Kako najti kosinus kota med ravninami. Diedrski kot

Ta članek govori o kotu med ravninami in o tem, kako ga najti. Najprej je podana definicija kota med dvema ravninama in podana grafična ponazoritev. Nato je bil analiziran princip iskanja kota med dvema sekajočima se ravninama po koordinatni metodi, pridobljena je bila formula, ki omogoča izračun kota med sekajočimi se ravninama z uporabo znanih koordinat normalnih vektorjev teh ravnin. V zaključku so prikazane podrobne rešitve tipičnih problemov.

Navigacija po straneh.

Kot med ravninami - definicija.

Navedimo argumente, ki nam bodo omogočili, da se postopoma približamo definiciji kota med dvema sekajočima ravninama.

Naj nam je dana dve sekajoči se ravnini in . Te ravnine se sekata v ravni črti, ki jo označujemo s črko c. Konstruirajmo ravnino, ki poteka skozi točko M premice c in je pravokotna na premico c. V tem primeru bo ravnina sekala ravnini in . Označimo črto, vzdolž katere se ravnine sekata in kot a, in črto, vzdolž katere sekata ravnini, in kot b. Očitno se premici a in b sekata v točki M.

Preprosto je pokazati, da kot med sekajočima se črtama a in b ni odvisen od položaja točke M na premici c, skozi katero poteka ravnina.

Konstruirajmo ravnino, pravokotno na premico c in drugačno od ravnine. Ravnino sekajo ravnine in po ravnih črtah, ki jih označujemo z a 1 oziroma b 1.

Iz metode konstruiranja ravnin in sledi, da sta premici a in b pravokotni na premico c, premici a 1 in b 1 pa sta pravokotni na premico c. Ker premici a in a 1 ležita v isti ravnini in sta pravokotni na premico c, sta vzporedni. Podobno premici b in b 1 ležita v isti ravnini in sta pravokotni na premico c, zato sta vzporedni. Tako je mogoče izvesti vzporedni prenos ravnine na ravnino, pri kateri premica a 1 sovpada z premico a, premica b pa s premico b 1. Zato je kot med sekajočima se linijama a 1 in b 1 enak kotu med sekata a in b.

To dokazuje, da kot med sekajočima se linijama a in b, ki ležita v sekajočih se ravninah, ni odvisen od izbire točke M, skozi katero poteka ravnina. Zato je logično, da ta kot vzamemo kot kot med dvema sekajočima ravninama.

Zdaj lahko izrazite definicijo kota med dvema sekajočima ravninama in .

Opredelitev.

Kot med dvema ravninama, ki se sekata v ravni črti in je kot med sekajočima se linijama a in b, vzdolž katerih se ravnini in sekata z ravnino, pravokotno na premico c.

Definicijo kota med dvema ravninama lahko podamo nekoliko drugače. Če na premici c, vzdolž katere se ravnini sekata, označimo točko M in skozi njo potegnemo premici a in b, pravokotno na premico c in ležita v ravninah oz., potem je kot med premici a in b kot med ravninama in. Običajno se v praksi takšne konstrukcije izvajajo, da bi dobili kot med ravninama.

Ker kot med sekajočima se premicama ne presega , iz zvočne definicije sledi , da je stopenjska mera kota med sekajočima se ravninama izražena z realnim številom iz intervala . V tem primeru se imenujejo sekajoče se ravnine pravokotnoče je kot med njima devetdeset stopinj. Kot med vzporednimi ravninami sploh ni določen ali pa velja za enak nič.

Iskanje kota med dvema sekajočima ravninama.

Običajno morate pri iskanju kota med dvema sekajočima se ravninama najprej izvesti dodatne konstrukcije, da vidite sekajoče se črte, med katerimi je kot enak želenemu kotu, nato pa ta kot povežete z izvirnimi podatki z znaki enakosti, znaki podobnosti, kosinusni izrek ali definicije sinusa, kosinusa in tangenta kota. V srednješolskem tečaju geometrije so podobne težave.

