„trupinių racionaliųjų lygčių sprendimas“. Racionalios lygtys

Supaprastinimui naudojamas mažiausias bendras vardiklis duota lygtis. Šis metodas naudojamas, kai negalite parašyti pateiktos lygties su viena racionalia išraiška kiekvienoje lygties pusėje (ir naudoti kryžminio daugybos metodą). Šis metodas naudojamas, kai pateikiama racionali lygtis su 3 ar daugiau trupmenų (jei yra dvi trupmenos, kryžminė daugyba yra geriau).

Raskite mažiausią bendrąjį trupmenų vardiklį (arba mažiausią bendrąjį kartotinį). NOZ yra mažiausias skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš kiekvieno vardiklio.

• Kartais NOZ yra akivaizdus skaičius. Pavyzdžiui, jei pateikiama lygtis: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, tada akivaizdu, kad mažiausias skaičių 3, 2 ir 6 bendras kartotinis bus 6.
• Jei NOD nėra akivaizdus, ​​užrašykite didžiausio vardiklio kartotinius ir raskite tarp jų tą, kuris taip pat yra kitų vardklių kartotinis. NOD dažnai galite rasti tiesiog padauginę du vardiklius kartu. Pavyzdžiui, jei pateikiama lygtis x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, tada NOZ = 8*9 = 72.
• Jei viename ar keliuose vardikliuose yra kintamasis, procesas yra šiek tiek sudėtingesnis (bet ne neįmanomas). Šiuo atveju NOZ yra išraiška (su kintamuoju), kuri dalijasi iš kiekvieno vardiklio. Pavyzdžiui, lygtyje 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), nes ši išraiška dalijasi iš kiekvieno vardiklio: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš skaičiaus, lygaus NOZ padalijus iš atitinkamo kiekvienos trupmenos vardiklio. Kadangi dauginate ir skaitiklį, ir vardiklį iš to paties skaičiaus, efektyviai dauginate trupmeną iš 1 (pavyzdžiui, 2/2 = 1 arba 3/3 = 1).

• Taigi mūsų pavyzdyje padauginkite x/3 iš 2/2, kad gautumėte 2x/6, o 1/2 padauginkite iš 3/3, kad gautumėte 3/6 (3x + 1/6 nereikia dauginti, nes vardiklis yra 6).
• Panašiai elkitės, kai kintamasis yra vardiklyje. Antrajame mūsų pavyzdyje NOZ = 3x(x-1), taigi 5/(x-1) kartus (3x)/(3x) yra 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x padauginus 3(x-1)/3(x-1), kad gautumėte 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) padauginkite iš (x-1)/(x-1) ir gausite 2(x-1)/3x(x-1).

Rasti x. Dabar, kai sumažinote trupmenas iki bendro vardiklio, galite atsikratyti vardiklio. Norėdami tai padaryti, padauginkite kiekvieną lygties pusę iš bendro vardiklio. Tada išspręskite gautą lygtį, ty raskite „x“. Norėdami tai padaryti, išskirkite kintamąjį vienoje lygties pusėje.

• Mūsų pavyzdyje: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Galite pridėti 2 frakcijas su tas pats vardiklis, todėl parašykite lygtį taip: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Abi lygties puses padauginkite iš 6 ir atmeskite vardiklius: 2x+3 = 3x +1. Išspręskite ir gaukite x = 2.
• Mūsų antrajame pavyzdyje (vardiklyje yra kintamasis) lygtis atrodo taip (sumažinus iki bendro vardiklio): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). Abi lygties puses padauginę iš NOZ, atsikratysite vardiklio ir gausite: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), arba 15x = 3x - 3 + 2x -2, arba 15x = x - 5 Išspręskite ir gaukite: x = -5/14.

Paprasčiau tariant, tai yra lygtys, kurių vardiklyje yra bent viena kintamasis.

Pavyzdžiui:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Pavyzdys ne trupmeninis racionaliosios lygtys:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kaip sprendžiamos trupmeninės racionalios lygtys?

Svarbiausia atsiminti trupmenines racionaliąsias lygtis – jose reikia įrašyti. Ir suradę šaknis, būtinai patikrinkite jų leistinumą. Priešingu atveju gali atsirasti pašalinių šaknų, o visas sprendimas bus laikomas neteisingu.

Trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas:

Išrašykite ir „išspręskite“ ODZ.

Padauginkite kiekvieną lygties narį iš bendro vardiklio ir sumažinkite gautas trupmenas. Vardikliai išnyks.

Parašykite lygtį neatplėšdami skliaustų.

Išspręskite gautą lygtį.

Patikrinkite rastas šaknis su ODZ.

Atsakydami užrašykite šaknis, kurios išlaikė testą 7 veiksme.

Neįsimink algoritmo, 3-5 išspręstas lygtis – ir ji įsimins savaime.

Pavyzdys . Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Sprendimas:

Atsakymas: \(3\).

Pavyzdys . Raskite trupmeninės racionalios lygties šaknis \(=0\)

Sprendimas:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Užsirašome ir „išsprendžiame“ ODZ. Išskleiskite \(x^2+7x+10\) į formulę: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Laimei, \(x_1\) ir \(x_2\) jau radome.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Akivaizdu, kad bendras trupmenų vardiklis: \((x+2)(x+5)\). Iš jo padauginame visą lygtį.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Sumažiname trupmenas
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Skliaustų atidarymas
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Mes suteikiame panašias sąlygas
\(2x^2+9x-5=0\)		Lygties šaknų radimas
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Viena iš šaknų netelpa po ODZ, todėl atsakydami užrašome tik antrąją šaknį.

Atsakymas: \(\frac(1)(2)\).

Pamokos tikslai:

Mokomoji medžiaga:

• trupmeninių racionaliųjų lygčių sampratos formavimas;
• svarstyti įvairius trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo būdus;
• apsvarstykite trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą, įskaitant sąlygą, kad trupmena lygi nuliui;
• išmokyti spręsti trupmenines racionaliąsias lygtis pagal algoritmą;
• temos įsisavinimo lygio patikrinimas atliekant kontrolinį darbą.

Kuriama:

• ugdyti gebėjimą teisingai operuoti su įgytomis žiniomis, logiškai mąstyti;
• intelektinių įgūdžių ir protinių operacijų ugdymas – analizė, sintezė, palyginimas ir apibendrinimas;
• ugdyti iniciatyvą, gebėjimą priimti sprendimus, nesustoti;
• plėtra kritinis mąstymas;
• tiriamųjų įgūdžių ugdymas.

Auklėjimas:

• auklėjimas pažintinis susidomėjimasį temą;
• savarankiškumo ugdymas sprendžiant ugdymo problemas;
• valios ir užsispyrimo ugdymas siekiant galutinių rezultatų.

Pamokos tipas: pamoka - naujos medžiagos paaiškinimas.

Per užsiėmimus

1. Organizacinis momentas.

Sveiki, vaikinai! Lygtys užrašytos ant lentos, atidžiai jas pažiūrėkite. Ar galite išspręsti visas šias lygtis? Kurie ne ir kodėl?

Lygtys, kurių kairė ir dešinė pusės yra trupmeninės racionalios išraiškos, vadinamos trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis. Kaip manote, ką mes šiandien mokysime pamokoje? Suformuluokite pamokos temą. Taigi, atsiverčiame sąsiuvinius ir užrašome pamokos temą „Trupinių racionaliųjų lygčių sprendimas“.

2. Žinių aktualizavimas. Frontalinė apklausa, darbas žodžiu su klase.

O dabar pakartosime pagrindinę teorinę medžiagą, kurią turime išstudijuoti nauja tema. Prašome atsakyti į šiuos klausimus:

1. Kas yra lygtis? ( Lygybė su kintamuoju ar kintamaisiais.)
2. Kaip vadinama 1 lygtis? ( Linijinis.) Tiesinių lygčių sprendimo būdas. ( Viską su nežinomuoju perkelkite į kairę lygties pusę, visus skaičius į dešinę. Pateikite panašias sąlygas. Raskite nežinomą daugiklį).
3. Kaip vadinama 3 lygtis? ( Kvadratas.) Kvadratinių lygčių sprendimo būdai. ( Viso kvadrato parinkimas pagal formules, naudojant Vieta teoremą ir jos pasekmes.)
4. Kas yra proporcija? ( Dviejų santykių lygybė.) Pagrindinė proporcijos savybė. ( Jei proporcija teisinga, tada jos kraštutinių narių sandauga yra lygi vidurinių narių sandaugai.)
5. Kokios savybės naudojamos sprendžiant lygtis? ( 1. Jei lygtyje terminą perkelsime iš vienos dalies į kitą, keisdami jo ženklą, tai gautume lygtį, lygiavertę duotajai. 2. Jei abi lygties dalys yra padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis, tada bus gauta lygtis, kuri yra lygiavertė duotajam.)
6. Kada trupmena lygi nuliui? ( Trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis nulis, o vardiklis nelygus nuliui.)

3. Naujos medžiagos paaiškinimas.

Išspręskite sąsiuviniuose ir lentoje lygtį Nr.

Atsakymas: 10.

Kokią trupmeninę racionaliąją lygtį galite bandyti išspręsti naudodami pagrindinę proporcijos savybę? (Nr. 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Išspręskite lygtį Nr. 4 sąsiuviniuose ir lentoje.

Atsakymas: 1,5.

Kokią trupmeninę racionaliąją lygtį galite bandyti išspręsti padauginę abi lygties puses iš vardiklio? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Atsakymas: 3;4.

Dabar pabandykite išspręsti #7 lygtį vienu iš būdų.

(x 2 -2x-5)x (x-5) = x (x-5) (x + 5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x (x-5) (x+5) = 0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5)) = 0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Atsakymas: 0;5;-2.			Atsakymas: 5;-2.

Paaiškinkite, kodėl taip atsitiko? Kodėl vienu atveju yra trys šaknys, o kitu – dvi? Kokie skaičiai yra šios trupmeninės racionalios lygties šaknys?

Iki šiol studentai nebuvo sutikę pašalinės šaknies sąvokos, jiems tikrai labai sunku suprasti, kodėl taip atsitiko. Jei klasėje niekas negali aiškiai paaiškinti šios situacijos, mokytojas užduoda pagrindinius klausimus.

• Kuo lygtys Nr. 2 ir 4 skiriasi nuo lygčių Nr. 5,6,7? ( 2 ir 4 lygtyse skaičiaus vardiklyje, 5-7 - reiškiniai su kintamuoju.)
• Kokia yra lygties šaknis? ( Kintamojo reikšmė, kuriai esant lygtis tampa tikrąja lygybe.)
• Kaip sužinoti, ar skaičius yra lygties šaknis? ( Padaryti čekį.)

Kai kurie mokiniai, atlikdami testą, pastebi, kad turi dalytis iš nulio. Jie daro išvadą, kad skaičiai 0 ir 5 nėra šios lygties šaknys. Kyla klausimas: ar yra būdas išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis, kurios pašalintų šią klaidą? Taip, šis metodas pagrįstas sąlyga, kad trupmena lygi nuliui.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Jei x=5, tai x(x-5)=0, taigi 5 yra pašalinė šaknis.

Jei x=-2, tai x(x-5)≠0.

Atsakymas: -2.

Pabandykime tokiu būdu suformuluoti trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą. Vaikai patys suformuluoja algoritmą.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas:

1. Viską perkelkite į kairę.
2. Suveskite trupmenas į bendrą vardiklį.
3. Sudarykite sistemą: trupmena yra lygi nuliui, kai skaitiklis yra nulis, o vardiklis nėra nulis.
4. Išspręskite lygtį.
5. Patikrinkite nelygybę, kad neįtrauktumėte pašalinių šaknų.
6. Užsirašykite atsakymą.

Diskusija: kaip formalizuoti sprendinį, jei naudojama pagrindinė proporcijos savybė ir abiejų lygties pusių dauginimas iš bendro vardiklio. (Papildykite sprendimą: iš jo šaknų išbraukite tuos, kurie bendrą vardiklį paverčia nuliu).

4. Pirminis naujos medžiagos suvokimas.

Dirbti porose. Studentai patys pasirenka, kaip išspręsti lygtį, atsižvelgdami į lygties tipą. Užduotys iš vadovėlio „Algebra 8“, Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600 (b, c, i); 601(a, e, g). Mokytojas kontroliuoja užduoties atlikimą, atsako į iškilusius klausimus, teikia pagalbą prastai besiverčiantiems mokiniams. Savikontrolė: atsakymai užrašomi lentoje.

b) 2 yra pašalinė šaknis. Atsakymas: 3.

c) 2 yra pašalinė šaknis. Atsakymas: 1.5.

a) Atsakymas: -12.5.

g) Atsakymas: 1; 1.5.

5. Namų darbų pareiškimas.

1. Perskaitykite vadovėlio 25 punktą, išanalizuokite 1-3 pavyzdžius.
2. Išmokite trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą.
3. Spręsti sąsiuviniuose Nr.600 (a, d, e); Nr. 601 (g, h).
4. Pabandykite išspręsti #696(a) (neprivaloma).

6. Kontrolinės užduoties studijuojama tema įvykdymas.

Darbai atliekami ant lakštų.

Darbo pavyzdys:

A) Kurios iš lygčių yra trupmeninės racionalios?

B) Trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis yra ______________________, o vardiklis ___________________________.

K) Ar skaičius -3 yra 6 lygties šaknis?

D) Išspręskite lygtį Nr.

Užduočių vertinimo kriterijai:

• „5“ suteikiama, jei mokinys teisingai atliko daugiau nei 90% užduoties.
• „4“ – 75–89 %
• "3" - 50% -74%
• „2“ skiriamas mokiniui, kuris atliko mažiau nei 50% užduoties.
• 2 pažymys į žurnalą neįrašomos, 3 neprivaloma.

7. Refleksija.

Ant lankstinukų su savarankišku darbu uždėkite:

• 1 - jei pamoka jums buvo įdomi ir suprantama;
• 2 - įdomu, bet neaišku;
• 3 – neįdomu, bet suprantama;
• 4 – neįdomu, neaišku.

8. Pamokos apibendrinimas.

Taigi, šiandien pamokoje susipažinome su trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, išmokome šias lygtis spręsti Skirtingi keliai, pasitikrino savo žinias mokymų pagalba savarankiškas darbas. Savarankiško darbo rezultatus sužinosite kitoje pamokoje, namuose turėsite galimybę įgytas žinias įtvirtinti.

Koks trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo būdas, jūsų nuomone, yra lengvesnis, prieinamesnis, racionalesnis? Nepriklausomai nuo trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo metodo, ko nereikėtų pamiršti? Kas yra trupmeninių racionaliųjų lygčių „gudrumas“?

Ačiū visiems, pamoka baigėsi.

Susipažinkime su racionaliosiomis ir trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, pateikime jų apibrėžimą, pateiksime pavyzdžių, taip pat išanalizuokime dažniausiai pasitaikančias problemų rūšis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalioji lygtis: apibrėžimas ir pavyzdžiai

Pažintis su racionaliais posakiais prasideda 8-oje mokyklos klasėje. Šiuo metu algebros pamokose mokiniai vis dažniau pradeda atlikti užduotis su lygtimis, kuriose yra racionalios išraiškos savo užrašuose. Atnaujinkime savo atmintį, kas tai yra.

1 apibrėžimas

racionalioji lygtis yra lygtis, kurios abiejose pusėse yra racionalių išraiškų.

Įvairiuose vadovuose galite rasti kitą formuluotę.

2 apibrėžimas

racionalioji lygtis- tai lygtis, kurios kairiosios pusės įraše yra racionali išraiška, o dešinėje - nulis.

Apibrėžimai, kuriuos pateikėme racionaliosioms lygtims, yra lygiaverčiai, nes jie reiškia tą patį. Mūsų žodžių teisingumą patvirtina tai, kad bet kokiems racionaliems posakiams P Ir K lygtys P=Q Ir P − Q = 0 bus lygiavertės išraiškos.

Dabar pereikime prie pavyzdžių.

1 pavyzdys

Racionalios lygtys:

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, xx 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Racionaliosiose lygtyse, kaip ir kitų tipų lygtyse, gali būti bet koks kintamųjų skaičius nuo 1 iki kelių. Norėdami pradėti, mes apsvarstysime paprasti pavyzdžiai, kurioje lygtyse bus tik vienas kintamasis. Ir tada mes pradedame palaipsniui apsunkinti užduotį.

Racionaliosios lygtys skirstomos į dvi dideles grupes: sveikąsias ir trupmenines. Pažiūrėkime, kurios lygtys bus taikomos kiekvienai grupei.

3 apibrėžimas

Racionalioji lygtis bus sveikasis skaičius, jei kairiosios ir dešiniosios jos dalių įraše yra visos racionalios išraiškos.

4 apibrėžimas

Racionalioji lygtis bus trupmeninė, jei vienoje ar abiejose jos dalyse yra trupmena.

Trupmeninės racionalios lygtys būtinai turi dalijimąsi iš kintamojo arba kintamasis yra vardiklyje. Rašant sveikųjų skaičių lygtis tokio padalijimo nėra.

2 pavyzdys

3 x + 2 = 0 Ir (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0, 5 yra ištisos racionalios lygtys. Čia abi lygties dalys vaizduojamos sveikųjų skaičių išraiškomis.

1 x - 1 = x 3 ir x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5 yra trupmeninės racionalios lygtys.

Visos racionalios lygtys apima tiesines ir kvadratines lygtis.

Sveikųjų skaičių lygčių sprendimas

Tokių lygčių sprendimas paprastai redukuojasi iki jų transformacijos į lygiavertes algebrines lygtis. Tai galima pasiekti atlikus lygiavertes lygčių transformacijas pagal šį algoritmą:

• pirmiausia gauname nulį dešinėje lygties pusėje, tam reikia perkelti išraišką, esančią dešinėje lygties pusėje, į kairę ir pakeisti ženklą;
• tada kairėje lygties pusėje esančią išraišką transformuojame į daugianarį standartinis vaizdas.

Turime gauti algebrinę lygtį. Ši lygtis bus lygiavertė pradinei lygčiai. Paprasti atvejai leidžia išspręsti problemą sumažinant visą lygtį į tiesinę arba kvadratinę. Bendruoju atveju išsprendžiame algebrinę laipsnio lygtį n.

3 pavyzdys

Būtina rasti visos lygties šaknis 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Sprendimas

Transformuokime pradinę išraišką, kad gautume jai lygiavertę algebrinę lygtį. Norėdami tai padaryti, dešinėje lygties pusėje esančią išraišką perkelsime į kairę ir pakeisime ženklą į priešingą. Dėl to gauname: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Dabar kairėje pusėje esančią išraišką transformuosime į standartinės formos daugianarį ir atliksime būtini veiksmai su šiuo daugianario:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Pradinės lygties sprendinį pavyko redukuoti iki formos kvadratinės lygties sprendinio x 2 - 5 x - 6 = 0. Šios lygties diskriminantas yra teigiamas: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Tai reiškia, kad bus dvi tikrosios šaknys. Raskime juos naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 arba x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 arba x 2 = - 1

Patikrinkime lygties šaknų teisingumą, kurią radome sprendimo eigoje. Šį skaičių, kurį gavome, pakeičiame į pradinę lygtį: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 Ir 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Pirmuoju atveju 63 = 63 , antrajame 0 = 0 . Šaknys x=6 Ir x = – 1 iš tikrųjų yra lygties, pateiktos pavyzdinėje sąlygoje, šaknys.

Atsakymas: 6 , − 1 .

Pažiūrėkime, ką reiškia „visos lygties galia“. Mes dažnai susidursime su šiuo terminu tais atvejais, kai turime pavaizduoti visą lygtį algebrinės formos pavidalu. Apibrėžkime sąvoką.

5 apibrėžimas

Sveikojo skaičiaus lygties laipsnis yra algebrinės lygties laipsnis, lygiavertis pradinei visai lygčiai.

Jei pažvelgsite į lygtis iš aukščiau pateikto pavyzdžio, galite nustatyti: visos šios lygties laipsnis yra antrasis.

Jeigu mūsų kursas apsiribotų antrojo laipsnio lygčių sprendimu, tai temos svarstymą būtų galima baigti čia. Tačiau viskas nėra taip paprasta. Trečiojo laipsnio lygčių sprendimas yra kupinas sunkumų. O lygtims, viršijančioms ketvirtąjį laipsnį, jis iš viso neegzistuoja bendrosios formulėsšaknys. Šiuo atžvilgiu norint išspręsti visas trečiojo, ketvirtojo ir kitų laipsnių lygtis, reikia naudoti daugybę kitų metodų ir metodų.

Dažniausiai naudojamas ištisų racionaliųjų lygčių sprendimo būdas yra pagrįstas faktorizavimo metodu. Veiksmų algoritmas šiuo atveju yra toks:

• išraišką perkeliame iš dešinės pusės į kairę, kad įrašo dešinėje liktų nulis;
• kairėje pusėje esančią išraišką pavaizduojame kaip veiksnių sandaugą, o tada pereiname prie kelių paprastesnių lygčių rinkinio.

4 pavyzdys

Raskite lygties (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) sprendinį.

Sprendimas

Perkeliame išraišką iš dešinės įrašo pusės į kairę pusę su priešingu ženklu: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. Konvertuoti kairę pusę į standartinės formos daugianarį yra nepraktiška, nes taip gausime ketvirto laipsnio algebrinę lygtį: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Transformacijos paprastumas nepateisina visų sunkumų sprendžiant tokią lygtį.

Daug lengviau eiti kitu keliu: išimame bendrą faktorių x 2 – 10 x + 13 . Taip gauname formos lygtį (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Dabar gautą lygtį pakeičiame dviejų kvadratinių lygčių rinkiniu x 2 – 10 x + 13 = 0 Ir x 2 − 2 x − 1 = 0 ir raskite jų šaknis per diskriminantą: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Atsakymas: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Panašiai galime naudoti ir naujo kintamojo įvedimo metodą. Šis metodas leidžia pereiti prie lygiaverčių lygčių, kurių galios yra mažesnės nei pradinėje visoje lygtyje.

5 pavyzdys

Ar lygtis turi šaknis? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)?

Sprendimas

Jei dabar bandysime visą racionalią lygtį redukuoti į algebrinę, gausime 4 laipsnio lygtį, kuri neturi racionalių šaknų. Todėl mums bus lengviau eiti kitu keliu: įvesti naują kintamąjį y, kuris pakeis išraišką lygtyje x 2 + 3 x.

Dabar dirbsime su visa lygtimi (y + 1) 2 + 10 = – 2 (y – 4). Dešinę lygties pusę perkeliame į kairę pusę su priešingu ženklu ir atliekame reikiamas transformacijas. Mes gauname: y 2 + 4 y + 3 = 0. Raskime kvadratinės lygties šaknis: y = −1 Ir y = – 3.

Dabar atlikime atvirkštinį pakeitimą. Gauname dvi lygtis x 2 + 3 x = – 1 Ir x 2 + 3 x = - 3 . Perrašykime juos į x 2 + 3 x + 1 = 0 ir x 2 + 3 x + 3 = 0. Norėdami rasti pirmosios gautos lygties šaknis, naudojame kvadratinės lygties šaknų formulę: - 3 ± 5 2 . Antrosios lygties diskriminantas yra neigiamas. Tai reiškia, kad antroji lygtis neturi realių šaknų.

Atsakymas:- 3 ± 5 2

Aukštų laipsnių sveikųjų skaičių lygtys gana dažnai susiduria su problemomis. Nereikia jų bijoti. Turite būti pasirengę taikyti nestandartinį jų sprendimo būdą, įskaitant daugybę dirbtinių transformacijų.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimas

Šios potemės svarstymą pradedame nuo p (x) q (x) = 0 formos trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmo, kur p(x) Ir q(x) yra sveikųjų skaičių racionalios išraiškos. Kitų trupmeniškai racionalių lygčių sprendimas visada gali būti redukuojamas į nurodytos formos lygčių sprendinį.

Dažniausiai naudojamas lygčių p (x) q (x) = 0 sprendimo metodas yra pagrįstas tokiu teiginiu: skaitinė trupmena u v, kur v yra skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, lygus nuliui tik tais atvejais, kai trupmenos skaitiklis lygus nuliui. Vadovaudamiesi aukščiau pateikto teiginio logika, galime teigti, kad lygties p (x) q (x) = 0 sprendinį galima redukuoti iki dviejų sąlygų įvykdymo: p(x)=0 Ir q(x) ≠ 0. Tuo remiantis sudaromas p (x) q (x) = 0 formos trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas:

• randame visos racionalios lygties sprendinį p(x)=0;
• patikriname, ar tenkinama sąlyga sprendimo metu rastoms šaknims q(x) ≠ 0.

Jei ši sąlyga įvykdoma, tada rasta šaknis.Jei ne, šaknis nėra problemos sprendimas.

6 pavyzdys

Raskite lygties 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 šaknis.

Sprendimas

Turime reikalą su trupmenine racionalia lygtimi, kurios forma yra p (x) q (x) = 0 , kurioje p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Pradėkime spręsti tiesinę lygtį 3 x - 2 = 0. Šios lygties šaknis bus x = 2 3.

Patikrinkime rastą šaknį, ar ji atitinka sąlygą 5 x 2 - 2 ≠ 0. Norėdami tai padaryti, išraiškoje pakeiskite skaitinę reikšmę. Gauname: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Sąlyga įvykdyta. Tai reiškia kad x = 2 3 yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: 2 3 .

Yra dar vienas trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo variantas p (x) q (x) = 0 . Prisiminkite, kad ši lygtis yra lygiavertė visai lygčiai p(x)=0 pradinės lygties kintamojo x leistinų verčių diapazone. Tai leidžia mums naudoti šį algoritmą sprendžiant lygtis p(x) q(x) = 0:

• išspręsti lygtį p(x)=0;
• raskite priimtinų kintamojo x reikšmių diapazoną;
• imame šaknis, esančias kintamojo x leistinų verčių srityje, kaip norimas pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknis.

7 pavyzdys

Išspręskite lygtį x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Sprendimas

Norėdami pradėti, nuspręskime kvadratinė lygtis x 2 − 2 x − 11 = 0. Norėdami apskaičiuoti jo šaknis, naudojame lyginio antrojo koeficiento šaknies formulę. Mes gauname D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 ir x = 1 ± 2 3 .

Dabar galime rasti pradinės lygties x ODV. Tai visi skaičiai, kuriems x 2 + 3 x ≠ 0. Tai tas pats kaip x (x + 3) ≠ 0, iš kur x ≠ 0, x ≠ − 3 .

Dabar patikrinkime, ar šaknys x = 1 ± 2 3, gautos pirmajame sprendimo etape, yra priimtinų kintamojo x verčių diapazone. Mes matome, kas ateina. Tai reiškia, kad pradinė trupmeninė racionalioji lygtis turi dvi šaknis x = 1 ± 2 3 .

Atsakymas: x = 1 ± 2 3

Aprašytas antrasis sprendimo būdas lengviau nei pirmasis tais atvejais, kai lengva rasti kintamojo x leistinų reikšmių plotą ir lygties šaknis p(x)=0 neracionalus. Pavyzdžiui, 7 ± 4 26 9 . Šaknys gali būti racionalios, bet su dideliu skaitikliu arba vardikliu. Pavyzdžiui, 127 1101 Ir − 31 59 . Taip sutaupoma laiko būklei patikrinti. q(x) ≠ 0: pagal ODZ daug lengviau pašalinti netelpančias šaknis.

Kai lygties šaknys p(x)=0 yra sveikieji skaičiai, sprendžiant p (x) q (x) = 0 formos lygtis, tikslingiau naudoti pirmąjį iš aprašytų algoritmų. Greitesnis visos lygties šaknų radimas p(x)=0, tada patikrinkite, ar tenkinama sąlyga q(x) ≠ 0, ir nerasti ODZ, o tada išspręsti lygtį p(x)=0šiame ODZ. Taip yra dėl to, kad tokiais atvejais paprastai lengviau patikrinti, nei rasti ODZ.

8 pavyzdys

Raskite lygties (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 šaknis = 0.

Sprendimas

Pradedame nuo visos lygties (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 ir surasti jo šaknis. Norėdami tai padaryti, taikome lygčių sprendimo metodą faktorizavimu. Pasirodo, pradinė lygtis yra lygi keturių lygčių rinkiniui 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, iš kurių trys yra tiesinės ir vienas kvadratinis. Mes randame šaknis: iš pirmosios lygties x = 1 2, nuo antrojo x=6, iš trečio - x \u003d 7, x \u003d - 2, iš ketvirto - x = – 1.

Patikrinkime gautas šaknis. Šiuo atveju mums sunku nustatyti ODZ, nes tam turėsime išspręsti penktojo laipsnio algebrinę lygtį. Bus lengviau patikrinti sąlygą, pagal kurią trupmenos vardiklis, esantis kairėje lygties pusėje, neturėtų išnykti.

Savo ruožtu reiškinyje vietoj kintamojo x pakeiskite šaknis x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 ir apskaičiuokite jo vertę:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Atliktas patikrinimas leidžia nustatyti, kad pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys yra 1 2 , 6 ir − 2 .

Atsakymas: 1 2 , 6 , - 2

9 pavyzdys

Raskite trupmeninės racionalios lygties 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 šaknis.

Sprendimas

Pradėkime nuo lygties (5 x 2 – 7 x – 1) (x – 2) = 0. Raskime jo šaknis. Mums lengviau šią lygtį pavaizduoti kaip kvadratinių ir tiesinių lygčių derinį 5 x 2 – 7 x – 1 = 0 Ir x − 2 = 0.

Norėdami rasti šaknis, naudojame kvadratinės lygties šaknų formulę. Iš pirmosios lygties gauname dvi šaknis x = 7 ± 69 10, o iš antrosios x=2.

Pakeisti šaknų reikšmę į pradinę lygtį, kad patikrintume sąlygas, mums bus gana sunku. Bus lengviau nustatyti kintamojo x LPV. Šiuo atveju kintamojo x DPV yra visi skaičiai, išskyrus tuos, kurių sąlyga yra įvykdyta x 2 + 5 x - 14 = 0. Gauname: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Dabar patikrinkime, ar rastos šaknys priklauso priimtinų x kintamojo verčių diapazonui.

Šaknys x = 7 ± 69 10 - priklauso, todėl jos yra pradinės lygties šaknys ir x=2- nepriklauso, todėl tai yra pašalinė šaknis.

Atsakymas: x = 7 ± 69 10 .

Atskirai panagrinėkime atvejus, kai p (x) q (x) = 0 formos trupmeninės racionalios lygties skaitiklyje yra skaičius. Tokiais atvejais, jei skaitiklyje yra ne nulis, o kitas skaičius, lygtis neturės šaknų. Jei šis skaičius lygus nuliui, tada lygties šaknis bus bet koks skaičius iš ODZ.

10 pavyzdys

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Sprendimas

Ši lygtis neturės šaknų, nes trupmenos skaitiklyje iš kairės lygties pusės yra skaičius, kuris skiriasi nuo nulio. Tai reiškia, kad bet kurioms x reikšmėms uždavinio sąlygoje nurodytos trupmenos reikšmė nebus lygi nuliui.

Atsakymas: jokių šaknų.

11 pavyzdys

Išspręskite lygtį 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Sprendimas

Kadangi trupmenos skaitiklis yra nulis, lygties sprendimas bus bet kokia x reikšmė iš ODZ kintamojo x.

Dabar apibrėžkime ODZ. Jame bus visos x reikšmės, kurioms x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Lygčių sprendiniai x 4 + 5 x 3 = 0 yra 0 Ir − 5 , nes ši lygtis yra lygiavertė lygčiai x 3 (x + 5) = 0, o ji savo ruožtu yra lygi dviejų lygčių aibei x 3 = 0 ir x + 5 = 0 kur šios šaknys matomos. Darome išvadą, kad norimas priimtinų verčių diapazonas yra bet koks x , išskyrus x=0 Ir x = -5.

Pasirodo, trupmeninėje racionaliojoje lygtyje 0 x 4 + 5 x 3 = 0 yra begalinis skaičius sprendinių, kurie yra bet kokie skaičiai, išskyrus nulį ir -5.

Atsakymas: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Dabar pakalbėkime apie savavališkos formos trupmenines racionaliąsias lygtis ir jų sprendimo būdus. Jie gali būti parašyti kaip r(x) = s(x), kur r(x) Ir s(x) yra racionalios išraiškos ir bent viena iš jų yra trupmeninė. Tokių lygčių sprendinys redukuojamas į p (x) q (x) = 0 formos lygčių sprendinį.

Jau žinome, kad lygiavertę lygtį galime gauti perkeldami išraišką iš dešinės lygties pusės į kairę pusę su priešingu ženklu. Tai reiškia, kad lygtis r(x) = s(x) yra lygiavertis lygčiai r (x) − s (x) = 0. Taip pat jau aptarėme, kaip racionalią išraišką paversti racionalia trupmena. Dėl to lygtį galime lengvai transformuoti r (x) − s (x) = 0į savo identišką formos p (x) q (x) racionaliąją trupmeną.

Taigi mes pereiname nuo pradinės trupmeninės racionalios lygties r(x) = s(x)į p (x) q (x) = 0 formos lygtį, kurią jau išmokome išspręsti.

Reikėtų pažymėti, kad atliekant perėjimus iš r (x) − s (x) = 0į p (x) q (x) = 0 ir tada į p(x)=0 galime neatsižvelgti į kintamojo x galiojančių reikšmių diapazono išplėtimą.

Tai gana realu, kad pradinė lygtis r(x) = s(x) ir lygtis p(x)=0 dėl transformacijų jie nustos būti lygiaverčiai. Tada lygties sprendimas p(x)=0 gali suteikti mums šaknų, kurios bus svetimos r(x) = s(x). Šiuo atžvilgiu kiekvienu atveju būtina atlikti patikrinimą bet kuriuo iš aukščiau aprašytų metodų.

Kad jums būtų lengviau studijuoti temą, mes apibendriname visą informaciją į algoritmą, skirtą išspręsti trupmeninę racionalią formos lygtį r(x) = s(x):

• perkeliame išraišką iš dešinės pusės su priešingu ženklu, o dešinėje gauname nulį;
• pradinę išraišką paverčiame racionalia trupmena p (x) q (x), nuosekliai atlikdami veiksmus su trupmenomis ir daugianariais;
• išspręsti lygtį p(x)=0;
• pašalines šaknis atskleidžiame patikrindami jų priklausymą ODZ arba pakeisdami į pradinę lygtį.

Vizualiai veiksmų grandinė atrodys taip:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → iškritimo r o n d e r o o n s

12 pavyzdys

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį x x + 1 = 1 x + 1 .

Sprendimas

Pereikime prie lygties x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Kairėje lygties pusėje esančią trupmeninę racionaliąją išraišką transformuokime į formą p (x) q (x) .

Tam turime atnešti racionalios trupmenosį bendrą vardiklį ir supaprastinkite posakį:

xx + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - xx (x + 1) = – 2 x – 1 x (x + 1)

Norėdami rasti lygties šaknis - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, turime išspręsti lygtį − 2 x − 1 = 0. Mes gauname vieną šaknį x = - 1 2.

Mums belieka atlikti patikrinimą bet kuriuo iš būdų. Apsvarstykime juos abu.

Pakeiskite gautą reikšmę į pradinę lygtį. Gauname - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Priėjome teisingą skaitinę lygybę − 1 = − 1 . Tai reiškia kad x = − 1 2 yra pradinės lygties šaknis.

Dabar patikrinsime per ODZ. Nustatykime kintamojo x priimtinų reikšmių sritį. Tai bus visa skaičių rinkinys, išskyrus −1 ir 0 (kai x = −1 ir x = 0, trupmenų vardikliai išnyksta). Šaknis, kurį gavome x = − 1 2 priklauso ODZ. Tai reiškia, kad tai yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: − 1 2 .

13 pavyzdys

Raskite lygties x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x šaknis.

Sprendimas

Mes susiduriame su trupmenine racionalia lygtimi. Todėl veiksime pagal algoritmą.

Perkelkime išraišką iš dešinės pusės į kairę pusę su priešingu ženklu: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Atlikime reikiamas transformacijas: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Prieiname prie lygties x=0. Šios lygties šaknis lygi nuliui.

Patikrinkime, ar ši šaknis yra svetima pradinei lygčiai. Pakeiskite reikšmę pradinėje lygtyje: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Kaip matote, gauta lygtis neturi prasmės. Tai reiškia, kad 0 yra pašalinė šaknis, o pradinė trupmeninė racionali lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: jokių šaknų.

Jei į algoritmą neįtraukėme kitų lygiaverčių transformacijų, tai visiškai nereiškia, kad jų negalima naudoti. Algoritmas yra universalus, tačiau jis skirtas padėti, o ne riboti.

14 pavyzdys

Išspręskite lygtį 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Sprendimas

Lengviausias būdas yra išspręsti pateiktą trupmeninę racionaliąją lygtį pagal algoritmą. Tačiau yra ir kitas būdas. Pasvarstykime.

Atimkite iš dešinės ir kairės dalių 7, gausime: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Iš to galime daryti išvadą, kad kairiosios pusės vardiklio išraiška turi būti lygi skaičiaus iš dešinės pusės atvirkštiniam skaičiui, tai yra, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Iš abiejų dalių atimkite 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Pagal analogiją 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, iš kur 1 5 - x 2 \u003d 1 3 ir toliau 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Patikrinkime, kad išsiaiškintume, ar rastos šaknys yra pradinės lygties šaknys.

Atsakymas: x = ± 2

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pirmiau pateiktą lygtį pristatėme § 7. Pirmiausia primename, kas yra racionali išraiška. tai - algebrinė išraiška, sudarytas iš skaičių ir kintamojo x, naudojant sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir eksponencijos didinimo su natūraliuoju rodikliu operacijas.

Jei r(x) yra racionali išraiška, tai lygtis r(x) = 0 vadinama racionalia lygtimi.

Tačiau praktiškai patogiau naudoti šiek tiek daugiau platus aiškinimas terminas „racionalioji lygtis“: tai h(x) = q(x) formos lygtis, kur h(x) ir q(x) yra racionalios išraiškos.

Iki šiol negalėjome išspręsti jokios racionalios lygties, o tik tokią, kuri dėl įvairių transformacijų ir samprotavimų buvo sumažinta iki tiesinė lygtis. Dabar mūsų galimybės daug didesnės: galėsime išspręsti racionalią lygtį, kuri redukuojasi ne tik iki tiesinės
mu, bet ir į kvadratinę lygtį.

Prisiminkite, kaip anksčiau sprendėme racionaliąsias lygtis, ir pabandykite suformuluoti sprendimo algoritmą.

1 pavyzdys išspręsti lygtį

Sprendimas. Perrašome lygtį į formą

Šiuo atveju, kaip įprasta, naudojame faktą, kad lygybės A \u003d B ir A - B \u003d 0 išreiškia tą patį ryšį tarp A ir B. Tai leido perkelti terminą į kairę lygties pusę su priešingas ženklas.

Atlikime kairiosios lygties pusės transformacijas. Mes turime

Prisiminkite lygybės sąlygas trupmenomis nulis: jei ir tik tada, kai vienu metu tenkinami du santykiai:

1) trupmenos skaitiklis lygus nuliui (a = 0); 2) trupmenos vardiklis skiriasi nuo nulio).
Prilyginę nuliui trupmenos skaitiklį kairėje (1) lygties pusėje, gauname

Belieka patikrinti, ar įvykdyta antroji aukščiau minėta sąlyga. Santykis reiškia (1) lygtį, kad . Reikšmės x 1 = 2 ir x 2 = 0,6 atitinka nurodytus ryšius ir todėl yra lygties (1) šaknys, o kartu ir pateiktos lygties šaknys.

1) Transformuokime lygtį į formą

2) Atlikime šios lygties kairiosios pusės transformacijas:

(tuo pačiu metu pasikeitė ženklai skaitiklyje ir
trupmenomis).
Šiuo būdu, duota lygtisįgauna formą

3) Išspręskite lygtį x 2 - 6x + 8 = 0. Raskite

4) Rastos vertės patikrinkite būklę . Skaičius 4 atitinka šią sąlygą, bet skaičius 2 – ne. Taigi 4 yra pateiktos lygties šaknis, o 2 yra pašalinė šaknis.
Atsakymas: 4.

2. Racionaliųjų lygčių sprendimas įvedant naują kintamąjį

Naujo kintamojo įvedimo būdas jums pažįstamas, mes jį naudojome ne kartą. Pavyzdžiais parodykime, kaip jis naudojamas sprendžiant racionaliąsias lygtis.

3 pavyzdys Išspręskite lygtį x 4 + x 2 - 20 = 0.

Sprendimas. Pristatome naują kintamąjį y \u003d x 2. Kadangi x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, tada pateiktą lygtį galima perrašyti į formą

y 2 + y - 20 = 0.

Tai kvadratinė lygtis, kurios šaknis rasime naudodami žinomą formules; gauname y 1 = 4, y 2 = - 5.
Bet y \u003d x 2, o tai reiškia, kad problema buvo sumažinta iki dviejų lygčių sprendimo:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Iš pirmosios lygties matome, kad antroji lygtis neturi šaknų.
Atsakymas:.
Ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 formos lygtis vadinama bikvadratine lygtimi („bi“ - du, t. Ką tik išspręsta lygtis buvo tiksliai bikvadratinė. Bet kuri bikvadratinė lygtis išsprendžiama taip pat, kaip ir lygtis iš 3 pavyzdžio: įvedamas naujas kintamasis y \u003d x 2, gauta kvadratinė lygtis išsprendžiama kintamojo y atžvilgiu ir grąžinama į kintamąjį x.

4 pavyzdys išspręsti lygtį

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad čia ta pati išraiška x 2 + 3x pasitaiko du kartus. Vadinasi, prasminga įvesti naują kintamąjį y = x 2 + Zx. Tai leis mums perrašyti lygtį paprastesne ir malonesne forma (tai iš tikrųjų yra naujos įvedimo tikslas kintamasis- ir įrašyti lengviau
, ir lygties struktūra tampa aiškesnė):

O dabar mes panaudosime racionaliosios lygties sprendimo algoritmą.

1) Perkelkime visus lygties narius į vieną dalį:

= 0
2) Transformuokime kairę lygties pusę

Taigi, mes transformavome pateiktą lygtį į formą

3) Iš lygties - 7y 2 + 29y -4 = 0 randame (jau esame išsprendę gana daug kvadratinių lygčių, todėl tikriausiai neverta visada vadovėlyje pateikti išsamių skaičiavimų).

4) Patikrinkime rastas šaknis naudodami sąlygą 5 (y - 3) (y + 1). Abi šaknys atitinka šią sąlygą.
Taigi naujojo kintamojo y kvadratinė lygtis išspręsta:
Kadangi y \u003d x 2 + Zx, o y, kaip nustatėme, įgyja dvi reikšmes: 4 ir, - vis tiek turime išspręsti dvi lygtis: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Pirmosios lygties šaknys yra skaičiai 1 ir - 4, antrosios lygties šaknys yra skaičiai

Nagrinėjamuose pavyzdžiuose naujo kintamojo įvedimo būdas, kaip mėgsta sakyti matematikai, buvo adekvatus situacijai, tai yra, gerai ją atitiko. Kodėl? Taip, nes ta pati išraiška buvo aiškiai matoma lygties įraše kelis kartus ir buvo tikslinga šią išraišką pažymėti nauja raide. Bet taip būna ne visada, kartais naujas kintamasis „atsiranda“ tik transformacijų procese. Kaip tik tai atsitiks kitame pavyzdyje.

5 pavyzdys išspręsti lygtį
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Sprendimas. Mes turime
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Taigi pateiktą lygtį galima perrašyti kaip

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Dabar „pasirodė“ naujas kintamasis: y = x 2 – Zx.

Su jo pagalba lygtį galima perrašyti į formą y (y + 2) \u003d 24 ir tada y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Šios lygties šaknys yra skaičiai 4 ir -6.

Grįžtant prie pradinio kintamojo x gauname dvi lygtis x 2 - Zx \u003d 4 ir x 2 - Zx \u003d - 6. Iš pirmosios lygties randame x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; antroji lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: 4, - 1.

Pamokos turinys pamokos santrauka paramos rėmo pamokos pristatymo pagreitinimo metodai interaktyvios technologijos Praktika užduotys ir pratimai savianalizės seminarai, mokymai, atvejai, užduotys namų darbai diskusija klausimai retoriniai mokinių klausimai Iliustracijos garso, vaizdo klipai ir daugialypės terpės nuotraukos, paveikslėliai grafika, lentelės, schemos humoras, anekdotai, anekdotai, komiksai, palyginimai, posakiai, kryžiažodžiai, citatos Priedai tezės straipsniai lustai smalsiems cheat sheets vadovėliai pagrindinis ir papildomas terminų žodynas kita Vadovėlių ir pamokų tobulinimasklaidų taisymas vadovėlyje pamokoje naujovių elementų atnaujinimas vadovėlyje pasenusių žinių pakeitimas naujomis Tik mokytojams tobulos pamokos kalendorinis planas metams Gairės diskusijų programos Integruotos pamokos