Kako pravilno rešiti racionalne enačbe. Racionalne enačbe

Same enačbe z ulomki niso težke in zelo zanimive. Razmislite o vrstah ulomne enačbe in načine za njihovo reševanje.

Kako rešiti enačbe z ulomki - x v števcu

Če je podana frakcijska enačba, kjer je neznanka v števcu, rešitev ne zahteva dodatnih pogojev in se reši brez dodatne težave. Splošna oblika taka enačba je x/a + b = c, kjer je x neznanka, a, b in c so navadna števila.

Poiščite x: x/5 + 10 = 70.

Če želite rešiti enačbo, se morate znebiti ulomkov. Vsak člen enačbe pomnožite s 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x in 5 zmanjšamo, 10 in 70 pomnožimo s 5 in dobimo: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Poiščite x: x/5 + x/10 = 90.

Ta primer je nekoliko bolj zapletena različica prvega. Tu sta dve rešitvi.

• Možnost 1: Znebite se ulomkov tako, da vse člene enačbe pomnožite z večjim imenovalcem, to je z 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• 2. možnost: dodajte levo stran enačbe. x/5 + x/10 = 90. Skupni imenovalec je 10. 10 delimo s 5, pomnožimo z x, dobimo 2x. 10, deljeno z 10, pomnoženo z x, dobimo x: 2x+x/10 = 90. Torej 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Pogosto obstajajo frakcijske enačbe, v katerih so x na nasprotnih straneh znaka enakosti. V takšni situaciji je treba vse ulomke z x prenesti v eno smer, števila pa v drugo.

• Najdi x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Premaknite se za 2x/5 v desno z nasprotnim predznakom: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Zmanjšamo 5x/5 in dobimo: x = 130.

Kako rešiti enačbo z ulomki - x v imenovalcu

Ta vrsta frakcijskih enačb zahteva pisanje dodatnih pogojev. Navedba teh pogojev je obvezen in sestavni del prava odločitev. Če jih ne pripišete, tvegate, saj se odgovora (tudi če je pravilen) preprosto ne šteje.

Splošna oblika ulomnih enačb, kjer je x v imenovalcu, je: a/x + b = c, kjer je x neznanka, a, b, c so navadna števila. Upoštevajte, da x morda ni nobeno število. Na primer, x ne more biti nič, saj ne morete deliti z 0. To je tisto, kar je dodatni pogoj, kar moramo navesti. Temu pravimo območje sprejemljivih vrednosti, skrajšano - ODZ.

Poiščite x: 15/x + 18 = 21.

Takoj zapišemo ODZ za x: x ≠ 0. Zdaj, ko je ODZ označen, rešimo enačbo z uporabo standardna shema znebiti se ulomkov. Vse člene enačbe pomnožimo z x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Pogosto obstajajo enačbe, kjer imenovalec ne vsebuje samo x, temveč tudi kakšno drugo operacijo z njim, na primer seštevanje ali odštevanje.

Poiščite x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Že vemo, da imenovalec ne more biti enak nič, kar pomeni x-3 ≠ 0. Prenesemo -3 na desno stran, medtem ko znak “-” spremenimo v “+” in dobimo, da je x ≠ 3. ODZ je navedeno.

Rešite enačbo, vse pomnožite z x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Premaknite x v desno, številke v levo: 24 = 3x => x = 8.

Cilji lekcije:

Vadnica:

• oblikovanje pojma ulomnih racionalnih enačb;
• razmisliti o različnih načinih reševanja frakcijskih racionalnih enačb;
• razmisliti o algoritmu za reševanje ulomnih racionalnih enačb, vključno s pogojem, da je ulomek enak nič;
• naučiti reševanje ulomnih racionalnih enačb po algoritmu;
• preverjanje stopnje asimilacije teme z izvajanjem testnega dela.

Razvoj:

• razvoj sposobnosti pravilnega delovanja s pridobljenim znanjem, logičnega razmišljanja;
• razvoj intelektualnih veščin in miselnih operacij - analiza, sinteza, primerjava in posploševanje;
• razvoj pobude, sposobnost sprejemanja odločitev, ne ustaviti se tam;
• razvoj kritično razmišljanje;
• razvoj raziskovalnih veščin.

Negovanje:

• vzgoja kognitivni interes na predmet;
• vzgoja samostojnosti pri reševanju vzgojnih problemov;
• vzgoja volje in vztrajnosti za doseganje končnih rezultatov.

Vrsta lekcije: pouk - razlaga novega gradiva.

Med poukom

1. Organizacijski trenutek.

Živjo družba! Enačbe so zapisane na tabli, pozorno si jih oglejte. Ali lahko rešite vse te enačbe? Katere niso in zakaj?

Enačbe, v katerih sta levi in ​​desni del ulomna racionalna izraza, se imenujejo ulomne racionalne enačbe. Kaj menite, da bomo učili danes v lekciji? Oblikujte temo lekcije. Torej odpremo zvezke in zapišemo temo lekcije "Rešitev ulomnih racionalnih enačb".

2. Aktualizacija znanja. Frontalna anketa, ustno delo z razredom.

In zdaj bomo ponovili glavno teoretično gradivo, ki ga moramo preučiti nova tema. Prosimo, odgovorite na naslednja vprašanja:

1. Kaj je enačba? ( Enakost s spremenljivko ali spremenljivkami.)
2. Kako se imenuje enačba #1? ( Linearna.) Metoda rešitve linearne enačbe. (Premaknite vse z neznano na levo stran enačbe, vsa števila v desno. Prinesite podobne pogoje. Poiščite neznani množitelj).
3. Kako se imenuje enačba 3? ( Kvadrat.) Metode reševanja kvadratnih enačb. ( Izbira polnega kvadrata po formulah z uporabo Vietinega izreka in njegovih posledic.)
4. Kaj je delež? ( Enakost dveh odnosov.) Glavna lastnost sorazmernosti. ( Če je delež resničen, je produkt njegovih skrajnih členov enak produktu srednjih členov.)
5. Katere lastnosti se uporabljajo za reševanje enačb? ( 1. Če v enačbi prenesemo izraz iz enega dela v drugega in mu spremenimo predznak, dobimo enačbo, ki je enakovredna podani. 2. Če oba dela enačbe pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, dobimo enačbo, ki je enakovredna danemu.)
6. Kdaj je ulomek enak nič? ( Ko je števec, je ulomek nič nič, imenovalec pa ni enak nič.)

3. Razlaga novega gradiva.

Reši enačbo št. 2 v zvezkih in na tabli.

Odgovori: 10.

Kateri frakcijska racionalna enačba ali lahko poskusite rešiti z osnovno lastnostjo razmerja? (št. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Reši enačbo št. 4 v zvezkih in na tabli.

Odgovori: 1,5.

Katero ulomno racionalno enačbo lahko poskusite rešiti tako, da obe strani enačbe pomnožite z imenovalcem? (št. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovori: 3;4.

Zdaj poskusite rešiti enačbo #7 na enega od načinov.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D \u003d 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Odgovori: 0;5;-2.			Odgovori: 5;-2.

Pojasnite, zakaj se je to zgodilo? Zakaj so v enem primeru tri korenine, v drugem pa dve? Katera števila so korenine te frakcijske racionalne enačbe?

Študenti do zdaj niso spoznali pojma tujega korena, res jim je zelo težko razumeti, zakaj se je to zgodilo. Če nihče v razredu ne more jasno razložiti te situacije, potem učitelj postavlja napotljiva vprašanja.

• Kako se enačbi št. 2 in 4 razlikujeta od enačb št. 5,6,7? ( V enačbah št. 2 in 4 v imenovalcu števila, št. 5-7 - izrazi s spremenljivko.)
• Kaj je koren enačbe? ( Vrednost spremenljivke, pri kateri enačba postane prava enakost.)
• Kako ugotoviti, ali je število koren enačbe? ( Preverite.)

Nekateri učenci pri testu opazijo, da morajo deliti z nič. Sklepajo, da številki 0 in 5 nista koreni. dano enačbo. Postavlja se vprašanje: ali obstaja način za reševanje frakcijskih racionalnih enačb, ki odpravlja to napako? Da, ta metoda temelji na pogoju, da je ulomek enak nič.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Če je x=5, potem je x(x-5)=0, torej je 5 tuj koren.

Če je x=-2, potem x(x-5)≠0.

Odgovori: -2.

Poskusimo na ta način formulirati algoritem za reševanje ulomnih racionalnih enačb. Otroci sami oblikujejo algoritem.

Algoritem za reševanje frakcijskih racionalnih enačb:

1. Premaknite vse na levo.
2. Pripeljite ulomke k skupnemu imenovalcu.
3. Sestavite sistem: ulomek je nič, če je števec nič in imenovalec ni nič.
4. Reši enačbo.
5. Preverite neenakost, da izključite tuje korenine.
6. Zapišite odgovor.

Razprava: kako formalizirati rešitev, če uporabimo osnovno lastnost sorazmernosti in množenje obeh strani enačbe s skupnim imenovalcem. (Dopolni rešitev: iz njenih korenin izloči tiste, ki obračajo skupni imenovalec na nič).

4. Primarno razumevanje nove snovi.

Delo v parih. Učenci izberejo, kako bodo enačbo rešili sami, odvisno od vrste enačbe. Naloge iz učbenika "Algebra 8", Yu.N. Makaryčev, 2007: št. 600 (b, c, i); št. 601 (a, e, g). Učitelj nadzoruje izvedbo naloge, odgovarja na zastavljena vprašanja in pomaga slabo uspešnim učencem. Samopreverjanje: odgovori so napisani na tabli.

b) 2 je tuj koren. Odgovor: 3.

c) 2 je tuj koren. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1; 1.5.

5. Izjava o domači nalogi.

1. Preberite 25. točko iz učbenika, analizirajte primere 1-3.
2. Naučite se algoritma za reševanje ulomnih racionalnih enačb.
3. Reši v zvezkih št. 600 (a, d, e); št. 601 (g, h).
4. Poskusite rešiti #696(a) (neobvezno).

6. Izpolnitev kontrolne naloge na preučeno temo.

Delo se izvaja na listih.

Primer dela:

A) Katere od enačb so ulomno racionalne?

B) Ulomek je nič, če je števec ______________________, imenovalec pa _______________________.

Q) Ali je število -3 koren enačbe #6?

D) Reši enačbo št. 7.

Merila za ocenjevanje nalog:

• "5" dobi, če je učenec pravilno opravil več kot 90 % naloge.
• "4" - 75 % -89 %
• "3" - 50 % -74 %
• "2" dobi študent, ki je opravil manj kot 50 % naloge.
• Ocena 2 se ne vpiše v dnevnik, 3 je neobvezna.

7. Refleksija.

Na letake s samostojnim delom postavite:

• 1 - če vam je bila lekcija zanimiva in razumljiva;
• 2 - zanimivo, vendar ni jasno;
• 3 - ni zanimivo, a razumljivo;
• 4 - ni zanimivo, ni jasno.

8. Povzetek lekcije.

Tako smo se danes v lekciji seznanili z ulomnimi racionalnimi enačbami, se naučili reševati te enačbe različne poti, s pomočjo usposabljanja preverili svoje znanje samostojno delo. Rezultate samostojnega dela se boste naučili v naslednji lekciji, doma boste imeli priložnost utrditi pridobljeno znanje.

Katera metoda reševanja ulomnih racionalnih enačb je po vašem mnenju lažja, dostopnejša, bolj racionalna? Ne glede na način reševanja frakcijskih racionalnih enačb, na kaj ne gre pozabiti? Kakšna je "zvitost" ulomnih racionalnih enačb?

Hvala vsem, lekcije je konec.

Naučili smo se že reševati kvadratne enačbe. Razširimo preučene metode na racionalne enačbe.

Kaj racionalno izražanje? S tem konceptom smo se že srečali. Racionalni izrazi imenujemo izrazi, sestavljeni iz številk, spremenljivk, njihovih stopenj in znakov matematičnih operacij.

V skladu s tem so racionalne enačbe enačbe v obliki: , kjer - racionalni izrazi.

Prej smo obravnavali le tiste racionalne enačbe, ki se reducirajo na linearne. Zdaj pa razmislimo o tistih racionalnih enačbah, ki jih je mogoče reducirati na kvadratne.

Primer 1

Reši enačbo: .

Odločitev:

Ulomek je 0, če in samo če je njegov števec 0 in njegov imenovalec ni 0.

Dobimo naslednji sistem:

Prva enačba sistema je kvadratna enačba. Preden jo rešimo, vse njene koeficiente delimo s 3. Dobimo:

Dobimo dve korenini: ; .

Ker 2 nikoli ni enako 0, morata biti izpolnjena dva pogoja: . Ker se nobena od korenov zgoraj pridobljene enačbe ne ujema z neveljavnimi vrednostmi spremenljivke, ki so bile dobljene pri reševanju druge neenakosti, sta obe rešitvi te enačbe.

odgovor:.

Torej, formulirajmo algoritem za reševanje racionalnih enačb:

1. Premaknite vse izraze na levo stran, tako da dobite 0 na desni strani.

2. Preoblikujte in poenostavite levo stran, prinesite vse ulomke na skupni imenovalec.

3. Dobljeni ulomek enačite z 0 po naslednjem algoritmu: .

4. Zapiši tiste korene, ki so dobljeni v prvi enačbi in v odgovoru zadostijo drugi neenakosti.

Poglejmo si še en primer.

Primer 2

Reši enačbo: .

Odločitev

Na samem začetku vse pogoje prenesemo na leva stran tako da na desni ostane 0. Dobimo:

Zdaj pripeljemo levo stran enačbe do skupnega imenovalca:

Ta enačba je enakovredna sistemu:

Prva enačba sistema je kvadratna enačba.

Koeficienti te enačbe: . Izračunamo diskriminanco:

Dobimo dve korenini: ; .

Zdaj pa rešimo drugo neenakost: produkt faktorjev ni enak 0, če in samo če nobeden od faktorjev ni enak 0.

Izpolnjena morata biti dva pogoja: . Dobimo, da je od dveh korenov prve enačbe primerna le ena - 3.

odgovor:.

V tej lekciji smo se spomnili, kaj je racionalni izraz, in se naučili tudi reševati racionalne enačbe, ki jih reduciramo na kvadratne enačbe.

V naslednji lekciji bomo racionalne enačbe obravnavali kot modele realnih situacij, obravnavali pa bomo tudi probleme gibanja.

Bibliografija

1. Bašmakov M.I. Algebra, 8. razred. - M.: Razsvetljenje, 2004.
2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovič E.A. in drugi Algebra, 8. 5. izd. - M.: Izobraževanje, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. razred. Vadnica za izobraževalne ustanove. - M.: Izobraževanje, 2006.

1. Festival pedagoških idej" Javna lekcija" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Domača naloga

Doslej smo reševali le celoštevilske enačbe glede na neznano, torej enačbe, pri katerih imenovalci (če sploh) niso vsebovali neznane.

Pogosto morate rešiti enačbe, ki vsebujejo neznano v imenovalcih: takšne enačbe se imenujejo ulomne.

Da bi rešili to enačbo, pomnožimo obe njeni strani s polinomom, ki vsebuje neznano. Ali bo nova enačba enakovredna dani? Za odgovor na vprašanje rešimo to enačbo.

Če pomnožimo obe strani z , dobimo:

Z reševanjem te enačbe prve stopnje najdemo:

Torej ima enačba (2) en sam koren

Če ga nadomestimo v enačbo (1), dobimo:

Zato je tudi koren enačbe (1).

Enačba (1) nima drugih korenin. V našem primeru je to razvidno na primer iz dejstva, da je v enačbi (1)

Kako mora biti neznani delilec enak dividendi 1, deljeni s količnikom 2, tj.

Torej imata enačbi (1) in (2) en koren, zato sta enakovredni.

2. Zdaj rešimo naslednjo enačbo:

Najenostavnejši skupni imenovalec: ; z njim pomnožimo vse člene enačbe:

Po zmanjšanju dobimo:

Razširimo oklepaje:

S podobnimi pogoji imamo:

Z reševanjem te enačbe najdemo:

Če nadomestimo v enačbo (1), dobimo:

Na levi strani smo prejeli izraze, ki nimajo smisla.

Zato koren enačbe (1) ni. To pomeni, da enačbi (1) in nista enakovredni.

V tem primeru pravimo, da je enačba (1) dobila tuj koren.

Primerjajmo rešitev enačbe (1) z rešitvijo enačb, ki smo jih obravnavali prej (glej 51. §). Pri reševanju te enačbe smo morali izvesti dve takšni operaciji, ki ju še nismo videli: prvič, pomnožili smo obe strani enačbe z izrazom, ki vsebuje neznano (skupni imenovalec), in drugič, zmanjšali smo algebraične ulomke s faktorji, ki vsebujejo neznano .

Če primerjamo enačbo (1) z enačbo (2), vidimo, da niso vse vrednosti x, ki veljajo za enačbo (2), veljavne za enačbo (1).

Prav številki 1 in 3 nista dopustni vrednosti neznanke za enačbo (1), zaradi transformacije pa sta postali dopustni za enačbo (2). Izkazalo se je, da je ena od teh številk rešitev enačbe (2), vendar seveda ne more biti rešitev enačbe (1). Enačba (1) nima rešitev.

Ta primer kaže, da ko obe strani enačbe pomnožimo s faktorjem, ki vsebuje neznano, in ko algebraične ulomke lahko dobimo enačbo, ki ni enakovredna dani, in sicer: pojavijo se lahko tuji koreni.

Zato sklepamo naslednji sklep. Pri reševanju enačbe, ki vsebuje neznano v imenovalcu, je treba dobljene korene preveriti s substitucijo v prvotno enačbo. Tuje korenine je treba zavreči.

Preprosto povedano, to so enačbe, v katerih je vsaj ena s spremenljivko v imenovalcu.

Na primer:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Primer ne ulomne racionalne enačbe:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kako se rešujejo frakcijske racionalne enačbe?

Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti pri ulomnih racionalnih enačbah, je, da morate vanje pisati. In ko najdete korenine, jih preverite glede sprejemljivosti. V nasprotnem primeru se lahko pojavijo tuje korenine in celotna rešitev se bo štela za napačno.

Algoritem za reševanje delne racionalne enačbe:

Izpiši in "reši" ODZ.

Vsak člen v enačbi pomnožite s skupnim imenovalcem in zmanjšajte nastale ulomke. Imenovalci bodo izginili.

Napišite enačbo brez odpiranja oklepajev.

Rešite dobljeno enačbo.

Najdene korenine preverite z ODZ.

V odgovor zapišite korenine, ki so opravili test v 7. koraku.

Ne zapomnite si algoritma, 3-5 rešenih enačb - in zapomnil si bo sam.

Primer . Rešite ulomno racionalno enačbo \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Odločitev:

odgovor: \(3\).

Primer . Poiščite korenine ulomne racionalne enačbe \(=0\)

Odločitev:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Zapišemo in "rešimo" ODZ. Razširite \(x^2+7x+10\) v formulo: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Na srečo smo \(x_1\) in \(x_2\) že našli.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Očitno je skupni imenovalec ulomkov: \((x+2)(x+5)\). Z njim pomnožimo celotno enačbo.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Zmanjšamo ulomke
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Odpiranje oklepajev
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Dajemo podobne pogoje
\(2x^2+9x-5=0\)		Iskanje korenin enačbe
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Ena od korenin ne sodi pod ODZ, zato v odgovor zapišemo le drugi koren.

odgovor: \(\frac(1)(2)\).