Układ równań liniowych nazywamy joint if mti. Jak znaleźć ogólne i szczegółowe rozwiązanie układu równań liniowych?

Nadal zajmujemy się układami równań liniowych. Do tej pory rozważaliśmy systemy, które mają unikalne rozwiązanie. Takie systemy można rozwiązać w dowolny sposób: metoda substytucji("szkoła") według wzorów Cramera, metoda macierzowa, Metoda Gaussa. Jednak w praktyce rozpowszechnione są jeszcze dwa przypadki, gdy:

1) system jest niespójny (brak rozwiązań);

2) system ma nieskończenie wiele rozwiązań.

W przypadku tych systemów stosowana jest najbardziej uniwersalna ze wszystkich metod rozwiązania - Metoda Gaussa. W rzeczywistości droga „szkolna” również doprowadzi do odpowiedzi, ale w wyższa matematyka Zwyczajowo stosuje się metodę Gaussa sukcesywnej eliminacji niewiadomych. Osoby, które nie są zaznajomione z algorytmem metody Gaussa, proszę najpierw zapoznać się z lekcją Metoda Gaussa

Same podstawowe transformacje macierzy są dokładnie takie same, różnica będzie na końcu rozwiązania. Najpierw rozważ kilka przykładów, w których system nie ma rozwiązań (niespójne).

Przykład 1

Co od razu rzuca się w oczy w tym systemie? Liczba równań jest mniejsza niż liczba zmiennych. Istnieje twierdzenie, które mówi: „Jeśli liczba równań w systemie mniejsza ilość zmienne, wtedy system jest albo niespójny, albo ma nieskończenie wiele rozwiązań. I pozostaje tylko się dowiedzieć.

Początek rozwiązania jest dość zwyczajny - piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci krokowej:

(jeden). W lewym górnym kroku musimy uzyskać (+1) lub (-1). W pierwszej kolumnie nie ma takich liczb, więc zmiana kolejności wierszy nie zadziała. Jednostka będzie musiała zostać zorganizowana niezależnie i można to zrobić na kilka sposobów. Tak zrobiliśmy. Do pierwszej linii dodajemy trzecią linię pomnożoną przez (-1).

(2). Teraz w pierwszej kolumnie otrzymujemy dwa zera. Do drugiego wiersza dodaj pierwszy wiersz pomnożony przez 3. Do trzeciego wiersza dodaj pierwszy wiersz pomnożony przez 5.

(3). Po zakończeniu transformacji zawsze warto sprawdzić, czy możliwe jest uproszczenie wynikowych łańcuchów? Mogą. Dzielimy drugą linię przez 2, jednocześnie uzyskując w drugim kroku pożądaną (-1). Podziel trzecią linię przez (-3).

(4). Dodaj drugą linię do trzeciej linii. Prawdopodobnie wszyscy zwracali uwagę na złą linię, która okazała się wynikiem elementarnych przekształceń:

. Oczywiste jest, że tak być nie może.

Rzeczywiście przepisujemy wynikową macierz

powrót do układu równań liniowych:

Jeżeli w wyniku elementarnych przekształceń ciąg postaci , gdzieλ jest liczbą niezerową, to system jest niespójny (nie ma rozwiązań).

Jak nagrać zakończenie zadania? Musisz zapisać frazę:

„W wyniku przekształceń elementarnych otrzymujemy ciąg postaci, gdzie λ ≠ 0 ”. Odpowiedź: „W systemie nie ma rozwiązań (niespójne)”.

Należy pamiętać, że w tym przypadku nie ma odwrotnego ruchu algorytmu Gaussa, nie ma rozwiązań i po prostu nie ma nic do znalezienia.

Przykład 2

Rozwiąż układ równań liniowych

To jest przykład zrób to sam. Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Ponownie przypominamy, że Twoja ścieżka rozwiązania może różnić się od naszej ścieżki rozwiązania, metoda Gaussa nie ustawia jednoznacznego algorytmu, musisz odgadnąć procedurę i same działania w każdym przypadku niezależnie.

Inny funkcja techniczna rozwiązania: przekształcenia elementarne można zatrzymać Natychmiast, jak tylko linia jak , gdzie λ ≠ 0 . Rozważać przykład warunkowy: załóżmy, że po pierwszej transformacji otrzymujemy macierz

Matryca ta nie została jeszcze sprowadzona do formy schodkowej, ale nie ma potrzeby dalszych elementarnych przekształceń, gdyż pojawiła się linia formy, w której λ ≠ 0 . Należy od razu odpowiedzieć, że system jest niezgodny.

Gdy układ równań liniowych nie ma rozwiązań, jest to niemal dar dla ucznia, ponieważ otrzymuje się krótkie rozwiązanie, czasami dosłownie w 2-3 krokach. Ale wszystko na tym świecie jest zrównoważone, a problem, w którym system ma nieskończenie wiele rozwiązań, jest po prostu dłuższy.

Przykład 3:

Rozwiąż układ równań liniowych

Istnieją 4 równania i 4 niewiadome, więc układ może mieć albo pojedyncze rozwiązanie, albo nie mieć rozwiązań, albo mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Cokolwiek to było, ale metoda Gaussa w każdym przypadku doprowadzi nas do odpowiedzi. Na tym polega jego wszechstronność.

Początek znów jest standardowy. Piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej:

To wszystko, a ty się bałeś.

(jeden). Zwróć uwagę, że wszystkie liczby w pierwszej kolumnie są podzielne przez 2, więc w lewym górnym kroku również jesteśmy zadowoleni z dwójki. Do drugiej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez (-4). Do trzeciej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez (-2). Do czwartej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez (-1).

Uwaga! Wielu może ulec pokusie z czwartej linii odjąć Pierwsza linia. Można to zrobić, ale nie jest to konieczne, doświadczenie pokazuje, że prawdopodobieństwo błędu w obliczeniach wzrasta kilkakrotnie. Po prostu dodajemy: do czwartej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez (-1) - Dokładnie!

