Jak znaleźć cosinus kąta między płaszczyznami. Kąt dwuścienny

Ten artykuł dotyczy kąta między płaszczyznami i tego, jak go znaleźć. Najpierw podaje się definicję kąta między dwiema płaszczyznami i podaje ilustrację graficzną. Następnie przeanalizowano zasadę wyznaczania kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami metodą współrzędnych, otrzymano wzór pozwalający na obliczenie kąta między przecinającymi się płaszczyznami na podstawie znanych współrzędnych wektorów normalnych tych płaszczyzn. Na zakończenie przedstawiono szczegółowe rozwiązania typowych problemów.

Nawigacja po stronach.

Kąt między płaszczyznami - definicja.

Podajmy argumenty, które pozwolą nam stopniowo zbliżać się do definicji kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami.

Daj nam dwie przecinające się płaszczyzny i . Płaszczyzny te przecinają się w linii prostej, którą oznaczymy literą c. Skonstruujmy płaszczyznę przechodzącą przez punkt M prostej c i prostopadłą do prostej c. W takim przypadku samolot przetnie płaszczyzny i . Oznacz linię, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny, oraz jako a oraz linię, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny, oraz jako b. Oczywiście proste aib przecinają się w punkcie M.

Łatwo wykazać, że kąt między przecinającymi się prostymi aib nie zależy od położenia punktu M na prostej c, przez którą przechodzi płaszczyzna.

Skonstruujmy płaszczyznę prostopadłą do prostej c i różną od płaszczyzny . Płaszczyzna jest przecinana przez płaszczyzny i wzdłuż linii prostych, które oznaczamy odpowiednio przez a 1 i b 1.

Z metody konstruowania płaszczyzn wynika, że proste a i b są prostopadłe do prostej c, a proste a 1 i b 1 są prostopadłe do prostej c. Ponieważ proste a i 1 leżą w tej samej płaszczyźnie i są prostopadłe do prostej c, są one równoległe. Podobnie proste b i b 1 leżą w tej samej płaszczyźnie i są prostopadłe do prostej c, a więc są równoległe. W ten sposób można wykonać równoległe przeniesienie płaszczyzny na płaszczyznę, w której prosta a 1 pokrywa się z linią a, a linia b z linią b 1. Dlatego kąt między dwiema przecinającymi się liniami a 1 i b 1 jest równy kątowi między przecinającymi się liniami a i b .

Dowodzi to, że kąt między przecinającymi się prostymi a i b leżący w przecinających się płaszczyznach i nie zależy od wyboru punktu M, przez który przechodzi płaszczyzna. Dlatego logiczne jest przyjęcie tego kąta jako kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami.

Teraz możesz wyrazić definicję kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami i .

Definicja.

Kąt między dwiema płaszczyznami przecinającymi się w linii prostej i jest kątem między dwiema przecinającymi się liniami a i b, wzdłuż których płaszczyzny i przecinają się z płaszczyzną prostopadłą do linii c.

Definicję kąta między dwiema płaszczyznami można podać nieco inaczej. Jeżeli na linii c, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny, zaznacz punkt M i przeciągnij przez niego linie a i b, prostopadłe do linii ci leżące w płaszczyznach i odpowiednio, to kąt między liniami a i b jest równy kąt między płaszczyznami i. Zazwyczaj w praktyce takie konstrukcje wykonuje się w celu uzyskania kąta między płaszczyznami.

Ponieważ kąt między przecinającymi się prostymi nie przekracza, z dźwięcznej definicji wynika, że miara stopnia kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami jest wyrażona liczbą rzeczywistą z przedziału. W tym przypadku przecinające się płaszczyzny nazywane są prostopadły jeśli kąt między nimi wynosi dziewięćdziesiąt stopni. Kąt między równoległymi płaszczyznami albo nie jest w ogóle określony, albo jest uważany za równy zero.

Znajdowanie kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami.

Zwykle przy wyznaczaniu kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami najpierw trzeba wykonać dodatkowe konstrukcje, aby zobaczyć przecinające się linie, między którymi kąt jest równy żądanemu kątowi, a następnie połączyć ten kąt z danymi pierwotnymi za pomocą znaków równości, znaki podobieństwa, twierdzenie cosinusa lub definicje sinusa, cosinusa i tangensa kąta. Na liceum z geometrii są podobne problemy.

Podajmy na przykład rozwiązanie problemu C2 z Unified State Examination z matematyki na rok 2012 (warunek celowo zmieniony, ale nie wpływa to na zasadę rozwiązania). W nim wystarczyło znaleźć kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami.

Przykład.

Rozwiązanie.

Najpierw zróbmy rysunek.

Wykonajmy dodatkowe konstrukcje, aby „zobaczyć” kąt między płaszczyznami.

Najpierw zdefiniujmy linię prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny ABC i BED 1. Punkt B jest jednym z ich wspólnych punktów. Znajdź drugi wspólny punkt tych płaszczyzn. Proste DA i D 1 E leżą w tej samej płaszczyźnie ADD 1 i nie są równoległe, a zatem przecinają się. Z drugiej strony prosta DA leży w płaszczyźnie ABC, a prosta D 1 E leży w płaszczyźnie BED 1, dlatego punkt przecięcia prostych DA i D 1 E będzie punktem wspólnym płaszczyzn ABC i ŁÓŻKO 1. Tak więc kontynuujemy linie DA i D 1 E, aż się przetną, punkt ich przecięcia oznaczamy literą F. Wtedy BF jest linią prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny ABC i BED 1.

Pozostaje skonstruować dwie proste leżące odpowiednio w płaszczyznach ABC i BED 1, przechodzące przez jeden punkt na prostej BF i prostopadłe do prostej BF - kąt pomiędzy tymi liniami z definicji będzie równy żądanemu kątowi pomiędzy samoloty ABC i BED 1 . Zróbmy to.

Kropka A jest rzutem punktu E na płaszczyznę ABC. Narysuj linię, która przecina pod kątem prostym linię BF w punkcie M. Wtedy prosta AM jest rzutem prostej EM na płaszczyznę ABC i twierdzeniem o trzech prostopadłych.

Zatem pożądany kąt pomiędzy płaszczyznami ABC i BED 1 wynosi .

Sinus, cosinus lub tangens tego kąta (a więc i sam kąt) możemy wyznaczyć z trójkąta prostokątnego AEM, jeśli znamy długości jego dwóch boków. Z warunku łatwo jest znaleźć długość AE: ponieważ punkt E dzieli bok AA 1 w stosunku do 4 do 3, licząc od punktu A, a długość boku AA 1 wynosi 7, to AE \u003d 4. Znajdźmy długość AM.

Aby to zrobić, rozważ trójkąt prostokątny ABF z kątem prostym A, gdzie AM jest wysokością. Według warunku AB=2. Długość boku AF możemy znaleźć z podobieństwa trójkątów prostokątnych DD 1 F i AEF :

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa z trójkąta ABF znajdujemy . Długość AM znajdujemy przez obszar trójkąta ABF: z jednej strony obszar trójkąta ABF jest równy , z drugiej strony , gdzie .

Tak więc z prawego trójkąta AEM mamy .

Wtedy żądany kąt między płaszczyznami ABC i BED 1 wynosi (zauważ, że ).

Odpowiedź:

W niektórych przypadkach, aby znaleźć kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami, wygodnie jest określić Oxyz i użyć metody współrzędnych. Zatrzymajmy się na tym.

Postawmy sobie zadanie: znaleźć kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami i . Oznaczmy żądany kąt jako .

Zakładamy, że w zadanym prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz znamy współrzędne wektorów normalnych przecinających się płaszczyzn i lub możemy je znaleźć. Zostawiać jest wektorem normalnym płaszczyzny, a jest wektorem normalnym płaszczyzny . Pokażmy, jak znaleźć kąt między przecinającymi się płaszczyznami i poprzez współrzędne wektorów normalnych tych płaszczyzn.

Oznaczmy linię, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny, i jako c . Przez punkt M na linii c rysujemy płaszczyznę prostopadłą do linii c. Płaszczyzna przecina płaszczyzny i wzdłuż linii odpowiednio a i b, linie a i b przecinają się w punkcie M. Z definicji kąt między przecinającymi się płaszczyznami i jest równy kątowi między przecinającymi się liniami a i b.

Odłóżmy od punktu M na płaszczyźnie wektory normalne oraz płaszczyzny i . W tym przypadku wektor leży na linii prostopadłej do linii a, a wektor na linii prostopadłej do linii b. Zatem na płaszczyźnie wektor jest wektorem normalnym prostej a, jest wektorem normalnym prostej b.

W artykule Znajdowanie kąta między przecinającymi się prostymi uzyskaliśmy wzór, który pozwala obliczyć cosinus kąta między przecinającymi się prostymi przy użyciu współrzędnych wektorów normalnych. Zatem cosinus kąta między prostymi a i b, a w konsekwencji i cosinus kąta między przecinającymi się płaszczyznami i znajduje się wzorem , gdzie I są wektorami normalnymi płaszczyzn i odpowiednio. Następnie oblicza się jako .

Rozwiążmy poprzedni przykład metodą współrzędnych.

Przykład.

Podano prostokątny równoległościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, w którym AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 i punkt E dzieli bok AA 1 w stosunku 4 do 3, licząc od punktu A. Znajdź kąt między płaszczyznami ABC i BED 1.

Rozwiązanie.

Ponieważ boki prostokątnego równoległościanu w jednym wierzchołku są parami prostopadłe, wygodnie jest wprowadzić prostokątny układ współrzędnych Oxyz w następujący sposób: początek jest wyrównany z wierzchołkiem C, a osie współrzędnych Ox, Oy i Oz są skierowane wzdłuż boków CD, CB i CC 1.

Kąt między płaszczyznami ABC i BED 1 można znaleźć poprzez współrzędne wektorów normalnych tych płaszczyzn za pomocą wzoru , gdzie i są wektorami normalnymi płaszczyzn ABC i BED 1, odpowiednio. Wyznaczmy współrzędne wektorów normalnych.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, za pomocą których można zidentyfikować konkretną osobę lub skontaktować się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Twierdzenie

Kąt między płaszczyznami nie zależy od wyboru płaszczyzny cięcia.

Dowód.

Niech będą dwie płaszczyzny α i β przecinające się wzdłuż prostej c. narysuj płaszczyznę γ prostopadłą do prostej c. Wtedy płaszczyzna γ przecina płaszczyzny α i β odpowiednio wzdłuż linii a i b. Kąt między płaszczyznami α i β jest równy kątowi między liniami a i b.
Weź kolejną płaszczyznę cięcia γ`, prostopadłą do c. Wtedy płaszczyzna γ` przetnie płaszczyzny α i β odpowiednio wzdłuż linii a` i b`.
Przy równoległym przesunięciu punkt przecięcia płaszczyzny γ z linią c przejdzie do punktu przecięcia płaszczyzny γ` z linią c. w tym przypadku, dzięki właściwości translacji równoległej, wiersz a przejdzie do wiersza a`, b - do wiersza b`. stąd kąty między liniami a i b, a` i b` są równe. Twierdzenie zostało udowodnione.

Nawigacja po stronach.

Kąt między płaszczyznami - definicja.

Prezentując materiał będziemy się posługiwać definicjami i pojęciami podanymi w wyrobach płaszczyzna w przestrzeni i prosta w przestrzeni.

Podajmy argumenty, które pozwolą nam stopniowo zbliżać się do definicji kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami.

Daj nam dwie przecinające się płaszczyzny i . Płaszczyzny te przecinają się w linii prostej, którą oznaczamy literą C. Skonstruuj samolot przechodzący przez punkt m proste C i prostopadle do linii C. W takim przypadku samolot przetnie płaszczyzny i . Oznaczamy linię, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny i jako a, ale linia prosta, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny i jak b. Oczywiście bezpośredni. a I b przecinają się w punkcie m.

Łatwo pokazać, że kąt między przecinającymi się liniami a I b nie zależy od lokalizacji punktu m na linii prostej C przez który przechodzi samolot.

Skonstruuj płaszczyznę prostopadłą do linii C i różni się od samolotu. Płaszczyzna przecina się płaszczyznami i wzdłuż linii prostych, które oznaczamy 1 I b 1 odpowiednio.

Z metody konstruowania płaszczyzn wynika, że linie a I b prostopadle do linii C i bezpośredni 1 I b 1 prostopadle do linii C. Ponieważ prosto a I 1 C, to są one równoległe. Podobnie, prosto b I b 1 leżą w tej samej płaszczyźnie i są prostopadłe do linii C więc są równoległe. W ten sposób możliwe jest wykonanie równoległego przeniesienia płaszczyzny do płaszczyzny, w której linia prosta 1 pokrywa się z linią a, a linia prosta b z linią prostą b 1. Dlatego kąt między dwiema przecinającymi się liniami 1 I b 1 równy kątowi między przecinającymi się liniami a I b.

Dowodzi to, że kąt między przecinającymi się liniami a I b leży w przecinających się płaszczyznach i nie zależy od wyboru punktu m przez który przechodzi samolot. Dlatego logiczne jest przyjęcie tego kąta jako kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami.

Teraz możesz wyrazić definicję kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami i .

Definicja.

Kąt między dwiema przecinającymi się liniami C samoloty i jest kątem między dwiema przecinającymi się liniami a I b, wzdłuż którego płaszczyzny i przecinają się z płaszczyzną prostopadłą do prostej C.

Definicję kąta między dwiema płaszczyznami można podać nieco inaczej. Jeśli na linii prostej od, wzdłuż którego płaszczyzny i przecinają się, zaznacz punkt m i narysuj przez nią proste linie ale I b, prostopadle do linii C i leżące w płaszczyznach i odpowiednio, to kąt między liniami ale I b to kąt między płaszczyznami i . Zazwyczaj w praktyce takie konstrukcje wykonuje się w celu uzyskania kąta między płaszczyznami.

Na górze strony

Znajdowanie kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, w którym AB=3, AD=2, AA 1 = 7 i kropka mi dzieli bok AA 1 w związku 4 do 3 , licząc od punktu ALE ABC I ŁÓŻKO 1.

Najpierw zróbmy rysunek.

Wykonajmy dodatkowe konstrukcje, aby „zobaczyć” kąt między płaszczyznami.

Najpierw definiujemy linię prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny ABC I Łóżko 1. Kropka W jest jednym z ich wspólnych punktów. Znajdź drugi wspólny punkt tych płaszczyzn. Bezpośredni DA I D 1 E leżeć w tym samym samolocie DODAJ 1 i nie są równoległe, a zatem przecinają się. Z drugiej strony proste DA leży w samolocie ABC, a linia prosta D 1 E- w samolocie Łóżko 1, stąd punkt przecięcia linii DA I D 1 E będzie wspólnym punktem samolotów ABC I Łóżko 1. Więc idźmy dalej prosto DA I D 1 E przed ich przecięciem, punkt ich przecięcia oznaczamy literą F. Następnie bf- linia, wzdłuż której przecinają się samoloty ABC I Łóżko 1.

Pozostaje skonstruować dwie proste linie leżące w płaszczyznach ABC I Łóżko 1 odpowiednio, przechodząc przez jeden punkt na linii bf i prostopadle do linii bf, - kąt między tymi liniami z definicji będzie równy żądanemu kątowi między płaszczyznami ABC I Łóżko 1. Zróbmy to.

Kropka ALE jest rzutem punktu mi do samolotu ABC. Narysuj linię, która przecina linię pod kątem prostym BF w punkcie m. Następnie linia JESTEM jest rzutem linii prostej JEŚĆ do samolotu ABC i przez twierdzenie o trzech prostopadłych.

Zatem pożądany kąt między płaszczyznami ABC I Łóżko 1 jest równe .

Sinus, cosinus lub tangens tego kąta (a więc i sam kąt) możemy wyznaczyć z trójkąta prostokątnego AEM jeśli znamy długości jego dwóch boków. Pod warunkiem, że łatwo jest znaleźć długość AE: od kropki mi dzieli bok AA 1 w związku 4 do 3 , licząc od punktu ALE i długość boku AA 1 jest równe 7 , następnie AE=4. Znajdźmy inną długość JESTEM.

Aby to zrobić, rozważ trójkąt prostokątny ABF prosty kąt ALE, gdzie JESTEM to wysokość. Według warunku AB=2. długość boku AF możemy znaleźć z podobieństwa trójkątów prostokątnych DD 1F I AEF:

Według twierdzenia Pitagorasa z trójkąta ABF znajdować . Długość JESTEM znaleźć przez obszar trójkąta ABF: z jednej strony obszar trójkąta ABF z drugiej strony jest równy , skąd .

Więc z trójkąta prostokątnego AEM mamy .

Następnie żądany kąt między płaszczyznami ABC I Łóżko 1 równa się (zauważ, że ).

W niektórych przypadkach, aby znaleźć kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami, wygodnie jest ustawić prostokątny układ współrzędnych Oxyz i użyj metody współrzędnych. Zatrzymajmy się na tym.

Postawmy sobie zadanie: znaleźć kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami i . Oznaczmy żądany kąt jako .

Zakładamy, że w danym prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz znamy współrzędne wektorów normalnych przecinających się płaszczyzn i/lub mamy możliwość ich znalezienia. Niech będzie wektorem normalnym płaszczyzny i będzie wektorem normalnym płaszczyzny . Pokażmy, jak znaleźć kąt między przecinającymi się płaszczyznami i poprzez współrzędne wektorów normalnych tych płaszczyzn.

Oznaczmy linię, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny i jako C. Przez kropkę m na linii prostej C narysuj płaszczyznę prostopadłą do linii C. Płaszczyzna przecina płaszczyzny i wzdłuż linii prostych a I b odpowiednio, bezpośredni a I b przecinają się w punkcie m. Z definicji kąt między przecinającymi się płaszczyznami i jest równy kątowi między przecinającymi się liniami a I b.

Odłóż na bok od punktu m w płaszczyźnie są wektory normalne i płaszczyzny i . Wektor leży na prostej prostopadłej do prostej a, a wektor leży na prostej prostopadłej do prostej b. Zatem na płaszczyźnie wektor jest wektorem normalnym prostej a, - wektor linii normalnej b.

W artykule Znajdowanie kąta między przecinającymi się prostymi uzyskaliśmy wzór, który pozwala obliczyć cosinus kąta między przecinającymi się prostymi przy użyciu współrzędnych wektorów normalnych. Więc cosinus kąta między liniami a I b, i konsekwentnie, cosinus kąta między przecinającymi się płaszczyznami i znajduje się we wzorze , gdzie i są wektorami normalnymi płaszczyzn i, odpowiednio. Następnie kąt między przecinającymi się płaszczyznami jest obliczana jako .

Rozwiążmy poprzedni przykład metodą współrzędnych.

Biorąc pod uwagę prostokątny równoległościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, w którym AB=3, AD=2, AA 1 = 7 i kropka mi dzieli bok AA 1 w związku 4 do 3 , licząc od punktu ALE. Znajdź kąt między płaszczyznami ABC I ŁÓŻKO 1.

Ponieważ boki prostokątnego równoległościanu w jednym wierzchołku są parami prostopadłe, wygodnie jest wprowadzić prostokątny układ współrzędnych Oxyz tak: zacznij łączyć z topem OD, a osie współrzędnych Wół, Oy I Oz rozejść się Płyta CD, CB I CC 1 odpowiednio.

Kąt między płaszczyznami ABC I Łóżko 1 można znaleźć poprzez współrzędne wektorów normalnych tych płaszczyzn według wzoru , gdzie i są wektorami normalnymi płaszczyzn ABC I Łóżko 1 odpowiednio. Wyznaczmy współrzędne wektorów normalnych.

Od samolotu ABC pokrywa się z płaszczyzną współrzędnych Oxy, to jego wektor normalny jest wektorem współrzędnych , czyli .

Jako normalny wektor płaski Łóżko 1 możemy wziąć iloczyn poprzeczny wektorów i z kolei współrzędne wektorów i można je znaleźć poprzez współrzędne punktów W, mi I D1(co jest napisane w artykule współrzędne wektora poprzez współrzędne punktów jego początku i końca) oraz współrzędne punktów W, mi I D1 we wprowadzonym układzie współrzędnych określamy na podstawie stanu problemu.

Oczywiście, . Ponieważ , wtedy znajdujemy współrzędne punktów (jeśli to konieczne, patrz artykuł podział segmentu w danym stosunku). Wtedy i Oxyz są równaniami i .

Kiedy badaliśmy ogólne równanie prostej, okazało się, że współczynniki ALE, W I OD są odpowiednimi współrzędnymi wektora normalnego płaszczyzny. Tak więc i są wektorami normalnymi płaszczyzn i odpowiednio.

Wstawiamy współrzędne wektorów normalnych płaszczyzn do wzoru na obliczenie kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami:

Następnie . Ponieważ kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami nie jest rozwarty, to korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej znajdujemy sinus kąta:.

Miarą kąta między płaszczyznami jest kąt ostry utworzony przez dwie proste leżące w tych płaszczyznach i poprowadzone prostopadle do linii ich przecięcia.

Algorytm budowy

Z dowolnego punktu K do każdej z podanych płaszczyzn są rysowane prostopadłe.
Obrót wokół linii poziomu określa wartość kąta γ° z wierzchołkiem w punkcie K.
Oblicz kąt między płaszczyznami ϕ° = 180 - γ° pod warunkiem, że γ° > 90°. Jeśli γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Rysunek przedstawia przypadek, w którym płaszczyzny α i β są podane przez ślady. Wszystkie niezbędne konstrukcje są wykonane zgodnie z algorytmem i zostały opisane poniżej.

Rozwiązanie

W dowolnym miejscu rysunku zaznaczamy punkt K. Z niego obniżamy prostopadłe odpowiednio m i n do płaszczyzn α i β. Kierunki rzutów m i n są następujące: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
Określamy rzeczywisty rozmiar ∠γ° między liniami m i n. Aby to zrobić, obróć płaszczyznę kąta z wierzchołkiem K wokół czołowej f do pozycji równoległej do przedniej płaszczyzny rzutowania. Promień skrętu R punktu K jest równy wartości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego O""K""K 0 , którego ramię to K""K 0 = y K – y O .
Pożądany kąt to ϕ° = ∠γ°, ponieważ ∠γ° jest ostry.

Poniższy rysunek przedstawia rozwiązanie problemu, w którym należy znaleźć kąt γ° między płaszczyznami α i β, wyrażony odpowiednio przez linie równoległe i przecinające się.

Rozwiązanie

Wyznaczamy kierunek rzutów poziomych h 1 , h 2 i frontów f 1 , f 2 należących do płaszczyzn α i β w kolejności wskazanej strzałkami. Z dowolnego punktu K na kwadracie. α i β opuszczamy prostopadłe e i k. W tym przypadku e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 i k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
Określamy ∠γ° między liniami e i k. Aby to zrobić, narysuj poziomą h 3 i obróć punkt K wokół niego do pozycji K 1, w której △CKD stanie się równoległa do płaszczyzny poziomej i odbije się na niej w pełnym rozmiarze - △C „K” 1 D ”. Rzut środka obrotu O” jest narysowany do h „3 prostopadłe K „O”. Promień R jest określany z trójkąta prostokątnego O „K” K 0, którego bok to K „K 0 \u003d ZO - ZK.
Pożądana wartość to ∠ϕ° = ∠γ°, ponieważ kąt γ° jest ostry.

Podczas rozwiązywania problemów geometrycznych w przestrzeni często zdarzają się takie, w których konieczne jest obliczenie kątów między różnymi obiektami przestrzennymi. W tym artykule rozważymy kwestię znalezienia kątów między płaszczyznami oraz między nimi a linią prostą.

Linia prosta w przestrzeni

Wiadomo, że absolutnie każdą linię prostą w płaszczyźnie można zdefiniować następującą równością:

Tutaj aib to kilka liczb. Jeśli za pomocą tego samego wyrażenia przedstawimy linię prostą w przestrzeni, otrzymamy płaszczyznę równoległą do osi z. Do matematycznego zdefiniowania linii przestrzennej stosuje się inną metodę rozwiązania niż w przypadku dwuwymiarowym. Polega na wykorzystaniu pojęcia „wektora kierującego”.

Przykłady rozwiązywania zadań wyznaczania kąta przecięcia płaszczyzn

Wiedząc, jak znaleźć kąt między płaszczyznami, rozwiążemy następujący problem. Podane są dwie płaszczyzny, których równania mają postać:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Jaki jest kąt między płaszczyznami?

Aby odpowiedzieć na pytanie problemu, przypominamy, że współczynniki, które stoją przy zmiennych w ogólnym równaniu płaszczyzny, są współrzędnymi wektora prowadzącego. Dla tych płaszczyzn mamy następujące współrzędne ich normalnych:

n 1 (3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)

Teraz znajdujemy iloczyn skalarny tych wektorów i ich modułów, mamy:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;
|n 1 ¯| = (9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Teraz możesz podstawić znalezione liczby do wzoru podanego w poprzednim akapicie. Otrzymujemy:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Wynikowa wartość odpowiada ostremu kątowi przecięcia płaszczyzn określonych w stanie problemu.

Spójrzmy teraz na inny przykład. Biorąc pod uwagę dwa samoloty:

Czy się przecinają? Wypiszmy wartości współrzędnych ich wektorów kierunkowych, obliczmy ich iloczyn skalarny i moduły:

n 1 (1; 1; 0);
n 2 (3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18

Wtedy kąt przecięcia wynosi:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Ten kąt wskazuje, że płaszczyzny nie przecinają się, ale są równoległe. Łatwo sprawdzić, czy nie pasują do siebie. Przyjmijmy za to dowolny punkt należący do pierwszego z nich, na przykład P(0; 3; 2). Podstawiając jego współrzędne do drugiego równania, otrzymujemy:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

Oznacza to, że punkt P należy tylko do pierwszej płaszczyzny.

Zatem dwie płaszczyzny są równoległe, gdy ich normalne są.

Samolot i linia

W przypadku rozważania względnego położenia między płaszczyzną a linią prostą możliwości jest o kilka więcej niż w przypadku dwóch płaszczyzn. Fakt ten wiąże się z faktem, że linia prosta jest obiektem jednowymiarowym. Linia i płaszczyzna mogą być:

wzajemnie równoległe, w tym przypadku płaszczyzna nie przecina linii;
ta ostatnia może należeć do płaszczyzny, a jednocześnie będzie do niej równoległa;
oba obiekty mogą przecinać się pod pewnym kątem.

Rozważmy najpierw ostatni przypadek, ponieważ wymaga on wprowadzenia pojęcia kąta przecięcia.

Linia i płaszczyzna, wartość kąta między nimi

Jeśli linia prosta przecina płaszczyznę, nazywa się ją nachyloną względem niej. Punkt przecięcia nazywany jest podstawą skarpy. Aby określić kąt między tymi obiektami geometrycznymi, konieczne jest obniżenie prostej prostopadłej do płaszczyzny z dowolnego punktu. Wtedy punkt przecięcia prostopadłej z płaszczyzną i miejsce przecięcia z nią skośnej tworzą linię prostą. Ta ostatnia nazywana jest rzutem pierwotnej linii na rozważaną płaszczyznę. Ostry i jego projekcja jest pożądana.

Nieco mylącą definicję kąta między płaszczyzną a ukośną wyjaśni poniższy rysunek.

Tutaj kąt ABO jest kątem między prostą AB a płaszczyzną a.

Aby napisać na to formułę, rozważ przykład. Niech będzie prosta i płaszczyzna, które opisują równania:

(x ; y ; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0

Łatwo jest obliczyć żądany kąt dla tych obiektów, jeśli znajdziesz iloczyn skalarny między wektorami kierunku linii i płaszczyzny. Otrzymany kąt ostry należy odjąć od 90 o, a następnie uzyskać go pomiędzy linią prostą a płaszczyzną.

Powyższy rysunek przedstawia opisany algorytm znajdowania rozważanego kąta. Tutaj β jest kątem między normalną a prostą, a α między prostą i jej rzutem na płaszczyznę. Widać, że ich suma wynosi 90 o .

Powyżej przedstawiono wzór, który odpowiada na pytanie, jak znaleźć kąt między płaszczyznami. Teraz podajemy odpowiednie wyrażenie dla przypadku linii prostej i płaszczyzny:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Moduł we wzorze pozwala na obliczenie tylko kątów ostrych. Funkcja arcsine pojawiła się zamiast arccosinus dzięki zastosowaniu odpowiedniego wzoru redukcji między funkcjami trygonometrycznymi (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Problem: Samolot przecina linię

Teraz pokażemy, jak pracować z powyższym wzorem. Rozwiążmy problem: konieczne jest obliczenie kąta między osią y a płaszczyzną określoną równaniem:

Ta płaszczyzna jest pokazana na rysunku.

Widać, że przecina ona osie y i z odpowiednio w punktach (0; -12; 0) i (0; 0; 12) i jest równoległa do osi x.

Wektor kierunkowy prostej y ma współrzędne (0; 1; 0). Wektor prostopadły do danej płaszczyzny charakteryzuje współrzędne (0; 1; -1). Stosujemy wzór na kąt przecięcia prostej i płaszczyzny, otrzymujemy:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o

Problem: linia prosta równoległa do płaszczyzny

Rozwiążmy teraz problem podobny do poprzedniego, którego pytanie jest postawione inaczej. Znane są równania płaszczyzny i prostej:

x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

Konieczne jest ustalenie, czy te obiekty geometryczne są do siebie równoległe.

Mamy dwa wektory: linia kierująca to (0; 2; 2) i płaszczyzna kierująca to (1; 1; -1). Znajdujemy ich iloczyn skalarny:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Otrzymane zero wskazuje, że kąt między tymi wektorami wynosi 90 o , co świadczy o równoległości prostej i płaszczyzny.

Sprawdźmy teraz, czy ta linia jest tylko równoległa, czy też leży w płaszczyźnie. W tym celu wybierz dowolny punkt na linii i sprawdź, czy należy on do płaszczyzny. Na przykład weźmy λ = 0, wtedy punkt P(1; 0; 0) należy do prostej. Podstawiamy do równania płaszczyzny P:

Punkt P nie należy do płaszczyzny, a więc cała prosta nie leży w nim.

Gdzie ważna jest znajomość kątów między rozważanymi obiektami geometrycznymi?

Powyższe formuły i przykłady rozwiązywania problemów mają znaczenie nie tylko teoretyczne. Są one często używane do wyznaczania ważnych wielkości fizycznych rzeczywistych trójwymiarowych figur, takich jak pryzmaty czy piramidy. Ważna jest umiejętność określenia kąta między płaszczyznami przy obliczaniu objętości figur i pól ich powierzchni. Co więcej, jeśli w przypadku prostego pryzmatu możliwe jest niestosowanie tych wzorów do określenia wskazanych wielkości, to dla każdego rodzaju piramidy ich użycie jest nieuniknione.

Poniżej rozważymy przykład wykorzystania podanej teorii do wyznaczenia kątów piramidy o podstawie kwadratu.

Piramida i jej narożniki

Poniższy rysunek przedstawia piramidę, u podstawy której leży kwadrat o boku a. Wysokość figury to h. Musisz znaleźć dwa rogi:

między boczną powierzchnią a podstawą;
między boczną krawędzią a podstawą.

Aby rozwiązać problem, musisz najpierw wprowadzić układ współrzędnych i określić parametry odpowiednich wierzchołków. Rysunek pokazuje, że początek współrzędnych pokrywa się z punktem w środku podstawy kwadratu. W tym przypadku płaszczyznę bazową opisuje równanie:

Oznacza to, że dla dowolnych x i y wartość trzeciej współrzędnej jest zawsze równa zero. Płaszczyzna boczna ABC przecina oś z w punkcie B(0; 0; h) oraz oś y w punkcie o współrzędnych (0; a/2; 0). Nie przecina osi X. Oznacza to, że równanie płaszczyzny ABC można zapisać jako:

r / (a / 2) + z / h = 1 lub
2 * h * y + a * z - a * h = 0

Wektor AB¯ jest boczną krawędzią. Jego współrzędne początkowe i końcowe to: A(a/2; a/2; 0) i B(0; 0; h). Następnie współrzędne samego wektora:

Znaleźliśmy wszystkie niezbędne równania i wektory. Teraz pozostaje użyć rozważanych formuł.

Najpierw w piramidzie obliczamy kąt między płaszczyznami podstawy i boku. Odpowiednie wektory normalne to: n 1 (0; 0; 1) i n 2 ¯ (0; 2*h; a). Wtedy kąt będzie wynosił: