Rozwiązywanie równań kwadratowych i rozwiązanie. Równania kwadratowe

Kontynuując temat „Rozwiązywanie równań”, materiał w tym artykule wprowadzi Cię w równania kwadratowe.

Rozważmy wszystko szczegółowo: istotę i zapis równania kwadratowego, ustal warunki towarzyszące, przeanalizuj schemat rozwiązywania równań niepełnych i kompletnych, zapoznaj się ze wzorem pierwiastków i wyróżnika, ustal związki między pierwiastkami i współczynnikami oraz Oczywiście podamy wizualne rozwiązanie praktycznych przykładów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Równanie kwadratowe, jego rodzaje

Definicja 1

Równanie kwadratowe czy równanie jest zapisane jako a x 2 + b x + c = 0, gdzie x– zmienna, a , b i C są jakieś liczby, podczas gdy a nie jest zerem.

Często równania kwadratowe są również nazywane równaniami drugiego stopnia, ponieważ w rzeczywistości równanie kwadratowe jest równaniem algebraicznym drugiego stopnia.

Podajmy przykład ilustrujący podaną definicję: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 itd. są równaniami kwadratowymi.

Definicja 2

Liczby a , b i C są współczynnikami równania kwadratowego a x 2 + b x + c = 0, natomiast współczynnik a nazywa się pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b - drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy x, ale C nazwany wolnym członkiem.

Na przykład w równaniu kwadratowym 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 najwyższy współczynnik to 6 , drugi współczynnik to − 2 , a wyraz wolny jest równy − 11 . Zwróćmy uwagę na fakt, że gdy współczynniki b i/lub c są ujemne, stosuje się formę skróconą 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Wyjaśnijmy również ten aspekt: ​​jeśli współczynniki a i/lub b równy 1 lub − 1 , to mogą nie brać wyraźnego udziału w pisaniu równania kwadratowego, co tłumaczy się osobliwością pisania wskazanych współczynników liczbowych. Na przykład w równaniu kwadratowym r 2 − r + 7 = 0 starszy współczynnik wynosi 1, a drugi współczynnik to − 1 .

Zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe

Zgodnie z wartością pierwszego współczynnika równania kwadratowe dzielą się na zredukowane i niezredukowane.

Definicja 3

Zredukowane równanie kwadratowe jest równaniem kwadratowym, w którym wiodący współczynnik wynosi 1 . Dla innych wartości współczynnika wiodącego równanie kwadratowe jest niezredukowane.

Oto kilka przykładów: równania kwadratowe x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 są zredukowane, w każdym z których wiodący współczynnik wynosi 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- nieredukowane równanie kwadratowe, w którym pierwszy współczynnik jest różny od 1 .

Każde niezredukowane równanie kwadratowe można przekształcić w równanie zredukowane, dzieląc obie jego części przez pierwszy współczynnik (przekształcenie równoważne). Przekształcone równanie będzie miało te same pierwiastki, co dane niezredukowane równanie lub też nie będzie miało żadnych pierwiastków.

Rozpatrzenie konkretnego przykładu pozwoli nam wyraźnie zademonstrować przejście od równania kwadratowego niezredukowanego do równania zredukowanego.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę równanie 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Konieczne jest przekształcenie pierwotnego równania w formę zredukowaną.

Rozwiązanie

Zgodnie z powyższym schematem dzielimy obie części pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 6 . Następnie otrzymujemy: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, a to to samo, co: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 i dalej: (6:6) x 2 + (18:6) x − 7:6 = 0 . Stąd: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . W ten sposób otrzymujemy równanie równoważne danemu.

Odpowiedź: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Pełne i niepełne równania kwadratowe

Przejdźmy do definicji równania kwadratowego. W nim określiliśmy, że 0. Podobny warunek jest konieczny dla równania a x 2 + b x + c = 0 był dokładnie kwadratowy, ponieważ a = 0 zasadniczo przekształca się w równanie liniowe b x + c = 0.

W przypadku, gdy współczynniki b I C są równe zeru (co jest możliwe, zarówno pojedynczo, jak i łącznie), równanie kwadratowe nazywamy niepełnym.

Definicja 4

Niepełne równanie kwadratowe jest równaniem kwadratowym a x 2 + b x + c \u003d 0, gdzie co najmniej jeden ze współczynników b I C(lub oba) wynosi zero.

Pełne równanie kwadratowe jest równaniem kwadratowym, w którym wszystkie współczynniki liczbowe nie są równe zeru.

Porozmawiajmy, dlaczego typom równań kwadratowych nadaje się dokładnie takie nazwy.

Dla b = 0 równanie kwadratowe przyjmuje postać a x 2 + 0 x + c = 0, czyli to samo co a x 2 + c = 0. Na c = 0 równanie kwadratowe jest zapisane jako a x 2 + b x + 0 = 0, co jest równoważne a x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 równanie przyjmie postać a x 2 = 0. Otrzymane przez nas równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, albo obu naraz. Fakt ten nadał nazwę tego typu równaniom - niekompletne.

Na przykład x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 są pełnymi równaniami kwadratowymi; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 to niekompletne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych

Podana powyżej definicja pozwala wyróżnić następujące typy niepełnych równań kwadratowych:

• a x 2 = 0, takiemu równaniu odpowiadają współczynniki b = 0 i c = 0 ;
• a x 2 + c \u003d 0 dla b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 dla c = 0 .

Rozważ kolejno rozwiązanie każdego typu niepełnego równania kwadratowego.

Rozwiązanie równania a x 2 \u003d 0

Jak już wspomniano powyżej, takiemu równaniu odpowiadają współczynniki b I C równy zero. Równanie a x 2 = 0 można przekształcić w równoważne równanie x2 = 0, które otrzymujemy dzieląc obie strony pierwotnego równania przez liczbę a, nie równe zeru. Oczywistym faktem jest to, że pierwiastek równania x2 = 0 jest zero, ponieważ 0 2 = 0 . To równanie nie ma innych pierwiastków, co wyjaśniają właściwości stopnia: dla dowolnej liczby P , nie równa zeru, nierówność jest prawdziwa p2 > 0, z czego wynika, że ​​kiedy p ≠ 0 równość p2 = 0 nigdy nie zostanie osiągnięty.

Definicja 5

Zatem dla niepełnego równania kwadratowego a x 2 = 0 istnieje pierwiastek jednoznaczny x=0.

Przykład 2

Na przykład rozwiążmy niepełne równanie kwadratowe − 3 x 2 = 0. Jest to odpowiednik równania x2 = 0, jego jedynym korzeniem jest x=0, to oryginalne równanie ma jeden pierwiastek - zero.

Rozwiązanie można podsumować w następujący sposób:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Rozwiązanie równania a x 2 + c \u003d 0

Następne w kolejności jest rozwiązanie niekompletnych równań kwadratowych, gdzie b \u003d 0, c ≠ 0, czyli równania postaci a x 2 + c = 0. Przekształćmy to równanie, przenosząc wyraz z jednej strony równania na drugą, zmieniając znak na przeciwny i dzieląc obie strony równania przez liczbę, która nie jest równa zeru:

• wytrzymać C po prawej stronie, co daje równanie a x 2 = − c;
• podziel obie strony równania przez a, otrzymujemy w wyniku x = - c a .

Nasze przekształcenia są odpowiednio równoważne, wynikowe równanie jest również równoważne z pierwotnym, co pozwala na wyciągnięcie wniosków na temat pierwiastków równania. Z jakich wartości? a I C zależy od wartości wyrażenia - c a: może mieć znak minus (np. if a = 1 I c = 2, to - c a = - 2 1 = - 2) lub znak plus (na przykład, jeśli a = -2 I c=6, a następnie - c a = - 6 - 2 = 3); nie jest równe zero, ponieważ c ≠ 0. Rozważmy bardziej szczegółowo sytuacje, w których - c a< 0 и - c a > 0 .

W przypadku, gdy - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P równość p 2 = - c a nie może być prawdziwa.

Wszystko jest inne, gdy - c a > 0: zapamiętaj pierwiastek kwadratowy, a stanie się oczywiste, że pierwiastek równania x 2 \u003d - c a będzie liczbą - c a, ponieważ - c a 2 \u003d - c a. Łatwo zrozumieć, że liczba - - c a - jest także pierwiastkiem równania x 2 = - c a: rzeczywiście - - c a 2 = - c a .

Równanie nie będzie miało innych pierwiastków. Możemy to zademonstrować za pomocą odwrotnej metody. Najpierw ustawmy zapis pierwiastków znalezionych powyżej jako x 1 I − x 1. Załóżmy, że równanie x 2 = - c a również ma pierwiastek x2, który różni się od korzeni x 1 I − x 1. Wiemy, że podstawiając do równania zamiast x jego korzenie, przekształcamy równanie w sprawiedliwą równość liczbową.

Do x 1 I − x 1 napisz: x 1 2 = - c a , oraz dla x2- x 2 2 \u003d - ok. Na podstawie właściwości równości liczbowych odejmujemy jedną prawdziwą równość od innego wyrazu, co da nam: x 1 2 − x 2 2 = 0. Użyj właściwości operacji na liczbach, aby przepisać ostatnią równość jako (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Wiadomo, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z liczb jest równa zeru. Z tego, co zostało powiedziane, wynika, że x1 − x2 = 0 i/lub x1 + x2 = 0, czyli to samo x2 = x1 i/lub x 2 = − x 1. Powstała oczywista sprzeczność, ponieważ początkowo ustalono, że pierwiastek równania x2 różni się od x 1 I − x 1. Udowodniliśmy więc, że równanie nie ma innych pierwiastków niż x = - c a i x = - - c a .

Podsumowujemy wszystkie powyższe argumenty.

Definicja 6

Niepełne równanie kwadratowe a x 2 + c = 0 jest równoważne równaniu x 2 = - c a , które:

• nie będzie miał korzeni w - c a< 0 ;
• będzie miał dwa pierwiastki x = - c a i x = - - c a gdy - c a > 0 .

Podajmy przykłady rozwiązywania równań a x 2 + c = 0.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0 . Konieczne jest znalezienie rozwiązania.

Rozwiązanie

Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę równania, wtedy równanie przyjmie postać 9 x 2 \u003d - 7.
Dzielimy obie strony otrzymanego równania przez 9 , dochodzimy do x 2 = -7 9 . Po prawej stronie widzimy liczbę ze znakiem minus, co oznacza: dane równanie nie ma pierwiastków. Następnie oryginalne niepełne równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0 nie będzie miał korzeni.

Odpowiedź: równanie 9 x 2 + 7 = 0 nie ma korzeni.

Przykład 4

Konieczne jest rozwiązanie równania − x2 + 36 = 0.

Rozwiązanie

Przejdźmy 36 na prawą stronę: − x 2 = − 36.
Podzielmy obie części na − 1 , dostajemy x2 = 36. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której możemy wywnioskować, że x = 36 lub x = - 36 .
Wyciągamy pierwiastek i zapisujemy wynik końcowy: niepełne równanie kwadratowe − x2 + 36 = 0 ma dwa korzenie x=6 lub x = -6.

Odpowiedź: x=6 lub x = -6.

Rozwiązanie równania a x 2 +b x=0

Przeanalizujmy trzeci rodzaj niepełnych równań kwadratowych, gdy c = 0. Aby znaleźć rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego a x 2 + b x = 0, używamy metody faktoryzacji. Rozłóżmy na czynniki wielomian znajdujący się po lewej stronie równania, usuwając z nawiasów czynnik wspólny x. Ten krok umożliwi przekształcenie oryginalnego niepełnego równania kwadratowego na jego odpowiednik x (a x + b) = 0. A to równanie z kolei jest równoważne ze zbiorem równań x=0 I a x + b = 0. Równanie a x + b = 0 liniowy i jego pierwiastek: x = − b a.

Definicja 7

Zatem niepełne równanie kwadratowe a x 2 + b x = 0 będzie miał dwa korzenie x=0 I x = − b a.

Skonsolidujmy materiał na przykładzie.

Przykład 5

Konieczne jest znalezienie rozwiązania równania 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Rozwiązanie

Wyjmijmy x poza nawiasami i uzyskać równanie x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . To równanie jest równoważne równaniom x=0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Teraz powinieneś rozwiązać otrzymane równanie liniowe: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

W skrócie piszemy rozwiązanie równania w następujący sposób:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 lub x = 3 3 7

Odpowiedź: x = 0 , x = 3 3 7 .

Wyróżnik, wzór pierwiastków równania kwadratowego

Aby znaleźć rozwiązanie równań kwadratowych, istnieje wzór pierwiastka:

Definicja 8

x = - b ± D 2 a, gdzie D = b 2 − 4 a c jest tak zwanym wyróżnikiem równania kwadratowego.

Zapisanie x \u003d - b ± D 2 a zasadniczo oznacza, że ​​x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Przydatne będzie zrozumienie, w jaki sposób została wyprowadzona wskazana formuła i jak ją zastosować.

Wyprowadzenie wzoru pierwiastków równania kwadratowego

Załóżmy, że mamy do czynienia z zadaniem rozwiązania równania kwadratowego a x 2 + b x + c = 0. Przeprowadźmy szereg równoważnych przekształceń:

• podziel obie strony równania przez liczbę a, różne od zera, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• wybierz pełny kwadrat po lewej stronie wynikowego równania:
  x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  Następnie równanie przyjmie postać: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• teraz można przenieść dwa ostatnie wyrazy na prawą stronę, zmieniając znak na przeciwny, po czym otrzymujemy: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• na koniec przekształcamy wyrażenie zapisane po prawej stronie ostatniej równości:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

W ten sposób doszliśmy do równania x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , które jest równoważne pierwotnemu równaniu a x 2 + b x + c = 0.

Omówiliśmy rozwiązanie takich równań w poprzednich akapitach (rozwiązanie niepełnych równań kwadratowych). Zdobyte doświadczenie pozwala na wyciągnięcie wniosków dotyczących pierwiastków równania x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• dla b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• dla b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 równanie ma postać x + b 2 · a 2 = 0, a następnie x + b 2 · a = 0.

Stąd jedyny pierwiastek x = - b 2 · a jest oczywisty;

• dla b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, poprawna wartość to: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 lub x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2 , czyli to samo co x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 lub x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , tj. równanie ma dwa pierwiastki.

Można wywnioskować, że obecność lub brak pierwiastków równania x + b 2 a 2 = b 2 - 4 ac 4 a 2 (a więc oryginalne równanie) zależy od znaku wyrażenia b 2 - 4 ac 4 · 2 napisane po prawej stronie. A znak tego wyrażenia jest podany przez znak licznika (mianownik) 4 a 2 zawsze będzie dodatni), czyli znak wyrażenia b 2 − 4 a c. To wyrażenie b 2 − 4 a c podaje się nazwę - wyróżnik równania kwadratowego, a literę D określa się jako jego oznaczenie. Tutaj możesz zapisać istotę wyróżnika - po jego wartości i znaku stwierdzają, czy równanie kwadratowe będzie miało pierwiastki rzeczywiste, a jeśli tak, to ile pierwiastków - jeden czy dwa.

Wróćmy do równania x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Przepiszmy to używając notacji dyskryminacyjnej: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Podsumujmy wnioski:

Definicja 9

• w D< 0 równanie nie ma prawdziwych pierwiastków;
• w D=0 równanie ma jeden pierwiastek x = - b 2 · a ;
• w D > 0 równanie ma dwa pierwiastki: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 lub x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. W oparciu o właściwości rodników korzenie te można zapisać jako: x \u003d - b 2 a + D 2 a lub - b 2 a - D 2 a. A kiedy otworzymy moduły i zredukujemy ułamki do wspólnego mianownika, otrzymamy: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Tak więc wynikiem naszego rozumowania było wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , dyskryminator D obliczone według wzoru D = b 2 − 4 a c.

Wzory te umożliwiają, gdy dyskryminator jest większy od zera, wyznaczenie obu pierwiastków rzeczywistych. Gdy dyskryminator wynosi zero, zastosowanie obu formuł da ten sam pierwiastek jako jedyne rozwiązanie równania kwadratowego. W przypadku, gdy dyskryminator jest ujemny, próbując użyć wzoru na pierwiastek kwadratowy, staniemy przed koniecznością wydobycia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co wyprowadzi nas poza liczby rzeczywiste. W przypadku ujemnego wyróżnika równanie kwadratowe nie będzie miało prawdziwych pierwiastków, ale możliwa jest para złożonych sprzężonych pierwiastków, określona przez te same formuły pierwiastkowe, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

Równanie kwadratowe można rozwiązać natychmiast za pomocą wzoru pierwiastka, ale w zasadzie robi się to, gdy konieczne jest znalezienie złożonych pierwiastków.

W większości przypadków wyszukiwanie jest zwykle przeznaczone nie dla złożonych, ale dla rzeczywistych pierwiastków równania kwadratowego. Wtedy optymalne jest, przed zastosowaniem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego, najpierw wyznaczenie wyróżnika i upewnienie się, że nie jest on ujemny (w przeciwnym razie dojdziemy do wniosku, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), a następnie przystąpimy do obliczenia wartość korzeni.

Powyższe rozumowanie umożliwia sformułowanie algorytmu rozwiązywania równania kwadratowego.

Definicja 10

Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c = 0, niezbędny:

• według wzoru D = b 2 − 4 a c znajdź wartość dyskryminatora;
• w D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• dla D = 0 znajdź jedyny pierwiastek równania ze wzoru x = - b 2 · a ;
• dla D > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego ze wzoru x = - b ± D 2 · a.

Zauważ, że gdy dyskryminator wynosi zero, możesz użyć wzoru x = - b ± D 2 · a , da on taki sam wynik jak wzór x = - b 2 · a .

Rozważ przykłady.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Przedstawiamy rozwiązanie przykładów dla różnych wartości dyskryminatora.

Przykład 6

Konieczne jest znalezienie pierwiastków równania x 2 + 2 x - 6 = 0.

Rozwiązanie

Piszemy współczynniki liczbowe równania kwadratowego: a \u003d 1, b \u003d 2 i c = − 6. Następnie działamy zgodnie z algorytmem, tj. Zacznijmy obliczanie dyskryminatora, dla którego podstawiamy współczynniki a , b I C we wzorze dyskryminacyjnym: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Mamy więc D > 0, co oznacza, że ​​pierwotne równanie będzie miało dwa pierwiastki rzeczywiste.
Aby je znaleźć, używamy wzoru na pierwiastek x \u003d - b ± D 2 · a i zastępując odpowiednie wartości, otrzymujemy: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Upraszczamy otrzymane wyrażenie, usuwając czynnik ze znaku pierwiastka, a następnie zmniejszając ułamek:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 lub x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 lub x = - 1 - 7

Odpowiedź: x = -1 + 7 , x = -1-7 .

Przykład 7

Konieczne jest rozwiązanie równania kwadratowego − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Rozwiązanie

Zdefiniujmy wyróżnik: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Przy tej wartości dyskryminatora oryginalne równanie będzie miało tylko jeden pierwiastek, określony wzorem x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Odpowiedź: x = 3, 5.

Przykład 8

Konieczne jest rozwiązanie równania 5 lat 2 + 6 lat + 2 = 0

Rozwiązanie

Współczynniki liczbowe tego równania będą wynosić: a = 5 , b = 6 ic = 2 . Używamy tych wartości do znalezienia dyskryminatora: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Obliczony wyróżnik jest ujemny, więc oryginalne równanie kwadratowe nie ma prawdziwych pierwiastków.

W przypadku, gdy zadaniem jest wskazanie pierwiastków zespolonych, stosujemy wzór pierwiastka wykonując operacje na liczbach zespolonych:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 lub x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 15 i lub x = - 3 5 - 15 i .

Odpowiedź: nie ma prawdziwych korzeni; złożone korzenie to: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

W szkolnym programie nauczania standardowo nie ma wymogu szukania złożonych pierwiastków, dlatego jeśli dyskryminator zostanie zdefiniowany jako negatywny podczas rozwiązania, od razu zapisywana jest odpowiedź, że nie ma prawdziwych pierwiastków.

Wzór pierwiastka dla parzystych drugich współczynników

Wzór pierwiastka x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 ac) umożliwia uzyskanie innej formuły, bardziej zwartej, co pozwala znaleźć rozwiązania równań kwadratowych z parzystym współczynnikiem przy x (lub ze współczynnikiem postaci 2 a n, na przykład 2 3 lub 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokażmy, jak wywodzi się ten wzór.

Załóżmy, że mamy do czynienia z zadaniem znalezienia rozwiązania równania kwadratowego a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Postępujemy zgodnie z algorytmem: wyznaczamy dyskryminator D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , a następnie korzystamy ze wzoru:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - a · ca.

Niech wyrażenie n 2 − a c będzie oznaczane jako D 1 (czasami jest to oznaczane jako D "). Wtedy wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego o drugim współczynniku 2 n przyjmie postać:

x \u003d - n ± D 1 a, gdzie D 1 \u003d n 2 - a c.

Łatwo zauważyć, że D = 4 · D 1 lub D 1 = D 4 . Innymi słowy, D 1 to jedna czwarta dyskryminatora. Oczywiście znak D 1 jest taki sam jak znak D, co oznacza, że ​​znak D 1 może również służyć jako wskaźnik obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Definicja 11

Tak więc, aby znaleźć rozwiązanie równania kwadratowego o drugim współczynniku 2 n, konieczne jest:

• znajdź D 1 = n 2 − a c ;
• w D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• dla D 1 = 0 wyznacz jedyny pierwiastek równania ze wzoru x = - n a ;
• dla D 1 > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste ze wzoru x = - n ± D 1 a.

Przykład 9

Należy rozwiązać równanie kwadratowe 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Rozwiązanie

Drugi współczynnik danego równania można przedstawić jako 2 · (− 3). Następnie przepisujemy dane równanie kwadratowe jako 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , gdzie a = 5 , n = − 3 i c = − 32 .