(2). Ostatnie trzy wiersze są proporcjonalne, dwie z nich można usunąć. Tutaj znowu trzeba pokazać zwiększona uwaga, ale czy linie są naprawdę proporcjonalne? W przypadku reasekuracji nie będzie zbyteczne pomnożenie drugiego rzędu przez (-1) i podzielenie czwartego rzędu przez 2, co da w wyniku trzy identyczne rzędy. I dopiero potem usuń dwa z nich. W wyniku elementarnych przekształceń rozszerzona macierz układu zostaje zredukowana do postaci schodkowej:

Podczas wykonywania zadania w zeszycie wskazane jest, aby te same notatki zrobić ołówkiem dla jasności.

Przepisujemy odpowiedni układ równań:

„Zwykłe” jedyne rozwiązanie systemu tutaj nie pachnie. Zła linia gdzie λ ≠ 0, również nie. Jest to więc trzeci przypadek – system ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Nieskończony zbiór rozwiązań systemu jest w skrócie zapisany w postaci tzw ogólne rozwiązanie systemowe.

Znajdziemy ogólne rozwiązanie układu wykorzystując ruch wsteczny metody Gaussa. W przypadku układów równań o nieskończonym zbiorze rozwiązań pojawiają się nowe pojęcia: "zmienne podstawowe" oraz "wolne zmienne". Najpierw zdefiniujmy jakie mamy zmienne podstawowy, a jakie zmienne - wolny. Nie trzeba szczegółowo wyjaśniać pojęć algebry liniowej, wystarczy pamiętać, że takie są zmienne bazowe oraz wolne zmienne.

Zmienne podstawowe zawsze „siedzą” ściśle na stopniach macierzy. W tym przykładzie zmiennymi podstawowymi są x 1 i x 3 .

Darmowe zmienne to wszystko pozostały zmienne, które nie uzyskały kroku. W naszym przypadku są dwa: x 2 i x 4 - wolne zmienne.

Teraz potrzebujesz wszystkozmienne bazowe wyrazić tylko przezwolne zmienne. Odwrotny ruch algorytmu Gaussa tradycyjnie działa od dołu do góry. Z drugiego równania układu wyrażamy zmienną podstawową x 3:

Teraz spójrz na pierwsze równanie: . Najpierw podstawiamy do niego znalezione wyrażenie:

Pozostaje wyrazić podstawową zmienną x 1 przez wolne zmienne x 2 i x 4:

Rezultat jest tym, czego potrzebujesz - wszystko zmienne bazowe ( x 1 i x 3) wyrażone tylko przez wolne zmienne ( x 2 i x 4):

Właściwie ogólne rozwiązanie jest gotowe:

Jak zapisać ogólne rozwiązanie? Przede wszystkim zmienne wolne są wpisywane do rozwiązania ogólnego „samodzielnie” i ściśle na swoich miejscach. W tym przypadku wolne zmienne x 2 i x 4 należy wpisać na drugiej i czwartej pozycji:

Otrzymane wyrażenia dla podstawowych zmiennych i oczywiście musi być napisany na pierwszej i trzeciej pozycji:

Z ogólnego rozwiązania systemu można znaleźć nieskończenie wiele prywatne decyzje. To jest bardzo proste. wolne zmienne x 2 i x 4 są tak nazywane, ponieważ można je podać dowolne wartości końcowe. Najpopularniejszymi wartościami są wartości zerowe, ponieważ jest to najłatwiejszy sposób na uzyskanie konkretnego rozwiązania.

Zastępowanie ( x 2 = 0; x 4 = 0) do rozwiązania ogólnego otrzymujemy jedno z rozwiązań szczegółowych:

, lub jest konkretnym rozwiązaniem odpowiadającym wolnym zmiennym o wartościach ( x 2 = 0; x 4 = 0).

One to kolejna słodka para, zastąpmy ( x 2 = 1 i x 4 = 1) do rozwiązania ogólnego:

, czyli (-1; 1; 1; 1) jest innym szczególnym rozwiązaniem.

Łatwo zauważyć, że układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań skoro możemy podać wolne zmienne każdy wartości.

Każdy konkretne rozwiązanie musi spełniać do każdego równanie systemowe. To podstawa do „szybkiego” sprawdzenia poprawności rozwiązania. Weźmy na przykład konkretne rozwiązanie (-1; 1; 1; 1) i umieść je po lewej stronie każdego równania w oryginalnym układzie:

Wszystko musi się połączyć. I przy każdym konkretnym rozwiązaniu, które otrzymasz, wszystko powinno również zbiegać się.

Ściśle rzecz biorąc, weryfikacja konkretnego rozwiązania czasami myli, tj. jakieś konkretne rozwiązanie może spełnić każde równanie układu, a samo rozwiązanie ogólne jest w rzeczywistości znalezione niepoprawnie. Dlatego przede wszystkim weryfikacja rozwiązania ogólnego jest bardziej dokładna i wiarygodna.

Jak sprawdzić wynikowe rozwiązanie ogólne ?

Nie jest to trudne, ale wymaga dość długiej transformacji. Musimy wziąć wyrażenia podstawowy zmienne, w tym przypadku i i wstaw je po lewej stronie każdego równania układu.

Po lewej stronie pierwszego równania układu:

Otrzymano prawą stronę pierwotnego pierwszego równania układu.

Po lewej stronie drugiego równania układu:

Otrzymano prawą stronę pierwotnego drugiego równania układu.

I dalej - po lewej stronie trzeciego i czwartego równania układu. Ta kontrola jest dłuższa, ale gwarantuje 100% poprawność całościowego rozwiązania. Ponadto w niektórych zadaniach wymagane jest sprawdzenie rozwiązania ogólnego.

Przykład 4:

Rozwiąż system za pomocą metody Gaussa. Znajdź rozwiązanie ogólne i dwa prywatne. Sprawdź ogólne rozwiązanie.

To jest przykład zrób to sam. Tutaj, nawiasem mówiąc, znowu liczba równań jest mniejsza niż liczba niewiadomych, co oznacza, że od razu wiadomo, że układ będzie albo niespójny, albo będzie miał nieskończoną liczbę rozwiązań.

Przykład 5:

Rozwiąż układ równań liniowych. Jeśli system ma nieskończenie wiele rozwiązań, znajdź dwa konkretne rozwiązania i sprawdź rozwiązanie ogólne

Decyzja: Zapiszmy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci schodkowej:

(jeden). Dodaj pierwszą linię do drugiej linii. Do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez 2. Do czwartego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez 3.

(2). Do trzeciej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez (-5). Do czwartej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez (-7).

(3). Trzecia i czwarta linia są takie same, usuwamy jedną z nich. Oto takie piękno:

Zmienne bazowe znajdują się na stopniach, więc są zmiennymi bazowymi.

Jest tylko jedna wolna zmienna, która nie uzyskała kroku: .

(4). Ruch wsteczny. Podstawowe zmienne wyrażamy w postaci zmiennej swobodnej:

Z trzeciego równania:

Rozważ drugie równanie i wstaw do niego znalezione wyrażenie:

, , ,

Rozważ pierwsze równanie i zastąp znalezione wyrażenia i do niego:

Zatem rozwiązanie ogólne z jedną wolną zmienną x 4:

Po raz kolejny, jak to się stało? wolna zmienna x 4 siedzi samotnie na prawowitym czwartym miejscu. Otrzymane wyrażenia dla podstawowych zmiennych , , również znajdują się na swoich miejscach.

Sprawdźmy natychmiast rozwiązanie ogólne.

Zastępujemy podstawowe zmienne , , po lewej stronie każdego równania układu:

Otrzymane są odpowiednie prawe strony równań, w ten sposób znalezione jest prawidłowe rozwiązanie ogólne.

Teraz od znalezionego rozwiązania ogólnego otrzymujemy dwa konkretne rozwiązania. Wszystkie zmienne są tutaj wyrażone za pomocą pojedynczego wolna zmienna x 4 . Nie musisz łamać sobie głowy.

Zostawiać x 4 = 0, to jest pierwszym konkretnym rozwiązaniem.

Zostawiać x 4 = 1, to to kolejne szczególne rozwiązanie.

Odpowiedź: Wspólna decyzja: . Rozwiązania prywatne:

oraz .

Przykład 6:

Znajdź ogólne rozwiązanie układu równań liniowych.

Sprawdziliśmy już ogólne rozwiązanie, odpowiedzi można zaufać. Twoje postępowanie może różnić się od naszego. Najważniejsze, że ogólne rozwiązania są zbieżne. Zapewne wiele osób zauważyło w rozwiązaniach nieprzyjemny moment: bardzo często, podczas odwrotnego przebiegu metody Gaussa, musieliśmy bawić się zwykłe ułamki. W praktyce jest to prawdą, przypadki, w których nie ma ułamków, są znacznie rzadsze. Bądź przygotowany mentalnie, a co najważniejsze technicznie.

Zastanówmy się nad cechami rozwiązania, których nie znaleziono w rozwiązanych przykładach. Ogólne rozwiązanie systemu może czasami zawierać stałą (lub stałe).

Na przykład ogólne rozwiązanie: . Tutaj jedna z podstawowych zmiennych jest równa liczbie stałej: . Nie ma w tym nic egzotycznego, to się zdarza. Oczywiście w tym przypadku każde konkretne rozwiązanie będzie zawierało piątkę na pierwszej pozycji.

Rzadko, ale są systemy, w których liczba równań jest większa niż liczba zmiennych. Jednak metoda Gaussa działa w najtrudniejszych warunkach. Należy spokojnie sprowadzić rozszerzoną macierz systemu do postaci schodkowej według standardowego algorytmu. Taki system może być niespójny, może mieć nieskończenie wiele rozwiązań i, co dziwne, może mieć unikalne rozwiązanie.

Powtarzamy w naszej radzie – aby czuć się komfortowo przy rozwiązywaniu układu metodą Gaussa, należy wypełnić rękę i rozwiązać przynajmniej kilkanaście układów.

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2:

Decyzja:Zapiszmy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci schodkowej.

Wykonane przekształcenia elementarne:

(1) Pierwsza i trzecia linia zostały zamienione miejscami.

(2) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii pomnożona przez (-6). Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez (-7).

(3) Drugi wiersz został dodany do trzeciego wiersza, pomnożony przez (-1).

W wyniku elementarnych przekształceń ciąg postaci, gdzie λ ≠ 0 .Więc system jest niespójny.Odpowiedź: nie ma rozwiązań.

Przykład 4:

Decyzja:Piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej:

Wykonane konwersje:

(jeden). Pierwszy wiersz pomnożony przez 2 został dodany do drugiego wiersza. Pierwszy wiersz pomnożony przez 3 został dodany do trzeciego wiersza.

Nie ma jednostki dla drugiego kroku , a przekształcenie (2) ma na celu jego uzyskanie.

(2). Druga linia została dodana do trzeciej linii pomnożona przez -3.

(3). Drugi i trzeci wiersz zostały zamienione (wynik -1 został przeniesiony do drugiego kroku)

(4). Drugi wiersz został dodany do trzeciego wiersza pomnożony przez 3.

(5). Zmieniono znak dwóch pierwszych wierszy (pomnożony przez -1), trzeci wiersz podzielono przez 14.

Ruch wsteczny:

(jeden). Tutaj są podstawowymi zmiennymi (które znajdują się na stopniach) i są wolnymi zmiennymi (kto nie otrzymał kroku).

(2). Podstawowe zmienne wyrażamy w postaci zmiennych swobodnych:

Z trzeciego równania: .

(3). Rozważ drugie równanie:, rozwiązania szczególne:

Odpowiedź: Wspólna decyzja:

Liczby zespolone

W tej sekcji przedstawimy koncepcję Liczba zespolona, rozważać algebraiczny, trygonometryczny oraz pokaż formularz Liczba zespolona. Nauczymy się również wykonywać operacje na liczbach zespolonych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie i wyciąganie pierwiastków.

Do opanowania liczb zespolonych nie jest potrzebna żadna specjalna wiedza z kursu matematyki wyższej, a materiał jest dostępny nawet dla ucznia. Wystarczy umieć wykonywać operacje algebraiczne na „zwykłych” liczbach i pamiętać o trygonometrii.

