Liejimo formulės su išsamiu paaiškinimu. Redukcijos formulės: įrodymas, pavyzdžiai, mnemoninė taisyklė

Pamokos tema

Sinuso, kosinuso ir tangento pokytis didėjant kampui.

Pamokos tikslai

Susipažinkite su naujais apibrėžimais ir prisiminkite kai kuriuos jau išnagrinėtus.
Susipažinkite su sinuso, kosinuso ir tangento reikšmių pokyčių modeliu didėjant kampui.
Tobulinimas – ugdyti mokinių dėmesį, užsispyrimą, užsispyrimą, loginis mąstymas, matematinė kalba.
Mokomoji – per pamoką ugdyti dėmesingą požiūrį vienas į kitą, ugdyti gebėjimą išklausyti bendražygius, savitarpio pagalbą, savarankiškumą.

Pamokos tikslai

Patikrinkite mokinių žinias.

Pamokos planas

Anksčiau išmoktos medžiagos kartojimas.
Pasikartojančios užduotys.
Sinuso, kosinuso ir tangento pokytis didėjant kampui.
Praktinis naudojimas.

Anksčiau studijuotos medžiagos kartojimas

Pradėkime nuo pat pradžių ir prisiminkime, kas bus naudinga atgaivinant atmintį. Kas yra sinusas, kosinusas ir liestinė ir kokiai geometrijos atkarpai priklauso šios sąvokos.

Trigonometrija- tai taip sudėtinga Graikiškas žodis: trigononas - trikampis, metro - matas. Todėl graikiškai tai reiškia: matuojamas trikampiais.

Dalykai > Matematika > Matematika 8 klasė

Trigonometrija Redukcijos formulės.

Liejimo formulių nereikia mokyti, jas reikia suprasti. Supraskite jų išvesties algoritmą. Tai labai lengva!

Paimkime vienetinį apskritimą ir ant jo uždėkime visus laipsnius (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).

Išanalizuokime sin(a) ir cos(a) funkcijas kiekviename ketvirtyje.

Atminkite, kad sin (a) funkciją žiūrime išilgai Y ašies, o funkciją cos (a) – išilgai X ašies.

Pirmajame ketvirtyje matyti, kad funkcija sin(a)>0
Ir funkcija cos(a)>0
Pirmąjį ketvirtį galima apibūdinti laipsniu, kaip (90-α) arba (360+α).

Antrajame ketvirtyje matyti, kad funkcija sin(a)>0, nes y ašis tą ketvirtį yra teigiama.
Funkcija cos(a), nes x ašis tame ketvirtyje yra neigiama.
Antrąjį ketvirtį galima apibūdinti laipsniu, kaip (90+α) arba (180-α).

Trečiajame ketvirtyje matyti, kad funkcijos nuodėmė (a) Trečiąjį ketvirtį laipsniais galima apibūdinti kaip (180+α) arba (270-α).

Ketvirtajame ketvirtyje matyti, kad funkcija sin(a), nes y ašis tame ketvirtyje yra neigiama.
Funkcija cos(a)>0, nes x ašis tame ketvirtyje yra teigiama.
Ketvirtąjį ketvirtį laipsniais galima apibūdinti kaip (270+α) arba (360-α).

Dabar pažvelkime į pačias redukcijos formules.

Prisiminkime paprastą algoritmas:
1. ketvirtis.(Visada žiūrėkite, kuriame kvartale esate).
2. Pasirašyti.(Dėl ketvirtadalio žr. teigiamas arba neigiamas kosinuso arba sinuso funkcijas).
3. Jei skliausteliuose yra (90° arba π/2) ir (270° arba 3π/2), tada funkcijų pokyčiai.

Taigi mes pradedame išardyti šį algoritmą ketvirčiais.

Sužinokite, kam bus lygi išraiška cos(90-α).
Pakalbėkime apie algoritmą:
1. Ketvirtis vienas.

valia cos(90-α) = sin(α)

Sužinok, kam bus lygi sin (90-α) išraiška
Pakalbėkime apie algoritmą:
1. Ketvirtis vienas.

valia sin(90-α) = cos(α)

Sužinok, kam bus lygi išraiška cos(360+α).
Pakalbėkime apie algoritmą:
1. Ketvirtis vienas.
2. Pirmąjį ketvirtį kosinuso funkcijos ženklas yra teigiamas.

valia cos(360+α) = cos(α)

Sužinok, kam bus lygi išraiška sin (360 + α).
Pakalbėkime apie algoritmą:
1. Ketvirtis vienas.
2. Pirmajame ketvirtyje sinuso funkcijos ženklas yra teigiamas.
3. Skliausteliuose nėra (90° arba π/2) ir (270° arba 3π/2), tada funkcija nesikeičia.
valia nuodėmė (360+α) = nuodėmė (α)

Sužinok, kam bus lygi išraiška cos(90+α).
Pakalbėkime apie algoritmą:
1. Antras ketvirtis.

3. Skliausteliuose yra (90 ° arba π / 2), tada funkcija keičiasi iš kosinuso į sinusą.
valia cos(90+α) = -sin(α)

Sužinok, kam bus lygi išraiška sin (90 + α).
Pakalbėkime apie algoritmą:
1. Antras ketvirtis.

3. Skliausteliuose yra (90 ° arba π / 2), tada funkcija pasikeičia iš sinuso į kosinusą.
valia sin(90+α) = cos(α)

Sužinokite, kam bus lygi išraiška cos(180-α).
Pakalbėkime apie algoritmą:
1. Antras ketvirtis.
2. Antrąjį ketvirtį kosinuso funkcijos ženklas yra neigiamas.
3. Skliausteliuose nėra (90° arba π/2) ir (270° arba 3π/2), tada funkcija nesikeičia.
valia cos(180-α) = cos(α)

Sužinok, kam bus lygi sin (180-α) išraiška
Pakalbėkime apie algoritmą:
1. Antras ketvirtis.
2. Antrajame ketvirtyje sinuso funkcijos ženklas yra teigiamas.
3. Skliausteliuose nėra (90° arba π/2) ir (270° arba 3π/2), tada funkcija nesikeičia.
valia nuodėmė (180-α) = nuodėmė (α)

Panašiai kalbu apie trečią ir ketvirtą kėlinius, sudarysime lentelę:

Prenumeruoti į kanalą YOUTUBE ir žiūrėkite vaizdo įrašą, ruoškitės matematikos ir geometrijos egzaminams su mumis.

Apibrėžimas. Sumažinimo formulės yra formulės, leidžiančios pereiti nuo trigonometrinės funkcijos malonus argumentų funkcijoms. Jų pagalba savavališko kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas gali būti sumažintas iki kampo nuo 0 iki 90 laipsnių (nuo 0 iki radianų) sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento. Taigi, sumažinimo formulės leidžia pereiti prie darbo su kampais 90 laipsnių ribose, o tai neabejotinai yra labai patogu.

Liejimo formulės:

Yra dvi liejimo formulių naudojimo taisyklės.

1. Jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π/2 ±a) arba (3*π/2 ±a), tada funkcijos pavadinimas keičiasi nuodėmė į cos, cos į nuodėmę, tg į ctg, ctg į tg. Jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π ±a) arba (2*π ±a), tada funkcijos pavadinimas lieka nepakitęs.

Pažvelkite į žemiau esantį paveikslą, kuriame schematiškai parodyta, kada ženklą reikia keisti, o kada ne.

2. Sumažintas funkcijos ženklas lieka ta pati. Jei pradinė funkcija turėjo pliuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi pliuso ženklą. Jei pradinė funkcija turėjo minuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi minuso ženklą.

Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti pagrindinių trigonometrinių funkcijų ženklai, priklausantys nuo ketvirčio.

Pavyzdys:

Apskaičiuoti

Naudokime redukcijos formules:

Sin(150˚) yra antrame ketvirtyje, iš paveikslo matome, kad nuodėmės ženklas šiame ketvirtyje yra lygus „+“. Tai reiškia, kad aukščiau nurodyta funkcija taip pat turės „+“ ženklą. Pritaikėme antrąją taisyklę.

Dabar 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ yra π/2. Tai yra, mes susiduriame su atveju π / 2 + 60, todėl pagal pirmąją taisyklę mes keičiame funkciją iš sin į cos. Dėl to gauname Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Pamoka ir pristatymas tema: „Redukcijos formulių taikymas sprendžiant uždavinius“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų. Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 10 klasei
1C: mokykla. Interaktyvios konstravimo užduotys 7-10 kl
1C: mokykla. Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios užduotys kuriant erdvėje 10-11 klasėms

Ką mes studijuosime:
1. Truputį pakartokime.
2. Redukcijos formulių taisyklės.
3. Redukcijos formulių transformacijų lentelė.
4. Pavyzdžiai.

Trigonometrinių funkcijų kartojimas

Vaikinai, jūs jau susidūrėte su vaiduoklių formulėmis, bet jos dar nebuvo taip vadinamos. kur tu manai?

Pažvelkite į mūsų brėžinius. Teisingai, kai jie pristatė trigonometrinių funkcijų apibrėžimus.

Redukcijos formulių taisyklė

Įveskime pagrindinę taisyklę: jei trigonometrinės funkcijos ženkle yra π×n/2 + t formos skaičius, kur n yra bet koks sveikasis skaičius, tai mūsų trigonometrinę funkciją galima sumažinti iki daugiau paprastas vaizdas, kuriame bus tik t argumentas. Tokios formulės vadinamos vaiduoklio formulėmis.

Prisiminkime keletą formulių:

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
sin(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
sin(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tg(t + π*k) = tg(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

yra daug vaiduoklio formulių, sukurkime taisyklę, pagal kurią nustatysime savo trigonometrines funkcijas naudodami vaiduoklio formulės:

Jei trigonometrinės funkcijos ženkle yra tokios formos skaičiai: π + t, π - t, 2π + t ir 2π - t, tai funkcija nepasikeis, tai yra, pavyzdžiui, sinusas liks sinusu, kotangentas liks kotangentas.
Jei trigonometrinės funkcijos ženkle yra tokios formos skaičiai: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t ir 3π/2 - t, tada funkcija pasikeis į susijusią, t.y sinusas taps kosinusu, kotangentas – liestine.
Prieš gautą funkciją turite įdėti ženklą, kurį konvertuota funkcija turėtų, jei 0

Šios taisyklės taip pat taikomos, kai funkcijos argumentas yra laipsniais!

Taip pat galime sudaryti trigonometrinių funkcijų konvertavimo lentelę:

Redukcijos formulių naudojimo pavyzdžiai

1. Transformuokime cos(π + t). Lieka funkcijos pavadinimas, t.y. gauname cos(t). Tada tarkime, kad π/2

2. Transformuoti sin(π/2 + t). Keičiamas funkcijos pavadinimas, t.y. gauname cos(t). Be to, tarkime, kad 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Transformuokime tg(π + t). Lieka funkcijos pavadinimas, t.y. gauname tg(t). Be to, tarkime, kad 0

4. Transformuokime ctg(270 0 + t). Pasikeičia funkcijos pavadinimas, tai yra, gauname tg(t). Be to, tarkime, kad 0

Uždaviniai su redukcijos formulėmis savarankiškam sprendimui

Vaikinai, atsiverskite vadovaudamiesi mūsų taisyklėmis:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 – t),
5) ctg(3π + t),
6) nuodėmė (2π + t),
7) nuodėmė(π/2 + 5t),
8) nuodėmė (π/2 – t),
9) nuodėmė (2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 – t),
13) cos(π - t).

Jie priklauso matematikos „trigonometrijos“ skyriui. Jų esmė yra paversti kampų trigonometrines funkcijas į „paprastesnę“ formą. Apie jų žinių svarbą galima daug rašyti. Šių formulių yra 32!

Nesijaudinkite, jums jų nereikia mokytis, kaip ir daugelio kitų matematikos kurso formulių. Nereikia pildyti galvos nereikalinga informacija, reikia įsiminti „raktus“ ar dėsnius, ir prisiminti ar išvesti norimą formulę nebus problemų. Beje, kai rašau straipsniuose „... reikia mokytis !!!“ – tai reiškia, kad to išmokti tikrai būtina.

Jei nesate susipažinę su redukcijos formulėmis, jų išvedimo paprastumas jus maloniai nustebins - yra „dėsnis“, pagal kurį tai lengva padaryti. Ir per 5 sekundes parašysite bet kurią iš 32 formulių.

Išvardinsiu tik kai kurias užduotis, kurios bus matematikos egzamine, kur nežinant šių formulių yra didelė tikimybė, kad nepavyks išspręsti. Pavyzdžiui:

- stačiakampio trikampio, kuriame kalbame apie išorinį kampą, sprendimo užduotys ir užduotys vidiniai kampai kai kurios iš šių formulių taip pat reikalingos.
- trigonometrinių išraiškų reikšmių skaičiavimo užduotys; skaitmeninių trigonometrinių išraiškų transformacijos; pažodinių trigonometrinių išraiškų transformacijos.
– užduotys tangentui ir geometrine prasme liestinė, reikalinga liestinės redukcijos formulė, taip pat kitos užduotys.
- stereometrines problemas, sprendžiant dažnai reikia nustatyti kampo, kuris yra nuo 90 iki 180 laipsnių, sinusą arba kosinusą.

Ir tai tik tie taškai, kurie susiję su egzaminu. O pačioje algebroje atsiranda daug problemų, kurias sprendžiant, nežinant redukcijos formulių, tiesiog neįmanoma padaryti.

Taigi prie ko tai veda ir kaip nustatytos formulės mums supaprastina problemų sprendimą?

Pavyzdžiui, turite nustatyti bet kurio kampo nuo 0 iki 450 laipsnių sinusą, kosinusą, liestinę arba kotangentą:

alfa kampas svyruoja nuo 0 iki 90 laipsnių

* * *

Taigi, būtina suprasti čia veikiantį „įstatymą“:

1. Nustatykite funkcijos ženklą atitinkamame ketvirtyje.

Leiskite jiems priminti:

2. Atsiminkite šiuos dalykus:

funkcija pakeičiama į kofunkciją

funkcija nekeičiama į kofunkciją

Ką reiškia sąvoka – funkcija keičiasi į kofunkciją?

Atsakymas: sinuso pokyčiai į kosinusą arba atvirkščiai, tangentas į kotangentą arba atvirkščiai.

Tai viskas!

Dabar, pagal pateiktą įstatymą, savarankiškai rašome keletą redukcijos formulių:

Šis kampas yra trečiajame ketvirtyje, o kosinusas trečiajame ketvirtyje yra neigiamas. Bendros funkcijos funkcijos nekeičiame, nes turime 180 laipsnių, o tai reiškia:

Kampas yra pirmame ketvirtyje, o sinusas pirmajame ketvirtyje yra teigiamas. Mes nekeičiame funkcijos į kofunkciją, nes turime 360 laipsnių, o tai reiškia:

Čia yra dar vienas papildomas patvirtinimas, kad gretimų kampų sinusai yra lygūs:

Kampas yra antrajame ketvirtyje, sinusas antrajame ketvirtyje yra teigiamas. Mes nekeičiame funkcijos į kofunkciją, nes turime 180 laipsnių, o tai reiškia:

Ištirkite kiekvieną formulę mintyse arba raštu ir pamatysite, kad nėra nieko sudėtingo.

***

Straipsnyje apie sprendimą buvo pažymėtas toks faktas - vieno smailiojo kampo sinusas taisyklingas trikampis lygus kito jame esančio smailiojo kampo kosinusui.