Na primer, dajmo rešitev problema C2 iz enotnega državnega izpita iz matematike za leto 2012 (pogoj je namenoma spremenjen, vendar to ne vpliva na princip rešitve). V njem je bilo treba le najti kot med dvema sekajočima ravninama.

Primer.

Odločitev.

Najprej naredimo risbo.

Izvajajmo dodatne konstrukcije, da "vidimo" kot med ravninama.

Najprej definirajmo ravno črto, po kateri se sekata ravnini ABC in BED 1. Točka B je ena od njihovih skupnih točk. Poiščite drugo skupno točko teh ravnin. Premici DA in D 1 E ležita v isti ravnini ADD 1 in nista vzporedni in se zato sekata. Po drugi strani pa premica DA leži v ravnini ABC, premica D 1 E pa v ravnini BED 1, zato bo presečišče premic DA in D 1 E skupna točka ravnin ABC in POSTELJICA 1. Torej nadaljujemo vrstici DA in D 1 E, dokler se ne sekata, točko njunega presečišča označimo s črko F. Potem je BF ravna črta, po kateri se sekata ravnini ABC in BED 1.

Še vedno je treba zgraditi dve premici, ki ležita v ravninah ABC in BED 1, ki potekata skozi eno točko na premici BF in pravokotno na premico BF - kot med tema premicama bo po definiciji enak želenemu kotu med letali ABC in BED 1 . Naredimo to.

Dot A je projekcija točke E na ravnino ABC. Nariši premico, ki seka pod pravim kotom premico BF v točki M. Potem je premica AM projekcija premice EM na ravnino ABC in po izreku o treh pravokotnicah.

Tako je želeni kot med ravninama ABC in BED 1 .

Sinus, kosinus ali tangent tega kota (in s tem samega kota) lahko določimo iz pravokotnega trikotnika AEM, če poznamo dolžini njegovih dveh stranic. Iz pogoja je enostavno najti dolžino AE: ker točka E deli stran AA 1 glede na 4 do 3, štetje od točke A, in je dolžina stranice AA 1 7, potem je AE = 4. Najdimo dolžino AM.

Če želite to narediti, razmislite o pravokotnem trikotniku ABF s pravim kotom A, kjer je AM višina. Po pogoju AB=2. Dolžino stranice AF najdemo iz podobnosti pravokotnih trikotnikov DD 1 F in AEF :

Po Pitagorejevem izreku iz trikotnika ABF najdemo . Dolžino AM najdemo skozi površino trikotnika ABF: na eni strani je površina trikotnika ABF enaka , na drugi strani , kje .

Tako imamo iz pravokotnega trikotnika AEM .

Potem je želeni kot med ravninama ABC in BED 1 (upoštevajte, da ).

odgovor:

V nekaterih primerih je za iskanje kota med dvema sekajočima ravninama priročno določiti Oxyz in uporabiti koordinatno metodo. Ustavimo se pri tem.

Postavimo nalogo: najti kot med dvema sekajočima ravninama in . Označimo želeni kot kot .

Predvidevamo, da v danem pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz poznamo koordinate normalnih vektorjev sekajočih se ravnin in ali jih je mogoče najti. Naj bo je normalni vektor ravnine in je normalni vektor ravnine. Pokažimo, kako najti kot med sekajočimi se ravninama in preko koordinat normalnih vektorjev teh ravnin.

Označimo črto, vzdolž katere se ravnine sekata, in kot c . Skozi točko M na premici c potegnemo ravnino, pravokotno na premico c. Ravnina seka ravnine in vzdolž premici a in b se premici a in b sekata v točki M. Po definiciji je kot med sekajočimi se ravninama in enak kotu med sekajočima se premicama a in b.

Odstavimo od točke M v ravnini normalne vektorje in ravnin in . V tem primeru vektor leži na premici, ki je pravokotna na premico a, vektor pa na premici, ki je pravokotna na premico b. Tako je v ravnini vektor normalni vektor premice a, je normalni vektor premice b.

V članku Iskanje kota med sekajočimi se črtami smo dobili formulo, ki omogoča izračun kosinusa kota med sekajočimi se črtami s koordinatami normalnih vektorjev. Tako je kosinus kota med premicama a in b ter posledično in kosinus kota med sekajočimi se ravninama in ga najdemo s formulo , kjer in sta normalni vektorji ravnin in oz. Nato se izračuna kot .

Rešimo prejšnji primer s koordinatno metodo.

Primer.

Podan je pravokotni paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, v katerem AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 in točka E deli stran AA 1 v razmerju 4 proti 3, štetje od točke A. Poiščite kot med ravninama ABC in BED 1.

Odločitev.

Ker so stranice pravokotnega paralelepipeda na enem točku parno pravokotne, je pravokotni koordinatni sistem Oxyz primerno uvesti na naslednji način: začetek je poravnan z ogliščem C, koordinatne osi Ox, Oy in Oz pa so usmerjene vzdolž stranic. CD, CB oziroma CC 1.

Kot med ravninama ABC in BED 1 lahko najdemo preko koordinat normalnih vektorjev teh ravnin s formulo , kjer sta in normalna vektorja ravnin ABC oziroma BED 1. Določimo koordinate normalnih vektorjev.

Vaša zasebnost nam je pomembna. Zaradi tega smo razvili pravilnik o zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite našo politiko zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določene osebe ali stik z njo.

Od vas se lahko zahteva, da navedete svoje osebne podatke kadar koli, ko nas kontaktirate.

V nadaljevanju je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako jih lahko uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko oddate prijavo na spletnem mestu, lahko zbiramo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da stopimo v stik z vami in vas obvestimo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
Občasno lahko vaše osebne podatke uporabimo za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različnih raziskav, da bi izboljšali storitve, ki jih ponujamo, in vam zagotovili priporočila glede naših storitev.
Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki jih posredujete, uporabimo za upravljanje takšnih programov.

Razkritje tretjim osebam

Podatkov, ki jih prejmete od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

V primeru, da je treba - v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnih postopkih in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - razkriti svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih razlogov javnega interesa.
V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega naslednika tretje osebe.

Zaščita osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z upravnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse zasebnosti.

Izrek

Kot med ravninami ni odvisen od izbire rezalne ravnine.

Dokaz.

Naj obstajata dve ravnini α in β, ki se sekata vzdolž premice c. narišite ravnino γ pravokotno na premico c. Nato ravnina γ seka ravnini α in β vzdolž premici a in b. Kot med ravninama α in β je enak kotu med premicama a in b.
Vzemite drugo rezalno ravnino γ`, pravokotno na c. Potem bo ravnina γ` sekala ravnini α in β vzdolž premici a` in b`.
Pri vzporednem prevajanju bo točka preseka ravnine γ z premico c šla do presečne točke ravnine γ` s premico c. v tem primeru bo z lastnostjo vzporednega prevajanja vrstica a šla na vrstico a`, b - na vrstico b`. zato sta kota med premici a in b, a` in b` enaka. Izrek je dokazan.

Navigacija po straneh.

Kot med ravninami - definicija.

Pri predstavitvi gradiva bomo uporabljali definicije in pojme, podane v člankih ravnina v prostoru in ravna črta v prostoru.

Navedimo argumente, ki nam bodo omogočili, da se postopoma približamo definiciji kota med dvema sekajočima ravninama.

Naj nam je dana dve sekajoči se ravnini in . Te ravnine se sekata v ravni črti, ki jo označujemo s črko c. Konstruiraj ravnino, ki poteka skozi točko M naravnost c in pravokotno na črto c. V tem primeru bo ravnina sekala ravnini in . Označimo črto, po kateri se ravnine sekata in kot a, ampak ravna črta, po kateri se ravnini sekata in kako b. Očitno neposredno. a in b sekajo v točki M.