Obliczmy czwartą część wyróżnika: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Otrzymana wartość jest dodatnia, co oznacza, że ​​równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Definiujemy je za pomocą odpowiedniej formuły korzeni:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 1695 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 lub x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 lub x = - 2

Możliwe byłoby wykonanie obliczeń przy użyciu zwykłego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku rozwiązanie byłoby bardziej kłopotliwe.

Odpowiedź: x = 3 1 5 lub x = - 2 .

Uproszczenie postaci równań kwadratowych

Czasami można zoptymalizować formę pierwotnego równania, co uprości proces obliczania pierwiastków.

Na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 jest wyraźnie wygodniejsze do rozwiązania niż 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Częściej uproszczenie postaci równania kwadratowego odbywa się poprzez pomnożenie lub podzielenie jego obu części przez określoną liczbę. Na przykład powyżej pokazaliśmy uproszczoną reprezentację równania 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, uzyskaną przez podzielenie obu jego części przez 100.

Taka transformacja jest możliwa, gdy współczynniki równania kwadratowego nie są liczbami względnie pierwszymi. Wtedy zwykle obie części równania są dzielone przez największy wspólny dzielnik bezwzględnych wartości jego współczynników.

Jako przykład używamy równania kwadratowego 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Zdefiniujmy gcd bezwzględnych wartości jego współczynników: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Podzielmy obie części pierwotnego równania kwadratowego przez 6 i uzyskajmy równoważne równanie kwadratowe 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Mnożąc obie strony równania kwadratowego, zwykle eliminuje się współczynniki ułamkowe. W tym przypadku pomnóż przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników jej współczynników. Na przykład, jeśli każda część równania kwadratowego 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 jest pomnożona przez LCM (6, 3, 1) \u003d 6, to zostanie napisana w prostszej formie x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Na koniec zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy pierwszym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki każdego członu równania, co uzyskuje się przez pomnożenie (lub podzielenie) obu części przez − 1. Na przykład z równania kwadratowego - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, możesz przejść do jego uproszczonej wersji 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Związek między pierwiastkami a współczynnikami

Znany już wzór na pierwiastki równań kwadratowych x = - b ± D 2 · a wyraża pierwiastki równania w postaci jego współczynników liczbowych. Na podstawie tego wzoru mamy możliwość ustalenia innych zależności między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie są formuły twierdzenia Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a i x 2 \u003d c a.

W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest drugim współczynnikiem o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi wolnemu. Na przykład z postaci równania kwadratowego 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0 można od razu określić, że suma jego pierwiastków wynosi 7 3 , a iloczyn pierwiastków wynosi 22 3 .

Możesz także znaleźć szereg innych relacji między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego można wyrazić za pomocą współczynników:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Kontynuujemy badanie tematu rozwiązywanie równań”. Zapoznaliśmy się już z równaniami liniowymi, a teraz zapoznamy się z równania kwadratowe.

Najpierw omówimy, czym jest równanie kwadratowe, jak jest napisane w ogólnej formie i podamy powiązane definicje. Następnie, korzystając z przykładów, szczegółowo przeanalizujemy, jak rozwiązywane są niekompletne równania kwadratowe. Następnie przechodzimy do rozwiązywania pełnych równań, otrzymujemy wzór na pierwiastki, zapoznajemy się z wyróżnikiem równania kwadratowego i rozważamy rozwiązania typowych przykładów. Na koniec śledzimy powiązania między pierwiastkami a współczynnikami.

Nawigacja po stronach.

Co to jest równanie kwadratowe? Ich typy

Najpierw musisz jasno zrozumieć, czym jest równanie kwadratowe. Dlatego logiczne jest rozpoczęcie mówienia o równaniach kwadratowych od definicji równania kwadratowego, a także definicji z nim związanych. Następnie możesz rozważyć główne typy równań kwadratowych: zredukowane i niezredukowane, a także kompletne i niekompletne.

Definicja i przykłady równań kwadratowych

Definicja.

Równanie kwadratowe jest równaniem postaci a x 2 +b x+c=0, gdzie x jest zmienną, a , b i c to pewne liczby, a a jest różne od zera.

Powiedzmy od razu, że równania kwadratowe są często nazywane równaniami drugiego stopnia. Dzieje się tak, ponieważ równanie kwadratowe to równanie algebraiczne drugi stopień.

Wybrzmiewająca definicja pozwala nam podać przykłady równań kwadratowych. Czyli 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. są równaniami kwadratowymi.

Definicja.

Liczby a , b i c są nazywane współczynniki równania kwadratowego a x 2 + b x + c=0, a współczynnik a nazywany jest pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b jest drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy x, a c jest swobodnym elementem.

Na przykład weźmy równanie kwadratowe postaci 5 x 2 -2 x−3=0, tutaj współczynnik wiodący wynosi 5, drugi współczynnik to -2, a człon swobodny to -3. Zauważ, że gdy współczynniki b i/lub c są ujemne, jak w podanym właśnie przykładzie, używana jest skrócona postać równania kwadratowego postaci 5 x 2 −2 x−3=0, a nie 5 x 2 +(− 2)x+(-3)=0.

Warto zauważyć, że gdy współczynniki a i / lub b są równe 1 lub -1, to zwykle nie są one wyraźnie obecne w zapisie równania kwadratowego, co wynika ze specyfiki zapisu takiego . Na przykład, w równaniu kwadratowym y 2 −y+3=0, wiodący współczynnik wynosi jeden, a współczynnik przy y wynosi −1.

Zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe

W zależności od wartości wiodącego współczynnika rozróżnia się zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Wywoływane jest równanie kwadratowe, w którym wiodący współczynnik wynosi 1 zredukowane równanie kwadratowe. W przeciwnym razie równanie kwadratowe to niezredukowany.

Zgodnie z tą definicją równania kwadratowe x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 itd. - zredukowany, w każdym z nich pierwszy współczynnik jest równy jeden. Oraz 5 x 2 −x−1=0 itd. - niezredukowane równania kwadratowe, ich wiodące współczynniki są różne od 1 .

Z dowolnego niezredukowanego równania kwadratowego, dzieląc obie jego części przez wiodący współczynnik, można przejść do zredukowanego. To działanie jest przekształceniem równoważnym, to znaczy, że uzyskane w ten sposób zredukowane równanie kwadratowe ma te same pierwiastki, co pierwotne niezredukowane równanie kwadratowe lub, podobnie jak ono, nie ma pierwiastków.

Weźmy przykład, jak przebiega przejście z równania kwadratowego niezredukowanego do równania zredukowanego.

Przykład.

Z równania 3 x 2 +12 x−7=0 przejdź do odpowiedniego zredukowanego równania kwadratowego.

Rozwiązanie.

Wystarczy, że dokonamy podziału obu części pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 3, jest on niezerowy, więc możemy wykonać tę czynność. Mamy (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , czyli to samo co (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , i tak dalej (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , skąd . Więc otrzymaliśmy zredukowane równanie kwadratowe, które jest równoważne pierwotnemu.

Odpowiedź:

Pełne i niepełne równania kwadratowe

W definicji równania kwadratowego występuje warunek a≠0. Warunek ten jest konieczny, aby równanie a x 2 +b x+c=0 było dokładnie kwadratowe, ponieważ przy a=0 w rzeczywistości staje się równaniem liniowym o postaci b x+c=0 .

Jeśli chodzi o współczynniki b i c, mogą one być równe zero, zarówno osobno, jak i razem. W takich przypadkach równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.