Najpierw zapamiętajmy „zwykłe” liczby. W matematyce nazywają się wiele liczby rzeczywiste i są oznaczone literą R, lub R (gruby). Wszystkie liczby rzeczywiste znajdują się na znanej osi liczbowej:

Towarzystwo liczb rzeczywistych jest bardzo kolorowe - tutaj są liczby całkowite i ułamki oraz liczby niewymierne. W tym przypadku każdy punkt osi numerycznej koniecznie odpowiada jakiejś liczbie rzeczywistej.

Systemy m równania liniowe z n nieznany.
Rozwiązywanie układu równań liniowych czy taki zbiór liczb ( x 1 , x 2 , …, x n), zastępując które w każdym z równań układu, uzyskuje się poprawną równość.
gdzie a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n są współczynnikami systemu;
b i , i = 1, …, m- wolni członkowie;
x j , j = 1, …, n- nieznany.
Powyższy system można zapisać w postaci macierzowej: X = B,

gdzie ( A|B) jest główną macierzą systemu;
A— rozszerzona macierz systemu;
X— kolumna niewiadomych;
B to kolumna wolnych członków.
Jeśli matryca B nie jest macierzą zerową ∅, to ten układ równań liniowych nazywamy niejednorodnym.
Jeśli matryca B= ∅, to ten układ równań liniowych nazywamy jednorodnym. Jednorodny system ma zawsze zerowe (trywialne) rozwiązanie: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
Połączony układ równań liniowych to układ równań liniowych, który ma rozwiązanie.
Niespójny układ równań liniowych jest układem równań liniowych, który nie ma rozwiązania.
Pewny układ równań liniowych to układ równań liniowych, który ma unikalne rozwiązanie.
Nieoznaczony układ równań liniowych to układ równań liniowych, który ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
Układy n równań liniowych z n niewiadomymi
Jeśli liczba niewiadomych jest równa liczbie równań, to macierz jest kwadratowa. Wyznacznik macierzowy nazywany jest głównym wyznacznikiem układu równań liniowych i jest oznaczony symbolem Δ.
Metoda Cramera do rozwiązywania systemów n równania liniowe z n nieznany.
Zasada Cramera.
Jeżeli głównym wyznacznikiem układu równań liniowych nie jest zero, wtedy układ jest spójny i zdefiniowany, a unikalne rozwiązanie obliczane jest według wzorów Cramera:
gdzie Δ i są wyznacznikami otrzymanymi z głównego wyznacznika układu Δ przez zastąpienie i kolumna do kolumny wolnych członków. .
Układy m równań liniowych z n niewiadomymi
Twierdzenie Kroneckera-Cappelli'ego.

Aby ten układ równań liniowych był niesprzeczny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy układu był równy rządowi macierzy rozszerzonej układu, ranga(Α) = ranga(Α|B).
Jeśli zadzwonił(Α) ≠ zadzwonił(Α|B), to system oczywiście nie ma rozwiązań.
Jeśli ranga(Α) = ranga(Α|B), wtedy możliwe są dwa przypadki:
1) zadzwonił(Α) = n(do liczby niewiadomych) - rozwiązanie jest unikalne i można je uzyskać za pomocą wzorów Cramera;
2) ranga (Α)< n − rozwiązań jest nieskończenie wiele.
Metoda Gaussa do rozwiązywania układów równań liniowych

Skomponujmy macierz rozszerzoną ( A|B) danego układu współczynników po stronie nieznanej i po prawej stronie.
Metoda Gaussa czyli metoda eliminacji niewiadomych polega na redukcji macierzy rozszerzonej ( A|B) za pomocą elementarnych przekształceń nad jego rzędami do formy ukośnej (do górnej trójkątnej formy). Wracając do układu równań, wyznaczane są wszystkie niewiadome.
Przekształcenia elementarne na ciągach znaków obejmują:
1) zamiana dwóch linii;
2) pomnożenie ciągu przez liczbę inną niż 0;
3) dodanie do ciągu kolejnego ciągu pomnożonego przez dowolną liczbę;
4) odrzucenie ciągu zerowego.
Rozszerzona macierz zredukowana do postaci diagonalnej odpowiada układowi liniowemu odpowiadającemu danemu, którego rozwiązanie nie sprawia trudności. .
Układ jednorodnych równań liniowych.
Jednorodny układ ma postać:

odpowiada równaniu macierzowemu X = 0.
1) Jednorodny system jest zawsze spójny, ponieważ r(A) = r(A|B), zawsze istnieje rozwiązanie zerowe (0, 0, …, 0).
2) Aby system jednorodny miał rozwiązanie niezerowe, konieczne i wystarczające jest, aby r = r(A)< n , co jest równoważne Δ = 0.
3) Jeśli r< n , to Δ = 0, to są wolne niewiadome c 1 , c 2 , …, c n-r, system ma nietrywialne rozwiązania, a jest ich nieskończenie wiele.
4) Ogólne rozwiązanie X w r< n można zapisać w postaci macierzowej w następujący sposób:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
gdzie są rozwiązania X 1 , X 2 , …, X n-r tworzą podstawowy system rozwiązań.
5) Podstawowy układ rozwiązań można otrzymać z ogólnego rozwiązania układu jednorodnego:

,
jeśli sekwencyjnie przyjmiemy wartości parametrów (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Dekompozycja rozwiązania ogólnego ze względu na fundamentalny układ rozwiązań jest zapisem rozwiązania ogólnego jako liniowej kombinacji rozwiązań należących do układu podstawowego.
Twierdzenie. Aby układ liniowych równań jednorodnych miał rozwiązanie niezerowe, konieczne i wystarczające jest, aby Δ ≠ 0.
Jeśli więc wyznacznikiem jest Δ ≠ 0, to system ma unikalne rozwiązanie.
Jeżeli Δ ≠ 0, to układ liniowych równań jednorodnych ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
Twierdzenie. Aby jednorodny system miał rozwiązanie niezerowe, konieczne i wystarczające jest, aby r(A)< n .
Dowód:
1) r nie może być więcej n(ranga macierzy nie przekracza liczby kolumn lub wierszy);
2) r< n , ponieważ jeśli r=n, to główny wyznacznik układu Δ ≠ 0, i zgodnie ze wzorami Cramera istnieje unikalne, trywialne rozwiązanie x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, co jest sprzeczne z warunkiem. Znaczy, r(A)< n .
Konsekwencja. Aby uzyskać jednorodny system n równania liniowe z n niewiadome ma rozwiązanie niezerowe, konieczne i wystarczające jest, aby Δ = 0.