Preprosto je pokazati, da je kot med sekajočimi se črtami a in b ni odvisno od lokacije točke M na ravni črti c skozi katero gre letalo.

Konstruiraj ravnino, pravokotno na premico c in drugačen od letala. Ravnino sekajo ravnine in po ravnih črtah, ki jih označujemo a 1 in b 1 oz.

Iz metode konstruiranja ravnin izhaja, da so črte a in b pravokotno na črto c, in neposredno a 1 in b 1 pravokotno na črto c. Od naravnost a in a 1 c, potem sta vzporedna. Prav tako naravnost b in b 1 ležijo v isti ravnini in so pravokotni na premico c torej sta vzporedna. Tako je mogoče izvesti vzporedni prenos ravnine na ravnino, v kateri je ravna črta a 1 sovpada s črto a, in ravna črta b z ravno črto b 1. Zato je kot med dvema sekajočima premicama a 1 in b 1 enak kotu med sekajočimi se črtami a in b.

To dokazuje, da je kot med sekajočimi se črtami a in b leži v sekajočih se ravninah in ni odvisna od izbire točke M skozi katero gre letalo. Zato je logično, da ta kot vzamemo kot kot med dvema sekajočima ravninama.

Zdaj lahko izrazite definicijo kota med dvema sekajočima ravninama in .

Opredelitev.

Kot med dvema sekajočima se linijama c letala in je kot med dvema sekata a in b, po kateri se ravnine in sekajo z ravnino, pravokotno na premico c.

Definicijo kota med dvema ravninama lahko podamo nekoliko drugače. Če na ravni črti z, po kateri se ravnine in sekajo, označimo točko M in skozi njo potegnite ravne črte a in b, pravokotno na črto c in leži v ravninah oziroma, nato kot med črtami a in b je kot med ravninama in . Običajno se v praksi takšne konstrukcije izvajajo, da bi dobili kot med ravninama.

Vrh strani

Iskanje kota med dvema sekajočima ravninama.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, pri čemer AB=3, AD=2, AA 1 = 7 in pika E deli stran AA 1 v razmerju 4 do 3 , štetje od točke AMPAK ABC in POSTELJICA 1.

Najprej naredimo risbo.

Izvajajmo dodatne konstrukcije, da "vidimo" kot med ravninama.

Najprej definiramo ravno črto, po kateri se ravnine sekata ABC in Postelja 1. Dot AT je ena njihovih skupnih točk. Poiščite drugo skupno točko teh ravnin. Neposredno DA in D 1 E ležijo v isti ravnini DODAJ 1, in niso vzporedni in se zato sekajo. Po drugi strani naravnost DA leži v ravnini ABC, in ravna črta D 1 E- v letalu Postelja 1, torej točka presečišča premic DA in D 1 E bo skupna točka letal ABC in Postelja 1. Torej nadaljujmo naravnost DA in D 1 E preden se sekajo, s črko označimo točko njunega presečišča F. Potem bf- črta, po kateri se ravnine sekata ABC in Postelja 1.

Še vedno je treba zgraditi dve ravni črti, ki ležita v ravninah ABC in Postelja 1 oziroma, ki poteka skozi eno točko na premici bf in pravokotno na črto bf, - kot med tema črtama bo po definiciji enak želenemu kotu med ravninama ABC in Postelja 1. Naredimo to.

Dot AMPAK je projekcija točke E na letalo ABC. Narišite črto, ki seka pravokotno črto BF na točki M. Nato vrstica AM je projekcija ravne črte JEJ na letalo ABC, in po izreku o treh pravokotnicah.

Tako je želeni kot med ravninama ABC in Postelja 1 je enako .