Definicja.

Wywołujemy równanie kwadratowe a x 2 +b x+c=0 niekompletny, jeśli co najmniej jeden ze współczynników b , c jest równy zero.

Z kolei

Definicja.

Pełne równanie kwadratowe to równanie, w którym wszystkie współczynniki są różne od zera.

Nazwy te nie są przypadkowe. Stanie się to jasne z poniższej dyskusji.

Jeżeli współczynnik b jest równy zero, to równanie kwadratowe przyjmuje postać a x 2 +0 x+c=0 i jest równoważne równaniu a x 2 +c=0 . Jeśli c=0 , czyli równanie kwadratowe ma postać a x 2 +b x+0=0 , to można je przepisać jako x 2 +b x=0 . A przy b=0 i c=0 otrzymujemy równanie kwadratowe a·x 2 =0. Otrzymane równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, albo obu. Stąd ich nazwa - niepełne równania kwadratowe.

Zatem równania x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 są przykładami pełnych równań kwadratowych, a x 2 =0, −2 x 2 =0,5 x 2 +3 =0 , -x 2 -5 x=0 są niekompletnymi równaniami kwadratowymi.

Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych

Z informacji zawartych w poprzednim akapicie wynika, że ​​istnieje: trzy rodzaje niepełnych równań kwadratowych:

• a x 2 = 0 , odpowiadają mu współczynniki b=0 i c=0;
• a x 2 +c=0 gdy b=0 ;
• oraz ax2+bx=0, gdy c=0 .

Przeanalizujmy, jak rozwiązywane są niekompletne równania kwadratowe każdego z tych typów.

x 2 \u003d 0

Zacznijmy od rozwiązania niepełnych równań kwadratowych, w których współczynniki b i c są równe zeru, czyli równań postaci a x 2 =0. Równanie a x 2 = 0 jest równoważne równaniu x 2 = 0, które otrzymuje się z oryginału przez podzielenie jego obu części przez niezerową liczbę a. Oczywiście pierwiastek równania x 2 \u003d 0 wynosi zero, ponieważ 0 2 \u003d 0. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co zostało wyjaśnione, rzeczywiście, dla każdej niezerowej liczby p zachodzi nierówność p 2 >0, co oznacza, że ​​dla p≠0 równość p 2 =0 nigdy nie jest osiągana.

Tak więc niekompletne równanie kwadratowe a x 2 \u003d 0 ma pojedynczy pierwiastek x \u003d 0.

Jako przykład podajemy rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego -4·x 2 =0. Jest to równoważne równaniu x 2 \u003d 0, jego jedynym pierwiastkiem jest x \u003d 0, dlatego oryginalne równanie ma jeden pierwiastek zero.

Krótkie rozwiązanie w tym przypadku może być wydane w następujący sposób:
-4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Rozważmy teraz, jak rozwiązywane są niepełne równania kwadratowe, w których współczynnik b jest równy zero, a c≠0, czyli równania postaci a x 2 +c=0. Wiemy, że przeniesienie wyrazu z jednej strony równania na drugą o przeciwnym znaku, a także podział obu stron równania przez liczbę niezerową daje równoważne równanie. W związku z tym można przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 +c=0:

• przesuń c na prawą stronę, co daje równanie a x 2 =−c,
• i dzielimy obie jego części przez a , otrzymujemy .

Otrzymane równanie pozwala nam wyciągnąć wnioski na temat jego korzeni. W zależności od wartości a i c, wartość wyrażenia może być ujemna (na przykład, jeśli a=1 i c=2 , to ) lub dodatnia (na przykład, jeśli a=−2 i c=6 , to ) nie jest równe zero , ponieważ z warunku c≠0 . Osobno przeanalizujemy przypadki i .

Jeśli , to równanie nie ma pierwiastków. Stwierdzenie to wynika z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. Wynika z tego, że gdy , to dla dowolnej liczby p równość nie może być prawdziwa.

Jeśli , to sytuacja z pierwiastkami równania jest inna. W tym przypadku, jeśli sobie przypomnimy, pierwiastek równania natychmiast staje się oczywisty, jest to liczba, ponieważ. Łatwo się domyślić, że liczba jest również pierwiastkiem równania , rzeczywiście . Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wykazać np. przez sprzeczność. Zróbmy to.

Oznaczmy właśnie dźwięczne pierwiastki równania jako x 1 i −x 1 . Załóżmy, że równanie ma inny pierwiastek x 2 różny od wskazanych pierwiastków x 1 i −x 1 . Wiadomo, że podstawienie do równania zamiast x jego pierwiastków zamienia równanie w prawdziwą równość liczbową. Dla x 1 i −x 1 mamy , a dla x 2 mamy . Własności równości liczbowych pozwalają nam na odejmowanie wyraz po wyrazie prawdziwych równości liczbowych, więc odjęcie odpowiednich części równości daje x 1 2 − x 2 2 =0. Własności operacji na liczbach pozwalają nam przepisać wynikową równość jako (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Wiemy, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest równa zeru. Zatem z otrzymanej równości wynika, że ​​x 1 −x 2 =0 i/lub x 1 +x 2 =0 , czyli to samo, x 2 =x 1 i/lub x 2 = −x 1 . Doszliśmy więc do sprzeczności, ponieważ na początku powiedzieliśmy, że pierwiastek równania x 2 jest różny od x 1 i −x 1 . To dowodzi, że równanie nie ma innych pierwiastków niż i .

Podsumujmy informacje zawarte w tym akapicie. Niepełne równanie kwadratowe a x 2 +c=0 jest równoważne równaniu , które

• nie ma korzeni, jeśli ,
• ma dwa pierwiastki i jeśli .

Rozważ przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych postaci a·x 2 +c=0 .

Zacznijmy od równania kwadratowego 9 x 2 +7=0 . Po przeniesieniu wyrazu wolnego na prawą stronę równania przyjmie on postać 9·x 2 =−7. Dzieląc obie strony otrzymanego równania przez 9 , otrzymujemy . Ponieważ po prawej stronie otrzymujemy liczbę ujemną, równanie to nie ma pierwiastków, dlatego oryginalne niepełne równanie kwadratowe 9 x 2 +7=0 nie ma pierwiastków.

Rozwiążmy jeszcze jedno niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0. Przenosimy dziewięć na prawą stronę: -x 2 \u003d -9. Teraz dzielimy obie części przez −1, otrzymujemy x 2 =9. Prawa strona zawiera liczbę dodatnią, z której wnioskujemy, że lub . Po zapisaniu odpowiedzi końcowej: niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0 ma dwa pierwiastki x=3 lub x=−3.

a x 2 +b x=0

Pozostaje zająć się rozwiązaniem ostatniego typu niepełnych równań kwadratowych dla c=0 . Niepełne równania kwadratowe postaci a x 2 +b x=0 pozwalają rozwiązać metoda faktoryzacji. Oczywiście możemy, znajdujący się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy wziąć dzielnik wspólny x z nawiasów. To pozwala nam przejść od pierwotnego niepełnego równania kwadratowego do równoważnego równania postaci x·(a·x+b)=0 . A to równanie jest równoważne układowi dwóch równań x=0 i a x+b=0 , z których ostatnie jest liniowe i ma pierwiastek x=−b/a .

Zatem niepełne równanie kwadratowe a x 2 +b x=0 ma dwa pierwiastki x=0 i x=−b/a.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie konkretnego przykładu.

Przykład.

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie.

Wyciągamy x z nawiasów, to daje równanie. Jest to równoważne dwóm równaniom x=0 i . Rozwiązujemy powstałe równanie liniowe: , a po podzieleniu liczby mieszanej przez zwykły ułamek znajdujemy . Dlatego pierwiastki pierwotnego równania to x=0 i .

Po zdobyciu niezbędnej praktyki rozwiązania takich równań można krótko pisać:

Odpowiedź:

x=0 , .

Wyróżnik, wzór pierwiastków równania kwadratowego

Aby rozwiązać równania kwadratowe, istnieje wzór na pierwiastek. Zapiszmy wzór pierwiastków równania kwadratowego: , gdzie D=b 2 −4 a c- tak zwane dyskryminator równania kwadratowego. Notacja zasadniczo oznacza, że ​​.

Warto wiedzieć, w jaki sposób uzyskano wzór pierwiastka i jak go stosuje się do znajdowania pierwiastków równań kwadratowych. Zajmijmy się tym.

Wyprowadzenie wzoru pierwiastków równania kwadratowego

Rozwiążmy równanie kwadratowe a·x 2 +b·x+c=0 . Wykonajmy kilka równoważnych przekształceń:

• Możemy podzielić obie części tego równania przez niezerową liczbę a, w wyniku czego otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe.
• Ale już wybierz pełny kwadrat po lewej stronie: . Następnie równanie przyjmie postać .
• Na tym etapie można przeprowadzić przeniesienie dwóch ostatnich terminów na prawą stronę z przeciwnym znakiem mamy .
• Przekształćmy też wyrażenie po prawej stronie: .

W rezultacie otrzymujemy równanie , które jest równoważne pierwotnemu równaniu kwadratowemu a·x 2 +b·x+c=0 .

Rozwiązaliśmy już równania o podobnej formie w poprzednich akapitach, kiedy analizowaliśmy . Pozwala to na wyciągnięcie następujących wniosków dotyczących pierwiastków równania:

• jeśli , to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań;
• jeśli , to równanie ma postać , a więc , z którego widoczny jest jego jedyny pierwiastek;
• if , then lub , czyli to samo co lub , czyli równanie ma dwa pierwiastki.

Tak więc obecność lub brak pierwiastków równania, a więc oryginalnego równania kwadratowego, zależy od znaku wyrażenia po prawej stronie. Z kolei znak tego wyrażenia jest określony przez znak licznika, ponieważ mianownik 4 a 2 jest zawsze dodatni, czyli znak wyrażenia b 2 -4 a c . To wyrażenie b 2 -4 a c nazywa się dyskryminator równania kwadratowego i oznaczone literą D. Stąd istota wyróżnika jest jasna - po jego wartości i znaku wnioskuje się, czy równanie kwadratowe ma pierwiastki rzeczywiste, a jeśli tak, to jaka jest ich liczba - jeden czy dwa.

Wracamy do równania , przepisujemy je używając notacji dyskryminatora: . I konkludujemy:

• jeśli D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jeśli D=0, to równanie to ma jeden pierwiastek;
• w końcu, jeśli D>0, to równanie ma dwa pierwiastki lub , które można przepisać w postaci lub , a po rozwinięciu i skróceniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy .

Wyprowadziliśmy więc wzory na pierwiastki z równania kwadratowego, które wyglądają tak , gdzie dyskryminator D jest obliczany ze wzoru D=b 2 -4 a c .

Z ich pomocą, z dodatnim wyróżnikiem, możesz obliczyć oba rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego. Gdy dyskryminator jest równy zero, obie formuły dają tę samą wartość pierwiastka odpowiadającą jedynemu rozwiązaniu równania kwadratowego. A z ujemnym wyróżnikiem, gdy próbujemy użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, mamy do czynienia z wyciągnięciem pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co wyprowadza nas poza ramy szkolnego programu nauczania. W przypadku ujemnego wyróżnika równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych, ale ma parę złożony koniugat korzenie, które można znaleźć za pomocą tych samych formuł, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

W praktyce, rozwiązując równanie kwadratowe, można od razu użyć wzoru pierwiastka, za pomocą którego oblicza się ich wartości. Ale chodzi bardziej o znalezienie złożonych korzeni.

Jednak na szkolnym kursie algebry zwykle mówimy nie o złożonych, ale o rzeczywistych pierwiastkach równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby najpierw znaleźć dyskryminator przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego, upewnić się, że jest nieujemny (w przeciwnym razie możemy wywnioskować, że równanie nie ma prawdziwych pierwiastków), a następnie obliczyć wartości korzeni.

Powyższe rozumowanie pozwala nam pisać algorytm rozwiązywania równania kwadratowego. Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0, potrzebujesz:

• korzystając ze wzoru dyskryminacyjnego D=b 2 -4 a c oblicz jego wartość;
• wywnioskować, że równanie kwadratowe nie ma prawdziwych pierwiastków, jeśli dyskryminator jest ujemny;
• obliczyć jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru, jeśli D=0 ;
• znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego, używając wzoru na pierwiastek, jeśli dyskryminator jest dodatni.

Tutaj tylko zauważamy, że jeśli dyskryminator jest równy zero, wzór może być również użyty, da taką samą wartość jak .

Możesz przejść do przykładów zastosowania algorytmu rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Rozważ rozwiązania trzech równań kwadratowych z dyskryminacją dodatnią, ujemną i zerową. Zajmując się ich rozwiązaniem, przez analogię będzie można rozwiązać dowolne inne równanie kwadratowe. Zaczynajmy.

Przykład.

Znajdź pierwiastki z równania x 2 +2 x−6=0 .

Rozwiązanie.

W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a=1 , b=2 i c=−6 . Zgodnie z algorytmem najpierw musisz obliczyć dyskryminator, w tym celu podstawiamy wskazane a, b i c do wzoru na dyskryminację, mamy D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Ponieważ 28>0, czyli dyskryminator jest większy od zera, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdźmy je ze wzoru na pierwiastki , otrzymujemy , tutaj możemy uprościć wyrażenia otrzymane przez wykonanie wyodrębnianie znaku korzenia następnie redukcja frakcji:

Odpowiedź:

Przejdźmy do kolejnego typowego przykładu.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe -4 x 2 +28 x−49=0 .

Rozwiązanie.

Zaczynamy od znalezienia wyróżnika: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dlatego to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, który znajdujemy jako , czyli

Odpowiedź:

x=3,5.

Pozostaje do rozważenia rozwiązanie równań kwadratowych z ujemnym dyskryminatorem.

Przykład.

Rozwiąż równanie 5 y 2 +6 y+2=0 .

Rozwiązanie.

Oto współczynniki równania kwadratowego: a=5 , b=6 ic=2 . Podstawiając te wartości do formuły dyskryminacyjnej, mamy D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Dyskryminator jest ujemny, dlatego to równanie kwadratowe nie ma prawdziwych pierwiastków.

Jeśli musisz określić złożone pierwiastki, używamy dobrze znanego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego i wykonujemy operacje na liczbach zespolonych:

Odpowiedź:

nie ma prawdziwych korzeni, złożone korzenie to: .

Po raz kolejny zauważamy, że jeśli wyróżnik równania kwadratowego jest ujemny, to szkoła zwykle od razu zapisuje odpowiedź, w której wskazują, że nie ma prawdziwych pierwiastków i nie znajdują złożonych pierwiastków.

