Jakie dwie liczby nazywamy równymi? Dwie figury geometryczne są nazywane równymi, jeśli można je łączyć.

Figury geometryczne są uważane za równe, jeśli są dokładną kopią siebie, to znaczy muszą być spełnione następujące warunki:

figurki mają ten sam kształt;
figurki mają ten sam rozmiar;
jest takie nałożenie (ruch) jednej figury na drugą, że pokrywają się one we wszystkich swoich punktach.

Co oznacza kształt postaci

Mówiąc o kształcie figury, mamy na myśli przede wszystkim klasę kształtów geometrycznych, a także ilość kątów, kierunek wypukłości (wklęsłości) i inne wizualne szczegóły zarysu sylwetki płaskiej.

Na przykład owal i prostokąt wyraźnie mają inny kształt. A jeśli weźmiesz figury tej samej klasy, powiedzmy 2 trójkąty, musisz porównać elementy tworzące kontur. W tym przypadku rozmawiamy o kątach i bokach. Jeśli więc jeden trójkąt ma kąt prosty, a drugi nie, to od razu widać, że mają inny kształt. Jeśli długości trzech boków jednego trójkąta nie różnią się zbytnio od siebie, a drugi ma jeden bok znacznie większy od pozostałych dwóch, to już na pierwszy rzut oka zauważymy, że ich kształty się różnią.

Dlaczego dopasowanie rozmiaru jest ważne?

A jeśli różnice w wielkości nie są widoczne wizualnie? Następnie konieczne jest wykonanie dokładnych pomiarów obu figur. Również równość wielkości oddziela koncepcje figur podobnych i równych. Na przykład 2 kwadraty z inny obszar będą podobne, ale nie równe (co oznacza, że jedno jest większe od drugiego).

Co należy rozumieć przez „nakładanie się” cyfr na siebie?

Czasami trudno jest dokonać dokładnych pomiarów. Zwłaszcza jeśli figura jest utworzona przez zamkniętą arbitralną krzywą lub linię przerywaną. Następnie musisz znaleźć sposób na nałożenie jednego kształtu na drugi.

Tak więc, jeśli są narysowane na kartce papieru, musisz wyciąć jeden z nich dokładnie wzdłuż konturu i położyć go na drugim. Możesz go obracać w dowolnym kierunku, a nawet odwracać. Jeśli istnieje sposób na połączenie tych kształtów tak, aby pasowały dokładnie wzdłuż konturów, to są one równe.

Czy zawsze można udowodnić równość liczb?

Czasami nie jest to możliwe. Na przykład, jeśli mówimy o liniach prostych. Wszystkie są nieskończone. To samo dotyczy promieni.

Równe są takie figury, które można łączyć za pomocą pewnego rodzaju ruchu (symetria centralna i osiowa, obrót i przesunięcie równoległe).

Na takich figurach odpowiednio wszystkie boki i kąty są równe.

Na przykład, jeśli podano trójkąty ABC i A₁B₁C₁, to są one równe, jeśli boki są równe (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁) i kąty (kąt A = kąt A₁, kąt B = kąt B₁, kąt C = kąt C₁).

Również na równych liczbach odpowiednie punkty i linie są również równe. Na przykład w tym samym trójkąty równe ABC i A₁B₁C₁ będą równe dwusiecznej, środkowej, wysokości, promieniom okręgów wpisanych i opisanych, centroidów itp.

jak nazywa się kąt? Jakie liczby nazywamy równymi? Wyjaśnij, jak porównać dwa segmenty? jaki punkt się nazywa?

środek segmentu?

Który promień nazywa się dwusieczną kąta?

jaka jest miara stopnia kąta?

Jaka figura nazywa się trójkątem? Jakie trójkąty nazywa się równymi? Który segment nazywa się medianą trójkąta? Który odcinek nazywa się

dwusieczna trójkąta Który odcinek nazywamy wysokością trójkąta? Który trójkąt nazywamy równoramiennymi? Który trójkąt nazywamy równobocznymi? Definicja promienia, średnicy, cięciwy Podaj definicję linii równoległych Jaki kąt nazywamy kątem zewnętrznym trójkąta? Który trójkąt nazywamy ostrym, który rozwartym, który prostokątnym. Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego Własność dwóch prostych równoległych do trzeciej Twierdzenie o prostej przecinającej jedną z równoległych. Własność dwóch linii prostopadłych do trzeciej

Jaki kształt nazywamy linią przerywaną? Co to są łącza wierzchołków i długość polilinii?

Wyjaśnij, jak linia przerywana nazywa się wielokątem. Jakie są wierzchołki, boki, obwód i przekątne wielokąta? Co to jest wielokąt wypukły?
Wyjaśnij, jakie kąty nazywamy kątami wypukłymi wielokąta. Wyprowadź wzór na obliczenie sumy kątów n-kąta wypukłego. Wykazać, że suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego. PRZYJĘTE po jednym na każdym wierzchołku, to 360 stopni.
Jaka jest suma kątów czworokąta wypukłego?

1) Jaki kształt nazywa się czworobokiem?

2) Jakie są wierzchołki, kąty, boki, przekątne, obwód czworoboku?
3) Jakie kąty boczne czworokąta nazywamy wypukłymi?
4) jaka jest suma kątów czworoboku wypukłego?
5) jaki czworokąt nazywa się wypukłym?
6) jaki czworobok nazywa się równoległobokiem?
7) jakie właściwości ma równoległobok?
8) wymienić znaki równoległoboku.
9) sformułować właściwości prostokąta.
10) jaki czworokąt nazywa się kwadratem?
11) sformułować właściwości rombu.
12) jaki czworokąt nazywa się rombem?
13) jaki czworobok nazywa się prostokątem?
14) jakie właściwości ma kwadrat? proszę o krótką odpowiedź...

Geometria Atanasyan klasa 7,8,9 „Pytania odpowiedzi na pytania do powtórzenia do rozdziału 2 do podręcznika geometrii klasa 7-9 atanasyan Wyjaśnij, jaka figura

zwany trójkątem.
2. Jaki jest obwód trójkąta?
3. Jakie trójkąty nazywamy równymi?
4. Co to jest twierdzenie i dowód twierdzenia?
5. Wyjaśnij, który odcinek nazywa się prostopadłą poprowadzoną od danego punktu do danej prostej.
6. Który odcinek nazywa się medianą trójkąta? Ile median ma trójkąt?
7. Który segment nazywa się dwusieczną trójkąta? Ile dwusiecznych ma trójkąt?
8. Jaki odcinek nazywa się wysokością trójkąta? Ile wysokości ma trójkąt?
9. Jaki trójkąt nazywa się równoramiennymi?
10. Jakie są nazwy boków trójkąta równoramiennego?
11. Jaki trójkąt nazywa się trójkątem równobocznym?
12. Sformułuj własność kątów u podstawy trójkąta równoramiennego.
13. Sformułuj twierdzenie o dwusiecznej trójkąta równoramiennego.
14. Sformułuj pierwszy znak równości trójkątów.
15. Sformułuj drugi znak równości trójkątów.
16. Sformułuj trzecie kryterium równości trójkątów.
17. Zdefiniuj okrąg.
18. Jaki jest środek koła?
19. Jak nazywa się promień okręgu?
20. Jak nazywa się średnica koła?
21. Jak nazywa się akord koła?

Jednym z podstawowych pojęć w geometrii jest figura. Termin ten oznacza zbiór punktów na płaszczyźnie, ograniczony skończoną liczbą linii. Niektóre figury można uznać za równe, co jest ściśle związane z koncepcją ruchu. Figury geometryczne można rozpatrywać nie w izolacji, ale w taki czy inny sposób w stosunku do siebie - ich wzajemne porozumienie, kontakt i dopasowanie, pozycja „pomiędzy”, „wewnątrz”, stosunek wyrażony pojęciami „większy niż”, „mniejszy niż”, „równy”. Geometria bada niezmienne właściwości figur, tj. te, które pozostają niezmienione po pewnych przekształceniach geometrycznych. Takie przekształcenie przestrzeni, w którym odległość między punktami tworzącymi daną figurę pozostaje niezmieniona, nazywa się ruchem. różne opcje: transfer równoległy, transformacja tożsamości, obrót wokół osi, symetria względem linii prostej lub płaszczyzny, centralna, obrotowa, symetria translacyjna.

Ruch i równe liczby

Jeśli możliwy jest taki ruch, który doprowadzi do połączenia jednej figury z drugą, takie figury nazywane są równymi (przystającymi). Dwie liczby równe trzeciej są sobie równe - takie stwierdzenie sformułował Euklides, twórca geometrii.Koncepcję liczb przystających można wyjaśnić więcej zwykły język: równe są takie figury, które całkowicie się pokrywają, gdy nakładają się na siebie.Dość łatwo określić, czy liczby są podane w postaci pewnych przedmiotów, którymi można manipulować - na przykład wyciąć z papieru, a więc w szkole w klasie często uciekają się do tej metody wyjaśniania ta koncepcja. Ale dwie figury narysowane na płaszczyźnie nie mogą się fizycznie nakładać na siebie. W tym przypadku dowód równości liczb jest dowodem równości wszystkich elementów, które składają się na te liczby: długości segmentów, wielkości kątów, średnicy i promienia, jeśli mówimy o koło.

Liczby równoważne i równoodległe

Z równymi figurami nie należy mylić równych rozmiarów i jednakowo skomponowanych - z całą bliskością tych pojęć.
Figury równej wielkości to takie, które mają taką samą powierzchnię, jeśli są figurami na płaszczyźnie, lub taką samą objętość, jeśli mówimy o ciałach trójwymiarowych. Koincydencja wszystkich elementów składających się na te figury nie jest obowiązkowa. Równe figury zawsze będą miały jednakowy rozmiar, ale nie wszystkie figury o tej samej wielkości można nazwać równymi.Koncepcja równej kompozycji jest najczęściej stosowana do wielokątów. Oznacza to, że wielokąty można podzielić na taką samą liczbę odpowiednio równych kształtów. Równoważne wielokąty mają zawsze równy obszar.

Wstecz do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany ta praca pobierz pełną wersję.

Cele Lekcji: Powtórz temat „Obszar równoległoboku”. Wyprowadź wzór na obszar trójkąta, wprowadź pojęcie figur o równej wielkości. Rozwiązywanie problemów na temat „Obszary figur o jednakowej wielkości”.

Podczas zajęć

I. Powtórzenie.

1) Ustnie zgodnie z gotowym rysunkiem Wyprowadź wzór na obszar równoległoboku.

2) Jaka jest relacja między bokami równoległoboku a wysokościami na nich spadającymi?

(według gotowego rysunku)

zależność jest odwrotnie proporcjonalna.

3) Znajdź drugą wysokość (zgodnie z gotowym rysunkiem)

4) Znajdź obszar równoległoboku zgodnie z gotowym rysunkiem.

Rozwiązanie:

5) Porównaj pola równoległoboków S1, S2, S3. (Oni mają równe obszary, wszystkie mają podstawę a i wysokość h).

Definicja: Figury o równych polach nazywane są równymi.

II. Rozwiązywanie problemów.

1) Udowodnij, że każda linia przechodząca przez punkt przecięcia przekątnych dzieli ją na 2 równe części.

Rozwiązanie:

2) W równoległobok ABCD Wysokości CF i CE. Wykazać, że AD ∙ CF = AB ∙ CE.

3) Dany trapez o podstawie ai 4a. Czy można narysować proste linie przez jeden z jego wierzchołków, dzieląc trapez na 5 trójkątów o równej powierzchni?

Rozwiązanie: Mogą. Wszystkie trójkąty są równe.

4) Udowodnij, że jeśli weźmiemy punkt A z boku równoległoboku i połączymy go z wierzchołkami, wówczas powierzchnia powstałego trójkąta ABC jest równa połowie powierzchni równoległoboku.

Rozwiązanie:

5) Ciasto ma kształt równoległoboku. Kid i Carlson dzielą to w ten sposób: Kid wskazuje punkt na powierzchni ciasta, a Carlson tnie tort na 2 części wzdłuż prostej przechodzącej przez ten punkt i bierze jeden z kawałków dla siebie. Każdy chce większego kawałka. Gdzie Dzieciak powinien położyć kres?

Rozwiązanie: W miejscu przecięcia przekątnych.

6) Na przekątnej prostokąta wybrano punkt i poprowadzono przez niego proste, równoległe do boków prostokąta. Po przeciwnych stronach powstały 2 prostokąty. Porównaj ich obszary.

Rozwiązanie:

III. Studiowanie tematu „Obszar trójkąta”

zacznij od zadania:

„Znajdź obszar trójkąta, którego podstawą jest a, a wysokość to h”.

Chłopaki, posługując się pojęciem figur o równej wielkości, udowadniają twierdzenie.

Zbudujmy trójkąt na równoległoboku.

Powierzchnia trójkąta to połowa powierzchni równoległoboku.

Ćwiczenie: Narysuj równe trójkąty.

Wykorzystywany jest model (3 kolorowe trójkąty są wycinane z papieru i sklejane u podstaw).

Ćwiczenie nr 474. „Porównaj obszary dwóch trójkątów, na które dany trójkąt jest podzielony przez swoją medianę”.

Trójkąty te same podstawy a i tej samej wysokości h. Trójkąty mają ten sam obszar

Wniosek: figury o równych polach nazywane są równymi.

Pytania do klasy:

Czy równe liczby?
Sformułuj przeciwne stwierdzenie. Czy to prawda?
Czy to prawda:
a) Czy trójkąty równoboczne mają taką samą powierzchnię?
b) Trójkąty równoboczne o równych bokach są równe?
c) Kwadraty o równych bokach są równe?
d) Wykazać, że równoległoboki utworzone przez przecięcie dwóch pasów o tej samej szerokości poniżej różne kąty nachylenia względem siebie są równe. Znajdź równoległobok najmniejszego obszaru utworzonego przez przecięcie dwóch pasków o tej samej szerokości. (Pokaż na modelu: paski o równej szerokości)

IV. Krok naprzód!

Napisane na tablicy zadania opcjonalne:

1. „Wytnij trójkąt dwiema prostymi liniami, aby można było złożyć kawałki w prostokąt”.

Rozwiązanie:

2. „Pokrój prostokąt w linii prostej na 2 części, z których możesz zrobić trójkąt prostokątny”.

Rozwiązanie:

3) Przekątna jest rysowana w prostokącie. W jednym z powstałych trójkątów rysowana jest mediana. Znajdź stosunki między obszarami figur .

Rozwiązanie:

Odpowiadać:

3. Z zadań olimpijskich:

„W czworokątnym ABCD punkt E jest punktem środkowym AB, połączonym z wierzchołkiem D, a F jest punktem środkowym CD, z wierzchołkiem B. Udowodnij, że powierzchnia czworokąta EBFD jest 2 razy większa mniejszy obszar czworoboczny ABCD.

Rozwiązanie: narysuj przekątną BD.

Ćwiczenie numer 475.

„Narysuj trójkąt ABC. Przez wierzchołek B narysuj 2 proste linie, aby podzielić ten trójkąt na 3 trójkąty o równych obszarach.

Użyj twierdzenia Thalesa (podziel AC na 3 równe części).

V. Zadanie dnia.

Dla niej wziąłem skrajną prawą część tablicy, na której piszę dzisiejsze zadanie. Dzieci mogą zdecydować lub nie. Tego problemu nie rozwiążemy dzisiaj na zajęciach. Tyle, że ci, którzy są nimi zainteresowani, mogą to odpisać, rozwiązać w domu lub podczas przerwy. Zwykle już na przerwie wielu facetów zaczyna rozwiązywać problem, jeśli zdecydują, pokazują rozwiązanie, a ja naprawiam je w specjalnym stole. W kolejnej lekcji na pewno wrócimy do tego problemu, poświęcając niewielką część lekcji na jego rozwiązanie (a nowy problem można zapisać na tablicy).

„Równoległobok jest cięty w równoległoboku. Resztę podziel na 2 równe liczby.

Rozwiązanie: Sieczna AB przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych równoległoboków O i O1.

Zadania dodatkowe (z zadań olimpijskich):

1) „W trapezie ABCD (AD || BC) wierzchołki A i B są połączone z punktem M, środkiem boku CD. Powierzchnia trójkąta ABM to m.in. Znajdź obszar trapezu ABCD.

Rozwiązanie:

Trójkąty ABM i AMK są cyframi równymi, ponieważ AM jest medianą.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.

Odpowiedź: SABCD = 2m.

2) „W trapezie ABCD (AD || BC) przekątne przecinają się w punkcie O. Udowodnij, że trójkąty AOB i COD są równymi powierzchniami”.

Rozwiązanie:

S ∆BCD = S ∆ABC , dlatego mają wspólną podstawę BC i taką samą wysokość.

3) Bok AB dowolnego trójkąta ABC jest przedłużona poza wierzchołek B tak, że BP = AB, bok AC jest przedłużona poza wierzchołek A tak, że AM = CA, bok BC jest przedłużona poza wierzchołek C tak, że KS = BC. Ile razy powierzchnia trójkąta RMK więcej obszaru trójkąt ABC?

Rozwiązanie:

W trójkącie MVS: MA = AC, czyli pole trójkąta BAM jest równe polu trójkąta ABC. W trójkącie stanowisko pracy: BP = AB, więc pole trójkąta BAM jest równe polu trójkąta ABP. W trójkącie ARS: AB = BP, więc powierzchnia trójkąta BAC jest równa powierzchni trójkąta BPC. W trójkącie VRK: BC \u003d SC zatem powierzchnia trójkąta VRS jest równa powierzchni trójkąta RKS. W trójkącie AVK: BC = SC, czyli powierzchnia trójkąta BAC jest równa powierzchni trójkąta ASC. W trójkącie MSC: MA = AC, więc pole trójkąta KAM jest równe polu trójkąta ASC. Otrzymujemy 7 równych trójkątów. Oznacza,

Odpowiedź: Powierzchnia trójkąta MRK jest 7 razy większa od powierzchni trójkąta ABC.

4) Połączone równoległoboki.

2 równoległoboki znajdują się tak, jak pokazano na rysunku: mają wspólny wierzchołek, a jeszcze jeden wierzchołek dla każdego równoległoboku leży po bokach drugiego równoległoboku. Wykazać, że pola równoległoboków są równe.

Rozwiązanie:

oraz , oznacza,

Lista wykorzystanej literatury:

Podręcznik „Geometria 7-9” (autorzy L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev (Moskwa, „Oświecenie”, 2003).
Problemy olimpijskie różne lata, w szczególności od przewodnik do nauki„Najlepsze problemy olimpiad matematycznych” (oprac. A.A. Korznyakov, Perm, „Knizhny Mir”, 1996).
Wybór zadań nagromadzonych przez wiele lat pracy.

Kształty pasujące do siebie po nałożeniu są nazywane RÓWNYMI. Dwa figury geometryczne są nazywane równymi, jeśli można je łączyć podczas nakładania

9. Wyjaśnij, jak porównać dwa odcinki linii i jak porównać 2 kąty. Nakładasz jeden segment na drugi, tak aby koniec pierwszego był wyrównany z końcem drugiego, jeśli pozostałe dwa końce nie są wyrównane, to segmenty nie są równe, jeśli są wyrównane, to są równe. Aby porównać 2 segmenty, musisz porównać ich długości; aby porównać 2 kąty, musisz porównać ich miarę stopnia.Dwa kąty są nazywane równymi, jeśli można je połączyć przez zachodzenie na siebie. Aby ustalić, czy dwa nierozciągnięte kątowniki są równe, czy nie, konieczne jest połączenie boku jednego kątownika z bokiem drugiego tak, aby pozostałe dwa boki znajdowały się po tej samej stronie połączonych boków.Połóż jeden róg na drugim rogu w taki sposób, aby ich wierzchołki pokrywały się z jednej strony, a pozostałe dwa znajdowały się po tej samej stronie wyrównanych boków. Jeśli drugi bok jednego kąta jest wyrównany z drugim bokiem innego kąta, to te kąty są równe. (Ułóż rogi tak, aby bok jednego był wyrównany z bokiem drugiego, a pozostałe dwa były po tej samej stronie wyrównanych boków. Jeśli dwa pozostałe boki są wyrównane, wówczas kąty są całkowicie wyrównane, co oznacza są równe.)

10. Jaki punkt nazywa się środkiem odcinka?Środek segmentu to punkt, który dzieli dany segment na dwie równe części. Punkt dzielący segment na pół nazywany jest punktem środkowym segmentu.

11. Dwusieczna(z łac. bi- „podwójny” i sectio „tnący”) kąt to promień, który wychodzi z wierzchołka kąta i przechodzi przez jego obszar wewnętrzny, który ze swoimi bokami tworzy dwa równe kąty. Lub promień wychodzący z wierzchołka kąta i dzielący go na dwa równe kąty nazywa się dwusieczna kąta.

12. Jak jest pomiar segmentów. Zmierzyć segment współmiernie jednym sposobem, aby dowiedzieć się, ile razy zawiera on jednostkę lub jakiś ułamek jednostki. Pomiar odległości przeprowadza się przez porównanie go z pewnym segmentem traktowanym jako jednostka. Możesz zmierzyć długość segmentu za pomocą linijki lub taśmy mierniczej. Konieczne jest nałożenie jednego segmentu na drugi, który przyjęliśmy jako jednostkę miary, tak aby ich końce były wyrównane.

? 13. Jak powiązane są długości odcinków AB i CD, jeśli: a) odcinki AB i CD są równe; b) czy segment AB jest mniejszy niż segment CD?

A) długości odcinków AB i CD są równe. B) długość odcinka AB jest mniejsza niż długość odcinka PŁYTA CD.

14. Punkt C dzieli odcinek AB na dwa odcinki. Jak powiązane są długości odcinków AB, AC i CB? Długość odcinka AB jest równa sumie długości odcinków AC oraz CB. Aby znaleźć długość odcinka AB, dodaj długości odcinków AC i CB.

15. Co to jest stopień? Co pokazuje miara stopnia kąta? Kąty są mierzone w różnych jednostkach. Mogą to być stopnie, radiany. Najczęściej kąty mierzone są w stopniach. (Tego stopnia nie należy mylić z miarą temperatury, gdzie używa się również słowa „stopień”). Pomiar kątów polega na porównaniu ich z kątem przyjętym jako jednostka miary. Zwykle za jednostkę miary kątów przyjmuje się stopień - kąt równy 1/180 kąta rozwiniętego. Stopień jest jednostką kątów płaskich w geometrii. (Stopień jest jednostką miary kątów geometrycznych - część kąta.) .

Miara stopnia kąta pokazuje ile razy stopień i jego części - minuta i sekunda - pasują do danego kąta , czyli miara stopni - wartość odzwierciedlająca liczbę stopni, minut i sekund między bokami kąta.

16. Jaka część stopnia nazywa się minutą, a jaka sekundą? 1/60 stopnia to minuta, a 1/60 minuty to sekunda. Minuty są oznaczone znakiem „′”, a sekundy - znakiem „″”

? 17. Jak są powiązane miary stopnia dwóch kątów, jeśli: a) kąty te są równe; b) jeden kąt jest mniejszy od drugiego? a) miara kątów jest taka sama. b) Miara stopnia jednego kąta jest mniejsza niż miara stopnia drugiego kąta.

18. Ray OC dzieli kąt AOB na dwa kąty. Jak są powiązane miary stopni kątów AOB, AOC i COB? Kiedy promień dzieli kąt na dwa kąty, miara stopnia całego kąta jest równa sumie miar stopnia tych kątów. AOB jest równa sumie miar stopnia jego części AOC i COB.