Przykłady trygonometrii. Równania trygonometryczne
Rozwiązując wiele problemy matematyczne, zwłaszcza te, które występują przed klasą 10, kolejność wykonywanych czynności, które doprowadzą do celu, jest jasno określona. Takie problemy obejmują na przykład równania liniowe i kwadratowe, liniowe i nierówności kwadratowe, równania ułamkowe i równania, które redukują się do kwadratu. Zasada pomyślnego rozwiązania każdego z wymienionych zadań jest następująca: konieczne jest ustalenie, jaki rodzaj zadania jest rozwiązywane, zapamiętanie niezbędnej sekwencji działań, które doprowadzą do pożądanego rezultatu, tj. odpowiedz i wykonaj następujące kroki.
Oczywiście sukces lub porażka w rozwiązaniu konkretnego problemu zależy głównie od tego, jak poprawnie określony jest typ rozwiązywanego równania, jak poprawnie odtwarzana jest kolejność wszystkich etapów jego rozwiązania. Oczywiście konieczne jest posiadanie umiejętności wykonywania identyczne przekształcenia i informatyka.
Inna sytuacja ma miejsce z równania trygonometryczne. Nie jest trudno ustalić, że równanie jest trygonometryczne. Trudności pojawiają się przy ustalaniu kolejności działań, które prowadzą do prawidłowej odpowiedzi.
Przez wygląd równaniach czasami trudno jest określić ich rodzaj. A bez znajomości rodzaju równania wybór właściwego z kilkudziesięciu wzorów trygonometrycznych jest prawie niemożliwy.
Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, musimy spróbować:
1. sprowadzić wszystkie funkcje zawarte w równaniu do „tych samych kątów”;
2. sprowadzić równanie do „tych samych funkcji”;
3. faktoryzuj lewą stronę równania itp.
Rozważać podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
I. Redukcja do najprostszych równań trygonometrycznych
Schemat rozwiązania
Krok 1. Wyraź funkcję trygonometryczną w postaci znanych składowych.
Krok 2 Znajdź argument funkcji za pomocą formuł:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n arcsw a + πn, n Є Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
Krok 3 Znajdź nieznaną zmienną.
Przykład.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Rozwiązanie.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Odpowiedź: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Zmienna substytucja
Schemat rozwiązania
Krok 1. Sprowadź równanie do postaci algebraicznej w odniesieniu do jednej z funkcji trygonometrycznych.
Krok 2 Oznacz wynikową funkcję zmienną t (w razie potrzeby wprowadź ograniczenia na t).
Krok 3 Nagrywaj i rozwiązuj równanie algebraiczne.
Krok 4 Dokonaj odwrotnego podstawienia.
Krok 5 Rozwiąż najprostsze równanie trygonometryczne.
Przykład.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Rozwiązanie.
1) 2(1 - grzech 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Niech grzech (x/2) = t, gdzie |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 lub e = -3/2 nie spełnia warunku |t| ≤ 1.
4) grzech (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Odpowiedź: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metoda redukcji rzędu równań
Schemat rozwiązania
Krok 1. Zastępować podane równanie liniowy, używając do tego wzorów redukcyjnych:
grzech 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Krok 2 Rozwiąż otrzymane równanie za pomocą metod I i II.
Przykład.
cos2x + cos2x = 5/4.
Rozwiązanie.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 co 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Odpowiedź: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Równania jednorodne
Schemat rozwiązania
Krok 1. Sprowadź to równanie do postaci
a) a sin x + b cos x = 0 (jednorodne równanie pierwszego stopnia)
lub do widoku
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (równanie jednorodne drugiego stopnia).
Krok 2 Podziel obie strony równania przez
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
i uzyskaj równanie dla tg x:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Krok 3 Rozwiąż równanie znanymi metodami.
Przykład.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Rozwiązanie.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.
3) Niech tg x = t, wtedy
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 lub t = -4, więc
tg x = 1 lub tg x = -4.
Z pierwszego równania x = π/4 + πn, n Є Z; z drugiego równania x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Odpowiedź: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metoda przekształcania równania za pomocą wzorów trygonometrycznych
Schemat rozwiązania
Krok 1. Korzystanie ze wszystkich rodzajów formuły trygonometryczne, sprowadź to równanie do równania rozwiązanego metodami I, II, III, IV.
Krok 2 Rozwiąż otrzymane równanie przy użyciu znanych metod.
Przykład.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Rozwiązanie.
1) (sin x + grzech 3x) + grzech 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) grzech 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 lub 2cos x + 1 = 0;
Z pierwszego równania 2x = π/2 + πn, n Є Z; z drugiego równania cos x = -1/2.
Mamy x = π/4 + πn/2, n Є Z; z drugiego równania x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
W rezultacie x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Odpowiedź: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Umiejętność i umiejętności rozwiązywania równań trygonometrycznych są bardzo 
ważne, ich rozwój wymaga dużego wysiłku, zarówno ze strony ucznia, jak i nauczyciela.
Z rozwiązywaniem równań trygonometrycznych związanych jest wiele problemów stereometrii, fizyki itp. Proces rozwiązywania takich problemów niejako zawiera wiele wiedzy i umiejętności, które nabywa się podczas studiowania elementów trygonometrii.
Równania trygonometryczne zajmują ważne miejsce w procesie nauczania matematyki i ogólnie rozwoju osobowości.
Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!
strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować o tym wyjątkowe oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.
Ujawnianie osobom trzecim
Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.
Wyjątki:
- W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie próśb publicznych lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Zachowanie prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Lekcja i prezentacja na temat: „Rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii! Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.
Instrukcje i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 10 od 1C
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania do budowania w przestrzeni
Środowisko programowe „1C: Konstruktor matematyczny 6.1”
Co będziemy studiować:
1. Czym są równania trygonometryczne?
3. Dwie główne metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
4. Jednorodne równania trygonometryczne.
5. Przykłady.
Czym są równania trygonometryczne?
Chłopaki, przestudiowaliśmy już arcus sinus, arccosinus, arcus tangens i arccotangens. Przyjrzyjmy się teraz ogólnie równaniom trygonometrycznym.
Równania trygonometryczne - równania, w których zmienna zawarta jest pod znakiem funkcji trygonometrycznej.
Powtarzamy formę rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych:
1) Jeżeli |а|≤ 1, to równanie cos(x) = a ma rozwiązanie:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Jeżeli |а|≤ 1, to równanie sin(x) = a ma rozwiązanie:
3) Jeżeli |a| > 1, to równanie sin(x) = a oraz cos(x) = a nie mają rozwiązań 4) Równanie tg(x)=a ma rozwiązanie: x=arctg(a)+ πk
5) Równanie ctg(x)=a ma rozwiązanie: x=arcctg(a)+ πk
We wszystkich formułach k jest liczbą całkowitą
Najprostsze równania trygonometryczne mają postać: Т(kx+m)=a, T- dowolna funkcja trygonometryczna.
Przykład.Rozwiąż równania: a) sin(3x)= √3/2
Rozwiązanie:
A) Oznaczmy 3x=t, wtedy przepiszemy nasze równanie w postaci:
Rozwiązaniem tego równania będzie: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.
Z tabeli wartości otrzymujemy: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Wróćmy do naszej zmiennej: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Wtedy x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Odpowiedź: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdzie n jest liczbą całkowitą. (-1)^n - minus jeden do potęgi n.
Więcej przykładów równań trygonometrycznych.
Rozwiąż równania: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x-π/3)= √3Rozwiązanie:
A) Tym razem od razu przejdziemy do obliczenia pierwiastków równania:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Wtedy x/5= πk => x=5πk
Odpowiedź: x=5πk, gdzie k jest liczbą całkowitą.
B) Piszemy w postaci: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Wiemy, że: arctg(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Odpowiedź: x=2π/9 + πk/3, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Rozwiąż równania: cos(4x)= √2/2. I znajdź wszystkie korzenie w segmencie.
Rozwiązanie:
Decyzję podejmiemy za ogólny widok nasze równanie: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Zobaczmy teraz, jakie korzenie spadają na nasz segment. Dla k Dla k=0, x= π/16 jesteśmy w danym odcinku.
Przy k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, uderzają ponownie.
Dla k=2, x= π/16+ π=17π/16, ale tutaj nie trafiliśmy, co oznacza, że nie trafimy również dla dużego k.
Odpowiedź: x= π/16, x= 9π/16
Dwie główne metody rozwiązania.
Rozważaliśmy najprostsze równania trygonometryczne, ale są też bardziej złożone. Do ich rozwiązania wykorzystuje się metodę wprowadzania nowej zmiennej oraz metodę faktoryzacji. Spójrzmy na przykłady.Rozwiążmy równanie:
Rozwiązanie:
Do rozwiązania równania posługujemy się metodą wprowadzenia nowej zmiennej, oznaczanej: t=tg(x).
W wyniku zamiany otrzymujemy: t 2 + 2t -1 = 0
Znajdźmy korzenie równanie kwadratowe: t=-1 i t=1/3
Następnie tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, otrzymaliśmy najprostsze równanie trygonometryczne, znajdźmy jego pierwiastki.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Odpowiedź: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Przykład rozwiązania równania
Rozwiąż równania: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Rozwiązanie:
Użyjmy tożsamości: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Nasze równanie to: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0
Wprowadźmy zamianę t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Rozwiązaniem naszego równania kwadratowego są pierwiastki: t=2 i t=-1/2
Wtedy cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.
Dlatego cosinus nie może przyjmować wartości większych niż jeden, wtedy cos(x)=2 nie ma pierwiastków.
Dla cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Odpowiedź: x= ±2π/3 + 2πk
Równania trygonometryczne jednorodne.
Definicja: Równanie postaci a sin(x)+b cos(x) nazywamy jednorodnymi równaniami trygonometrycznymi pierwszego stopnia.Równania postaci
jednorodne równania trygonometryczne II stopnia.
Aby rozwiązać jednorodne równanie trygonometryczne pierwszego stopnia dzielimy je przez cos(x): 
Nie możesz dzielić przez cosinus, jeśli to jest zero, upewnijmy się, że nie:
Niech cos(x)=0, to asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale jednocześnie sinus i cosinus nie są równe zeru, mamy sprzeczność, więc możemy spokojnie podzielić przez zero.
Rozwiązać równanie:
Przykład: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Rozwiązanie:
Wyjmij wspólny dzielnik: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Następnie musimy rozwiązać dwa równania:
cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 dla x= π/2 + πk;
Rozważmy równanie cos(x)+sin(x)=0 Podziel nasze równanie przez cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Odpowiedź: x= π/2 + πk oraz x= -π/4+πk
Jak rozwiązywać jednorodne równania trygonometryczne drugiego stopnia?
Chłopaki, zawsze trzymajcie się tych zasad!
1. Zobacz, jaki jest współczynnik a, jeśli a \u003d 0 to nasze równanie przyjmie postać cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), którego przykład rozwiązania znajduje się na poprzednim ślizgać się
2. Jeśli a≠0, to musisz podzielić obie części równania przez cosinus do kwadratu, otrzymujemy:
Dokonujemy zmiany zmiennej t=tg(x) otrzymujemy równanie:
Rozwiąż Przykład #:3
Rozwiązać równanie:Rozwiązanie:
Podziel obie strony równania przez cosinus kwadrat: 
Dokonujemy zmiany zmiennej t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Znajdź pierwiastki równania kwadratowego: t=-3 i t=1
Wtedy: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Odpowiedź: x=-arctg(3) + πk oraz x= π/4+ πk
Rozwiąż Przykład #: 4
Rozwiązać równanie:Rozwiązanie:
Przekształćmy nasze wyrażenie:
Możemy rozwiązać takie równania: x= - π/4 + 2πk oraz x=5π/4 + 2πk
Odpowiedź: x= - π/4 + 2πk oraz x=5π/4 + 2πk
Rozwiąż Przykład #:5
Rozwiązać równanie:Rozwiązanie:
Przekształćmy nasze wyrażenie:
Wprowadzamy zamiennik tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Rozwiązaniem naszego równania kwadratowego będą pierwiastki: t=-2 i t=1/2
Wtedy otrzymujemy: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Odpowiedź: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Zadania do samodzielnego rozwiązania.
1) Rozwiąż równanieA) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7
2) Rozwiąż równania: sin(3x)= √3/2. I znajdź wszystkie pierwiastki na odcinku [π/2; π].
3) Rozwiąż równanie: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0
4) Rozwiąż równanie: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Rozwiąż równanie: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) Rozwiąż równanie: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Nie jest tajemnicą, że sukces lub porażka w procesie rozwiązywania prawie każdego problemu zależy głównie od poprawności definicji typu. podane równanie, a także na poprawnym odtworzeniu sekwencji wszystkich etapów jego rozwiązania. Jednak w przypadku równań trygonometrycznych stwierdzenie, że równanie jest trygonometryczne wcale nie jest trudne. Ale w procesie określania sekwencji działań, które powinny nas doprowadzić do prawidłowej odpowiedzi, możemy napotkać pewne trudności. Zastanówmy się, jak poprawnie rozwiązywać równania trygonometryczne od samego początku.
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, musisz spróbować wykonać następujące punkty:
- Wszystkie funkcje zawarte w naszym równaniu doprowadzamy do „tych samych kątów”;
- Konieczne jest sprowadzenie danego równania do „funkcji identycznych”;
- Rozkładamy lewą stronę danego równania na czynniki lub inne niezbędne składniki.
Metody
Metoda 1. Konieczne jest rozwiązywanie takich równań w dwóch etapach. Najpierw przekształcamy równanie w celu uzyskania jego najprostszej (uproszczonej) postaci. Równanie: Cosx = a, Sinx = a i tym podobne nazywane są najprostszymi równaniami trygonometrycznymi. Drugim krokiem jest rozwiązanie powstałego prostego równania. Należy zauważyć, że najprostsze równanie można rozwiązać metodą algebraiczną, która jest nam dobrze znana ze szkolnego kursu algebry. Nazywana jest również metodą substytucji i substytucji zmiennych. Za pomocą formuł redukcyjnych musisz najpierw przekonwertować, następnie dokonać wymiany, a następnie znaleźć korzenie.
Następnie musisz rozłożyć nasze równanie na możliwe czynniki, w tym celu musisz przesunąć wszystkie wyrazy w lewo, a następnie możesz rozłożyć na czynniki. Teraz musisz doprowadzić to równanie do jednorodnego, w którym wszystkie wyrazy są równe w tym samym stopniu, a cosinus i sinus mają ten sam kąt.
Przed rozwiązaniem równań trygonometrycznych należy przenieść jego wyrazy na lewą stronę, biorąc je z prawej strony, a następnie wyjmujemy wszystkie wspólne mianowniki w nawiasach. Przyrównujemy nasze nawiasy i czynniki do zera. Nasze nawiasy równoważne są równaniem jednorodnym o zredukowanym stopniu, które należy podzielić przez sin(cos) do najwyższej potęgi. Teraz rozwiązujemy równanie algebraiczne, które zostało otrzymane w odniesieniu do tg.
Metoda 2. Inną metodą rozwiązania równania trygonometrycznego jest przejście do kąta połówkowego. Na przykład rozwiązujemy równanie: 3sinx-5cosx=7.
Musimy przejść do połowy kąta, w naszym przypadku jest to: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2) Następnie redukujemy wszystkie warunki do jednej części (dla wygody lepiej wybrać właściwą) i przystępujemy do rozwiązywania równania.
W razie potrzeby możesz wprowadzić kąt pomocniczy. Dzieje się tak, gdy trzeba zastąpić liczbę całkowitą sin (a) lub cos (a), a znak „a” działa tylko jako kąt pomocniczy.
produkt do zsumowania
Jak rozwiązywać równania trygonometryczne za pomocą iloczynu sumy? Do rozwiązywania takich równań można również zastosować metodę znaną jako konwersja iloczynu na sumę. W takim przypadku konieczne jest skorzystanie ze wzorów odpowiadających równaniu.
Na przykład mamy równanie: 2sinx * sin3x= cos4x
Musimy rozwiązać ten problem, przeliczając lewą stronę na sumę, a mianowicie:
cos 4x –cos8x=cos4x ,
x = p/16 + pk/8.
Jeśli powyższe metody nie są odpowiednie, a nadal nie wiesz, jak rozwiązać najprostsze równania trygonometryczne, możesz użyć innej metody - uniwersalnego podstawienia. Dzięki niemu możesz przekształcić wyrażenie i dokonać wymiany. Na przykład: Cos(x/2)=u. Teraz możemy rozwiązać równanie z zadanym parametrem u. A po otrzymaniu pożądanego rezultatu nie zapomnij przetłumaczyć tej wartości na coś przeciwnego.
Wielu „doświadczonym” studentom radzi się, aby zwracali się do ludzi online w celu rozwiązania równań. Jak rozwiązać równanie trygonometryczne online, pytasz. Do rozwiązania online problemy, możesz zwrócić się do odpowiednich forów tematycznych, gdzie mogą pomóc w poradach lub w rozwiązaniu problemu. Ale najlepiej spróbować samemu sobie poradzić.
Umiejętności i umiejętności rozwiązywania równań trygonometrycznych są bardzo ważne i przydatne. Ich rozwój będzie wymagał od Ciebie dużego wysiłku. Z rozwiązaniem takich równań związanych jest wiele problemów w fizyce, stereometrii itp. A sam proces rozwiązywania takich problemów implikuje obecność umiejętności i wiedzy, które można zdobyć podczas studiowania elementów trygonometrii.
Naucz się formuł trygonometrycznych
W procesie rozwiązywania równania możesz napotkać potrzebę użycia dowolnego wzoru z trygonometrii. Możesz oczywiście zacząć szukać go w swoich podręcznikach i ściągawkach. A jeśli te formuły włożysz sobie do głowy, nie tylko oszczędzisz nerwy, ale też znacznie ułatwisz sobie zadanie, nie tracąc czasu na szukanie potrzebnych informacji. W ten sposób będziesz miał okazję przemyśleć najbardziej racjonalny sposób rozwiązania problemu.
Podano stosunki między głównymi funkcjami trygonometrycznymi - sinus, cosinus, tangens i cotangens formuły trygonometryczne. A ponieważ istnieje wiele połączeń między funkcjami trygonometrycznymi, wyjaśnia to również obfitość formuł trygonometrycznych. Niektóre formuły łączą funkcje trygonometryczne tego samego kąta, inne - funkcje kąta wielokrotnego, inne - pozwalają obniżyć stopień, czwarta - wyraża wszystkie funkcje przez styczną półkąta itp.
W tym artykule wymienimy w kolejności wszystkie podstawowe wzory trygonometryczne, które wystarczą do rozwiązania ogromnej większości problemów trygonometrycznych. Dla ułatwienia zapamiętywania i używania pogrupujemy je według ich przeznaczenia i wprowadzimy do tabel.
Nawigacja po stronach.
Podstawowe tożsamości trygonometryczne
Główny tożsamości trygonometryczne ustawić relację między sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem jednego kąta. Wynikają one z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa oraz pojęcia okręgu jednostkowego. Pozwalają wyrazić jedną funkcję trygonometryczną za pomocą dowolnej innej.
Szczegółowy opis tych wzorów trygonometrycznych, ich wyprowadzenie i przykłady zastosowań można znaleźć w artykule.
Formuły odlewane
Formuły odlewane wynikają z własności sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, czyli odzwierciedlają własność periodyczności funkcji trygonometrycznych, własność symetrii, a także własność przesunięcia o zadany kąt. Te wzory trygonometryczne pozwalają przejść od pracy z dowolnymi kątami do pracy z kątami od zera do 90 stopni.
uzasadnienie tych formuł, reguła mnemoniczna do ich zapamiętywania i przykłady ich zastosowania można przestudiować w artykule.
Formuły dodawania
Wzory trygonometryczne dodawania pokazać, w jaki sposób funkcje trygonometryczne sumy lub różnicy dwóch kątów są wyrażane w kategoriach funkcji trygonometrycznych tych kątów. Wzory te służą jako podstawa do wyprowadzenia następujących wzorów trygonometrycznych.
Formuły dla podwójnych, potrójnych itp. kąt
Formuły dla podwójnych, potrójnych itp. kąt (są one również nazywane formułami wielu kątów) pokazują, w jaki sposób funkcje trygonometryczne podwójne, potrójne itp. kąty () są wyrażone w funkcjach trygonometrycznych pojedynczego kąta. Ich wyprowadzenie opiera się na wzorach dodawania.
Bardziej szczegółowe informacje są gromadzone w formułach artykułów dla podwójnych, potrójnych itp. kąt .
Wzory półkątowe
Wzory połówkowe pokaż, jak funkcje trygonometryczne półkąta są wyrażone w postaci cosinusa kąta całkowitego. Te wzory trygonometryczne wynikają z wzorów podwójnego kąta.
Ich wnioski i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.
Formuły redukcyjne
Wzory trygonometryczne na malejące stopnie są zaprojektowane tak, aby ułatwić przejście od naturalnych potęg funkcji trygonometrycznych do sinusów i cosinusów w pierwszym stopniu, ale pod różnymi kątami. Innymi słowy, pozwalają zredukować potęgi funkcji trygonometrycznych do pierwszego.
Wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych
główny cel wzory na sumę i różnicę dla funkcji trygonometrycznych polega na przejściu do iloczynu funkcji, co jest bardzo przydatne przy upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych. Wzory te są również szeroko stosowane w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych, ponieważ pozwalają na faktoryzację sumy i różnicy sinusów i cosinusów.
Wzory na iloczyn sinusów, cosinusów i sinus przez cosinus
Przejście od iloczynu funkcji trygonometrycznych do sumy lub różnicy odbywa się za pomocą wzorów na iloczyn sinusów, cosinusów i sinusa po cosinusie.
Prawa autorskie autorstwa sprytnych studentów
Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część strony internetowej, w tym materiały wewnętrzne I projekt zewnętrzny nie mogą być powielane w żadnej formie ani używane bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.
Polecamy również
Zasilacz impulsowy: naprawa i udoskonalenie
Zdalne sterowanie światłem
Lekcje pływania dla dzieci w wieku przedszkolnym
Uwagi dla mistrza - domowe alarmy domowe
Śmigło zegarowe w Atmega8
Przykłady zastosowania urządzenia i przekaźnika, jak prawidłowo dobrać i podłączyć przekaźnik Mikrokontroler i proste obwody przełączające przekaźnika
Ładowanie...