Formuły odlewania z pełnym wyjaśnieniem stopni. Wzory redukcyjne: dowód, przykłady, reguła mnemoniczna

Temat lekcji

Zmiana sinusa, cosinusa i tangensa wraz ze wzrostem kąta.

Cele Lekcji

Zapoznaj się z nowymi definicjami i przypomnij sobie niektóre już przestudiowane.
Zapoznaj się ze schematem zmian wartości sinusa, cosinusa i tangensa wraz ze wzrostem kąta.
Rozwijanie - rozwijanie uwagi, wytrwałości, wytrwałości uczniów, logiczne myślenie, mowa matematyczna.
Edukacyjny - poprzez lekcję, pielęgnowanie uważnego stosunku do siebie, zaszczepienie umiejętności słuchania towarzyszy, wzajemnej pomocy, niezależności.

Cele Lekcji

Sprawdź wiedzę uczniów.

Plan lekcji

Powtórzenie wcześniej poznanego materiału.
Powtarzalne zadania.
Zmiana sinusa, cosinusa i tangensa wraz ze wzrostem kąta.
Praktyczne użycie.

Powtórzenie wcześniej przestudiowanego materiału

Zacznijmy od samego początku i pamiętajmy, co przyda się do odświeżenia Twojej pamięci. Czym jest sinus, cosinus i tangens oraz do jakiej sekcji geometrii należą te pojęcia.

Trygonometria- to takie skomplikowane greckie słowo: trygonon - trójkąt, metro - miara. Dlatego w języku greckim oznacza: mierzone trójkątami.

Przedmioty > Matematyka > Matematyka Klasa 8

Trygonometria Wzory redukcyjne.

Formuł rzucania nie trzeba uczyć, trzeba je zrozumieć. Zapoznaj się z algorytmem ich wyników. To bardzo łatwe!

Weźmy koło jednostkowe i umieśćmy na nim wszystkie miary stopni (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).

Przeanalizujmy funkcje sin(a) i cos(a) w każdym kwartale.

Pamiętaj, że patrzymy na funkcję sin (a) wzdłuż osi Y i funkcję cos (a) na osi X.

W pierwszym kwartale widać, że funkcja grzech(a)>0
I funkcja cos(a)>0
Pierwszy kwartał można opisać za pomocą miary stopnia, jako (90-α) lub (360+α).

W drugim kwartale widać, że funkcja grzech(a)>0, ponieważ oś Y jest w tym kwartale dodatnia.
Funkcja cos(a), ponieważ oś x jest ujemna w tej ćwiartce.
Drugi kwartał można opisać za pomocą miary stopnia, jako (90+α) lub (180-α).

W trzecim kwartale widać, że funkcje grzech Trzeci kwartał można opisać w stopniach jako (180+α) lub (270-α).

W czwartym kwartale widać, że funkcja sin(a), ponieważ oś y jest ujemna w tej ćwiartce.
Funkcja cos(a)>0, ponieważ oś X jest w tym kwartale dodatnia.
Czwarty kwartał można opisać w stopniach jako (270+α) lub (360-α).

Przyjrzyjmy się teraz samym formułom redukcyjnym.

Pamiętajmy o prostym algorytm:
1. Jedna czwarta.(Zawsze patrz, w jakim kwartale jesteś).
2. Podpisać.(Dla kwartału patrz dodatnie lub ujemne funkcje cosinusa lub sinusa).
3. Jeśli masz (90° lub π/2) i (270° lub 3π/2) w nawiasach, to zmiany funkcji.

I tak zaczynamy rozkładać ten algorytm na ćwiartki.

Dowiedz się, jakie wyrażenie cos(90-α) będzie równe
Porozmawiajmy o algorytmie:
1. Ćwierć pierwsza.

Będzie cos(90-α) = sin(α)

Dowiedz się, jakie będzie wyrażenie sin (90-α)
Porozmawiajmy o algorytmie:
1. Ćwierć pierwsza.

Będzie sin(90-α) = cos(α)

Dowiedz się, jakie wyrażenie cos(360+α) będzie równe
Porozmawiajmy o algorytmie:
1. Ćwierć pierwsza.
2. W pierwszym kwartale znak funkcji cosinus jest dodatni.

Będzie cos(360+α) = cos(α)

Dowiedz się, jakie będzie wyrażenie sin (360 + α)
Porozmawiajmy o algorytmie:
1. Ćwierć pierwsza.
2. W pierwszym kwartale znak funkcji sinus jest dodatni.
3. Brak (90° lub π/2) i (270° lub 3π/2) w nawiasach, funkcja nie zmienia się.
Będzie sin(360+α) = sin(α)

Dowiedz się, jakie wyrażenie cos(90+α) będzie równe
Porozmawiajmy o algorytmie:
1. Kwartał drugi.

3. W nawiasach (90 ° lub π / 2), funkcja zmienia się z cosinus na sinus.
Będzie cos(90+α) = -sin(α)

Dowiedz się, jakie będzie wyrażenie sin (90 + α)
Porozmawiajmy o algorytmie:
1. Kwartał drugi.

3. W nawiasach (90 ° lub π / 2), funkcja zmienia się z sinusa na cosinus.
Będzie sin(90+α) = cos(α)

Dowiedz się, jakie wyrażenie cos(180-α) będzie równe
Porozmawiajmy o algorytmie:
1. Kwartał drugi.
2. W drugim kwartale znak funkcji cosinus jest ujemny.
3. Brak (90° lub π/2) i (270° lub 3π/2) w nawiasach, funkcja nie zmienia się.
Będzie cos(180-α) = cos(α)

Dowiedz się, jakie będzie wyrażenie sin (180-α)
Porozmawiajmy o algorytmie:
1. Kwartał drugi.
2. W drugim kwartale znak funkcji sinus jest dodatni.
3. Brak (90° lub π/2) i (270° lub 3π/2) w nawiasach, funkcja nie zmienia się.
Będzie grzech(180-α) = grzech(α)

W podobny sposób mówię o trzecim i czwartym kwartale, zrobimy tabelę:

Subskrybuj na kanał na YOUTUBE i obejrzyj film, przygotuj się z nami do egzaminów z matematyki i geometrii.

Definicja. Formuły redukcyjne to formuły, które pozwalają przejść od funkcje trygonometryczne rodzaj funkcji argumentu. Za ich pomocą sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta można sprowadzić do sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta od 0 do 90 stopni (od 0 do radianów). Zatem formuły redukcyjne pozwalają nam przejść do pracy z kątami w zakresie 90 stopni, co jest niewątpliwie bardzo wygodne.

Formuły odlewów:

Istnieją dwie zasady korzystania z formuł rzutowania.

1. Jeśli kąt można przedstawić jako (π/2 ±a) lub (3*π/2 ±a), to zmiana nazwy funkcji grzech do Kos, cos do grzechu, tg do ctg, ctg do tg. Jeśli kąt można przedstawić jako (π ±a) lub (2*π ±a), to nazwa funkcji pozostaje niezmieniona.

Spójrz na poniższy rysunek, który schematycznie pokazuje, kiedy znak powinien zostać zmieniony, a kiedy nie.

2. Zredukowany znak funkcyjny pozostaje takie samo. Jeśli pierwotna funkcja miała znak plus, to zredukowana funkcja również ma znak plus. Jeśli oryginalna funkcja miała znak minus, to zredukowana funkcja również ma znak minus.

Poniższy rysunek przedstawia znaki głównych funkcji trygonometrycznych w zależności od ćwiartki.

Przykład:

Oblicz

Wykorzystajmy formuły redukcyjne:

Grzech(150˚) jest w drugiej ćwiartce, z rysunku widać, że znak grzechu w tej ćwiartce jest równy „+”. Oznacza to, że powyższa funkcja będzie miała również znak „+”. Zastosowaliśmy drugą zasadę.

Teraz 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ to π/2. Czyli mamy do czynienia z przypadkiem π/2 + 60, dlatego zgodnie z pierwszą zasadą zmieniamy funkcję z sin na cos. W rezultacie otrzymujemy Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Lekcja i prezentacja na temat: „Zastosowanie formuł redukcyjnych w rozwiązywaniu problemów”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 10
1C: Szkoła. Interaktywne zadania konstrukcyjne dla klas 7-10
1C: Szkoła. Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania do budowania w przestrzeni dla klas 10-11

Co będziemy studiować:
1. Powtórzmy trochę.
2. Zasady formuł redukcyjnych.
3. Tablica przekształceń dla formuł redukcyjnych.
4. Przykłady.

Powtórzenie funkcji trygonometrycznych

Chłopaki, już natknęliście się na formuły duchów, ale jeszcze nie zostały tak nazwane. Gdzie myślisz?

Spójrz na nasze rysunki. Prawidłowo, gdy wprowadzili definicje funkcji trygonometrycznych.

Reguła formuł redukcyjnych

Przedstawmy podstawową zasadę: Jeżeli znak funkcji trygonometrycznej zawiera liczbę w postaci π×n/2 + t, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą, to nasza funkcja trygonometryczna może być sprowadzona do większej liczby na widoku, który będzie zawierał tylko argument t. Takie formuły nazywane są formułami duchów.

Zapamiętajmy kilka formuł:

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
sin(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
sin(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tg(t + π*k) = tg(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

istnieje wiele wzorów duchów, ustalmy regułę, według której będziemy określać nasze funkcje trygonometryczne podczas używania formuły duchów:

Jeżeli znak funkcji trygonometrycznej zawiera liczby o postaci: π + t, π - t, 2π + t i 2π - t, to funkcja się nie zmieni, czyli np. sinus pozostanie sinusem, cotangens pozostanie cotangensem.
Jeżeli znak funkcji trygonometrycznej zawiera liczby o postaci: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t i 3π/2 - t, to funkcja zmieni się na pokrewną, czyli sinus stanie się cosinusem, a cotangens stanie się tangensem.
Przed wynikową funkcją należy umieścić znak, jaki miałaby przekonwertowana funkcja, gdyby 0

Te zasady obowiązują również wtedy, gdy argument funkcji jest w stopniach!

Możemy również wykonać tabelę konwersji funkcji trygonometrycznych:

Przykłady zastosowania formuł redukcyjnych

1. Przekształćmy cos(π + t). Nazwa funkcji pozostaje, tj. otrzymujemy cos(t). Następnie załóżmy, że π/2

2. Przekształć sin(π/2 + t). Zmienia się nazwa funkcji, tj. otrzymujemy cos(t). Załóżmy dalej, że 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Przekształćmy tg(π + t). Nazwa funkcji pozostaje, tj. otrzymujemy tg(t). Załóżmy dalej, że 0

4. Przekształćmy ctg(270 0 + t). Zmienia się nazwa funkcji, czyli otrzymujemy tg(t). Załóżmy dalej, że 0

Problemy z formułami redukcyjnymi dla samodzielnego rozwiązania

Chłopaki, nawróćcie się, korzystając z naszych zasad:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) grzech(2π + t),
7) grzech(π/2 + 5t),
8) grzech(π/2 - t),
9) grzech(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Należą do sekcji „trygonometrii” matematyki. Ich istotą jest sprowadzenie funkcji trygonometrycznych kątów do bardziej „prostej” postaci. Wiele można napisać o znaczeniu ich wiedzy. Jest 32 takich formuł!

Nie martw się, nie musisz się ich uczyć, jak wielu innych formuł w matematyce. Nie musisz wypełniać głowy zbędnymi informacjami, musisz zapamiętać „klucze” lub prawa, a zapamiętanie lub wyprowadzenie pożądanej formuły nie będzie problemem. Nawiasem mówiąc, kiedy piszę w artykułach „… musisz się uczyć !!!” - oznacza to, że naprawdę trzeba się tego nauczyć.

Jeśli nie znasz formuł redukcyjnych, to prostota ich wyprowadzenia mile Cię zaskoczy - istnieje „prawo”, z którym łatwo to zrobić. I napiszesz dowolną z 32 formuł w 5 sekund.

Wymienię tylko niektóre zadania, które będą na egzaminie z matematyki, gdzie bez znajomości tych wzorów istnieje duże prawdopodobieństwo niepowodzenia rozwiązania. Na przykład:

- zadania do rozwiązania trójkąta prostokątnego, gdzie mówimy o kącie zewnętrznym, oraz zadania dla narożniki wewnętrzne niektóre z tych formuł są również konieczne.
- zadania do obliczania wartości wyrażeń trygonometrycznych; przekształcenia liczbowych wyrażeń trygonometrycznych; przekształcenia dosłownych wyrażeń trygonometrycznych.
– zadania dla stycznej i zmysł geometryczny stycznej wymagana jest formuła redukcyjna dla stycznej, a także inne zadania.
- problemy stereometryczne, w trakcie rozwiązywania często konieczne jest wyznaczenie sinusa lub cosinusa kąta z zakresu od 90 do 180 stopni.

A to tylko te punkty, które odnoszą się do egzaminu. A w toku samej algebry jest wiele problemów, których rozwiązanie bez znajomości formuł redukcyjnych jest po prostu niemożliwe.

Do czego to prowadzi i jak podane formuły ułatwiają nam rozwiązywanie problemów?

Na przykład musisz określić sinus, cosinus, tangens lub cotangens dowolnego kąta z zakresu od 0 do 450 stopni:

kąt alfa wynosi od 0 do 90 stopni

* * *

Dlatego konieczne jest zrozumienie „prawa”, które tutaj działa:

1. Określ znak funkcji w odpowiednim kwartale.

Przypomnę im:

2. Pamiętaj, że:

zmiana funkcji na kofunkcję

funkcja nie zmienia się na kofunkcję

Co oznacza pojęcie - funkcja zmienia się w kofunkcję?

Odpowiedź: zmiana sinusa na cosinus lub odwrotnie, styczna na cotangens lub odwrotnie.

To wszystko!

Teraz, zgodnie z przedstawionym prawem, samodzielnie piszemy kilka formuł redukcyjnych:

Ten kąt leży w trzeciej ćwiartce, cosinus w trzeciej ćwiartce jest ujemny. Nie zmieniamy funkcji na kofunkcję, ponieważ mamy 180 stopni, co oznacza:

Kąt leży w pierwszej ćwiartce, sinus w pierwszej ćwiartce jest dodatni. Nie zmieniamy funkcji na kofunkcję, ponieważ mamy 360 stopni, co oznacza:

Oto kolejne dodatkowe potwierdzenie, że sinusy sąsiednich kątów są równe:

Kąt leży w drugiej ćwiartce, sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni. Nie zmieniamy funkcji na kofunkcję, ponieważ mamy 180 stopni, co oznacza:

Przepracuj każdą formułę w myślach lub na piśmie, a zobaczysz, że nie ma nic skomplikowanego.

***

W artykule dotyczącym rozwiązania zauważono taki fakt - sinus jednego kąta ostrego w trójkąt prostokątny jest równy cosinusowi innego kąta ostrego w nim.