Wzór pierwiastka dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego , gdzie D=b 2 -4 ac pozwala na uzyskanie bardziej zwartego wzoru, który pozwala rozwiązywać równania kwadratowe z parzystym współczynnikiem przy x (lub po prostu ze współczynnikiem wyglądającym jak 2 n na przykład, lub 14 ln5=2 7 ln5). Zabierzmy ją.

Powiedzmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe postaci a x 2 +2 n x + c=0 . Znajdźmy jego korzenie, korzystając ze znanej nam formuły. Aby to zrobić, obliczamy wyróżnik D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a następnie używamy formuły root:

Oznaczmy wyrażenie n 2 − a c jako D 1 (czasami oznacza się je jako D "). Wtedy wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmuje postać , gdzie D 1 =n 2 −a c .

Łatwo zauważyć, że D=4·D 1 , lub D 1 =D/4 . Innymi słowy, D 1 jest czwartą częścią dyskryminatora. Jasne jest, że znak D 1 jest taki sam jak znak D . Oznacza to, że znak D 1 jest również wskaźnikiem obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Tak więc, aby rozwiązać równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem 2 n, potrzebujesz

• Oblicz D 1 =n 2 −a·c ;
• Jeśli D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jeśli D 1 = 0, oblicz jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru;
• Jeśli D 1 > 0, to za pomocą wzoru znajdź dwa pierwiastki rzeczywiste.

Rozważ rozwiązanie przykładu za pomocą wzoru na pierwiastek otrzymanego w tym akapicie.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe 5 x 2 -6 x−32=0 .

Rozwiązanie.

Drugi współczynnik tego równania można przedstawić jako 2·(−3) . To znaczy, możesz przepisać oryginalne równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , tutaj a=5 , n=−3 i c=−32 , i obliczyć czwartą część wyróżnik: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Ponieważ jego wartość jest dodatnia, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdujemy je za pomocą odpowiedniego wzoru na pierwiastek:

Zauważ, że można było użyć zwykłego wzoru dla pierwiastków równania kwadratowego, ale w tym przypadku trzeba by wykonać więcej pracy obliczeniowej.

Odpowiedź:

Uproszczenie postaci równań kwadratowych

Czasami przed przystąpieniem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego za pomocą formuł nie zaszkodzi zadać pytanie: „Czy można uprościć formę tego równania”? Zgadzam się, że pod względem obliczeń łatwiej będzie rozwiązać równanie kwadratowe 11 x 2 -4 x -6=0 niż 1100 x 2 -400 x−600=0 .

Zwykle uproszczenie postaci równania kwadratowego uzyskuje się przez pomnożenie lub podzielenie obu jego stron przez pewną liczbę. Na przykład w poprzednim akapicie udało nam się uprościć równanie 1100 x 2 -400 x -600=0 dzieląc obie strony przez 100 .

Podobną transformację przeprowadza się za pomocą równań kwadratowych, których współczynniki nie są . W takim przypadku obie części równania są zwykle dzielone przez bezwzględne wartości jego współczynników. Na przykład weźmy równanie kwadratowe 12 x 2 −42 x+48=0. wartości bezwzględne jego współczynników: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dzieląc obie części pierwotnego równania kwadratowego przez 6 , otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 -7 x+8=0 .

A mnożenie obu części równania kwadratowego jest zwykle wykonywane, aby pozbyć się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożenie odbywa się na mianownikach jego współczynników. Na przykład, jeśli obie części równania kwadratowego są pomnożone przez LCM(6, 3, 1)=6 , to przyjmie prostszą postać x 2 +4 x−18=0 .

Podsumowując ten akapit, zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy najwyższym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki wszystkich wyrazów, co odpowiada pomnożeniu (lub podzieleniu) obu części przez -1. Na przykład zwykle z równania kwadratowego −2·x 2 −3·x+7=0 przechodzimy do rozwiązania 2·x 2 +3·x−7=0 .

Związek między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania w postaci jego współczynników. Na podstawie wzoru pierwiastków można uzyskać inne relacje między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie formuły z twierdzenia Vieta o postaci i . W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest wyrazem swobodnym. Na przykład za pomocą postaci równania kwadratowego 3 x 2-7 x+22=0 możemy od razu powiedzieć, że suma jego pierwiastków wynosi 7/3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22/3.

Korzystając z już napisanych formuł, można uzyskać szereg innych relacji między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład możesz wyrazić sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego w postaci jego współczynników: .

Bibliografia.

• Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich AG Algebra. 8 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów placówek oświatowych / A.G. Mordkovich. - 11. ed., skasowane. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ch. ISBN 978-5-346-01155-2.

”, czyli równania pierwszego stopnia. W tej lekcji będziemy badać co to jest równanie kwadratowe i jak to rozwiązać.

Co to jest równanie kwadratowe

Ważny!

Stopień równania jest określony przez najwyższy stopień, w jakim stoi niewiadoma.

Jeśli maksymalny stopień, w jakim niewiadoma stoi, wynosi „2”, to masz równanie kwadratowe.

Przykłady równań kwadratowych

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Ważny! Ogólna postać równania kwadratowego wygląda tak:

A x 2 + b x + c = 0

„a”, „b” i „c” - podane liczby.

• „a” - pierwszy lub starszy współczynnik;
• „b” - drugi współczynnik;
• „c” jest wolnym członkiem.

Aby znaleźć „a”, „b” i „c” Musisz porównać swoje równanie z ogólną postacią równania kwadratowego „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

Przećwiczmy wyznaczanie współczynników „a”, „b” i „c” w równaniach kwadratowych.

5x2 - 14x + 17 = 0 -7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Równanie	Szanse
a=5 b = −14 c = 17
a = -7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Jak rozwiązywać równania kwadratowe

W przeciwieństwie do równań liniowych do rozwiązywania równań kwadratowych używane jest specjalne równanie. formuła wyszukiwania korzeni.

Pamiętać!

Aby rozwiązać równanie kwadratowe, potrzebujesz:

• sprowadzić równanie kwadratowe do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c \u003d 0”. Oznacza to, że po prawej stronie powinno pozostać tylko „0”;
• użyj wzoru na korzenie:

Użyjmy przykładu, aby dowiedzieć się, jak zastosować wzór do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Rozwiążmy równanie kwadratowe.

X 2 - 3x - 4 = 0

Równanie „x 2 – 3x – 4 = 0” zostało już zredukowane do postaci ogólnej „ax 2 + bx + c = 0” i nie wymaga dodatkowych uproszczeń. Aby go rozwiązać, wystarczy złożyć wniosek wzór do znajdowania pierwiastków równania kwadratowego.

Zdefiniujmy współczynniki „a”, „b” i „c” dla tego równania.

x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =

Z jego pomocą rozwiązuje się dowolne równanie kwadratowe.

W formule „x 1; 2 \u003d” wyrażenie root jest często zastępowane
„b 2 − 4ac” na literę „D” i nazywamy dyskryminatorem. Pojęcie dyskryminatora zostało szerzej omówione w lekcji „Co to jest dyskryminator”.

Rozważ inny przykład równania kwadratowego.

x 2 + 9 + x = 7x

W tej postaci raczej trudno jest określić współczynniki „a”, „b” i „c”. Najpierw sprowadźmy równanie do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Teraz możesz użyć formuły dla korzeni.

X 1;2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x=

6

2

x=3
Odpowiedź: x = 3

Są chwile, kiedy w równaniach kwadratowych nie ma pierwiastków. Taka sytuacja ma miejsce, gdy w formule pod pierwiastkiem pojawia się liczba ujemna.

Dokładnie. Zgodnie ze wzorami i jasnymi, prostymi zasadami. Na pierwszym etapie

konieczne jest doprowadzenie danego równania do postaci standardowej, tj. do widoku:

Jeśli równanie jest już podane w tej formie, nie musisz robić pierwszego etapu. Najważniejsza rzecz ma rację

określić wszystkie współczynniki ale, b I C.

Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego.

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się dyskryminujący . Jak widać, aby znaleźć x, my

stosowanie tylko a, b i c. Tych. kursy od równanie kwadratowe. Wystarczy ostrożnie włożyć

wartości a, b i c do tej formuły i policzyć. Zastąp przez ich oznaki!

Na przykład, w równaniu:

ale =1; b = 3; C = -4.

Zastąp wartości i napisz:

Przykład prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Najczęstsze błędy to pomylenie ze znakami wartości a, b I od. Raczej z podstawieniem

wartości ujemne we wzorze do obliczania korzeni. Tutaj zapisuje szczegółowy wzór

z określonymi numerami. Jeśli są problemy z obliczeniami, zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj a = -6; b = -5; C = -1

Malujemy wszystko szczegółowo, starannie, nie gubiąc niczego ze wszystkimi znakami i nawiasami:

Często równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów.

Pierwsze przyjęcie. Nie bądź leniwy wcześniej rozwiązywanie równania kwadratowego doprowadź go do standardowej formy.

Co to znaczy?

Załóżmy, że po dowolnych przekształceniach otrzymasz następujące równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę korzeni! Prawie na pewno pomieszasz szanse a, b i c.

Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw x do kwadratu, potem bez kwadratu, potem wolny członek. Lubię to:

Pozbądź się minusa. W jaki sposób? Całe równanie musimy pomnożyć przez -1. Otrzymujemy:

A teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i uzupełnić przykład.

Zdecyduj sam. Powinieneś otrzymać pierwiastki 2 i -1.

Drugie przyjęcie. Sprawdź swoje korzenie! Przez Twierdzenie Viety.

Aby rozwiązać podane równania kwadratowe, tj. jeśli współczynnik

x2+bx+c=0,

następniex 1 x 2 = c

x1 +x2 =−b

Dla pełnego równania kwadratowego, w którym a≠1:

x 2 +bx+C=0,

podziel całe równanie przez ale:

→ →

gdzie x 1 I x 2 - pierwiastki równania.

Odbiór trzeci. Jeśli twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Zwielokrotniać

równanie na wspólny mianownik.

Wyjście. Praktyczne wskazówki:

1. Przed rozwiązaniem równanie kwadratowe doprowadzamy do postaci standardowej, budujemy je prawidłowy.

2. Jeśli przed x w kwadracie znajduje się ujemny współczynnik, eliminujemy go mnożąc wszystko

równania dla -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni

czynnik.

4. Jeśli x do kwadratu jest czyste, współczynnik dla niego jest równy jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić za pomocą

W prostszy sposób. Aby to zrobić, wyjmij z z nawiasów. Otrzymujesz: z(az + b) = 0. Czynniki można zapisać: z=0 i az + b = 0, ponieważ oba mogą dać zero. W zapisie az + b = 0 drugi znak przesuwamy w prawo z innym znakiem. Stąd otrzymujemy z1 = 0 i z2 = -b/а. To są korzenie oryginału.

Jeśli istnieje niekompletne równanie postaci az² + c \u003d 0, w tym przypadku można je znaleźć, po prostu przenosząc wyraz wolny na prawą stronę równania. Zmień także jego znak. Otrzymujesz rekord az² \u003d -s. Ekspresowe z² = -c/a. Weź pierwiastek i zapisz dwa rozwiązania - dodatnią i ujemną wartość pierwiastka kwadratowego.

Notatka

Jeśli w równaniu występują współczynniki ułamkowe, pomnóż całe równanie przez odpowiedni współczynnik, aby pozbyć się ułamków.

Wiedza o tym, jak rozwiązywać równania kwadratowe, jest niezbędna zarówno uczniom, jak i studentom, czasami może pomóc dorosłemu w życiu codziennym. Istnieje kilka konkretnych metod decyzyjnych.

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Równanie kwadratowe postaci a*x^2+b*x+c=0. Współczynnik x to pożądana zmienna, a, b, c - współczynniki liczbowe. Pamiętaj, że znak „+” może zmienić się w znak „-”.

Aby rozwiązać to równanie, musisz użyć twierdzenia Vieta lub znaleźć dyskryminator. Najpopularniejszym sposobem jest znalezienie dyskryminatora, ponieważ dla niektórych wartości a, b, c nie można użyć twierdzenia Vieta.

Aby znaleźć dyskryminator (D), musisz napisać wzór D=b^2 - 4*a*c. Wartość D może być większa, mniejsza lub równa zero. Jeśli D jest większe lub mniejsze od zera, to będą dwa pierwiastki, jeśli D = 0, to pozostanie tylko jeden pierwiastek, a dokładniej możemy powiedzieć, że D w tym przypadku ma dwa równoważne pierwiastki. Podstaw znane współczynniki a, b, c do wzoru i oblicz wartość.

Po znalezieniu dyskryminatora, aby znaleźć x, użyj formuł: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a gdzie sqrt jest funkcją, która wyciąga pierwiastek kwadratowy z podanej liczby. Po obliczeniu tych wyrażeń znajdziesz dwa pierwiastki swojego równania, po których równanie jest uważane za rozwiązane.

Jeśli D jest mniejsze od zera, to nadal ma pierwiastki. W szkole ta sekcja praktycznie nie jest badana. Studenci powinni mieć świadomość, że pod pierwiastkiem pojawia się liczba ujemna. Pozbywamy się go, oddzielając część urojoną, czyli -1 pod pierwiastkiem jest zawsze równe elementowi urojonemu „i”, który jest pomnożony przez pierwiastek o tej samej liczbie dodatniej. Na przykład, jeśli D=sqrt(-20), po przekształceniu otrzymuje się D=sqrt(20)*i. Po tej transformacji rozwiązanie równania sprowadza się do tego samego znalezienia pierwiastków, jak opisano powyżej.

Twierdzenie Viety polega na wyborze wartości x(1) ix(2). Stosowane są dwa identyczne równania: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Ponadto bardzo ważnym punktem jest znak przed współczynnikiem b, pamiętajmy, że ten znak jest przeciwny do znaku w równaniu. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że obliczenie x(1) i x(2) jest bardzo proste, ale przy rozwiązywaniu napotkasz fakt, że liczby będą musiały być dokładnie dobrane.

Elementy do rozwiązywania równań kwadratowych

Zgodnie z zasadami matematyki niektóre można rozłożyć na czynniki: (a + x (1)) * (bx (2)) \u003d 0, jeśli udało ci się przekształcić to równanie kwadratowe w ten sposób za pomocą formuł matematycznych, możesz zapisz odpowiedź. x(1) i x(2) będą równe sąsiednim współczynnikom w nawiasach, ale z przeciwnym znakiem.

Nie zapomnij też o niepełnych równaniach kwadratowych. Być może brakuje niektórych terminów, jeśli tak, to wszystkie jego współczynniki są po prostu równe zeru. Jeśli x^2 lub x jest poprzedzone niczym, to współczynniki a i b są równe 1.