Jakie liczby są irracjonalne. Liczby wymierne i niewymierne

Definicja liczby niewymiernej

Liczby niewymierne to te liczby, które w notacji dziesiętnej są nieskończonymi nieokresowymi ułamkami dziesiętnymi.

Na przykład liczby uzyskane przez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z liczby naturalne, są niewymierne i nie są kwadratami liczb naturalnych. Ale nie wszystkie liczby niewymierne są uzyskiwane przez ekstrakcję pierwiastki kwadratowe, ponieważ liczba „pi” uzyskana przez dzielenie jest również irracjonalna i jest mało prawdopodobne, że uzyskasz ją, próbując wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej.

Własności liczb niewymiernych

W przeciwieństwie do liczb zapisanych w nieskończonych ułamkach dziesiętnych, tylko liczby niewymierne są zapisywane w nieokresowych nieskończonych ułamkach dziesiętnych.
Suma dwóch nieujemnych liczb niewymiernych może ostatecznie być liczbą wymierną.
Liczby niewymierne zdefiniuj sekcje Dedekinda w zbiorze liczb wymiernych, w niższej klasie, które nie mają duża liczba, a w górnym nie ma mniejszego.
Każda rzeczywista liczba transcendentalna jest irracjonalna.
Wszystkie liczby niewymierne są albo algebraiczne, albo transcendentalne.
Zbiór liczb niewymiernych na linii jest gęsto upakowany, a pomiędzy dowolnymi dwoma jego liczbami koniecznie znajduje się ir Liczba wymierna.
Zbiór liczb niewymiernych jest nieskończony, niepoliczalny i jest zbiorem drugiej kategorii.
Podczas wykonywania dowolnej operacji arytmetycznej na liczbach wymiernych, z wyjątkiem dzielenia przez 0, jej wynikiem będzie liczba wymierna.
Dodając liczbę wymierną do liczby niewymiernej, wynikiem jest zawsze liczba niewymierna.
Dodając liczby niewymierne, możemy w rezultacie otrzymać liczbę wymierną.
Zbiór liczb niewymiernych nie jest parzysty.

Liczby nie są irracjonalne

Czasami dość trudno jest odpowiedzieć na pytanie, czy liczba jest niewymierna, zwłaszcza w przypadkach, gdy liczba jest w postaci ułamka dziesiętnego lub w postaci wyrażenia liczbowego, pierwiastka lub logarytmu.

Dlatego nie będzie zbyteczne wiedzieć, które liczby nie są irracjonalne. Jeśli zastosujemy się do definicji liczb niewymiernych, to już wiemy, że liczby wymierne nie mogą być niewymierne.

Liczby niewymierne nie są:

Po pierwsze, wszystkie liczby naturalne;
Po drugie, liczby całkowite;
Po trzecie, zwykłe frakcje;
Po czwarte, różne liczby mieszane;
Po piąte, są to nieskończone okresowe ułamki dziesiętne.

Oprócz wszystkich powyższych, dowolna kombinacja liczb wymiernych wykonywana za pomocą znaków operacji arytmetycznych, takich jak +, -, , :, nie może być liczbą niewymierną, ponieważ w tym przypadku wynik dwóch liczb wymiernych również będzie być liczbą wymierną.

Zobaczmy teraz, które z liczb są irracjonalne:

Czy wiesz o istnieniu fanklubu, w którym fani tego tajemniczego matematycznego zjawiska szukają nowych informacji o Pi, próbując rozwikłać jego zagadkę. Każda osoba, która zna na pamięć pewną liczbę liczb Pi po przecinku, może zostać członkiem tego klubu;

Czy wiesz, że w Niemczech pod ochroną UNESCO znajduje się pałac Castadel Monte, dzięki proporcjom, z których można obliczyć Pi. Numerowi temu poświęcił cały pałac król Fryderyk II.

Okazuje się, że próbowali użyć liczby Pi przy budowie Wieży Babel. Ale ku naszemu wielkiemu ubolewaniu doprowadziło to do upadku projektu, ponieważ w tym czasie dokładne obliczenie wartości Pi nie było wystarczająco zbadane.

Piosenkarka Kate Bush na swoim nowym krążku nagrała piosenkę „Pi”, która brzmiała sto dwadzieścia cztery numery ze słynnej serii 3, 141…..

Zbiór wszystkich liczb naturalnych jest oznaczony literą N. Liczby naturalne to liczby, których używamy do liczenia obiektów: 1,2,3,4, ... W niektórych źródłach liczba 0 jest również nazywana liczbami naturalnymi.

Zbiór wszystkich liczb całkowitych jest oznaczony literą Z. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne, zerowe i ujemne:

1,-2,-3, -4, …

Teraz dodajemy do zbioru wszystkich liczb całkowitych zbiór wszystkich zwykłe ułamki: 2/3, 18/17, -4/5 i tak dalej. Następnie otrzymujemy zbiór wszystkich liczb wymiernych.

Zbiór liczb wymiernych

Zbiór wszystkich liczb wymiernych jest oznaczony literą Q. Zbiór wszystkich liczb wymiernych (Q) jest zbiorem składającym się z liczb postaci m/n, -m/n i liczby 0. In jak n, m może być dowolną liczbą naturalną. Należy zauważyć, że wszystkie liczby wymierne mogą być reprezentowane jako skończony lub nieskończony OKRESOWY ułamek dziesiętny. Prawdą jest również odwrotność, że każdy skończony lub nieskończony okresowy ułamek dziesiętny można zapisać jako liczbę wymierną.

Ale co na przykład z liczbą 2.0100100010…? Jest to nieskończenie NIEOKRESOWY dziesiętny. I nie dotyczy liczb wymiernych.

W szkolnym kursie algebry badane są tylko liczby rzeczywiste (lub rzeczywiste). Wiele ze wszystkich liczby rzeczywiste oznaczony literą R. Zbiór R składa się ze wszystkich liczb wymiernych i wszystkich niewymiernych.

Pojęcie liczb niewymiernych

Liczby niewymierne są nieskończonymi ułamkami dziesiętnymi nieokresowymi. Liczby niewymierne nie mają specjalnej notacji.

Na przykład wszystkie liczby uzyskane przez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z liczb naturalnych, które nie są kwadratami liczb naturalnych, będą nieracjonalne. (√2, 3, 5, √6 itd.).

Ale nie myśl, że liczby niewymierne są uzyskiwane tylko przez wyciąganie pierwiastków kwadratowych. Na przykład liczba „pi” jest również nieracjonalna i jest uzyskiwana przez dzielenie. I bez względu na to, jak bardzo się starasz, nie uzyskasz tego, wyciągając pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby naturalnej.

Z segmentem długości jednostki starożytni matematycy już wiedzieli: znali na przykład niewspółmierność przekątnej i boku kwadratu, co jest równoznaczne z irracjonalnością liczby.

Nieracjonalne są:

Przykłady dowodu na irracjonalność

Korzeń 2

Załóżmy, że jest odwrotnie: jest racjonalny, to znaczy jest reprezentowany jako ułamek nieredukowalny, gdzie i są liczbami całkowitymi. Podnieśmy do kwadratu domniemaną równość:

Z tego wynika, że parzyste zatem parzyste i . Niech gdzie całość. Następnie

Dlatego nawet, więc nawet i . Uzyskaliśmy to i są parzyste, co przeczy nieredukowalności ułamka . Stąd pierwotne założenie było błędne i jest liczbą niewymierną.

Logarytm binarny liczby 3

Załóżmy, że jest odwrotnie: jest racjonalny, to znaczy jest reprezentowany jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi. Ponieważ , i mogą być traktowane jako pozytywne. Następnie

Ale to jasne, to dziwne. Dostajemy sprzeczność.

mi

Fabuła

Koncepcja liczb niewymiernych została implicite przyjęta przez matematyków indyjskich w VII wieku pne, kiedy Manawa (ok. 750 pne - ok. 690 pne) odkrył, że pierwiastki kwadratowe niektórych liczb naturalnych, takich jak 2 i 61, nie mogą być wyraźnie wyrażone.

Pierwszy dowód na istnienie liczb niewymiernych jest zwykle przypisywany Hippasusowi z Metaponta (ok. 500 pne), pitagorejczykowi, który znalazł ten dowód, badając długości boków pentagramu. W czasach pitagorejczyków wierzono, że istnieje pojedyncza jednostka długości, wystarczająco mała i niepodzielna, która jest liczbą całkowitą uwzględnioną w każdym segmencie. Hippasus twierdził jednak, że nie ma jednej jednostki długości, ponieważ założenie jej istnienia prowadzi do sprzeczności. Wykazał, że jeśli przeciwprostokątna równoramiennej trójkąt prostokątny zawiera całkowitą liczbę segmentów jednostkowych, to liczba ta musi być jednocześnie parzysta i nieparzysta. Dowód wyglądał tak:

Stosunek długości przeciwprostokątnej do długości nogi trójkąta równoramiennego można wyrazić jako a:b, gdzie a oraz b wybrane jako najmniejsze możliwe.
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: a² = 2 b².
Dlatego a² nawet, a musi być parzysty (ponieważ kwadrat liczby nieparzystej byłby nieparzysty).
Ponieważ a:b nieskracalny b musi być dziwne.
Dlatego a nawet, oznacza a = 2tak.
Następnie a² = 4 tak² = 2 b².
b² = 2 tak² więc b jest więc parzyste b nawet.
Udowodniono jednak, że b dziwne. Sprzeczność.

Matematycy greccy nazwali ten stosunek wielkości niewspółmiernych alogos(nie do opisania), ale według legend Hippasusowi nie oddawano należytego szacunku. Istnieje legenda, że Hippasus dokonał tego odkrycia podczas podróży morskiej i został wyrzucony za burtę przez innych pitagorejczyków „za stworzenie elementu wszechświata, co zaprzecza doktrynie, że wszystkie byty we wszechświecie można zredukować do liczb całkowitych i ich proporcji. " Odkrycie Hippasa przed pitagorejską matematyką poważny problem, obalając założenie leżące u podstaw całej teorii, że liczby i obiekty geometryczne są jednym i nierozłącznym.

Zobacz też

Uwagi

Systemy numeryczne
Rachunkowość zestawy	Liczby naturalne () Liczby całkowite ()

Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić jako ułamek, gdzie . Q to zbiór wszystkich liczb wymiernych.

Liczby wymierne dzielą się na: dodatnie, ujemne i zerowe.

Każda liczba wymierna może być powiązana z pojedynczym punktem na linii współrzędnych. Relacji „w lewo” dla punktów odpowiada relacja „mniej niż” dla współrzędnych tych punktów. Można zauważyć, że każda liczba ujemna jest mniejsza od zera i każda liczba dodatnia; z dwóch liczb ujemnych, ta, której moduł jest większy, jest mniejsza. A więc -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Każda liczba wymierna może być reprezentowana jako dziesiętny ułamek okresowy. Na przykład, .

Algorytmy operacji na liczbach wymiernych wynikają z reguł znaków dla odpowiednich operacji na ułamkach zerowych i dodatnich. Q wykonuje dzielenie inne niż dzielenie przez zero.

Każdy równanie liniowe, tj. równanie postaci ax+b=0, gdzie , jest rozwiązalne na zbiorze Q, ale nie żadne równanie kwadratowe uprzejmy , można rozwiązać w liczbach wymiernych. Nie każdy punkt na linii współrzędnych ma punkt wymierny. Nawet pod koniec VI wieku p.n.e. n. W szkole Pitagorasa udowodniono, że przekątna kwadratu nie jest współmierna do jego wysokości, co jest równoznaczne ze stwierdzeniem: „Równanie nie ma wymiernych pierwiastków”. Wszystko to doprowadziło do konieczności rozszerzenia zbioru Q, wprowadzono pojęcie liczby niewymiernej. Oznacz zestaw liczb niewymiernych literą J .

Na linii współrzędnych wszystkie punkty, które nie mają współrzędnych wymiernych, mają współrzędne niewymierne. , gdzie r są zbiorami liczb rzeczywistych. w uniwersalny sposób przypisania liczb rzeczywistych są ułamkami dziesiętnymi. Okresowe dziesiętne definiują liczby wymierne, a nieokresowe dziesiętne definiują liczby niewymierne. Tak więc 2.03 (52) jest liczbą wymierną, 2.03003000300003 ... (okres każdej kolejnej cyfry „3” jest zapisywany o jedno zero więcej) jest liczbą niewymierną.

Zbiory Q i R mają właściwości dodatniości: pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi znajduje się liczba wymierna, na przykład ecoi a

Dla każdej niewymiernej liczby α można podać wymierne przybliżenie zarówno z niedoborem, jak iz nadmiarem z dowolną dokładnością: a< α

Operacja wyciągania pierwiastka z niektórych liczb wymiernych prowadzi do liczb niewymiernych. Wyodrębnienie pierwiastka stopnia naturalnego jest operacją algebraiczną, tj. jego wprowadzenie wiąże się z rozwiązaniem równania algebraicznego postaci . Jeśli n jest nieparzyste, tj. n=2k+1, gdzie , to równanie ma jeden pierwiastek. Jeśli n jest parzyste, n=2k, gdzie , to dla a=0 równanie ma jeden pierwiastek x=0, dla a<0 корней нет, при a>0 ma dwa przeciwstawne pierwiastki. Wydobywanie korzenia jest odwrotną operacją wznoszenia się do naturalnej siły.

Pierwiastek arytmetyczny (dla zwięzłości pierwiastek) n-tego stopnia liczby nieujemnej a jest liczbą nieujemną b, która jest pierwiastkiem równania. Pierwiastek n-tego stopnia od liczby a jest oznaczony symbolem. Dla n=2, stopień pierwiastka 2 nie jest wskazany: .

Na przykład , ponieważ 2 2 =4 i 2>0; , dlatego 3 3 =27 i 3>0; nie istnieje, ponieważ -cztery<0.

Dla n=2k i a>0 pierwiastki równania (1) są zapisane jako i . Na przykład pierwiastki równania x 2 \u003d 4 to 2 i -2.

Dla n nieparzystego równanie (1) ma jeden pierwiastek dla dowolnego . Jeśli a≥0, to - pierwiastek tego równania. Jeśli<0, то –а>0 i - pierwiastek równania. Tak więc równanie x 3 \u003d 27 ma pierwiastek.

Czym są liczby niewymierne? Dlaczego tak się nazywają? Gdzie są używane i czym są? Niewielu potrafi bez wahania odpowiedzieć na te pytania. Ale w rzeczywistości odpowiedzi na nie są dość proste, chociaż nie wszyscy ich potrzebują i w bardzo rzadkich sytuacjach.

Istota i oznaczenie

Liczby niewymierne są nieskończone, nieokresowe Konieczność wprowadzenia tego pojęcia wynika z faktu, że do rozwiązywania nowo pojawiających się problemów nie wystarczały już dotychczasowe pojęcia liczb rzeczywistych lub rzeczywistych, całkowitych, naturalnych i wymiernych. Na przykład, aby obliczyć kwadrat z 2, musisz użyć niepowtarzalnych nieskończonych liczb dziesiętnych. Ponadto wiele najprostszych równań również nie ma rozwiązania bez wprowadzenia pojęcia liczby niewymiernej.

Ten zestaw jest oznaczony jako I. I, jak już wiadomo, wartości tych nie można przedstawić jako ułamek prosty, w liczniku którego będzie liczba całkowita, a w mianowniku -

Po raz pierwszy w taki czy inny sposób indyjscy matematycy zetknęli się z tym zjawiskiem w VII wieku, kiedy odkryto, że pierwiastki kwadratowe niektórych wielkości nie mogą być jednoznacznie wskazane. A pierwszy dowód na istnienie takich liczb przypisuje się pitagorejskiemu Hippasosowi, który zrobił to w trakcie badania równoramiennego trójkąta prostokątnego. Poważny wkład w badania tego zestawu wnieśli inni naukowcy, którzy żyli przed naszą erą. Wprowadzenie pojęcia liczb niewymiernych wiązało się z rewizją istniejącego systemu matematycznego, dlatego są one tak ważne.

pochodzenie nazwy

Jeśli stosunek po łacinie to „ułamek”, „stosunek”, to przedrostek „ir”
nadaje słowu przeciwne znaczenie. Zatem nazwa zbioru tych liczb wskazuje, że nie można ich skorelować z liczbą całkowitą lub ułamkową, mają osobne miejsce. Wynika to z ich natury.

Miejsce w klasyfikacji generalnej

Liczby niewymierne, wraz z wymiernymi, należą do grupy liczb rzeczywistych lub rzeczywistych, które z kolei są zespolone. Nie ma podzbiorów, istnieją jednak rozmaitości algebraiczne i transcendentalne, które zostaną omówione poniżej.

Nieruchomości

Ponieważ liczby niewymierne są częścią zbioru liczb rzeczywistych, odnoszą się do nich wszystkie ich własności, które są badane w arytmetyce (nazywa się je również podstawowymi prawami algebraicznymi).

a + b = b + a (przemienność);

(a + b) + c = a + (b + c) (łączność);

a + (-a) = 0 (istnienie liczby przeciwnej);

ab = ba (prawo przemieszczenia);

(ab)c = a(bc) (dystrybucja);

a(b+c) = ab + ac (prawo rozdzielcze);

a x 1/a = 1 (istnienie liczby odwrotnej);

Porównanie odbywa się również zgodnie z ogólnymi prawami i zasadami:

Jeśli a > b i b > c, to a > c (przechodniość relacji) i. itp.

Oczywiście wszystkie liczby niewymierne można przekształcić za pomocą podstawowego działania arytmetyczne. Nie ma na to specjalnych zasad.

Ponadto działanie aksjomatu Archimedesa rozciąga się na liczby niewymierne. Mówi, że dla dowolnych dwóch wielkości a i b prawdziwe jest stwierdzenie, że przyjmując a jako wyraz wystarczająco dużo razy, możliwe jest przekroczenie b.

Stosowanie

Pomimo faktu, że w zwyczajne życie nie tak często masz z nimi do czynienia, liczby niewymierne nie są policzalne. Jest ich dużo, ale są prawie niewidoczne. Wszędzie otaczają nas liczby irracjonalne. Przykładami znanymi wszystkim są pi, czyli 3,1415926... lub e, które jest zasadniczo podstawą naturalny logarytm, 2.718281828... W algebrze, trygonometrii i geometrii trzeba ich używać cały czas. Nawiasem mówiąc, słynne znaczenie „złotej sekcji”, czyli stosunek zarówno większej części do mniejszej, jak i odwrotnie, również

należy do tego zestawu. Mniej znane "srebro" - też.

Na osi liczbowej są one rozmieszczone bardzo gęsto, tak że pomiędzy dowolnymi dwiema wielkościami związanymi ze zbiorem wymiernych z pewnością wystąpi nieracjonalna.

Z tym zestawem wciąż wiąże się wiele nierozwiązanych problemów. Istnieją takie kryteria, jak miara irracjonalności i normalność liczby. Matematycy nadal badają najbardziej znaczące przykłady ich przynależności do tej czy innej grupy. Na przykład uważa się, że e jest liczbą normalną, to znaczy, że prawdopodobieństwo pojawienia się różnych cyfr w jej wpisie jest takie samo. Jeśli chodzi o pi, wciąż trwają badania nad nim. Miara irracjonalności to wartość, która pokazuje, jak dobrze daną liczbę można aproksymować liczbami wymiernymi.

Algebraiczne i transcendentalne

Jak już wspomniano, liczby niewymierne są warunkowo podzielone na algebraiczne i transcendentalne. Warunkowo, ponieważ, ściśle mówiąc, ta klasyfikacja służy do podziału zbioru C.

Pod tym oznaczeniem ukryte są liczby zespolone, które obejmują liczby rzeczywiste lub rzeczywiste.

Zatem wartość algebraiczna to wartość będąca pierwiastkiem wielomianu, który nie jest identycznie równy zeru. Na przykład pierwiastek kwadratowy z 2 należy do tej kategorii, ponieważ jest to rozwiązanie równania x 2 - 2 = 0.

Wszystkie inne liczby rzeczywiste, które nie spełniają tego warunku, nazywane są transcendentalnymi. W tej odmianie znajdują się również najbardziej znane i wspomniane już przykłady - liczba pi i podstawa logarytmu naturalnego e.

Co ciekawe, ani jedno, ani drugie nie zostało pierwotnie wydedukowane przez matematyków w tym charakterze, ich irracjonalność i transcendencja zostały udowodnione wiele lat po ich odkryciu. W przypadku liczby pi dowód podano w 1882 r., a uproszczono w 1894 r., co położyło kres trwającej 2500 lat kontrowersji dotyczącej problemu kwadratury koła. Nadal nie jest w pełni zrozumiały, więc współcześni matematycy mają nad czym popracować. Nawiasem mówiąc, pierwsze wystarczająco dokładne obliczenie tej wartości przeprowadził Archimedes. Przed nim wszystkie obliczenia były zbyt przybliżone.

Dla e (liczba Eulera lub Napiera) dowód na jej transcendencję znaleziono w 1873 roku. Służy do rozwiązywania równań logarytmicznych.

Inne przykłady obejmują wartości sinus, cosinus i tangens dla dowolnych wartości algebraicznych niezerowych.