Sinus, kosinus ali tangent tega kota (in s tem sam kot) lahko določimo iz pravokotnega trikotnika AEMče poznamo dolžine njegovih dveh stranic. Iz pogoja je enostavno najti dolžino AE: od pika E deli stran AA 1 v razmerju 4 do 3 , štetje od točke AMPAK, in stransko dolžino AA 1 je enako 7 , potem AE=4. Poiščimo drugo dolžino AM.

Če želite to narediti, razmislite o pravokotnem trikotniku ABF pravi kot AMPAK, kje AM je višina. Glede na pogoje AB=2. stranska dolžina AF lahko ugotovimo iz podobnosti pravokotnih trikotnikov DD 1F in AEF:

Po Pitagorejevem izreku iz trikotnika ABF najti . Dolžina AM poiščite površino trikotnika ABF: na eni strani površina trikotnika ABF je enako , na drugi strani , od koder .

Torej iz pravokotnega trikotnika AEM imamo .

Nato želeni kot med ravninama ABC in Postelja 1 enako (upoštevajte, da ).

V nekaterih primerih je za iskanje kota med dvema sekajočima ravninama priročno nastaviti pravokotni koordinatni sistem Oxyz in uporabite koordinatno metodo. Ustavimo se pri tem.

Postavimo nalogo: najti kot med dvema sekajočima ravninama in . Označimo želeni kot kot .

Predpostavljamo, da v danem pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz poznamo koordinate vektorjev normale sekajočih se ravnin in jih imamo možnost poiskati. Pustiti biti normalni vektor ravnine , in biti normalni vektor ravnine . Pokažimo, kako najti kot med sekajočimi se ravninama in preko koordinat normalnih vektorjev teh ravnin.

Označimo črto, po kateri se ravnine sekata in kot c. Skozi piko M na ravni črti c narišite ravnino, pravokotno na premico c. Ravnina seka ravnine in vzdolž ravnih črt a in b oziroma neposredno a in b sekajo v točki M. Po definiciji je kot med sekajočimi se ravninama in enak kotu med sekajočimi se črtami a in b.

Odmaknite se od točke M v ravnini so normalni vektorji in ravnin in . Vektor leži na premici, ki je pravokotna na premico a, vektor pa je na premici, ki je pravokotna na premico b. Tako je v ravnini vektor normalni vektor premice a, - vektor normalne črte b.

V članku Iskanje kota med sekajočimi se črtami smo dobili formulo, ki omogoča izračun kosinusa kota med sekajočimi se črtami s koordinatami normalnih vektorjev. Torej kosinus kota med črtami a in b, in posledično, kosinus kota med sekajočimi se ravninama in se nahaja s formulo , kjer in sta normalni vektorji ravnin in, oz. Potem kot med sekajočimi se ravninama se izračuna kot.

Rešimo prejšnji primer s koordinatno metodo.

Podan pravokoten paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, pri čemer AB=3, AD=2, AA 1 = 7 in pika E deli stran AA 1 v razmerju 4 do 3 , štetje od točke AMPAK. Poiščite kot med ravninami ABC in POSTELJICA 1.

Ker so stranice pravokotnega paralelepipeda na enem točku parno pravokotne, je primerno uvesti pravokotni koordinatni sistem Oxyz takole: začnite kombinirati z vrhom Z, in koordinatne osi Ox, oj in Oz pošlji naokoli CD, CB in CC 1 oz.

Kot med ravninami ABC in Postelja 1 najdemo preko koordinat normalnih vektorjev teh ravnin po formuli , kjer in sta normalni vektorji ravnin ABC in Postelja 1 oz. Določimo koordinate normalnih vektorjev.

Od letala ABC sovpada s koordinatno ravnino Oxy, potem je njegov normalni vektor koordinatni vektor , to je .

Kot normalni ravninski vektor Postelja 1 lahko vzamemo navzkrižni produkt vektorjev in , nato pa koordinate vektorjev in jih najdemo preko koordinat točk AT, E in D1(ki je v članku zapisane koordinate vektorja skozi koordinate točke njegovega začetka in konca), ter koordinate točk AT, E in D1 v uvedenem koordinatnem sistemu določimo iz pogoja problema.

Očitno, . Ker , potem najdemo po koordinatah točk (če je potrebno, glej člen delitev segmenta v danem razmerju). Potem in Oxyz sta enačbi in .

Ko smo preučevali splošno enačbo premice, smo ugotovili, da so koeficienti AMPAK, AT in Z so ustrezne koordinate vektorja normale ravnine. Tako sta in normalni vektorji ravnin in, oz.

Koordinate normalnih vektorjev ravnin nadomestimo v formulo za izračun kota med dvema sekajočima ravninama:

Potem . Ker kot med dvema sekajočima ravninama ni tup, potem s pomočjo osnovne trigonometrične istovetnosti najdemo sinus kota:.

Mera kota med ravninama je ostri kot, ki ga tvorita dve ravni črti, ki ležita v teh ravninah in potegnjeni pravokotno na črto njunega presečišča.

Algoritem gradnje

Iz poljubne točke K se na vsako od danih ravnin potegnejo navpičnice.
Vrtenje okoli ravnine določa vrednost kota γ° z vrhom v točki K.
Izračunajte kot med ravninama ϕ° = 180 - γ° pod pogojem, da je γ° > 90°. Če je γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Slika prikazuje primer, ko sta ravnini α in β podani s sledovi. Vse potrebne konstrukcije so izdelane po algoritmu in so opisane spodaj.

Odločitev

Na poljubnem mestu risbe označimo točko K. Iz nje spustimo navpičnici m oziroma n na ravnini α in β. Smer projekcij m in n je naslednja: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
Med vrsticama m in n določimo dejansko velikost ∠γ°. Če želite to narediti, zasukajte kotno ravnino z ogliščem K okoli čelne f v položaj, vzporeden s ravnino čelne projekcije. Polmer obračanja R točke K je enak vrednosti hipotenuze pravokotnega trikotnika O""K""K 0 , katerega krak je K""K 0 = y K – y O .
Želeni kot je ϕ° = ∠γ°, ker je ∠γ° oster.

Na spodnji sliki je prikazana rešitev problema, pri kateri je treba najti kot γ° med ravninama α in β, ki ga podata vzporednica oziroma seka.

Odločitev

Določimo smer projekcij horizontal h 1 , h 2 in frontal f 1 , f 2, ki pripadajo ravninama α in β, v vrstnem redu, ki ga označujejo puščice. Iz poljubne točke K na kvadratu. α in β spustimo navpičnici e in k. V tem primeru e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 in k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
Določimo ∠γ° med vrsticama e in k. Za to narišemo vodoravno h 3 in točko K zasukamo okoli nje v položaj K 1, pri katerem bo △CKD postal vzporeden z vodoravno ravnino in se na njej odražal v polni velikosti - △C "K" 1 D ". Projekcija središča vrtenja O" je na narisani na h "3 pravokotnik K "O". Polmer R je določen iz pravokotnega trikotnika O "K" K 0, katerega stranica je K "K 0 \u003d Z O - Z K.
Želena vrednost je ∠ϕ° = ∠γ°, ker je kot γ° oster.

Pri reševanju geometrijskih problemov v prostoru se pogosto pojavljajo takšni, kjer je treba izračunati kote med različnimi prostorskimi objekti. V tem članku bomo obravnavali vprašanje iskanja kotov med ravninami in med njimi ter ravno črto.

Ravna črta v vesolju

Znano je, da je absolutno vsako ravno črto v ravnini mogoče definirati z naslednjo enakostjo:

Tukaj sta a in b nekaj številk. Če z enakim izrazom predstavljamo ravno črto v prostoru, potem dobimo ravnino, vzporedno z osjo z. Za matematično definicijo prostorske črte se uporablja drugačna metoda rešitve kot v dvodimenzionalnem primeru. Sestoji iz uporabe koncepta "usmerjevalnega vektorja".

Primeri reševanja nalog za določanje kota presečišča ravnin

Če vemo, kako najti kot med ravninama, bomo rešili naslednji problem. Podani sta dve ravnini, katerih enačbe imajo obliko:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Kakšen je kot med ravninama?

Za odgovor na vprašanje problema se spomnimo, da so koeficienti, ki stojijo pri spremenljivkah v splošni enačbi ravnine, koordinate vodilnega vektorja. Za te ravnine imamo naslednje koordinate njihovih normal:

n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)

Zdaj najdemo skalarni produkt teh vektorjev in njihovih modulov, imamo:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Zdaj lahko najdene številke nadomestite s formulo, podano v prejšnjem odstavku. Dobimo:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Dobljena vrednost ustreza akutnemu presečnemu kotu ravnin, določenem v pogoju problema.

Zdaj pa poglejmo še en primer. Glede na dve ravnini:

Ali se križajo? Zapišimo vrednosti koordinat njihovih smernih vektorjev, izračunajmo njihov skalarni produkt in module:

n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18

Potem je presečni kot:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Ta kot pomeni, da se ravnine ne sekata, ampak sta vzporedni. Dejstvo, da se med seboj ne ujemajo, je enostavno preveriti. Vzemimo za to poljubno točko, ki pripada prvi od njih, na primer P(0; 3; 2). Če njegove koordinate nadomestimo v drugo enačbo, dobimo:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

To pomeni, da točka P pripada samo prvi ravnini.

Tako sta dve ravnini vzporedni, ko sta njuni normali.

Ravnina in črta

V primeru upoštevanja relativne lege med ravnino in ravno črto je na voljo več možnosti kot pri dveh ravninah. To dejstvo je povezano z dejstvom, da je ravna črta enodimenzionalen objekt. Premica in ravnina sta lahko:

medsebojno vzporedni, v tem primeru ravnina ne seka premice;
slednja lahko pripada ravnini, hkrati pa bo z njo tudi vzporedna;
oba predmeta se lahko sekata pod določenim kotom.

Najprej razmislimo o zadnjem primeru, saj zahteva uvedbo koncepta presečnega kota.

Premica in ravnina, vrednost kota med njima

Če ravna črta seka ravnino, se imenuje nagnjena glede nanjo. Točka presečišča se imenuje osnova pobočja. Za določitev kota med temi geometrijskimi predmeti je treba s katere koli točke spustiti ravno pravokotno na ravnino. Nato točka presečišča navpičnice z ravnino in mesto presečišča nagnjene črte z njo tvorita ravno črto. Slednje se imenuje projekcija prvotne črte na obravnavano ravnino. Akutna in njena projekcija je zaželena.

Nekoliko zmedeno definicijo kota med ravnino in poševno bo razjasnila spodnja slika.

Tukaj je kot ABO kot med premico AB in ravnino a.

Če želite napisati formulo za to, upoštevajte primer. Naj obstajata ravna črta in ravnina, ki sta opisani z enačbami:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0

Želeni kot za te objekte je enostavno izračunati, če najdete skalarni produkt med vektorjema smeri premice in ravnine. Nastali akutni kot je treba odšteti od 90 o, nato pa ga dobimo med ravno črto in ravnino.

Zgornja slika prikazuje opisani algoritem za iskanje obravnavanega kota. Tukaj je β kot med normalo in premico, α pa med premico in njeno projekcijo na ravnino. Vidimo, da je njihova vsota enaka 90 o.

Zgoraj je bila predstavljena formula, ki odgovarja na vprašanje, kako najti kot med ravninami. Zdaj podamo ustrezen izraz za primer ravne črte in ravnine:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Modul v formuli omogoča izračun samo ostrih kotov. Funkcija arksinusa se je pojavila namesto arkkosinusa zaradi uporabe ustrezne redukcijske formule med trigonometričnimi funkcijami (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Problem: ravnina seka premico

Zdaj bomo pokazali, kako delati z zgornjo formulo. Rešimo problem: izračunati je treba kot med osjo y in ravnino, ki jo poda enačba:

Ta ravnina je prikazana na sliki.

Vidimo lahko, da seka osi y in z v točkah (0; -12; 0) oziroma (0; 0; 12) in je vzporedna z osjo x.

Vektor smeri premice y ima koordinate (0; 1; 0). Za vektor, pravokoten na dano ravnino, so značilne koordinate (0; 1; -1). Uporabimo formulo za kot presečišča premice in ravnine, dobimo:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o

Problem: ravna črta, vzporedna z ravnino

Zdaj pa rešimo problem, podoben prejšnjemu, katerega vprašanje je zastavljeno drugače. Znane so enačbe ravnine in premice:

x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

Treba je ugotoviti, ali so ti geometrijski predmeti vzporedni drug z drugim.

Imamo dva vektorja: usmerjevalna premica je (0; 2; 2) in usmerjevalna ravnina je (1; 1; -1). Najdemo njihov skalarni produkt:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Nastala ničla pomeni, da je kot med tema vektorjema 90 o , kar dokazuje vzporednost premice in ravnine.

Zdaj pa preverimo, ali je ta premica samo vzporedna ali leži tudi v ravnini. Če želite to narediti, izberite poljubno točko na črti in preverite, ali pripada ravnini. Na primer, vzemimo λ = 0, potem točka P(1; 0; 0) pripada premici. Nadomestimo v enačbo ravnine P:

Točka P ne pripada ravnini in zato v njej ne leži celotna premica.

Kje je pomembno poznati kote med obravnavanimi geometrijskimi predmeti?

Zgornje formule in primeri reševanja problemov niso le teoretični interes. Pogosto se uporabljajo za določanje pomembnih fizikalnih količin resničnih tridimenzionalnih figur, kot so prizme ali piramide. Pomembno je, da znamo določiti kot med ravninama pri izračunu prostornine figur in površin njihovih površin. Poleg tega, če v primeru ravne prizme ni mogoče uporabiti teh formul za določitev navedenih količin, potem je za katero koli vrsto piramide njihova uporaba neizogibna.

Spodaj bomo obravnavali primer uporabe navedene teorije za določanje kotov piramide s kvadratno osnovo.

Piramida in njeni vogali

Na spodnji sliki je prikazana piramida, na dnu katere leži kvadrat s stranico a. Višina figure je h. Najti morate dva vogala:

med stransko površino in podlago;
med stranskim robom in osnovo.

Če želite rešiti problem, morate najprej vnesti koordinatni sistem in določiti parametre ustreznih vozlišč. Slika prikazuje, da izvor koordinat sovpada s točko v središču kvadratne osnove. V tem primeru je osnovna ravnina opisana z enačbo:

To pomeni, da je za kateri koli x in y vrednost tretje koordinate vedno nič. Bočna ravnina ABC seka os z v točki B(0; 0; h), os y pa v točki s koordinatami (0; a/2; 0). Ne prečka osi x. To pomeni, da lahko enačbo ravnine ABC zapišemo kot:

y / (a / 2) + z / h = 1 oz
2 * h * y + a * z - a * h = 0

Vektor AB¯ je stranski rob. Njegove začetne in končne koordinate so: A(a/2; a/2; 0) in B(0; 0; h). Nato koordinate samega vektorja:

Našli smo vse potrebne enačbe in vektorje. Zdaj je treba uporabiti obravnavane formule.

Najprej v piramidi izračunajmo kot med ravninama osnove in stranice. Ustrezna normalna vektorja sta: n 1 ¯(0; 0; 1) in n 2 ¯(0; 2*h; a). Potem bo kot: