Sinuso teorema lygi dviem spinduliams. Sinuso teoremos įrodymas

Sukonstruojame savavališką trikampį, įrašytą į apskritimą. Pažymėkime jį kaip ABC.
Norint įrodyti visą teoremą, kadangi trikampio matmenys pasirinkti savavališkai, pakanka įrodyti, kad vienos savavališkos kraštinės ir jai priešingo kampo santykis yra lygus 2R. Tegul 2R = a / sin α, tai yra, jei pagal brėžinį imsime 2R = BC / sin A.

Nubrėžkite apibrėžto apskritimo skersmenį BD. Gautas trikampis BCD yra stačiakampis, nes jo hipotenuzė yra ant apibrėžtojo apskritimo skersmens (įbrėžtų kampų apskritime savybė).

Kadangi į apskritimą įbrėžti kampai, remiantis tuo pačiu lanku, yra lygūs, tada kampas CDB yra lygus kampui CAB (jei taškai A ir D yra toje pačioje tiesės BC pusėje), arba lygus π - CAB (kitaip) .

Pažiūrėkime į savybes trigonometrinės funkcijos. Kadangi sin(π − α) = sin α, tai nurodytos trikampio sudarymo parinktys vis tiek lems tą patį rezultatą.

Apskaičiuokite reikšmę 2R = a / sin α pagal brėžinį 2R = BC / sin A. Norėdami tai padaryti, pakeiskite sin A atitinkamų stačiojo trikampio kraštinių santykiu.

2R = BC / nuodėmė A
2R = BC/(BC/DB)
2R = DB

Ir kadangi DB buvo sudarytas kaip apskritimo skersmuo, tada lygybė yra tiesa.
Pakartodami tuos pačius argumentus kitoms dviem trikampio kraštinėms, gauname:

Sinuso teorema įrodyta.

Sinuso teorema

Pastaba. Tai yra pamokos su geometrijos problemomis dalis (sinuso teoremos dalis). Jei jums reikia išspręsti geometrijos problemą, kurios čia nėra - parašykite apie tai forume. Užduotyse vietoj simbolio „kvadratinė šaknis“ naudojama funkcija sqrt (), kurioje sqrt yra simbolis kvadratinė šaknis, o skliausteliuose yra šaknies išraiška.

Sinuso teorema:
Trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams arba išplėstine formuluote:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
čia R yra apibrėžtojo apskritimo spindulys

Teorija – apie teoremos formulavimą ir įrodymą išsamiai skaitykite skyriuje „Sinusų teorema“ .

Užduotis

Trikampyje XYZ kampas X=30 kampas Z=15. Statmenas YQ į ZY padalija XZ pusę į dalis XQ ir QZ. Raskite XY, jei QZ = 1,5 m

Sprendimas.
Aukštis sudarė du stačiuosius trikampius XYQ ir ZYQ.
Norėdami išspręsti problemą, naudojame sinuso teoremą.
QZ / nuodėmė (QYZ) = QY / nuodėmė (QZY)

QZY = 15 laipsnių, atitinkamai, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Kadangi dabar žinomas trikampio aukščio ilgis, XY randame naudodami tą pačią sinuso teoremą.

QY / nuodėmė (30) = XY / nuodėmė (90)

Atsižvelgkime į kai kurių trigonometrinių funkcijų lentelių reikšmes:

30 laipsnių sinusas yra sin(30) = 1/2
90 laipsnių sinusas yra sin(90) = 1

QY = XY sin (30)
3/2 (√3 – 1) / (√3 + 1) = 1/2XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0,8 m

Atsakymas: 0,8 m arba 3 (√3 – 1) / (√3 + 1)

Sinuso teorema (2 dalis)

Pastaba. Tai yra pamokos su geometrijos problemomis dalis (sinuso teoremos dalis). Jei jums reikia išspręsti geometrijos problemą, kurios čia nėra - parašykite apie tai forume .

Išsamiai žiūrėkite teoriją skyriuje „Sinusų teorema“ .

Užduotis

Trikampio ABC kraštinė AB yra 16 cm. Kampas A yra 30 laipsnių. Kampas B yra 105 laipsniai. Apskaičiuokite kraštinės BC ilgį.

Sprendimas.
Pagal sinuso teoremą trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Šiuo būdu
BC / sin α = AB / sin γ

Kampo C reikšmę randame remdamiesi tuo, kad trikampio kampų suma yra 180 laipsnių.
C \u003d 180 - 30 -105 \u003d 45 laipsniai.

Kur:
BC / sin 30° = 16 / sin 45°

BC = 16 sin 30° / sin 45°

Remdamiesi trigonometrinių funkcijų lentele, randame:

BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 cm

Atsakymas: 16 / √2

Užduotis.
Trikampyje ABC kampas A \u003d α, kampas C \u003d β, BC \u003d 7cm, BH yra trikampio aukštis.
Raskite AN

Pirma teoremos dalis: savavališko trikampio kraštinės, proporcingos sinusams priešingi kampai, t.y:

Antroji teoremos dalis: kiekviena trupmena yra lygi apskritimo skersmeniui, apibrėžtam apie duotą trikampį, tai yra: .

Matematikos korepetitoriaus komentaras: sinuso teoremos antrosios dalies panaudojimas išdėstytas beveik kas antrame apskritimo konkursiniame uždavinyje. Kodėl? Faktas yra tas, kad lygybė leidžia rasti apskritimo, turinčio tik du trikampio elementus, spindulį. Tai labai dažnai naudoja stiprių problemų sudarytojai, specialiai parenkantys sąlygą taip, kad jokie kiti trikampio elementai (ir visa nuotrauka) nebūtų išdėstyti! „Nuotrauka“ bus plūduriuojanti. Ši aplinkybė labai apsunkina egzamino darbą, nes neleidžia apeiti būdingo turto.

Sinuso teoremos įrodymas:

pagal Atanasyano vadovėlį
Įrodykime, kad bet kurio trikampio, kurio kraštinės a, b, c ir priešingi kampai A, B ir C, lygybė yra teisinga: .
Iš viršūnės B nubrėžkite aukštį BH. Galimi du atvejai:
1) Taškas H yra šone AC (tai įmanoma, kai ir yra ūmūs).
Pagal smailiojo kampo sinuso apibrėžimą taisyklingas trikampis ABH rašome

Panašiai trikampyje CBH turime . Prilyginę BH išraiškas viena kitai, gauname:
2)Tegul H guli ant kraštinės AC tęsinio (pavyzdžiui, į kairę nuo A). Taip atsitiks, jei – kvaila. Panašiai pagal smailaus kampo A sinuso apibrėžimą trikampyje ABH rašome lygybę , bet kadangi gretimų kampų sinusai yra lygūs, pakeitus šią lygybę , gauname kaip pirmuoju atveju. Todėl, nepaisant kampų A ir C, lygybė yra teisinga.
Abi jo dalis padalinę iš gauname . Panašiai įrodyta ir antrosios trupmenų poros lygybė

Sinuso teoremos įrodymas pagal Pogorelovo vadovėlį:

Taikykite trikampio ploto formulę dviem kampams A ir C:

Sulyginus tinkamas dalis ir redukavus iki gauname tokią pat lygybę kaip ir įrodyme pirmuoju metodu. Iš jo tuo pačiu būdu gauname trupmenų lygybę.

Sinuso teoremos antrosios dalies įrodymas:

Aprašykime apskritimą aplink nurodytą trikampį ir nubrėžkime jo skersmenį BD per B. Kadangi kampai D ir C yra pagrįsti tuo pačiu lanku, jie yra lygūs (įbrėžtųjų kampų teoremos pasekmė). Tada . Taikykime trikampio ABD kampo D sinuso apibrėžimą: Štai ką reikėjo įrodyti.

Sinuso teoremos antrosios dalies užduotys:
1) Į 15 spindulio apskritimą įbrėžta trapecija. Įstrižainės ilgiai ir trapecijos aukščiai yra atitinkamai 20 ir 6. Raskite kraštinę.
2) Apriboto apskritimo aplink trapeciją spindulys lygus 25, o jo bukojo kampo kosinusas -0,28 (minusas!!!). Trapecijos įstrižainė sudaro kampą su pagrindu. Raskite trapecijos aukštį.
3) Į 10 spindulio apskritimą įbrėžta trapecija. Trapecijos įstrižainės ir vidurinės linijos ilgiai yra atitinkamai 15 ir 12. Raskite trapecijos šoninės kraštinės ilgį.
4) Olimpinės žaidynės Finansų akademija 2009 m Apskritimo stygos susikerta taške Q. Yra žinoma, kad apskritimo spindulys lygus 4 cm. Raskite stygos ilgį PN. 2009 m. finansų akademijos olimpiada
5) Trikampyje PST . 8 cm spindulio apskritimas yra apibrėžtas aplink jo pusiausvyros ir viršūnių P ir T susikirtimo tašką. Raskite apskritimo, apibrėžto apie trikampį PST, spindulį (autoriaus uždavinys).

Matematikos dėstytojas visada padės išsamiai išanalizuoti sinuso teoremą ir įgyti reikiamos jos panaudojimo užduotyse praktikos. Jos planuojamos mokyklinės studijos vyksta 9 klasės geometrijos kurse trikampių sprendimo tema (visoms programoms). Jei matematikos egzaminui reikės ruoštis, kad egzaminą išlaikytum ne mažiau kaip 70 balų, teks pasitreniruoti spręsti stiprias planimetrines užduotis iš C4 skaičių. Juose sinuso teorema dažnai taikoma įrašytiems trikampiams, atsižvelgiant į santykį. Prisimink tai!

Pagarbiai Kolpakovas Aleksandras Nikolajevičius,
matematikos dėstytojas

Abiturientai, besiruošiantys laikyti matematikos egzaminą ir norintys gauti gana aukštus balus, būtinai turi įvaldyti uždavinių sprendimo principą naudojant sinusų ir kosinusų teoremą. Ilgametė praktika rodo, kad tokios užduotys iš skyriaus „Geometrija plokštumoje“ yra privaloma sertifikavimo testo programos dalis. Todėl, jei vienas iš jūsų trūkumai yra kosinusų ir sinusų teoremos užduotys, rekomenduojame būtinai pakartoti pagrindinę teoriją šia tema.

Pasiruoškite egzaminui su edukaciniu portalu "Shkolkovo"

Pasivyti anksčiau išlaikęs egzaminą, daugelis absolventų susiduria su problema, kaip rasti pagrindinę teoriją, reikalingą sprendžiant praktines sinusų ir kosinusų teoremos problemas.

Vadovėlis ne visada būna po ranka tinkamu laiku. O rasti reikiamas formules kartais gana problemiška net internete.

Pasiruošimas sertifikavimo testui su edukacinis portalas„Shkolkovo“ bus aukščiausios kokybės ir efektyvumo. Kad sinusų ir kosinusų teoremos užduotys būtų lengvos, rekomenduojame atnaujinti visos teorijos atmintį šia tema. Mūsų ekspertai šią medžiagą parengė remdamiesi turtinga patirtimi ir pateikė ją suprantama forma. Jį rasite skiltyje „Teorinė nuoroda“.

Pagrindinių teoremų ir apibrėžimų žinojimas yra pusė sėkmės išlaikant sertifikavimo testą. Tinkami pratimai leidžia patobulinti pavyzdžių sprendimo įgūdžius. Norėdami juos rasti, tiesiog eikite į "Shkolkovo" švietimo svetainės skyrių "Katalogas". Yra didelis užduočių sąrašas. skirtingi lygiai sudėtingumo, kuris nuolat papildomas ir atnaujinamas.

Užduotis dėl sinusų ir kosinusų teoremų, panašių į tas, kurios yra randamos vieningame valstybiniame matematikos egzamine, studentai gali atlikti internetu, būdami Maskvoje ar bet kuriame kitame Rusijos mieste.

Jei reikia, bet kurį pratimą, pavyzdžiui, galima išsaugoti skiltyje „Mėgstamiausi“. Tai leis prie jo grįžti ateityje, kad dar kartą išanalizuoti teisingo atsakymo paieškos algoritmą ir aptarti jį su mokytoju mokykloje ar dėstytoju.

Trigonometrija plačiai naudojama ne tik algebros atkarpoje – analizės pradžioje, bet ir geometrijoje. Šiuo atžvilgiu pagrįsta manyti, kad egzistuoja teoremos ir jų įrodymai, susiję su trigonometrinėmis funkcijomis. Iš tiesų, kosinuso ir sinuso teoremos išveda labai įdomius ir, svarbiausia, naudingus ryšius tarp trikampių kraštinių ir kampų.

Naudodami šią formulę galite gauti bet kurią iš trikampio kraštinių:

Teiginio įrodymas išvestas remiantis Pitagoro teorema: hipotenuzės kvadratas lygus kojų kvadratų sumai.

Apsvarstykite savavališką trikampį ABC. Nuo viršūnės C nuleidžiame aukštį h iki figūros pagrindo, šiuo atveju jo ilgis visiškai nesvarbus. Dabar, jei apsvarstysime savavališką trikampį ACB, tada taško C koordinates galime išreikšti trigonometriškai cos funkcijos ir nuodėmė.

Prisiminkite kosinuso apibrėžimą ir parašykite trikampio ACD kraštinių santykį: cos α = AD/AC | padauginkite abi lygybės puses iš AC; AD = AC * cos α.

Paimkime ilgį AC kaip b ir gaukime pirmosios taško C koordinatės išraišką:
x = b * cos⁡α. Panašiai randame ordinatės C reikšmę: y = b * sin α. Toliau taikome Pitagoro teoremą ir pakaitomis išreiškiame h trikampiui ACD ir DCB:

Akivaizdu, kad abi išraiškos (1) ir (2) yra lygios viena kitai. Dešiniąsias puses sulyginame ir pateikiame panašias:

Apie praktiką duota formulė leidžia rasti nežinomos trikampio kraštinės ilgį pagal duoti kampai. Kosinuso teorema turi tris pasekmes: trikampio stačiajam, smailiam ir buku kampui.

Pakeiskime cos α reikšmę įprastu kintamuoju x, tada trikampio ABC smailiam kampui gausime:

Jei kampas pasirodo teisingas, tada 2bx išnyks iš išraiškos, nes cos 90 ° \u003d 0. Grafiškai antrąją pasekmę galima pavaizduoti taip:

Buku kampo atveju prieš dvigubą argumentą esantis ženklas „-“ pasikeis į „+“:

Kaip matote iš paaiškinimo, santykiuose nėra nieko sudėtingo. Kosinuso teorema yra ne kas kita, kaip Pitagoro teoremos išdėstymas trigonometriniais dydžiais.

Praktinis teoremos taikymas

1 pratimas. Duotas trikampis ABC, kurio kraštinė BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm, o cos α = ½. Raskite kraštinės AB ilgį.

Norėdami teisingai apskaičiuoti, turite nustatyti kampą α. Norėdami tai padaryti, žr. trigonometrinių funkcijų verčių lentelę, pagal kurią lanko kosinusas yra 1/2, kai kampas yra 60 °. Remdamiesi tuo, naudojame teoremos pirmosios išvados formulę:

2 užduotis. Trikampiui ABC žinomos visos kraštinės: AB =4√2,BC=5,AC=7. Būtina rasti visus figūros kampus.

Tokiu atveju neapsieisite be problemos sąlygų brėžinio.

Kadangi kampų reikšmės lieka nežinomos, reikėtų naudoti pilna formulė smailiam kampui.

Analogiškai nesunku suformuluoti ir apskaičiuoti kitų kampų vertes:

Apibendrinant, trys trikampio kampai turėtų būti 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, todėl sprendimas yra rastas.

Sinuso teorema

Teorema teigia, kad visos savavališko trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams. Santykiai parašyti trigubos lygybės forma:

Klasikinis teiginio įrodymas atliekamas apskritime įbrėžtos figūros pavyzdžiu.

Norint patikrinti teiginio teisingumą naudojant trikampio ABC pavyzdį paveiksle, būtina patvirtinti faktą, kad 2R = BC / sin A. Tada įrodyti, kad kitos kraštinės taip pat atitinka priešingų kampų sinusus, pvz., 2R arba D apskritimo.

Norėdami tai padaryti, nubrėžiame apskritimo skersmenį iš viršūnės B. Iš kampų, įrašytų į apskritimą, savybių ∠GCB yra tiesi linija, o ∠CGB yra lygi ∠CAB arba (π - ∠CAB). Sinuso atveju pastaroji aplinkybė nėra reikšminga, nes nuodėmė (π -α) \u003d nuodėmė α. Remiantis aukščiau pateiktomis išvadomis, galima teigti, kad:

sin ∠CGB = BC/BG arba sin A = BC/2R,

Jei atsižvelgsime į kitus figūros kampus, gausime išplėstinę sinuso teoremos formulę: