prostih členov enak.

2. Vsak par oklepajev pomnožimo.

3. Iz vsakega faktorja vzamemo x iz oklepaja.

4. Obe strani enačbe delite z .

5. Uvedemo spremembo spremenljivke.

V tej enačbi združimo prvi oklepaj s četrtim, drugega pa s tretjim, saj:

Upoštevajte, da sta v vsakem oklepaju koeficient pri in prosti člen enaka. Vzemimo množitelj iz vsakega oklepaja:

Ker x=0 ni koren prvotne enačbe, delimo obe strani enačbe z . Dobimo:

Dobimo enačbo:

odgovor:

3 .

Upoštevajte, da imenovalci obeh ulomkov vsebujejo kvadratni trinomi, katerega vodilni koeficient in prosti člen sta enaka. Kot v enačbi druge vrste, x vzamemo iz oklepaja. Dobimo:

Delite števec in imenovalec vsakega ulomka z x:

Zdaj lahko uvedemo spremembo spremenljivke:

Dobimo enačbo za spremenljivko t:

4 .

Upoštevajte, da so koeficienti enačbe simetrični glede na osrednjega. Takšna enačba se imenuje vračljivo .

Da ga rešim

1. Obe strani enačbe delimo s (To lahko storimo, ker x=0 ni koren enačbe.) Dobimo:

2. Razvrstite izraze na ta način:

3. V vsaki skupini izločimo skupni faktor:

4. Predstavimo zamenjavo:

5. Izrazimo izraz z t:

Od tod

Dobimo enačbo za t:

odgovor:

5. Homogene enačbe.

Enačbe, ki imajo strukturo homogene, lahko naletimo pri reševanju eksponentnih, logaritemskih in trigonometrične enačbe, zato ga je treba prepoznati.

Homogene enačbe imajo naslednjo strukturo:

V tej enakosti so A, B in C številke, isti izrazi pa sta označena s kvadratom in krogom. To pomeni, da je na levi strani homogene enačbe vsota monomov, ki imajo enako stopnjo (v tem primeru je stopnja monomov 2), prostega člena pa ni.

Za rešitev homogene enačbe delimo obe strani z

Pozor! Ko delite desno in levo stran enačbe z izrazom, ki vsebuje neznano, lahko izgubite korenine. Zato je treba preveriti, ali so koreni izraza, s katerim delimo oba dela enačbe, koreni izvirne enačbe.

Gremo po prvi poti. Dobimo enačbo:

Zdaj uvedemo zamenjavo spremenljivke:

Poenostavite izraz in dobite bikvadratno enačbo za t:

odgovor: oz

7 .

Ta enačba ima naslednjo strukturo:

Če ga želite rešiti, morate izbrati cel kvadrat na levi strani enačbe.

Če želite izbrati cel kvadrat, morate dodati ali odšteti dvojni produkt. Nato dobimo kvadrat vsote oziroma razlike. To je ključnega pomena za uspešno zamenjavo spremenljivke.

Začnimo z iskanjem dvojnega produkta. To bo ključ za zamenjavo spremenljivke. V naši enačbi je dvojni produkt

Zdaj pa ugotovimo, kaj je za nas bolj priročno - kvadrat vsote ali razlike. Za začetek razmislite o vsoti izrazov:

Odlično! ta izraz je natančno enak dvakratnemu produktu. Nato, da bi dobili kvadrat vsote v oklepajih, morate dodati in odšteti dvojni produkt:

Same enačbe z ulomki niso težke in zelo zanimive. Razmislite o vrstah ulomne enačbe in načine za njihovo reševanje.

Kako rešiti enačbe z ulomki - x v števcu

Če je podana frakcijska enačba, kjer je neznanka v števcu, rešitev ne zahteva dodatnih pogojev in se reši brez dodatne težave. Splošna oblika taka enačba je x/a + b = c, kjer je x neznanka, a, b in c so navadna števila.

Poiščite x: x/5 + 10 = 70.

Če želite rešiti enačbo, se morate znebiti ulomkov. Vsak člen enačbe pomnožite s 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x in 5 zmanjšamo, 10 in 70 pomnožimo s 5 in dobimo: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Poiščite x: x/5 + x/10 = 90.

Ta primer je nekoliko bolj zapletena različica prvega. Tu sta dve rešitvi.

• Možnost 1: Znebite se ulomkov tako, da vse člene enačbe pomnožite z večjim imenovalcem, to je z 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• 2. možnost: dodajte levo stran enačbe. x/5 + x/10 = 90. Skupni imenovalec je 10. 10 delimo s 5, pomnožimo z x, dobimo 2x. 10, deljeno z 10, pomnoženo z x, dobimo x: 2x+x/10 = 90. Torej 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Pogosto obstajajo frakcijske enačbe, v katerih so x na nasprotnih straneh znaka enakosti. V takšni situaciji je treba vse ulomke z x prenesti v eno smer, števila pa v drugo.

• Najdi x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Premaknite se za 2x/5 v desno z nasprotnim predznakom: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Zmanjšamo 5x/5 in dobimo: x = 130.

Kako rešiti enačbo z ulomki - x v imenovalcu

Ta vrsta frakcijskih enačb zahteva pisanje dodatnih pogojev. Navedba teh pogojev je obvezen in sestavni del prava odločitev. Če jih ne pripišete, tvegate, saj se odgovora (tudi če je pravilen) preprosto ne šteje.

Splošna oblika ulomnih enačb, kjer je x v imenovalcu, je: a/x + b = c, kjer je x neznanka, a, b, c so navadna števila. Upoštevajte, da x morda ni nobeno število. Na primer, x ne more biti nič, saj ne morete deliti z 0. To je tisto, kar je dodatni pogoj, kar moramo navesti. Temu pravimo območje sprejemljivih vrednosti, skrajšano - ODZ.

Poiščite x: 15/x + 18 = 21.

Takoj zapišemo ODZ za x: x ≠ 0. Zdaj, ko je ODZ označen, rešimo enačbo z uporabo standardna shema znebiti se ulomkov. Vse člene enačbe pomnožimo z x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Pogosto obstajajo enačbe, kjer imenovalec ne vsebuje samo x, temveč tudi kakšno drugo operacijo z njim, kot je seštevanje ali odštevanje.

Poiščite x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Že vemo, da imenovalec ne more biti enak nič, kar pomeni x-3 ≠ 0. Prenesemo -3 na desno stran, medtem ko znak “-” spremenimo v “+” in dobimo, da je x ≠ 3. ODZ je navedeno.

Rešite enačbo, vse pomnožite z x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Premaknite x v desno, številke v levo: 24 = 3x => x = 8.