Przypisanie usługi. Kalkulator online jest przeznaczony do badania układu równań liniowych. Zwykle w stanie problemu należy go znaleźć ogólne i szczegółowe rozwiązanie systemu. Podczas badania układów równań liniowych rozwiązywane są następujące problemy:

czy system jest oparty na współpracy;
jeśli system jest niesprzeczny, to jest określony lub nieokreślony (kryterium zgodności systemu określa twierdzenie);
jeśli system jest zdefiniowany, to jak znaleźć jego unikalne rozwiązanie (stosuje się metodę Cramera, metodę macierzy odwrotnej lub metodę Jordana-Gaussa);
jeśli system jest nieokreślony, to jak opisać zbiór jego rozwiązań.

Klasyfikacja układów równań liniowych

Dowolny układ równań liniowych ma postać:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

Układy liniowych równań niejednorodnych (liczba zmiennych równa się liczbie równań, m = n).
Arbitralne układy liniowych równań niejednorodnych (m > n lub m< n).

Definicja. Rozwiązaniem systemu jest dowolny zbiór liczb c 1 ,c 2 ,...,c n , których podstawienie do systemu zamiast odpowiadających im niewiadomych powoduje, że każde równanie systemu staje się identycznością.

Definicja. Mówi się, że dwa systemy są równoważne, jeśli rozwiązanie pierwszego jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie.

Definicja. System, który ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się połączenie. System, który nie ma żadnego rozwiązania, nazywany jest niespójnym.

Definicja. System z unikalnym rozwiązaniem nazywa się niektórzy, a posiadanie więcej niż jednego rozwiązania jest nieokreślone.

Algorytm rozwiązywania układów równań liniowych

Znajdź szeregi macierzy głównej i rozszerzonej. Jeśli nie są równe, to według twierdzenia Kroneckera-Capelliego system jest niespójny i na tym kończy się badanie.
Niech ranga(A) = ranga(B) . Wybieramy podstawowy nieletni. W tym przypadku wszystkie nieznane układy równań liniowych są podzielone na dwie klasy. Niewiadome, których współczynniki są zawarte w podstawowej mniejszej, nazywamy zależnymi, a niewiadome, których współczynniki nie są zawarte w podstawowej mniejszej, nazywamy wolnymi. Zauważ, że wybór zależnych i wolnych niewiadomych nie zawsze jest wyjątkowy.
Wykreślamy te równania układu, których współczynniki nie zostały uwzględnione w podrzędnym podrzędnym, ponieważ są konsekwencjami reszty (zgodnie z podstawowym podrzędnym twierdzeniem).
Na prawą stronę zostaną przeniesione wyrazy równań zawierających wolne niewiadome. W rezultacie otrzymujemy układ r równań z r niewiadomymi, równoważne danemu, którego wyznacznik jest różny od zera.
Otrzymany układ jest rozwiązywany na jeden z następujących sposobów: metoda Cramera, metoda macierzy odwrotnej lub metoda Jordana-Gaussa. Znaleziono relacje wyrażające zmienne zależne w kategoriach wolnych.

Układ m równań liniowych z n niewiadomymi zwany systemem formy

gdzie aij oraz b ja (i=1,…,m; b=1,…,n) to niektóre znane liczby i x 1 ,…,x n- nieznany. W zapisie współczynników aij pierwszy indeks i oznacza numer równania, a drugi j to liczba niewiadomej, przy której ten współczynnik się utrzymuje.

Współczynniki dla niewiadomych zostaną zapisane w postaci macierzy , który nazwiemy macierz systemowa.

Liczby po prawej stronie równań b 1 ,…,b m nazywa wolni członkowie.

Agregat n liczby c 1 ,…,c n nazywa decyzja tego układu, jeśli każde równanie układu staje się równością po podstawieniu do niego liczb c 1 ,…,c n zamiast odpowiednich niewiadomych x 1 ,…,x n.

Naszym zadaniem będzie znalezienie rozwiązań do systemu. W takim przypadku mogą wystąpić trzy sytuacje:

Nazywa się układ równań liniowych, który ma co najmniej jedno rozwiązanie połączenie. W przeciwnym razie, tj. jeśli system nie ma rozwiązań, to nazywa się niekompatybilny.

Zastanów się, jak znaleźć rozwiązania dla systemu.

METODA MATRYCOWA ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH

Macierze umożliwiają krótkie zapisanie układu równań liniowych. Niech będzie podany układ 3 równań z trzema niewiadomymi:

Rozważ macierz systemu i kolumny macierzowe nieznanych i wolnych członków

Znajdźmy produkt

tych. w wyniku iloczynu otrzymujemy lewe strony równań tego układu. Następnie korzystając z definicji równości macierzy ten system można zapisać w formie

lub krótszy A∙X=B.

Tutaj macierze A oraz B są znane, a macierz X nieznany. Trzeba ją znaleźć, ponieważ. jego elementy są rozwiązaniem tego systemu. To równanie nazywa się równanie macierzowe.

Niech wyznacznik macierzy będzie różny od zera | A| ≠ 0. Następnie równanie macierzowe rozwiązujemy w następujący sposób. Pomnóż obie strony równania po lewej stronie przez macierz A-1, odwrotność macierzy A: . O ile A-1 A = E oraz mi∙X=X, otrzymujemy rozwiązanie równania macierzowego w postaci X = A -1 B .

Zauważ, że ponieważ macierz odwrotną można znaleźć tylko dla macierzy kwadratowych, metoda macierzy może rozwiązać tylko te układy, w których liczba równań równa się liczbie niewiadomych. Jednak zapis macierzowy układu jest również możliwy w przypadku, gdy liczba równań nie jest równa liczbie niewiadomych, to macierz A nie jest kwadratowy i dlatego nie można znaleźć rozwiązania układu w postaci X = A -1 B.

Przykłady. Rozwiązuj układy równań.

ZASADA CRAMERA

Rozważ układ 3 równań liniowych z trzema niewiadomymi:

Wyznacznik trzeciego rzędu odpowiadający macierzy układu, tj. składa się ze współczynników przy niewiadomych,

nazywa wyznacznik systemowy.

Komponujemy jeszcze trzy wyznaczniki w następujący sposób: zastępujemy kolejno 1, 2 i 3 kolumny w wyznaczniku D kolumną wolnych elementów

Wtedy możemy udowodnić następujący wynik.

Twierdzenie (reguła Cramera). Jeżeli wyznacznikiem systemu jest Δ ≠ 0, to rozpatrywany system ma jedno i tylko jedno rozwiązanie, a

Dowód. Rozważmy więc układ 3 równań z trzema niewiadomymi. Pomnóż pierwsze równanie układu przez dopełnienie algebraiczne 11 element 11, drugie równanie - włączone A21 i 3 - wł. 31:

Dodajmy te równania:

Rozważ każdy z nawiasów i prawą stronę tego równania. Twierdzeniem o rozwinięciu wyznacznika w zakresie elementów pierwszej kolumny

Podobnie można wykazać, że i .

Wreszcie łatwo to zauważyć

W ten sposób otrzymujemy równość: .

Stąd, .

Równości i wyprowadza się podobnie, skąd następuje stwierdzenie twierdzenia.

Zauważmy zatem, że jeśli wyznacznikiem systemu jest Δ ≠ 0, to system ma rozwiązanie unikalne i odwrotnie. Jeżeli wyznacznik systemu jest równy zero, to system albo ma nieskończony zbiór rozwiązań, albo nie ma rozwiązań, tj. niekompatybilny.

Przykłady. Rozwiąż układ równań

METODA GAUSS

Rozważane wcześniej metody mogą służyć do rozwiązywania tylko tych układów, w których liczba równań pokrywa się z liczbą niewiadomych, a wyznacznik układu musi być różny od zera. Metoda Gaussa jest bardziej uniwersalna i nadaje się do układów o dowolnej liczbie równań. Polega na sukcesywnej eliminacji niewiadomych z równań układu.

Rozważmy ponownie układ trzech równań z trzema niewiadomymi:

Pierwsze równanie pozostawiamy bez zmian, a z drugiego i trzeciego wykluczamy wyrazy zawierające x 1. Aby to zrobić, dzielimy drugie równanie przez a 21 i pomnóż przez - a 11, a następnie dodaj do pierwszego równania. Podobnie dzielimy trzecie równanie na a 31 i pomnóż przez - a 11, a następnie dodaj go do pierwszego. W rezultacie pierwotny system przyjmie postać:

Teraz z ostatniego równania eliminujemy wyraz zawierający x2. Aby to zrobić, podziel trzecie równanie przez , pomnóż przez i dodaj je do drugiego. Wtedy będziemy mieli układ równań:

Stąd z ostatniego równania łatwo go znaleźć x 3, to z drugiego równania x2 i wreszcie od 1 - x 1.

W przypadku korzystania z metody Gaussa równania można w razie potrzeby zamieniać.

Często zamiast pisać nowy system równania ograniczają się do wypisania rozszerzonej macierzy układu:

a następnie sprowadzić go do formy trójkątnej lub ukośnej za pomocą przekształceń elementarnych.

W celu przekształcenia elementarne macierze zawierają następujące przekształcenia:

permutacja wierszy lub kolumn;
mnożenie ciągu przez liczbę niezerową;
dodanie do jednej linii innych linii.

Przykłady: Rozwiązuj układy równań metodą Gaussa.

W ten sposób system ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Układy równań są szeroko stosowane w przemyśle gospodarczym do matematycznego modelowania różnych procesów. Na przykład przy rozwiązywaniu problemów zarządzania i planowania produkcji, tras logistycznych (problem transportowy) lub rozmieszczenia sprzętu.

Systemy równań znajdują zastosowanie nie tylko w matematyce, ale także w fizyce, chemii i biologii przy rozwiązywaniu problemów określania liczebności populacji.

Układ równań liniowych to termin określający dwa lub więcej równań z kilkoma zmiennymi, dla których konieczne jest znalezienie wspólnego rozwiązania. Taki ciąg liczb, dla którego wszystkie równania stają się prawdziwymi równościami lub dowodzą, że ciąg nie istnieje.

Równanie liniowe

Równania postaci ax+by=c nazywamy liniowymi. Oznaczenia x, y to niewiadome, których wartość należy znaleźć, b, a to współczynniki zmiennych, c to wyraz wolny równania.
Rozwiązanie równania przez wykreślenie jego wykresu będzie wyglądało jak linia prosta, której wszystkie punkty są rozwiązaniem wielomianu.

Rodzaje układów równań liniowych

Najprostsze są przykłady układów równań liniowych z dwiema zmiennymi X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdzie F1,2 to funkcje, a (x, y) to zmienne funkcji.

Rozwiąż układ równań - oznacza to znalezienie takich wartości (x, y), przy których system zamienia się w prawdziwą równość lub ustalenie tego odpowiednie wartości x i y nie istnieją.

Para wartości (x, y), zapisana jako współrzędne punktu, nazywana jest rozwiązaniem układu równań liniowych.

Jeśli systemy mają jedno wspólne rozwiązanie lub nie ma rozwiązania, nazywa się je równoważnymi.

Jednorodne układy równań liniowych to układy, których prawa strona jest równa zeru. Jeżeli prawa część po znaku „równości” ma wartość lub jest wyrażona funkcją, to taki układ nie jest jednorodny.

Liczba zmiennych może być znacznie większa niż dwie, wtedy powinniśmy mówić o przykładzie układu równań liniowych z trzema lub więcej zmiennymi.

W obliczu systemów uczniowie zakładają, że liczba równań musi koniecznie pokrywać się z liczbą niewiadomych, ale tak nie jest. Liczba równań w układzie nie zależy od zmiennych, może ich być dowolnie duża liczba.

Proste i złożone metody rozwiązywania układów równań

Nie ma ogólnego analitycznego sposobu rozwiązywania takich systemów, wszystkie metody opierają się na rozwiązaniach numerycznych. Szkolny kurs matematyki szczegółowo opisuje takie metody jak permutacje, dodawanie algebraiczne, podstawienie, a także metodę graficzną i macierzową, rozwiązanie metodą Gaussa.

Głównym zadaniem w nauczaniu metod rozwiązywania jest nauczenie prawidłowej analizy systemu i znajdowania optymalny algorytm rozwiązania dla każdego przykładu. Najważniejsze nie jest zapamiętywanie systemu reguł i działań dla każdej metody, ale zrozumienie zasad stosowania konkretnej metody.

Rozwiązywanie przykładów układów równań liniowych 7 klasy programu Szkoła średnia dość proste i szczegółowo wyjaśnione. W każdym podręczniku matematyki tej sekcji poświęca się wystarczająco dużo uwagi. Rozwiązanie przykładów układów równań liniowych metodą Gaussa i Cramera jest szczegółowo badane na pierwszych kursach uczelni wyższych.

Rozwiązanie systemów metodą substytucyjną

Działania metody substytucyjnej mają na celu wyrażenie wartości jednej zmiennej przez drugą. Wyrażenie jest podstawiane do pozostałego równania, a następnie sprowadzane do postaci pojedynczej zmiennej. Akcja jest powtarzana w zależności od liczby niewiadomych w systemie

Podajmy przykład układu równań liniowych klasy 7 metodą podstawienia:

Jak widać na przykładzie, zmienna x została wyrażona przez F(X) = 7 + Y. Otrzymane wyrażenie, podstawione w II równaniu układu w miejsce X, pomogło uzyskać jedną zmienną Y w II równaniu . Rozwiązanie tego przykładu nie sprawia trudności i pozwala uzyskać wartość Y. Ostatnim krokiem jest sprawdzenie uzyskanych wartości.

Nie zawsze można rozwiązać przykład układu równań liniowych przez podstawienie. Równania mogą być złożone, a wyrażenie zmiennej w postaci drugiej niewiadomej będzie zbyt kłopotliwe do dalszych obliczeń. Gdy w systemie jest więcej niż 3 niewiadome, rozwiązanie substytucyjne jest również niepraktyczne.

Rozwiązanie przykładu układu liniowych równań niejednorodnych:

Rozwiązanie z wykorzystaniem dodawania algebraicznego

Szukając rozwiązania układów metodą dodawania, dodawania terminowego i mnożenia równań przez różne liczby. Ostatecznym celem działań matematycznych jest równanie z jedną zmienną.

Zastosowania tej metody wymagają praktyki i obserwacji. Nie jest łatwo rozwiązać układ równań liniowych metodą dodawania z liczbą zmiennych 3 lub więcej. Dodawanie algebraiczne jest przydatne, gdy równania zawierają ułamki zwykłe i liczby dziesiętne.

Algorytm działania rozwiązania:

Pomnóż obie strony równania przez pewną liczbę. W rezultacie operacja arytmetyczna jeden ze współczynników zmiennej musi być równy 1.
Dodaj wynikowe wyrażenie termin po terminie i znajdź jedną z niewiadomych.
Podstaw otrzymaną wartość do drugiego równania układu, aby znaleźć pozostałą zmienną.

Metoda rozwiązania przez wprowadzenie nowej zmiennej

Nową zmienną można wprowadzić, jeśli system musi znaleźć rozwiązanie dla nie więcej niż dwóch równań, liczba niewiadomych również nie powinna być większa niż dwa.

Metoda służy do uproszczenia jednego z równań poprzez wprowadzenie nowej zmiennej. Nowe równanie jest rozwiązywane z uwzględnieniem wprowadzonej niewiadomej, a otrzymana wartość służy do wyznaczenia pierwotnej zmiennej.

Przykład pokazuje, że wprowadzając nową zmienną t, udało się zredukować I równanie układu do normy trójmian kwadratowy. Możesz rozwiązać wielomian, znajdując wyróżnik.

Konieczne jest znalezienie wartości wyróżnika przez dobrze znana formuła: D = b2 - 4*a*c, gdzie D jest pożądanym wyróżnikiem, b, a, c są mnożnikami wielomianu. W podanym przykładzie a=1, b=16, c=39, stąd D=100. Jeśli dyskryminator jest większy od zera, to istnieją dwa rozwiązania: t = -b±√D / 2*a, jeśli dyskryminator jest mniejszy od zera, to jest tylko jedno rozwiązanie: x= -b / 2*a.

Rozwiązanie dla powstałych systemów znajduje się metodą dodawania.

Wizualna metoda rozwiązywania systemów

Nadaje się do systemów z 3 równaniami. Metoda polega na wykreśleniu wykresów każdego równania wchodzącego w skład układu na osi współrzędnych. Współrzędne punktów przecięcia krzywych będą ogólnym rozwiązaniem układu.

Metoda graficzna ma wiele niuansów. Rozważ kilka przykładów rozwiązywania układów równań liniowych w sposób wizualny.

Jak widać na przykładzie, dla każdej linii skonstruowano dwa punkty, arbitralnie wybrano wartości zmiennej x: 0 i 3. Na podstawie wartości x znaleziono wartości dla y: 3 i 0. Punkty o współrzędnych (0, 3) i (3, 0) zaznaczono na wykresie i połączono linią.

Kroki należy powtórzyć dla drugiego równania. Punkt przecięcia linii jest rozwiązaniem układu.

W poniższym przykładzie musisz znaleźć graficzne rozwiązanie układu równań liniowych: 0.5x-y+2=0 i 0.5x-y-1=0.

Jak widać na przykładzie, układ nie ma rozwiązania, ponieważ wykresy są równoległe i nie przecinają się na całej swojej długości.

Systemy z przykładów 2 i 3 są podobne, ale po zbudowaniu staje się oczywiste, że ich rozwiązania są różne. Należy pamiętać, że nie zawsze można powiedzieć, czy system ma rozwiązanie, czy nie, zawsze konieczne jest zbudowanie grafu.

Matryca i jej odmiany

Macierze służą do krótkiego zapisania układu równań liniowych. Macierz to specjalny rodzaj tabeli wypełnionej liczbami. n*m ma n - wierszy i m - kolumny.

Macierz jest kwadratowa, gdy liczba kolumn i wierszy jest równa. Wektor macierzy to jednokolumnowa macierz z nieskończenie możliwą liczbą wierszy. Macierz z jednostkami wzdłuż jednej z przekątnych i innymi elementami zerowymi nazywa się tożsamością.

Macierz odwrotna to taka macierz, po pomnożeniu przez którą pierwotna zamienia się w jednostkową, taka macierz istnieje tylko dla pierwotnej kwadratowej.

Zasady przekształcania układu równań w macierz

W przypadku układów równań współczynniki i swobodne człony równań zapisywane są jako liczby macierzy, jedno równanie to jeden wiersz macierzy.

Wiersz macierzy nazywa się niezerowym, jeśli przynajmniej jeden element wiersza nie jest równy zeru. Dlatego jeśli w którymkolwiek z równań liczba zmiennych jest różna, to w miejsce brakującej niewiadomej należy wpisać zero.

Kolumny macierzy muszą ściśle odpowiadać zmiennym. Oznacza to, że współczynniki zmiennej x można zapisać tylko w jednej kolumnie, np. w pierwszej, współczynnik nieznanego y - tylko w drugiej.

Podczas mnożenia macierzy wszystkie elementy macierzy są kolejno mnożone przez liczbę.

Opcje znajdowania macierzy odwrotnej

Wzór na znalezienie macierzy odwrotnej jest dość prosty: K -1 = 1 / |K|, gdzie K -1 jest macierzą odwrotną, a |K| - wyznacznik macierzy. |K| nie może być równe zeru, wtedy system ma rozwiązanie.

Wyznacznik można łatwo obliczyć dla macierzy dwa na dwa, wystarczy pomnożyć elementy po przekątnej przez siebie. Dla opcji „trzy na trzy” istnieje formuła |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Możesz użyć formuły lub pamiętaj, że musisz wziąć jeden element z każdego wiersza i każdej kolumny, aby numery kolumn i wierszy elementów nie powtarzały się w produkcie.

Rozwiązywanie przykładów układów równań liniowych metodą macierzową

Macierzowa metoda znajdowania rozwiązania pozwala zredukować uciążliwe zapisy przy rozwiązywaniu układów z duża ilość zmienne i równania.

W przykładzie nm to współczynniki równań, macierz to wektor x n to zmienne, a b n to wyrazy wolne.

Rozwiązywanie układów metodą Gaussa

W matematyce wyższej metoda Gaussa jest badana razem z metodą Cramera, a proces znajdowania rozwiązania układów nazywa się metodą rozwiązywania Gaussa-Cramera. Metody te służą do znajdowania zmiennych układów o dużej liczbie równań liniowych.

Metoda Gaussa jest bardzo podobna do rozwiązań z podstawieniem i dodawaniem algebraicznym, ale jest bardziej systematyczna. W kursie szkolnym rozwiązanie Gaussa jest używane dla układów 3 i 4 równań. Celem metody jest doprowadzenie układu do postaci odwróconego trapezu. Dzięki przekształceniom algebraicznym i podstawieniom wartość jednej zmiennej znajduje się w jednym z równań układu. Drugie równanie to wyrażenie z 2 niewiadomymi oraz 3 i 4 - odpowiednio z 3 i 4 zmiennymi.

Po doprowadzeniu układu do opisywanej postaci dalsze rozwiązanie sprowadza się do sekwencyjnego podstawienia znanych zmiennych do równań układu.

W podręcznikach szkolnych do klasy 7 przykład rozwiązania Gaussa jest opisany w następujący sposób:

Jak widać na przykładzie, w kroku (3) otrzymano dwa równania 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rozwiązanie dowolnego równania pozwoli ci znaleźć jedną ze zmiennych x n.

Wspomniane w tekście twierdzenie 5 mówi, że jeśli jedno z równań układu zostanie zastąpione równoważnym, to otrzymany układ będzie również równoważny oryginalnemu.

Metoda Gaussa jest trudna do zrozumienia dla uczniów Liceum, ale jest jednym z najbardziej ciekawe sposoby rozwijać pomysłowość dzieci zapisanych na pogłębiony program studiów na lekcjach matematyki i fizyki.

Aby ułatwić rejestrowanie obliczeń, zwyczajowo wykonuje się następujące czynności:

Współczynniki równania i wyrażenia swobodne zapisane są w postaci macierzy, gdzie każdy wiersz macierzy odpowiada jednemu z równań układu. oddziela lewą stronę równania od prawej. Cyfry rzymskie oznaczają numery równań w systemie.

Najpierw spisują macierz, z którą mają pracować, a następnie wszystkie czynności wykonane jednym z wierszy. Otrzymana macierz jest zapisywana po znaku „strzałki” i kontynuuje wykonywanie niezbędnych operacji algebraicznych, aż do osiągnięcia wyniku.

W efekcie należy uzyskać macierz, w której jedna z przekątnych wynosi 1, a wszystkie pozostałe współczynniki są równe zeru, czyli macierz sprowadza się do jednej postaci. Nie możemy zapomnieć o wykonaniu obliczeń z liczbami obu stron równania.

Ta notacja jest mniej uciążliwa i pozwala nie rozpraszać się wymienianiem wielu niewiadomych.

Bezpłatne zastosowanie dowolnej metody rozwiązania będzie wymagało staranności i pewnego doświadczenia. Nie wszystkie metody są stosowane. Niektóre sposoby znajdowania rozwiązań są bardziej preferowane w określonym obszarze ludzkiej działalności, podczas gdy inne istnieją w celu uczenia się.