Na njih se nenehno upogiba. Reševanje tipičnih problemov glede trdnosti materialov

Upogib je vrsta deformacije, pri kateri je vzdolžna os žarka upognjena. Ravni nosilci, ki delujejo na upogibanje, se imenujejo nosilci. Ravni ovinek je ovinek, v katerem zunanje sile, ki delujejo na žarek, ležijo v isti ravnini (ravnini sile), ki poteka skozi vzdolžno os nosilca in glavno osrednjo vztrajnostno os prečnega prereza.

Zavoj se imenuje čist, če se v katerem koli preseku žarka pojavi le en upogibni moment.

Upogibanje, pri katerem upogibni moment in prečna sila hkrati delujeta v prerezu žarka, se imenuje prečno. Presečišča ravnine sile in presečne ravnine imenujemo črta sile.

Notranji faktorji sile pri upogibanju žarka.

Pri ravnem prečnem upogibu v odsekih nosilca nastaneta dva faktorja notranje sile: prečna sila Q in upogibni moment M. Za njihovo določitev se uporablja metoda preseka (glej predavanje 1). Prečna sila Q v prerezu nosilca je enaka algebraični vsoti projekcij na presečno ravnino vseh zunanjih sil, ki delujejo na eni strani obravnavanega preseka.

Pravilo predznaka za strižne sile Q:

Upogibni moment M v prerezu žarka je enak algebraični vsoti momentov okoli težišča tega odseka vseh zunanjih sil, ki delujejo na eni strani obravnavanega odseka.

Pravilo znaka za upogibne momente M:

Diferencialne odvisnosti Žuravskega.

Med intenzivnostjo q porazdeljene obremenitve, izrazima za prečno silo Q in upogibnim momentom M se vzpostavijo diferencialne odvisnosti:

Na podlagi teh odvisnosti je mogoče razlikovati naslednje splošne vzorce diagramov prečnih sil Q in upogibnih momentov M:

Posebnosti diagramov notranjih faktorjev sile pri upogibanju.

1. Na odseku nosilca, kjer ni porazdeljene obremenitve, je prikazan graf Q ravna črta , vzporedna z osnovo diagrama, diagram M pa je nagnjena ravna črta (slika a).

2. V odseku, kjer se uporablja koncentrirana sila, mora biti na Q diagramu skok , enak vrednosti te sile, in na diagramu M - prelomnica (slika a).

3. V odseku, kjer je uporabljen koncentrirani moment, se vrednost Q ne spremeni, diagram M pa se spremeni skok , enak vrednosti tega trenutka, (slika 26, b).

4. V prerezu žarka z porazdeljeno obremenitvijo intenzivnosti q se diagram Q spreminja po linearnem zakonu, diagram M pa po paraboličnem in konveksnost parabole je usmerjena proti smeri porazdeljene obremenitve (sl. c, d).

5. Če znotraj karakterističnega odseka diagrama Q seka osnovo diagrama, potem ima na odseku, kjer je Q = 0, upogibni moment skrajno vrednost M max ali M min (slika d).

Normalne upogibne napetosti.

Določeno s formulo:

Uporni moment odseka proti upogibu je vrednost:

Nevaren odsek pri upogibanju se imenuje prečni prerez žarka, v katerem se pojavi največja normalna napetost.

Tangencialne napetosti pri neposrednem upogibanju.

Določeno s Formula Žuravskega za strižne napetosti pri neposrednem upogibanju nosilca:

kjer je S ots - statični moment prečnega območja odrezane plasti vzdolžnih vlaken glede na nevtralno črto.

Izračuni upogibne trdnosti.

1. Pri verifikacijski izračun določi se največja konstrukcijska napetost, ki se primerja z dovoljeno napetostjo:

2. Pri načrtovalni izračun izbor odseka žarka se izvede iz pogoja:

3. Pri določanju dovoljene obremenitve se dovoljeni upogibni moment določi iz pogoja:

Upogibni gibi.

Pod delovanjem upogibne obremenitve se os žarka upogne. V tem primeru pride do raztezanja vlaken na konveksnih in stiskanja - na konkavnih delih žarka. Poleg tega obstaja navpično premikanje težišč prečnih prerezov in njihovo vrtenje glede na nevtralno os. Za karakterizacijo deformacije med upogibanjem se uporabljajo naslednji koncepti:

Odklon žarka Y- premik težišča prečnega prereza žarka v smeri, pravokotni na njegovo os.

Odklon se šteje za pozitiven, če se težišče premakne navzgor. Količina odklona se spreminja po dolžini žarka, t.j. y=y(z)

Kot vrtenja odseka- kot θ, za katerega se vsak odsek zasuka glede na prvotni položaj. Kot vrtenja se šteje za pozitiven, če se odsek zasuka v nasprotni smeri urinega kazalca. Vrednost kota vrtenja se spreminja vzdolž dolžine žarka in je odvisna od θ = θ (z).

Najpogostejši način določanja premikov je metoda mora in Vereshchaginovo pravilo.

Mohrova metoda.

Postopek za določanje premikov po Mohrovi metodi:

1. "Pomožni sistem" je zgrajen in obremenjen z enojno obremenitvijo na točki, kjer je treba določiti premik. Če se določi linearni premik, se v njegovi smeri uporabi enotna sila, pri določanju kotnih premikov pa enotni moment.

2. Za vsak odsek sistema se zabeležita izraza upogibnih momentov M f iz uporabljene obremenitve in M ​​1 - iz posamezne obremenitve.

3. Mohrovi integrali se izračunajo in seštejejo po vseh odsekih sistema, kar ima za posledico želeni premik:

4. Če ima izračunani premik pozitiven predznak, to pomeni, da njegova smer sovpada s smerjo enotne sile. Negativni predznak označuje, da je dejanski premik nasproten smeri enotne sile.

Vereshchaginovo pravilo.

V primeru, ko ima diagram upogibnih momentov iz dane obremenitve poljuben, iz ene obremenitve pa pravokoten obris, je priročno uporabiti grafično-analitično metodo ali Vereshchaginovo pravilo.

kjer je A f površina diagrama upogibnega momenta M f od dane obremenitve; y c je ordinata diagrama iz posamezne obremenitve pod težiščem diagrama M f ; EI x - togost preseka nosilca. Izračuni po tej formuli so narejeni v odsekih, na vsakem od katerih mora biti premočrtni diagram brez zlomov. Vrednost (A f *y c) se šteje za pozitivno, če sta oba diagrama na isti strani žarka, negativna, če sta na nasprotnih straneh. Pozitiven rezultat množenja diagramov pomeni, da smer gibanja sovpada s smerjo enote sile (ali momenta). Kompleksni diagram M f je treba razdeliti na preproste figure (uporablja se tako imenovana "epure layering"), za vsako od katerih je enostavno določiti ordinato težišča. V tem primeru se površina vsake figure pomnoži z ordinato pod njenim težiščem.

upogib imenujemo deformacija palice, ki jo spremlja sprememba ukrivljenosti njene osi. Imenuje se palica, ki se upogne žarek.

Glede na načine uporabe obremenitve in metode pritrditve palice se lahko pojavijo različne vrste upogibanja.

Če nastane le upogibni moment pod delovanjem obremenitve v prečnem prerezu palice, se upogib imenuje čist.

Če v prerezih skupaj z upogibnimi momenti nastanejo tudi prečne sile, se imenuje upogibanje prečno.

Če zunanje sile ležijo v ravnini, ki poteka skozi eno od glavnih osrednjih osi prečnega prereza palice, se upogib imenuje preprosta oz stanovanje. V tem primeru ležita obremenitev in deformabilna os v isti ravnini (slika 1).

riž. eno

Da bi žarek prevzel obremenitev v ravnini, ga je treba pritrditi s pomočjo nosilcev: tečajno-premični, tečajno-fiksni, vgradni.

Žar mora biti geometrijsko nespremenljiv, najmanjše število povezav pa je 3. Primer geometrijsko spremenljivega sistema je prikazan na sliki 2a. Primer geometrijsko nespremenljivih sistemov je sl. 2b, c.

a B C)

V nosilcih nastanejo reakcije, ki so določene iz ravnotežnih pogojev statike. Reakcije v nosilcih so zunanje obremenitve.

Notranje upogibne sile

Palica, obremenjena s silami, pravokotnimi na vzdolžno os nosilca, doživi ravno upogib (slika 3). V prerezih sta dve notranji sili: strižna sila Q y in upogibni moment Mz.

Notranje sile se določijo z metodo preseka. Na daljavo x od točke AMPAK z ravnino, pravokotno na os X, je palica razrezana na dva dela. Eden od delov žarka se zavrže. Interakcija delov žarka se nadomesti z notranjimi silami: upogibnim momentom Mz in prečna sila Q y(slika 4).

Domači napori Mz in Q y v prerez se določijo iz ravnotežnih pogojev.

Za del se sestavi ravnotežna enačba Z:

∑y = R A - P 1 - Q y \u003d 0.

Potem Q y = R A – P1.

Zaključek. Prečna sila v katerem koli odseku žarka je enaka algebraični vsoti vseh zunanjih sil, ki ležijo na eni strani narisanega preseka. Prečna sila se šteje za pozitivno, če palico vrti v smeri urnega kazalca okoli točke preseka.

∑M 0 = R A ∙ x – P 1 ∙ (x - a) – Mz = 0

Potem Mz = R A ∙ x – P 1 ∙ (x – a)

1. Opredelitev reakcij R A , R B ;

∑M A = P ∙ a – R B ∙ l = 0

R B =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Izris na prvem odseku 0 ≤ x 1 ≤ a

Q y = R A =; M z \u003d R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Izris na drugem odseku 0 ≤ x 2 ≤ b

Q y = - R B = - ; Mz = R B ∙ x 2 ; x 2 = 0 Mz(0) = 0 x 2 = bMz(b) =

Pri gradnji Mz pozitivne koordinate bodo izrisane proti raztegnjenim vlaknom.

Preverjanje parcel

1. Na parceli Q y diskontinuitete so lahko le na mestih, kjer delujejo zunanje sile, velikost preskoka pa mora ustrezati njihovi velikosti.

+ = = P

2. Na parceli Mz na mestih uporabe koncentriranih momentov nastanejo diskontinuitete in velikost preskoka je enaka njihovi velikosti.

Različne odvisnosti medM, Qinq

Med upogibnim momentom, prečno silo in intenzivnostjo porazdeljene obremenitve se ugotovijo naslednje odvisnosti:

q = , Q y =

kjer je q intenzivnost porazdeljene obremenitve,

Preverjanje trdnosti nosilcev pri upogibanju

Za oceno trdnosti palice pri upogibanju in izbiro prereza žarka se uporabljajo pogoji trdnosti za normalne napetosti.

Upogibni moment je rezultantni moment normalnih notranjih sil, porazdeljenih po odseku.

s = × y,

kjer je s normalna napetost na kateri koli točki preseka,

y je razdalja od težišča preseka do točke,

Mz- upogibni moment, ki deluje v odseku,

Jz je aksialni vztrajnostni moment palice.

Za zagotovitev trdnosti se izračunajo največje napetosti, ki se pojavijo na točkah odseka, ki so najbolj oddaljene od težišča y = ymax

s max = × ymax,

= Wz in s max = .

Potem ima pogoj trdnosti za normalne napetosti obliko:

s max = ≤ [s],

kjer je [s] dovoljena natezna napetost.

ravni ovinek- to je vrsta deformacije, pri kateri v prerezih palice nastaneta dva faktorja notranje sile: upogibni moment in prečna sila.

Čisti ovinek- to je poseben primer neposrednega upogibanja, pri katerem se v prerezih palice pojavi le upogibni moment, prečna sila pa je nič.

Primer čistega upogiba - graf CD na palici AB. Upogibni moment je vrednost Pa par zunanjih sil, ki povzročajo upogibanje. Od ravnotežja dela palice levo od prečnega prereza mn iz tega sledi, da so notranje sile, porazdeljene po tem odseku, statično enakovredne trenutku M, enak in nasproten upogibnemu momentu Pa.

Da bi našli porazdelitev teh notranjih sil po prečnem prerezu, je treba upoštevati deformacijo palice.

V najpreprostejšem primeru ima palica vzdolžno simetrično ravnino in je izpostavljena delovanju zunanjih upogibnih parov sil, ki se nahajajo v tej ravnini. Potem se bo upogib pojavil v isti ravnini.

os palice nn 1 je črta, ki poteka skozi težišča njegovih presekov.

Naj bo prečni prerez palice pravokotnik. Na njenem obrazu narišite dve navpični črti mm in str. Ko so ukrivljene, te črte ostanejo ravne in se vrtijo tako, da ostanejo pravokotne na vzdolžna vlakna palice.

Nadaljnja teorija upogibanja temelji na predpostavki, da ne samo črte mm in str, vendar ostane celoten ravni prerez palice po upogibanju raven in normalen na vzdolžna vlakna palice. Zato pri upogibanju prečni prerezi mm in str zavrtite drug glede drugega okoli osi, pravokotnih na upogibno ravnino (ravnino risanja). V tem primeru vzdolžna vlakna na konveksni strani doživijo napetost, vlakna na konkavni strani pa stiskajo.

nevtralna površina je površina, ki se med upogibanjem ne deformira. (Zdaj se nahaja pravokotno na risbo, deformirano os palice nn 1 pripada tej površini).

Nevtralna presečna os- to je presečišče nevtralne površine s katerim koli prečnim prerezom (zdaj se nahaja tudi pravokotno na risbo).

Naj je poljubno vlakno na razdalji y z nevtralne površine. ρ je polmer ukrivljenosti ukrivljene osi. Dot O je središče ukrivljenosti. Potegnimo črto n 1 s 1 vzporedno mm.ss 1 je absolutni raztezek vlakna.

Relativna razširitev ε x vlaken

Sledi, da deformacija vzdolžnih vlaken sorazmerno z razdaljo y od nevtralne površine in obratno sorazmerna s polmerom ukrivljenosti ρ .

Vzdolžno raztezanje vlaken konveksne strani palice spremlja bočna zožitev, in vzdolžno skrajšanje konkavne strani - stranski podaljšek, kot v primeru preprostega raztezanja in krčenja. Zaradi tega se spremeni videz vseh prerezov, navpične stranice pravokotnika postanejo poševne. Bočna deformacija z:

μ - Poissonovo razmerje.

Zaradi tega popačenja so vse ravne črte prečnega prereza vzporedne z osjo z, so upognjeni tako, da ostanejo normalni na stranice odseka. Polmer ukrivljenosti te krivulje R bo več kot ρ na enak način kot ε x je po absolutni vrednosti večji od ε z in dobimo

Te deformacije vzdolžnih vlaken ustrezajo napetosti

Napetost v katerem koli vlaknu je sorazmerna z njegovo oddaljenostjo od nevtralne osi. n 1 n 2. Položaj nevtralne osi in polmer ukrivljenosti ρ sta dve neznanki v enačbi za σ x - se lahko določi iz pogoja, da sile, porazdeljene po katerem koli prečnem prerezu, tvorijo par sil, ki uravnoteži zunanji moment M.

Vse našteto velja tudi, če palica nima vzdolžne simetrične ravnine, v kateri deluje upogibni moment, dokler upogibni moment deluje v aksialni ravnini, ki vsebuje eno od dveh glavne osi prečni prerez. Ta letala se imenujejo glavne upogibne ravnine.

Ko obstaja simetrična ravnina in upogibni moment deluje v tej ravnini, se v njej pojavi upogib. Momenti notranjih sil okoli osi z uravnotežiti zunanji trenutek M. Trenutki napora glede na os y se medsebojno uničijo.

Ravni prečni ovinek nastane, ko se vse obremenitve nanesejo pravokotno na os palice, ležijo v isti ravnini, poleg tega pa ravnina njihovega delovanja sovpada z eno od glavnih osrednjih vztrajnostnih osi odseka. Neposredno prečno upogibanje se nanaša na preprosto obliko upora in je ravninsko napetostno stanje, tj. dve glavni napetosti sta različni od nič. Pri tej vrsti deformacije nastanejo notranje sile: prečna sila in upogibni moment. Poseben primer neposrednega prečnega ovinka je čisti ovinek, s takim uporom obstajajo tovorni odseki, znotraj katerih prečna sila izgine, upogibni moment pa je enak nič. V prerezih palic z neposrednim prečnim upogibom nastanejo normalne in strižne napetosti. Napetosti so funkcija notranje sile, v tem primeru so normalne napetosti funkcija upogibnega momenta, tangencialne pa so funkcija prečne sile. Za neposredno prečno upogibanje se uvede več hipotez:

1) Prečni prerezi nosilca, ravni pred deformacijo, ostanejo po deformaciji ravni in pravokotni na nevtralno plast (hipoteza ravnih prerezov ali hipoteza J. Bernoullija). Ta hipoteza velja za čisto upogibanje in se krši, ko se pojavijo strižna sila, strižne napetosti in kotna deformacija.

2) Med vzdolžnimi plastmi ni medsebojnega pritiska (hipoteza o netlaku vlaken). Iz te hipoteze sledi, da vzdolžna vlakna doživljajo enoosno napetost ali stiskanje, zato s čistim upogibom velja Hookeov zakon.

Imenuje se palica, ki se upogiba žarek. Pri upogibanju se en del vlaken raztegne, drugi del pa stisne. Imenuje se plast vlaken med raztegnjenimi in stisnjenimi vlakni nevtralna plast, gre skozi težišče odsekov. Črta njegovega presečišča s prečnim prerezom žarka se imenuje nevtralna os. Na podlagi uvedenih hipotez za čisto upogibanje je pridobljena formula za določanje normalnih napetosti, ki se uporablja tudi za neposredno prečno upogibanje. Normalno napetost je mogoče najti z linearnim razmerjem (1), v katerem je razmerje med upogibnim momentom in aksialnim vztrajnostnim momentom (
) v določenem odseku je konstantna vrednost, razdalja ( y) vzdolž ordinatne osi od težišča preseka do točke, na kateri je določena napetost, variira od 0 do
.

. (1)

Za določitev strižne napetosti med upogibom leta 1856. Ruski inženir mostov D.I. Zhuravsky je dobil odvisnost

. (2)

Strižna napetost v določenem odseku ni odvisna od razmerja med prečno silo in aksialnim vztrajnostnim momentom (
), Ker ta vrednost se ne spremeni znotraj enega odseka, ampak je odvisna od razmerja statičnega momenta površine odrezanega dela do širine odseka na ravni odseka (
).

Pri neposrednem prečnem upogibanju obstajajo gibi: odmiki (v ) in koti vrtenja (Θ ) . Za njihovo določitev se uporabljajo enačbe metode začetnih parametrov (3), ki jih dobimo z integracijo diferencialne enačbe upognjene osi nosilca (
).

tukaj v 0 , Θ 0 ,M 0 , Q 0 – začetni parametri, x – razdalja od izhodišča koordinat do odseka, v katerem je definiran premik , a je razdalja od izhodišča koordinat do mesta uporabe oziroma začetka obremenitve.

Izračun trdnosti in togosti se izvede z uporabo pogojev trdnosti in togosti. S temi pogoji lahko rešimo verifikacijske probleme (izvedemo preverjanje izpolnjevanja pogoja), določimo velikost preseka ali izberemo dovoljeno vrednost parametra obremenitve. Obstaja več pogojev za moč, nekateri od njih so navedeni spodaj. Stanje moči za normalne obremenitve izgleda kot:

, (4)

tukaj
– modul preseka glede na z-os, R je konstrukcijski upor za normalne napetosti.

Pogoj trdnosti za strižne napetosti izgleda kot:

, (5)

tukaj je zapis enak kot v formuli Žuravskega in R s - projektirana strižna odpornost ali konstrukcijska odpornost na strižno napetost.

Stanje trdnosti po tretji hipotezi jakosti ali hipotezo o največjih strižnih napetostih lahko zapišemo v naslednji obliki:

. (6)

Pogoji togosti se lahko piše za upogibi (v ) in koti vrtenja (Θ ) :

kjer veljajo vrednosti premika v oglatih oklepajih.

Primer izvedbe posamezne naloge št.4 (termin 2-8 tednov)

Pri neposrednem čistem upogibu v prerezu palice obstaja le en faktor sile - upogibni moment M x(slika 1). Kot Q y \u003d dM x / dz \u003d 0, potem Mx=const in čisto neposredno upogibanje se lahko izvede, ko je palica obremenjena s pari sil, ki delujejo na končnih odsekih palice. Od upogibnega trenutka M x po definiciji enak vsoti momentov notranjih sil okoli osi Oh z normalnimi napetostmi je povezana z enačbo statike, ki izhaja iz te definicije

Formulirajmo premise teorije čistega neposrednega upogibanja prizmatične palice. V ta namen analiziramo deformacije modela palice iz nizkomodulnega materiala, na stranski površini katerega je nanesena mreža vzdolžnih in prečnih prask (slika 2). Ker prečna tveganja, ko je palica upognjena zaradi parov sil, ki delujejo na končnih odsekih, ostanejo ravna in pravokotna na ukrivljena vzdolžna tveganja, lahko sklepamo, da hipoteze ravninskega preseka, ki, kot kaže rešitev tega problema z metodami teorije elastičnosti, preneha biti hipoteza in postane natančno dejstvo - zakon ravninskih presekov. Z merjenjem spremembe razdalj med vzdolžnimi tveganji pridemo do zaključka o veljavnosti hipoteze o netlaku vzdolžnih vlaken.

Ortogonalnost vzdolžnih in prečnih prask pred in po deformaciji (kot odraz delovanja zakona ravnih prerezov) kaže tudi na odsotnost premikov, strižnih napetosti v prečnih in vzdolžnih odsekih palice.

sl.1. Razmerje med notranjim naporom in stresom

sl.2. Model čistega upogibanja

Tako se čisto neposredno upogibanje prizmatične palice zmanjša na enoosno napetost ali stiskanje vzdolžnih vlaken z napetostmi (indek. G pozneje izpuščeno). V tem primeru je del vlaken v coni napetosti (na sliki 2 so to spodnja vlakna), drugi del pa v coni stiskanja (zgornja vlakna). Te cone so ločene z nevtralno plastjo (p-p), ne spreminja svoje dolžine, pri kateri so napetosti enake nič. Ob upoštevanju zgoraj navedenih predpogojev in ob predpostavki, da je material palice linearno elastičen, t.j. ima Hookeov zakon v tem primeru obliko: , izpeljemo formule za ukrivljenost nevtralne plasti (-polmer ukrivljenosti) in normalne napetosti . Najprej ugotavljamo, da sta konstantnost prečnega prereza prizmetične palice in upogibni moment (M x = konst), zagotavlja konstantnost polmera ukrivljenosti nevtralne plasti vzdolž dolžine palice (slika 3, a), nevtralna plast (n—n) opisano z lokom kroga.

Razmislite o prizmatično palico v pogojih neposrednega čistega upogibanja (slika 3, a) s prečnim prerezom, simetričnim glede na navpično os OU. Ta pogoj ne bo vplival na končni rezultat (da bi bil možen ravni ovinek, sovpadanje osi Oh z glavna vztrajnostna os preseka, ki je os simetrije). os Ox nanesite nevtralni sloj, položaj koga vnaprej ni znano.

a) shema izračuna, b) obremenitve in obremenitve

sl.3. Odlomek čistega ovinka žarka

Razmislite o elementu, izrezanem iz palice z dolžino dz, ki je prikazana na lestvici z deleži, ki so zaradi jasnosti popačeni na sl. 3, b. Ker so zanimive deformacije elementa, ki jih določa relativni premik njegovih točk, se lahko eden od končnih odsekov elementa šteje za fiksnega. Glede na majhnost domnevamo, da se točke preseka, ko se zasukajo skozi ta kot, premikajo ne vzdolž lokov, temveč vzdolž ustreznih tangent.

Izračunajmo relativno deformacijo vzdolžnega vlakna AB, ločen od nevtralne plasti z na:

Iz podobnosti trikotnikov C00 1 in 0 1 BB 1 sledi temu

Izkazalo se je, da je vzdolžna deformacija linearna funkcija oddaljenosti od nevtralne plasti, kar je neposredna posledica zakona ravninskih odsekov

Ta formula ni primerna za praktično uporabo, saj vsebuje dve neznanki: ukrivljenost nevtralne plasti in položaj nevtralne osi Oh, od katerega se šteje koordinata y. Za določitev teh neznank uporabljamo ravnotežne enačbe statike. Prvi izraža zahtevo, da je vzdolžna sila enaka nič

Zamenjava izraza (2) v to enačbo

in ob upoštevanju tega dobimo to

Integral na levi strani te enačbe je statični moment preseka palice okoli nevtralne osi Oh, ki je lahko enaka nič le glede na osrednjo os. Zato je nevtralna os Oh poteka skozi težišče prečnega prereza.

Druga enačba statičnega ravnotežja je tista, ki povezuje normalne napetosti z upogibnim momentom (ki ga je mogoče zlahka izraziti z zunanjimi silami in se zato šteje za dano vrednost). Zamenjava izraza za v enačbo snopa. napetost, dobimo:

in glede na to kje J x je glavni osrednji vztrajnostni moment okoli osi Oh, za ukrivljenost nevtralne plasti dobimo formulo

sl.4. Normalna porazdelitev stresa

ki ga je leta 1773 prvi dobil S. Coulomb. Da se ujemajo z znaki upogibnega momenta M x in normalne napetosti, se znak minus postavi na desno stran formule (5), saj pri M x >0 normalne obremenitve pri y>0 se izkaže za kontraktivno. Vendar pa je v praktičnih izračunih bolj priročno, ne da bi se držali formalnega pravila znakov, določiti napetosti po modulu in postaviti znak glede na pomen. Normalne napetosti pri čistem upogibu prizmatične palice so linearna funkcija koordinate pri in dosežejo najvišje vrednosti v vlaknih, ki so najbolj oddaljena od nevtralne osi (slika 4), t.j.

Tu je uvedena geometrijska karakteristika, ki ima dimenzijo m 3 in se imenuje uporni moment pri upogibanju. Ker za dano M x Napetost max? manj tem več Š x , uporni moment je geometrijska značilnost trdnosti prečnega upogiba. Naj navedemo primere izračunavanja upornih momentov za najpreprostejše oblike prečnih prerezov. Za pravokotni prerez (slika 5, a) imamo J x \u003d bh 3/12, y max = h/2 in W x = J x /y max = bh 2 /6. Podobno za krog (slika 5 ,a J x =d4 /64, ymax=d/2) dobimo Š x =d3/32, za krožni obročasti prerez (slika 5, v), kateri